ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG LỊCH SỬ TOÁN HỌC

CHƯƠNG 1
Giai đoạn phát sinh toán học
Số tiết: 04 (Lý thuyết: 03 tiết; bài tập, thảo luận: 01)
*) Mục tiêu
- Sinh viên hiểu được hoàn cảnh lịch sử và đặc điểm chung, tình hình phát triển của giai đoạn
phát sinh toán học.
- Sinh viên hiểu và biết được một số thông tin về hai nền văn minh cổ đại tiêu biểu cho giai đoạn
phát sinh toán học: toán học cổ Ai Cập và toán học Babilon. Qua đó vận dụng các kiến thức đã
học tìm hiểu về các nhà toán học có vai trò quyết định đối với sự hình thành và phát sinh toán
học.
- Sinh viên hiểu rõ vai trò của môn lịch sử toán đối với các môn học khác, tích cực, chủ động
tham gia các hoạt động của môn học, có phương pháp học tập tích cực sáng tạo.
1.1. Hoàn cảnh lịch sử
1.1.1. Thời gian
- Rất lâu dài, từ thời xa xưa, (thời kỳ đồ đá cũ) đến khoảng thế kỷ VII
-
- V
-
.
1.1.2. Căn cứ xác định
- Tài liệu về lịch sử văn hóa của loài người: khảo cổ, những sự kiện về lịch sử ngôn ngữ.
- Những hiểu biết từ kết quả khảo sát các bộ lạc man rợ còn tồn tại.
- Những thành tựu mới nhất về sinh lí học, tâm lí lứa tuổi và các qui luật nhận thức.
1.2. Đặc điểm chung
1.2.1. Đặc điểm
Tuy hình thức và con đường phát triển của kiến thức toán học rất khác nhau ở các dân
tộc, song có một nét chung là:
+ Các khái niệm cơ bản của toán học đều phát sinh từ thực tiễn và trải qua một quá trình
hoàn thiện khá lâu dài.
+ Các khái niệm toán học chỉ có thể có khi loài người đã có công cụ lao động (tức là sớm
nhất chỉ vào thời kì đồ đá cũ). Khi đó, nhờ lao động mới có ngôn ngữ và mới phát triển bộ óc

con người; trên cơ sở đó mới có khả năng trừu tượng hóa để đếm và đo Đây là điểm khác biệt
giữa con người và loài vật: đối với con người trước khi xây dựng một cái gì đó thì họ đã xây
dựng nó ở trong óc rồi!
1.2.2. Minh họa thông qua sự phát triển khái niệm số, phép tính, phép đo các hình
1.2.2.1. Sự hình thành khái niệm số
- Khái niệm số phát triển khá chậm về sau, khi đã phát triển khá đầy đủ khái niệm tập
hợp trong tư duy trừu tượng.
- Sự phát sinh khái niệm số là do nhu cầu thực tiễn đếm và đo các đồ vật: Do nhu cầu
kiểm tra, phân phát các dụng cụ sản phẩm khi săn bắn, hái lượm mà con người biết thiết lập sự
tương ứng một đối một (một cách trực tiếp qua hoạt động phân phát). Phép tương ứng đó được
lặp đi lặp lại nhiều lần, lâu dài con người dần dần nhận ra có một cái gì chung cho những tập hợp
như vậy, đi đến chỗ đặt tên cho cái chung đó
- Khái niệm trừu tượng về số, xem như là tính chất chung của mọi tập hợp hữu hạn
tương đương được củng cố dần qua ngôn ngữ, trước hết bằng lời, sau bằng những dấu hiệu, tức
là chữ số.
1
Như vậy, lịch sử hình thành số tự nhiên có thể chia làm 4 giai đoạn lớn (tương ứng với 4
giai đoạn phát triển kĩ thuật đếm).
+ Giai đoạn I
Đếm chính là việc thiết lập sự tương ứng của các tập hợp vật thể khác nhau. Khi đó các
tính chất chung của các tập hợp được phản ánh đầy đủ bằng chính bản chất cụ thể của các đối
tượng đem so sánh. Con số có tính chất vật lí; con người nhận thức được một cách trực giác.
+ Giai đoạn II
Tính đếm được của một tập hợp xác định được biểu thị qua yếu tố tương đương của một
tập hợp khác. Lúc này, tính chất chung của các tập hợp tương đương bắt đầu được quan niệm
khác với bản chất cụ thể của từng tập hợp. Người ta thường gọi tên con số qua tên các vật cụ thể
khác: “ 1- mặt trời; 2 - cánh chim; 4 - chân chó; 5- bàn tay”
+ Giai đoạn III
Người ta chọn được một tập hợp xác định làm tập hợp mẫu về số lượng (sỏi, que, đá, các
bộ phận cơ thể ). Khi đó, tính chất chung của các tập hợp được phân biệt rõ rệt với tập hợp cần

đếm.
+ Giai đoạn IV
Tính chất chung của mọi tập hợp tương đương được tách khỏi mọi tập hợp đối tượng cụ
thể và xuất hiện dưới dạng thuần túy ‘‘khái niệm trừu tượng về số tự nhiên”.
Tóm lại, như Ăng ghen đã nói:
‘‘Muốn đếm con người phải biết trừu xuất tất cả để chỉ giữ lại ‘‘con số” thôi”.
1.2.2.2. Các hệ thống ghi số
+ Hệ thống ghi số không theo vị trí mà ghi bằng chữ tượng hình
Dùng các chữ tượng hình (các dấu chấm; nét gạch đứng, gạch ngang, gạch chéo ) theo
nguyên tắc cộng, trừ. Tiêu biểu là các hệ thống ghi số Ai Cập, Trung Quốc, La Mã, Xyry
- Chữ số La Mã: I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, L(50), C(100), D(500), M(1000),
- Chữ số Trung Quốc: , = , ≡, ,+
+ Hệ thống ghi số bằng chữ cái
Dùng chữ cái (có thêm kí tự để phân biệt với chữ trong ngôn ngữ viết) và kí hiệu phụ để
biểu thị các số. Tiêu biểu là hệ thống ghi số của Hy Lạp, Do Thái, Slavơ, Ácmênia,
Chẳng hạn, chữ số Hy Lạp cổ được láy từ các chữ cái có thêm dấu gạch ngang phía trên:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
α β γ δ ε ξ η θ ι χ
= = = = = = = = = =
+ Hệ thống ghi số theo vị trí
Với hệ cơ số 60: Chẳng hạn, người Babilon cổ sử dụng hệ cơ số 60 để viết số tự nhiên
k = a
0
60
0
+ a
1
60
1
+ a

2
60
2
+ + a
n
60
n
dưới dạng:
n n 1 n 2 2 1 0
a a a a a a
− −
Hệ cơ số 10: Người Ấn Độ cổ ghi số theo vị trí thập phân (cơ số 10), chẳng hạn: số tự
nhiên k = a
n
10
n
+ a
n-1
10
n-1
+ + a
1
10
1
+ a
0
10
0
được viết dưới dạng
n n 1 n 2 2 1 0

a a a a a a
− −
Lúc đầu loài người chưa biết đến số 0, sau đó đến thế kỷ V-VI, ở Ấn Độ, do nhu cầu tính
toán và việc dùng bàn tính, người ta đã đưa thêm số 0 vào hệ thống số. Từ ‘‘sunya” nghĩa là
trống không, không có gì trên bàn tính được dùng để chỉ số 0.
*) Cùng với khái niệm số, các phép tính cộng trừ nhân chia trên số tự nhiên có điều kiện
hình thành và phát triển.
2
*) Những kiến thức về hình học, thiên văn, lượng giác cũng được hình thành từ nhu cầu
quan sát, đo đạc,
Tóm lại, như Ăng ghen đã viết: ‘‘Toán học xuất phát từ việc đo đạc ruộng đất, đo dung
tích bình chậu, từ tính toán thời gian, từ cơ học”.
1.3 . Tình hình phát triển
Để minh họa cho sự phát sinh toán học, ta sẽ nghiên cứu hai nền toán học tiêu biểu ở thời
kì này là toán học Ai Cập và toán học Babilon.
1.3.1. Toán học cổ Ai Cập
Tư liệu lịch sử về toán học Ai Cập chủ yếu dựa vào 2 ‘‘Papirut” (có từ khoảng thế kỷ
XX
-
) và một số ít tài liệu khác còn lưu lại.
Papirut Rhin (hiện nay lưu giữ ở Luân Đôn) dài 5,5m rộng 32 cm gồm 84 bài toán mang
tính thực tiễn: diện tích một số hình phẳng (hình chữ nhật, tam giác, hình thang, hình tròn với
S= (8d/9)
2
hay
π
≈
3,1605; thể tích hình hộp, hình trụ , ; các bài toán tính toán với phân số, chia
tỷ lệ %, tính tổng của cấp số nhân,
Papirut Matxcova (hiện nay lưu giữ ở Matxcova) dài 5m rộng 8cm gồm 25 bài toán

tương tự ở Papirut Rhin: Tính diện tích một số hình phẳng (hình chữ nhật, tam giác, hình thang,
hình tròn với S= (8d/9)
2
hay
π
≈
3,1605; thể tích hình hộp, hình trụ , ; các bài toán tính toán với
phân số, chia tỷ lệ %, tính tổng của cấp số nhân, Ngoài ra, còn có bài toán số 14 tính được
đúng thể tích hình chóp cụt đáy vuông theo công thức giống như hiện nay: V= h/3 (a
2
+ ab + b
2
)
và bài toán số 10 có công thức tính diện tích mặt cong (mặt bên của hình viên trụ có đường cao
bằng đường kính đáy).
- Thành tựu toán học của người Ai Cập cổ là:
Đã biết sử dụng hệ thống ghi số xác định (thập phân tượng hình) tạo điều kiện thuận lợi cho việc
làm tính với mọi số nguyên. Kỹ thuật tính toán dựa trên phép cộng.
Biết sử dụng phân số với công cụ là
1
n
kèm thêm một số phân số đặc biệt 2/3, 3/4; Từ đó xác
định phép chia bằng cách coi
1m
m
n n
≡ ×
. Chẳng hạn: chuyển phép chia 2:9 về phép cộng
1/6 + 1/18.
Đã biết phép giải phương trình tuyến tính dạng ax+by+cz =

α
.
Như vậy, ở Ai Cập cổ từ 4000 năm trước công nguyên đã tích lũy được một số yếu tố của
toán học như một khoa học. Toán chỉ mới được tách ra từ thực tiễn, vẫn còn phụ thuộc vào nội
dung của từng bài toán. Các qui tắc mang nặng tính thực nghiệm. Các phương pháp giải còn
chưa thống nhất (ví dụ số
π
được lấy với nhiều giá trị khác nhau: 3; (16/9)
2
; 3,1605; ); vẫn còn
những cách giải sai như khi tính diện tích tam giác cân, người ta lấy nửa cạnh đáy nhân với cạnh
bên (!).
Song có thể nói rằng vào thời xa xưa này khoa học nói chung trong đó có toán học đã
phát triển đến một trình độ khá cao ở Ai Cập (bằng chứng ở các kim tự tháp và hầm mộ cổ còn
lại ngày nay).
1.3.2. Toán học cổ Babilon
Vào khoảng thế kỷ XX
-
đến XIV
-
trước công nguyên, Babilon là một tập đoàn quốc gia
chiếm hữu nô lệ khá phát triển ở vùng lưu vực 2 con sông Tigơrơ và Ơphơrat. Tài liệu về văn
hóa Babilon còn lưu lại khá nhiều: 20 vạn bản đất sét nung có khắc chữ, trong đó có 250 bản có
3
nội dung toán học (50 bản có lời văn và 200 bản không có lời).
Thành tựu toán học Babilon chủ yếu gồm:
- Sử dụng hệ thống ghi số theo vị trí: xen lẫn cơ số 60 và cơ số 10.
- Xây dựng nhiều quy tắc tính toán thực hành, lập ra các bảng tính toán sẵn (nhân, chia,
bình phương, lập phương, khai căn bậc hai và bậc 3, ).
- Giải được các bài toán tính tỷ lệ %, các phương trình bậc 1, một số phương trình bậc 2

và bậc 3 như: x
2
±
ax = b; x
3
(x+1)=a.
- Tính được các tổng
∑
2
k
;
∑
k
2
; , tìm được công thức xác định bộ 3 số Pitago.
- Về hình học cũng đạt được kết quả tương tự như ở Ai Cập: các phép tính về diện tích
các đa giác và thể tích các đa diện thông thường.
- Phát triển các kiến thức về thiên văn và tam giác lượng: tính gần đúng thể tích , lập
bảng các tỷ số thực nghiệm thiên văn, bảng tỷ số lượng giác,
1.4. Kết luận về giai đoạn phát sinh toán học
Quá trình tích lũy một số lớn các sự kiện toán học cụ thể dưới dạng phương tiện tính toán
số học, phương pháp xác định diện tích và thể tích, phương pháp giải một số loại toán đã diễn
ra lâu dài và khác nhau. Sự tích lũy các kiến thức về số cũng như về hình đã tạo ra những tiền đề
cho sự hình thành các kỹ thuật toán học:
+) Khả năng chuyển từ việc nghiên cứu trên các vật cụ thể sang việc nghiên cứu trên các
hình ảnh thu gọn, trên sơ đồ và ký hiệu của chúng, về sau điều này đưa đến sự phát triển hệ
thống ghi số và các phép dựng hình.
+) Biết thay thế những bài toán cụ thể bằng những bài toán có dạng tổng quát , giải theo
những qui tắc xác định, bao gồm một loạt các trường hợp riêng. Đây là những hình thức đầu tiên
tạo nên những thuật toán và phép toán có liên quan.

Chỉ khi nào các tiền đề trên đã phát huy tác dụng một cách rõ rệt và trong xã hội có một
lớp người biết sử dụng một số nhất định những phương tiện toán học, thì lúc đó mới có căn cứ
để nói rằng: toán học đã bắt đầu trở thành một khoa học độc lập.
*) Tài liệu học tập
1 Nguyễn Phú Lộc (2008), Lịch sử toán học, NXB Giáo dục.
2. Nguyễn Anh Tuấn (2000), Bài giảng lịch sử toán học, ĐHSP Thái Nguyên.
*) Câu hỏi, bài tập, nội dung ôn tập và thảo luận
1.1. Bằng phương pháp Ai cập, hãy thực hiện các phép toán sau
22.32; 1998:33.
1.2. Dung quy tắc đặt sai hãy giải hệ phương trình sau đây
2 2
100
3
4
x y
x y

+ =


=


.
1.3. Theo bạn thì thành tựu nào của nền toán học Babylon là có ý nghĩa nhất, tại sao?
1.4. Các nhà toán học Babylon đã phát hiện ra các bộ số Pythagoras theo quy tắc nào? Quy tắc
đó đúng hay không, hãy kiểm chứng?
1.5. Hãy cho biết dạng phương trình bậc ba nào người Babylon có thể giải được bằng bảng?
1.6. Người Ai Cập cổ đã tính thể tích hình chóp cụt đáy là hình vuông bằng cách nào? Hãy cho
biết bài toán tính thể tích hình chóp cụt đáy là hình vuông của họ mà được tìm thấy.

4
CHƯƠNG 2
Giai đoạn toán học sơ cấp
Số tiết: 15 (Lý thuyết: 12 tiết; bài tập, thảo luận: 03)
*) Mục tiêu:
- Sinh viên hiểu được hoàn cảnh lịch sử, tình hình phát triển và các nét chính của giai đoạn toán
học sơ cấp Hy Lạp cổ đại, Hy Lạp thời kỳ Elinit, Hy Lạp thời kỳ đô hộ La Mã, toán học sơ cấp
Trung Quốc, Ấn Độ, Trung Á- Cận Đông, Châu Âu.
- Sinh viên biết được sự phát triển của toán học sơ cấp ứng với từng vùng, miền. Qua đó vận
dụng các kiến thức đã học tìm hiểu về các nhà toán học có đóng góp lớn đối với môn đại số, giải
tích, hình học.
- Sinh viên tích cực, chủ động tham gia các hoạt động của môn học, có năng lực tự học cao, có
phương pháp học tập tích cực sáng tạo.
2.1. Hoàn cảnh lịch sử xã hội
+ Thời gian:
Diễn ra rất lâu dài (khoảng 20 thế kỷ) từ thế kỷ VII
-
-V
-
đến thế kỷ XV-XVI.
+ Chế độ chính trị
Chiếm hữu nô lệ (Hy Lạp- La Mã), phong kiến (Trung Quốc, Ấn Độ, Châu Âu).
+ Tôn giáo
Đa tôn giáo ( Hy Lạp- La Mã), Phật giáo ( Trung Quốc- Ấn Độ), Thiên chúa giáo ( Châu
Âu).
+ Triết học: Cổ Hy Lạp, phương Đông,
+ Giao lưu văn hóa
Ở Hy Lạp - La Mã - Ấn Độ -Trung Á Cận Đông và Châu Âu có sự di chuyển và ảnh
hưởng lẫn nhau còn ở Trung Quốc thì mang tính độc lập tương đối.
2.2. Đặc điểm chung của giai đoạn toán học sơ cấp

+ Cùng với những bài toán thực dụng, người ta đã nghiên cứu những hệ thống khái niệm
cơ sở của từng ngành toán học riêng biệt. Những hệ thống khái niệm này khái quát hóa thành tựu
toán học đã đạt được và phản ánh quy luật khách quan của tư duy toán học loài người.
+ Toán học trong giai đoạn này đã trở thành một khoa học suy diễn (những lý thuyết toán
học được trừu tượng hóa từ những bài toán cụ thể hoặc từ những bài toán cùng loại, tạo ra
những tiền đề cần thiết và đầy đủ cho việc nhận thức tính độc lập của toán học).
+ Toán học được xem như một hệ thống suy luận logic xuất phát từ một số mệnh đề cơ
bản (tiên đề) được coi là đúng (dựa trên cơ sở thực nghiệm) rồi rút ra những kết quả khác bằng
đường lối suy luận logic chặt chẽ.
+ Về cơ bản, toán học nghiên cứu các đại lượng không đổi, các quá trình tĩnh tại.
+ Sự phát triển của toán học chịu ảnh hưởng khá rõ rệt của chế độ chính trị, tôn giáo,
chiến tranh, và toán học mang đậm nét tư tưởng văn hóa xã hội. Do đó toán học sơ cấp mang
tính di chuyển theo vùng địa lý: từ Hy Lạp – La Mã; Ấn Độ
→
Trung Á- Cận Đông
→
Châu
Âu.
2.3. Toán học sơ cấp ở Hy Lạp cổ đại
2.3.1. Hoàn cảnh lịch sử xã hội
5
- Thời gian: Từ rất sớm khoảng thế kỷ VII
-
- Chế độ chính trị: Cổ Hy Lạp là một tập đoàn quốc gia chiếm hữu nô lệ lớn có nền kinh
tế phát triển với công cụ sản xuất bằng kim loại.
- Tôn giáo: Đa tôn giáo.
- Triết học cổ Hy Lạp.
- Giao lưu: có quan hệ về văn hóa và thương mại với Ai Cập, Ba tư và Babilon.
2.3.2. Tình hình phát triển
Sớm hình thành ở Iôni một khoa học chung bao gồm: triết học, toán học, vật lý học, hóa

học, thiên văn học, y học, Trong đó có ba trường phái lớn về khoa học tự nhiên - toán học - triết
học.
2.3.2.1. Trường phái Iôni (Thể kỷ VII
-
- VI
-
) do Talet (639
-
- 548
-
) lãnh đạo
Với quan niệm triết học ‘‘Nhất nguyên luận: mọi vật đều do nước sinh ra”: chẳng hạn đất
do nước đặc lại, còn không khí do nước loãng ra
Nghiên cứu toán học để phục vụ triết học:
Với mục đích triết học, trong nghiên cứu toán học, Talet đã yêu cầu không chỉ phát biểu
các mệnh đề mà cần phải chứng minh. Chẳng hạn, trường phái này đã chứng minh những mệnh
đề sau:
+ Đường kính chia đường tròn thành 2 phần bằng nhau.
+ Các góc ở đáy của tam giác cân thì bằng nhau.
+ Các góc vuông bằng nhau.
+ Hai tam giác có một cạnh bằng nhau kề với 2 góc bằng nhau từng đôi một thì bằng
nhau (hai tam giác bằng nhau theo trường trường hợp: cạnh – góc - cạnh).
+ Góc nội tiếp trong nửa đường tròn là góc vuông.
+ Định lý Talet: về các đoạn do các đường thẳng song song định trên hai cát tuyến
Có thể nói: Talet là người mở đường xây dựng toán học trở thành một khoa học mang
tính lý thuyết nhất so với khoa học khác.
2.3.2.2. Trường phái Pitago ( Thế kỷ VI
-
- V
-

) do Pitago ( 569
-
-470
-
) lãnh đạo
Là một trường phái triết học nghiên cứu toán học với mục đích chính trị, mang màu sắc
tôn giáo: đặt cơ sở cho một trật tự vĩnh hằng, lấy thứ tự và quan hệ giữa các con số để biện minh.
Coi con số là gốc của thế giới: ‘‘Mọi quan hệ đều là quan hệ số”, ‘‘Số 1 là do thượng đế sáng
tạo ra, các số khác do con người sang lập ra”.
Dùng con số để giải thích thế giới: Số lẻ đầu tiên (3) là số nam, số chẵn đầu tiên (2) là số
nữ
⇒
số 5 = 2 + 3 biểu thị cho sự kết duyên; số 7 biểu thị cho sức khỏe; số 8 đặc trưng cho tình
yêu, Họ tôn thờ con số, coi con số là thần linh đã sáng tạo ra cả loài người, thậm chí đã xuyên
tạc cả kiến thức thiên văn đương thời. Để nêu lên tính chất thần linh và đẹp đẽ của số 10, ngoài 8
cầu thể đã biết là sao Kim, Mộc, Thủy, Hỏa, Thổ, mặt trời, trái đất, mặt trăng, họ đã tưởng tượng
ra ‘‘đối mặt đất” và quan niệm cả 9 cầu thể đó chuyển động xung quanh ‘‘trung tâm lửa” theo
một chu kỳ gọi là ‘‘năm vũ trụ”.

Tư tưởng mê tín con số vẫn còn đến ngày nay: đến thế kỷ XVI ở Châu Âu
vẫn có người đeo ‘‘Bảng số thiêng liêng” (Hình 2.1) làm bùa chống dịch tả. Thói
quen kiêng sợ số 13, ‘‘chớ đi ngày 7, chớ về ngày 3”, chọn ngày chẵn, lẻ
Trường phái Pitago đã có những đóng góp về mặt toán học:
6
4 9 2
3 5 7
8 1 6
Hình 2.1
Tính tổng cấp số cộng:
1

(2 1)
n
k
k n
=
− =
∑
2
; Nghiên cứu các tỷ số: số học a-b = c - d; hình
học a: b=c:d; điều hòa
1 1 1 1
a b c d
− = −
(là những hình thức đầu tiên của trung bình cộng; trung
bình nhân và trung bình điều hòa); Nghiên cứu về các đa diện đều, đa giác đều (bài toán lấp đầy
không gian bằng một hệ thống hình lập phương). Thành tựu quan trọng nhất là định lý Pitago
trong tam giác vuông (c
2
= a
2
+ b
2
) mà từ đó dẫn đến việc phát hiện ra số vô tỷ
2
của Ơđôc
( 408
-
- 355
-
).

2.3.2.3. Trường phái Aphin (nửa sau thế kỷ V
-
) do Hypocrat (?-450-?) lãnh đạo
Hypocrat hệ thống các kiến thức hình học để viết tập ‘‘Cơ bản” ở Khiôt (450
-
- 430
-
).
Trong đó: các phương pháp chứng minh hình học được nghiên cứu và hoàn thiện; Khảo sát định
lý Pitago và các bất đẳng thức trong tam giác không vuông; đặc biệt là trình bày những nghiên
cứu về ba bài toán nổi tiếng.
Lịch sử của 3 bài toán đã có từ khá lâu. Song đến tận đầu thế kỷ XIX, bằng những thành
tựu của đại số cao cấp thì các bài toán này mới được giải quyết trọn vẹn. Người ta chứng minh
được là không thể giải quyết 3 bài toán trên thuần túy bằng hình học (nhờ một số hữu hạn các
phép dựng đường thẳng và đường tròn).
Có thể giải gần đúng các bài toán đó nhờ việc đưa ra công cụ là các thiết diện cônic, các
đường cong bậc 3, bậc 4, đường cong siêu việt Quadra trixơ. Đồng thời, chúng cũng liên quan
đến toán hiện đại, đến lĩnh vực số vô tỷ, số đại số và lý thuyết nhóm.
Hypocrat (450
-
) đã giải bài toán ‘‘Gấp đôi hình lập phương” (thường gọi là bài toán
Đenphi): Dựng một hình lập phương có thể tích gấp đôi một hình lập phương cạnh a đã cho
(Tương truyền rằng xuất phát của bài toán này là do lời sấm buộc phải tăng gấp đôi thể tích đàn
tế dựng ở đảo Đêlôt). Từ V’ = 2a
3
đã dẫn đến giải phương trình bậc ba x
3
= 2a
3

⇒
cần dựng đoạn
thẳng x=a.
3
2
. Đây là một trong những nguyên nhân khiến cho thiết diện conic trở thành một
phương tiện để giải các bài toán không thể thực hiện được bằng thước và compa.
Hypocrat (420
-
) đã giải quyết bài toán ‘‘chia ba một góc”: Dùng thước và compa chia 1
góc bất kì thành 3 góc bằng nhau. Bài toán này dẫn đến việc giải phương trình bậc 3 biểu thị
dưới dạng lượng giác: cos
4cos
ϕ
=
3
3cos
3 3
ϕ ϕ
−
hay a = 4x
3
-3x. Ông đã sử dụng một đường
cong đặc biệt (mà sau này gọi là Quadratrixơ) làm phương tiện.
Đinostrat (350
-
) dùng đường Quadratrixơ để giải quyết bài toán ‘‘cầu phương trình tròn”:
Dựng một hình vuông có diện tích bằng diện tích của một hình tròn đã cho. Do bản chất siêu
việt của bài toán này (cạnh của hình vuông bằng x= R
π

) nên không thể cầu phương chính xác
được hình tròn bằng thước và compa. Mãi đến cuối thế kỷ XVIII Lambe và Lagrange mới chứng
minh được tính siêu việt của số
π
và gần cuối thế kỷ XIX, Lơđơman mới chứng minh được số
π
là số siêu việt (không thể là nghiệm của bất kỳ phương trình đại số nào với hệ số nguyên).
Song những nỗ lực khi giải bài toán này lại đem đến cho toán học nhiều sự kiện và phương pháp
mới: phương pháp sơ khai về giới hạn (phương pháp ‘‘tát cạn”). Hypocrat đã sử dụng các hình
trăng (giới hạn bởi các cung tròn) và tính diện tích theo cách gần đúng (dùng thước và compa
dựng các hình tương đương giới hạn bởi các đoạn thẳng). Từ đó phát triển xu hướng tính gần
đúng diện tích hình tròn bằng các đa giác nội tiếp hoặc ngoại tiếp, tính gần đúng số
π

7
Platon (427
-
- 347
-
): Lãnh đạo trường phái triết học phản động duy tâm chủ quan của viện
hàn lâm khoa học Aten, ông quan niệm: ‘‘Điều kiện để nghiên cứu triết học, để nắm được quy
luật thiên nhiên là phải có kiến thức toán học”. Platon treo biển trước cửa viện ‘‘Ai không hiểu
hình học, miễn vào!”. Trường phái Platon cho rằng: Toán học quan trọng không phải ở áp dụng
thực tế, mà là để hiểu ‘‘ý trời”; Toán học là thứ tiêu khiển riêng của giới thượng lưu, quần
chúng lao động không cần biết đến.
Ông nhấn mạnh vai trò của hình học không gian, nghiên cứu tìm ra 5 khối đa diện đều
(còn gọi là ‘‘Vật thể Platon” vì gắn với 5 yếu tố: lửa, nước, không khí, đất và thượng đế). Ông
quan niệm: chân lý của toán học là các định lý.
Quy luật Platon tìm bộ ba số Pitago nguyên tố cùng nhau: x=4p
2

-1, y= 4p,z= 4p
2
+1 (trong
đó x và z là hai số lẻ liền nhau).
Aristôten (384
-
-322
-
): Là một trong những nhà tư tưởng lớn ở thời kì cổ đại. Tác phẩm:
‘‘Triết học và khoa học tự nhiên’’ của ông đã đề cập đến những nguyên tắc cơ bản cần tôn trọng
để xây dựng - một hệ thống suy diễn: giải thích về bản chất của tiên đề, định đề, định nghĩa, giả
thuyết và chứng minh. Với quan điểm toán học này, ông chống lại quan niệm của Platon. Những
quan điểm toán học của ông về sau của ông đã được Ơclit sử dụng.
Zenon ( 450
-
) đã đưa ra một số nghịch lý liên quan đến tính vô hạn.
Do những kiến thức toán học đương thời không đủ giải thích những quá trình vô hạn nên
Zenon đã đưa ra một số nghịch lý mà nổi tiếng nhất là:
+ Không thể có một chuyển động nào cả vì đường đi có thể chia nhỏ vô hạn (chia đôi
mãi) nên cần phải vượt qua một tập hợp vô hạn những phần nhỏ của con đường (thực chất là
chưa hình dung được
1
2
1
k
k
∞
=
∑
=1).

+ Lực sĩ chạy nhanh Asin trong thần thoại Hy lạp cũng không đuổi kịp một con rùa: vì
Asin luôn luôn phải đạt tới những vị trí mà con rùa vừa đi qua ( thực chất là chưa hình dung
được
1
1
(n 1)
1
k
k
n
n
n
∞
=
= ≠
−
∑
).
+ Mũi tên không thể bay được nếu thời gian được xem như là tổng các khoảnh khắc ngắn
ngủi, mà trong mội khoảnh khắc đó thì mũi tên đứng im.
2.3.3. Kết luận về toán học sơ cấp ở Hy Lạp cổ
Nếu như vào thời kì trước, toán học ở Ai Cập- Babilon còn mang nặng tính chất thực
nghiệm, chưa xây dựng các lý thuyết tổng quát thì các nhà toán học Hy Lạp không dừng lại ở
câu hỏi: ‘‘Làm thế nào ?’’ mà đã tìm hiểu ‘‘Tại sao ?’’ lại làm được như vậy ! Ở Hy Lạp cổ đại
đã có những cống hiến đặc biệt to lớn về khoa học tự nhiên và toán học. Đặc biệt, nền toán học
sơ cấp Hy Lạp cổ có những kiến thức căn bản về kiến thức toán học với trình độ trừu tượng khá
cao, với suy luận logic trong trình bày. Ăng ghen cho rằng: ‘‘Nếu khoa học tự nhiên muốn tìm
hiểu lịch sử phát sinh và phát triển của những lý thuyết tổng quát hiện nay, thì nhất thiết phải
quay trở về Hy Lạp ’’.
2.4. Toán học sơ cấp Hy Lạp ở thời kỳ Elinit

2.4.1. Hoàn cảnh lịch sử
Ở thời kỳ này, trong khoảng thời gian từ cuối thế kỷ IV
-
đến thế kỷ I
-
, toán học phát triển
trong điều kiện về chế độ chính trị xã hội: kết hợp tốt đẹp giữa nhu cầu thực tiễn và sự phát triển
8
của toán học. Về tôn giáo: đa tôn giáo, về triết học: cổ Hy Lạp. Lúc này ở Hy Lạp đó có sự giao
lưu văn hóa, phát triển thương mại mà điển hình là trung tâm khoa học Alecxanđri (Ai Cập).
2.4.2. Tình hình phát triển
2.4.2.1. Ơclit (330
-
-275
-
)
Là nhà toán học nổi tiếng nhất vào thời kỳ này. Ông đã trả lời hoàng đế Ptoleme I (306
–
283
-
): ‘‘Trong hình học không có con đường dành riêng cho nhà vua’’(!)
Ông viết bộ ‘‘cơ bản’’ gồm 13 quyển ( được đánh giá như một ‘‘ vì tinh tú’’ sáng chói
trên bầu trời toán học!) với nội dung không nhằm thống kê mọi kiến thức toán học đương thời
mà trình bày các cơ sở của toán học một cách logic (kiểu tiên đề), tập trung vào 3 vấn đề chính:
+ Lý thuyết tỉ số của Ơđoc.
+ Lý thuyết vô tỷ của Talet.
+ Lý thuyết về 5 khối đa diện đều.
Trong đó có 3 định đề đầu nói về thước và compa và đặc biệt, định đề 5 ‘‘Qua một điểm
đã cho ngoài một đường thẳng cho trước, kẻ duy nhất được một đường thẳng song song với
đường thẳng cho trước’’ bị nhiều nhà toán học thời kỳ sau nghi ngờ có thể suy ra được từ những

tiên đề còn lại. Nhưng đây cũng chính là tiền đề cơ sở để tìm ra hình học phi Ơclit vào năm 1826
(Lobasepki).
Quyển 1: Các phép tính toán góc, đoạn thẳng, tính chất của các hình tam giác, hình chữ
nhật, hình bình hành. So sánh các diện tích. Định lý Pitago thuận và đảo.
Quyển 2 : Xét tương quan giữa diện tích hình vuông và hình chữ nhật. Từ đó sử dụng
công cụ hình học để giải một số phương trình bậc hai.
Quyển 3 : Tính chất hình tròn, đường tròn, tiếp tuyến, góc nội tiếp,
Quyển 4 : Tính chất đa giác đều nội tiếp, ngoại tiếp. Dựng các đa giác đều 3,5,6 và 15
cạnh đều.
Quyển 5 : Lý thuyết tổng quát về các tỷ lệ của Ơđoc (số thực - nhát cắt Đơđêkin)
Quyển 6 : Ứng dụng lý thuyết tỷ số vào hình học phẳng.
Quyển 7, 8, 9 : Lý thuyết số hữu tỷ: phép chia hết, cấp số, số nguyên tố,
Quyển 10: Sự phân loại số vô tỷ, phương pháp tát cạn, bộ 3 số Pitago, đoạn thẳng thông
ước, vô ước.
Quyển 11, 12, 13: Về hình học không gian: tính vuông góc, tính song song, góc, tỷ lệ thể
tích giữa hình hộp và hình lăng trụ, tỷ lệ thể tích của hình chóp, hình lăng trụ, hình nón, hình
cầu, hình trụ. Chỉ ra 5 khối đa diện đều (4, 6, 8, 12, 20 cạnh) và chứng minh không còn khối đa
diện đều nào nữa.
Tuy còn một số hạn chế song bộ ‘‘cơ bản’’ là cơ sở cho mọi tìm tòi về hình học và là cơ
sở cho các giáo trình hình học ở bậc học phổ thông cho đến ngày nay. Nghiên cứu bộ ‘‘cơ bản’’
là một việc làm có ích cho mọi người làm toán.
2.4.2.2. Acsimet (287
-
-212
-
)
Là nhà bác học Hy Lạp vĩ đại nhất trong thời kỳ Elinit, với các câu nói nổi tiếng như
‘‘Ơreca !’’, ‘‘hãy cho tôi một điểm tựa, tôi sẽ đẩy cả trái đất lên !’’, ‘‘không được đụng vào các
vòng tròn của ta !’’
Ông có nhiều đóng góp nghiên cứu trong các lĩnh vực toán học, vật lý học, cơ học, thiên

văn học Đặc biệt về toán học, để giải bài toán tìm diện tích, thể tích, ông đã đưa ra phương
9
pháp ‘‘tát cạn’’ - một phương pháp mà về sau làm cơ sở cho phép vi - tích phân ở thế kỷ XVI-
XVII (như vậy có thể nói tư tưởng của ông đã vượt lên trước thời đại tới 20 thế kỷ !).
Ông chủ trương tăng cường vận dụng lý thuyết vào thực hành, xây dựng hệ thống ghi số
(với các số lớn tùy ý: chẳng hạn bài toán lấp đầy vũ trụ bằng 10
63
hạt cát), viết 10 tác phẩm lớn
về toán học: cầu phương Parabol, về phương pháp cơ học để giải bài toán hình học, về hình cầu
và hình trụ, đo đường tròn
2.4.2.3. Apoloniut (262
-
-200
-
)
Ông viết 8 quyển sách về ‘‘thiết diện conic’’ (tạo ra do cắt mặt nón bằng một mặt phẳng
ngang, đứng hoặc xiên) và là người đã đặt tên cho chúng là Elip, Parabol, Hypebol, tạo cơ sở cho
hình học giải tích về sau ; Quỹ tích đường tròn Apoloniut
2.4.3. Kết luận về toán học sơ cấp ở Hy Lạp thời kỳ Elinit
Bộ mặt toán học Hy Lạp đã thay đổi mạnh mẽ cả về hình thức lẫn nội dung. Các lý thuyết
toán học quan trọng được hình thành, đa số các lý thuyết có đối tượng hình học. Mặc dù vậy,
trong phạm vi thực tiễn, người Hy Lạp cổ đã áp dụng nhiều phương pháp tính toán số học (tuy
còn ở mức độ thấp). Đặc tính này tồn tại trong thời gian dài. Có thể nói đây là thời kỳ nở hoa của
nền toán học Hy Lạp.
2.5. Toán học sơ cấp Hy Lạp vào thời kỳ đô hộ của La Mã
2.5.1. Hoàn cảnh lịch sử
Ở thời kì này, trong khoảng thời gian từ cuối thế kỷ II
-
đến khoảng thế kỷ XII, toán học
Hy Lạp phát triển trong một thể chế xã hội bị La Mã chiếm đóng với chế độ xã hội từ chiếm hữu

nô lệ chuyển sang xã hội phong kiến.
Tôn giáo chính là Thiên Chúa Giáo và triết học của nhà thờ La Mã. Trung tâm khoa học
vẫn ở Alêcxanđri (Ai Cập). Tiếng Hy Lạp thay dần bằng tiếng La tinh. Sự phát triển của toán học
chịu nhiều ảnh hưởng của xã hội, chiến tranh.
2.5.2. Tình hình phát triển
Hipac ( 180
-
- 125
-
)
Là người có nhiều công trình nghiên cứu về thiên văn (tính thể tích mặt trời, mặt trăng và
khoảng cách giữa chúng ). Ông đã lập ra bảng hàm số sin tính sẵn; nghiên cứu phép chiếu quả
cầu lên mặt phẳng
Menelaus( cuối thế kỷ I

sau công nguyên)
Là người mở đầu nghiên cứu môn tam giác lượng cầu; tìm ra hệ thức về tính chất của tứ
giác toàn phần phẳng và cầu (tạo bởi 4 đường thẳng: trong đó mỗi đường cắt 3 đường còn lại tại
3 điểm - tạo bởi 4 cung tròn );
Ptoleme (85 - 165)
Là người viết bộ ‘‘Almagest” gồm 13 quyển, tổng hợp các kiến thức về thiên văn và tam
giác lượng (phẳng - cầu). Ông lập ra bảng dây cung (bảng sin) từ 0
°
→
180
°
cách nhau 30’ chính
xác tới 5 chữ số thập phân; Nghiên cứu phương pháp tọa độ sơ khai (đưa ra khái niệm độ cao và
độ lệch để chỉ một địa điểm),
Herong (75 - 150)

Ông sống ở Alecxandri, viết bộ sách “Đo đạc” theo cách mới: phát biểu quy tắc cho
những bài toán xác định, củng cố bằng ví dụ để chứng minh quy tắc. Cuốn sách này đóng vai trò
“ Bách khoa toàn thư” cho các kỹ sư trong thực hành.
10
Những trình bày toán học của ông nghiêng về tính toán bằng số đúng và số gần đúng diện
tích các hình, thế tích các khối (trong đó có công thức tính diện tích tam giác theo 3 cạnh
S=
( )( )( )p p a p b p c− − −
với p là nửa chu vi); Giải phương trình bậc hai bằng số; Khai căn
bậc 2,3 gần đúng. Như vậy, Herong đã phát triển toán học tính toán lên một mức độ cao: thoát
khỏi cách giải bài toán nhờ đại số - hình học mà nêu kết quả bằng số cụ thể, áp dụng thuận lợi
vào thực tiễn.
Điophang (210 - 290)
Là người đã viết bộ “Số học” gồm 13 quyển (nay chỉ còn lưu lại 6 quyển) trình bày các
yếu tố ban đầu của môn đại số, các kí hiệu, cách giải phương trình bậc 2, 3. Ngoài ra, ông còn
nghiên cứu giải phương trình vô định (còn gọi là phương trình Điôphăng): Tìm nghiệm nguyên
hoặc hữu tỷ của phương trình đại số vô định với hệ số nguyên; lý thuyết số: phương pháp xấp xỉ
Điôphăng, lí thuyết số siêu việt, giải bằng số nguyên các bất phương trình với hệ số thực.
Có thể coi ông là cha đẻ của môn đại số học.
Sau đó, ở cuối giai đoạn này, toán học Hy Lạp- La Mã rơi vào thoái trào, suy tàn. Các
nhà toán học chủ yếu đi vào bình luận, phê phán, tu chỉnh các tác phẩm đã có. Điển hình có thể
kể đến :
Pap (cuối thế kỷ III+)
Ở Alêcxandri, ông tìm hiểu những sai lầm và phê phán các tác phẩm của Ơclit, Ptôlêmê
Hipatia (370-415)
Là nhà toán học nữ lãnh đạo trường phái toán học ở Alecxanđri, bà bình luận các tác
phẩm “Alamgest” của Ptoleme, các tác phẩm của Điôphăng, Apoloniut Hipatia đã bị giới tu sĩ
phản động của nhà thờ La Mã kết án “phanh thây” vào năm 415
+
.

Prooclus (410-485): bình luận Bộ “cơ bản” của Ơclit.
Butokios (VI
+
): Bình luận các tác phẩm của Acsimet và Apoloniut.
2.5.3. Kết luận về toán sơ cấp Hy Lạp vào thời kì đô hộ của La Mã
Do ảnh hưởng của chế độ chính trị xã hội mà tính chất của toán học bị thay đổi; nặng về
thực hành, về cuối thời kì chủ yếu là bình luận các tác phẩm đã có. Các phương pháp và các bài
tính toán ngày càng chiếm vị trí quan trọng. Xuất hiện môn tam giác lượng gắn liền với những
nghiên cứu về thiên văn.
* Kết luận chung về toán học sơ cấp ở Hy Lạp – La Mã
Toán học sơ cấp Hy Lạp-La Mã đánh dấu bước đầu tiên của sự phát triển toán học thành
một khoa học suy diễn. Các nhà toán học Hy Lạp - La Mã là những người đầu tiên có quan niệm
rõ ràng về hệ thống toán học, về yêu cầu chính xác chặt chẽ trong toán học. Nhiều lý thuyết toán
học quan trọng được hình thành. Những di sản kinh điển của các nhà toán học cổ Hy Lạp-La Mã
như Ơclit, Acsimet, Apoloniut, Ptoleme, Điophang là nguồn gốc chủ yếu của các tư tưởng toán
học mới.
Qua nghiên cứu toán học cổ Hy Lạp, ta thấy những mâu thuẫn cơ bản của toán học đã lộ
rõ: rời rạc - liên tục, hữu hạn - vô hạn, số - hình, riêng - chung, cụ thể - trừu tượng, Đó là
những động lực thúc đẩy toán học không ngừng tiến lên trên con dường khai quát hóa, trừu
tượng hóa.
Nhược điểm căn bản của nền toán học Hy-Lạp là xa rời thực tiễn, lý thuyết tách với thực
hành, bó hẹp toán học trong hình thức hình học, gói gọn trong một nhóm trí thức thượng lưu,
11
Đó là do những đặc điểm của xã hội chiếm hữu nô lệ, của triết lí duy tâm, siêu hình Mặt khác
còn do ảnh hưởng của chiến tranh liên miên làm gián đoạn, tàn phế toán học.
2.6. Toán học sơ cấp ở Trung Quốc
2.6.1. Hoàn cảnh lịch sử
Khoa học ở Trung Quốc có một lịch sử lâu đời: Các hình vẽ trên một số đồ gốm đời
Thương (khoảng thế kỉ XV
-

) đã chứng tỏ người Trung Quốc đã biết dùng compa (quy) và eke
(củ) để vẽ các hình hình học. Chịu ảnh hưởng rõ rệt của chế độ phong kiến “bế quan tỏa cảng”,
ít có sự giao lưu với các vùng khác nên toán học Trung Quốc mang bản chất đặc biệt, phát triển
tương đối độc lập.
2.6.2. Tình hình phát triển
Người Trung Quốc đã sử dụng rất sớm một hệ thống ghi số thập phân bằng chữ tượng
hình không theo vị trí (chỉ để biếu diễn số, không dùng trong tính toán). Các phép tính toán dược
thực hiện trên bàn tính.
Hai cuốn sách của Trung Quốc là “Chu bể toán kinh” và “Cửu chương toán thuật” tuy bị
Tần Thủy Hoàng đốt nhiều lần (thế kỉ II
-
) nhưng về sau đã có người biên soạn lại. Trong sách
toán của Chu bể có chép rằng: những kiến thức đó có từ đời thượng Chu, tức là khoảng từ thế kỷ
XVIII
-
đến thế kỉ III
-
. Vào thế kỉ IV
-
, Mạch dịch (Mạc tử) đã định nghĩa: “ Đường tròn là hình từ
giữa ra đều bằng nhau”.
Qua đó, ta thấy trình độ toán học khá cao (đặc biệt là phương pháp giải một vài phương
trình đại số) của người Trung Quốc vào thời đó.
2.6.2.1. “Cửu chương toán thuật” của Trần Sanh
Sách “Cửu chương toán thuật” được viết lại nhiều lần, mỗi lần đều được bổ sung thêm
do các nhà toán học: Cảnh Thọ Xương (thế kỉ I
-
), Lưu Huy (III
+
), Trương Lương (thế kỉ VI), Lý

Thuần Phong (thế kỉ VII), Theo Lê Huy thì tác giả của “Cửu chương toán thuật” là Trần Sanh
(chết năm 152
-
). Trong các thế kỉ từ VII đến XII, “Cửu chương toán thuật” được dùng làm sách
giáo khoa và trở thành tác phẩm kinh điển cho những nghiên cứu về toán học cổ ở Trung Quốc.
“Cửu chương toán thuật” là cuốn từ điển toán học độc đáo cho những người thu thuế, ở
Trung Quốc xưa kia.Tác phẩm này trình bày rườm rà và có tính rập khuôn: gồm 9 chương, 246
bài toán. Bài toán nào cũng trình bày giả thiết rồi đến lời giải. Sau mỗi nhóm các bài toán có nêu
thuật tính để giải chúng. Thuật tính này gồm các quy tắc chung hoặc các phép tính thực hiện dần
dần trên những số liệu cụ thể - không có kết luận cho những quy tắc, những điều giải thích, các
định nghĩa và chứng minh. Nội dung tóm tắt như sau:
+ Chương I: Phép đo ruộng (Phương điền)
Sử dụng hệ thống ghi số thập phân tượng hình. Trình bày các phép tính số học với phân
số (đơn vị đo là một hình chữ nhật với các cạnh dài 15 và 16 bước, mỗi bước khoảng 133 cm).
Nêu các quy tắc tính diện tích một số hình phẳng (cả hình tròn) trong đó diện tích hình vuông,
hình chữ nhật được tính hoàn toàn chính xác. Diện tích hình viên phân được coi như diện tích
của hình thang có đáy lớn trùng với đáy viên phân, đáy nhỏ và chiều cao đều bằng chiều cao của
viên phân.
Khi tính diện tích hình tròn, hình quạt và hình vành khăn, người ta lấy
π
=3. Về sau, giá
trị số
π
ngày càng chính xác hơn: ở thế kỷ I
-
, Lưu Hàm tính được
3,1547
π
≈
; đến thế kỷ II,

Trương Hoành tính
10
π
=
, đặc biệt Lưu Huy (thế kỷ III) đã tính được số
π
khá chính xác:
π
≈
3,14159 ứng với đa giác đều 3072 cạnh (theo phương pháp tăng mãi số cạnh của đa giác đều
12
nội tiếp hình tròn khi tính diện tích hình tròn). Vào thế kỷ V, Tổ Sung Chi ( 430-501) đã cho
π
hai giá trị thích hợp là
22 355
à
7 133
v
(để dễ nhớ). Ông ước lượng
π
đến 7 chữ số thập phân:
3,1415426<
π
<3,1415927.
Ở Việt Nam từ đời xưa còn truyền lại quy tắc sau để tính đường kính của thân cây tròn từ
chu vi: “ Quân bát, phát tam, tồn ngũ, quân nhị” (tương ứng với giá trị
π
≈
3,16)
+ Chương II: Tỷ lệ giữa các loại thóc khác nhau

Lập bảng tỷ lệ đổi giữa các loại thóc và trình bày 31 bài toán các loại, mỗi loại tuân theo
một thuật toán riêng (phản ánh cách thu thuế thời xưa). Trong đó sử dụng quy tắc tam xuất và
chia tỷ lệ trên số nguyên hay phân.
+ Chương III: Phép chia theo bậc (suy phân)
Gồm các bài toán chia tỷ lệ và tỷ lệ ngược cũng như quy tắc tam xuất đơn và kép.
+ Chương IV: Thiếu quảng
Các quy tắc khai căn bậc 2 và bậc 3 viết dưới dạng: xác định cạnh hình chữ nhật biết
được tích và cạnh kia, xác định cạnh hình vuông theo diện tích, xác định cạnh hình lập phương
theo thể tích, xác định đường kính hình tròn, hình cầu
+ Chương V:
Các bài toán ước tính các công trình: đo thể tích, kích thước cần thiết khi xây dựng, đào
hố, đắp đê, pháo đài, với những hình thù khác nhau. Trong đó sử dụng một số công thức tính
thể tích các khối vật thể khác nhau.
+ Chương VI: Phân phối tỷ lệ (quân thân)
Gồm một loạt bài toán tính số lượng thóc phải cung cấp cho các huyện theo những điều
kiện ngày càng phức tạp ; Các bài toán tính quãng đường hoặc thời gian để 2 người đi ( cùng hay
ngược chiều) gặp nhau. Trong đó thú vị nhất là bài toán về cấp số cộng, tính tổng của các cấp số
cộng riêng biệt; Tính công chung của nhiều người có năng suất lao động khác nhau,
+ Chương VII: Thừa thiếu
Gồm các bài toán dẫn tới các phương pháp giải phương trình tuyến tính và hệ hai phương
trình bậc nhất hai ẩn (giống như phương pháp giả hai lần trong số học).
+ Chương VIII: Giải ma trận
Nêu thuật toán tổng quát để giải hệ thống phương trình tuyến tính nhiều ẩn. Trong đó, lần
đầu tiên trên thế giới người Trung Quốc đã phát minh ra cách giải ma trận (ở Châu Âu đến tận
thế kỷ XVII, Lepnit mới xây dựng được các định thức tương tự như vậy để giải). Trong quá trình
biến đổi ma trận, người Trung Quốc đã đưa ra số âm. Vì mọi phép tính kể cả phép biến đổi ma
trận đều được thực hiện trên bàn tính nên để kí hiệu các số âm, người ta dùng đũa tính có màu
sắc hoặc hình dạng khác nhau.
+ Chương IX:
Gồm các bài toán xác định khoảng cách và chiều dài không tới được nhờ định lí Cao

Thương (định lí Pitago) và nhờ tính chất của các tam giác đồng dạng. Chương này đặc biệt có
giá trị đối với việc hình thành các quy tắc chung của đại số. Trong đó có bài toán dẫn đến
phương trình bậc hai đủ mà quy tắc giải chúng tương đương với phương thức thường dùng ngày
nay. Phương pháp tìm ba bộ số Cao Thương: tìm được nghiệm nguyên của phương trình
x
2
+y
2
= z
2
là x =
αβ
; y =(
α
2
-
β
2
) /2; z = y = (
α
2
-
β
2
) /2 (kết quả này người cổ Ai Cập, Babilon
cũng đã biết).
13
Qua bộ sách “Cửu chương toán thuật”, ta thấy rằng, từ xa xưa, người Trung Quốc đã xây
dựng được nhiều qui tắc tính toán với các số lớn trong thực hành, biết lập ra các bảng tính toán
sẵn (nhân, chia, bình phương, lập phương, khai căn bậc 2 và bậc 3, ). Toán học Trung Quốc

phát triển theo hướng tính toán bằng thuật tính, tạo nên được những yếu tố cơ bản cho phương
pháp đại số để giải các bài toán (phương hướng này còn kéo dài đến giữa thế kỉ XIV).
2.6.2.2 “Tôn tử toán kinh”của Tôn Tử (đầu thế kỉ III
+
)
“Tôn tử toán kinh” bao gồm những bài toán của lí thuyết số đã xuất hiện như là sự mở
rộng các bài toán số học; bài toán giải hệ phương trình đồng dư tuyến tính với mô đun nguyên tố
với nhau từng đôi một. Sau này, Châu Loan (thế kỉ VI) đã hiệu đính cách phải và đưa vào bài
toán “Hàn Tín điểm binh” như sau:
“Bảo lính sắp hàng 3; hàng 5; hàng 7. Mỗi lần sắp xong thì đếm số lính ở hàng ngang lẻ
cuối cùng. Nhân số lẻ hàng 3 với 70; số lẻ hàng 5 với 21; số lẻ hàng 7 với 15 rồi cộng lại. Thêm
vào số tạo thành một bội số của 105 sẽ được số lính”.
Nếu gọi a;b;c lần lượt là số dư khi chia số lính cho 3; 5; 7 và x là số lính phải tìm thì thực
chất bài toán “Hàn Tín điểm binh” dẫn đến giải hệ phương trình đồng dư.
(mod3)
(mod5)
(mod7)
x a
x b
x c
≡


≡


≡

(I) với các mô đun 3; 5; 7 nguyên tố cùng nhau từng đôi một.
Do đó theo cách giải tổng quát ta có:

[3;5;7]= 3x 5 x 7 = 105
[5,7] = 35
1 1
35 1(mod3) 2N N⇒ ≡ ⇒ =
[3,7] = 21
⇒
21N
2
≡
1(mod 5)
⇒
N
2
= 1
[3,5] = 15
⇒
15N
3
≡
1 (mod 7)
⇒
N
3
=1
⇒
các thừa số phụ là 2,1,1
⇒
x
0
= 35.2.a+ 21.1.b+ 15.1.c = 70a+21b+15c

⇒
nghiệm của phương trình (I) là x
≡
70a +21b+15c (mod 105)
Cuối cùng “ Hàn Tín” tìm được x= 70a +21b+15c+ k.105.
Áp dụng giải toán “Tìm 1 số biết chia nó cho 3, 5, 7 lần lượt dư 2, 3, 2”, ta có:
Hệ phương trình:
2(mod3)
3(mod5)
2(mod7)
x
x
x
≡


≡


≡

. Giải ra được kết quả: x
≡
23 (mod 105)
Như vậy, nếu biết chừng số lính khoảng từ 800 đến 900 người thì Hàn Tín có thể tìm
được quân số trong trường hợp này là x = 863 người (ứng với k = 8).
Qui tắc giải trên còn được tóm tắt trong 4 câu thơ như sau (Hoàng Xuân Hãn dịch từ
tiếng Trung Quốc):
“3 người cùng đi ít bẩy chục
5 cỗi hoa mai hăm mốt cành

7 gã sum vầy vừa nửa tháng
Trừ trăm linh năm biết số thành”
2.6.2.3. “Số thư của chương” của Tần Cửu Thiều (thế kỉ XIII)
Ông đã tổng hợp và nâng cao kiến thức toán Trung Quốc cho đến thế kỉ XIII: Giải thích
chi tiết phương pháp tìm nghiệm hữu tỉ phương trình bậc 3 và 4 (tương đương với phương pháp
Hoocne được phát minh ở Châu  năm 1819).
14
Trong “Số thư cửu chương” có bài toán số học dẫn đến hệ phương trình đồng dư
32(mod83)
70(mod10)
32(mod35)
S
S
S
≡


≡


≡

với kết quả Giáp lấy 3192 hộc; Ất lấy 3192 hộc; Bính lấy 3192 hộc.
“Có một nhà mất trộm gạo. Nhà đó có 3 thùng gạo đầy và bằng nhau nhưng không biết
là bao nhiêu. Sau khi mất thì thấy thùng bên trái còn một hộc (đơn vị đo lường ở Trung Quốc),
thùng ở giữa còn một thăng 4 hộc, thùng bên phải còn một hộc. Về sau bắt được 3 tên trộm
Giáp, Ất, Bính. Giáp khai rằng: ban đêm sờ được cái gáo cho vào đong gạo ở thùng bên trái. Ất
khai rằng: đá phải chiếc giày gỗ, cho vào thùng ở giữa đong gạo. Bính khai rằng: vớ được cái
bát son , cho vào thùng bên phải đong gạo. Lấy về ăn lâu ngày, nên chúng quên mất không biết
là đã lấy bao nhiêu gạo. Tìm tang vật thì thấy: gáo đựng được một thăng 9 hộc; giầy gỗ đựng

được một thăng 7 hộc; bát son đựng được một thăng 2 hộc. Theo tang vật đoán xem mỗi tên đã
lấy bao nhiêu gạo? Biết rằng một thăng bằng 10 hộc”.
Một bài toán số học khác (thế kỷ III), (tương tự như bài toán “Trăm trâu, trăm cỏ” ở Việt
Nam) mà việc giải đưa về hệ phương trình vô định x+y+z = 100 và 5x+3y+
1
3
z = 100 với kết quả
có 3 nghiệm nguyên dương (4, 18, 78); (8, 11, 81) và (12, 4, 84): “Mua 100 con gà giá 100
đồng. Gà trống giá 5 đồng một con, gà mái giá 3 đồng một con, gà con giá một đồng 3 con. Hỏi
số gà mỗi loại mua được?”
2.6.2.4. Trương Cô (thế kỉ VI) và Dương Huy (thế kỉ XIII)
Đã phát triển những bài toán về giải tích tổ hợp; xây dựng tam giác hệ số nhị thức (tam
giác Pascan) từ thế kỉ XII; tính được tổng các cấp số
,k k
∑ ∑
2
,
2.6.3. Kết luận về toán học sơ cấp Trung Quốc
Mặc dù phát triển rất sớm nhưng chủ yếu theo phương hướng tính toán bằng thuật tính
đã làm cho toán học Trung Quốc không có sự xây dựng suy diễn, hệ thống. Áp lực của nền thống
trị phong kiến nặng nề làm cho toán học Trung Quốc phát triển chậm chạp và đình đốn dài kể từ
thế kỷ XIV. Mặt khác, sự liên hệ giữa Trung Quốc với các nước khác (Hy Lạp, La Mã, Ấn
Độ, ) rất ít nên những thành tựu toán học của Trung Quốc có tính độc lập tương đối: ít chịu ảnh
hưởng của nơi khác và cũng ít ảnh hưởng đến sự phát triển của toán học Châu Âu sau này.
2.7. Toán học sơ cấp ở Ấn Độ
2.7.1. Hoàn cảnh lịch sử
Toán học ở Ấn Độ phát triển rất sớm vào khoảng thế kỷ VIII
-
, VII
-

trước công nguyên;
Chịu ảnh hướng lớn của tôn giáo (Đạo Phật ra đời ở Ấn Độ vào khoảng thế kỷ V
-
); có ảnh hưởng
qua lại với toán học cổ Ai Cập, cổ Babilon và Hy Lạp- La Mã (do những hoạt động chiến tranh,
giao lưu buôn bán và truyền giáo )
2.7.2. Tình hình phát triển
Toán học sơ cấp ở đây phát triển sáng lạng vào khoảng từ thế kỷ V đến XI, với các tác
phẩm thường được lưu lại ở thể thơ.
Ariap Khata (cuối thế kỷ V):
Khi giải bài toán tính tiền lãi, ông đã đưa ra công thức nghiệm giải phương trình bậc hai
tx
2
+px+q = 0 giống hệt ngày nay!
Bramagupta (sinh năm 598): Sử dụng số
3; 10
π π
≈ ≈
15
Bkhatkara Akaria (sinh năm 1114): Sử dụng số
22 3927
;
7 1250
π π
≈ ≈
Khác với Hy Lạp, toán học Ấn Độ không có sự tách rời giữa lý thuyết và thực hành. Các
đóng góp lớn chủ yếu về lĩnh vực số học và đại số:
Người Ấn Độ đã biết sử dụng một hệ thống ghi số thập phân theo vị trí (vào thế kỷ I) và
sớm đưa số 0 vào tính toán ( ở thế kỷ V). Nhờ vậy mà toán học Ấn Độ có một tác dụng đặc biệt
to lớn (giúp cho toán học Châu Âu phát triển vào thế kỷ XVII, vì ở đây tới tận thế kỷ XIV vẫn

còn dùng chữ số La tinh, Hy Lạp rất bất tiện trong thực hành tính toán). Ở Ấn Độ, phương pháp
tính toán chiếm địa vị nổi bật, người ta sử dụng nhiều quy tắc tính toán thực hành ( nhất là quy
tắc tính ngược từ cuối); xây dựng nhiều phương pháp về lý thuyết số (tính các số tam giác
Pascan, các tổng
k
∑
,
2
k
∑
,
2
k
∑
).
Môn đại số học không chỉ nghiên cứu với phân số mà cả với số vô tỷ và số âm (xem đó là
số lỗ, món nợ). Người Ấn Độ cũng đã giải một loạt bài toán đại số, giải tích vô định và giải tích
tổ hợp.
Môn hình học hoàn toàn mang tính thực dụng: trực quan và nghiệm đúng. Trình độ phát
triển hình học ở Ấn Độ thấp hơn rất nhiều so với số học, đại số và lý thuyết số. Số
π
dần dần
chính xác:
π
≈
3
22 3927
10 ,
7 1250
π π π

→ ≈ → ≈ → ≈
Cùng với các kiến thức thiên văn, môn tam giác lượng rất phát triển: lập ra các bảng các
tỷ số thực nghiệm thiên văn, bảng tỷ số lượng giác (mà thực chất đã dùng đến các hàm số lượng
giác sin, cosin, )
2.7.3. Kết luận về toán học sơ cấp Ấn Độ
Do những đặc điểm kinh tế, tự nhiên, lịch sử và xã hội mà toán học ở Ấn Độ có đặc
điểm: các phương pháp tính toán bằng thuật tính rất có ưu thế; việc xây dựng hệ thống lý luận
suy diễn ít được chú ý; chủ yếu phát triển đại số và số học; hình học ít phát triển và mang tính
chất trực quan, nghiệm đúng.
2.8. Toán học sơ cấp ở Trung Á – Cận Đông
2.8.1. Hoàn cảnh lịch sử
Khoảng thế kỷ VII
+
, đế quốc Ả Rập thôn tính miền Tây Á, Ai Cập, Trung Á, tạo nên
một vùng đất rộng lớn chịu ảnh hưởng của Đạo Hồi (do Mahomet sáng lập), lấy tiếng Ả rập làm
ngôn ngữ chính, thông dụng. Về triết học là sự kết hợp giữa Hy Lạp và Ấn Độ. Do nhu cầu giao
lưu buôn bán, du lịch, truyền giáo, mà nhà nước đã ưu đãi các nhà khoa học, tạo điều kiện cho
họ nghiên cứu, dịch các sách của Ơclit, Acsimet, Apoloniut, Menelaus, Teolosin, Herong,
Ptoleme, Điophang, sang tiếng Ả Rập. Nhờ vậy, toán học ở đây có ảnh hưởng qua lại với toán
học Hy Lạp – La Mã và cả toán học ở Ấn Độ.
2.8.2. Tình hình phát triển
Toán học có sự hoạt động tích cực: Người ta xây dựng các phương pháp tính khác nhau
và các công cụ đo lường phục vụ cho nhu cầu thương mại, hành chính, trắc địa, thiên văn, soạn
lịch, Những thành tựu phát triển sáng tạo của toán học Trung Á - Cận Đông diễn ra vào khoảng
từ thế kỷ XII đến XV với các đóng góp lớn chủ yếu về lĩnh vực số học và đại số.
Mohamet Benmusa Ankhoretmi (787 – 850)
16
Ông đã viết 5 cuốn sách về số học, đại số, thiên văn, địa lí, soạn lịch. Là người đầu tiên
tách đại số ra khỏi số học và xét nó như một môn độc lập để nghiên cứu. Tác phẩm về số học,
đại số của ông được lấy làm SGK và được dùng trong khoảng 10 thế hệ, có ảnh hưởng vô cùng

to lớn đối với sự phát triển toán học về sau ở Châu Âu (đến thế kỷ XII cuốn sách này được dịch
ra tiếng La tinh và lấy tên của ông “Angiep”).
Trong đó, ông sử dụng hệ thống ghi số thập phân theo vị trí của người Ấn Độ và hệ cơ số
60 của người Babilon nên rất thuận tiện trong việc tính toán. Ông còn trình bày những phép tính
toán với số vô tỷ, phép giải phương trình bậc nhất và bậc hai, thậm chí cả cách giải một số
phương trình bậc 3 và 4.
Ancachi (thế kỷ XI)
Đưa ra nhiều công thức biến đổi căn thức vô tỷ, đặc biệt là công thức giản lược căn thức
bậc hai:
2 2
2 2
a a b a a b
a b
+ − − −
± = ±
(với a, b >0 và a
2
≥
b )
Ancasi (đầu thế kỷ XV)
Tính được số
π
với 17 chữ số thập phân với đa giác đều 3.2
28
cạnh (ở Châu Âu đến tận
1593 thì Viet mới tìm được
π
với 9 chữ số thập phân bằng đa giác 3.2
17
cạnh); Tìm ra phương

pháp để khai căn gần đúng (cơ sở là phép nội suy tuyến tính); Lập ra bảng hàm số lượng giác
chính xác đến 9 chữ số thập phân (ở Châu Âu hơn 100 năm sau - thế kỷ XVI mới đạt được trình
độ tương tự).
Naxiderin (1201 – 1274)
Với tác phẩm “ Tứ giác toàn phần”, ông đã nêu phương pháp giải tam giác phẳng, giải
tam giác cầu, giải các bài toán xác định cạnh của một tam giác cầu theo 3 góc (phục vụ trực tiếp
cho nghiên cứu thiên văn). Có thể nói, với Naxiderin, môn tam giác lượng đã đạt đến trình độ
gần như ngày nay (chỉ kém về mặt ký hiệu).
Khai am ( 1048 - 1123)
Cùng với Naxiderin, ông có nhiều đóng góp về hình học, đặc biệt là những cố gắng
chứng minh định đề 5 của Ơclit ( có thể coi họ là những bậc tiền bối về hình học phi Ơclit).
Ngoài ra, có thể thấy, các nhà toán học Trung Á - Cận Đông đã có những hiểu biết khá sâu sắc
về hình học.
2.8.3. Kết luận về toán học sơ cấp Trung Á – Cận Đông
Khoảng từ giữa thế kỷ XV trở đi, do những điều kiện xã hội, chiến tranh, rối loạn về
chính trị, bị kìm hãm bởi chế độ phong kiến và ách thực dân mà toán học ở Trung Á -Cận Đông
phát triển chậm chạp, thoi thóp và ngưng trệ. Tuy vậy, nền toán học ở đây có một tác dụng rất to
lớn đối với sự phát triển của toán học ở Châu Âu về sau này.
2.9. Toán học sơ cấp ở Châu Âu
2.9.1 Hoàn cảnh lịch sử xã hội
Toán học ở Châu Âu không có nguồn gốc từ cổ xưa: những thành tựu rõ rệt chỉ xuất hiện
vào cuối thời kỳ trung cổ (bắt đầu từ thế kỷ V đến đầu thế kỷ XVII) dưới chế độ phong kiến.
Vào đầu thời kỳ Phục hưng (thế kỷ XV – XVI), chế độ phong kiến ở Châu Âu tan rã. Giai cấp tư
sản xuất hiện đã tìm mọi cách phát triển sản xuất bằng cách thúc đẩy văn hóa, khoa học và kỹ
thuật (luyện kim có từ thế kỷ VIII đến thế kỷ XII đã rất phát triển, thủy tinh có từ thế kỷ X –
17
XIV với kỹ thuật mài nhẵn, sản xuất kính, gương , đồng hồ ở thế kỷ XI – XII, chế tạo thuốc
súng ở thế kỷ XIII, làm ra giấy viết ở thế kỷ XII đến thế kỷ XV đã in được sách, ).
Việc mở ra các trường học là tiền đề cho sự phát triển toán học ở Châu Âu. Vào cuối thế
kỷ X, trường học đầu tiên tại Pháp do cha đạo Ghecbec mở, trong đó dạy 4 môn triết học, toán

học, logic học và thiên văn học. Sau đó hàng loạt trường đại học được mở: Bôlônhơ, Xalecnô
(thế kỷ XII ở Ý); Pari (1167 ở Pháp ); Oxfox (1167 ở Anh), Cambơrit (1209 ở Anh); Praha
(1347 ở Sec); Viên ( 1365 ở Áo); Haiđenbec (1385 ở Đức); Lepzich (1409 ở Đức);
2.9.2. Tình hình phát triển
Trong các thế kỷ V – XI, trình độ hiểu biết về toán học ở Châu Âu rất thấp: không thấy
có những phát minh và công trình toán học quan trọng.
Phần lớn các kiến trúc khoa học mà Châu Âu tiếp thu được là nhờ việc dịch các tác phẩm
toán học từ tiếng Hy Lạp, Ả rập sang tiếng la tinh (khoảng thế kỷ XII – XIII). Ở cuối mỗi cuốn
sách không quên bảng hình vuông thiêng liêng (!) (trong đó tổng các số ở mỗi hàng ngang hay
dọc đều bằng nhau (xem hình 2.2)).
Từ thế kỷ XVI trở đi nền toán học Châu Âu phát triển trội hẳn lên do
những yếu tố xã hội và kinh tế: Các chuyến đi biển dài (phát hiện ra Châu Mỹ
1492, vòng quanh Châu Phi lần thứ nhất 1498, vòng quanh trái đất lần thứ nhất 1519, ); các
phát kiến mới về lý thuyết Thái dương hệ của Copecnic, Galile,
Thế kỷ XVI là thế kỷ đầu tiên mà khoa học ở Châu Âu đã vượt lên trên toán học phương
Đông và cổ đại với những thành tựu quan trọng về các lĩnh vực toán học, thiên văn và cơ học.
2.9.2.1. Leona Pinado (1170 - 1240)
Ông tên thật là Phibonaxi, là con của một thương gia nổi tiếng ở thành phố Pido (Ý).
Năm 1202, ông viết “Sách về bảng tính” gồm 15 phần, dày 459 trang có nội dung:
Trong 7 phần đầu, ông đưa ra các phép tính về số nguyên hệ thập phân và các phép tính
với phân số. Các phần 8 – 11 gồm các ứng dụng vào buôn bán: quy tắc tam xuất, chia tỷ lệ, các
bài toán xác định tuổi của tiền, Các phần 12 – 13 trình bày các quy tắc giả thử đơn và kép, tổng
các cấp số cộng, bình phương các số tự nhiên, tìm nghiệm nguyên các phương trình vô định bậc
nhất. Phần 14 dạy cách tính các căn thức bậc hai và bậc ba, các phép tính với các biểu thức vô
tỷ,
Ông trình bày vắn tắt các kiến thức về đại số giống như của Ankhoretmi và những bài
toán về tỷ số liên tục, những bài toán hình học ứng dụng định lý Pitago. Các kiến thức trình bày
ở cuốn sách này được tham khảo từ những sách toán bằng tiếng Ả rập.
Năm 1220, Leona viết cuốn sách “Hình học thực dụng” trình bày việc tính diện tích của
đa giác, thể tích các vật thể (kể cả hình cầu), một số bài toán lượng giác.

Đặc biệt, Phibonaxi có một công trình về lý thuyết số mang tên ông là: Dãy Phibonaxi: 0,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, Trong đó dãy số tăng này có tính chất: trừ số hạng a
0
= 0 và a
1
=1, kể
từ số hạng thứ 3 trở đi, mỗi số hạng bằng tổng của 2 số hạng đứng ngay trước nó (
1 1n n n
a a a
+ −
= +
). Dãy số này rất cần thiết trong việc tính lãi kép, tính tuổi của tiền bạc, Chẳng hạn: có bao
nhiêu cặp thỏ được sinh ra từ một cặp trong một năm nếu: Mỗi cặp trong một tháng sinh một
cặp mới. Cặp mới này tháng thứ hai lại sinh con và thỏ không chết ?
2.9.2.2. Yogan NuyLe ( Reghiomonten: 1436 – 1476 )
18
4 9 2
3 5 7
8 1 6
Hình 2.2
Vào 1461, ông đã có 5 cuốn sách nói về: tam giác lượng phẳng và cầu; lập ra các bảng
tính sẵn các hàm số lượng giác (bảng sin của các góc cách nhau một phút chính xác tới 7 chữ số
thập phân); mở rộng khái niệm số, đưa vào tính chất vô tỷ trong trường hợp có những đại lượng
hình học vô ước khi áp dụng đại số để giải các bài toán hình học (đưa ra các căn thức và các
phép tính về căn thức, từ đó đặt ra vấn đề giải các phương trình bậc ba và bốn bằng căn thức, ).
2.9.2.3. Tactalia (1500-1557)
Ông tìm được cách giải phương trình bậc ba và bậc bốn. Vào 1535, Tactalia lựa chọn
dạng đại số vô tỉ thích hợp để biểu diễn nghiệm của các phương trình dạng
3
(p, q > 0).x px q= +

Giả sử
3 3
x u v= +
thì
2 3
1
2 3 2
q p
u
   
= − +
 ÷  ÷
   
và
2 3
1
2 3 2
q p
v
   
= − −
 ÷  ÷
   
Tuy nhiên, trong một thời gian dài, ông không công bố phương pháp của mình vì không
khắc phục được trường hợp: phương trình
3
x px q= +
có nghiệm thực dương không phụ thuộc
vào việc bất đẳng thức
2 3

2 3
q p
   
≥
 ÷  ÷
   
có thỏa mãn hay không ?
2.9.2.4. Cacdano (1501-1576)
Từ 1539, Cacdano đã cố gắng khắc phục khó khăn trên của Tactalia và đi đến nghiệm ảo
mà ông gọi là nghiệm “ngụy biện”.
2.9.2.5. Boombenly (1526 - 1573)
Trong tác phẩm “Đại số”, ông đã nêu ra quy tắc tính toán trên các số ảo và chứng minh
rằng mọi “phần tử ngụy biện” đều có thể đưa được về dạng a + bi (về sau này, Gauss đã phát
triển thành lý thuyết các số phức).
Sau đó các nhà toán học đổ xô đi giải các phương trình bậc cao hơn 4 nhưng không thành
công. Cho mãi đến 300 năm sau, vào thế kỷ XIX, Aben mới chứng minh được rằng các phương
trình bậc lớn hơn 4 nói chung không giải được bằng căn thức. Galoa đã phát triển thành lý
thuyết Galoa: Kết hợp mỗi phương trình với một nhóm các phép thế các nghiệm của nó (nhóm
Galoa). Từ đó, Galoa đưa vấn đề này về việc khảo sát cấu trúc nhóm (khảo sát tính giải được của
nó): biểu diễn một cách hợp lý các nghiệm của một phương trình đã cho qua các nghiệm của một
phương trình khác đơn giản hơn.
2.9.2.6. Phơrăngxoa Viet (1540-1603)
Vào năm 1584 – 1589, ông viết “nhập môn nghệ thuật giải tích” - một tác phẩm lớn và
súc tích về đại số mới. Tuy nhiên, tác phẩm chỉ được xuất bản về sau, chủ yếu khi ông đã chết,
và tác phẩm cũng chưa được hoàn thành. Trong đó, ông quan niệm: Việc giải các phương trình
bậc ba và bậc bốn là dựa vào hiệu lực của phương pháp đại số, nhưng số dạng riêng của các
phương trình đại số tăng nhanh một cách đáng sợ (chẳng hạn với Cacdano đã tìm ra 66 loại với
hệ số bằng số). Mỗi loại lại đòi hỏi một cách giải đặc biệt. Do đó cần tìm ra phương pháp chung
để giải các phương trình đại số và những phương trình này phải được khảo sát dưới dạng tổng
quát nhất có thể được với các hệ số bằng chữ. Ngoài ra, cần phối hợp các phương pháp đại số với

sự chặt chẽ của các phép dựng hình cổ đại. Tác phẩm của Viet là nét nổi bật của những thành tựu
toán học thời kỳ phục hưng. Mối liên hệ giữa các tính chất của phương trình và những cấu trúc
hình học đã góp phần hình thành những quan niệm về hình học giải tích ở thế kỷ XVII.
19
Viet đã viết về phương trình bậc 1, 2, 3, 4 khá chi tiết và đầy đủ. Ông đã dùng các phép
biến đổi đại số rất phong phú dựa trên các phép thế. Viet đã chuyển trường hợp bất khả quy đối
với phương trình bậc ba về bài toán chia ba một góc. Ông đã chứng tỏ mọi phương trình bất khả
quy có thể biến đổi về dạng
3
3 0x x− =
. So sánh nó với hệ thức lượng giác
( )
3
2cos 3cos 2cos3 ,
ϕ ϕ ϕ
− =
Viet đã thực hiện được phép chuyển bài toán. Ông đã giải được
bài toán chia ba một góc bằng phương pháp “ lấp lỗ trống ” rút ra từ các tài liệu cổ.
Khi giải các phương trình, ông đã tìm thấy các nghiệm dương. Bằng phép biến đổi
x = - y, ông đi tới bài toán tìm các nghiệm âm. Viet còn nêu lên một loạt định lý về sự liên hệ
giữa các nghiệm và hệ số của phương trình, trong đó có định lý về tổng và tích các nghiệm của
phương trình bậc hai mang tên Viet. Ông đã xét phép biến đổi các phương trình thành tích các
nhị thức:
1
( ) ( ) (n<5, x <0)
n
n k k
k
p x x x
=

= −
∏
Viet quan tâm đến đại số chính là vì sự tiện lợi của nó và cả do nhu cầu đối với bài toán
lượng giác, thiên văn. Cho nên kết quả về đại số và lượng giác trong công trình của Viet thường
gắn bó và kéo theo nhau. Viet đã tìm thấy sự khai triển các hàm số lượng giác của các cung bội
bằng cách áp dụng liên tiếp các công thức đối với sin và cosin của tổng hai góc. Nhiều công thức
truy hồi của ông mà ta đã quen biết, chẳng hạn:
cos( ) 2cos . os( 1) os( 2)nx x c n x c n x= − − −
sin( ) 2cos .sin( 1) sin( 2)nx x n x n x= − − −
sin( ) 2sin . os( 1) os( 2)nx x c n x c n x= − + −
Viet đã nêu ra, lần đầu tiên trong lịch sử, bài toán tìm tích vô hạn (tuy rằng ông chưa
chứng minh được sự hội tụ của tích vô hạn mà chỉ kết luận dựa vào trực giác): Có một đa giác
đều n cạnh với diện tích
n
S
, nếu dựng đường tròn ngoại tiếp bán kính R và đường tròn nội tiếp
bán kính r thì sau khi gấp đôi số cạnh của đa giác ta được
n
S
:
2n
S
=
os( )
r
c
R n
π
=
. Ta hãy bắt đầu

từ hình vuông nội tiếp với n = 4
→
n = 8
→
n = 16
→
sẽ được
4 8
: os ;
4
S S c
π
=
8 16
: os ;
8
S S c
π
=
Ông cho “ chuyển qua giới hạn” và nói rằng với
n = ∞
thì sẽ có diện tích hình
tròn là
2
2S R
π
=
.
2.9.3. Kết luận về toán học sơ cấp ở Châu Âu
Toán học sơ cấp ở Châu Âu tuy phát triển muộn và không có nguồn gốc từ xưa, song do

thừa kế được những di sản của toán học ở Hy Lạp - La Mã - Ấn Độ thông qua nền toán học ở
Trung Á - Cận Đông, lại được thúc đẩy bởi điều kiện thuận lợi do sự phát triển mạnh mẽ về sản
xuất, kinh tế dưới chế độ xã hội mới (do giai cấp tư sản đã thay thế dần cho giai cấp phong kiến)
nên từ thế kỷ XVI đã có nhiều thành tựu phát triển vượt bậc, làm nền tảng cho sự phát triển toán
học ở giai đoạn sau (giai đoạn toán học cao cấp cổ điển).
2.10. Kết luận chung về giai đoạn toán học sơ cấp
Đến cuối thế kỷ XVI, toán học các đại lượng không đổi đã hoàn thành khâu cuối cùng
trong quá trình hình thành của mình. Trong đó tuy còn nhiều điều dang dở, chưa rõ ràng, nhưng
20
đã trở thành một phạm vi kiến thức khá hoàn chỉnh, gói gọn trong một hệ thống duy nhất. Dĩ
nhiên, việc nghiên cứu tiếp tục và việc hoàn thiện toán học sơ cấp vẫn được tiến hành trong các
thế kỷ sau và ngay cả trong thời đại chúng ta. Nhưng có thể nói, từ thế kỷ XVII, trọng tâm
nghiên cứu đã chuyển sang phạm vi toán học của các đại lượng biến thiên. Với lý do phục vụ
cho việc giảng dạy môn toán ở trường phổ thông, chúng ta cần nghiên cứu kỹ giai đoạn toán học
sơ cấp.
*) Tài liệu học tập
1. Nguyễn Phú Lộc (2008), Lịch sử toán học, NXB Giáo dục.
2. Nguyễn Anh Tuấn (2000), Bài giảng lịch sử toán học, ĐHSP Thái Nguyên.
3. Nguyễn Cang (2001), Giới thiệu tóm tắt cuộc đời và sự nghiệp các nhà toán học, NXB trẻ
Thành phố Hồ Chí Minh.
*) Câu hỏi, bài tập, nội dung ôn tập và thảo luận
2.1. Giải bài toán của Mahavira (Hindu) như sau:
Có một giỏ xoài. Nhà vua lấy 1/6, hoàng hậu lấy 1/5 chỗ còn lại, và ba hoàng tử lấy 1/4, 1/3 và
1/2 các chỗ còn lại kế tiếp, còn lại ba trái cuối cùng cho bé trai út. Xin cho biết số trái xoài trong
giỏ là bao nhiêu?
2.2. Chứng minh rằng các số từ 1 đến 16 có thể viết được trên cùng 1 dòng nhưng không viết
được trên một đường tròn sao cho tổng của hai số bất kỳ đứng liền nhau là một số chính phương.
2.3. Chứng minh rằng tồn tại vô hạn bộ gồm 4 số nguyên dương (x,y,z,t) sao cho ước chung lớn
nhất của 4 số là 1 và thỏa mãn
3 3 2 4

x y z t+ + =

2.4. Năm nhà dùng chung một giếng nước để gầu múc chạm đến được mặt nước thì với hai dây
thừng của nhà A thiếu đúng bằng một dây thừng của nhà B, với ba dây thừng của nhà B thiếu
đúng một dây thừng của nhà C, bốn dây thừng của nhà C thiếu đúng một dây thừng của nhà D,
với năm dây của nhà D thì cần thêm một dây của nhà E, còn với sáu dây của nhà E thì thiếu đúng
một dây của nhà A nữa. Hỏi giếng sâu bao nhiêu và độ dài mỗi loại dây thừng?
2.5. Chứng minh rằng bình phương của một dây cung vuông góc với đường kính của hình tròn,
chia cho bốn lần một trong hai đoạn của đường kính đã được chia rồi cộng với chính đoạn đó thì
bằng đường kính hình tròn.
2.6. Chứng minh rằng đoạn nhỏ bị chia ra trên đường kính bởi một dây cung vuông góc với
đường kính bằng một nửa hiệu giữa đường kính và căn bậc hai của hiệu bình phương giữa đường
kính và độ dài dây cung.
2.7. Chứng minh rằng khi dùng sàng Eratosthenes ta có thể dừng lại khi gặp số nguyên tố p mà
p n<
.
2.8. Giải bài toán Herong:“ Một người đi từ nhà ra một con sông thẳng đề múc một sô nước rồi
mang về một nhà kho (khác vị trí với nhà người đó) ở cùng bên bờ sông với ngôi nhà đó. Tìm
điểm múc nước sao cho đoạn đường người đó phải đi là ngắn nhất”.
2.9. Ai là người phát hiện ra số
2
là số vô tỉ? Sự xuất hiện số vô tỉ đã có ảnh hưởng thế nào
đến sự phát triển của toán học cổ Hy Lạp?
2.10. Hãy kể tên các nhà toán học có đóng góp lớn đến sự phát triển của đại số trong giai đoạn
toán học sơ cấp.
21
2.11. Hãy kể tên các nhà toán học có đóng góp lớn đối với môn lượng giác trong giai đoạn toán
học sơ cấp.
2.12. Nhà toán học nào đã xây dựng lý thuyết các đường conic một cách toàn diện nhất? Hãy nêu
một số định lý của nhà toán học này mà bạn biết.

2.13. Thành tựu nào của toán học cổ Hy Lạp mà mãi đến thế kỷ XVII mới có những ứng dụng
lớn cho các ngành khoa học khác?
22
CHƯƠNG 3
Giai đoạn toán học cao cấp cổ điển
Số tiết: 07 (Lý thuyết: 06 tiết; bài tập, thảo luận: 01)
*) Mục tiêu
- Sinh viên hiểu được hoàn cảnh lịch sử và đặc điểm chung, tình hình phát triển của giai đoạn
toán học cao cấp cổ điển.
- Sinh viên biết được sự phát triển của toán học cao cấp cổ điển, qua đó vận dụng tìm hiểu về các
nhà toán học có vai trò quyết định đối với sự ra đời của phép tính vi phân - tích phân, sự hình
thành và phát triển toán học cao cấp.
- Sinh viên tích cực, chủ động tham gia các hoạt động của môn học, có phương pháp học tập tích
cực sáng tạo, có năng lực vận dụng các kiến thức toán học vào dạy học.
3.1. Hoàn cảnh lịch sử
+ Thời gian: Rất ngắn (2 thế kỷ): từ khoảng thế kỷ XVII đến thế kỷ XVIII.
+ Địa điểm: Chủ yếu phát triển ở Châu Âu.
+ Chế độ chính trị xã hội: Tư bản.
+ Tôn giáo: Thiên chúa giáo.
+ Triết học: Tư sản.
+ Kinh tế: Phát triển mạnh mẽ do cơ chế tư bản hóa trong sản xuất, kinh doanh.
+ Giao lưu văn hóa: Do nhu cầu thương mại nên có quan hệ rộng rãi với nhiều vùng trên
thế giới (đặc biệt là Trung Á - Cận Đông).
+) Điều kiện về mặt toán học:
Cuối thế kỷ XVI, các môn toán sơ cấp đã khá phát triển, thúc đẩy mạnh mẽ toán học.
Toán học gắn bó chặt chẽ hơn, phục vụ đắc lực hơn nhu cầu của thực tiễn dẫn đến các
yếu tố động trong toán học được nghiên cứu đầy đủ hơn: Vào năm 1632-1638: Galile đã tìm
được những biểu thức toán học cho các định luật về sự rơi các vật thể. Vào 1609 – 1619: Keple
đã phát minh và phát biểu về mặt toán học những định luật về chuyển động của các hành tinh.
Vào 1686: Newton tìm ra định luật vạn vật hấp dẫn.

Những thành tựu này do toán học mang lại đã làm nảy sinh tư tưởng triết học về tính vạn
năng của các phương pháp toán học, nó thống trị khối óc nhiều nhà bác học và triết học lớn nhất
của thế kỷ XVII (Đêcac, Xpinoda, Lepnit, Newton, )
Các tổ chức nghiên cứu khoa học được cải tiến: thành lập Hội Hoàng gia khoa học Luân
Đôn (1662), Hội Hàn lâm khoa học Pari (1666),
3.2. Đặc điểm chung
+ Sự phát triển của toán học chịu ảnh hưởng khá rõ rệt của chế độ kinh tế, chính trị xã
hội. Các thành tựu phát triển toán học xuất phát và chịu áp lực trực tiếp của thực tiễn.
+ Trên cơ sở toán học sơ cấp (nghiên cứu những đại lượng không đổi), về cơ bản, toán
học cao cấp tiếp tục nghiên cứu những đại lượng biến đổi, những quá trình biến thiên.
+ Ăng ghen: “Đại lượng biến thiên của Đêcac là một bước ngoặt trong toán học. Nhờ nó
sự vận động và phép biện chứng đã xâm nhập vào toán học và cũng chính nhờ đó, phép tính vi
phân đã có cơ sở để xuất hiện và được Newton – Lepnit hoàn thành chứ không phải do hai ông
sáng tạo ra”.
23
3.2.1. Thế kỷ XVII mở ra hầu hết các ngành của toán học cao cấp
+ Hình học giải tích do Đecac – Fermat (1601 – 1665 ).
+ Giải tích toán học do Newton – Lepnit (1665 - 1666).
+ Phương trình vi phân, tích phân, hình học vi phân do Huyghen, Keple.
+ Hình học xạ ảnh (1636) do Đêgiácgiơ – Pascan (1623 - 1662)
+ Hình học họa hình do Mônggiơ.
+ Lý thuyết xác xuất, tổ hợp do Pascan, Fermat, Huyghen, Iogan Becnuly (1667 - 1478).
+ Toán học sơ cấp cũng được tiếp tục hoàn thiện (với các môn đại số kí hiệu) bởi công
lao của Viet, Oughtred (1631 với các ký hiệu bình phương, tam thừa, ), Valit (số dương, số âm,
số ảo),
3.2.2. Thế kỷ XVIII tiếp tục phát triển và phân ngành toán học cao cấp
+ Lý thuyết số
Fermat làm phong phú thêm lý thuyết số với:
Định lý lớn: Phương trình
n n n

x y z+ =
không có nghiệm nguyên dương với n > 20. Cho
đến nay người ta vẫn chưa chứng minh được bài toán tổng quát (!).
Định lý nhỏ: Nếu
p P∈
và (a; p) = 1 thì
1
1
p
a
−
≡
(mod p)
Năm 1737, bằng cách phân tích ra phân số liên tục, Ơle đã chứng minh rằng
e
và
2
e
là
siêu việt.
Năm 1766, Lambe (người Đức) đã chứng minh tính siêu việt của số
π
.
Gauss nghiên cứu lý thuyết số từ năm 18 tuổi (1795) theo con đường riêng với phương
pháp hoàn toàn mới có tầm quan trọng phát triển lý thuyết số về sau.
Như vậy, lịch sử phát triển lý thuyết số có thể chia thành 3 giai đoạn:
+ Giai đoạn I:
Nhiều năm phục hồi tác phẩm Điophang, viết và xuất bản bằng tiếng Latinh (1621). Sáng
tạo đáng kể trong giai đoạn này là các định lý của Fermat.
+ Giai đoạn II:

Đứng đầu với công trình của Ơle.
+ Giai đoạn III:
Những công trình của Gauss: xuất phát từ một quan điểm thống nhất, hệ thống hóa những
kiến thức trước đó. Với Gauss, có thể nói, một lý thuyết số thực sự hình thành.
+ Phép quy nạp, tổ hợp, phương trình vô định
1655: Pascan lần đầu tiên đã phát biểu nguyên lý của phép quy nạp toán học.
Pascan, Fermat, Lepnit đã sáng tạo ra những khái niệm cơ bản về tổ hợp.
Ơle giải phương trình vô định bằng số nguyên (bậc nhất 2 ẩn rồi sau đó mở rộng cho
phương trình tuyến tính nhiều ẩn). Lagrange tiếp tục giải chúng. Ơle khái quát định lý Fecma
được: Nếu (a; m) = 1 thì
( )
1
m
a
ϕ
≡
(mod m). Trong đó
( )m
ϕ
là số các số nguyên tố với m và bé
hơn m (được gọi là hàm Ơle – theo Gauss).
1 2 3
1 1 1 1
( ) (1 )(1 )(1 ) (1 )
k
m m
p p p p
ϕ
= − − − −
+ Đại số ngày một thoát ly khỏi hình học ở thế kỷ XVIII

Công cụ kí hiệu bằng chữ đã được củng cố ( kí hiệu đại số được đưa vào bắt đầu từ thời
Phrangxoa Viet (1540 - 1603)).
24
Vấn đề cơ bản là lý thuyết tổng quát về các phương trình được nghiên cứu sâu sắc với
các công trình của Laplaxo, Vanđemôn, Newton, Ơle, Bzu, Đalambe.
Trong phạm vi đại số có các vấn đề:
- Việc xác lập và có đôi chút tiến triển vấn đề khả quy của các phương trình đại số, nghĩa
là sự biểu diễn các hàm số hữu tỷ nguyên với hệ số hữu tỷ dưới dạng tích của 2 hoặc nhiều hơn
các hàm số tương tự.
- Việc đặt cơ sở cho lý thuyết định thức và quy tắc mang tên Krame để giải hệ phương
trình bậc nhất ( 1750) và do đó môn đại số tuyến tính bắt đầu phát triển. Quy tắc Lepnit đã nêu ra
từ năm 1693. Danh từ “định thức” mới được dùng từ năm 1815 do Côsi, kí hiệu định thức được
dùng năm 1841 do Keli.
- Những cố gắng liên tục (dĩ nhiên là vô hiệu ) trong việc tìm cách giải bằng căn thức các
phương trình bậc cao hơn 4.
- Những cố gắng nhằm chứng minh định lý cơ bản của đại số về nghiệm của phương
trình đại số. Đalambe chứng minh rằng: bất kỳ phương trình đại số nào cũng có nghiệm.
+ Giải tích toán học ở thế kỷ XVIII có những tiến triển mới
Phân tích, khai triển hàm theo chuỗi lũy thừa (Công thức Taylor).
Đalambe bắt đầu nghiên cứu một cách sâu sắc điều kiện hội tụ của chuỗi số dương ( tiêu
chuẩn Đalambe).
Tích phân Eliptic được Ơle và Lagrange đặt cơ sở cho việc khảo sát, loại tích phân này
( dạng tích phân hàm số không sơ cấp đầu tiên được nghiên cứu).
Phương trình vi phân tiếp tục được hoàn thiện bởi: Becnuli, Klero, Ơle, Lagrange,
Laplapxơ.
Bài toán về tính biến phân được hình thành với chương trình của Ơle, Lagrange.
3.3. Tình hình phát triển
3.3.1. Hình học giải tích của Đecac
Đecac (1596-1650) là một nhà bác học trong nhiều lĩnh vực: triết học, vật lí học, toán
học, sinh lí học,… với mục đích nghiên cứu nhằm sáng tạo ra phương pháp suy diễn toán học

tổng quát cho mọi vấn đề của khoa học tự nhiên ( dựa trên quan điểm triết học duy vật với chủ
nghĩa “duy lý”), ông viết cuốn “luận về phương pháp” (1637) trong đó tập “hình học” gồm 3
quyển:
+ Quyển I: “ Về các bài toán có thể giải được bằng các đường tròn và đường thẳng”.
+ Quyển II: “ Bản chất của các đường cong” .
+ Quyển III: “ Những bài toán về các khối, các thể” .
Có thể tóm tắt các đóng góp của Đecac về lĩnh vực hình học như sau:
Đề cập đến mối liên hệ giữa các đại số kí hiệu và hình học các đường cong (sự đẳng cấu
giữa trường số thực và các đoạn thẳng).
Xây dựng về các phép tính cộng, trừ, nhân, chia các đoạn thẳng (cách dựng đoạn thẳng tỉ
lệ thứ tự giống như ở sách giáo khoa hình học ngày nay).
Đưa các đại lượng biến thiên vào hình học và sử dụng tọa độ vuông góc. Tuy nhiên, hình
học giải tích của Đecac vẫn còn nhiều thiếu sót:
- Các phương pháp toán học mới chỉ bàn đến do nhu cầu đòi hỏi của nguồn gốc triết học.
- Việc phân loại các đường cong đại số mới chỉ theo loại chứ chưa theo bậc của phương
trình.
25