Cao Đức Đệ
PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG
1. Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng : VTPT
Véc tơ
n
0
và
n
mp gọi là VTPT của mặt phẳng
Ký hiệu :
n
hoặc
n
Chú ý: + Nếu
a
và
b
là hai véc tơ không cùng phương và các đ. thẳng
chứa chúng song song (hoặc nằm trên ) mp thì
n
=[
a
,
b
] là VTPT của
mp . Hai véc tơ
a
,
b
gọi là cặp VTCP của mp
+ Mặt phẳng (ABC) có
n
= [
AB
,
AC
] là VTPT
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng :
Ax + By + Cz + D = 0 với A
2
+ B
2
+ C
2
0
Có
n
=(A;B;C) là một VTPT
Mặt phẳng qua M(x
0
;y
0
;z
0
) có VTPT
n
=(A;B;C) thì pt là :
A(x x
0
) + B(y y
0
) + C(z z
0
) = 0
a
x
+
b
y
+
c
z
= 1 gọi là pt mặt phẳng chắn qua A(a;0;0), B(0;b;0),
C(0;0;c)
Ví dụ 1: Lập phương trình mặt phẳng (α) qua M(1;2;3) nhận
n
=(2;1;5) làm VTPT
Giải : Phương trình mặt phẳng (α) là :
2(x1) 1(y+2)+5(z3) = 0
<=> 2x y +5z 19 =0
Ví dụ 2: Lập phương trình mặt phẳng qua P(1;2;5) và song song với
mặt phẳng : 2y –3x + z – 5 = 0
Giải : Vì mặt phẳng song song mặt phẳng nên có VTPT
n
=
n
=(3;2;1)
Vậy phương trình mặt phẳng () : 3(x1) +2(y+2) +1(z5) = 0
Ví dụ 3: Lập phương trình mặt phẳng qua A( 2;1;4) và có cặp VTCP
a
= (3;1;2) ;
b
=(0;5;3) .
Giải: + VTPT của mặt phẳng là
n
=[
a
,
b
]=(13;9;15)
+ Mặt phẳng qua a nhận
n
làm VTPT có phương trình :
13(x+2) – 9(y – 1) + 15(z 4) = 0 13x –9y +15z – 25 =0
n
Cao Đức Đệ
Ví dụ 4: Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB biết
A(2;1;4); B(4;3;6) .
Giải : + Gọi I là trung điểm của AB I(3;2;5)
+ véc tơ
AB
= ( 2;2;2)
Mặt phẳng trung trực đoạn AB qua I và nhận
AB
làm VTPT có
phương trình : 2(x – 3) –2(y + 2) + 2(z – 5) = 0 x – y + z – 10 = 0
Ví dụ 5: Lập phương trình mặt phẳng qua B( 3;2;5) và vuông góc
với PQ biết P(2;1;3) , Q(3;4;5)
Giải :
PQ
=(1;5;2) làm VTPT
Phương trình mp(α) là : 1( x3) +5(y+2)2(z5) =0
<=> x+5y 2z +17=0
Ví dụ 6: Lập phương trình mặt phẳng qua ba điểm A,B,C biết
A( 1;1;3) ; B(2;0;4) C(2;5;1)
Giải: Cách 1 : + ta có
AB
= (1;1;1) ;
AC
= (1;4;2)
n
= [
AB
,
AC
]=(2;3;5)
Phương trình mặt phẳng (ABC) qua A nhận
n
làm VTPT là :
2(x – 1) + 3(y + 1) 5(z – 3) = 0 <=> 2x + 3y – 5z + 16 = 0
Cách 2: Phương trình tổng quát của mặt phẳng :
Ax + By + Cz + D = 0
A( 1;1;3) () : A – B + 3C + D = 0
B(2;0;4) () : 2A + 4 C + D = 0
giải được A = 2 ; B = 3 ; C = 5
C(2;-5;1) () : 2A 5B + C + D = 0 => D = 16
Phương trình mp () : 2x 3y + 5z 16 = 0
Ví dụ 7:Lập phương trình mặt phẳng qua các hình chiếu của M(1;4;3)
trên các trục toạ độ .
Giải : M chiếu lên trục Ox được M
1
(1;0;0)
M chiếu lên trục Oy được M
2
(0;4;0)
M chiếu lên trục Oz được M
3
(0;0;3)
Phương trình mặt phẳng (M
1
M
2
M
3
) có phương trình là :
x
1
+
y
4
+
z
3
= 1
Cao Đức Đệ
Ví dụ 8: Viết phương trình mặt phẳng đi qua E(0;2;3) ; F(4;5;3) và có
VTCP
a
=(3;2;5) .
Giải :
EF
= ( 4;3;6) là VTCP của mp ;
VTPT
n
= [
EF
,
a
]=(27;2;17 )
Mặt phẳng () qua E nhận
n
làm VTPT là :
27(x – 0) 2(y – 2 ) –17(z + 3) = 0
27x –2y –17z – 47 = 0
Ví dụ 9:a) Lập Phương trình mặt phẳng qua điểm M(2;3;4) và
vuông góc với trục z
/
Oz
b) Lập phương trình mp β qua P(2;1;5) và vuông góc với trục y
/
Oy
Giải :a) vì () trục z
/
Oz =>
k
=(0;0;1) làm VTPT của mp(α)
=> phương trình mặt phẳng (α) : 0( x+2) +0(y3) +1(z+4) =0 <=> z+4=0
b) Vì (β) vuông góc với trục y’Oy =>
J
=(0;1;0) làm VTPT
=> Phương trình mp(β) là : 0(x+2) +1(y1) +0(z5)=0 <=> y1=0
Ví dụ 10: Viết phương trình mặt phẳng qua P(3;1;1) ;Q( 2;1;4) và
vuông góc mặt phẳng : 2x – y + 3z – 1 = 0 .
Giải:
n
= (2 ;1 ;3) là một VTCP của mp ()
Và
PQ
= ( 1;2;5 ) cũng là VTCP của mp ()
VTPT
n
=[
n
,
PQ
]=(1;13;5)
Phương trình mặt phẳng () qua P nhận
n
làm VTPT là :
1(x – 3) –13(y –1 ) –5(z + 1) = 0 x –13y –5z +5 =0
Ví dụ 11: Viết phương trình mặt phẳng qua M(2;1;2) , song song trục
y
/
Oy và vuông góc mp : 2x + y – 3z – 5 = 0 .
Giải : + () trục y
/
Oy nhận
j
=(0; 1 ; 0 ) làm VTCP
+ () () =>
n
= (2;1;3) làm VTCP
+
n
= [
j
,
n
]= (3;0;2) phương trình mp () : 3x + 2z –10 = 0
Ví dụ 12: Viết phương trình mặt phẳng qua N(5;3;6) , vuông góc với
2 mp : 3x +2y – 5z –4= 0 và : x+2y z+11=0.
Giải : + () () =>
n
= (3;2;5) làm VTCP
+ () () =>
n
= (1;2;1) làm VTCP
Cao Đức Đệ
+
n
= [
n
,
n
]= (8;8;8)
phương trình mp () : 8(x5) +8(y3)+ 8(z+6) = 0
<=> x+y+z 2=0
Ví dụ 13: Lập phương trình mặt phẳng qua hai điểm M(2;3;4) ;
N(3;1;6) và song song trục z
/
Oz
Giải : vì () // trục z
/
Oz =>
k
=(0;0;1) làm VTCP
+
MN
= (5;2;2) cũng là VTCP
+
n
= [
k
,
MN
] =(2;5;0)
=> phương trình mp () : 2x + 5y –11 = 0
Ví dụ 14: Lập phương trình mp qua M(1;3;2) và chứa trục z
/
Oz
Giải: Cách 1: Mặt phẳng() chứa trục z
/
Oz phương trình có dạng
A x + By = 0 ()
M(1;3;2) () => A – 3B = 0 ; chọn B = 1 ; A = 3
Phương trình mp () là : 3x + y = 0
Cách 2: Mp(α) chứa trục z’Oz
=> chứa điểm O và nhận
k
=(0;0;1) làm một VTCP
n
= [
k
,
OM
] =(3;1;0)
=> phương trình mặt phẳng (α) : 3(x1)+1(y+3) =0 <=> 3x+y = 0
Ví dụ 15: Lập phương trình mặt phẳng () các mặt phẳng mp(P) một
khoảng bằng 3 , biết (P) : 2x y+2z 11=0
Giải : Vì d(();(P)) =3 => () //(P)
=> phương trình () : 2x y+2z +D=0 ( D≠ 11)
+ Chọn một điểm M (P) => M( 0;11;0)
Ta có d(();(P)) =3 <=> d(M;()) =3 <=>
2 2 2
11 D
2 ( 1) 2
=3
<=>
11 D
=9 <=>
D 2
D 20
Vậy có hai mặt phẳng () : 2x y+2z 2=0 ; 2x y+2z 20=0
Cao Đức Đệ
Ví dụ 16: Trong không gian Oxyz, cho A(1;2;1) , B(0;1;3) và mặt
phẳng (): 3x5y2z +3=0 . Lập phương trình mặt phẳng () song song
với () và cách đều hai điểm A và B .
Giải : Vì () //() => phương trình () có dạng : 3x5y2z +D=0 (D≠3)
Mặt phẳng () cách đều hai điểm A, B => d(A; ()) = d(B; ())
<=>
2 2 2
11 D
3 ( 5) ( 2)
=
2 2 2
1 D
3 ( 5) ( 2)
<=>
D 11
=
D 1
<=>D=6
Vậy phương trình mặt phẳng () : 3x5y2z 6=0