ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN NHẬP MÔN TOÁN CAO CẤP

0





ðỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN
NHẬP MÔN TOÁN CAO CẤP
1

MỤC LỤC
CHƯƠNG 1. Tập hợp và lôgíc 2
1.1. Tập hợp 2
1.1.1. Khái niệm về tập hợp 2
1.1.2. Cách xác ñịnh một tập hợp 3
1.1.3. Các phép toán và tính chất trên tập hợp 3
1.1.4. Tích ðềcác của các tập hợp 4
1.2. Quan hệ 4
1.2.1. Quan hệ hai ngôi 4
1.2.2. Quan hệ tương ñương 5
1.2.3. Quan hệ thứ tự 6
1.3. Ánh xạ 7
1.3.1. ðịnh nghĩa ánh xạ và ví dụ 7
1.3.2. ðồ thị của ánh xạ 8
1.3.3. Ánh xạ bằng nhau, thu hẹp và mở rộng ánh xạ 8
1.3.4. Ảnh và tạo ảnh 8
1.3.5. Tích ánh xạ 9
1.3.6. ðơn ánh – Toàn ánh – Song ánh 10
1.3.7. Ánh xạ ngược 11
1.4. Lôgic mệnh ñề 12
1.4.1 Mệnh ñề và các phép liên kết lôgic 12

1.4.2. Các lượng từ 14
1.4.3. Về các phương pháp chứng minh: Trực tiếp, Phản chứng, quy nạp 14
CHƯƠNG 2. Cấu trúc ñại số 24
2.1. Sơ lược về nhóm, vành, trường 24
2.1.1. Phép toán hai ngôi 24
2.1.1 Nhóm 25
2.1.3 Vành 28
2.1.4. Trường 29
2.2. Vành số thập phân và trường số thực, trường số hữu tỷ, trường số phức 30
2.2.1. Vành các số thập phân 30
2.2.2. Trường số hữu tỷ 31
2.2.3. Trường số thực 31
2.2.4. Trường số phức 32
2.3.2 Phép chia với dư 35
2.3.4. Nghiệm của ña thức 36
2.3.5. ða thức trên trường số phức và trường số thực 36
2.4. Trường phân thức hữu tỷ 37
2.4.1. Trường các thương của vành ña thức
[X]
K
37
2.4.2. Phân thức tối giản 37
2.4.3. Phân tích một phân thức hữu tỷ thành tổng những phân thức ñơn giản 37
2.4.4. Ứng dụng trong trường hợp K là trường số thực
ℝ
38
TÀI LIỆU THAM KHẢO 43


2

CHƯƠNG 1
Tập hợp và lôgíc
Số tiết: 15 (Lý thuyết: 10 tiết; bài tập, thảo luận: 05 tiết)

*) Mục tiêu:
- Sinh viên cần hiểu ñược một số khái niệm về tập hợp, cách xác ñịnh một tập hợp, các
phép toán trên trên tập hợp; Quan hệ tương ñương, quan hệ thứ tự, ánh xạ (ánh xạ tích, ñơn ánh,
toàn ánh, song ánh); lôgíc lượng từ.
- Vận dụng vào giải các bài toán liên quan.

1.1. Tập hợp
1.1.1. Khái niệm về tập hợp
Khái niệm “ Tập hợp” là một trong những khái niệm cơ bản nhất của Toán học.
Ví dụ. Tập hợp các số tự nhiên, tập các ñiểm cách ñều một ñiểm cho trước, tập nghiệm của một
phương trình, …
- Khái niệm tập hợp là khái niệm nguyên thuỷ không ñịnh nghĩa. Quan niệm tập hợp như sự tụ
tập các ñối tượng có chung những tính chất nào ñó.
- Các cá thể tạo thành tập hợp gọi là phần tử của tập hợp.
- ðể chỉ: a là phần tử của tập A ta viết:
a A
∈
, ñọc là a thuộc A.
a không là phần tử của tập hợp A, ta viết
a A
∉
, ñọc là a không thuộc A.
- Tập rỗng là tập hợp không có phần tử nào, kí hiệu:
∅
.

- Tập hợp ñơn tử là tập hợp chỉ gồm 1 phần tử
ðịnh nghĩa 1. Cho hai tập hợp A và B. Nếu mọi phần tử của tập A cũng là phần tử của tập B thì
ta nói rằng A bao hàm trong B hay A là tập con của B.
Kí hiệu:
A B
⊂

Ta có:
x x
A B A B
⊂ ⇔ ∀ ∈ ⇒ ∈

Ví dụ.
⊂ ⊂ ⊂ ⊂
ℕ ℤ ℚ ℝ ℂ

ðịnh nghĩa 2. Giả sử A là một tập hợp, tất cả các tập con của A là phần tử của một tập hợp mới,
kí hiệu:

p
( )
A
, ñược gọi là tập tất cả các tập con của X.
Ví dụ.
{
}
A= a,b

Khi ñó:
p

{
}
{
}
{
}
{
}
( ) , a , b , a,b
A = ∅

ðịnh nghĩa 3. Hai tập A và B ñược gọi là bằng nhau khi và chỉ khi mỗi phần tử của A ñều là
phần tử của B và ngược lại mỗi phần tử của B ñều là phần tử của A. Kí hiệu: A = B.
Ví dụ.
1,
{
}
A = x : 0 < x < 5
∈
ℕ
,
{
}
B = 1, 2, 3, 4

Ta có: A = B.
2,
{
}
X = x / x 2, x 3

∈
ℕ ⋮ ⋮
,
{
}
Y = x / x 6
∈
ℕ ⋮

Ta có: X = Y


3

1.1.2. Cách xác ñịnh một tập hợp
- Phương pháp liệt kê
- Phương pháp chỉ rõ tính chất ñặc trưng

1.1.3. Các phép toán và tính chất trên tập hợp
a, Phép hợp
ðịnh nghĩa 4. Cho hai tập hợp A và B. Hợp của hai tập hợp A và B, ký hiệu là
A B
∪
là một tập
hợp gồm các phần tử hoặc thuộc A hoặc thuộc B. Vậy
{
}
/
A B x x A x B
∪ = ∈ ∨ ∈

.
Ví dụ.
1,
{
}
A = a, b, c, d, e
,
{
}
B = c, d, e, f

Suy ra:
{
}
A B = a, b, c, d, e, f
∪

2,
{
}
A = x : x = 2k + 1, k∈ ∈
ℤ ℤ
,
{
}
B = x : x = 2k, k∈ ∈
ℤ ℤ

Suy ra:
{

}
A B = ∪
ℤ

b, Phép giao
ðịnh nghĩa 5. Cho hai tập hợp A và B. Giao của hai tập hợp A và B, ký hiệu là
A B ,
∩
là một
tập hợp gồm các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B. Vậy
{
}
A B = x x A, x B
∩ ∈ ∈

Ví dụ.

{
}
A = a, b, c, d, e
,
{
}
B = c, d, e, f

Suy ra:
{
}
A B = c, d, e
∩

c, Tính chất của phép hợp và phép giao: Cho 3 tập hợp tuỳ ý: A, B, C. Ta có:
1.
B A
⊂
thì
A B = A
∪


A = A = A
∪ ∅ ∅ ∪


A A = A
∪

2.
A B = A B
∪ ∪
( Tính chất giao hoán)
3.
A (B C) = (A B) C
∪ ∪ ∪ ∪
( Tính chất kết hợp)
4.
B A
⊂
thì
A B = B

∩


A = A =
∩ ∅ ∅ ∩ ∅


A A = A
∩

5.
A B = A B
∩ ∩
( Tính chất giao hoán)
6.
A (B C) = (A B) C
∩ ∩ ∩ ∩
( Tính chất kết hợp)
7.
A (A B) = A
∩ ∪


(A B) B = B
∩ ∪

8.
A (B C) = (A B) (A C)
∩ ∪ ∩ ∪ ∩
( Tính chất phân phối)

A (B C) = (A B) (A C)
∪ ∩ ∪ ∩ ∪

d. Hiệu và phần bù của hai tập hợp
ðịnh nghĩa 6.
+ Cho hai tập hợp A và B. Hiệu của hai tập hợp A và B là một tập hợp, kí hiệu: A - B
hoặc A\B gồm tất cả các phần tử thuộc A mà không thuộc B. Vậy
{
}
A B = x: x A, x B
− ∀ ∈ ∉

4

+ Cho
B A
⊂
khi ñó hiệu của A và B ñược gọi là phần bù của tập B ñối với tập A. Kí
hiệu:
A
C (B)

Ví dụ.
1.
{
}
A = a, b, c, d, e
,
{

}
B = c, d, e, f

{
}
A B = a, b
⇒ −
,
{
}
B A = e, f
−

2.
{
}
X = x : x < 5
∈
ℝ
{
}
C (X) = x :x 5
⇒ ∈ ≥
ℝ
ℝ

Chú ý. +
A B B A
− ≠ −

+
x B
x A B
x A
∈

∉ − ⇔

∉


Tính chất.
1.
A B = A B
− ∅ ⇒ ⊂

2.
A B, D C A C B D
⊂ ⊂ ⇒ − ⊂ −

3.
A B
⊂
, C bất kỳ
A C B C; C B C A
⇒ − ⊂ − − ⊂ −

4.
A B A
− ⊂

1.1.4. Tích ðềcác của các tập hợp
Cặp sắp thứ tự. Cho hai ñối tượng a, b bất kỳ, từ hai ñối tượng này ta có thể lập thành ñối
tượng thứ ba kí hiệu: (a, b) và gọi là cặp (a, b).
Chú ý: Hai cặp (a, b) và (c, d) gọi là bằng nhau khi và chỉ khi a = c, b = d.
Nếu a
≠
b thì cặp (a, b)
≠
(b, a)
Ta nói rằng: Một cặp (a, b) là một dãy có thứ tự của hai phần tử a, b.
Tích ðềcác của hai tập hợp. Cho hai tập hợp A và B khác rỗng. Ta gọi tập gồm tất cả các cặp
sắp thứ tự (a, b) với a thuộc A và b thuộc B là tích ðềcác của tập A và tập B.
Kí hiệu:
A B
×
hoặc A.B
+
{
}
= (a, b) a , b
A B A B
× ∈ ∈

Nếu A = B:
2
= A =
A B A A
× ×

Quy ước:
A = A =
×∅ ∅× ∅

Tích ðềcác của nhiều tập hợp. Ta gọi tích ðềcác của n tập hợp
1 2 3 n
A ,A , A , ,A
là tập hợp
gồm tất cả các dãy sắp thứ tự
(
)
1 2 3 n
a ,a ,a , ,a
trong ñó
1 1 2 2
a A ,a A , ,
∈ ∈
n n
a A
∈
.
Kí hiệu:
1 2 3 n
A A A A
× × × ×

+ Nếu
1 2 3 n
A A A A

= = = =
thì tích ðềcác của chúng ñược kí hiệu:
n
A
.
Ví dụ.
1.
{
}
{
}
A = 1, 2, 3 ; B = a, b

Suy ra:
{
}
A B= (1, a);(1, b);(2, a);(2, b);(3, a);(3, b)
×


1.2. Quan hệ
1.2.1. Quan hệ hai ngôi
5

ðịnh nghĩa 7. Giả sử X và Y là hai tập hợp tuỳ ý khác rỗng. Ta gọi mỗi tập con R của tập tích
ðềcác
X Y
×
là một quan hệ trên
X Y

×
.
Nếu
(x,y) R
∈
ta nói “ x có quan hệ R với y” và viết
xRy
. Nếu
(x,y) R
∉
ta nói “ x không có
quan hệ R với y” và viết
xRy
.
Ví dụ. Cho X là tập hợp những người ñàn bà, Y là tập những người ñàn ông của làng nọ. R là tập
các cặp sắp thứ tự (x, y) trong ñó
,
x X y Y
∈ ∈
sao cho x là mẹ ñẻ của y.
ðịnh nghĩa 8. Cho X là tập không rỗng tuỳ ý. Ta gọi mỗi tập con R của bình phương ðềcác
X X
×
là một quan hệ hai ngôi xác ñịnh trên tập X.
Nếu
1 2
(x , ) R
x
∈
ta nói “

1
x
có quan hệ R với
2
x
” và viết
1 2
x Rx
.Nếu
1 2
(x , ) R
x
∉
ta nói “
1
x
không có quan hệ R với
2
x
” và viết
1 2
x Rx
.
Ví dụ. Quan hệ nhỏ hơn hoặc bằng thông thường trên tập số thực R xác ñịnh bởi tập con

{
}
2
( , ) /
R x x R x y

= ∈ ≤

là một quan hệ hai ngôi trên R
Một số tính chất thường gặp. Giả sử R là một quan hệ trên một tập hợp X. Ta bảo:
(i) R có tính chất phản xạ trong X nếu và chỉ nếu
x X, (x, x) R
∀ ∈ ∈

(ii) R có tính chất ñối xứng trong X nếu và chỉ nếu
x X, y X
∀ ∈ ∀ ∈
,
(x, y) R (y, x) R
∈ ⇒ ∈

(iii) R có tính chất phản ñối xứng trong X nếu và chỉ nếu
x X, y X
∀ ∈ ∀ ∈
,
(x, y) R; (y, x) R x = y
∈ ∈ ⇒

(iv) R có tính chất bắc cầu trong X nếu và chỉ nếu
x X, y X, z X
∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈
,
(x, y) R; (y, z) R (x, z) R
∈ ∈ ⇒ ∈

(v) R có tính chất toàn phần trong X nếu và chỉ nếu

x X, y X
∀ ∈ ∀ ∈
(x, y) R hay(y, x) R
∈ ∈

Ví dụ.
1. Quan hệ “ bằng nhau” trong một tập hợp X nào ñó có tính phản xạ.
2. Quan hệ “ chia hết cho” trong tập N các số tự nhiên có tính phản xạ.
3. Quan hệ “ nguyên tố cùng nhau” trong tập N các số tự nhiên không có tính phản xạ.
4. Quan hệ “
≤
” trên tập R các số thực có tính phản xạ.

1.2.2. Quan hệ tương ñương
ðịnh nghĩa 9. Giả sử X là một tập hợp , S là một bộ phận của
X X
×
. Thế thì S gọi là một quan
hệ tương ñương trong X nếu và chỉ nếu các ñiều kiện sau ñây thoả mãn:
1. Tính phản xạ:
a X, aSa
∀ ∈
.
2. Tính ñối xứng:
a,b X, aSb
∀ ∈
thì
b S a
.
3. Tính bắc cầu:

a, b, c X, aSb, b S c
∀ ∈
thì
a S c
.
Nếu S là một quan hệ tương ñương thì người ta kí hiệu S bằng “
∼
” và thường ñọc là “ a tương
ñương với b”.
Ví dụ.
1. Quan hệ “=” là quan hệ tương ñương.
2. Gọi X là tập các ñường thẳng trong mặt phẳng, quan hệ cùng phương là một quan hệ tương
ñương.
6

3. Gọi X là tập các tam giác khi ñó quan hệ ñồng dạng giữa các tam giác là một quan hệ tương
ñương.

ðịnh nghĩa 10. Giả sử S là một quan hệ tương ñương trong X và
a X
∈
. Tập hợp:
{
}
C(a) = x X x S a
∈
gọi là lớp tương ñương của a ñối với quan hệ tương ñương S.
Vì S là phản xạ nên
a C(a)
∈

.
Ta thấy C(a) có các tính chất sau:
1.
C(a)
≠ ∅

2.
x, y C(a) x S y
∈ ⇒
.
3.
x C(a), y Sx y C(a)
∈ ⇒ ∈
.

Bổ ñề. Với hai phần tử bất kì a và b ta ñều có hoặc
C(a) C(b) =
∩ ∅
hoặc
C(a) C(b).
=


ðịnh nghĩa 11. Ta bảo ta thực hiện một sự chia lớp trên một tập hợp X khi ta chia nó thành
những bộ phận A, B, C, … khác
∅
, rời nhau từng ñôi một sao cho mọi phần tử của X thuộc một
trong các bộ phận ñó.

ðịnh lý 1. Giả sử X là một tập hợp, S là một quan hệ tương ñương trong X. Thế thì các lớp

tương ñương phân biệt của X ñối với S thành lập một sự chia lớp trên X.

ðịnh nghĩa 12. Giả sử X là một tập hợp, S là một quan hệ tương ñương trong X. Tập hợp các
lớp tương ñương phân biệt của X ñối với S gọi là tập thương của X trên quan hệ tương ñương S
và kí hiệu là X/S.

Ví dụ. Cho X là tập người trên trái ñất. Nếu chia X thành các tập con U, V, W,… sao cho các tập
con ñó là tập các người cùng quốc tịch, coi rằng không có ai có hai quốc tịch và bất kì người nào
cũng thuộc một quốc tịch nào ñó thì ta có một sự phân lớp trên tập X.

1.2.3. Quan hệ thứ tự
ðịnh nghĩa 13. Giả sử X là một tập hợp , S là một bộ phận của
X X
×
. Thế thì S ñược gọi là một
quan hệ thứ tự trong X nếu và chỉ nếu các ñiều kiện sau ñây thoả mãn:
1. Tính phản xạ:
a X, aSa
∀ ∈
.
2. Tính phản ñối xứng:
a,b X, aSb
∀ ∈
,
b S a
thì a = b .
3. Tính bắc cầu:
a, b, c X, aSb, b S c
∀ ∈
thì

a S c
.
Người ta bảo một tập hợp X là sắp thứ tự nếu trong X có một quan hệ thứ tự.
Ví dụ.
1. Quan hệ “
≤
” trong tập N là một quan hệ thứ tự.
2. Quan hệ “chia hết” trong N không là một quan hệ thứ tự.
3. Quan hệ bao hàm giữa các bộ phận của một tập hợp X.
- Nếu S là một quan hệ thứ tự trong X thì người ta thường kí hiệu S bằng “
≤
” và ñọc “
a b
≤
” là
“a bé hơn b”.

7

ðịnh nghĩa 14. Giả sử X là một tập hợp sắp thứ tự. Một phần tử
a X
∈
gọi là phần tử tối tiểu
( phần tử tối ñại) của X nếu quan hệ
x a
≤
(
a x
≤
) kéo theo

x = a
.
Ví dụ.
1. Trong tập hợp các số tự nhiên thực sự lớn hơn 1, sắp thứ tự theo quan hệ chia hết, các phần tử
tối tiểu là các số nguyên tố.
2. Tập hợp các số thực với quan hệ thứ tự thông thường, không có phần tử tối ñại cũng không có
phần tử tối tiểu.

ðịnh nghĩa 15. Giả sử X là một tập hợp sắp thứ tự. Một phần tử
a X
∈
gọi là phần tử bé nhất
( phần tử lớn nhất) của X nếu với mọi
x X
∈
ta có
a x
≤
(
x a
≤
).
Ví dụ.
1. Tập hợp các số tự nhiên sắp thứ tự theo quan hệ “ chia hết” có phần tử bé nhất là 1 và phần tử
lớn nhất là 0.
Nếu sắp thứ tự theo quan hệ thứ tự thông thường, tập hợp các số tự nhiên có phần tử bé nhất là 0
và không có phần tử lớn nhất.
2. Tập hợp các số thực với quan hệ thứ tự thông thường không có phần tử bé nhất cũng không có
phần tử lớn nhất.

ðịnh nghĩa 16. Ta bảo một tập hợp X là sắp thứ tự tốt nếu nó là sắp thứ tự và nếu mọi bộ phận
khác rỗng của X có một phần tử bé nhất.

1.3. Ánh xạ
1.3.1. ðịnh nghĩa ánh xạ và ví dụ
ðịnh nghĩa 17. Giả sử X và Y là hai tập hợp tuỳ ý. Ta gọi là ánh xạ từ X ñến Y một quy tắc nào
ñó cho ứng mỗi phần tử
x X
∈
với một phần tử duy nhất
y Y
∈
.
Kí hiệu: f, g, h,…
f là một ánh xạ ñi từ X ñến Y,
f:X Y
→
hoặc
f
X Y
→

y = f(x) : y là giá trị của f tại x.
Tập X: Tập nguồn (miền xác ñịnh) của ánh xạ f.
Tập Y: Tập ñích (miền giá trị) của ánh xạ f.
Ví dụ.
1. Khi chấm bài người thầy giáo ñã thực hiện một ánh xạ từ tập bài ñến tập các số {0,1,2,…,10}.
Qui tắc ứng với mỗi bài với một ñiểm chính là tiêu chuẩn cho ñiểm.
2. Phép cộng trên tập các số tự nhiên là một ánh xạ:
× →

ℕ ℕ ℕ

ánh xạ này ứng với mỗi cặp số tự nhiên (x, y) với số x + y:
f:
× →
ℕ ℕ ℕ


(x, y) x+y
֏

Phép trừ không phải ánh xạ từ
× →
ℕ ℕ ℕ
. Tại sao?
Phép trừ là một ánh xạ từ
× →
ℤ ℤ ℤ
hay
× →
ℝ ℝ ℝ
?
Tương tự xét với phép nhân và phép chia.
Chú ý.
8

+ Một phép tương ứng các phần tử của X với các phần tử của Y sẽ không là ánh xạ từ X ñến Y
khi có những phần tử của X không có phần tử tương ứng trong Y hoặc khi có phần tử của X ứng
với hơn một phần tử trong Y.
+ Trong một ánh xạ mỗi phần tử thuộc nguồn ñều có ảnh duy nhất ñiều ñó có nghĩa là nếu:

f:X Y
→
là một ánh xạ thì từ
1 2 1 2
x x (x , x X)
= ∈

1 2
f(x ) f(x )
⇒ =
hoặc từ
1 2
f(x ) f(x )
≠
ta phải có
1 2
x x
≠
.
+ Tuy mỗi phần tử của nguồn có một ảnh duy nhất nhưng có thể xảy ra trường hợp hi hay nhiều
phần tử có chung một ảnh. Cũng như vậy, có thể xảy ra trường hợp một phần tử của tập ñích
không phải là ảnh của bất kì phần tử nào của nguồn.

1.3.2. ðồ thị của ánh xạ
ðịnh nghĩa 18. Ánh xạ
f:X Y
→
. Tập F các cặp (x, y) sao cho y = f(x) gọi là ñồ thị của ánh xạ
f.
Ví dụ. Xác ñịnh ñồ thị của

2
y = x
.

1.3.3. Ánh xạ bằng nhau, thu hẹp và mở rộng ánh xạ
ðịnh nghĩa 19. Giả sử f và g là hai ánh xạ từ X ñến Y. ánh xạ f gọi là bằng nhau nếu
f (x) g(x)
=
với
x X
∀ ∈
.
Ví dụ.
1.
f:
→
ℝ ℝ
;
g:
→
ℝ ℝ


2
x x 1
−
֏

x (x 1)(x+1)
−

֏

Là hai ánh xạ bằng nhau.
2.
f:
→
ℝ ℝ
;
[
]
g: 1, 1
→ −
ℝ


x sin x
֏

x sin x
֏

Là hai ánh xạ không bằng nhau.
Sự thu hẹp một ánh xạ. Giả sử cho ánh xạ
f:X Y
→
,
A X
⊂
. Khi ñó ta xác ñịnh một ánh xạ
g:A Y

→
sao cho
x A: g(x) = f(x).
∀ ∈
Ánh xạ g xác ñịnh như vậy gọi là ánh xạ thu hẹp của f
vào tập con A và thường ñược kí hiệu:
A
g = f
.
Ví dụ. Ánh xạ
: , 2 1
f
g n n
A
= → +
ℕ ℤ ֏
là thu hẹp của ánh xạ
: , 2 1
f n n
→ +
ℤ ℤ ֏

Sự mở rộng một ánh xạ. Giả sử
g:A Y
→
là ánh xạ xác ñịnh trên tập con A của X và giả sử có
f:X Y
→
sao cho
A

f g.
=
Khi ñó ta nói rằng ánh xạ f là mở rộng của ánh xạ g trên toàn tập X.
Ví dụ. Mở rộng ánh xạ g trong ví dụ trên.

1.3.4. Ảnh và tạo ảnh
Cho ánh xạ
f:X Y
→
. Giả sử x và y là các phần tử của X và Y sao cho y = f(x). ta gọi phần tử y
là ảnh của phần tử x qua ánh xạ f, còn phần tử x gọi là một tạo ảnh của phần tử y.
a, Ảnh của một tập hợp
ðịnh nghĩa 20. Cho ánh xạ
f:X Y
→
và A là một tập con của X. Tập con của Y gồm ảnh của tất
cả các phần tử của A gọi là ảnh của A qua ánh xạ f, kí hiệu f(A).
9

Từ ñịnh nghĩa ta thấy rằng:
y Y, y f(A) x A: y = f(x)
∈ ∈ ⇔ ∃ ∈
.
hay:
{
}
f(A) = y Y x A: y = f(x)
∈ ∃ ∈

Imf = f(X): Ảnh toàn phần của X qua ánh xạ f.

Ví dụ. X = {1, 2, 3, 4}; Y = {a, b, c, d, e, f}

f:
1 2 3 4

a d c d
 
 
 
; A = {1, 2, 3} ; B = {2, 3, 4} ; C = {2, 4}
Suy ra: f(A) = {a, d, c}, f(B) = {c, d}, f(C) = {d}, f(X) = {a, c, d}
Chú ý. Ánh xạ
f:X Y
→
:
+
A , A X
≠ ∅ ⊂
thì
f(A)
≠ ∅
.
+
{
}
A= a
thì
{
}
f(A) f(a)

=
.
ðịnh lý 2. Cho ánh xạ
f:X Y
→
với hai tập con tuỳ ý A, B của X ta có:
f(A B) = f(A) f(B)
f(A B) f(A) f(B)
∪ ∪
∩ ⊂ ∩

b, Tạo ảnh của một tập hợp
ðịnh nghĩa 21. Cho ánh xạ
f:X Y
→
và U là một tập hợp con tuỳ ý của Y. Tập hợp con của X
gồm tất cả các phần tử
x X
∈
sao cho
f (x) U
∈
gọi là tạo ảnh toàn phần của U qua ánh xạ f và
ñược kí hiệu bởi
1
f (U)
−
.
{
}

1
f (U) = x X f(x) U
−
∈ ∈

Ví dụ. X = {a, b, c, d}; Y ={ 1, 2, 3, 4, 5, 6}
f:X Y
→
cho bởi bảng:
a b c d
2 1 2 5
 
 
 

Cho: B = {1, 3} thì
{
}
1
f (B) = b
−

B = {1, 2} thì
{
}
1
f (B) = a, b, c
−

Chú ý.

+ Nếu B là tập con khác rỗng của Y thì
1
f (B)
−
là tập con của X, tập này có thể là tập rỗng.
+ Nếu
1 2 1 2
y , y Y; y y
∈ ≠
thì
1
1
f (y )
−
và
1
2
f (y )
−
là hai tập con rời nhau của X:

1 1
1 2 1 2 1 2
y , y Y; y y f (y ) f (y )
− −
∈ ≠ ⇒ ∩ = ∅
.
ðịnh lý 3. Cho ánh xạ
f:X Y
→

. Với hai tập con tuỳ ý A, B của Y ta có:
1 1 1
1 1 1
f (A B) = f (A) f (B)
f (A B) = f (A) f (B)
− − −
− − −
∪ ∪
∩ ∩


1.3.5. Tích ánh xạ
ðịnh nghĩa 22. Giả sử cho hai ánh xạ
f:X Y
→
,
g :Y Z
→
. Ánh xạ:
X Z
x g(f(x))
→
֏

ñượ
c g
ọ
i là
tích của hai ánh xạ f và g, kí hiệu bởi:
g f


hoặc gf.
Theo ñịnh nghĩa ta có
x X: g f(x)= g(f(x))
∀ ∈

.
10

Ta cũng có
f:X Y
→
tuỳ ý ta luôn có:
Y X
1 f = f 1 f
=
 
trong ñó 1
X
, 1
Y
là các ánh xạ ñồng nhất.
Ví dụ. Cho
: , 2 1
: , 1
f x x
g y y
→ +
→ −
ℝ ℝ ֏

ℝ ℝ ֏
,
khi
ñ
ó
: , 2
g f x x
→
 ℝ ℝ ֏
là tích c
ủ
a ánh x
ạ
f và g.
Chú ý.

g f f g
≠
 
ngh
ĩ
a là tích các ánh x
ạ
không có tính ch
ấ
t giao hoán.

ðịnh lý 4. Tích các ánh xạ có tính chất kết hợp, nghĩa là nếu
f: X Y
→

,
g: Y Z
→
,
g: Z T
→

thì
h (g f) (h g) f
=
   
.

ðịnh lý 5. Tích hai ánh xạ có các tính chất sau:
1. Tích của hai ñơn ánh là một ñơn ánh.
2. Tích của hai toàn ánh là một toàn ánh.
3. Tích của hai song ánh là một song ánh.

ðịnh lý 6. Cho
f:X Y
→
,
g :Y U
→
và
h = g f

.
1. Nếu h là ñơn ánh thì f là ñơn ánh.
2. Nếu h là ñơn ánh và f là toàn ánh thì g là ñơn ánh.

3. Nếu h là toàn ánh thì g là toàn ánh.
4. Nếu h là toàn ánh và g là ñơn ánh thì f là toàn ánh.

1.3.6. ðơn ánh – Toàn ánh – Song ánh
a, ðơn ánh
ðịnh nghĩa 23. Ta gọi ánh xạ
f:X Y
→
là ñơn ánh nếu với hai phần tử khác nhau bất kì
1 2
x , x

của X và
1 2
x x
≠
ta luôn có
1 2
f(x ) f(x )
≠
.
Nói khác ñi
f:X Y
→
là ñơn ánh nếu mọi phần tử của Y có tối ña một tạo ảnh trong X.
ðơn ánh
f:X Y
→
còn ñược gọi là ánh xạ một- một từ X ñến Y. Ta có thể phát biểu ñịnh nghĩa
dưới dạng tương ñương:

f:X Y
→
là ñơn ánh nếu từ
1 2
f(x ) f(x )
=
ta luôn có
1 2
x x
=
.
Ví dụ.
1. Dễ dàng thấy rằng ánh xạ ñồng nhất
x
1 :X X
→
là ñơn ánh.
2. Ánh xạ
f:
→
ℝ ℝ
là ñơn ánh vì nếu
3 3
1 2
x x
=
thì
1 2
x x
=

.

3
x x
֏

Nhưng ánh xạ
g:
→
ℝ ℝ
không là ñơn ánh?

2
x x
֏

b, Toàn ánh
ðịnh nghĩa 24: Ánh xạ
f: X Y
→
gọi là một toàn ánh nếu f(X) = Y. Nói khác ñi:
f:X Y
→
là
một toàn ánh nếu với mọi
y Y
∈
tồn tại
x X
∈

sao cho
f(x) = y
.
Toàn ánh:
f:X Y
→
còn gọi là ánh xạ từ X lên Y.
Tóm tắt:
11

f:X Y
→
là toàn ánh
Imf = f(X) = Y
⇔

f:X Y
→
là toàn ánh
y Y, x X :f(x) = y
⇔ ∀ ∈ ∃ ∈
.
Ví dụ.
1. Ánh xạ ñồng nhất là một toàn ánh
x
1 : X X
→
.
2.
f:

→
ℝ ℝ
không phải là toàn ánh

x sinx
֏

Nhưng :
[
]
f: 1, 1
→ −
ℝ
là toàn ánh

x sinx
֏

3. Ánh xạ
f:
→
ℝ ℝ
là toàn ánh

3
x x
֏

Nhưng ánh xạ
g:

→
ℝ ℝ
không là toàn ánh?

2
x x
֏

c, Song ánh
ðịnh nghĩa 25. Ánh xạ
f: X Y
→
là một song ánh nếu nó vừa là ñơn ánh vừa là toàn ánh.
Nói khác ñi: ánh xạ
f: X Y
→
là một song ánh nếu với mọi
y Y
∈
có một và chỉ một
x X
∈
sao
cho
f(x) = y
. (Mọi
y Y
∈
tạo ảnh
1

f (y)
−
bao giờ cũng là tập một phần tử).
Song ánh:
f:X Y
→
còn gọi là ánh xạ một – một từ X lên Y.
Ví dụ.
1. Ánh xạ ñồng nhất
x
1 :X X
→
là song ánh.
ánh xạ
f:
→
ℝ ℝ
là song ánh .

3
x x
֏

2. Cho
{
}
X = 1, 2, 3
. Có 6 song ánh cho bởi bảng sau:
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 3 2 2 3 1

1 2 3 1 2 3 1 2 3
2 1 3 3 2 1 3 1 2
     
     
     
     
     
     


1.3.7. Ánh xạ ngược
ðịnh nghĩa 26. Giả sử
f:X Y
→
và
g :Y X
→
là hai ánh xạ sao cho
X
g f = 1

và
Y
f g = 1

(
X
1
,
Y

1
là các ánh xạ ñồng nhất). Khi ñó g gọi là ánh xạ ngược của ánh xạ f.
Do tính chất ñối xứng trong ñịnh nghĩa nên nếu g là ánh xạ ngược của f thì f cũng là ánh xạ
ngược của g.
Ví dụ. Ánh xạ ngược của ánh xạ
f:
→
ℝ ℝ
là ánh xạ
f:
→
ℝ ℝ


3
x x
֏

3
x x
֏

ðịnh lý 7. Ánh xạ
f:X Y
→
có ánh xạ ngược khi và chỉ khi f là song ánh.
ðịnh lý 8. Giả sử
g :Y X
→
và

g :Y X
′
→
ñều là ánh xạ ngược của ánh xạ
f:X Y
→
. Khi ñó:
g = g
′
.
12


1.4. Lôgic mệnh ñề
1.4.1 Mệnh ñề và các phép liên kết lôgic
a. Mệnh ñề. Trong ngôn ngữ thông thường, ta hiểu mệnh ñề là những câu biểu thị, diễn ñạt một ý
gì ñó.
Những câu phản ánh ñúng hoặc sai thực tế khách quan ñược gọi là các mệnh ñề.
ðối tượng của lôgic mệnh ñề là các mệnh ñề. Ta qui ước các mệnh ñề phải thoả mãn hai ñiều
kiện sau:
- Mỗi mệnh ñề ñều phải hoặc ñúng hoặc sai.
- Mỗi mệnh ñề không thể vừa ñúng vừa sai.
Trong lôgic mệnh ñề ta chỉ quan tâm tới tính ñúng sai của mệnh ñề mà không quan tâm tới ý
nghĩa, nội dung, cấu trúc ngữ pháp của nó.
Ta qui ước mệnh ñề có giá trị bằng 1 nếu nó ñúng, có giá trị bằng 0 nếu nó sai.
Vì mỗi mệnh ñề chỉ có thể hoặc ñúng hoặc sai nên nó chỉ có thể nhận ñược một trong hai giá trị
0 hoặc 1. Các giá trị 1 hoặc 0 gọi là giá trị chân lí của các mệnh ñề.
Ví dụ. Mệnh ñề: 1 + 2 = 4.
Số 15 chia hết cho 3.
Giá trị chân lí của mệnh ñề (1) bằng 0

Giá trị chân lí của mệnh ñề (2) bằng 1.
Các mệnh ñề ñơn giản, tức là các mệnh ñề không thể chia nhỏ thành các mệnh ñề khác ñược gọi
là các mệnh ñề sơ cấp.
b. Các phép toán lôgic trên mệnh ñề.
Với các phép toán ñại số, từ các số x, y nào ñó ta có thể lập ñược các số mới – x, x + y, x – y,
x.y, …. Tương tự như thế trên tập hợp các mệnh ñề với một vài mệnh ñề cho trước bằng một qui
tắc nhất ñịnh ta có thể lập ñược các mệnh ñề mới. Các quy tắc thiết lập mệnh ñề mới này gọi là
các phép toán mệnh ñề.
*) Phép phủ ñịnh
ðịnh nghĩa 27. Phủ ñịnh của mệnh ñề p, kí hiệu
p
, ñọc là “ không p”, một mệnh ñề sai khi p
ñúng và ñúng khi p sai.
Bảng giá trị chân lí:
p
p

1 0
0 1
Ví dụ. Phủ ñịnh của mệnh ñề
2 2
<
là mệ
nh
ñề
“
2
không nh
ỏ
h

ơ
n 2”.
* Phép hội
ðịnh nghĩa 28.
H
ộ
i c
ủ
a hai m
ệ
nh
ñề
p và q, kí hi
ệ
u là:
p q
∧
,
ñọ
c là “ p và q” là m
ệ
nh
ñề

ñ
úng
khi c
ả
hai cùng
ñ

úng và sai trong các tr
ườ
ng h
ợ
p còn l
ạ
i.

B
ả
ng giá tr
ị
chân lí:
p Q
p q
∧

1 0 0
0 1 0
1 1 1
13

0 0 0
Ví d
ụ
. Xác
ñị
nh h
ộ
i c

ủ
a hai m
ệ
nh
ñề
và giá tr
ị
chân lí c
ủ
a
p q
∧
.
p: S
ố
1794 chia h
ế
t cho 3
q: S
ố
1794 chia h
ế
t cho 9
Ta có: p = 1, q = 0 nên
p q
∧
= 0.
H
ộ
i c

ủ
a hai m
ệ
nh
ñề
là: “ S
ố
1794 v
ừ
a chia h
ế
t cho 3 v
ừ
a chia h
ế
t cho 9”.
*) Phép tuyển
ðịnh nghĩa 29.
Tuy
ể
n c
ủ
a hai m
ệ
nh
ñề
p và q, kí hi
ệ
u là
p q

∨
,
ñọ
c là p ho
ặ
c q, là m
ộ
t m
ệ
nh
ñề

sai khi c
ả
hai cùng sai và
ñ
úng trong các tr
ườ
ng h
ợ
p còn l
ạ
i.

B
ả
ng giá tr
ị
chân lí:
p q

p q
∨

1 0 1
0 1 1
1 1 1
0 0 0
Ví d
ụ
.
1. M
ệ
nh
ñề
“2 bé h
ơ
n ho
ặ
c b
ằ
ng 3”
ñ
úng vì nó là tuy
ể
n c
ủ
a hai m
ệ
nh
ñề

“ 2 bé h
ơ
n 3” và m
ệ
nh
ñề
“ 2 b
ằ
ng 3” trong
ñ
ó có m
ệ
nh
ñề
th
ứ
nh
ấ
t
ñ
úng.
2. “ Hàm s
ố

2
y = (x + 1)
là hàm s
ố
ch
ẵ

n hay hàm s
ố
l
ẻ
” là tuy
ể
n c
ủ
a hai m
ệ
nh
ñề
: “ Hàm s
ố

2
y = (x + 1)
là hàm s
ố
ch
ẵ
n” và m
ệ
nh
ñề
: “ Hàm s
ố

2
y = (x + 1)

là hàm s
ố
l
ẻ
”. M
ệ
nh
ñề
tuy
ể
n
này sai vì c
ả
hai m
ệ
nh
ñề
t
ạ
o thành
ñề
u sai.
*) Phép kéo theo.
ðịnh nghĩa 30.
Cho hai m
ệ
nh
ñề
p và q. M
ệ

nh
ñề
kéo theo
p q
⇒

ñọ
c là “p kéo theo q” hay “
N
ế
u p thì q” là m
ệ
nh
ñề
ch
ỉ
sai kho p
ñ
úng q sai.

B
ả
ng giá tr
ị
chân lí:
p q
p q
⇒

1 0 0

0 1 1
1 1 1
0 0 1
*) Phép tương ñương
ðịnh nghĩa 31. Cho hai mệnh ñề p và q. Mệnh ñề “p tương ñương với q” hay “p nếu và chỉ nếu
q”, kí hiệu
p q
⇔
, là một mệnh ñề ñúng khi và chỉ khi cả hai mệnh ñề cùng ñúng hoặc cùng sai,
sai trong các trường hợp còn lại.
Bảng giá trị chân lí:
P q
p q
⇔

1 0 0
0 1 0
1 1 1
0 0 1

14

1.4.2. Các lượng từ
ðịnh nghĩa 32. Giả sử P(x) là một hàm mệnh ñề xác ñịnh trên tập X
a)
(
)
x X
P x
∈

∀
(ñọc là “với mọi x
∈
X ta có P(x)”) là một mệnh ñề ñúng nếu E
P(x)
= X và sai
trong trường hợp còn lại.
Ký hiệu
∀
(ñọc là “với mọi” ) gọi là
l
ượng từ toàn thể.
b)
x X
( )
P x
∈
∃
(ñọc là “tồn tại” ) ít nhất một x
∈
X sao cho P(x) là một mệnh ñề ñúng nếu
( )P X
E
≠ ∅
và sai trong các trường hợp còn lại.
Ký hiệu
∃
(ñọc là “tồn tại”) gọi là lượng từ tồn tại
Chú ý.
a) Mệnh ñề

(
)
x X
P x
∈
∀
gọi là mệnh ñề phổ dụng
Theo ñịnh nghĩa ta có mệnh ñề
(
)
x X
P x
∈
∀
là ñúng khi và chỉ khi hàm mệnh ñề P(x) là
hằng số ñúng trên X.
b) Mệnh ñề
x X
( )
P x
∈
∃
gọi là mệnh ñề tồn tại
Theo ñịnh nghĩa ta có mệnh ñề
x X
( )
P x
∈
∃
thực hiện ñược trên

( )P X
E
≠ ∅
. Trong ñó các
mệnh ñề
(
)
x X
P x
∈
∀
và
x X
( )
P x
∈
∃
biến tử x gọi là biến tử bị ràng buộc.
Ví dụ.
1)
(
)
x X
P x
∈
∀
(x
2
+ 1> 0) là mệnh ñề ñúng.
2)

x N
∈
∀
(n : 6)
⇔
(n :2 : 3) là mệnh ñề ñúng
3)
x Q
∈
∃
(x
2
= 2) là mệnh ñề sai.
4)
x R
∈
∃
(x
2
= 2) là mệnh ñề ñúng.
1.4.3. Về các phương pháp chứng minh: Trực tiếp, Phản chứng, quy nạp.
Có nhiều phương pháp chứng minh. Dưới ñây là một vài phương pháp chứng minh thông dụng
nhất.
(ii), Phương pháp chứng minh trực tiếp
Khi ta chứng minh mệnh ñề B bằng cách vạch rõ B là kết luận lôgic của những tiên ñề
ñúng A
1
, A
2
,…, A

n
nghĩa là B là một kết luận chứng minh thì ta bảo là ñã chứng minh trực tiếp
mệnh ñề B.
Ví dụ.
Ta xét chứng minh ñịnh lý sau trong sách giáo khoa phổ thông (Hình học 7) “ðịnh lý –
Trong tam giác cân hai góc ở ñáy bằng nhau”.
(ii), Phương pháp chứng minh bằng phản chứng
Cơ sở lôgic của phương pháp chứng minh bằng phản chứng là như sau: Muốn chứng
minh mệnh ñề p là ñúng, ta giả thiết p là sai, tức là
p
là ñúng. Sau ñó chứng minh rằng
p q
⇒

là ñúng và q là sai tức
p
là ñúng (hoặc chỉ ra rằng
q
là mệnh ñề ñúng ñã biết).
Từ ñó, theo ñịnh nghĩa của phép kéo theo, q sai thì
p
sai,
p
sai thì p ñúng (luật bài
trung).
15

Ta cũng có thể rút ra kết luận p ñúng bằng cách áp dụng quy tắc suy luận sau:
,
;

p q q p q q
p p
⇒ ⇒ ∧

Chú ý. Các mệnh ñề toán học cần phải chứng minh thường có dạng p
⇒
q. Vì vậy khi chứng
minh mệnh ñề p
⇒
q bằng phản chứng ta giả thiết p
⇒
q là sai, tức
p q
⇒
là ñúng hay p
∧

q

là ñúng. Sau ñó chứng minh rằng p
∧

q

⇒
r là ñúng và
r
là ñúng. Áp dụng quy tắc suy luận
,
p q r r

p q
∧ ⇒
⇒

Ta rút ra kết luận p
⇒
q là ñúng.
Ví dụ. Chứng minh mệnh ñề.
Một ñường thẳng cắt một trong hai ñường thẳng song song thì cũng phải cắt ñường kia.
(iii). Phương pháp chứng minh quy nạp toán học
Giả sử P(n) là một tính chất nào ñó liên quan ñến số tự nhiên n, nói khác ñi, P(n) là một
mệnh ñề xác ñịnh trên tập N các số tự nhiên.
ðể chứng minh tính chất P(n) ñúng với mọi số tự nhiên n, nghĩa là chứng minh mệnh ñề phổ
dụng sau ñây là ñúng

n N
∈
∀
P(n),
người ta thường dùng phương pháp chứng minh quy nạp toán học.
Cơ sở lôgic của phương pháp này là quy tắc suy luận tổng quát sau
1)
(
)
(
)
0 , ( ) ( 1)
( )
k
k

P P k P K
P n
∈
∈
∀ ⇒ +
∀
ℕ
ℕ
;
2)
(
)
(
)
0
, ( ) ( 1)
( )
k
n n
P n P k P K
P n
∈
≥
∀ ⇒ +
∀
ℕ

Theo phương pháp chứng minh quy nạp toán học, ñể chứng minh mệnh ñề
(
)

n
P n
∈
∀
ℕ
ta tiến hành
theo ba bước sau
Bước 1 – Chứng minh P(0) là ñúng.
Bước 2 – Giả sử P(k) là ñúng, ta chứng minh P(k + 1) là ñúng.
Bước 3 – Kết luận P(n) ñúng
n N
∀ ∈

Chú ý. ðể chứng minh mệnh ñề
(
)
n
P n
∈
∀
ℕ
là ñúng nghĩa là P(n) ñúng
∀
n = n
0
, ở bước 1 ta
chứng minh P(n
0
) là ñúng.
Ví dụ. Chứng minh rằng: 2

n
> n,
n N
∀ ∈
.


*) Tài liệu học tập
[1]. Hoàng Xuân Sính, Trần Phương Dung, (2004), Nhập môn Toán cao cấp, Nhà xuất bản
ðại học Sư phạm.
[2]. Hoàng Xuân Sính, Nguyễn Mạnh Trinh, (1998), Tập hợp và lôgic, Nhà xuất bản giáo
dục.
16

[3]. Phan Doãn Thoại (chủ biên), (2003), Bài tập ðại số và Số học, Nhà xuất bản ðại học Sư
phạm.

*) Câu hỏi, bài tập, nội dung ôn tập và thảo luận
1.1

Các tập dưới ñây ñược cho bằng cách chỉ rõ thuộc tính ñặc trưng. Hãy xác ñịnh tập hợp ñó
bằng cách liệt kê.
a) A = {x ∈ N | x có 2 chữ số và chữ số hàng chục của nó bằng 3}.
b) B = {x ∈ N | x là ước của 15}.
c) C = {x ∈ N | x là số nguyên tố không lớn hơn 16}.
1.2

Hãy phát viết lại các tập sau ñây theo cách chỉ rõ thuộc tính ñặc trưng.
a) A = {3, 6, 9, 12, 15}.
b) B = {2, 3, 5, 7}.

1.3

Cho A là tập các số nguyên dương chia hết cho 3, còn B là tập các số nguyên dương mà tổng
các chữ số chia hết cho 3. Xét mối quan hệ giữa 2 tập A, B.
1.4

Cho A = {n ∈ N| n + m = 8 với m ∈ N} và B ={m ∈ N| n + m = 8 với n ∈ N}.
Chứng minh A = B.
1.5

Cho A là tập hợp gồm các ước số chung của a & b. Gọi d là ước số chung lớn nhất của a & b
và B là tập hợp các ước số của d. Chứng minh A = B. Cho ví dụ minh hoạ .
1.6

Tìm tất cả các tập con của tập M các số nguyên tố lớn hơn 2 và bé hơn 8.
1.7
Chứng minh ñẳng thức A = B , với
A = {n ∈
ℕ
n
⋮
6 } ; B = {n ∈
ℕ
n
⋮
2 và n
⋮
3 }
1.8

Chứng minh ñịnh lý:
a) A

∩ B = A khi và chỉ khi A ⊂ B.
b) A

∪ B = B khi và chỉ khi A ⊂ B.
1.9

Cho A, B, C là 3 tập hợp. Chứng minh rằng:
a) Nếu A

∩ C ⊂ A

∩ B và A

∪

C ⊂ A

∪ B thì C ⊂ B.
b) Từ A

∪

B = A

∪ C có thể suy ra ñược B = C không ? Cho ví dụ.
c) Chứng minh rằng nếu A

∪

C = A

∪ B và A

∩

C = A

∩ B thì B = C.
1.10

Cho A, B là các tập tuỳ ý. Chứng minh:
a) B ∪ (A

–

B) = A

∪ B.
b) A – (A – B) = A ∩ B.
1.11

17

Giả sử A, B là các tập con của tập X. Chứng minh rằng:
C
X
(A) = B khi và chỉ khi A ∪ B = X và A ∩ B = ∅.

1.12

Tích ñề các A
×
B
×
C gồm bao nhiêu phần tử nếu:
a) A gồm 2 phần tử, B gồm 4 phần tử, C gồm 3 phần tử.
b) A gồm p phần tử, B gồm q phần tử, C gồm r phần tử.
1.13

Hãy liệt kê các phần tử của các tập con sau ñây của tập N
×
N.
a) A = {(a, b) | a + b = 9, a ∈ N, b ∈ N}.
b) B = {(a, b) | a = 5 – 2b, a ∈ N, b ∈ N}.
1.14

a) Cho tập hợp X = { 1, 2, 3, 4, 5 } . Trong X xác ñịnh quan hệ hai ngôi S như sau : a S b ⇔ a +
b là số chẵn
Hãy liệt kê tất cả các phần tử của quan hệ S . Xét xem quan hệ S có những tính chất nào .
b) Trong tập các số thực R cho quan hệ S xác ñịnh như sau: x S y khi và chỉ khi
x
2
+ y
2
+ 4x = 6y – 15. Chứng minh rằng quan hệ S là tập rỗng.
1.15

Trên tập

ℤ
các số nguyên xác ñịnh quan hệ S như sau:
a S b khi và chỉ khi a + b chia hết cho 2. Hãy xem quan hệ này có tính chất gì ?
1.16

Trên tập
ℤ
các số nguyên xác ñịnh quan hệ ρ như sau: a ρ b khi và chỉ khi
a – b chia hết cho 3. Hãy xem quan hệ này có tính chất gì ?
1.17

Trong mặt phẳng cho ñường thẳng a cố ñịnh. Trên tập X các ñiểm của mặt phẳng xác ñịnh
quan hệ ρ như sau: Với M, N ∈ X, M ρ N khi và chỉ khi khoảng cách từ M tới ñường thẳng a
bằng khoảng cách từ N tới ñường thẳng a.
a) Chứng tỏ rằng ρ là một quan hệ tương ñương.
b) Cho A là ñiểm cố ñịnh. Hãy xác ñịnh tập [A] bằng cách sử dụng ngôn ngữ quỹ tích.
1.18
Giả sử X là tập các ñiểm trên mặt phẳng, O là ñiểm cố ñịnh thuộc X. Trên X xác ñịnh quan hệ S
như sau:
M S N khi và chỉ khi M, N, O cùng nằm trên ñường thẳng nào ñó.
a) S có phải là quan hệ tương ñương trên X không ?
b) S có phải là quan hệ tương ñương trên X – {O} không ?. Nếu phải, xác ñịnh lớp tương ñương
chứa ñiểm A. Hãy mô tả tập thương X – {O}/ S.
1.19
Trong tập các số thực
ℝ
xác ñịnh quan hệ S như sau: x S y ⇔ |x| = |y|.
a) Chứng tỏ S là quan hệ tương ñương.
b) Cho a là số thực, tìm [a].
1.20

Trong tập
×
ℝ ℝ
ta xác ñịnh quan hệ S như sau: (x
1
, y
1
) S (x
2
, y
2
) ⇔ x
1
= x
2
.
18

Chứng tỏ S là quan hệ tương ñương. Hãy xác ñịnh lớp [a, b] và tập thương
×
ℝ ℝ
/ S. Sau ñó
minh hoạ bằng hình vẽ (coi (x, y) là ñiểm có toạ ñộ (x, y) trong mặt phẳng với hệ trục toạ ñộ
Oxy).
1.21

Trong tập
*
×ℤ

ℕ
ta xác ñịnh quan hệ ~ như sau: (a, n) ~ (b, m) ⇔ a.m

= b.n.
a) Chứng minh rằng ~ là quan hệ tương ñương.
b) Hãy xác ñịnh tập thương
*
×ℤ
ℕ
/ ~.
1.22

Trong tập các số thực R. Chứng minh rằng quan hệ S trên R xác ñịnh bởi:
x S y khi và chỉ khi x
3
– y
3
= x – y là quan hệ tương ñương.
Tuỳ theo giá trị của a, tìm các phần tử trong lớp tương ñương [a].
1.23

Cho X = {1, 2, 3} và một quan hệ hai ngôi S trên X.
a) Chứng minh rằng nếu S là quan hệ tương ñương trên X chứa các phần tử (1, 2) và (1, 3) thì S
= X
×
X.
b) Trong trường hợp S là tập con thực sự của X
×
X, chứa (1, 2), hãy tìm S sao cho S là một quan
hệ tương ñương trên X.

1.24

a) Trong tập R các số thực xét quan hệ S như sau: x S y ⇔ x
3
≤ y
3
. S có là quan hệ thứ tự
không ? Tập R cùng với quan hệ S có là tập sắp thứ tự tuyến tính không ?
b) Cũng trong tập R xét quan hệ T như sau: x T y ⇔ x
2
≤ y
2
. Quan hệ T có là
quan hệ thứ tự không ?
1.25

Trong tập các số nguyên Z xét quan hệ S như sau: n S m ⇔ |n| ≤ |m|. Quan hệ S có là quan hệ
thứ tự không ? tại sao ?
1.26

Cho X = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
A = {2, 4, 6, 8, 10}.
B = {2, 4, 8}.
Trên X xét quan hệ thứ tự là quan hệ “ chia hết ” ( \ ).
a) Tìm phần tử nhỏ nhất lớn nhất (nếu có) của các tập X, A, B.
b) Tìm các tập T(A), D(A), T(B), D(B).
c) Tìm chặn trên nhỏ nhất, chặn dưới lớn nhất (nếu có) của các tập A, B.
d) Tìm các phần tử tối ñại , tối tiểu của X.
1.27

Xét tập hợp sắp thứ tự
ℕ
với quan hệ thứ tự ≤ và bộ phận của
ℕ
với
A = {2, 3, 4 , 5 , 6, 7}.
Tìm phần tử lớn nhất, phần tử nhỏ nhất, chặn trên , chặn dưới , chặn trên nhỏ nhất ,chặn dưới lớn
nhất , phần tử tối ñại, phần tử tối tiểu của bộ phận A .
1.28

Xét tập hợp sắp thứ tự
*
ℕ
với quan hệ thứ tự “ chia hết ” ( \ ) và bộ phận A ⊂
*
ℕ
với
19

A = {2, 3, 4 , 5 , 6, 7}.
Tìm phần tử lớn nhất, phần tử nhỏ nhất, chặn trên , chặn dưới , chặn trên nhỏ nhất ,chặn dưới lớn
nhất , phần tử tối ñại, phần tử tối tiểu của bộ phận A .
1.29

a) Giả sử A là tập các phần tử có dạng a
n
= 3
n
với n ∈
ℕ

. Chứng minh rằng A là tập sắp thứ tự
tuyến tính với quan hệ thứ tự chia hết.
b) Chứng minh rằng trong một tập sắp thứ tự tuyến tính phần tử lớn nhất (bé nhất) là phần tử tối
ñại ( tối tiểu) và ngược lại.
1.30

Cho X = { a , b, c, d}.
Y = {1 , 2, 3, 4 , 5 , 6}.
a) Hãy thiết lập một số ánh xạ từ X ñến Y.
b) Chỉ ra ba quy tắc cho tương ứng các phần tử của X với các phần tử của Y mà không phải là
ánh xạ từ X ñến Y .Dùng biểu ñồ ven ñể minh hoạ .
1. 31
Cho ánh xạ f: R → R
x
֏
x
2
– 3x + 1
Hãy tìm:
a) Ảnh của các ñiểm 0, 1 và –1.
b) Ảnh của tập các ñiểm trên ñoạn [–1, 2].
c) Tìm tạo ảnh toàn phần của 1 , –1.
d) f
-1
([–1; 1]) .
1.32

Cho ánh xạ ϕ: R
×
R → R

×
R
(x, y)
֏
(2x, 2y)
Cho A = {(x, y) ∈ R
×
R | (x – 4)
2
+ y
2
= 4}.
a) Tìm ϕ(A), ϕ
–1
(A).
b) Biểu diễn các tập A, ϕ(A), ϕ
–1
(A) trên mặt phẳng toạ ñộ R
×
R.
1.33

Cho hàm số ϕ: R → R, xác ñịnh bởi ϕ(x) = | x + 1|.
Hãy tìm f(A), f
–1
(f(A)), với A = [– 2, 1].
1.34

Cho ánh xạ f: X → Y ; A, B là các tập con của X ; U, V là các tập con của Y.
Chứng minh rằng:

a) A ⊂ f
–1
(f(A)).
b) f(f
–1
(U)) ⊂ U.
c) f(X) – f(A) ⊂ f(X – A).
1.35
Cho f: X → Y.

x
֏
2x
ánh xạ ñó có là ñơn ánh, toàn ánh, song ánh không trong các trường hợp sau:
a) X = Z, Y = R.
20

b) X = Y = Z.
1.36

Chứng minh rằng nếu f: X → Y là một ñơn ánh và A, B là các tập con của X thì:
a) f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B).
b) f(X – A) = f(X) – f(A).
1.37

Cho hàm số f: R → R và g: R → R
x
֏
x
2

– x + 1 x
֏
2x – 1
Xác ñịnh các hàm số hợp: f.g và g.f.
1.38

Cho ánh xạ f: X → Y (X, Y ? ∅). Chứng minh rằng:
a) f là ñơn ánh khi và chỉ khi có ánh xạ g: Y → X sao cho g.f = 1
X
.
b) f là toàn ánh khi và chỉ khi có ánh xạ g: Y → X sao cho f.g = 1
Y
.
1.39

Cho ánh xạ f : X → Y và
g,g
′

: U → X. Chứng minh rằng:
a) Nếu f là ñơn ánh và
fg fg
′
=
thì
g g
′
=
.
b) Nếu với mọi

g,g
′

mà từ
fg fg
′
=
luôn kéo theo
g g
′
=
thì f là ñơn ánh.
1.40

Cho ba ánh xạ f: X → Y và
h,h
′
: Y → X. Chứng minh rằng nếu f là toàn ánh và
hf h f
′
=
thì
h h
′
=
. Ngược lại nếu với mọi
h, h
′
có
hf h f

′
=
luôn kéo theo
h h
′
=
thì f là một toàn ánh.
1.41

Chứng minh rằng các ánh xạ sau là song ánh và tìm ánh xạ ngược của mỗi ánh xạ ñó
a) f:
ℝ
→
ℝ
b) g:
ℝ
→
ℝ

x
֏
2x x
֏
- x
c) h:
ℝ
→
ℝ
d) k:
ℝ

→
ℝ

x
֏
x
3
x
֏

1
x

1.42

Những câu nào trong các câu sau là mệnh ñề?
a) 2.3 = 6.
b) Với mọi số thực x, sinx
1.
≤

c) (2 + 5).(3 + 7) = 100.
d) Tổng các góc trong một tam giác có bằng 180
0
hay không?
1.43

Từ các mệnh ñề p là: “ 2 = 3 ” ; q là: “ 2 < 3” , hãy thành lập các mệnh ñề sau và tìm giá trị chân
lý của nó?
p, q, p q, p q, p q, q p, p q

∧ ∨ ⇒ ⇒ ⇔
.
1.44

Phát biểu thành lời các mệnh ñề sau rồi tìm giá trị chân lý của nó, với ký hiệu:
P(x) là “ x là số chẵn ”.
T(x) là “ x là số lẻ ”.
H(x) là “ x là bội của 6 ”.
21

a)
( x N) [P(x) T(x)]
∀ ∈ ∨
c)
( x N) [H(x) P(x)]
∀ ∈ ⇒

b)
( x N) [P(x) T(x)]
∀ ∈ ∧
d)
( x N) [P(x) H(x)]
∀ ∈ ⇒

1.45

Hãy dùng ký hiệu lôgic ñể viết các mệnh ñề sau rồi chỉ ra tính ñúng sai của nó.
a) “ Tồn tại số thực x sao cho với mọi số thực y, x + y = x ”.
b) “ Tồn tại số thực x sao cho với mọi số thực y, x + y = y ”.
c) “ Với mọi cặp số nguyên x, y tồn tại số nguyên z sao cho x + z = y ”.

1.46 Xác ñịnh xem trong số các câu sau ñây câu nào là mệnh ñề, câu nào là hàm mệnh ñề?
Trong trường hợp câu là hàm mệnh ñề hãy tìm miền ñúng của nó.
a) 2
0
= 1 b) x
0
= 1 c) x
2
≥ 0
d) ax
2
+ bx + c > 0, a, b, c là những số thực khác 0.
e) ðường thẳng x song song với ñường thẳng y.
1.47
Tìm miền ñúng của các hàm mệnh ñề sau:
a) ϕ (x): “ x là ước chung của 12 và 18”.
b) ψ (x): “ x và y là các số nguyên thoả mãn 2x + 6y = 5”.
c) f(x,y): “x và y là các số thực thoả mãn x
2
+ y
2
= 1”.
1.48

Tìm miền ñúng của các hàm mệnh ñề xác ñịnh trên tập hợp các số thực
ℝ

a) 2x +1 > 5x
b) x
2

+ 15x – 16 = 0
1.49

Tìm miền ñúng của các hàm mệnh ñề xác ñịnh trên tập hợp các số tự nhiên
ℕ

a) n chia hết cho 2 và cho 3 .
b) n chia hết cho 5.
c) n chia cho 5 dư 3.
1.50
Tìm miền ñúng của các hàm mệnh ñề xác ñịnh trên tập hợp các số thực
ℝ

a) ϕ (x): “  2x + 1> 0 ”
b) ψ (x): “ 2x + 1≤ 0 . ”
1.51.
Hãy phát biểu thành lời câu tương ứng với các hàm mệnh ñề sau:
a) (P (x,y) ∧ Q(x,y ) ) ⇒ (P(x,z)), trong ñó P(x,y) là: “x chia hết cho y”, còn Q(x,y) là: “y
bằng z”.
b) (
P(x)
∧
Q(x)
) ⇒ r(x), trong ñó: P(x) là: “x là số nguyên tố, Q(x) là: “x là số lẻ”, r(x) là: “
x chia hết cho 2”.
1.52
Hãy chứng minh các ñẳng thức tập hợp sau ñây:
a) C
X
(Eϕ(x) ⇒ ψ(x) ) = Eϕ(x) ∧

( )
x
ψ
.
b) C
X
(Eϕ(x) ∧ ψ(x) ) = C
X
(E

ϕ(x)) ∪

C
X
(Eψ(x) ).
Trong ñó ϕ(x), ψ(x) là các hàm mệnh ñề xác ñịnh trên miền X.
1.53

Cho ϕ(x), ψ(x) là các hàm mệnh ñề xác ñịnh trên X. Miền ñúng của chúng cần phải có quan hệ
thế nào ñể ϕ(x) ∧ ψ(x) nhận giá trị 1 khi:
22

a) Với x nào ñó trong X.
b) Với tất cả các giá trị của X trong Eϕ(x)?
1.54

Cho ϕ(x) và ψ(x) là các hàm mệnh ñề xác ñịnh trên X. Miền ñúng của chúng cần phải có quan
hệ thế nào ñể ϕ(x) ⇒ ψ(x) nhận giá trị 1.
a) Với tất cả các giá trị của x trong X?
b) Không với giá trị nào của x trong X?

1.55

Cho ϕ(x) và ψ(x) là các hàm mệnh ñề xác ñịnh trên X. Ta ñịnh nghĩa hàm mệnh ñề ϕ(x) ⇔ ψ(x)
là:” ϕ(x) ⇒ ψ(x) và ψ(x) ⇒ ϕ(x)”. Chứng minh rằng Eϕ(x) ⇔ ψ(x)= X khi và chỉ khi Eϕ(x) =
Eψ(x).
1.56

Cho X={a; b; c}. Giả sử ϕ(x), ψ(x) là các hàm mệnh ñề có miền ñúng lần lượt là Eϕ(x) = {a},
Eψ(x) = {b}.Từ các hàm mệnh ñề ϕ(x), ψ(x) dùng các phép toán trên các hàm mệnh ñề ñể lập
hàm mệnh ñề mới sao cho:
a) Miền ñúng của hàm mệnh ñề mới ñó là {c}
b) Miền ñúng của hàm mệnh ñề mới ñó là {a,b}
1.57
Hãy diễn ñạt các mệnh ñề sau bằng ngôn ngữ thông thường. Chỉ ra tính ñúng sai của các mệnh
ñề ñó:
a)
x R
∈
∀
(
x
= – x) b)
x R
∈
∃
(
x
= – x)
c)
x R y R

∈ ∈
∀ ∃
( x + y = 7) d)
x R y R
∈ ∈
∃ ∀
( x + y = 7)
1.58
Hãy dùng các ký hiệu ñể viết các mệnh ñề sau rồi chỉ ra tính ñúng sai của các mệnh ñề ñó.
a) Tồn tại số thực x sao cho với mọi số thực y có yx = y.
b)Với mọi số thực x, y tồn tại số thực z sao cho x + z = y.
c) Không tồn tại số hữu tỷ nào sao cho x
2
= 2 ( hoặc x
2
= 3).
1.59

Cho x, y, z là các số thực bất kỳ. Trước các hàm mệnh ñề sau hãy ñặt các lượng từ thích hợp có
ñược mệnh ñề ñúng.
a) (x + y)z = xz + yz.
b) x + 1 > y.
1.60

Cho P(x) và Q(x) là hai vị từ xác ñịnh trên tập hợp số tự nhiên N với
P(x): “x chia cho 3 dư 1”, Q(x):” x là số chẵn”.
Tìm miền ñúng của P(x), Q(x), P(x)
∨
Q(x), P(n)
∧

Q(n), P(n) => Q(n) và
( )
P x
.
1.61

Dùng ký hiệu lô gic ñể biểu thị các vị từ sau:
a) Nếu x > 5 thì tồn tại y ñể x + y = 5.
b) Với mọi a, nếu a
≠
0 và tồn tại x
1
ñể x
1
là nghiệm của phương trình
23

ax
2
+ bx + c = 0 suy ra nếu tồn tại x
2
sao cho x
1
+ x
2
= –
b
a
và x
1

x
2
=
c
a
thì x
2
cũng là
nghiệm của phương trình ax
2
+ bx + c = 0.
1.62

Chứng minh các ñịnh lý sau bằng phương pháp phản chứng
a) Nếu n là số tự nhiên và n
2
chia hết cho 5 thì n chia hết cho 5.
b) Cho a+b < 2 thì một trong hai số phải nhỏ hơn 1.
c) Cho n là số tự nhiên, nếu 5n+4 là số lẻ thì n là số lẻ.
1.63
Chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học:
a) 1
2
+ 2
2
+…+ n
2
=
n(n 1)(2n 1)
6

+ +
, n
∈
N
*
.
b) n
3
+ (n + 1)
3
+ (n + 2)
3
chia hết cho 9, n
∈
N.
c) 2
n
> 2n +1 với mọi số tự nhiên n
≥
3.
1.64

Chứng minh các mệnh ñề sau bằng phương pháp quy nạp toán học:
a)
1 1 1

1.2 2.3 ( 1) 1
n
n n n
+ + + =

+ +
, với mọi n
∈
N và n
≥
1.
b)
( )
1 1
n
a na
+ ≥ +
, a
≥
-1 và n
≥
1 , n
∈
N( Bất ñẳng thức Becnuli)
1.65

Chứng minh các mệnh ñề sau bằng phương pháp phản chứng:
a) Trong tam giác cân, hai góc ở ñáy bằng nhau .
b) Trong một tam giác, ñối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn .


24

CHƯƠNG 2
Cấu trúc ñại số

Số tiết: 15 (Lý thuyết: 10; Bài tập, thảo luận: 05)
*) Mục tiêu:
- Sinh viên cần nắm ñược một số khái niệm cơ bản về cấu trúc ñại số: Nhóm, vành,
trường. Nghiên cứu kỹ về vành số thập phân, vành ña thức, trường số hữu tỷ, trường số thực,
trường số phức, trường phân thức hữu tỷ.
- Vận dụng ñể giải quyết những bài tập liên quan.

2.1. Sơ lược về nhóm, vành, trường
2.1.1. Phép toán hai ngôi
ðịnh nghĩa 1. Ta gọi phép toán hai ngôi (hay gọi tắt là phép toán) trong một tập hợp X một ánh
xạ từ X
×
X ñến X. Giá trị f(x,y) gọi là cái hợp thành của x và y.
Chú ý. Người ta hay ký hiệu phép toán hai ngôi bằng hai dấu: “+” và “.” (ñược gọi là phép cộng
và phép nhân). Thông thường ñối với dấu “.” ta thường quy ước bỏ ñi.
Sau ñây trong lý luận tổng quát, ta viết cái hợp thành của x và y là xy, nếu không có lý do nào
khiến ta phải viết khác.
Ví dụ.
1) Trong tập
ℕ
các số tự nhiên, phép cộng và nhân thông thường hai số tự nhiên là những phép
toán hai ngôi. Trong tập hợp
ℕ
*
=
ℕ
- {0}, phép hợp thành x
y
của x và y là một phép toán hai
ngôi.

2) Trong tập
ℤ
các số nguyên, phép trừ hai số nguyên thông thường là một phép toán hai ngôi,
nhưng trong tập
ℕ
các số tự nhiên phép trự hai số tự nhiên thông thường không là một phép
toán hai ngôi.

ðịnh nghĩa 2. Một bộ phận A của X gọi là ổn ñịnh ñối với phép toán hai ngôi trong X nếu và chỉ
nếu
xy A
∈
với mọi x, y
∈
A.
Phép toán hai ngôi * xác ñịnh trong bộ phận ổn ñịnh A bởi quan hệ x*y = xy với mọi x,y
∈
A
gọi là cái thu hẹp vào A của phép toán hai ngôi trong X. Hay * là phép toán cảm sinh trên A bởi
phép toán hai ngôi “.” của X. Ta thường ký hiệu phép toán cảm sinh như phép toán của X.

ðịnh nghĩa 3. Một phép toán hai ngôi trong một tập hợp X gọi là kết hợp nếu và chỉ nếu ta có:
(xy)z = x(yz) với mọi x,y,z
∈
X; gọi là giao hoán nếu: xy = yx với mọi x,y
∈
X.
Ví dụ. Phép nhân, phép cộng trong
ℕ
là kết hợp, giao hoán; nhưng phép mũ hóa trong

ℕ
không
kết hợp, không giao hoán.

ðịnh nghĩa 4. Giả sử cho một phép toán hai ngôi trong tập X. Một phần tử e của X ñược gọi là
ñơn vị trái của phép toán hai ngôi trong X nếu và chỉ nếu:
ex x
=
, với mọi
x X
∈
.
Tương tự, một phần tử e của X ñược gọi là ñơn vị phải của phép toán hai ngôi nếu và chỉ nếu:
xe x
=
, với mọi
x X
∈
.
Trong trường hợp một phần tử e của X vừa là phần tử ñơn vị trái, vừa là phần tử ñơn vị phải thì e
gọi là phần tử ñơn vị (hay phần tử trung lập) của phép toán hai ngôi.