Cong thuc nguyen ham va tich phan

TÓM TẮT KIẾN THỨC
Nguyªn hµm tÝch ph©n


Hàm số f(x)
Họ nguyên hàm
F(x)+C
Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C
1.
x
α

1
1
x
C
α+
+
α +

2.
( )
ax b
α
+

1
a
1
1
( )

( )
ax b
C
α+
+
+
α +

3.
2
dx
x
∫

x C
+

4.
2
.
dx
a x b
=
+
∫

2
.
a x b C
a

+ +

5.
1
x

ln
x C
+

6.
1
ax b
+

1
ln
ax b C
a
+ +

7.
x
a

ln
x
a
C
a

+

8.
ax b
e
+

1
ax b
e C
a
+
+

9.
x
e

x
e C
+

10.
sin( )
ax b
+

1
cos( )
ax b C

a
− + +

11.
sin
x


cos
x C
− +

12.
cos( )
ax b
+

1
sin( )
ax b C
a
+ +

13.
cos
x

+ C
sin
x

14.
2
1
cos ( )
ax b
+

1
tan( )
ax b C
a
+ +

15.
2
1
cos
x

tan
x C
+

16.
2
1
sin ( )
ax b
+

1
cot( )
ax b C
a
− + +

17.
2
1
sin
x

cot
x C
− +

18.
2 2
1
x a
−

1
2
ln
x a
C
a x a
−

+
+

19.
'
( )
( )
u x
u x

ln ( )
u x C
+

20.
2 2
1
a x
−

0
2 2
®Æt x= t
sin ; ; ;a t t
 
π π
∈ − ≠
 
 

21.
tan
x

ln cos
x C
− +

22.
2 2
1
x a
−

0
2 2
®Æt x= t ; ;
sin
a
t
t
 
π π
∈ − ≠
 
 

23.
cot
x

ln sin
x C
+

24.
2 2
1
x a
+

2 2
®Æt x= tant; t
;
a
 
π π
∈ −
 
 

25.
hoÆc
a x a x
a x a x
+ −
− +


®Æt x=a.cos 2t

26.
2 2
1
x a
+

2 2
ln
x x a C
+ + +

27.
( )( )
x a b x
− −

2
§Æt x=a+(b-a).sin t

28.
1
( )( )
x a b x
− −


theo dÊu cña x+a vµ x+b
x a x b± ± + ± ±

2 2
1
HoÆc
u a
+

2 2
®Æt u= tant; t
;
a
 
π π
∈ −
 
 

2 2
1
HoÆc
u a
−

0
2 2
®Æt u= t ; ;
sin
a
t
t
 

π π
∈ − ≠
 
 

29.
2
1
ax bx c
+ +

BiÕn ®æi vÒ
2 2
1
HoÆc
a u
−

2 2
®Æt u= tant; t
;
a
 
π π
∈ −
 
 


1. ðịnh nghĩa:

( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
 
= = −
 
∫
( Công thức NewTon - Leiptnitz)
2. Các tính chất của tích phân:
1
: :
0
( )
a
a
f x dx
=
∫

2
:
( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx
= −
∫ ∫

3
: Nếu
f
(
x
) =
c
không ñổi trên
;
a b
 
 
thì:
( )
b
a
cdx c b a
= −
∫

4
: Nếu
f
(
x
) liên tục trên
;
a b
 

 
và
0
( )
f x
≥
thì
0
( )
b
a
f x dx
≥
∫

5
: Nếu hai hsố
f
(
x
) và
g
(
x
) liên tục trên
;
a b
 
 
và

x a;b
( ) ( )
f x g x
 
≥ ∀ ∈
 
thì
( ) ( )
b b
a a
f x dx g x dx
≥
∫ ∫

6
: Nếu
f
(
x
) lt trên
;
a b
 
 
và
( m,M lµ hai h»ng sè)
( )
m f x M
≤ ≤
( ) ( ) ( )

b
a
m b a f x dx M b a
− ≤ ≤ −
∫

7
: Nếu hai hàm số
f
(
x
) và
g
(
x
) liên tục trên
;
a b
 
 
thì
( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
 
± = ±
 
∫ ∫ ∫

8
: Nếu hàm số
f
(
x
) liên tục trên
;
a b
 
 
và
k
là một hằng số thì
. ( ) . ( )
b b
a a
k f x dx k f x dx
=
∫ ∫

9
: Nếu hàm số
f
(
x
) liên tục trên
;
a b
 
 

và
c
là một hằng số thì
( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
= +
∫ ∫ ∫

10
: Tích phân của hàm số trên
;
a b
 
 
cho trước không phụ thuộc vào biến số ,
( ) ( )
b b
a a
f x dx f t dt
=
∫ ∫



3.Công thức ñổi biến số dạng 1:

( )
( )

( ) . '( ) ( )
u b
b
a u a
f u x u x dx f t dt
 
=
 
∫ ∫

4.Công thức ñổi biến số dạng 2:

( ) ( ) '( )
b
a
I f x dx f t t dt
β
α
 
= = φ φ
 
∫ ∫

Bước 1:
ðặt
'
( ) ( )
t u x dt u x dx
= ⇒ =
Bước 2

: ðổi cận :
( )
( )
x b t u b
x a t u a
= =
⇒
= =

Bước 3
: Chuyển tích phân ñã cho sang tích phân

theo biến t ta ñược
( )
( )
( ) . '( ) ( )
u b
b
a u a
I f u x u x dx f t dt
 
= =
 
∫ ∫


Bước 1:
ðặt
'
( ) ( )

x t dx t dt
= φ ⇒ = φ
Bước 2
: ðổi cận :
x b t
x a t
= = β
⇒
= = α

Bước 3
: Chuyển tích phân ñã cho sang tích phân

theo biến t ta ñược

( ) ( ) '( )
b
a
I f x dx f t t dt
β
α
 
= = φ φ
 
∫ ∫


5.Công thức tích phân từng phần:
: .
b b

b
a
a a
udv u v vdu
 
= −
 
∫ ∫
( 1)
Bước 1:
ðặt
( ) '( )
'( ) ( )
u u x du u x dx
dv v x dx v v x
= =
⇒
= =

Bước 2
:Thay vào công thức ( 1) :
.
b b
b
a
a a
udv u v vdu
 
= −
 

∫ ∫

Bước 3
: Tính
.
b
a
u v
 
 
và
b
a
vdu
∫