Một số bài toán thường gặp về đồ thị

Một số bài toán thường gặp về đồ thị
Chủ đề 1: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Loại 1: Tiếp tuyến tại một điểm
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )y f x=
tại điểm
( )
0 0
;M x y
có phương trình
( )
'
0 0 0
( )y y f x x x− = −
với
0 0
( )y f x=
Bài 1: (Đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2004) Cho hàm số
3 2
1
2 3
3
y x x x= − +
(C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại điểm uốn và chứng minh d là tiếp tuyến của (C) có hệ
số góc nhỏ nhất.
Bài 2: (Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2009) Cho hàm số
2
2 3
x

y
x
+
=
+
(C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết rằng tiếp tuyến cắt trục hoành tại A, trục tung tại B sao cho
tam giác OAB vuông cân tại O, ở đây O là góc tọa độ.
Bài 3: (Đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2005) Cho hàm số
3 2
1 1
3 2 3
m
y x x= − +
(C
m
)
1. Khảo sát sự biến thiên và vễ đồ thị (C) của hàm số khi m=1
2. Gọi M là điểm thuộc đồ thị (C
m
) có hoành độ bằng -1. Tìm m để tiếp tuyến với (C
m
) tại M song song
với đường thẳng d: 5x-y=0
Bài 4: Cho hàm số
3
1 ( 1)y x m x= + − +

( )

m
C
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m=3
2. Tìm m để tiếp tuyến của
( )
m
C
tại giao điểm của nó với trục tung tạo với hai trục tọa độ một tam giác
có diện tích bằng 8.
Bài 5: Cho hàm số
2
32
−
−
=
x
x
y
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Cho M là điểm bất kì trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B.
Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận. Tìm toạ độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác
IAB có diện tích nhỏ nhất.
Bài 6: Cho hàm số y = (C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị (C) đến
tiếp tuyến là lớn nhất.
Bài 7: Cho hàm số
3 2
2 8 5y x x x= − + +
(C)

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số
2. Chứng minh không có bất kỳ hài tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số lại vuông góc với nhau.
Bài 8: Cho hàm số
3
3 1y x x= − +
(C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
2. Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) tai điểm có hoành độ x=2
3. Tiếp tuyến d cắt lại đồ thị (C) tại điểm N, tìm tọa độ của điểm N
Bài 9 : (đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2010) Cho hàm số
4 2
6y x x= − − +
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng d:
1
1
6
y x= −
Bài 10 : (đề thi tuyển sinh cao đẳng khối A năm 2011) Cho hàm số
3 2
1
2x 3x 1 ( )
3
y x C= − + − +
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung
Bài 11: (đề thi tuyển sinh cao đẳng khối A,A1,B,D năm 2012) Cho hàm số
2 3
( )
1

x
y C
x
+
=
+
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2.Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) biết rằng d vuông góc với đường thẳng
2y x= +
GV: Phan Bá Linh 1
Một số bài toán thường gặp về đồ thị
Bài 12: Cho hàm số
2 3
( )
2
x
y C
x
−
=
−
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2.Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến cắt các đường tiệm cận của đồ thị (C) lần
lượt tại M, N và chu vi tam giác IMN bằng
5 17+
, I là giao của hai đường tiệm cận.
Bài 13: Cho hàm số
1
( )
3

x
y C
x
−
=
+
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2.Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến cắt các đường tiệm cận của đồ thị (C) lần
lượt tại M, N. I là giao của hai đường tiệm cận. Thỏa
) 4a IA IB=

) 8b IA IB+ =
GV: Phan Bá Linh 2
Một số bài toán thường gặp về đồ thị
Chủ đề 1: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Loại 1: Tiếp tuyến tại một điểm
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )y f x=
tại điểm
( )
0 0
;M x y
có phương trình
( )
'
0 0 0
( )y y f x x x− = −
với
0 0
( )y f x=

Bài 1: (Đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2004) Cho hàm số
3 2
1
2 3
3
y x x x= − +
(C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại điểm uốn và chứng minh d là tiếp tuyến của (C) có hệ
số góc nhỏ nhất
Giải
1. Tự giải
2. Ta có
' 2 ''
4 3 2 4y x x y x= − + ⇒ = −
Vậy điểm uốn của đồ thị là
2
2;
3
M
 
 ÷
 
Khi đó
' '
0
( ) (2) 1y x y= = −
Vậy tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại điểm
2
2;

3
M
 
 ÷
 
có phương trình
( )
'
0 0 0
( )y y f x x x− = −

suy ra
( )
2
1 2
3
y x− = − −
hay
8
3
y x= − +
Tiếp tuyến d có hệ số góc
1k
= −
Mặt khác tiếp tuyến của đồ thi (C) tại điểm bấy kỳ trên (C) có hệ số góc
( )
2
' 2
4 3 2 1 1k x x x k= − + = − − ≥ − =
Vậy tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất.

Bài 2: (Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2009) Cho hàm số
2
2 3
x
y
x
+
=
+
(C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết rằng tiếp tuyến cắt trục hoành tại A, trục tung tại B sao cho
tam giác OAB vuông cân tại O, ở đây O là góc tọa độ.
Giải
1. Tự giải
2. Ta có :
'
2
1
(2 3)
y
x
−
=
+
Vì tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân nên hệ số góc của tiếp tuyến là:
1k = ±
Khi đó gọi
( )
0 0

;M x y
là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị (C) ta có
'
0
( ) 1y x = ±
0
2
0
0
2
1
1
1
(2 3)
x
x
x
= −

−
⇔ = ± ⇔

= −
+

Với
0
1x = −
thì
0

1y =
lúc đó tiếp tuyến có dạng
y x= −
(trường hợp này loại vì tiếp tuyến đi qua góc
tọa độ, nên không tạo thành tam giác OAB)
Với
0
2x = −
thì
0
4y = −
lúc đó tiếp tuyến có dạng
2y x= − −
Vậy tiếp tuyến cần tìm là
2y x= − −
Bài 3: (Đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2005) Cho hàm số
3 2
1 1
3 2 3
m
y x x= − +
(C
m
)
1. Khảo sát sự biến thiên và vễ đồ thị (C) của hàm số khi m=1
2. Gọi M là điểm thuộc đồ thị (C
m
) có hoành độ bằng -1. Tìm m để tiếp tuyến với (C
m
) tại M song song

với đường thẳng d: 5x-y=0
Giải
1. Tự giải
2. Ta có
' 2
y x mx= −
Đường thẳng d: 5x-y=0 có hệ số góc bẳng 5, nên để tiếp tuyến tại M song song với đường thẳng d trước
hết ta cần có
'
( 1) 5 1 5 4y m m− = ⇔ + = ⇔ =
GV: Phan Bá Linh 3
Một số bài toán thường gặp về đồ thị
Khi
4m =
ta có hàm số
3 2
1 1
2
3 3
y x x= − +
ta có
0
1x = −
thì
0
2y = −
Phương trình tiếp tuyến có dạng
'
0 0 0
( )( ) 5( 1) 2 5 3y y x x x y y x y x= − + ⇒ = + − ⇔ = +

Rõ ràng tiếp tuyến song song với đường thẳng d
Vậy
4m
=
là giá trị cần tìm.
Bài 4: Cho hàm số
3
1 ( 1)y x m x= + − +

( )
m
C
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m=3
2. Tìm m để tiếp tuyến của
( )
m
C
tại giao điểm của nó với trục tung tạo với hai trục tọa độ một tam giác
có diện tích bằng 8.
Giải
1. Tự giải
2. Ta có
(0;1 )M m−
là giao điểm của
( )
m
C
với trục tung
' 2 '
3 (0)y x m y m= − ⇒ = −

Phương trình tiếp tuyến với
( )
m
C
tại điểm m là
1y mx m= − + −
Gọi A, B lần lượt là giao điểm của tiếp tuyến này với trục hoanh và trục tung, ta có tọa độ
1
( ;0)
m
A
m
−
và
(0;1 )B m−
Nếu
0m =
thì tiếp tuyến song song với Ox nên loại khả năng này
Nếu
0m
≠
ta có
( )
2
9 4 5
1
1 1 1
8 . 8 1 8 16
2 2
7 4 3

OAB
m
m
m
S OAOB m
m m
m

= ±
−
−
= ⇔ = ⇔ − = ⇔ = ⇔

= − ±


Vậy có 4 giá trị cần tìm
Bài 5: Cho hàm số
2
32
−
−
=
x
x
y
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Cho M là điểm bất kì trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B.
Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận. Tìm toạ độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác
IAB có diện tích nhỏ nhất.

Giải
1. Tự giải
2. Ta có:
2x,
2x
3x2
;xM
0
0
0
0
≠








−
−
,
( )
2
0
0
2x
1
)x('y

−
−
=
Phương trình tiếp tuyến với ( C) tại M có dạng:
( )
2x
3x2
)xx(
2x
1
y:
0
0
0
2
0
−
−
+−
−
−
=∆
Toạ độ giao điểm A, B của
( )
∆
và hai tiệm cận là:
( )
2;2x2B;
2x
2x2

;2A
0
0
0
−








−
−
Ta thấy
M0
0BA
xx
2
2x22
2
xx
==
−+
=
+
,
M
0

0BA
y
2x
3x2
2
yy
=
−
−
=
+
suy ra M là trung điểm của AB.
Mặt khác I = (2; 2) và tam giác IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích
S =
π≥






−
+−π=

















−
−
−
+−π=π 2
)2x(
1
)2x(2
2x
3x2
)2x(IM
2
0
2
0
2
0
0
2
0
2
Dấu “=” xảy ra khi




=
=
⇔
−
=−
3x
1x
)2x(
1
)2x(
0
0
2
0
2
0
Do đó có hai điểm M cần tìm là M(1; 1) và M(3; 3)
Bài 6: Cho hàm số y = (C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị (C) đến
tiếp tuyến là lớn nhất.
GV: Phan Bá Linh 4
Một số bài toán thường gặp về đồ thị
Giải
1. Tự giải
2. Giả sử M(x
0

; y
0
) thuộc (C) mà tiếp tuyến với đồ thị tại đó có khoảng cách từ tâm đối xứng đến tiếp
tuyến là lớn nhất.
Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng :
0
0
2
0 0
1
( )
( 1) 1
x
y x x
x x
= − − +
− −
2
0
2 2
0 0
1
0
( 1) ( 1)
x
x y
x x
⇔ − − + =
− −
Ta có d(I ;tt) =

0
4
0
2
1
1
1
( 1)
x
x
−
+
+
Xét hàm số f(t) =
4
2
( 0)
1
t
t
t
>
+
ta có f’(t) =
2
4 4
(1 )(1 )(1 )
(1 ) 1
t t t
t t

− + +
+ +
f’(t) = 0 khi t = 1
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có d(I ;tt) lớn nhất khi và chỉ khi t = 1 hay
0
0
0
2
1 1
0
x
x
x
=

− = ⇔

=

+ Với x
0
= 0 ta có tiếp tuyến là y = -x
+ Với x
0
= 2 ta có tiếp tuyến là y = -x+4
Bài 7: Cho hàm số
3 2
2 8 5y x x x= − + +
(C)

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số
2. Chứng minh không có bất kỳ hài tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số lại vuông góc với nhau.
Giải
1. Tự giải
2. Ta có
2
'( ) 3 4 8y x x x= − +
Giả sử trái lại có hai tiếp tuyến với đồ thị (C) vuông góc với nhau. Gọi
1 2
,x x
tương ứng là các hoành độ
của hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó. Gọi
1 2
,k k
lần lượt là các hệ số góc của hai tiếp tuyến tại các điểm
trên (C) có hoành độ
1 2
,x x
.Khi đó
( ) ( )
( ) ( )
' ' 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2
, 1 . 1 3 4 8 3 4 8 1k k y x y x x x x x= − ⇒ = − ⇒ − + − + = −
(1)
Tam thức
( )
2
3 4 8f t t t= − +
có

'
0∆ <
nên
( )
0f t t> ∀ ∈R
từ đó và từ (1) suy ra mâu thuẫn.
vậy giả thiết phản chứng là sai, suy ra (đpcm)
Bài 8: Cho hàm số
3
3 1y x x= − +
(C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
2. Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) tai điểm có hoành độ x=2
3. Tiếp tuyến d cắt lại đồ thị (C) tại điểm N, tìm tọa độ của điểm N
Giải
1. Tự giải
2. Tiếp tuyến d tại điểm M của đồ thị (C) có hoành độ
0 0
2 3x y= ⇒ =
Ta có
2
0
'( ) 3 3 '( ) '(2) 9y x x y x y= − ⇒ = =
Phương trình tiếp tuyến d tại điểm m của đồ thị (C) là
0 0 0
'( )( ) 9( 2) 3 9 15y y x x x y y x y x= − + ⇒ = − + ⇒ = −
Vậy phương trình tiếp tuyến d tại điểm M của đồ thị (C) là
9 15y x= −
3. Giả sử tiếp tuyến d cắt (C) tại N
Xét phương trình

( )
( )
3 3 2
2
3 1 9 15 12 16 0 2 2 8 0
4
x
x x x x x x x x
x
=

− + = − ⇔ − + = ⇔ − + − = ⇔

= −

Vậy
( )
4; 51N − −
là điểm cần tìm
GV: Phan Bá Linh 5
Một số bài toán thường gặp về đồ thị
Bài 9 : (đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2010) Cho hàm số
4 2
6y x x= − − +
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng d:
1
1
6
y x= −

Giải
1.Tự giải
2. Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d:
1
1
6
y x= −
nên tiếp tuyến có hệ số góc bằng -6
Gọi
( )
0 0
;M x y
là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị (C)
Ta có
3
' 4 2y x x= − −
Hệ số góc của tiếp tuyến là
( )
3
0 0 0 0 0
' 4 2 6 1 4y x x x x y= − − = − ⇔ = ⇒ =
Phương trình tiếp tuyến là
( ) ( ) ( )
0 0 0
' 6 1 4 6 10y y x x x y y x y x= − + ⇒ = − − + ⇒ = − +
Vậy phương trình tiếp tuyến là
6 10y x= − +
Bài 10 : (đề thi tuyển sinh cao đẳng khối A năm 2011) Cho hàm số
3 2
1

2x 3x 1 ( )
3
y x C= − + − +
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung
Giải
1. Học sinh tự giải
2. Tọa độ giao điểm của (C) với trục tung là
(0;1)M
Ta có
2
' 4x 3y x= − + −
hệ số góc của tiếp tuyến là
'(0) 3y = −
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M là
3( 0) 1 3x 1y x y= − − + ⇒ = − +
Vậy phương trinh tiếp tuyến là
3x 1y = − +
Bài 11: (đề thi tuyển sinh cao đẳng khối A,A1,B,D năm 2012) Cho hàm số
2 3
( )
1
x
y C
x
+
=
+
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2.Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) biết rằng d vuông góc với đường thẳng

2y x= +
Giải
1. Học sinh tự giải
2. d vuông góc với đường thẳng
2y x= +
nên d có hệ số góc bằng -1
Hoành độ tiếp điểm là
0
x
ta có
0
2
0 0
2
0
0
0
1
'( ) 1 1 ( 1) 1
2
( 1)
x
y x x
x
x
=

−
= − ⇔ = − ⇔ + = ⇔


= −
+

Với
0
0x =
phương trình tiếp tuyến d là
3y x= − +
Với
0
2x = −
phương trình tiếp tuyến d là
1y x= − −
Bài 12: Cho hàm số
2 3
( )
2
x
y C
x
−
=
−
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2.Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến cắt các đường tiệm cận của đồ thị (C) lần
lượt tại M, N và chu vi tam giác IMN bằng
5 17+
, I là giao của hai đường tiệm cận.
Giải
Bài 13: Cho hàm số

1
( )
3
x
y C
x
−
=
+
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2.Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến cắt các đường tiệm cận của đồ thị (C) lần
lượt tại M, N. I là giao của hai đường tiệm cận. Thỏa
) 4a IA IB=

) 8b IA IB+ =
Loại 2: Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số đi qua một điểm cho trước:
GV: Phan Bá Linh 6
Một số bài toán thường gặp về đồ thị
Phương pháp giải bài toán này là:
- Quy về bài toán loại 1
- Sử dụng mệnh đề về điều kiện để hai đường tiếp xúc với nhau:
Cho hai đường
( )y f x=
và
( )y g x=
. Hai đương tiếp xúc với nhau tại điểm M có hoành độ
0
x

nếu như hệ sau đây thỏa mản :

0 0
0 0
( ) ( )
'( ) '( )
f x g x
f x g x
=


=

Ví dụ 1: (Đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2008)
Cho hàm số:
3 2
4 6 1 ( )y x x C= − +
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm
( )
1; 9M − −
Giải
1. Tự giải
2. Đường thẳng
1x = −
đi qua điểm
( )
1; 9M − −
không phải là tiếp tuyến của đồ thị (C)
đường thẳng d đi qua điểm
( )
1; 9M − −

có hệ số góc k có phương trình
( )
1 9y k x= + −
đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ
0
x
thì
0
x
thỏa mãn hệ phương trình
( )
3 2
2
4 6 1 1 9 (1)
12 12 (2)
x x k x
x x k

− + = + −


− =


Thay (2) vào (1) rồi rút gọn ta có:
( )
( )
0
3 2 2
0 0 0 0 0 0

0
1
4 3 6 5 0 1 4 5 0
5
4
x
x x x x x x
x
= −


+ − − = ⇔ + − − = ⇔

=

Khi
0
1x = −
thì
24k =
lúc đó phương trình tiếp tuyến là
24 15y x= +
Khi
0
5
4
x =
thì
15
4

k =
lúc đó phương trình tiếp tuyến là
15 21
4 4
y x= −
KL……
Ví dụ 2:
Cho hàm số
4 2
1 3
3 ( )
2 2
y x x C= − +
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm
3
0;
2
M
 
 ÷
 
Giải
1. Tự giải
2. đường thẳng
0x =
đi qua điểm
3
0;
2

M
 
 ÷
 
không phải là tiếp tuyến của đồ thị (C)
Đường thẳng d đi qua điểm
3
0;
2
M
 
 ÷
 
có hệ số góc k có phương trình
3
2
y kx= +
đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị (C) tai điểm có hoành độ là
0
x
thì
0
x
là nghiệm của hệ phương
trình
4 2
0 0 0
3
0 0
1 3 3

3 (1)
2 2 2
2 6 (2)
x x kx
x x k

− + = +



− =

Thay (2) vào (1) rồi rút gọc ta được
( )
0
2 2
0 0
0
0
2 0
2
x
x x
x
=

− = ⇔

= ±



GV: Phan Bá Linh 7
Một số bài toán thường gặp về đồ thị
Khi
0
0x =
thì
0k =
lúc đó phương trình tiếp tuyến là
3
2
y =
Khi
0
2x = −
thì
2 2k =
lúc đó phương trình tiếp tuyến là
3
2 2
2
y x= +
Khi
0
2x =
thì
2 2k = −
lúc đó phương trình tiếp tuyến là
3
2 2

2
y x= − +
Từ đó suy ra có ba tiếp tuyến là
3
2
y =
;
3
2 2
2
y x= +
;
3
2 2
2
y x= − +
Ví dụ 3:
Cho hàm số :
3 2
3 ( )y x x C= +
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2. Tìm các điểm trên trục hoành sao cho từ đó vẽ được ba tiếp tuyến đến đồ thị (C), trong đó có hai tiếp
tuyến vuông góc với nhau.
Giải
1. Tự giải
2. Gọi
( )
;0M a
là điểm thuộc trục hoành, Tiếp tuyến với đồ thị (C) đi qua M có hệ số góc k có dạng:
( )

y k x a= −
Gọi
0
x
là hoành độ tiếp điểm thì
0
x
thỏa mãn hệ phương trình
( )
3 2
0 0 0
2
0 0
3 (1)
3 6 (2)
x x k x a
x x k

+ = −


+ =


Thay (2) vào (1) rồi rút gọn ta có kết quả:
( )
( )
0
3 2
0 0 0

2
0 0 0
0 (3)
2 3 1 6 0
( ) 2 3 1 6 0 (4)
x
x a x ax
f x x a x a
=

+ − − = ⇔

= + − − =

Để (3) và (4) có ba nghiệm phân biệt thì (4) phải có hai nghiệm phân biệt khác 0
điều đó xảy ra khi:
0
(0) 0
3
(*)
0
1
3
a
f
a
a
≠



≠

< −


⇔
 

∆ >



> −



Tại điểm M
1
có hoành độ 0 thì theo (2) suy ra tiếp tuyến với (C) tại M
1
song song với Ox. Vì mọi đường
thẳng song song với Oy không phải là tiệp tuyến với (C). Nên để thỏa mãn điều kiện đầu bài thì các tiếp
tuyến với (C) tai điểm M
2
, M
3
phải vuông góc với nhau, hoành độ M
2
, M
3

tương ứng là các nghiệm t
1
,t
2

của phương trình:
( ) ( )
2
2 3 1 6 0 5t a t a+ − − =
Hệ số góc tương ứng của tiếp tuyến theo (2) là:
2 2
1 1 1 2 2 2
3 6 ; 3 6k t t k t t= + = +
Hai tiếp tuyến vuông góc với nhau khi và chỉ khi
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2 2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 3 6 3 6 1 9 18 36 1 6k k t t t t t t t t t t t t= − ⇔ + + = − ⇔ + + + = −
Áp dụng định lý Viét ta có
( )
1 2
1 2
3 1
2
3
a
t t
t t a

 −
+ =



= −

Nên từ (6) sau khi rút gọn ta được
1
27 1 0
27
a a− + = ⇔ =
Vậy
1
;0
27
M
 
 ÷
 
là điểm duy nhất trên (C) cần tìm.
Bài 2: BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Loại 1: Các bài toán về sự tồn tại cực trị
GV: Phan Bá Linh 8
Một số bài toán thường gặp về đồ thị
Loại bài toán này thường có dạng sau: Tìm tham số để các hàm số có cực trịn và các cực trị này thỏa mãn
những điều kiện nào đó cho trước.
Phương pháp giải bài toán này là sử dụng điều kiện tồn tại cực trị của hàm số (các hàm số đa thức) kết
hợp với việc sử dụng các kết quả về tam thức bậc hai, định lý viét, lý thuyết về phương trình và bất
phương trình.

Ví dụ 1: (Đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2007)
Cho hàm số
( )
3 2 2 2
3 3 1 3 1y x x m x m= − + + − − −
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi
1m
=
2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị cách đề góc tọa độ.
Giải
1. Tự giải
2. Ta có
( )
2 2
' 3 6 3 1y x x m= − + + −
Hàm số có cực trị khi và chỉ khi phương trình
' 0y =
có hai nghiệm phân biệt
Khi và chỉ khi
( ) ( )
2 2 2 2
3 6 3 1 0 2 1 0x x m x x m− + + − = ⇔ − − − =
có hai nghiệm phân biết
Khi và chi khi
2
' 1 1 0 0m m∆ = + − > ⇔ ≠
(2)
Khi thỏa mãn (2) hàm số có cực trị tại
( )

3
1 ; 2 2A m m− − −
và
( )
3
1 ; 2 2B m m+ − +
Theo bài ra ta có
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
3 3 3
1
1 2 2 1 2 2 4
2
OA OB m m m m m m m= ⇔ − + − − = + + − + ⇔ = ⇔ = ±
Vậy
1
2
m = ±
là các giá trị cần tìm
Ví dụ 2 : (Đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2002)
Cho hàm số
( )
4 2 2
9 10y mx m x= + − +
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi

1m =
2. Tìm m để đồ thị (1) có ba cực trị
Giải
1. Tự giải
2. Ta có
( )
3 2
' 4 2 9y mx m x= + −
Đồ thị (1) có ba cực trị khi và chỉ khi phương trình
' 0y =
có ba nghiệm phân biệt.
Ta có
( )
3 2
' 0 4 2 9 0y mx m x= ⇔ + − =
(2)
( )
2 2
0
( ) 4 2 9 0
x
h x mx m
=

⇔

= + − =


Như vậy (2) có ba nghiệp phân biết khi và chỉ khi

( ) 0h x =
có hai nghiệm phân biệt khác 0 tức là khi và
chỉ khi
2
2
(0) 9 0
3
9
0 3
0
2
h m
m
m
m
m

= − ≠
< −


⇔

−

< <
>




(3)
Vậy (3) là tập hợp các giá trị cần tìm
Ví dụ 3 :
Cho hàm số
3 2 2 2
2( 1) ( 4 1) 2( 1)y x m x m m x m= + − + − + − +
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi
0m
=
2. Tìm m để hàm số (1) đạt cực trị tại
1 2
,x x
sao cho
( )
1 2
1 2
1 1 1
2
x x
x x
+ = +
Giải
1. Tự giải
2. Ta có
2 2
' 3 4( 1) ( 4 1)y x m x m m= + − + − +
Đồ thị (1) có cực trị khi phương trình
' 0y =
có hai nghiệm phân biệt

Ta có
2 2
' 0 3 4( 1) ( 4 1) 0y x m x m m= ⇔ + − + − + =
(2)
GV: Phan Bá Linh 9
Một số bài toán thường gặp về đồ thị
(2) có nghiệm
2 2 2
2 3
' 4( 1) 3( 4 1) 0 4 1 0
2 3
m
m m m m m
m

< − −
⇔ ∆ = − − − + > ⇔ + + > ⇔

> − +


(3)
Khi m thỏa mãn (3) đồ thị hàm số đạt cực trị tại
1 2
,x x
là hai nghiệm của phương trình (2)
Theo định lý viét, ta có
( )
1 2
2

1 2
4 1
3
4 1
.
3
m
x x
m m
x x
 −
+ =



− +

=


Từ đó ta có
( ) ( )
1 2
1 2
1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
0
1 1 1 1
2

2 2
x x
x x
x x x x
x x
x x x x
+ =

+
+ = + ⇔ = + ⇔

=

Vậy
2
4(1 )
1
0
3
1
4 1
2
5
3
m
m
m
m m
m
−


=

=


⇔ = −


− +


=
=



Đối chiếu với điều kiện (3), suy ra có hai giá trị cần tìm của m là m=1 và m=5
Ví dụ 4 :
Cho hàm số
( ) ( )
3 2
1
2 5 4 3 1
3
y x m x m x m= + − + + + +
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m=0
2. Tìm m để hàm số (1) đạt cực trị tại
1 2

,x x
sao cho
1 2
2x x< <
Giải
1. Tự giải
2. Ta có
( ) ( )
2
' 2 2 5 4y x m x m= + − + +
Đồ thị hàm số (1) có cực trị khi phương trình
' 0y =
có hai nghiệm phân biệt
Ta có
( ) ( )
2
' 0 2 2 5 4 0y x m x m= ⇔ + − + + =
(2)
(2) có hai nghiệm phân biết
( ) ( )
2
2
0
' 2 5 4 0 9 0
9
m
m m m m
m
<


⇔ ∆ = − − + > ⇔ − > ⇔

>

(3)
Khi m thỏa mãn điều kiên (3) đồ thị (1) có cực trị tại
1 2
,x x
là hai nghiệm của phương trình (2)
Để thỏa mãm điều kiện
1 2
2x x< <
ta cần có
( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 2
2 2 0 . 2 4 0x x x x x x− − < ⇔ − + + <
Theo định lý viét, ta có
1 2
1 2
2(2 )
5 4
x x m
x x m
+ = −


= +

Ta có
5 4 2.2(2 ) 4 0 9 0 0m m m m+ − − + < ⇔ < ⇔ <

KL :
0m <
là các giá trị cần tìm
Ví dụ 5 : (Đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2011)
Cho hàm số
4 2
2( 1) (1)y x m x m= − + +
m là tham số
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi
1m
=
b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có 3 điểm cực trị A, B, C sao cho
OA BC=
, trong đó O là góc tọa độ, A là
điểm cực trị thuộc trục tung, B và C là 2 điểm cực trị còn lại.
Giải
a. Học sinh tự giải
b. Ta có
3 2
' 4 4( 1) 4x( 1)y x m x x m= − + = − −
( )
2
2
0
' 0 4x( 1) 0
1 2
x
y x m
x m
=


= ⇔ − − = ⇔

= +

Để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0
1 (*)m⇔ > −
GV: Phan Bá Linh 10
Một số bài toán thường gặp về đồ thị
Khi đó
2 2
(0; ), ( 1; 1), ( 1; 1)A m B m m m C m m m− + − − − + − − −
Do đó
2 2
4( 1) 4 4 0 2 2 2OA BC m m m m m= ⇔ = + ⇔ − − = ⇔ = ±
thỏa mãn (*)
Vậy
2 2 2m = ±
là giá trị cần tìm
Ví dụ 6 : (Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2012)
Cho hàm số
4 2 2
2( 1) (1)y x m x m= − + +
m là tham số
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi
0m
=
b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có 3 điểm cực trị tạo thành 3 đỉnh của một tam giác vuông
Giải
a. Học sinh tự giải

b. Ta có
3 2
' 4 4( 1) 4x( 1)y x m x x m= − + = − −
Đồ thị hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi
1 0 1 (*)m m+ > ⇔ > −
Các điểm cực trị của đồ thị là
2
(0; ), ( 1; 2 1), ( 1; 2 1)A m B m m C m m− + − − − + − −
Suy ra
2
( 1; ( 1) )AB m m= − + − +
uuur
và
2
( 1; ( 1) )AC m m= + − +
uuur
Ta có
AB AC
=
nên tam giác ABC vuông khi và chỉ khi
. 0AB AC =
uuur uuur
4
( 1) ( 1) 0m m⇔ + − + =
với điều kiện (*) ta có
0m =
là giá trị cần tìm
Ví dụ 7 : (Đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2012)
Cho hàm số
3 2 3

3 (1)y x mx m= − +
m là tham số
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi
1m
=
b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có 2 điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48
Giải
a. Học sinh tự giải
b. Ta có
2
' 3 6 xy x m= −
2
0
' 0 3 6 0
2
x
y x mx
x m
=

= ⇔ − = ⇔

=

Đồ thị hàm số có 2 cực trị khi và chỉ khi
0 (*)m ≠
Các điểm cực trị của đồ thị là
3 3
(0;3 ), (2 ; )A m B m m−
Suy ra

3
3OA m=
và
( ,( )) 2d B OA m=
Do đó diện tích tam giác OAB là
3 4
1 1
. ( ,( )) .3 .2 3 48 2
2 2
OAB
S OA d B OA m m m m
∆
= = = = ⇔ = ±
thảo (*)
Vậy
2m = ±
là giá trị cần tìm.
Ví dụ 8 : (Đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2012)
Cho hàm số
3 2 2
2 2
2(3 1) (1)
3 3
y x mx m x= − − − +
m là tham số
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi
1m
=
b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có 2 điểm cực trị
1 2

,x x
sao cho
1 2 1 2
. 2( ) 1x x x x+ + =
Giải
a. Học sinh tự giải
b. Ta có
2 2 2
' 2 2 2(3 1)y x mx m= − − −
Để đồ thị hàm số (1) cá 2 điểm cực trị khi và chỉ khi y’=0 có 2 nghiệm phân biệt
2 2
2 13
13
4(3 1) 0
2 13
13
m
m m
m

< −


∆ = + − > ⇔

>


GV: Phan Bá Linh 11
Một số bài toán thường gặp về đồ thị

Khi đó
1 2
,x x
là 2 nghiệm của phương trình y’=0 trên, theo định lý Viét ta có
1 2
2
1 2
1 3
x x m
x x m
+ =


= −

2
1 2 1 2
0
. 2( ) 1 1 3 2 1
2
3
m
x x x x m m
m
=


+ + = ⇔ − + = ⇔

=


Kiểm tra điều kiện ta được
2
3
m =
GV: Phan Bá Linh 12
Một số bài toán thường gặp về đồ thị
Bài 3: BÀI TOÁN VỀ SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HÀM SỐ
Nội dung của bài toán như sau: Cho các đường cong (hoặc đường thẳng)
( )y f x=
và
( )y g x=
thường
chứa tham số. Tìm điều kiện để chúng cắt nhau và các giao điểm của chúng thỏa mãn một điều kiệ cho
trước nào đấy. Ta biết rằng hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình
( ) ( )f x g x=
Ví dụ 1: (đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2008)
Cho hàm số:
3 2
3 4y x x= − +
(C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2. Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua
(1;2)I
có hệ số góc
3k > −
đều cắt (C) tại ba điểm phân biết
A, B, I sao cho I là trung điểm của AB
Giải
1. Tự giải

2. Đường thẳng d đi qua I với hệ số góc k có phương trình
( 1) 2y k x= − +
số giao điểm của d và (C) là
nghiệm của phương trình:
( )
( )
3 2 2
3 4 ( 1) 2 1 2 2 0x x k x x x x k− + = − + ⇔ − − − − =
(1)
2
1
( ) 2 2 0
x
f x x x k
=

⇔

= − − − =

Ta có
'
( )
(1) 3 0 3
3 0 3
f x
f k k
k k
= − ≠ ∀ > −




∆ = + > ∀ > −


Suy ra (1) có ba nghiệm phân biệt
Ba giao điểm của d và (C) là A, I, B trong đó A,B tương ứng có hoành độ
1 2
,x x
là nghiệm của phương
trình
2
2 2 0x x k− − − =
Theo định lý viét, ta có
1 2
2 2
I
x x x+ = =
Vậy I là trung điểm của AB
Ví dụ 2: (Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2002)
Cho hàm số
3 2
3y x x= − +
(C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2. Tìm giá trị của k để đường thẳng d:
3 2
3y k k= − +
cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biết
Giải

1. Tự giải
2. Xét phương trình:
( ) ( )
3 2 3 2 3 3 2 2
3 3 3 0x x k k x k x k− + = − + ⇔ − − − =
(1)
( ) ( )
( )
2 2
2 2
3 3 0
( ) 3 3 0
x k
x k x k x k k
f x x k x k k
=

 
⇔ − + − + − = ⇔

 
= + − + − =

Từ đó suy ra (1) có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
( ) 0f x =
có hai nghiệm phân biệt khác k
Tức là
( )
( )
( )

2 2
2
2
2
2
3 3 0
( ) 0 2 0 0, 2
0 1 3
2 3 0
3 4 3 0
k k k k k
f k k k k k
k
k k
k k k

+ − + − ≠

≠ − ≠ ≠ ≠
 
 
⇔ ⇔ ⇔
   
∆ > − < <
− − <
− − − >

 




(2)
Vậy (2) là tập hợp các giá trị cần tìm của k
Ví dụ 3: (Đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2009)
Cho hàm số
( )
4 2
3 2 3y x m x m= − + +
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m=0
2. Tìm m để đường thẳng d:
1y = −
cắt đồ thị (1) tại bốn điểm phân biết có hoành độ nhỏ hơn 2
Giải
1. Tự giải
2. Xét phương trình
( )
4 2
3 2 3 1x m x m− + + = −
(2)
Đặt
2
0t x= >
ta có phương trình
( )
2
3 2 3 1 0t m t m− + + + =
(3)
Để đường thẳng d cắt đồ thị (1) tại bốn điểm phân biết có hoành độ nhỏ hơn 2 khi và chỉ khi phương trình
(2) có bốn nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2 khi và chỉ khi phương trình (30 có 2 nghiệm dương phân biệt nhỏ

hơn 4.
GV: Phan Bá Linh 13
Một số bài toán thường gặp về đồ thị
(3)
1
3 1
t
t m
=


= +

Từ đó suy ra
0
3 1 1
1
0 3 1 4
1
3
m
m
m
m
≠

+ ≠


⇔

 
< + <
− < <



(4)
Vậy (4) là tập hợp các giá trị cần tìm của m
Ví dụ 4:
Cho hàm số
( )
( ) ( )
3 2 2 2
2 1 4 1 2 1y x m x m m x m= + − − + + + +
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m=0
2. Tìm m để đồ thị (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 3
Giải
1. Tự giải
2. Số giao điểm của đồ thị (1) với trục hoành là số nghiệm của phương trình
( )
( ) ( )
3 2 2 2
2 1 4 1 2 1 0x m x m m x m+ − − + + + + =
(2)
( )
( )
2 2
2 2
2

2 2 1 0
( ) 2 1 0
x
x x mx m
f x x mx m
=

 
⇔ − + − + = ⇔

 
= + − − =

Để đồ thị (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 3 khi và chỉ khi phương trình (2)
có 3 nghiệm phân biệt nhỏ hơn 3 khi và chỉ khi
( ) 0f x =
có 2 nghiệm phân biệt khác 2 và nhỏ hơn 3.
Ta có
( ) 0f x =
có 2 nghiệm phân biệt khác 2
2
2
(2) 0 4 3 0
2 7
' 0
2 1 0
f m m
m
m


≠ − + + ≠


⇔ ⇔ ≠ ±
 
∆ >
+ >



(3)
Khi thỏa mãn (3) thì
( ) 0f x =
có hai nghiệm
1 2
,x x
thỏa
1 2
3x x< <
Khi đó điều kiện là
( ) ( )
( )
1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
3 3 0
3 9 0
6
3

2
x x
x x x x
x x
x x
 − − >
 − + + >
 
⇔
 
+
+ <
<




Theo định lý viét, ta có
2
1 2
1 2
1
2
x x m
x x m

= − −

+ = −


Do đó ta có
( )
2
2
1 3 2 9 0
6 8 0
3 17 3 17
3 17 3 17
3
3
2 6
m m
m m
m
m
m
m
m
 
− − − − + >

− − <
− < < +
 
⇔ ⇔ ⇔ − < < +
  
> −
> −
− <






(4)
Từ (3) và (4) ta có tập hợp các giá trị của m là
( ) { }
3 17;3 17 \ 2 7S = − + ±
Ví dụ 5: (Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2010)
Cho hàm số
( )
3 2
2 1y x x m x m= − + − +
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m=1
2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt
1 2 3
, ,x x x
thỏa mãn điều kiện
2 2 2
1 2 3
4x x x+ + <
Giải
1. Tự giải
2. Phương trình hoành độ giao điểm của (1) và trục hoành là
( ) ( )
( )
3 2 2
2
1

2 1 0 1 0
( ) 0 (2)
x
x x m x m x x x m
f x x x m
=

− + − + = ⇔ − − − = ⇔

= − − =

để đồ thị (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt
khác 1, Khi đó
1
1x =
và (2) có hai nghiệm phân biệt là
2 3
,x x
GV: Phan Bá Linh 14
Một số bài toán thường gặp về đồ thị
Vậy điều kiện là
( )
2 2 2
2
2 3
2 3 2 3
0
(1) 0 0
0
1

0 1 4 0 (3)
1
4
1
4
3
2 3
1 2( ) 3
m
f m
m
m m
m
x x
x x x x
m
≠



≠ ≠
≠




  
∆ > ⇔ + > ⇔ > − ⇔
   
− < <

   

+ <
+ − <




− − <

vậy (3) là tập hợp các giá trị cần tìm của m
Ví dụ 6: (Đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2010)
Cho hàm số
2 1
( )
1
x
y C
x
+
=
+
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2. Tìm m để đường thẳng d:
2y x m= − +
cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB
có diện tích bằng
3
(O là góc tọa độ)
Giải

1. Tự giải
2. Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và đương thẳng d là
( ) ( )
2 1
2 2 1 2 1
1
x
x m x x m x
x
+
= − + ⇔ + = − + +
+
(do
1x = −
không phải là nghiệm của phương trình)
( )
2
2 4 1 0 (1)x m x m⇔ + − − + =
Đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi (2) có hai nghiệm phân biệt
( ) ( )
2
2
0 4 8 1 0 8 0m m m m⇔ ∆ > ⇔ − − − > ⇔ + > ∀
Vậy đường thẳng d luôn cắt độ thị (C) tại hai điểm A, B với mọi m
Gọi
1 2
,x x
là hai nghiệm của phương trình (1) thì tọa độ hai điểm

( )

1 1
; 2A x x m− +
và
( )
2 2
; 2B x x m− +
Ta có khoảng cách từ O đến đường thẳng d là
2 2
5
2 1
m m
h
−
= =
+
( ) ( ) ( )
2
2
2 2 2
2 1 2 1 1 2 1 2
4 1 5 40
4 5 20 5 20
2 2 2
m m m
AB x x x x x x x x
− − +
   
= − + − = + − = − =
 ÷  ÷
   

(Theo định lý viét, ta có
1 2
1 2
4
2
1
2
m
x x
m
x x
−

+ =



−

=


)
Diện tích tam giác OAB là
2
2
8
1 1 5 40
.
2 2 2 4

5
OAB
m m m
m
S AB h
+
+
= = =

suy ra
( )
2
2 2 2 4 2
8
3 8 4 3 8 48 8 48 0 2
4
m m
m m m m m m m
+
= ⇔ + = ⇔ + = ⇔ + − = ⇔ = ±
Ví dụ 7:
Cho hàm số :
3
( )
1
x
y C
x
+
=

+
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2. Chứng minh rằng : đường thẳng d :
2y x m= +
luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt M, N nằm
trên hai nhánh của (C)
3. Xác định m sao cho độ dài MN là nhỏ nhất
Giải
1. Tự giải
2. Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng d là :
( ) ( )
3
2 ( 1) 3 1 2
1
x
x m x x x x m
x
+
= + ≠ − ⇔ + = + +
+
(
1x = −
không thỏa mãn phương trình)
GV: Phan Bá Linh 15
Một số bài toán thường gặp về đồ thị
( ) ( )
2
2 1 3 0 (1)g x x m x m⇔ = + + + − =
Ta có
( ) ( ) ( )

2 2
2
1 8 3 6 25 3 16 0m m m m m m∆ = + − − = − + = − + > ∀
Khi đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt
1 2
,x x
Theo định lý Viét ta có
1 2
1 2
1
2
3
2
m
x x
m
x x
+

+ = −



−

=


Ta có
( ) ( )

1 2 1 2 1 2
3 1
1 1 ( ) 1 1 1 0
2 2
m m
x x x x x x
− +
+ + = + + + = − + = − <
Suy ra -1 nằm giữa hai nghiệm
1 2
,x x
Vậy d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N năm về hai phía đối
với tiệm cận đứng
1x
= −
, tức là M, N nằm trên hai nhánh của đồ thị (C) (đpcm)
3. Ta có
( ) ( )
1 1 2 2
;2 ;2M x x m N x x m+ +
(vì M, N nằm trên d :
2y x m= +
)
MN nhỏ nhất khi và chỉ khi MN
2
nhỏ nhất
Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2

2 1 1 2 2 1 1 2 1 2
2 2 5 5 4MN x x x m x m x x x x x x
 
= − + + − − = − = + −
 
( ) ( )
( )
( )
2
2
2
1 4 3
5 5
5 6 25 3 16 20
4 2 4 4
m m
m m m
 
+ −
 
= − = − + = − + ≥
 
 
 
 
MN nhỏ nhất bằng
2 5
khi dấu "=" bằng xảy ra
3m
⇔ =

vậy
3m =
là giá trị cần tìm
Ví dụ 8 :
Cho hàm số :
3 2
1 ( )
m
y x mx C= + +
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi
2m
=
2. Tìm m để đường thẳng
: 1d y x= − +
cắt (C
m
) tại ba điểm phân biết
( )
0;1A
, B, C sao cho các tiếp tuyến
của (C
m
) tại B, C vuông góc với nhau.
Giải
1. Tự giải
2. Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C
m
) và đường thẳng d
( )
( )

3 2 2
1 1 1 0 1x mx x x x mx+ + = − + ⇔ + + =
( ) ( )
2
0
1 0 2
x
f x x mx
=


⇔

= + + =


Với
0x
=
ta có
1y =
nên d luôn cắt (C) tai điểm
( )
0;1A
Ta thấy
0x =
không phải nghiệm của (2) nên điều kiện để d cắt (C) tai ba điểm phân biệt là phương trình
(2) có hai nghiệm phân biệt
( )
2

2
4 0 *
2
m
m
m
< −

⇔ ∆ = − > ⇔

>

Lúc đó
,
B C
x x
là nghiệm của (2). Theo định lý Viét ta có
. 1
B C
B C
x x m
x x
+ = −


=

Hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại B, C là
( ) ( )
2 2

1 2
' 3 2 ; ' 3 2
B B B C C C
k y x x mx k y x x mx= = + = = +
điều kiện để hai tiếp tuyến vuông góc với nhau là
1 2
. 1k k = −
( ) ( )
( ) ( )
2
2 2 2
3 2 3 2 1 9 6 4 1 0
B B C C B C B C B C B C
x mx x mx x x mx x x x m x x⇔ + + = − ⇔ + + + + =
2 2 2
9 6 4 1 0 5 5m m m m⇒ − + + = ⇔ = ⇔ = ±
Thỏa điều kiện (*) vậy
5m = ±
là giá trị cần tìm
Ví dụ 9 (Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2011)
GV: Phan Bá Linh 16
Một số bài toán thường gặp về đồ thị
Cho hàm số
1
2x-1
x
y
− +
=
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số

b. Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng
y x m
= +
luôn cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt A và B,
Gọi
1 2
,k k
lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến của đồ thị (C) tại A và B. Tìm m để tổng
1 2
k k+
đạt giá
trị lớn nhất.
Giải
a. Học sinh tự giải
b. Hoành độ giao điểm của đường thẳng
:d y x m= +
và đồ thị (C) là nghiệm của phương trình
( ) ( )
1
1 2x 1
2x 1
x
x m x x m
− +
= + ⇔ − + = + −
−
(do
1
2
x =

không phải là nghiệm của phương trình)
( )
2
2x 2 x 1 0 *m m+ − − =
Ta có
2
' 2 2 0,m m m∆ = + + > ∀
, Suy ra đường thẳng d luôn cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt A và B với
mọi m.
Khi đó hoành độ
1 2
,x x
của hai điểm A, B là nghiệm của phương trình (*) và hệ số góc của các tiếp tuyến
tại A và B của đồ thị (C) lần lượt là
( )
( )
1 1
2
1
1
'
2x 1
k y x= = −
−
và
( )
( )
2 2
2
2

1
'
2x 1
k y x= = −
−
Ta có
( ) ( )
( ) ( )
[ ]
2
1 2 1 2 1 2
1 2
2 2 2
1 2
1 2 1 2
4 8x 4 2
1 1
2x 1 2x 1
4x 2( ) 1
x x x x x
k k
x x x
+ − − + +
+ = − − = −
− −
− + +
Theo định lý Viét
1 2
1 2
1

.
2
x x m
m
x x
+ = −



+
= −


Vậy
2 2
1 2
4 8 6 (2 2) 2 2k k m m m+ = − − − = − + − ≤ −
Do đó
1 2
k k+
đạt giá trị lớn nhất bằng -2 khi
1m
= −
Ví dụ 10 (Đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2011)
Cho hàm số
2 1
1
x
y
x

+
=
+
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số
b. Tìm k để đường thẳng
x 2 1y k k= + +
cắt đò thị (C) tại 2 điểm phân biệt A và B sao cho khoảng cách
từ A và B đến trục hoành bằng nhau.
Giải
a. Học sinh tự giải
b. Hoành độ giao điểm của đường thẳng
: x 2 1d y k k= + +
và đồ thị (C) là nghiệm của phương trình
2 1
x 2 1 2x 1 ( 1)( x 2 1)
1
x
k k x k k
x
+
= + + ⇔ + = + + +
+
(do
1x
= −
không phải là nghiệm của phương trình)
2
x (3 1) 2 0 (*)k k x k⇔ + − + =
d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A và B khi và chỉ khi (*) có 2 nghiệm phân biệt
( )

2 2 2
0
0 0
0
**
0
(3 1) 8 0 6 1 0
3 2 2 3 2 2
k
k k
k
k k k k
k k
≠
≠ ≠

≠
 


⇔ ⇔ ⇔ ⇔
   
∆ >
∆ = − − > − + >
< − ∨ > +


 

Khi đó

1 1 2 2
( ; x 2 1), ( ; x 2 1)A x k k B x k k+ + + +
với
1 2
,x x
là nghiệm của phương trình (*)
1 2
1 2 1 2
( , ) ( , ) x 2 1 x 2 1
( ) 4 2 0 ( )
d A Ox d B Ox k k k k
k x x k do x x
= ⇔ + + = + +
⇔ + + + = ≠
Theo định lý Viét của phương trình (*)
1 2
1 2
1 3
. 2
k
x x
k
x x
−

+ =



=


GV: Phan Bá Linh 17
Một số bài toán thường gặp về đồ thị
Suy ra
(1 3 ) 4 2 0 3k k k− + + = ⇔ = −
thỏa mãn (**)
Vậy
3k
= −
là giá trị cần tìm.
BÀI 4 : TÌM ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
Ví dụ 1 :
Cho hàm số
2
( )
1
x
y C
x
+
=
−
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Gọi M là điểm bất kỳ trên (C). Tìm tọa độ điểm M để tổng khoảng cách từ M đến hai tiện cận là ngắn
nhất.
3. Gọi M là điểm bất kỳ trên (C). Tìm tọa độ điểm M để tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là
ngắn nhất.
Giải
1. Học sinh tự giải
2. Gọi điểm

0
0
3
;1
1
M x
x
 
+
 ÷
−
 
là điểm bất kỳ trên (C)
Ta có
lim 1
x
y
→±∞
=
suy ra đường thẳng
1y =
là tiệm cận ngang của đồ thị
1 1
lim ;lim
x x
y y
− +
→ →
= −∞ = +∞
suy ra đường thẳng

1x
=
là tiệm cận đứng.
Gọi
1
d
là khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận đứng, ta có
1 0
1d x= −
Gọi
2
d
là khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận ngang, ta có
2
0
3
1
d
x
=
−
Khi đó tổng khoảng cách là
1 2 0 0
0 0
3 3
1 2 1. 2
1 1
d d d x x
x x
= + = − + ≥ − =

− −
(theo bđt côsi cho 2 số
dương
0
0
3
1 ,
1
x
x
−
−
)
Vậy d ngắn nhất bằng 2 khi dấu bằng xẫy ra khi và chỉ khi
0 0
0
3
1 1 3
1
x x
x
− = ⇔ = ±
−
Với
0
1 3x = +
ta có điểm
( )
1 3;1 3M + +
Với

0
1 3x = −
ta có điểm
( )
1 3;1 3M − −
KL : có 2 điểm cần tìm
3. Gọi điểm
0
0
3
;1
1
M x
x
 
+
 ÷
−
 
là điểm bất kỳ trên (C)
Ta có
0
0
3
( ; ) 1 ; ( ; )
1
d M Ox d M Oy x
x
= + =
−

Tổng khoảng cách là
0 0
0 0
3 3
' ( ; ) ( ; ) 1 1
1 1
d d M Ox d M Oy x x
x x
= + = + + ≥ + +
− −
Xét
0
0
3
1
1
I x
x
= − +
−
ta có
0 0
0 0
3 3
1 1 2 3
1 1
I x x
x x
= − + = − + ≥
− −

(do
0
0
3
1;
1
x
x
−
−
luôn cùng dấu)
2 3
2 3
I
I

≥
⇒

≤ −


Ta có
0
0
3
' 1 2 2
1
d x I
x

= − + + = +
−
Với
2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 ' 2 2 3I I I d≥ ⇒ + ≥ + ⇒ + ≥ + ⇒ ≥ +
GV: Phan Bá Linh 18
Một số bài toán thường gặp về đồ thị
Với
2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 ' 2 2 3I I I d≤ − ⇒ + ≤ − ⇒ + ≥ − + ⇒ ≥ − +
Vậy
' 2 2 3d ≥ − +
Dấu ‘=’ xảy ra
0
0
0
0
3
1 0
1
1 3
1 3
x
x
x
x

 
+ ≥

 ÷
−

⇔ ⇔ = −
  

− = −

Vậy với
( )
1 3;1 3M − −
thì tổng khoảng từ M đến 2 trục tọa độ là nhỏ nhất.
Ví dụ 2 :
Cho hàm số
2 2
( )
1
x
y C
x
+
=
−
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Tìm 2 điểm M, N thuộc 2 nhánh khác nhau của đồ thị (C) sao cho đoạn MN nhỏ nhất
Giải
1. Học sinh tự giải
2. Gọi
0
0
4
;2 ( )
1

M x C
x
 
+ ∈
 ÷
−
 

M, N thuộc 2 nhánh của đồ thị (C) và đoạn MN nhỏ nhất nên I(1 ;2) là trung điểm của MN (I là tâm đối
xứng của đồ thị (C))
Suy ra Tọa độ
0
0
4
2 ;2 ( )
1
N x C
x
 
− − ∈
 ÷
−
 
Ta có
2 2 2
0 0
2 2
0 0
64 64
(2 2x ) 2 4( 1) . 32

( 1) ( 1)
MN x
x x
= − + ≥ − =
− −
vậy MN nhỏ nhất khi
0
2 4
0 0 0
2
0
0
3
64
4(1 x ) ( 1) 16 1 2
1
( 1)
x
x x
x
x
=

− = ⇔ − = ⇔ − = ± ⇔

= −
−

Vậy ta có 2 điểm cần tìm là
(3;4)M

và
( 1;0)N −
BÀI TẬP TỔNG HỢP
1. Cho hàm số
( )
4 2 2
9 10 ( )
m
y mx m x C= + − +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi
1m
=
b. Tìm m để hàm số (C
m
) có ba cực trị
2. Cho hàm số
4 2
1 ( )
m
y x mx m C= + + −
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi
8m =
b. Tìm m đề đồ thị hàm số (C
m
) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt
3. Cho hàm số
4 2 2
2 1 ( )
m
y x m x C= − +

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi
1m
=
b. Tìm m để đồ thị hàm số (C
m
) có ba cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân
GV: Phan Bá Linh 19
Một số bài toán thường gặp về đồ thị
4. Cho hàm số
2 1
( )
1
x
y C
x
−
=
−
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b. Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của (C). Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiệp tuyến
của (C) tại M vuông góc với đường thẳng IM
5. Cho hàm số
4 2
6 5 ( )y x x C= − +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b. Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt :
4 2
2
6 log 0x x m− − =
6.

GV: Phan Bá Linh 20