Đại số luyện thi quốc gia PTTH

1

Phần 1
ĐẠI SỐ
Chương 1
HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC

Dạng 1: HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 1

Bài 1.
Giải hệ phương trình:
 
2 2
11
3 28
x y xy
x y x y
  



   



ĐS:









3;2 , 2;3 , 3; 7 , 7, 3
   

Bài 2.
Giải hệ phương trình:
2 2
4 4 2 2
7
21
x y xy
x y x y

  


  



ĐS:









2;1 , 1;2 , 1; 2 , 2; 1
   

Bài 3. DBA05
Giải hệ phương trình:
2 2
4
( 1) ( 1) 2
x y x y
x x y y y

   

    


ĐS:




   
2; 2 , 2; 2 , 2;1 , 1; 2
   

Bài 4.
Giải hệ phương trình:
2 2

2 2
1 1
4
1 1
4
x y
x y
x y
x y

   




   



ĐS:


1;1

Bài 5.
Cho hệ phương trình:
2 2
1
x y
x y m


 


 



a, Giải hệ phương trình khi
1
2
m

.
b, Tìm m để hệ có nghiệm.
ĐS: a,
1 1 1 1 1 1 1 1
; , ; , ; , ;
2 2 2 2 2 2 2 2
       
   
       
       
b,
1
1
2
m
 

Bài 6.
Cho hệ phương trình:
2 2
8
( 1)( 1)
x y x y
xy x y m

   

  



2

a, Giải hệ khi
12
m

.
b, Tìm m sao cho hệ có nghiệm.
ĐS: a,

















3;1 , 3; 2 , 2;1 , 2; 2 , 1; 3 , 1;2 , 2; 3 , 2; 2
        
b,
33
16
16
m
  

Bài 7. D07
Cho hệ phương trình:
3 3
3 3
1 1
5
1 1
15 10
x y
x y
x y m
x y


   




    



Tìm m để hệ có nghiệm thực.
ĐS:
7
2
4
m
 
hoặc
22
m


Dạng 2: HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 2

Bài 1.
Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
2 3 2
2 3 2

x x y
y y x

  


  



ĐS:




1;1 , 2;2

Bài 2.
Giải hệ phương trình:
1 3
2
1 3
2
x
y x
y
x y

 





 



ĐS:
   




1;1 , 1; 1 , 2; 2 , 2; 2
   

Bài 3. B03
Giải hệ phương trình:
2
2
2
2
2
3
2
3
y
y
x
x

x
y












ĐS:


1;1

Bài 4.
Giải hệ phương trình:
3
3
3 8
3 8
x x y
y y x

 



 



ĐS:
 




0;0 , 11; 11 , 11; 11
 

Bài 5.
Cho hệ phương trình:
2
2
( ) 2
( ) 2
y x y m
x x y m

  


  



a, Giải hệ khi m = 0.

3

b, Tìm m để hệ có duy nhất một nghiệm.
ĐS: a,




0;0 , 2;2
b,
1
2
m
 

Bài 6.
Cho hệ phương trình:
3
3
2
2
x y x m
y x y m

  


  




a, Giải hệ phương trình khi m = 2.
b, Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
ĐS: a,




1; 1 , 2; 2
  b,
2, 2
m m
  

Dạng 3. HỆ ĐẲNG CẤP

Bài 1.
Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
2 3 9
2 13 15 0
x xy y
x xy y

  



  



ĐS:
   
5 1 5 1
3;2 , 3; 2 , ; , ;
2 2 2 2
   
   
   
   

Bài 2.
Giải hệ phương trình:
2
2 2
3 2 16
3 2 8
x xy
x xy y

 


  



ĐS:




2; 1 , 2;1
 

Bài 3.
Giải hệ phương trình:
2
2
12
26
xy y
x xy m

 


  



a, Giải hệ phương trình khi m = 2.
b, Tìm m để hệ có nghiệm.
ĐS: a,





7;3 , 7; 3
 
b,
14
m
 


Dạng 4. CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG KHÁC

Bài 1.
Giải hệ phương trình:
2 2
2 2 2
6
1 5
y xy x
x y x

 


 



ĐS:
 
1

1;2 , ;1
2
 
 
 

Bài 2. D09
Giải hệ phương trình:
2
2
( 1) 3 0
5
( ) 1 0
x x y
x y
x
   



   




4

ĐS:
 
3

1;1 , 2;
2
 

 
 

Bài 3.
Giải hệ phương trình:
2 2 2
2 2
19( )
7( )
x xy y x y
x xy y x y

   


   



ĐS:







0;0 , 3;2 , 2; 3
 

Bài 4. A03
Giải hệ phương trình:
3
1 1
2 1
x y
x y
y x

  



 


ĐS:
 
1 5 1 5 1 5 1 5
1;1 , ; , ;
2 2 2 2
   
       
   
   
   

Bài 5.
Giải hệ phương trình:
3 3 3
2 2
1 19
6
x y x
y y x x

 


  



ĐS:
1 1
, 2 , ;3
3 2
   
 
   
   

Bài 6. B08
Giải hệ phương trình:
4 3 2 2
2
2 2 9

2 6 6
x x y x y x
x xy x

   


  



ĐS:
17
4;
4
 
 
 
 

Bài 7. A08
Giải hệ phương trình:
2 3 2
4 2
5
4
5
(1 2 )
4
x y x y xy xy

x y xy x

     




    



ĐS:
3 3
5 25 3
; , 1;
4 16 2
 
 
 
 
 
 
 
 

Bài 8. B09
Giải hệ phương trình:
2 2 2
1 7
1 13

xy x y
x y xy y
  


  


ĐS:
 
1
1; , 3;1
3
 
 
 

Bài 9. A11

5

Giải hệ phương trình:
2 2 3
2 2 2
5 4 3 2( ) 0
( ) 2 ( )
x y xy y x y
xy x y x y

    



   



ĐS:
   
2 10 10 2 10 10
1;1 , 1; 1 , ; , ;
5 5 5 5
   

 
   
   
   

Bài 10. D11
Cho hệ phương trình:
3 2
2
2 ( 2)
1 2
x y x xy m
x x y m

   



   



Tìm m sao cho hệ có nghiệm thực.
ĐS:
2 3
2
m


Bài 11. A12
Giải hệ phương trình:
3 2 2 2
2 0
2 2 0
xy x
x x y x y xy y
  


     


ĐS:
 
1 5 1 5
1;1 , ; 5 , ; 5
2 2
   

   

   
   
   

Bài 12.
Giải hệ phương trình:
9 3 3
2
2 0
x x y y
x y y x

  


  



ĐS:






0;0 , 1; 1 , 1;1
 

Bài 13.
Giải hệ phương trình:
4 2
3 4
1
2 4
x y
x y y x

 


  



ĐS: HPT vô nghiệm.
Bài 14.
Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
2 3 2 0
6 1 0
x y xy x y
x y x

    



   



ĐS:
 
1 2
1; 2 , ;
5 5
 
  
 
 


Chương 2
PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN

Dạng 1. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN

Bài 1. D06
Giải phương trình:
2
2 1 3 1 0
x x x
    


6

ĐS:
1, 2 2
x x  

Bài 2.
Giải phương trình:
5 1 3 2 1
x x x
    

ĐS: x = 2.
Bài 3.
Giải phương trình:
 
2 2
3 10 12
x x x x
    

ĐS: x = -3.
Bài 4.
Giải phương trình:
2
( 1) ( 2) 2
x x x x x
   
ĐS:
9
0,

8
x x
 

Bài 5.
Giải phương trình:
2
2 7 2 1 8 7 1
x x x x x
        

ĐS: x = 4, x = 5.
Bài 6.
Giải phương trình:


3 2 2 2 6
x x x
    

ĐS:
11 3 5
3,
2
x x

 
Bài 7.
Giải phương trình:
2

2 1 ( 1) 0
x x x x x x
      

ĐS: x = 2.
Bài 8.
Giải phương trình:
2
2 4 2 5 2 5
x x x x x
      

ĐS: x = 3.
Bài 9. B10
Giải phương trình:
2
3 1 6 3 14 8 0
x x x x
      

ĐS: x = 5.
Bài 10.
Giải phương trình:
3 3 3
1 2 3 0
x x x
     

ĐS: x = -2.
Bài 11.

Giải phương trình:
2 2
3 2 1
x x x x
     

ĐS:
1 5
2
x


Bài 12.
Giải phương trình:
2
1
1 1
3
x x x x
    

ĐS: x = 0, x = 1.
Bài 13.
Giải phương trình:
2 2
3 1 ( 3) 1
x x x x
    

7

ĐS:
2 2
x  

Bài 14. A09
Giải phương trình:
3
2 3 2 3 6 5 8 0
x x
    

ĐS: x = -2.
Bài 15.
Giải phương trình:
3 3 32 2 2
4 4 4 2 1 4 2
x x x x x x
       

ĐS:
10
7
x


Bài 16. B11
Giải phương trình:
2

3 2 6 2 4 4 10 3
x x x x
      

ĐS:
6
5
x


Bài 17.
Giải phương trình:
3
3
1 2 2 1
x x
  

ĐS:
1 5
1,
2
x x
 
 
Bài 17+.
Giải phương trình:
   
2 2
3 3

3
2 7 (7 )(2 ) 3
x x x x
      

ĐS: x = 1, x = -6
Bài 18.
Giải phương trình:


2 3 3 2
1 1 (1 ) (1 ) 2 1
x x x x
       

ĐS:
1
2
x 
Bài 19.
Giải phương trình:
2
4 1 4 1 1
x x
   

ĐS:
1
2
x



Bài 20.
Giải phương trình:
2 2
15 3 2 8
x x x
    

ĐS: x = 1.
Bài 21. C12
Giải phương trình:


3
4 1 2 1 0
x x x x
    

ĐS:
1 5
4
x


Bài 22.
Giải phương trình:
2
4 6 2 3 5 2 0
x x x x

       

ĐS: x = 2.
Bài 23.
Giải phương trình:
4 2
4
4 1 8 3 4 3 5
x x x x x
     


8

ĐS:
1
2
x

.

Dạng 2. PHƯƠNG TRÌNH CĂN CHỨA THAM SỐ

Bài 24. B07
Chứng minh với mọi m dương thì phương trình:
2
2 8 ( 2) 0
x x m x
    
luôn có 2

nghiệm thực phân biệt.
Bài 25. B06
Tìm m để phương trình:
2
2 2 1
x mx x
   
có hai nghiệm thực.
ĐS:
9
2
m

.
Bài 26. A07
Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực:
24
3 1 1 2 1
x m x x
    
.
ĐS:
1
1
3
m
  

Bài 27. B04
Xác định m để phương trình sau có nghiệm:



2 2 4 2 2
1 1 2 2 1 1 1
m x x x x x
         

ĐS:
2 1 1
m
  
.
Bài 28. A08
Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt:
4 4
2 2 2 6 2 6
x x x x m
     
.
ĐS:




3
4
2 6 6 3 4 4
m   

Dạng 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN

Bài 1. B02
Giải hệ phương trình:
3
2
x y x y
x y x y

  


   



ĐS:
3 1
;
2 2
 
 
 

Bài 2. A06
Giải hệ phương trình:
3
1 1 4
x y xy
x y


  


   



ĐS:


3;3

Bài 3. D08

9

Giải hệ phương trình:
 
2 2
2
2 1 2
xy x y x y
x y y x x y

   


   




ĐS:


5;2

Bài 4. A10
Giải hệ phương trình:




2
2 2
4 1 3 5 2 0
4 2 3 4 7
x x y y
x y x

    


   



ĐS:
1
;2

2
 
 
 

Bài 5.
Giải hệ phương trình:
   
2 3 4 6
2
2 2
2 1 1
x y y x x
x y x

  


   



ĐS:




3;3 , 3;3


Bài 6.
Giải hệ phương trình:
4 4
2 2 2 2
144x y
x y x y y

 


   



ĐS:




2 5; 4 , 2 3;0
 

Bài 7.
Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
1 1 18
1 1 2
x x y x y x y y
x x y x y x y y


         


         



ĐS:


4; 4

Bài 8. D04
Tìm m sao cho hệ phương trình:
1
1 3
x y
x x y y m

 


  


có nghiệm.
ĐS:
1
0

4
m
 

Bài 9.
Cho hệ phương trình:
1 2
1 2
x y m
y x m

   


   



a, Giải hệ phương trình khi m = 9.
b, Tìm m sao cho hệ phương trình có nghiệm.
ĐS: a,


3;3
b,
3
m


Bài 10.

Cho hệ phương trình:
1 1 3
1 1 1 1
x y
x y y x y x m

   


       




10

a, Giải hệ phương trình khi m = 6.
b, Tìm m để hệ phương trình có nghiệm.
ĐS: a,




3;0 , 0;3
b,
27
0
4
m 
Bài 11.

Tìm tất cả các giá trị thực của m để hệ phương trình sau đây có nghiệm thực:
 
2
4
3 2 2 2 1 0
3 1 10 2 2 1
x x y y
y m x y

    


    



ĐS:
1 1
6 2
m
  

Bài 12. B13
Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
2 3 3 2 1 0
4 4 2 4
x y xy x y
x y x x y x y


     


      



ĐS:




0;1 , 1;2

Bài 13. A13
Giải hệ phương trình:
 
4
4
2 2
1 1 2
2 1 6 1 0
x x y y
x x y y y

     


     




ĐS:




1;0 , 2;1


Dạng 4. BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN

Bài 1. D02
Giải bất phương trình:


2 2
3 2 3 2 0
x x x x
   

ĐS:
 


1
; 2 3,
2
 

    


 

Bài 2.
Giải bất phương trình:
    
5 3 4 4 1
x x x
   

ĐS:


4
; 5 ; 4
3
 
   
 
 

Bài 3. A05
Giải bất phương trình:
5 1 1 2 4
x x x
    

ĐS:

2 10
x
 

Bài 4. A04
Giải bất phương trình:


2
2 16
7
3
3 3
x
x
x
x x


  
 

ĐS:
10 34
x  

Bài 5. A10

11

Giải bất phương trình:
2
1
1 2( 1)
x x
x x


  

ĐS:
3 5
2
x


Bài 6. DB D08
Giải bất phương trình:
    
2
2
1 3 2 3 2 1
x x x x x
       

ĐS:
1 3 1 3
x   

Bài 7.

Giải bất phương trình:
 
2
2
2
21
3 9 2
x
x
x
 
 

ĐS:
9 7
;0 0,
2 2
   
 
 
 
   

Bài 8. DB A08
Giải bất phương trình:
2
2
1 3
1
1

1
x
x
x
 



ĐS:
1 2
1; ;1
2 5
 
 
 
 
 
 
 

Bài 9.
Giải bất phương trình:
2
1 4 1 3
x x x x
    

ĐS:



1
0; 4;
2
 
 
 
 

Bài 10.
Cho bất phương trình:
1
x x m
  
. Tìm tham số m dương để bất phương trình có
nghiệm.
ĐS:
0 1
m
 

Bài 11.
Tìm m sao cho bất phương trình:


 
2
2 2 1 2 0
m x x x x
     

có nghiệm
x
trên
0,1 3
 

 
.
ĐS:
2
3
m


Bài 12. CĐ13
Tìm m để bất phương trình


2 1 4
x m x m
    
có nghiệm.
ĐS:
2
m



Chương 3
PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH

CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

12


Dạng 1. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Bài 1.
Giải các phương trình sau:
a,
3 1 2 3 0
x x
   

b,
3
1 1
x x x
   

c,
2
5 1 1 0
x x
   

ĐS: a,
2
4,
5

x x
  
b,
0
x

c,
1, 4, 6
x x x
   

Bài 3.
Giải phương trình:
2 2
2 6 8 1 30
x x x
    

ĐS:
1, 5
x x
  

Bài 4.
Giải phương trình:
5
2 2 1 2 2 1
2
x
x x x x


       
ĐS:
3, 1
x x
  

Bài 5.
Giải phương trình:
2 1 2 1 2
x x x x
     

ĐS:
2
x


Bài 6.
Tìm m sao cho phương trình:
2 2
2 10 8 5
x x x x m
     
có 4 nghiệm phân biệt.
ĐS:
43
4
4
m 

Dạng 2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Bài 1.
Giải các bất phương trình sau:
a,
2
2
x x x
 

b,
2
2 3 3 3
x x x
   

c,
3
1 1
x x
  

d,
2
2
3 1
3
1

x x
x x
 

 

e,
3
1
2
x x
x
 



ĐS: a,
0, 1
x x
 
b,
2 5
x
 
c,
1, 0
x x
  
d,
3 5 3 5

,
2 2
x x
   
 

e,
5 2, 1
x x
     


13

Bài 2.
Tìm m để bất phương trình sau đúng với mọi
x
:
2
2 4 5 0
x mx x m
    

ĐS:
2 2
m
  

Bài 3.
Cho bất phương trình:

 
2 1
a x a x
   

Tìm a để bất phương trình có nghiệm trên


0, 2
.
ĐS:
1, 5
a a
  


Chương 4
PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Dạng 1. PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Bài 1.
Giải phương trình:
2 2
2 4.2 2 4 0
x x x x x 
   

ĐS: x = 1, x = 0.

Bài 2.
Giải phương trình:
2 2 2
3 2 6 5 2 3 7
4 4 4 1
x x x x x x     
  

ĐS:
1, 5, 2
x x x
    

Bài 3.
Giải phương trình:
 
2
2 2
1
1
4 2 2 1
x
x x x

 
  

ĐS:
1, 0
x x

  

Bài 4. D10
Giải phương trình:
3 3
2 2 2 2 4 4
4 2 4 2
x x x x x x
     
  

ĐS:
2, 1
x x
 

Bài 5.
Giải phương trình:
1
5 .8 500
x
x
x



ĐS:
5
3, log 2
x x 

Bài 6.
Giải phương trình:
2
2
3
2 .3
2
x x x


ĐS:
2
1, 1 log 3
x x  
Bài 7.
Giải phương trình:
2 2
4 16 10.2
x x
 
 

ĐS: x = 3.
Bài 8.
Giải phương trình:
3 1
125 50 2
x x x

 

14

ĐS: x = 0.
Bài 9.
Giải phương trình:
 
3
3 1
1 12
2 6.2 1
2
2
x x
x
x
   

ĐS: x = 1.
Bài 10.
Giải phương trình:




2 1 2 1 2 2 0
x x
    

ĐS:
1
x
 

Bài 11.
Giải phương trình:
8 18 2.27
x x x
 

ĐS: x = 0.
Bài 12.
Giải phương trình:


9 2 2 3 2 5 0
x x
x x
    

ĐS: x = 1.
Bài 13.
Giải phương trình:
1
2 4 1
x x
x

  

ĐS: x = 1.
Bài 14.
Giải phương trình:
2
2 2
1 1 2
1 1
2 2
2
x x
x x
x
 
  

ĐS: x = 2.
Bài 15.
Giải phương trình:
2 2
sin os
3 3 os2
x c x
c x
 

ĐS:
4 2
x k
 

 


Dạng 2. PHƯƠNG TRÌNH MŨ CÓ THAM SỐ

Bài 16.
Cho phương trình:




2 3 2 3
x x
m
   

a, Giải phương trình khi m = 4.
b, Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
ĐS: a, x = -1, b, m > 2
Bài 17.
Cho phương trình:
16 2.81 5.36
x x x
m  

a, Giải phương trình khi m = 3.
b, Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất.
ĐS: a,
1
2

x

, b,
25
, 0
8
m m
 

Dạng 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Bài 1.

15

Giải hệ phương trình:
2 2
1
2 5 4
4 2
2 2
x
x x
x
y y
y


 






 

ĐS:




0;1 , 2;4

Bài 2.
Tìm cặp số dương
,
x y
thỏa mãn:
5
4
3
3 1
x
y
y x
x y
x y
 

 


 









ĐS:
 
1
1;1 , 2;
8
 
 
 

Bài 3.
Giải hệ phương trình:


 
4
4
4
4
3 1

8 6 0
y x
x y
x y
x y



 


  



ĐS:




4 4
15;12 , 15;12


Bài 4.
Giải hệ phương trình:





2 2
2 2 2
2
x y
y x xy
x y

   


 



ĐS:




1;1 , 1; 1
 

Bài 5. D04
Giải hệ phương trình:
2 2
1
2 2
x y x
x y y x
x y

 

  


  



ĐS:




1; 1 , 1;0
 
Bài 6.
Giải hệ phương trình:
2 1
2 1
2 2 3 1
2 2 3 1
y
x
x x x
x y y



    



    



ĐS:


1;1


Dạng 4. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Bài 1.
Giải bất phương trình:
2 2 2
2 1 2
4 .2 3.2 8 12 .2
x x x
x x x x

    

ĐS:
2 1, 2 3
x x
     

Bài 2.

Giải bất phương trình:
2 4 4
3 8.3 9.9 0
x x x x  
  

ĐS: x > 5
Bài 3.

16

Giải bất phương trình:
 
2
2
3
1 1
x
x
x x


  

ĐS:
3, 2 1, 0
x x x
    

Bài 4.

Giải bất phương trình:
2
1
2
1
3
3
x x
x x
 

 

 
 

ĐS:
2
x


Bài 5.
Giải bất phương trình:


4 1 2 1
8 8
x x
x e x x e
 

  

ĐS:
2
x
 

Bài 6.
Giải bất phương trình:
1
2 2 1
0
2 1
x x
x

 



ĐS:
0, 1
x x
 

Bài 7.
Giải bất phương trình:
1 2 1
2
3 2 12 0

x
x x 
  

ĐS: x > 0
Bài 8.
Giải bất phương trình:
2 2
2 4 2 2 1
2 16.2 2 0
x x x x   
  

ĐS:
1 3 1 3
x   

Bài 9.
Giải bất phương trình:
2 1 2 1
3 2 5.6 0
x x x 
  

ĐS:
3
2
log 2
x 

Bài 10.
Giải phương trình:
4 4
1
8.3 9 9
x x x x
 
 

ĐS:
0 16
x
 

Bài 11.
Tìm tất cả giá trị a để bất phương trình:


2
.9 1 3 1 0
x x
a a a

    
nghiệm đúng
x
 

.
ĐS:

1
a


Bài 12.
Tìm tất cả các giá trị a để bất phương trình sau nghiệm đúng
0
x
 
.
 




1
.2 2 1 3 5 3 5 0
x x
x
a a

     

ĐS:
1
2
a


Chương 5
PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH
– BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT


17

Dạng 1. PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Bài 1.
Giải phương trình:




2 2
2 2 2
log 3 2 log 7 12 3 log 3
x x x x      
ĐS: x = 0, x = -5.
Bài 2.
Giải phương trình:
5 3 5 9
log log log 3.log 225
x x 
ĐS: x = 3.
Bài 3.
Giải phương trình:
 
2

2
9 3
3
1 1
log 5 6 log log 3
2 2
x
x x x

    

ĐS:
5
3
x


Bài 4.
Giải phương trình:
 


2
9 3 3
2 log log .log 2 1 1
x x x
  

ĐS: x = 1, x = 4.
Bài 5.

Giải phương trình:
   
2 3
4 8
2
log 1 2 log 4 log 4
x x x
     
ĐS: x = 2,
2 2 6
x  
.
Bài 6.
Giải phương trình:


2 2
log 2 log 4 3
x
x
 

ĐS: x = 4.
Bài 7.
Giải phương trình:




1

2 1
2
log 4 4 log 2 3
x x
x

   

ĐS: x = 2.
Bài 8. B06
Giải phương trình:




1
3 3
log 3 1 .log 3 3 6
x x
  

ĐS:
3 3
28
log , log 10
27
x x 
Bài 9. D07
Giải phương trình:
 

2 2
1
log 4 15.2 27 2 log 0
4.2 3
x x
x
   


ĐS:
2
log 3
x 

Bài 10. D11
Giải phương trình:




2
2 2
log 8 2 log 1 1
x x x
     

ĐS: x = 0.
Bài 11. A08
Giải phương trình:



 
2
2
2 1 1
log 2 1 log 2 1 4
x x
x x x
 
    


18

ĐS: x = 2,
5
4
x


Bài 12.
Giải phương trình:
 


2
2
2
2
log 4

log 2
log 6
4 2.3
x
x
x 

ĐS:
1
4
x

.
Bài 13.
Giải phương trình:




2 2
3 7 2 3
log 9 12 4 log 6 23 21 4
x x
x x x x
 
     

ĐS:
1
4

x
 

Bài 14.
Giải phương trình:




2 2
log log
2
2 2 2 2 1
x x
x x
    

ĐS: x = 1.
Bài 15.
Giải phương trình:


5 7
log log 2
x x
 

ĐS: x = 5.
Bài 16.
Giải phương trình:

2
2
3
2
3
log 3 2
2 4 5
x x
x x
x x
 
  
 

ĐS: x = -1, x = -2.
Bài 17.
Giải phương trình:


2 2
3 3
log 1 log 2
x x x x x
    

ĐS: x = 1.
Bài 17+. D13
Giải phương trình:





2 1
2
2
1
2 log log 1 log 2 2
2
x x x x
    

ĐS:
4 2 3
x  

Dạng 2. PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT CHỨA THAM SỐ

Bài 18.
Cho phương trình:
2 2
3 3
log log 1 2 1 0
x x m
    

a, Giải phương trình khi m = 2.
b, Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm trên
3
1,3
 

 
.
ĐS: a,
3
3
x


, b,
0 2
m
 

Bài 19.
Cho phương trình:
2
1 1
2 2
( 1) log ( 2) ( 5)log ( 2) 1 0
m x m x m
       

Tìm m để phương trình có nghiệm
1 2
,
x x
thỏa mãn
1 2
2 4
x x

  
.
ĐS:
3 1
m
  


19


Dạng 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Bài 1. D10
Giải hệ phương trình:
2
2
2
4 2 0
2log ( 2) log 0
x x y
x y

   


  



ĐS:


3;1

Bài 2. B10
Giải hệ phương trình:
2
2
log (3 1)
4 2 3
x x
y x
y
 


 


ĐS:
1
1;
2
 

 
 

Bài 3. A09

Giải hệ phương trình:


2 2
2 2
2 2
log 1 log ( )
3 81
x xy y
x y xy
 

  






ĐS:




2;2 , 2; 2
 

Bài 4. A04
Giải hệ phương trình:
1 4

4
2 2
1
log ( ) log 1
25
y x
y
x y

  



 


ĐS:


3; 4

Bài 5. B05
Giải hệ phương trình:
 
2 3
9 3
1 2 1
3log 9 log 3
x y
x y


   


 



ĐS:




1;1 , 2;2

Bài 6.
Giải hệ phương trình:
8 8
log log
4 4
4
log log 1
y x
x y
x y

 

 


ĐS:
 
1 1
8;2 , ;
2 8
 
 
 

Bài 7.
Giải hệ phương trình:


log 3 2 2
log (2 3 ) 2
x
y
x y
x y
  


 



ĐS:



5;5

Bài 8.

20

Giải hệ phương trình:
2 2 2
3 3 3
3
log 3 log log
2
2
log 12 log log
3
x
x y y
y
x x y

  




  



ĐS:



1;2

Bài 9.
Giải hệ phương trình:
 
3
3 4
1 1 3
log 1
y
x
x
x
x y


  



 


ĐS:


3;0

Bài 10.
Giải hệ phương trình:
 
 
3
3
log 2
log
2 2
4 2
3 3 12
xy
xy
x y x y

 


   



ĐS:




3 6;3 6 , 3 6;3 6
   

Bài 11.
Giải hệ phương trình:
2 2 2
2
lg lg lg ( )
lg ( ) lg .lg 0
x y xy
x y x y

 


  



ĐS:
 
1
2; , 2;1
2
 
 
 

Bài 12. DB B03
Giải hệ phương trình:
2 2 3
log log
x y

y x
xy y

 






ĐS:
2 2
3 3
log ; log
2 2
x y
 
 
 
 

Bài 13.
Chứng minh với mọi a dương hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:




ln 1 ln 1
x y
e e x y

y x a

    


 




Dạng 4. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Bài 1.
Giải bất phương trình:




2
3
4 16 7 log 3 0
x x x
   

ĐS: x > 4 ,
7
3
2
x
 

Bài 2. D08

21

Giải bất phương trình:
2
1
2
3 2
log 0
x x
x
 


ĐS:
2 2 1 , 2 2 2
x x     

Bài 3. B08
Giải bất phương trình:
2
0,7 6
log log 0
4
x x
x
 



 

 

ĐS:
4 3, 8
x x
    

Bài 4. B06
Giải bất phương trình:




2
5 5 5
log 4 144 4log 2 1 log 2 1
x x
    

ĐS: 2 < x < 4
Bài 5. A07
Giải bất phương trình:




3 1

3
2 log 4 3 log 2 3 2
x x
   

ĐS:
3
3
4
x
 

Bài 6. B02
Giải bất phương trình:


3
log log 9 72 1
x
x
 
 
 

ĐS:
9
log 73 2
x
 

Bài 7.
Giải bất phương trình:
 
2
3 1 1
3 3
1
log 5 6 log 2 log 3
2
x x x x
     

ĐS:
10
x 

Bài 8.
Giải phương trình:
2 1
log 1
1
x
x
x




ĐS:
3 5 1

2 2
x

 
,
3 5
1
2
x

 
Bài 9. DB A06
Giải bất phương trình:


1
log 2 2
x
x

 

ĐS:
2 3 0
x
   

Bài 10.
Giải bất phương trình:
   

2 3
2 3
2
log 1 log 1
0
3 4
x x
x x
  

 

ĐS:
4, 1 0
x x
   

Bài 11.
Giải bất phương trình:


2 2 2
2 1 4
2
log log 3 5 log 3
x x x
   

ĐS:
1

0 ,8 16
2
x x
   


22

Bài 12.
Giải bất phương trình:




2 2
9 3
log 3 4 2 1 log 3 4 2
x x x x
     

ĐS:
7 1
x
   
,
1
1
3
x
  

Bài 13.
Giải bất phương trình:




2 3
log 2 1 log 4 2 2
x x
   

ĐS:
0
x


Bài 14.
Giải bất phương trình:


3 6
6 64
log log
x x x
 

ĐS:
0 64
x

 

Bài 15.
Giải bất phương trình:


2
12 log 2 4
x x x m x
    

ĐS:
3
m 

Bài 16.
Cho bất phương trình:


2 2
2 4
log 2 4 log 2 5
x x m x x m
     

Tìm m sao cho bất phương trình nghiệm đúng với mọi


0, 2
x 

.
ĐS:
2 4
m
 


Chương 6
BẤT ĐẲNG THỨC

Dạng 1. DÙNG PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG

Bài 1.
Cho a, b > 0 chứng minh:
a b
a b
b a
   .
Bài 2.
Cho các số dương a, b, c. Gọi:
2 2 2
a b c
A
a b b c c a
  
  
;
2 2 2
b c a
B

a b b c c a
  
  
.
Chứng minh:
a, A = B
b,
2
a b c
A
 

. Khi nào dấu bằng xảy ra.

Dạng 2. ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

Bài 3.

23

Chứng minh:
12 15 20
3 4 5
5 4 3
x x x
x x x
     
    
     
     

.
Bài 4.
Cho x, y, z > 0 sao cho xyz = 1 và
n N

.
Chứng minh:
1 1 1
3
2 2 2
n n n
x y z  
     
  
     
     
.
Bài 5.
Cho x, y, z > 0. Chứng minh:
2 2 2
1 1 1
2
x y z
x yz y zx z xy xyz
 
  
  
.
Bài 6.
Cho

, ,
x y z
thỏa mãn
0
x y z
  
.
Chứng minh rằng:
3 4 3 4 3 4 6
x y z
     
.
Bài 7.
Cho x, y, z dương thỏa mãn
1 1 1
4
x y z
  
.
Chứng minh:
1 1 1
1
2 2 2
x y z x y z x y z
  
     

Bài 8.
Cho x, y, z dương thỏa mãn xyz = 1.
Chứng minh:

3 3 3 3
3 3
1 1
1
3 3
x y y z
x z
xy yz xz
   
 
  
.

Dạng 3. DÙNG VECTƠ

Bài 11.
Cho x, y, z dương và
1
x y z
  
.
Chứng minh:
2 2 2
2 2 2
1 1 1
82
x y z
x y z
     
.

Dạng 4. ÁP DỤNG DẤU TAM THỨC BẬC HAI

Bài 12.
Chứng minh
, ,
x y z R
 
,
2 2 2
0
x y z xy yz zx
     
.
Bài 13.
Cho
ABC

. Chứng minh:
 
2
1 cos cos cos
2
x
A x B C x
    
.

Dạng 5. DÙNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Bài 14.

24

Cho 0
2
x

 
. Chứng minh:
3
s inx
6
x
x x
  
.
Bài 15.
Cho 3 số thực a, b, c với a + b + c = 1.
Chứng minh:
1 1 1
3
3 3 3 3 3 3
a c b a b c
a b c
 
    
 
 
.

Bài 16.
Cho
0,
a b
 
chứng minh:
1 1
2 2
2 2
b a
a b
a b
   
  
   
   
.

Chương 6
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

Dạng 1: DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC

Bài 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của:
2 1 2 1
y x x x x
     
.
Bài 2.

Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
1 1 1
2 2 2
x y z
P x y z
yz zx xy
   
 
     
   
 
 
   
.
Bài 3.
Cho hai số thực
0, 0
x y
 
thay đổi thỏa mãn


2 2
x y xy x y xy
   
.
Tìm giá trị lớn nhất của:
3 3
1 1
A

x y
  .
Bài 4.
Cho x, y, z dương thay đổi xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của:






2 2 2
2 2 2 2
x y z y z x z x y
P
y y z z z x x x x y y
  
  
  
.
Bài 5.
Cho các số thực x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
2 2 2
3 3 3 6 6 6
x y y z z x
P x y z
  
      .

Dạng 2. DÙNG MIỀN GIÁ TRỊ

Bài 6.
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
2
2
3 10 20
2 3
x x
y
x x
 

 
.
Bài 7.

25

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
cos 2sin 3
2 cos sin 4
x x
y
x x
 

 
.
Bài 8.
Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn
2 2

1
x y
 
.
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của:


2
2
2 6
1 2 2
x xy
P
xy y


 
.

Dạng 3. DÙNG ĐẠO HÀM

Bài 9.
Cho x, y dương thay đổi thỏa mãn x + y = 5.
Tìm giá trị nhỏ nhất của
4 1
4
S
x y
  .
Bài 10.

Cho hàm số
1 9
y x x
   
. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của y trên [3, 6].
Bài 11.
Cho hàm số








2 2
2 3 2 3 8 2 3 2 3
x x x x
y
 
       
 
 
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của y.
Bài 12.
Tìm giá trị nhỏ nhất của
1 1 1
P x y z
x y z

     
.
Thỏa mãn
, , 0
x y z

và
3
2
x y z
  
.