Chương 2 giới hạn của dãy số và hàm số

1

Chương 2. Giới hạn của dãy số và hàm số
Lê Văn Trực

Giải tích tốn học. Tập 1. NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007.
Từ khố: Giải tích tốn học, giải tích, Giới hạn, giới hạn dãy số, giới hạn hàm số, dãy
số, hàm số, nguyên lý Cantor, nguyên lý Cauchy, giới hạn trên, giới hạn dưới, vô cùng
bé, vô cùng lớn, hàm số hợp, hàm số ngược.
Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể được sử dụng cho mục
đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục
vụ các mục đích khác nếu khơng được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả.

Mục lục
Chương 2 Giới hạn của dãy số và hàm số ............................................................................ 3
2.1.1

Định nghĩa dãy số................................................................................................... 3

2.1.2

Các tính chất của dãy hội tụ ................................................................................... 5

2.1.3 Giới hạn vô hạn ...................................................................................................... 8
2.2

Tiêu chuẩn hội tụ........................................................................................................ 9

2.2.1

Các định lý ............................................................................................................. 9

2.2.2

Số e....................................................................................................................... 10

2.2.3

Nguyên lý Cantor về dãy các đoạn thẳng lồng nhau và thắt lại ........................... 11

2.2.4

Sự hội tụ của dãy bị chặn ..................................................................................... 12

2.2.5

Nguyên lý Cauchy về sự hội tụ của một dãy số ................................................... 13

2.2.6 Giới hạn trên và giới hạn dưới ............................................................................. 14
2.3

Khái niệm về hàm số một biến số ............................................................................ 16


2

2.3.1

Định nghĩa ............................................................................................................ 16

2.3.2

Đồ thị của hàm số................................................................................................. 16

2.3.3 Hàm số hợp .......................................................................................................... 18
2.3.4 Hàm số ngược ...................................................................................................... 18
2.3.5

Các hàm lượng giác ngược................................................................................... 20

2.3.6

Các hàm số hypebol ............................................................................................. 22

2.3.7

Các hàm hypebol ngược....................................................................................... 23

2.4

Giới hạn của hàm số................................................................................................. 25

2.4.1

Lân cận của một điểm .......................................................................................... 25

2.4.2

Các định nghĩa giới hạn........................................................................................ 26

2.4.3 Giới hạn một phía................................................................................................. 29

2.4.4 Giới hạn vơ cùng .................................................................................................. 30
2.4.5

Các tính chất của giới hạn .................................................................................... 31

2.4.6

Tiêu chuẩn tồn tại giới hạn của hàm số................................................................ 31

2.4.7

Vô cùng bé. Vô cùng lớn...................................................................................... 32

2.4.8

Các giới hạn đáng nhớ.......................................................................................... 35

2.5

Bài tập chương 2 ...................................................................................................... 46


3

Chương 2
Giới hạn của dãy số và hàm số
2.1 Giới hạn của dãy số
2.1.1 Định nghĩa dãy số
Cho * ={1,2,3,…} là tập hợp các số tự nhiên. Một ánh xạ f: * →
một dãy số thực. Nếu đặt xn= f(n) thì ta có thể biểu diễn dãy số dưới dạng:

x1 , x2 , x3 ,..., xn ,...

được gọi là
(2.1.1)

Phần tử xn được gọi là số hạng thứ n của dãy số.
Để cho gọn ta sẽ ký hiệu dãy số bằng {xn}. Chỉ số n trong số hạng xn chỉ vị trí của số
hạng này trong dãy (2.1.1).
Trước hết ta hãy nêu ra một vài ví dụ về dãy:

1
1
1
1
⎧1 ⎫
⎨ ⎬ : x1 = 1, x2 = , x3 = , x4 = ,..., xn = ,...
n
2
3
4
⎩n ⎭

(2.1.3)

1
2
n
⎧ n ⎫
,...
⎨

⎬ : x1 = , x2 = ,..., xn =
2
3
n +1
⎩n + 1⎭

(2.1.4)

1 ⎫
1
1
1
1
⎧1
, x2 n =
,...
⎨ ,
⎬ : x1 = , x2 = 1, x3 = ,..., x2 n −1 =
2
4
2n
2n − 1
⎩ 2 n 2n − 1 ⎭

(2.1.5)

Ta thấy rằng các số hạng của dãy (2.1.3) và dãy (2.1.5) gần 0 tuỳ ý khi n tăng, các số
hạng của dãy (2.1.4) gần 1 tuỳ ý khi n tăng. Ta nói rằng dãy (2.1.3) và dãy (2.1.5) có giới hạn
0, cịn dãy (2.1.4) có giới hạn 1.
Bây giờ ta đưa ra định nghĩa chính xác về giới hạn của dãy.

Định nghĩa 1: Ta nói rằng số a là giới hạn của dãy {xn} nếu đối với mọi số dương ε bé tuỳ
ý đều tìm được một số p ∈ * sao cho ∀n > p, n ∈ * ta đều có:
|xn − a|< ε , tức là a− ε < xn < a+ ε .

(2.1.6)

Nếu a là giới hạn của dãy {xn} thì ta viết:
lim xn = a hay xn → a khi n → ∞ .
n →∞

(2.1.7)


4

Ta chú ý rằng số p ở trên nói chung phụ thuộc vào việc chọn ε . Để nhấn mạnh điều đó
đơi khi thay cho p ta sẽ
viết pε .
Khoảng mở (a− ε , a+ ε ) có tâm tại điểm a được gọi là lân cận của điểm a. Như vậy, để a
là giới hạn của dãy {xn} thì với lân cận bé bất kỳ của điểm a tất cả các phần tử xn của dãy
bắt đầu từ một chỉ số nào đó cần phải rơi vào trong lân cận đó (tức là ngồi lân cận đó chỉ
có thể có một số hữu hạn các phần tử xn).

Hình 2.1.1

Nếu dãy (2.1.1) có giới hạn, ta nói rằng nó hội tụ, nếu khơng có giới hạn được gọi là phân
kỳ.
Ví dụ 1
⎧ n ⎫
Hãy chứng minh dãy ⎨

⎬ có giới hạn là 1.
⎩n + 1⎭
Ta có: | xn − 1| =

1
1
. Với mọi ε cho trước
<ε
n +1
n +1
⇔ n +1 >

1

ε

⇔n>

1

ε

−1 .

1
⎡1
⎤
Nếu ta lấy pε = ⎢ − 1⎥ + 1 (phần nguyên của ( − 1 )) thì ∀n > pε ta có: |xn− 1|< ε .
ε
⎣ε

⎦
Do đó lim
n →∞

n
= 1.
n +1

Ví dụ 2
Hãy chỉ ra rằng dãy:
{( −1)n } : −1,1, −1,...,

(2.1.8)

khơng có giới hạn.
Giả sử rằng dãy có giới hạn là a. Khi đó với ε =1, tồn tại số p sao cho với n>p ta có |xn –
a|< ε =1.
Ta hãy chọn n lớn hơn p, khi đó n+1>p, cho nên
|xn+1 – a|<1.
Từ đó ta suy ra với n>p
|xn – xn+1|= |(xn − a)+ ( a −xn+1)| ≤ | xn − a|+| xn+1 − a|n< 1+1 = 2
điều này mâu thuẫn với tính chất của các số hạng của dãy (2.1.8) là: | xn – xn+1|= 2 ∀n ∈

*

.


5

2.1.2

Các tính chất của dãy hội tụ

a) Tính duy nhất
Định lý 2.1.1 Mọi dãy hội tụ đều có giới hạn duy nhất.
Chứng minh:
Giả sử dãy: (2.1.1) có hai giới hạn khác nhau a và b với a< b
1
2

Ta lấy số ε = ( b − a ) > 0 . Bởi vì, a là giới hạn của dãy (2.1.1), ta tìm được số p1 sao cho
với n> p1 ta có:
|xn– a|< ε
a – ε < xn < a+ ε

tức là

(2.1.9)

nhưng b cũng là giới hạn của dãy (2.1.1), nên với số ε nói trên, ta tìm được p2 sao cho với
n>p2 ta có:
|xn– b|< ε
b – ε < xn < b+ ε

tức là

(2.1.10)

Nếu lấy n > max(p1, p2) thì b – ε < xn < a+ ε ⇒ b – ε < a+ ε ⇒ b–a < 2 ε , điều này mâu

thuẫn với giả thiết b – a = 2 ε .
Định lý 2.1.2 Mọi dãy hội tụ đều bị chặn.
Chứng minh:
Giả sử lim xn = a . Theo định nghĩa với ε =1, ta tìm được một số tự nhiên p sao cho với
n →∞

mọi số tự nhiên n ≥ p, ta có:
xn − a < 1. Do x n − a ≤ xn − a nên xn < a + 1

Gọi k = max {|x1|,|x2|,|x3|,…,|xn|,|a|+1}. Khi đó|xn| ≤ k ∀ n=1,2,3,…, tức là dãy {xn } bị chặn.
Ta chú ý rằng dãy bị chặn không nhất thiết phải hội tụ.
Ví dụ:
Dãy có số hạng tổng qt xn= (–1)n là dãy bị chặn nhưng khơng hội tụ vì:
xn → 1 khi n = 2k → ∞; xn → −1 khi n = 2k + 1 → ∞;

Tuy nhiên |xn |=1, ∀ n.
b) Dãy con
Định nghĩa 2 Giả sử { kn } là dãy tăng các chỉ số, tức là

k1 < k2 < k3 < ...
Khi đó dãy với các số hạng
xk1 , xk2 , xk3 ,...

(2.1.12)


6

được gọi là dãy con của dãy (2.1.1). Hiển nhiên dãy con của dãy (2.1.12) cũng là dãy con của
dãy (2.1.1).

Ta chú ý rằng

kn ≥ n ∀ n ∈

*

.

(2.1.13)

Thật vậy k1 ≥ 1, cho nên k2>1 và do đó k2 ≥ 2, bởi vì k2 là số tự nhiên.
Một cách tổng quát giả sử ta đã chứng minh được kn ≥ n, ta nhận được kn +1 > n và do đó
kn +1 ≥ n + 1 . Các ví dụ về dãy con là:
x2 , x4 , x6 , x8 ,...,( k1 = 2, k2 = 4,..., kn = 2n )

(2.1.14)

x1 , x3 , x5 , x7 ,...( k1 = 1, k2 = 3,..., kn = 2n − 1)

(2.1.15)

x1 , x4 , x9 , x16 ,...( k1 = 1, k2 = 4,..., kn = n 2 )

(2.1.16)

x1 , x3 , x5 , x7 , x11 , x13 , x17 ,...( xn = pn , pn là số nguyên tố)

(2.1.17)

Định lý 2.1.3 Mọi dãy con của một dãy hội tụ là một dãy hội tụ và có cùng giới hạn.

Chứng minh:
Giả sử dãy (2.1.1) có cùng giới hạn a và { xk } là một dãy con của dãy (2.1.1). Ta hãy
n

chứng minh dãy { xk } cũng có giới hạn là a. Đặt yn= xkn .
n

Giả sử cho trước ε >0 vì lim xn = a, nên tồn tại số p sao cho với n>p ta có
n →∞

| xn − a| < ε .

Mặt khác với n>p thì kn>p (vì kn ≥ n) và do đó
| yn − a| = xkn − a| < ε
|

Cho nên lim yn = a , điều phải chứng minh.
n →∞

c) Các phép toán về giới hạn
Định lí 2.1.4 Cho hai dãy hội tụ lim xn = a, lim yn = b
n →∞

n →∞

Khi đó:
(i) lim( xn + yn ) = a + b
n →∞

(2.1.18)

(ii) lim( c xn ) = ca ; lim( c + xn ) = c + a với c là hằng số

(2.1.19)

(iii) lim( xn yn ) = ab .

(2.1.20)

n →∞

n →∞

n →∞

(iv) lim(

1
1
) =
với yn ≠ 0, b ≠ 0.
yn
b

(2.1.21)

(v) lim(

xn
a

) = với yn ≠ 0, b ≠ 0.
yn
b

(2.1.22)

n →∞

n →∞


7

Chứng minh:
(i) Vì xn → a, yn → b nếu với ε >0 ta tìm được p1 và p2 sao cho: khi n>p1 thì |xn –

ε

|yn −b|<

a|< , khi n>p2 thì
2

ε
2

. Gọi p = max(p1 , p2) thì khi n>p ta có:

| ( xn + yn ) − ( a + b)| ≤ | xn − a| + | yn − b| < ε .

Từ đây suy ra điều phải chứng minh.
(ii) Chứng minh tương tự như trên
(iii)

Ta có đẳng thức:
xn yn − ab = ( xn − a )( yn − b) + a( yn − b) + b( xn − a ) .

Vì xn → a, yn → b , nên với ε > 0 cho trước, tìm được p1, p2
sao cho:
khi n>p1 thì |xn − a|< ε , khi n>p2 thì |yn −b|< ε .
Gọi p =max(p1,p2) thì khi n>p ta có:
| xn yn − ab| < ε + | a| . ε + | b| . ε , từ đó lim( xn yn − ab) = 0.
n →∞

1
(iv) Do y → b , nên ta có thể chọn m sao cho khi n>m thì | yn − b |< | b| . Ngoài ra do
n
2
1
||yn| −|b|| ≤ | yn − b |< | b| ,
2
1
1
suy ra − | b| <|yn| −|b|< | b|
2
2

Từ bất đẳng thức trên suy ra khi n >m thì
|yn| >

1
| b| .
2

(2.1.23)

Mặt khác, cũng do yn → b nên với ε >0 cho trước tìm được p >m sao cho khi n > p ta
có
1
| yn − b |< | b| 2 ε
2

(2.1.24)

Do vậy khi n>p ta có:
1 1
−
=
yn b

yn − b
2
1
1
| yn − b| < ε , điều này chứng tỏ rằng
<
→ khi n → ∞ .
2
byn
yn

b
| b|

(v) Kết luận này là hệ quả của (iii) và iv
d) Sự bảo toàn thứ tự qua giới hạn trong bất đẳng thức
Định lý 2.1.5 Giả sử lim xn < lim yn . Khi đó tìm được một số p sao cho với n>p thì xn < yn .
n →∞

n →∞


8

1
2

Chứng minh: Đặt lim xn = a, lim yn = b và ε = ( b − a ) . Do đó a+ ε = b − ε . Theo giả thiết
n →∞

n →∞

tìm được p1,p2 sao cho khi:
n > p1 thì a − ε < xn < a + ε và khi n > p2 thì b − ε < yn < b + ε .

Nếu gọi p =max( p1 , p2 ) thì bất đẳng thức:
xn < a + ε = b − ε < yn , ∀n > p được thoả mãn.

Do đó: xn < yn , ∀n > p .
Chú ý:
Trường hợp đặc biệt khi yn = b, ∀n ∈

*

ta có khẳng định sau:

Nếu như lim xn = a < b , thì ∃p sao cho ∀n > p ta có xn < b .
n →∞

Một cách tương tự nếu lim yn = b > a , thì ∃p sao cho ∀n > p ta có yn > a.
n →∞

Định lý 2.1.6 Cho hai dãy số {xn} và {yn}. Khi đó:
(i)

Nếu xn ≥ yn vµ lim xn = a, lim yn = b t h×a ≥ b

(ii)

Nếu {zn} là một dãy thoả mãn

n →∞

n →∞

xn ≤ yn ≤ zn ∀n vµ lim xn = lim zn = a t h× lim yn = a.
n →∞

n →∞

n →∞

Chứng minh:
(i) Hãy chứng minh khẳng định này bằng phản chứng. Giả sử a < b, khi đó tồn tại số r
thoả mãn a< r Mặt khác vì xn → a và a < r nên tồn tại p1 sao cho khi

n > p1 thì xn < r.

Tương tự ta tìm được p2 sao cho khi n > p2 thì yn> r.
Nếu gọi p =max(p1,p2) thì khi n>p ta có xn <r và yn>r, nghĩa là xnthuẫn với giả thiết.
(ii) Vì xn → a nên với ε > 0 cho trước tìm được p1 sao cho khi n >p1 thì:

| xn − a| < ε hay a − ε < xn < a + ε .
Tương tự, vì zn → a , ta tìm được p2 sao cho khi n>p2 ta có a − ε < zn < a + ε .
Từ đây, đặt p = max(p1,p2), thì khi n > p ta có

a − ε < xn ≤ yn ≤ zn < a + ε .
Suy ra a − ε < yn < a + ε , tức là yn → a , điều phải chứng minh.

2.1.3 Giới hạn vô hạn
Định lý 2.1.7 Cho dãy số {xn}. Nếu với mọi M > 0 lớn tuỳ ý, bao giờ cũng tồn tại một số p
sao cho ∀n > p, ta có xn>M, thì ta nói rằng dãy {xn} có giới hạn cộng vơ cùng và ký hiệu là


9

lim xn = +∞ .
n →∞

Nếu với mọi M >0 lớn tuỳ ý, bao giờ cũng tồn tại một số p sao cho ∀n > p, ta có xn< –
M, thì ta nói rằng dãy {xn} có giới hạn trừ vô cùng và ký hiệu là

lim xn = −∞ .
n →∞

Cuối cùng ta hãy chú ý rằng một dãy hội tụ khi và chỉ khi nó có giới hạn hữu hạn. Dãy có
giới hạn là ±∞ khơng được xem là dãy hội tụ.

2.2

Tiêu chuẩn hội tụ

2.2.1 Các định lý
Định nghĩa 1 Dãy x1 , x2 , x3 ,... gọi là tăng nếu

(2.2.1)

xn ≤ xn +1 ∀n ∈

(2.2.2)

*

Nếu

xn < xn +1∀n ∈

(2.2.3)

*

ta nói rằng dãy (2.2.1) là dãy thực sự tăng. Tương tự, nếu như

xn ≥ xn +1 ∀n ∈

(2.2.4)

*

dãy (2.2.1) là giảm.
Nếu như

xn > xn +1 ∀n ∈

(2.2.5)

*

thì ta nói rằng dãy (2.2.1) thực sự giảm.
Các dãy nói trên gọi chung là các dãy đơn điệu. Tất cả các dãy đơn điệu tạo nên một lớp
dãy rất quan trọng. Bây giờ đối với những dãy này ta có hai định lý quan trọng sau.
Định lý 2.2.1 Giả sử dãy (2.2.1) là không giảm. Nếu như dãy không bị chặn trên thì
lim xn = +∞ .

(2.2.6)

n →∞

Nếu như dãy bị chặn trên thì có giới hạn hữu hạn

lim xn = sup xn .
n →∞

n =1,2,...

(2.2.7)

Chứng minh:
(i) Giả sử dãy (2.2.1) không bị chặn trên. Khi đó ∀M > 0 lớn tuỳ ý, ta đều tìm được
một số tự nhiên p sao cho xp>M (tức là ít nhất một số hạng của dãy lớn hơn M). Bởi vì,
dãy là khơng giảm, nên khi n>p, ta có: xn ≥ x p và do đó xn>M, cho nên
lim xn = +∞ .
n →∞

(ii) Giả sử dãy(2.2.1) bị chặn trên, ta đặt


10

a = sup xn .

(2.2.8)

n =1,2,...

Theo định nghĩa xn ≤ a ∀n ∈

*

Mặt khác, ∀ε > 0, ta tìm được chẳng hạn phần tử xp của dãy sao cho x p > a − ε . Với n>p

ta có xn ≥ x p , nên:
a − ε < xn ≤ a < a + ε tức là |xn −a|< ε do đó lim xn = a .
n →∞

Hệ quả 1
Nếu dãy (2.2.1) khơng giảm và bị chặn trên thì
xk ≤ lim xn ∀k ∈

*

n →∞

.

(2.2.9)

Tương tự ta có định lý sau
Định lý 2.2.2 Giả sử dãy (2.2.1) là không tăng. Nếu nó khơng bị chặn dưới thì

lim xn = −∞ .

(2.2.10)

n →∞

Nếu nó bị chặn dưới, thì có giới hạn hữu hạn
lim xn = i nf xn .
n →∞

(2.2.11)

n =1,2,...

Hệ quả 2
Nếu (2.2.1) khơng tăng và bị chặn dưới thì
xk ≥ lim xn ∀k ∈
n →∞

*

.

(2.2.12)

Định lý sau đây suy ra từ hai định lý trên.
Định lý 2.2.3
Dãy số đơn điệu là hội tụ khi và chỉ khi nó bị chặn.
Ta thấy rằng dãy hội tụ bất kỳ là bị chặn. Tất nhiên, ta cũng biết rằng dãy bị chặn khơng
nhất thiết phải hội tụ. Ví dụ như dãy {( −1)n +1 } là bị chặn nhưng không hội tụ. Nhưng dãy bị
chặn đơn điệu ln ln hội tụ. Ví dụ sau đây có một vai trị cực kỳ quan trọng trong giải tích
cũng như trong ứng dụng.

2.2.2 Số e
n
⎧
⎫
1⎞ ⎪
⎪
⎛
Xét dãy ⎨ xn = ⎜ 1 + ⎟ ⎬ . Ta chứng minh rằng lim xn tồn tại.

n →∞
n⎠ ⎪
⎝
⎪
⎩
⎭

Chứng minh:
1⎞
⎛
Trước hết xét dãy yn = ⎜ 1 + ⎟
n⎠
⎝

n +1

. Ta thấy rằng dãy {yn}là dãy giảm, tức là


11

1⎞
⎛
⎜1 + n ⎟
⎝
⎠

n +1

1 ⎞

⎛
> ⎜1 +
n +1⎟
⎝
⎠

n +2

.

(2.2.13)

Thật vậy, bất đẳng thức (2.2.13) tương đương với bất đẳng thức:
⎛ n +1⎞
⎜ n ⎟
⎝
⎠
n +2

hay

⎛ n +1⎞
⎜ n ⎟
⎝
⎠

hay

⎛ ( n + 1)2 ⎞
⎜

⎟
⎝ n( n + 2) ⎠

hay

⎛
⎞
1
⎜1 +
⎟
n( n + 2) ⎠
⎝

⎛ n +2⎞
>⎜
⎟
⎝ n +1 ⎠

n +2

>1+

n +2

.

n +1

⎛n +2⎞
>⎜

⎟
⎝ n +1 ⎠

n +2

(2.2.14)

n +1
n

(2.2.15)

1
n

n +2

>1+

(2.2.16)
1
n

(2.2.17)

bởi vì (n+1)2 =n (n+2)+1.
Mặt khác, theo bất đẳng thức Bernoulli với h >0, k >1, k nguyên ta có:
(1 + h )k > 1 + kh

(2.2.18)

1
, k = n + 2 vào (2.2.18) ta thấy rằng bất đẳng thức (2.2.17)
n( n + 2)
hiển nhiên được chứng minh và do đó dãy {yn} là dãy giảm. Hơn nữa dãy {yn} bị chặn dưới
(bởi vì yn>0 ∀n ∈ * ).

Bằng cách thay h =

Do đó tồn tại giới hạn lim yn . Mặt khác
n →∞

1⎤
⎡
n
⎢1 + n ⎥
1⎞
⎛
⎦
lim xn = lim ⎜ 1 + ⎟ = lim ⎣
n →∞
n →∞
1
n⎠
n →∞
⎝
1+
n

n +1

n +1

1⎤
⎡
lim ⎢1 + ⎥
n →∞
n⎦
⎣
=
= lim yn
n →∞
1⎤
⎡
lim ⎢1 + ⎥
n →∞
n⎦
⎣

Từ đây suy ra giới hạn lim xn tồn tại. Theo Euler giới hạn này được ký hiệu bởi chữ e:
n →∞

n

1⎞
⎛
e = lim ⎜ 1 + ⎟ .
n →∞
n⎠
⎝

(2.2.19)

Số e là một số vô tỷ, 15 số đầu trong khai triển thập phân của nó là
e =2,718281828459045……

2.2.3 Nguyên lý Cantor về dãy các đoạn thẳng lồng nhau và thắt lại
Định lý 2.2.4 Giả sử [ a1 , b1 ] ⊃ [ a2 , b2 ] ⊃ ... ⊃ [ an , bn ] ⊃ ... là dãy vô hạn các đoạn thẳng lồng
nhau và thắt lại:
lim( bn − an ) = 0.
n →∞

(2.2.20)


12

Khi đó tồn tại duy nhất một phần tử
∞

α ∈ ∩ [ an , bn ] .

(2.2.21)

n =1

Chứng minh:
Xét các dãy {an} và {bn}, ta thấy rằng bn ≤ b1 ∀n ∈
∀n ∈

*

*

vµ an < bn ∀n nên an < b1

.

Dãy {an} tăng, bị chặn trên nên có giới hạn

α = lim an = sup an
n →∞

(2.2.22)

n =1,2,...

Theo định nghĩa supremun an ≤ α ∀n ∈ * . Hơn nữa ta thấy rằng α ≤ bn ∀n ∈
trong trường hợp ngược lại ∃n0 sao cho bn0 < α .
Mặt khác do dãy các đoạn thẳng lồng nhau, nên an ≤ bn0 ∀n ∈
này dẫn đến mâu thuẫn.
∞

α ∈ ∩ [ an , bn ] .

Vậy

*

*

vì

, suy ra α ≤ bn0 , điều

(2.2.23)

n =1

Tương tự dãy {bn} là dãy giảm, ta có bn > an ≥ a1 ∀n ∈ N * nên dãy {bn} cũng dẫn tới
một giới hạn hữu hạn

α ′ = lim bn

(2.2.24)

n →∞

∞

Tương tự như trên α ′ ∈ ∩ [ an , bn ]

(2.2.25)

n =1

Nhưng theo định lý về hiệu của hai giới hạn:

α ′ − α = lim bn − lim an = lim( bn − a n ) = 0, do đó α = α ′ và định lý được chứng minh.
n →∞

n →∞

n →∞

2.2.4 Sự hội tụ của dãy bị chặn
Xét dãy {xn}, xn= (−1)n, n ≥ 1.
Ta biết dãy này bị chặn nhưng không hội tụ trên
{xm}, xm= (−1)m với m= 2n.

. Ta hãy xét dãy con của dãy trên:

Dễ dàng thấy rằng dãy con {xm} hội tụ và có giới hạn lim xm = 1.
m →∞

Ví dụ đơn giản này là trường hợp đặc biệt của định lý Bolzano – Weirtrass về sự hội tụ
của dãy bị chặn.
Định lý 2.2.5 Mọi dãy vô hạn bị chặn đều chứa một dãy con hội tụ.
Ở đây ta không chứng minh định lý này (độc giả có thể đọc trong cuốn [1]) và chỉ lưu ý
rằng đây là một định lý rất quan trọng về mặt lý thuyết. Sau này ta sẽ thấy rằng khi dùng định
lý Bolzano – Weierstrass có thể chứng minh một số tính chất rất đặc trưng của hàm liên tục.


13

2.2.5 Nguyên lý Cauchy về sự hội tụ của một dãy số
Định nghĩa 2 Dãy {xn} được gọi là dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) nếu ∀ε > 0 cho trước bao
giờ cũng ∃p ∈ * sao cho ∀m, n > p ta có | xn − xm | < ε .
Định lý 2.2.6 (Nguyên lý Cauchy): Một dãy số hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy cơ bản.
Chứng minh:

i) Điều kiện cần
Giả sử lim xn = a . Khi đó ∀ε > 0 cho trước tồn tại số p sao cho ∀n > p ta có:
n →∞

| xn − a| <

ε
2

.

Từ đó suy ra ∀n, m > p ta có
| xm − xn | = xm − a + a − xn | ≤ xm − a| + | xn − a| <
|
|

ε
2

+

ε
2

=ε .

Vậy {xn} là dãy cơ bản.
ii) Điều kiện đủ
Giả sử {xn} là dãy cơ bản. Trước hết ta hãy chứng minh dãy {xn} bị chặn. Thật vậy
ε = 1, ∃p sao cho ∀m, n > p ta có: xm − xn <1.

Cố định m=p+1, khi đó | xn − x p+1 | < 1 ∀n > p . Từ đây suy ra: | xn | ≤ M , ∀n ∈ N * .
Như vậy {xn} là một dãy bị chặn, theo nguyên lý Bolzano – Weierstrass tồn tại một dãy con
{ xnk } hội tụ, giả sử lim xnk = a .
nk →∞

Khi đó ∀ε > 0 cho trước, ∃n k > p1 ta có | xnk − a| <

ε
2

.

Mặt khác do dãy {xn} là dãy Cauchy nên ∃p2 sao cho ∀m, n > p2 ta có

ε
| xm − xn |< .
2
Chọn p = max(p1,p2) và lấy nk>p thì ∀n > p ta có:
xn − a = xn − xnk + x n − a ≤ xn − x n + x n − a <
k

k

Vậy lim xn = a .
n →∞

Ví dụ 1: Dùng tiêu chuẩn Cauchy để xét sự hội tụ của dãy
xn = 1 +

Ta thấy, với n bất kỳ, m = 2n thì:

1
1
+ ... +
2
n

k

ε
2

+

ε
2

= ε.


14

| x2 n − xn | =

Do đó x2 n − xn >

1
1
1
1

1
1
+
+ ... +
>
+ ... +
= .
n +1 n + 2
2 n 2n
2n 2

1
∀n ≥ 1 , vậy dãy {xn} phân kỳ.
2

Ví dụ 2: Dùng tiêu chuẩn Cauchy để xét sự hội tụ của dãy
xn = 1 +

1
1
1
+ 2 + ... + 2
2
2
3
n

Giả sử m > n, ta có
xm − xn =

1
1
1
+
+ ... + 2 <
2
2
m
( n + 1)
( n + 2)

1
1
1
1
1
1
1 1 1
−
+
−
+ ... +
−
= −
< <ε
n n +1 n +1 n + 2
m −1 m n m n

⇒n>

1

ε

.

⎡1 ⎤
⎡1 ⎤
Như vậy, khi cho trước ε > 0 bé tuỳ ý, nếu chọn số p > ⎢ ⎥ + 1 (ký hiệu ⎢ ⎥ là phần
⎣ε ⎦
⎣ε ⎦
1
nguyên của ), khi đó:
ε
∀m, n > p thì | xm − xn | < ε .

Vậy dãy hội tụ.

2.2.6 Giới hạn trên và giới hạn dưới
a) Giới hạn riêng.
Cho dãy {xn}. Nếu có một dãy con { xnk } của dãy trên hội tụ đến a:
lim xnk = a
k →∞

thì ta nói rằng a là một giới hạn riêng của dãy {xn}.
Ví dụ như dãy{(−1)n} có hai giới hạn riêng là 1 và −1.
b) Giới hạn trên và giới hạn dưới:
Cho {xn} là một dãy bị chặn. Với mỗi n ta đặt
un = sup{ xn +1 , xn + 2 ...} = sup xn + k
k =1,2,...

vn = inf { xn +1 , xn + 2 ...} = inf xn + k
k =1,2,...

Dễ thấy un đơn điệu giảm và bị chặn dưới, nên tồn tại giới hạn
lim un = inf un .
n →∞

n


15

Giới hạn này được gọi là giới hạn trên của dãy { xn } và ký hiệu là lim xn .
n →∞

Như vậy là
lim xn = inf sup xn + k
n →∞

n

(2.2.26)

k

Tương tự, dãy là dãy vn tăng và bị chặn trên nếu tồn tại giới hạn
lim vn = sup vn .
n →∞

n

Giới hạn này gọi là giới hạn dưới của dãy {xn} và kí hiệu là: lim xn
n →∞

Như vậy ta có
lim xn = sup inf xn + k .
n →∞

n

(2.2.27)

k

Định lý 2.2.7 Cho dãy {xn}. Giới hạn trên lim xn là giới hạn riêng lớn nhất của dãy {xn}, còn
n →∞

giới hạn dưới lim xn là giới hạn riêng nhỏ nhất của dãy đó.
n →∞

Chứng minh: Ta chứng minh cho lim xn , đối với lim xn được chứng minh tương tự.
n →∞

n →∞

Giả sử a = lim xn . Theo định nghĩa a = inf un trong đó un = sup xn + k . Khi đó
n →∞

n

k

∀ε > 0, u n > a − ε ∀n . Theo tính chất của supremun ta có ∀n, ∃k để a − ε < xn + k ≤ a .

Từ đây ta thấy rằng dãy {xn} có vơ số số hạng nằm trong ( a − ε , a] . Vậy a là giới hạn
riêng của dãy {xn}.
Sau đây ta chứng minh a là giới hạn riêng của lớn nhất.
Bây giờ giả sử ngược lại có một dãy con { xnk } của dãy {xn} mà lim xn = b và b > a.
k →∞

Khi đó a <

k

a+b
a+b
< b . Theo giả thiết a = lim xn , nên inf sup xn + k <
.
→∞
n
n
k
2
2

Theo tính chất của infimum ∃n0 để sup xn0 + k <
k

Do đó ∃n0 để ∀k t h×xn0 + k <

a+b
.
2

a+b
.
2

a+b
, b) ,
2
do đó b không thể là giới hạn riêng. Mâu thuẫn này la do giả thiết b > a, định lý được
chứng minh.

Ta thấy rằng chỉ có một số hữu hạn số hạng x1 , x2 ,..., xn0 thuộc vào khoảng (

Định lý 2.2.8 Điều kiện cần và đủ để dãy hội tụ là giới hạn trên và giới hạn dưới bằng nhau.
Chứng minh:
i) Điều kiện cần


16

Giả sử lim xn = a . Gọi α = lim xn , β = lim xn .
k →∞

k

n →∞

n →∞

Khi đó tồn tại các dãy con xnk → α vµ xn l → β
Vì dãy { xn } hội tụ nên các dãy con cũng hội tụ và có cùng giới hạn, suy ra α = a = β .
ii) Điều kiện đủ
Giả sử lim xn = lim xn = a.
n →∞

n →∞

Khi đó với mọi k cố định
vn = inf xn + k ≤ xn + k ≤ sup xn + k = un
k

k

Cho n → ∞ theo giả thiết lim vn = lim un = a , theo tính chất của giới hạn liên quan đến
n →∞

n →∞

bất đẳng thức, suy ra lim xn + k = a , do đó lim xn = a .
n →∞

2.3

n →∞

Khái niệm về hàm số một biến số

2.3.1 Định nghĩa
Cho X , Y : X ⊂ , Y ⊂ . Ánh xạ f : X → Y được gọi là một hàm số một biến số thực,
tập X gọi là tập xác định của hàm số. Người ta cịn kí hiệu tập xác định của hàm số f là Df. Tập
Y thường được gọi là tập giá trị của hàm số.
Phần tử x ∈ X được gọi là biến độc lập, hay đối số, còn f ( x ) ∈ Y được gọi là biến phụ
thuộc hay hàm số. Để chứng tỏ hàm số f cho tương ứng mỗi phần tử x ∈ X với một phần tử
f ( x ) hay y = f ( x ) .
xác định f ( x) ∈ Y ta thường viết x
Ví dụ: x

x là hàm số đồng nhất, thường kí hiệu là id(x)

x

−3 x + 5 là hàm số bậc nhất,

x

1 3 1 2
x + x − 2 x + 5 là hàm số bậc ba.
3
2

2.3.2 Đồ thị của hàm số
Giả sử trên một mặt phẳng cho hai trục toạ độ vuông góc, trục Ox và trục Oy, trục Ox gọi
là trục hoành, trục Oy gọi là trục tung, đồ thị của hàm f với tập xác định X là tập hợp các điểm
(x,y) thoả mãn phương trình y = f(x) , với x ∈ X .
Ví dụ 1:
Xét hàm số f ( x ) = 3 − x2 .

Tập xác định của hàm số này là tập D = [ − 3, 3 ] .
Số y được xác định bởi phương trình y = 3 − x2 là số khơng âm thoả mãn
y2 = 3 − x2 hay lµ x2 + y2 = 3 .


17

Cho nên đồ thị của hàm số trên là nửa đường trịn phía trên và nửa đường trịn phía dưới
(nét đứt) là đồ thị của hàm − 3 − x 2 (Hình 2.3.1)
y

− 3

1

3

2

x

Hình 2.3.1

Hình 2.3.2

Ví dụ 2: Phương trình y =
khác, hàm f ( x ) =

1
tương ứng mỗi x ≠ 0 với một giá trị xác định y. Nói một cách

x2

1
được xác định với mọi x ≠ 0 (Hình 2.3.2)
x2

Ví dụ 3: x → E ( x ) = [ x] trong đó [ x ] là số nguyên lớn nhất không lớn hơn x, là hàm số phần
nguyên của x.
Vì trong khoảng [−2,−1), [−1,0), [0,1), [1,2), [2,3)… hàm nhận giá trị hằng số… −2,
−1,0,1,2… cho nên đồ thị là một dãy các đoạn thẳng nằm ngang, không kể các đầu mút bên
phải (Hình 2.3.3a).
Ví dụ 4: Cho x là số tự nhiên, gọi T(x) là số lượng ước số dương của x, ví dụ như T(1)=1,
T(6)=4 (ước số dương của 6 là 1,2,3,6)…
Cho nên x → T ( x ) là hàm số mà tập xác định của nó là tập hợp các số tự nhiên. Đồ thị
của hàm này gồm những điểm rời rạc (Hình 2.3.3b)

2
1
-1

0

1

2

3

x

-1

Hình 2.3.3a

Hình 2.3.3b


18

x

1

2

3

4

5

6

7…

T(x)

1

2

2

3

2

4

2

Theo định nghĩa trên cho hàm số f : X → Y nghĩa là
i) Cho tập xác định X của hàm này,
ii) Cho quy luật tương ứng mỗi x ∈ X với một số xác định f ( x ) ∈ Y .
Hai hàm f, g được xem là như nhau nếu như có cùng tập xác định X và nếu f(x)=g(x)
∀x ∈ X . Nói một cách khác hai hàm xem là như nhau nếu như có đồ thị như nhau.
2.3.3 Hàm số hợp
Cho X ⊂ , Y ⊂ , ⊂ ngoài ra cho hàm số f : X → Y và hàm số g : Y →
hàm số h : X → được định nghĩa bởi
h( x ) = g[ f ( x )] với x ∈ X .

. Xét
(2.3.2)

Hàm số h được gọi là hàm số hợp của hàm số g và hàm số f. Người ta thường kí hiệu hàm
số hợp là h = gof, cụ thể
h( x ) = ( gof )( x ) = g[ f ( x )] ∀x ∈ X .

Ví dụ 5: Cho X=Y=Z=

(2.3.3)

và xét các hàm số:
f :x

sin x, g : x

ex .

Khi đó:
gof ( x ) = esin x , fog( x ) = sin( ex ) .

2.3.4 Hàm số ngược
Cho hàm số f : X → Y , X , Y ⊂

. Giả sử Y là tập giá trị của hàm số, tức là tập

f ( x ) = { y ∈ | y = f ( x ), x ∈ X }

(2.3.4)

Như vậy hàm f ánh xạ tập X lên tập Y. Ngoài ra ta giả thiết rằng f cũng là đơn ánh, nghĩa
là với x1 ≠ x2 , x1 , x2 ∈ X thì f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) . Khi đó mỗi phần tử y ∈ Y đều là ảnh của đúng
một phần tử x ∈ X nên ta có thể đặt tương ứng mỗi phần tử y ∈ Y với một phần tử x ∈ X .
Phép tương ứng đó đã xác định một hàm số từ tập Y sang tập X. Hàm số này được gọi là hàm
số ngựơc của hàm f và được kí hiệu là f −1 : Y → X ,
nghĩa là
f −1 : y → x = f −1 ( y)

(2.3.5)

Từ định nghĩa hàm số ngược ta có
x = f −1 ( y ) ⇔ y = f ( x ) .

(2.3.6)


19

Cho nên trong cùng một hệ trục toạ độ đồ thị hàm số y = f ( x ) và x = f −1 ( y) trùng nhau.
Tuy nhiên ta cũng có thể kí hiệu đối số của hàm ngược bằng chữ x, chữ y để chỉ biến số
phụ thuộc, với qui ước đó hàm số ngược của hàm số f là
f −1 : x → y = f −1 ( x ) .

(2.3.7)

Do đó nếu (x,y) là một điểm của đồ thị hàm số y=f(x) (2.3.1) thì (y,x) một điểm của đồ thị
hàm số ngược (2.3.7)
Hai điểm (x,y) và (y,x) đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất, cho nên ta có kết
luận sau:
Đồ thị của hàm số ngược y = f −1 ( x ) đối xứng với đồ thị hàm số y = f(x) qua đường phân
giác thứ nhất.
y=x
y=x

1

y = x2
y=x
x

Hình 2.3.4

Ví dụ 6: Hàm số luỹ thừa x
xα với α > 0 xác định trong khoảng [0, +∞ ) và ánh xạ khoảng
này lên khoảng [0, +∞ ) . Bởi vì với x ≥ 0 ta có xα ≥ 0 , và đối với mỗi y ≥ 0 tồn tại x ≥ 0
1

1

sao cho xα = y . Ta chỉ cần đặt x = yα . Như vậy hàm số yα là hàm ngược của hàm số
xα trong miền [0, +∞ ) , tức là phương trình xα = y nghiệm đúng với x ≥ 0 , y ≥ 0 và khi và
1

chỉ khi x = yα .
Đồ thị của hàm số y= xα , α > 0 luôn đi qua gốc toạ độ và điểm (1,1)
Tương tự ta có thể xét hàm số y= xα với α < 0 , trong trường hợp này hàm số khơng xác
định khi x=0.
Ví dụ 7: Cho hàm số x
a x , y = a x ( a > 0, a ≠ 1) ánh xạ khoảng ( −∞, +∞ ) lên khoảng
( 0, +∞ ). Ngược lại, đối với mỗi y > 0 tồn tại x sao cho a x =y, ta đặt x = log a y . Hàm ngược

f −1 được xác định như sau:
f −1 ( y ) = log a y hay x = log a y ⇔ a x = y .


20

Bây giờ hãy vẽ đồ thị của hàm số y = log a x . Hàm số này nhận được từ hàm số
x = log a y bằng cách đổi x thành y nên đồ thị của hàm số y = log a x đối xứng với đồ thị hàm

số y= a x qua đường phân giác thứ nhất. Chú ý ta có hệ thức sau
⎡
⎤
f ⎣ f −1 ( x )⎦ = x ∀x ∈ Y

(2.3.8)

f ⎡ f −1 ( x )⎤ = x ∀x ∈ X .
⎣
⎦

(2.3.9)

ngược lại

Ví dụ như với a ≥ 0, a ≠ 1 ta có
log a a x = x ∀x vµ al oga x = x, ∀x > 0 .

2.3.5 Các hàm lượng giác ngược
a) Hàm số y =arcsinx
Hàm số y=sinx được xác định trong khoảng X=( −∞, +∞ ) và giá trị của nó lấp đầy đoạn
Y=[−1,1]. Đường thẳng song song với trục Ox cắt đường sin, tức đồ thị của hàm số y = sinx tại
một tập vô hạn các điểm, nói một cách khác mỗi giá trị y ∈ [−1,1] sẽ ứng với một tập vô hạn
các giá trị của x ∈ X. Vì vậy, hàm ngược mà ta kí hiệu là x = Arcsiny, sẽ là hàm đa trị.
y
π
2

π
y = ar csin x

x

π
2

y = ar ccos x

π
−
2

Hình 2.3.5

Thơng thường ta chỉ xét một “nhánh” của hàm số đó ứng với x biến thiên giữa −

π
2

vµ

π
2

⎡ π π⎤
. Mỗi giá trị y ∈ [−1,1] sẽ ứng với một giá trị x ∈ ⎢ − , ⎥ , nó được kí hiệu bằng x = arcsiny
⎣ 2 2⎦
và gọi là nhánh chính của hàm Arcsiny.

Bằng cách lấy đối xứng đường sin qua đường phân giác thứ nhất ta được đồ thị của hàm

⎡ π π⎤
đa trị y = Arcsinx. Bằng cách thu hẹp đồ thị trên với y ∈ ⎢ − , ⎥ ta được đồ thị hàm số
⎣ 2 2⎦
⎡ π π⎤
y=arcsinx được xác định trên đoạn [−1,1] với tập giá trị y ∈ ⎢ − , ⎥ và là một hàm số tăng
⎣ 2 2⎦
(xem Hình 2.3.5).


21

Ta có cơng thức cho tất cả các giá trị của hàm ngược
⎧ar csin x + 2kπ
Ar c sin x = ⎨
ví i k = 0, ±1, ±2,...
⎩(2k + 1)π − ar csin x

(2.3.10)

b) Hàm số y = arccosx
Ta thấy y = cosx, 0 ≤ x ≤ π ⇔ x = ar ccos y .
Hàm số ngược của hàm số y = cosx là hàm số y = arccosx. Hàm số y = arccosx có miền
xác định là tập [−1,1] và miền giá trị là [0, π ] và là hàm số giảm. (xem hình vẽ Hình 2.3.5)
Do sin x = cos(

π
2

− x ) nên dễ dàng suy ra công thức:

ar csin x + ar ccos x =

π
2

.

(2.3.11)

c) Hàm số y = arctgx
⎛ π π⎞
Hàm số y=tgx là một đơn ánh tập ⎜ − , ⎟ lên tập
⎝ 2 2⎠
⎛ π π⎞
y ∈ , x∈ ⎜ − , ⎟ .
⎝ 2 2⎠

, hàm số ngược của nó là x=arctgy:

⎛ π π⎞
và tập giá trị là khoảng mở ⎜ − , ⎟ và
⎝ 2 2⎠

Do đó hàm số y=arctgx có tập xác định là tập
là hàm số tăng.
d) Hàm số y=arccotgx

Hàm số y = arccotgx là một đơn ánh tập X=(0, π ) lên tập Y= ( −∞, +∞ ) nên có hàm ngược
là x = arccotgy, y ∈ ( −∞, +∞ ) , x ∈ X=(0, π ).
Do đó hàm số y = arccotgx có tập xác định là X=

hàm số giảm.

, và tập giá trị là Y ∈ (0, π ) và là một

Ta có thể chứng minh cơng thức
ar ct gx + ar ccot gx =

π
2

y = arctgx

π
2

(2.3.12)

π
π
2

y = arccot gx
−

π
2


22

Hình 2.3.6

Hình 2.3.7

e) Khái niệm các hàm sơ cấp
Trong tốn học các hàm số sau đây được gọi là các hàm số sơ cấp cơ bản: hàm số luỹ
thừa: x → xα ,α ∈ ; hàm số mũ: x → a x , a > 0, a ≠ 1 ; hàm số logarit: x → log a x ; các hàm
số lượng giác: x → sinx, x → cosx, x → tgx, x → cotgx và các hàm số lượng giác ngược. Người
ta gọi hàm sơ cấp là những hàm số được tạo thành bởi một số hữu hạn các phép toán số học
(cộng, trừ, nhân, chia), các phép lấy hàm số hợp đối với các hàm số sơ cấp cơ bản. Trong
phần này, ngoài các hàm số sơ cấp nêu trên, ta còn nghiên cứu lớp các hàm số hypebol.

2.3.6 Các hàm số hypebol
Xét tổ hợp tuyến tính của hàm số mũ
1 x 1 − x a x + a− x
ví i a >1
y= a + a =
2
2
2

(2.3.13)

Ta thu được đồ thị của hàm số y bằng cách cộng các đồ thị của các hàm

1 −x
a
2

y=

1 x
a
2

a x + a− x
2

y=

1 x
1
a và a− x .
2
2

a x − a− x
2

1
2
1
2

Hình 2.3.8

Hình 2.3.9

Đó là đường cong đi qua điểm (0,1) và đối xứng qua trục Oy. Hàm y là hàm số chẵn.
Trong góc toạ độ thứ nhất khi x → +∞ đồ thị của hàm số (2.3.1) dần đến đồ thị của đường

1 x
a và trong góc toạ độ thứ hai, khi x → −∞ đồ thị của hàm số (2.3.1) dần đến đồ thị hàm số
2
1 −x
a .
2
Hàm số
y=

1 x 1 − x a x − a− x
ví i a > 1
a − a =
2
2
2

là một hàm số lẻ. Đồ thị của hàm số này đi qua gốc toạ độ và đối xứng qua gốc 0.
Đặt:
h1 ( x ) =

a x + a− x
2

h2 ( x ) =

a x − a− x
2

(2.3.14)

23

ta có thể thiết lập những hệ thức đơn giản như sau:
2
2
h1 ( x ) − h2 ( x ) = 1
2
2
h1 ( x ) + h2 ( x ) = h1 (2 x ) ∀x ∈

Nói chung h1 ( x ) có những tính chất tương tự với cosx, h2 ( x ) có những tính chất tương
tự với sinx. Khi a = e ta gọi hàm thứ nhất là cosinhypebol, ký hiệu là chx, hàm thứ hai là
sinhypebol, kí hiệu là shx, như vậy
ch x =

ex + e− x
ex − e− x
, sh x =
.
2
2

(2.3.15)

Ta cịn có các hàm hypebol khác xác định tương tự như các hàm lượng giác tương ứng,
chẳng hạn
t hx =

sh x
ch x
, ct h x =
ch x
sh x

(2.3.16)

Trên hình vẽ Hình 2.3.10 biểu diễn đồ thị của các hàm thx và cthx.

y = ct h x
y = t hx

y = ct h x

Hình 2.3.10

Từ định nghĩa ta suy ra các công thức nêu dưới đây, mang tên là những định lý cộng:
ch 2 a − sh 2 a = 1
ch 2 a + sh 2 a = ch2a
ch( a + b) = ch a.ch b + sh a.sh b
sh( a + b) = sh a.ch b + ch a.sh b

Ví dụ, ta có thể chứng minh hai công thức cuối của (2.3.18) nếu viết:
ch( a + b) =

ea eb + e− a e− b
ea eb − e− a e− b
, sh( a + b) =
2

2

và sử dụng hệ thức:
ea = ch a + sh a, e− a = ch a − sh a
eb = ch b + sh b, e− b = ch b − sh b.

2.3.7 Các hàm hypebol ngược

(2.3.18)


24

a) Hàm y= Argshx
lên
nên nó có hàm ngược, ta ký hiệu là y=Argshx. Vậy
Hàm số shx ánh xạ tập
y=Argshx ⇔ x=shy với x ∈ , y ∈ .

y = Ar gsh x

Hình 2.3.11

Bây giờ ta biểu diễn hàm y=Argshx dưới dạng lôga. Ta thấy y=Argshx tương đương với
x = sh y =

Đặt ey = t hay y =lnt và x =

ey − e− y
.

2

1
2
t = t − 1 . Vậy nếu x cho trước thì t là nghiệm của
2
2t

t−

phương trình bậc hai
t2− 2tx−1=0.
Với mọi x ∈

, phương trình trên có hai nghiệm, trong đó có một nghiệm dương

( t = e > 0) : t = x + x2 + 1 .
y

Vậy với mọi x ∈

ta có
Ar gsh x = ln( x + x2 + 1) .

(2.3.19)

b) Hàm y =Argchx
Hàm y=chx ánh xạ khoảng [0, +∞ ) lên khoảng [1, +∞ ) , vậy ta có thể xác định một hàm
ngược, ký hiệu là Argchx.
Vậy y=Argchx, x ∈ [1, +∞ ), y ∈ [0, +∞ ) ⇔ x = ch y, y ∈ [0, +∞ ), x ∈ [1, +∞ ) . Đồ thị của

hàm số y = Argchx suy từ đồ thị của y=chx, x ≥ 0 bằng phép lấy đối xứng qua đường phân
giác của góc phần tư thứ nhất.


25

y = Ar gch x

x

Hình 2.3.12

Bây giờ ta hãy biểu diễn ngược dưới dạng lôga. Ta thấy
y = Ar gch x ⇔ x = ch y =

ey + e− y
ví i y ≥ 0
2

Đặt ey =t hay y=lnt, ta có
x=

1
2
t = t +1
2
2t

t+

Vậy với x ≥ 1 cho trước thì t là nghiệm của phương trình bậc hai t2−2tx+1=0.
Với x ≥ 1 phương trình trên có hai nghiệm dương mà tích của chứng bằng 1. Vậy trong
hai nghiệm thì nghiệm lớn hơn có lơga dương và ta có

ey = t = x + x2 − 1
y=Argchx =ln( x + x2 − 1 ).
Với x ≥ 1 đồ thị của hàm số y=Argchx trùng với đồ thị hàm số y= ln( x + x2 − 1 ).
Một cách tương tự, do hàm thx ánh xạ khoảng ( −∞, +∞ ) lên khoảng (−1,1) ta có thể xét
hàm ngược của nó y=Argthx. Trong khoảng (−1,1) hàm y=Argthx tương đương với hàm.
y=

1 1+ x
ln
2 1− x

còn trong khoảng x <−1, x> 1, hàm y=Argcthx tương đương với hàm
y= Argcthx=

2.4

Giới hạn của hàm số

2.4.1 Lân cận của một điểm
a) Lân cận của một điểm

1 1+ x
ln
.
2 1− x