Đề HSG toán 9 Thành Phố Huế 11-12

Trường THCS Bình Thành Gv: Lê Công Thuận

GỢI Ý GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HUẾ
MÔN: TOÁN 9 NĂM HỌC: 2011 - 2012


ĐỀ: 120 phút

Bài 1: (2 điểm)
Cho biểu thức: A =
2 2
2 4 2
2 2
2 4 2
: 6 15
x x x x
x x x
   
   
 
   
   
với
0
x


a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm x để biểu thức A có giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó.
Bài 2: (2,5 điểm)
a) Giải phương trình:

2
2 1 2
2 1 1
x
x
  
 

b) Xác định
m Z

để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất và nghiệm đó là số
nguyên:
3 ( 1) 1
( 1) 3
x m y m
m x y
   


  


Bài 3: (1,5 điểm)
Cho hai số dương a, b thỏa mãn: a
2
+ b
2
=
ab

Chứng minh a + b

4ab. Khi nào thì dấu bằng xãy ra ?
Bài 4: (1,0 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A. Chứng minh: sinA = 2 sinB.cosC
Bài 5: (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC (

0
A = 90
) nội tiếp đường tròn (O;R), đường cao AH. Gọi E, F
tương ứng là hình chiếu của H trên AB, AC và J là giao điểm của EF với đường kính AD.
Chứng minh:
a)
AD EF


b) AH
2
= AJ.AD
c) Biết tam giác ABC có

0
B 60

và cạnh AB = 4cm. Tính diện tích tam giác HJD.

HẾT

Trường THCS Bình Thành Gv: Lê Công Thuận


GỢI Ý GIẢI
(Gợi ý này chỉ dùng để tham khảo)

Bài 1: A =
2 2
2 4 2
2 2
2 4 2
: 6 15
x x x x
x x x
   
   
 
   
   
với
0
x



a) Đặt
2
2
x 2
x
 

 
 
= y
Ta có:
 
2
2
2 2
2 2
4 2
2 2
2 4
4 2
4
x x
x x
x x x
 
 
 
   

 
 
 
  
   
 
 
   
 
 



2 2
4 2
2
4 2
6 15
x x
x x
   
 
 
   
   
=
 
2
2
2

2
x 2
y 4 6y 15 y 2y 1 y 1 1
x
 

         
 
 

=
4 2 2 4 2
2 2
x 4x 4 x x 3x 4
x x
    


A
 
  
2 2 2
2 4 2 2
2 2
x x 2 x x x 2 1
x x 3x 4 x x 2
x x 2 x x 2
   
  
   

   
vì x
2
- x + 2 > 0
b) A có GTLN khi x
2
- x + 2 có GTNN
Mà x
2
+ x + 2 = (x + 1)
2
+ 1

1 dấu "=" xãy ra khi x = -1

GTLN A =
1
1
= 1khi x = -1
Bài 2:
a) Giải phương trình:
2
2 1 2
2 1 1
x
x
  
 

Giải: Đặt

2x 1 y
 
.

2
2 2
2 1 2 2 2 2 2
2 1 1 1
x y y y y
x y
          
  


 
2x 1 0
y 0
1
y y 1 0 x 0; ;1
2x 1 1y 1
2

  

      


 





b) Xác định
m Z

để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất và nghiệm đó là số
nguyên:
3 ( 1) 1
( 1) 3
x m y m
m x y
   


  






 
 
 
2
2
3x m 1 y m 1
m 4 x 2m 4(*)
m 1 x m 1 y 3m 3
    


   

    



Hệ có nghiệm duy nhất khi (*) có nghiệm duy nhất
2
m 4 0 m 2
     

Khi m
2
 
: (*)
2
2m 4 2
x
m 4 m 2

  
 

Trường THCS Bình Thành Gv: Lê Công Thuận

 
2
3 m 1 y m 1
m 2

     

 




2
m 1 m 4
m 3m 4
m 1 y
m 2 m 2
 
 
   
 





m 1 m 4
1 m 4
y
m 2 m 1 m 2
 

   
  

Để x, y
2
m 2 1; 2
Z
m 2
Z m 2 1; 2
2
m 4
1 Z
Z
m 2
m 2
m 1; 3; 4

   



 

       
 

 
 

 

 
    

Vậy với m= -1;-3;-4 (thỏa m
2
 
) thì hệ có nghiệm duy nhất thuộc Z

Bài 3: Cho hai số dương a, b thỏa mãn: a
2
+ b
2
=
ab

Chứng minh a + b

4ab. Khi nào thì dấu bằng xãy ra ?
Giải:
Ta có: a
2
+ b
2


2ab
2 2
2(a b ) 4ab
  
Theo đề bài: a
2
+ b

2



2 2
ab 2 a b 2 ab
   
Vì


2
a b 0 a b 2 ab
    
Suy ra a + b

2(a
2
+ b
2
)

4ab
Vậy a + b

4ab. Dấu "=" xãy ra khi
a b
a b
a b




 





Bài 4:







Ta có:
a
CH HB
2
 
;
sinA =
2
AH
a.
BD BD asin C a.AH
b
AB b b b b
    (1)
sinB =

AH
b
, cosC =
CH a
b 2b


2
AH a a.AH
2sin B.cosC 2
b 2b b
     (2)
Từ (1), (2) suy ra sinA = 2sinB.cosC
Bài 5:

a) Ta có: AEHF là hình chữ nhật
a
b
b
D
H
CB
A
Trường THCS Bình Thành Gv: Lê Công Thuận





2 2

E H

mà




0
1 2 1 2
E E H H 90
   



1 1
E H
 




EAJ ABO

(
OAB

cân tại O)






0
1 1
EAJ E B H 90
AD EF
    
 

b)
AJE

∽
ABD

(

A
chung,

0
J B 90
 

)

AJ AE
AJ.AD AB.AE
AB AD
    (1)

ABH

có HE là đường cao


AB.AE = AH
2
(2)
Từ (1), (2)

AH
2
= AJ . AD
c)

0
B = 60
ΔABO

đều


OH = BH = 2

HKO
 
có: HK = OH . sinO = 2 . sin60
0
=

3
2 3
2
 

ABC
 
có AB = 4; BC = 8

AC
4 3




.
2 3
AB AC
AH
BC
 

ABH
 
có:


2
2
2 3

3
4
AH
AE
AB
  


AEJ
 
có: AJ = AE . cos60
0
= 3 .
1
2
= 1,5


JD = AD – AJ = 8 – 1,5 = 6,5

. 3.6,5
3,25 3
2 2
HJD
HK JD
S    (cm
2
)