công thức xác suất thống kê

Tóm tắt XSTK - 1 - 2013
KHÁI NIỆM CƠ BẢN XÁC SUẤT
Công thức Siêu bội P(X=k) =
−
−−
−
−
−−
−
k n k
M N M
n
N
C .C
C

Công thức Nhị thức P(X=k) =
k
n
C
.p
k
(1 – p)
n–k

Công thức cộng
P(A+B) = P(A) + P(B) – P(A.B)
▪ P(A) = 1 − P(
A
)

▪ P(A
1
+A
2
+…+A
n
) = P(A
1
)+P(A
2
)+…+P(A
n
)
(A
i
) xung khắc từng đôi.

▪ P(A+B+C) = P(A) + P(B) + P(C)
– P(AB) – P(BC) – P(AC)
+ P(ABC)
Ghi nhớ

A B A.B
+ + =

A.B A+B+
=

Công thức nhân
P(A.B) = P(A).P(B/A) = P(B).P(A/B)

▪ P(A/B) =
P(A.B)
P(B)
=
P(A).P(B / A)
P(B)

▪ P(A/B) =
P(A)
P(B)
(B = A + … )
▪
P(A/B) P(B/A)
P(A) P(B)
=

▪ P(A
1
.A
2
) = P(A
1
).P(A
2
) (A
i
) đ.lập t.phần.

▪ P(A.B.C) = P(A).P(B/A).P(C/A.B)
Công thức Xác suất đầy đủ

(A
i
) đầy đủ và xung khắc từng đôi.
P(B) =
/
∑
∑∑
∑
n
i i
i =1
P(B A ).P(A )

P(B.C) =
/ /
∑
∑∑
∑
n
i i
i =1
P(B A .C).P(A C)

Công thức Bayes
(A
i
) đầy đủ và xung khắc từng đôi.
P(A
i
/B) =

i i
P(A ).P(B / A )
P(B)


ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU
▪ Bảng phân phối theo thành
ph
ần X (p
i
bằng tổng p
ij
theo
dòng) ⇒ E(X), Var(X), σ
X

X x
1
x
m

p p
1
p
m


▪ Bảng phân phối theo thành
ph
ần Y (q

j
bằng tổng p
ij
theo
cột) ⇒ E(Y), Var(Y), σ
Y

Y y
1
y
n

q q
1
q
n


Bảng phân phối đồng thời
Y

X
y
1


y
n

x
1
p
11


p
1n

Σ= p
1




x
m
p
m1


p
mn

Σ= p
m


Σ= q
1

Σ= q
n


p
ij
≥ 0, ΣΣp
ij
= 1
p
i
> 0, Σp
i
= 1 q
j
> 0, Σq
j
= 1

▪ Bảng phân phối theo X có
điều kiện Y=y
j
(cột j chia cho
tổng cột j)
⇒ E(X /y
j
), Var(X /y

j
)
X /y
j
x
1
x
m

p /y
j
p
1j
/q
j

p
mj
/q
j


▪ Bảng phân phối theo Y có
điều kiện X=x
i
(dòng i chia
cho tổng dòng i)
⇒ E(Y /x
i
), Var(Y /x

i
)
Y /x
i
y
1
y
n

q /x
i
q
i1
/p
i

q
in
/p
i


Hiệp phương sai: đo độ phụ thuộc giữa X, Y
Cov(X, Y) =
m n
i j ij
i 1 j 1
x y p
= =
= == =

= =
∑∑
∑∑∑∑
∑∑
– E(X).E(Y)
▪ X, Y độc lập ⇔ p
ij
= p
i
.q
j
∀(i, j)
⇒ Cov(X, Y) = 0
▪ Var(aX ± bY) = a
2
Var(X) + b
2
Var(Y)
± 2abCov(X, Y)
Hệ số tương quan: đo mức độ phụ thuộc
tuyến tính giữa X và Y.
XY
ρ
ρρ
ρ
=
X Y
Cov(X,Y)
.σ σ
σ σσ σ

σ σ

▪ 
XY
ρ
 ≤ 1,
XY
ρ
> 0 ⇒ X, Y đồng biến
▪ 
XY
ρ
 = 1 ⇔ P(Y = aX+b) = 1 (hầu hết)



Tóm tắt XSTK - 2 - 2013
ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
p
i
> 0
p
1
+ p
2
+ + p
n
= 1
X x
1

x
2
x
n

p p
1
p
2
p
n

Mod(X) = x
o
⇔ P(X = x
o
) =
x
max
P(X = x)
⇔ f(x
o
) =
x
max
f(x)
E(X) =
∑
n
i i

i=1
x p

E(c) = c E(cX) = cE(X)
E(X + Y) = E(X) + E(Y)
E(X.Y) = E(X).E(Y) X, Y độc lập
Var(X) = E(X
2
) −
−−
− [E(X)]
2
σ(X)=
Var(X)

=
 
  
 
−
−−
−
 
  
 
 
  
 
∑ ∑
∑ ∑∑ ∑

∑ ∑
2
n n
2
i i i i
i=1 i=1
x p x p

Var(c) = 0 Var(cX) = c
2
Var(X)
Var(X ± Y) = Var(X) + Var(Y) X, Y độc lập

Phân phối Chuẩn X ~ N(µ, σ
σσ
σ
2
)
Hàm mật độ: f(x) =
2
x
/2
1
e
2
µ
σ
σ π
−
−−

−
 
  
 
−
−−
−
 
  
 
 
  
 

E(X) = µ Var(X) = σ
σσ
σ
2
Mod(X) = µ
Hàm Laplace: Φ(x)=


2
x
z /2
0
1
e dz
2
−

π
∫

▪ Φ(–x) = –Φ(x) =NORMSDIST(x)–0,5

▪ x ≥ 4 ⇒ Φ(x) ≈ 0,5
▪ Φ(a) > Φ(b) ⇔ a > b
▪ z
α
= a ⇔ α = 0,5 – Φ(a)

X Chuẩn ⇔
X
− µ
σ
~ N(0; 1)
▪ P(X < x) = 0,5 + Φ(
X
− µ
σ
)

▪ P(X > x) = 0,5 – Φ(
X
− µ
σ
)

▪ P(a < X < b) = Φ(
b

− µ
σ
) – Φ(
a
− µ
σ
)
▪ P(X – µ< a) = 2Φ(a / σ)
a
1
N(µ
1
, σ
1
2
) + a
2
N(µ
2
, σ
2
2
) =
N(a
1
µ
1
+ a
1
µ

1
, a
1
2
σ
1
2
+ a
2
2
σ
2
2
)
Phân phối Nhị thức X ~ B(n, p)
P(X=k) =
k k n-k
n
C .p q
=BINOMDIST(k; n; p; 0)

P(X ≤ k) =BINOMDIST(k; n; p; 1)

E(X) = np Var(X) = npq
Mod(X) ∈
∈∈
∈ [(n+1)p–1, (n+1)p]
▪ n đủ lớn, p không quá gần 0 hay 1:
B(n, p) ≈ N(np, npq)
▪ n đủ lớn, p gần 0:

B(n, p) ≈ P(np)
Tổng các phân phối Nhị thức độc lập:
B(n
1
, p) + B(n
2
, p) = B(n
1
+ n
2
, p)
Phân phối Poisson X ~ P(λ
λλ
λ)
P(X=k) =
−
k
e
k!
λ
λλ
λ
λ
λλ
λ
=POISSON(k; λ; 0)

P(X ≤ k) =POISSON(k; λ; 1)

E(X) = λ

λλ
λ Var(X) = λ
λλ
λ Mod(X) ∈
∈∈
∈ [λ
λλ
λ–1, λ
λλ
λ]

▪ λ ≥ 10: P(λ
λλ
λ) ≈ N(λ
λλ
λ; λ
λλ
λ)
Tổng các phân phối Poisson độc lập:
P(λ
1
) + P(λ
2
) = P(λ
1
+ λ
2
)
Phân phối Siêu bội X ~ H(N, M, n)
P

k
=
−
−
k n k
M N M
n
N
C .C
C
=HYPGEOMDIST(k; n; M; N)

E(X) = np Var(X) = npq
−
−
N n
N 1

Mod(X) =
+ +
+ ++ +
+ +
 
  
 
 
  
 
+
++

+
 
  
 
(n 1)(M 1)
N 2

▪ n đủ nhỏ so với N: H(N, M, n) ≈ B(n, M/N)
Phân phối Chi bình k bậc tự do
χ
χχ
χ
2
~
χ
χχ
χ
2
(k)
E(
χ
χχ
χ
2
(k)) = k Var(
χ
χχ
χ
2
(k)) = 2k

χ
2
(k)
α
=CHIINV(α; k)
Phân phối Student k bậc tự do T ~ T(k)
E(T) = 0 Var(T(k) ) =
k
k 2
−
−−
−

t(k)
α
=TINV(2*α; k)
▪ k ≥ 30:
χ
χχ
χ
2
(k) ≈ N(0; 1) T(k) ≈ N(0; 1)

Tóm tắt XSTK - 3 - 2013
THỐNG KÊ TOÁN
µ trung bình tổng thể. σ
2
phương sai tổng thể. p tỷ lệ tổng thể.
X
trung bình mẫu ngẫu nhiên. S

2
phương sai mẫu ngẫu nhiên. F tỷ lệ mẫu ngẫu nhiên.
x
trung bình mẫu. s
2
phương sai mẫu. f tỷ lệ mẫu. n kích thước mẫu. ε
εε
ε độ chính xác.
z
α
αα
α
phân vị mức α của phân phối Chuẩn chuẩn tắc. P(Z > z
α
αα
α
) = α
αα
α
=NORMSINV(1–α) z
α
αα
α
= Φ
–1
(0,5 – α
αα
α) P(

Z


 > Z
α
αα
α
) = α
αα
α ⇒
⇒⇒
⇒ Z
α
αα
α
= z
α
αα
α/2

t
α
αα
α
(n) phân vị mức α của phân phối Student với n bậc tự do. P(T > t
α
αα
α
) = α
αα
α
=TINV(2*α; n) P(


T

 > T
α
αα
α
) = α
αα
α ⇒
⇒⇒
⇒ T
α
αα
α
= t
α
αα
α/2

χ
χχ
χ
2
α
αα
α
(n) phân vị mức α của phân phối Chi bình với n bậc tự do. P(
χ
χχ

χ
2
>
χ
χχ
χ
2
α
αα
α
) = α
αα
α
=CHIINV(α; n)
Số liệu dạng điểm không có tần số
x
=
n
i
i 1
1
x
n
=
==
=
∑
∑∑
∑
s

2
=

2
n n
2
i i
i 1 i 1
1 1
x x
n 1 n
= =
= == =
= =
 
  
 
 
  
 
−
−−
−
 
  
 
 
  
 
−

−−
−
 
  
 
 
  
 
 
  
 
∑ ∑
∑ ∑∑ ∑
∑ ∑


Số liệu dạng khoảng có tần số
x
i
= (a
i
+ b
i
)/2 ⇒ s
ố liệu dạng điểm có tần số.
Số liệu dạng điểm có tần số
n =
k
i
i 1

n
=
==
=
∑
∑∑
∑

x
=
k
i i
i 1
1
n x
n
=
==
=
∑
∑∑
∑

s
2
=

2
k k
2

i i i i
i 1 i 1
1 1
n x n x
n 1 n
= =
= == =
= =
 
  
 
 
  
 
−
−−
−
 
  
 
 
  
 
−
−−
−
 
  
 
 

  
 
 
  
 
∑ ∑
∑ ∑∑ ∑
∑ ∑


Bảng số liệu hai chiều
Số liệu X theo điểm:
Cộng tần số theo
dòng.
Số liệu Y theo điểm:
Cộng tần số theo cột.

Số liệu X biết Y=y
j
: Lấy cột j.
Số liệu Y biết X=x
i
: Lấy dòng i.
Y
X
y
1
y
h

x
1

n
11
n
1h


x
k

n
k1
n
kh

Đổi biến
x
o
: bằng x
i
có tần số lớn nhất h: tuỳ ý
n =
k
i
i 1
n
=
==

=
∑
∑∑
∑

u
=
k
i i
i 1
1
n u
n
=
==
=
∑
∑∑
∑

x
= x
o
+ h
u

s
2
=

2
k
2 2
i i
i 1
h
n u nu
n 1
=
==
=
 
  
 
−
−−
−
 
  
 
−
−−
−
 
  
 
∑
∑∑
∑

Khoảng tin cậy của trung bình tổng thể µ
µ∈(
x
− ε,
x
+ ε) với độ tin cậy 1–α.
n ≥
≥≥
≥ 30 hoặc n < 30, biết σ
2
, tổng thể Chuẩn
ε
εε
ε =
/2
z
n
α
αα
α
σ
σσ
σ
(σ ≈ s)
n < 30, chưa biết σ
2
, tổng thể Chuẩn
ε
εε
ε =

/2
s
t(n 1)
n
α
αα
α
−
−−
−

Khoảng tin cậy của tỷ lệ tổng thể p
p∈(f – ε, f + ε) với độ tin cậy 1–α.
ε
εε
ε =
/2
f(1 f )
z
n
α
αα
α
−
−−
−

Khoảng tin cậy của phương sai tổng thể
σ
2

∈(a, b) với độ tin cậy 1–α.
Chưa biết µ
a =
2
2
/2
(n 1)s
(n 1)
α
αα
α
−
−−
−
χ −
χ −χ −
χ −
b =
2
2
1 /2
(n 1)s
(n 1)
−α
−α−α
−α
−
−−
−
χ −

χ −χ −
χ −

Biết µ
a =
(
((
( )
))
)
2
1
2
2
n
i
i
/
x
(n)
=
==
=
α
αα
α
− µ
− µ− µ
− µ
χ

χχ
χ
∑
∑∑
∑
b =
(
((
( )
))
)
2
1
2
2
n
i
i
1 /
x
(n)
=
==
=
−α
−α−α
−α
− µ
− µ− µ
− µ

χ
χχ
χ
∑
∑∑
∑



Tóm tắt XSTK - 4 - 2013
Độ tin cậy 1–α ⇔ mức ý nghĩa α
Giá trị kiểm định: z, t, χ
2


Loại kiểm định
Giá trị kiểm định

(KD)
Giá trị tới hạn (TH)
Bác bỏ
H
o

H
o
: µ = µ
o

H

1
: µ ≠ µ
o

n ≥ 30 hay n < 30, biết σ
2
, Chuẩn: z
α
αα
α/2
n < 30, chưa biết σ
2
, Chuẩn: t(n–1)
α
αα
α/2

|KĐ| > TH
H
o
: µ = µ
o

H
1
: µ > µ
o

n ≥ 30 hay n < 30, biết σ
2

, Chuẩn: z
α
αα
α
n < 30, chưa biết σ
2
, Chuẩn: t(n–1)
α
αα
α

KĐ > TH
H
o
: µ = µ
o

H
1
: µ < µ
o

o
x
/ n
− µ
− µ− µ
− µ
σ
σσ

σ
(σ ≈ s)
n ≥ 30 hay n < 30, biết σ
2
, Chuẩn: –z
α
αα
α
n < 30, chưa biết σ
2
, Chuẩn: –t(n–1)
α
αα
α

KĐ < TH
H
o
: p = p
o

H
1
: p ≠ p
o

z
α
αα
α/2

|KĐ| > TH
H
o
: p = p
o

H
1
: p > p
o

z
α
αα
α

KĐ > TH
H
o
: p = p
o

H
1
: p < p
o

−
−−

−
−
−−
−
o
o o
f p
p (1 p ) / n

–z
α
αα
α

KĐ < TH
H
o
: σ
2
= σ
o
2

H
1
: σ
2
≠ σ
o
2

χ
χχ
χ
2
(n–1)
1–α
αα
α/2
và
χ
χχ
χ
2
(n–1)
α
αα
α/2

KĐ > TH
L

hoặc
KĐ < TH
N

H
o
: σ
2

= σ
o
2

H
1
: σ
2
> σ
o
2

χ
χχ
χ
2
(n–1)
α
αα
α

KĐ > TH
H
o
: σ
2
= σ
o
2

H
1
: σ
2
< σ
o
2


2
2
o
(n 1)s
−
−−
−
σ
σσ
σ

χ
χχ
χ
2
(n–1)
1–α
αα
α

KĐ < TH

BẢNG KÊ SỐ
z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1.9

0.4713

0.4719

0.4726

0.4732

0.4738

0.4744

0.4750

0.4756

0.4761

0.4767

2.0

0.4772

0.4778

0.4783

0.4788

0.4793

0.4798

0.4803

0.4808

0.4812

0.4817

2
z
t /2
0
1
(z) e dt
2
−
Φ =
π
∫

•

Φ(2,03) =
0,4788 •

α
= 0,025 ?z
α

0,5 – 0,025 = 0,4750
⇒
z
α
= 1,96



z
α

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
2.0

0.0228

0.0222

0.0217

0.0212

0.0207

0.0202

0.0197

0.0192

0.0188

0.0183

1.9

0.0287

0.0281

0.0274

0.0268

0.0262

0.0256

0.0250

0.0244

0.0239

0.0233


P(Z > z
α
) =
α

•

α
= 0,025 ?z
α
z
α
= 1,96

a 0,005

0,01 0,015

0,02 0,025

0,03 0,04 0,05
z
a
2,576

2,326

2,17 2,054

1,96 1,881

1,751

1,645