skkn chuyên đề hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

KNGD MÔN TOÁN 2010-2011 . Lương Cao Trịnh – THCS Tam Cường
MỤC LỤC
Nội dung Trang
ĐỀ TÀI:
CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
A.Đặt vấn đề, lý do chọn đề tài
B.Giải quyết vấn đề:
2
2
2
2
2
2
4
4
5
5
6
7
7
8
9
9
12
1.KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1.1 Dạng tổng quát:
1.2 Nghiệm và số nghiệm của hệ:
1.2.1 PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ:
1.2.2 PHƯƠNG PHÁP THỂ:
1.2.3 PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ:
2. GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ HỆ HAI P.T BẬC

NHẤT HAI ẨN:
2.1 Dạng 1- Xác định số nghiệm của hệ phương trình
2.2 Dạng 2 - Giải hệ phương trình
2.3 Dạng 3- Rèn kỹ năng giải hệ phương trình bằng
cách đưa về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
2.3.1 Phương pháp khai triển – thu gọn
2.3.2 Phương pháp đặt ẩn phụ
2.4 Dạng 4 -Giải và biện luận số nghiệm của hệ phương
trình
2.5 Dạng 5 - Một số bài toán về điều kiện nghiệm của
hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
C.Đánh giá kết quả đạt được
D.Kết luận và khuyến nghị
14
14
Tài liệu tham khảo, các chuyên đề đã viết gần đây 15
Cam kết của người viết 16
Trang 1
KNGD MÔN TOÁN 2010-2011 . Lương Cao Trịnh – THCS Tam Cường
KINH NGHIỆM GIẢNG DẠY MÔN TOÁN THCS
Chuyên đề: “Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.”
A.Đặt vấn đề, lý do chọn đề tài
Để đảm bảo phù hợp với điều kiện thực tế của nhà trường, trong việc chỉ đạo hoạt
động dạy học, trường THCS Tam Cường đã thực hiện việc dạy các chủ đề tự chọn bám
sát cho môn Toán ở tất cả các khối lớp thông qua từng chuyên đề gắn với trọng tâm
kiến thức.
Trong chương trình Đại số 9 – Học kỳ II, xác định kiến thức về hệ hai phương trình
bậc nhất 2 ẩn là một đơn vị kiến thức quan trọng. Bởi lẽ:
Thứ nhất trên thực tế giảng dạy nhiều năm tự nhận thấy việc giải quyết các dạng

toán liên quan đến hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn đối với học sinh lớp 9 : Thuần
thục khi ở mức độ nhận biết song lại gặp những khó khăn ở mức độ vận dụng .
Thứ hai, đây cũng là những nội dung trọng tâm ôn tập theo định hướng trong tài
liệu của SGD để ôn thi vào lớp 10 THPT hàng năm.
Thứ ba, có thể nhận thấy rằng liên thông kiến thức ở các bậc học thường được xây
dựng theo “hình xoắn ốc”. Vì vậy cho thấy giải quyết tốt được vấn đề này là cơ sở để
học sinh có nhiều thuận lơi trong việc mở rộng tiếp cận với kiến thức hệ phương trình
trong chương trình Toán lớp 10.
Và đây là cơ sở để tôi thực hiện chuyên đề “Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn” .
B.Giải quyết vấn đề :
1.KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1.1 Dạng tổng quát:
(I)



=+
=+
)2('''
)1(
cybxa
cbyax
Phương trình (1), (2) là các phương trình bậc nhất hai ẩn x,y
1.2 Nghiệm và số nghiệm của hệ: xoay quanh 3 phương pháp sau đây
1.2.1 PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ:
* Cách thực hiện:
- Vẽ đường thẳng (1), (2).
- Số nghiệm của hệ (I) là số giao điểm của hai đường thẳng (1) và (2)
- Toạ độ giao điểm của (1) và (2) nếu có là nghiệm của hệ (I)
* Minh họa:

Vị trí tương
đối
Đường thẳng (1) và (2)
song song
Đường thẳng (1) và
(2) trùng nhau
Đường thẳng (1) và
(2) cắt nhau tại 1 điểm
duy nhất
Hình vẽ
Số nghiệm
của hệ
Hệ phương trình
vô nghiệm
Hệ phương trình
vô số nghiệm
Hệ phương trình
có nghiệm duy nhất
Trang 2
CHUYÊN ĐỀ HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
KNGD MÔN TOÁN 2010-2011 . Lương Cao Trịnh – THCS Tam Cường
* Xét dưới dạng đồ thị hàm số bậc nhất (tạm hiểu trong trường hợp có thể đưa
về được hay nói khác đi là các phép biến đổi sau đây đều có nghĩa ) thì:
b
c
x
b
a
y +
−

=<=>)1(
và
'
'
'
'
)2(
b
c
x
b
a
y +
−
=<=>
. Khi đó:
Vị trí
tương
đối
Đường thẳng (1) và
(2) cắt nhau tại 1 điểm
duy nhất
Đường thẳng (1) và
(2) song song
Đường thẳng (1) và
(2) trùng nhau
Số
nghiệm
của hệ
Hệ phương trình có

nghiệm duy nhất
Hệ phương trình vô
nghiệm
Hệ phương trình vô số
nghiệm
Mối
liên hệ
giữa
các hệ
số
'
'
b
a
b
a −
≠
−
=>
'' b
b
a
a
≠

'''
''
''
'
'

'
'
c
c
b
b
a
a
hay
b
b
c
c
b
b
a
a
b
c
b
c
b
a
b
a
≠=








≠
=
<=>







≠
−
=
−
'''
''
''
'
'
'
'
c
c
b
b
a
a

hay
b
b
c
c
b
b
a
a
b
c
b
c
b
a
b
a
==







=
=
<=>








=
−
=
−
* Nhận xét:
+ Ưu điểm: Sử dụng phương pháp đồ thị khi giải quyết vấn đề về nghiệm của hệ
phương trình là thể hiện trực quan sinh động. Bên cạnh đó tích hợp được nhiều kỹ
năng đó là kỹ năng vẽ đồ thị, xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng, học
sinh có điều kiện tiếp cận với cách giải quyết có tính vận dụng cao và tạo được
môi trường để phát huy sáng tạo khi cho học sinh nhìn nhận vấn đề rộng hơn, sâu
hơn.
+ Hạn chế: Thực hiện phương pháp đồ thị để giải quyết các bài tập về hệ hai
phương trình bậc nhất hai ẩn, bên cạnh việc chỉ ra số nghiệm, biện luận số
nghiệm của hệ phương trình là khá nhanh chóng và thuận tiện thì một trong
những vấn đề đặt ra là tìm nghiệm (nếu có) của hệ trên thực tế là phức tạp, thiếu
tính chính xác và đặc biệt là khó khăn khi với hệ phương trình có chứa tham số
hoặc ngay cả hệ số đơn giản nhưng hệ lại có nghiệm không nguyên.
Bên cạnh đó khi nhìn nhận theo góc độ đồ thị hàm số bậc nhất như cách
giải quyết trên đây vẫn còn có nhiều vấn đề tồn tại đó là điều kiện xác định các
phép chia trong từng phép biến đổi nêu trên.
Trang 3
KNGD MÔN TOÁN 2010-2011 . Lương Cao Trịnh – THCS Tam Cường
Dù vậy, sau này chương trình Toán 10 sẽ giải quyết trọn vẹn vấn đề trên
thông qua việc thiết lập định thức để đưa ra mối liên hệ giữa các hệ số tương ứng
với từng trường hợp nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn .

1.2.2 PHƯƠNG PHÁP THỂ:
*Cách thực hiện :
+ Từ một phương trình của hệ đã cho, biểu diễn một ẩn theo ẩn kia.
+ Thế vào phương trình còn lại được phương trình mới chỉ có 1 ẩn
+ Giải phương trình 1 ẩn vừa có rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho
(Tr13,15 SGK Toán 9.Tập 2 – NXBGD)
1.2.3 PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ:
* Cách thực hiện:
+ Nhân 2 vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần)
(sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau.)
+ Áp dụng quy tắc cộng đại số để được phương trình mới một ẩn
+ Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho
(Tr18 SGK Toán 9.Tập 2 – NXBGD)
*Nhận xét: Điểm chung trong hai phương pháp 1.2.2 và 1.2.3 trên là nguyên tắc
quy từ việc giải hệ 2 phương trình bậc nhất 2 ẩn về việc giải phương trình 1ẩn
dạng : Ax+B = 0 (hoặc Ay+B =0) (3). Ở đây, số nghiệm phương trình (3) quyết
định số nghiệm của hệ (I).
+ Nếu A≠0 – (3) có nghiệm duy nhất - Hệ (I) có nghiệm duy nhất
+ Nếu A=0; B=0 – (3) vô số nghiệm - Hệ (I) vô số nghiệm
+ Nếu A=0; B≠0 – (3) vô nghiệm - Hệ (I) vô nghiệm.
Trên cơ sở này, nó sẽ giúp giải quyết tốt các bài tập về hệ phương trình (I)
+ Xác định số nghiệm của hệ.
+ Tìm nghiệm của hệ - giải hệ.
+ Giải và biện luận số nghiệm của hệ theo tham số.
+ Các bài toán về nghiệm của hệ.
Đây chính là ưu điểm hơn hẳn nếu nói về phương pháp vận dụng để giải
quyết các bài tập về nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn trong 3 phương
pháp đã nêu ở trên.
Trang 4
KNGD MÔN TOÁN 2010-2011 . Lương Cao Trịnh – THCS Tam Cường

2. GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ HỆ HAI P.T BẬC NHẤT HAI ẨN:
2.1 Dạng 1- Xác định số nghiệm của hệ phương trình
Bài 1: Mỗi hệ phương trình cho sau đây có bao nhiêu nghiệm?
a)



=+−
=−
)2(224
)1(12
yx
yx
b)



−=+−
=−
)2(222
)1(1
yx
yx
c)



−=+
=−
)2(32

)1(2
yx
yx
Đồ thị
Hai đường thẳng
(1) và (2) song song
Hai đường thẳng
(1) và (2) trùng nhau
Hai đường thẳng
(1) và (2) cắt nhau
tại 1điểm duy nhất
Liên
hệ hệ
sô
Ta có
'''
2
1
'
;
2
1
'
;
2
1
4
2
'
c

c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
a
≠==>
=
−
=
−
=
−
=
Ta có
'''
2
1
'
;
2
1
2
1
'

;
2
1
'
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
a
=== >
−
=
−
=
−
=
−
=
Ta có
''
1
1
'

;
2
1
'
b
b
a
a
b
b
a
a
≠=>
−
==
PP
Cộng
đại số
400
224
224
224
12
=+=>



=+−
=−
<=>




=+−
=−
yx
yx
yx
yx
yx
(vô nghiệm)
000
222
222
222
1
=+=>



−=+−
=−
<=>



−=+−
=−
yx
yx

yx
yx
yx
(vô số nghiệm)



−=+
=−
32
2
yx
yx
=> 3x = -1
(nghiệm duy nhất)
Phươn
g pháp
Thế



=+−
=−
)2(224
)1(12
yx
yx

Từ (1) <=> y=2x-1 thế vào
(2) ta có:

-4x+2(2x-1)=2
<=> 0x=4
(vô nghiệm)



−=+−
=−
)2(222
)1(1
yx
yx

Từ (1) <=> y =x-1 thế
vào (2) ta có:
-2x+2(x-1)=-2
<=>0x=0
(vô số nghiệm)



−=+
=−
)2(32
)1(2
yx
yx
Từ (1) <=> x=y+2
thế vào (2) ta có:
2(y+2) +y = -3

<=> 3y = -7
(nghiệm duy nhất)
KL
Hệ phương trình
vô nghiệm
Hệ phương trình
có vô số nghiệm
Hệ phương trình
có nghiệm duy nhất
Trang 5
Vẽ đường thẳng (1)
x 0 1/2
y -1 0
Vẽ đường thẳng (2)
x 0 -1/2
y 1 0
Vẽ đường thẳng (1)
x 0 1
y -1 0
Vẽ đường thẳng (2)
x 0 1
y -1 0
Vẽ đường thẳng (2)
x 0 -3/2
y -3 0
Vẽ đường thẳng (1)
x 0 2
y -2 0
KNGD MÔN TOÁN 2010-2011 . Lương Cao Trịnh – THCS Tam Cường
2.2 Dạng 2 - Giải hệ phương trình

Bài 2. Giải hệ phương trình
a)



=+
=−
)2(2
)1(12
yx
yx
b)



=+
=+
)2(842
)1(42
yx
yx
c)



=+−
=−
)2(222
)1(1
yx

yx
PP thế
Từ (2) <=>y=2-x (2’)
Thay vào (1) ta có:
2x-(2-x)=1
<=>3x = 3 <=>x=1
thay vào (2’) ta có: y=1
Từ (1) <=>x=4-2y(1’)
Thay vào (2) ta có:
2(4-2y)+4y=8
<=>0y = 0
(vô số nghiệm)
Từ (1) <=>x=y+1(1’)
Thay vào (2) ta có:
-2(y+1)+2y=2
<=>0y = 4
(vô nghiệm)
PP cộng
đại số



=
=
<=>



=+
=

<=>



=+
=
<=>



=+
=−
1
1
21
1
2
33
2
12
y
x
y
x
yx
x
yx
yx
yx
yx

yx
yx
yx
yx
yx
24
000
42
842
842
842
42
−=<=>



=+
=+
<=>



=+
=+
<=>



=+
=+




=+
=−
<=>



=+−
=−
<=>



=+−
=−
)(400
1
222
222
222
1
vlyx
yx
yx
yx
yx
yx
KL

Vậy hệ phương trình
có nghiệm duy nhất
(x=1;y=1)
Vậy hệ phương trình có vô
số nghiệm.
(x=4-2y; y∈R)
Vậy hệ phương trình
vô nghiệm
Bài 3 Giải hệ phương trình sau
(Gợi ý biến đổi tương đương đưa về hệ phương trình có hệ số nguyên rồi tiến hành giải)
a)







=+
−
=−
2
2
1
12
4
3
yx
yx
b)




=+
=+
525,15,2
125,05,0
yx
yx
c)







=+
=−
−
1
4
1
3
1
1
2
1
3
2

yx
yx
chuyển
về hệ số
nguyên
<=>



=+−
=−
)2(42
)1(483
yx
yx
<=>



=+
=+
)2(20510
)1(42
yx
yx
<=>



=+

=−−
)2(1234
)1(634
yx
yx
PP thế
(2)<=> x= 2y-4 (2’)
thế (2’) vào (1) ta có:
3(2y-4)-8y=4
<=>-2y=16<=>y=-8
Thay vào (2’) ta có
x=-20.
(1) <=> y = 4-2x (1’). Thế
(1’) vào (2) ta có:
10x+5(4-2x)=20
<=>0x=0
(vô số nghiệm)

(2) <=> y=
3
412 x−
(2’).
Thay (2’ vào (1) ta có:
-4x-3.
3
412 x−
=6
<=>0x =18 (vô nghiệm)
PP cộng
đại số




−=
−=
<=>



=+
−=
<=>



=+−
=−
<=>



=+−
=−
<=>



=+−
=−
8

20
4220
20
42
20
1684
483
42
483
y
x
y
x
yx
x
yx
yx
yx
yx
xyyx
yx
x
yx
yx
yx
yx
2442
42
000
42

42
20510
42
−=<=>=+<=>



=+
=+
<=>



=+
=+
<=>



=+
=+



=+
=+
<=>




=+
=−−
)(1800
1234
1234
634
vlyx
yx
yx
yx
KL
Vậy hệ phương trình
có nghiệm duy nhất
(x=-20;y=-8)
Vậy hệ phương trình có vô
số nghiệm.
(x∈R ,y=4-2x;)
Vậy hệ phương trình
vô nghiệm
Trang 6
KNGD MÔN TOÁN 2010-2011 . Lương Cao Trịnh – THCS Tam Cường
Bài 4 Giải hệ phương trình sau
a)





=−
=+

)2(226
)1(2235
yx
yx
b)





−=+
+=−−
)2(3244
)1(3523)32(
yx
yx
Phương
pháp
thế
3522)1( xy −=<=>
(1’) .
Thế (1’) vào (2) có:
)3522(26 xx −−
=2
<=> 6x
6
=6 <=> x= 1/
6
thay vào (1’)
=> y =-1/

2
(2)<=> y = 4-2
3
-4x (2’)
thế (2’) vào (1) ta có:
352)4324(3)32( +=−−−− xx
<=>
1314)314( =<=>−=− xx
thay vào (2’) => y = -2
3
Phương
pháp
cộng
đại số
<=>





−=
=
<=><=>





=+
=

<=>





=−
=+
2/1
6/1

2235
666
226
4265
y
x
yx
x
yx
yx
<=>



−=
=
<=>






−=+
−=−
<=>





−=+
+=−−
32
1
3244
314)314(
3612312
3523)32(
y
x
yx
x
yx
yx
KL
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
(x= 1/
6
; y = -1/

2
)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
(x= 1 ; y = -2
3
)
2.3 Dạng 3- Rèn kỹ năng giải hệ phương trình bằng cách đưa về hệ hai phương
trình bậc nhất hai ẩn
2.3.1 Phương pháp khai triển – thu gọn
Bài 5 Giải các hệ phương trình
Bài 4 a)



=−++
=−+−
6)(2)(3
03)2(2
yxyx
yxyx
b)





=−
=
−
++

25
4
3132
yx
yx
yx
Khai
triển –
thu gọn
<=>



=+
=−
)2(65
)1(0
yx
yx
=>



=−
−=+
)2(25
)1(4155
yx
yx
ĐK: x≠y

PP thế
(1) <=> y = x (1’) thay (1’) vào (2) có :
6x =6 <=> x = 1 thay vào (1’) => y = 1
(2) <=> y = 5x-2 (2’). Thế (2’)vào (1) có
5x + 15(5x-2)=-4 <=> 80x = 26
<=> x = 13/40 thay vào (2’) => y = -3/8
PP cộng
đại số
Cộng từng vế của (1) và (2) => 6x = 6
=> x = 1 thay vào (1) => 1-y = 0 => y=1
Trừ từng vế của (1) và (2) => 16y = -6
KL
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
(x = 1; y = 1)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
(x = 13/40; y = -3/8)
Trang 7
KNGD MÔN TOÁN 2010-2011 . Lương Cao Trịnh – THCS Tam Cường
2.3.2 Phương pháp đặt ẩn phụ
Bài 6 Giải hệ phương trình
Bài 5 a)
b) c)
Đặt ẩn
phụ








=+
=−
1
12
5
32
yx
yx
6 2
3
2 2
3 4
1
2 2
x y x y
x y x y

+ =

− +



+ = −

− +

3 2 1 2
2 3 1 4

x y
x y

+ − + =


+ + + =


Sơ
lược
giải
Đặt
v
y
u
x
==
1
;
1

ĐK:uv≠0.
Hệ thành:



=+
=−
12

532
vu
vu
.
Giải hệ pt này ta được
(u=1, v=-1) - thoả mãn ĐK
=> (x= 1; y = -1).
Vậy hệ pt có nghiệm duy
nhất
(x=1;y=-1)
Đặt
v
yx
u
yx
=
+
=
− 2
1
;
2
1
ĐK:uv≠0.
Hệ thành:



−=+
=+

143
326
vu
vu
.
Giải hệ ta được
(
6
5
;
9
7 −
== vu
)- thoả ĐK
Suy ra







−
=+
=−
6
5
2
9
7

2
yx
yx
Giải hệ trên ta có
(
72
29
;
36
1 −
=
−
= yx
)
Vậy hệ phương trình có
nghiệm duy nhất.
(
72
29
;
36
1 −
=
−
= yx
)
Đặt
vyux =+=+ 1;3
.
ĐK: u,v≥0.

Hệ pt thành:



=+
=−
42
22
vu
vu
.
Giải hệ pt ta được
(u=2;v=0)-thoả mãn ĐK.
Suy ra





=+
=+
01
23
y
x
.
Giải hệ trên ta có
(x=1;y=-1)
Vậy hệ phương trình co
nghiệm duy nhất

(x=1;y=-1)
Trang 8
KNGD MÔN TOÁN 2010-2011 . Lương Cao Trịnh – THCS Tam Cường
2.4 Dạng 4 -Giải và biện luận số nghiệm của hệ phương trình
Bài 7. Giải và biện luận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau theo tham số m
a)



=+
=+
)2(12
)1(12
ymx
myx
b)



=+
=+
4(2)myx
m(1)-104ymx
Ta có (1)<=> x=
2
1 my−
(1’)
Thay (1’) vào (2) ta có:
)3(2)2)(2(
2)4(

2412
2
1
2
2
mymm
mym
yymmy
my
m
−=+−<=>
−=−<=>
=+−<=>=+
−

*) Nếu m=2,
pt(3) thành 0y = 0 (vô số nghiệm )
=> Hệ phương trình vô số nghiệm
(x=
Ry
y
∈
−
;
2
21
)
*) Nếu m =-2, pt (3) thành 0y = 4(vô nghiệm)
 Hệ phương trình vô nghiệm
*) Nếu m ≠ ±2 thì pt(3) có nghiệm duy nhất

y=
m+2
1
thay vào (1’) ta có x =
m+2
1
.
Ta có (2) <=> x = 4-my (2’)
Thay (2’) vào (1) ta có:
m(4-my)+4y=10-m
<=>(4-m
2
)y=10-5m (3)
*) Nếu m =2,
pt (3) thành : 0y = 0 (vô số nghiệm)
=> Hệ pt vô số nghiệm: (x=4-my;
y∈R)
*) Nếu m = -2,
pt(3) thành: 0y = 20 (vô nghiệm)
=> Hệ pt vô nghiệm
*) Nếu m ≠ ±2 thì pt(3) có nghiệm
duy nhất y =
m+2
5
. Thay vào (2’)
có
x=
m
m
+

−
2
8
Vậy
*)Nếu m=2, thì hệ phương trình có vô số
nghiệm . Nghiệm TQ: (x=
Ry
y
∈
−
;
2
21
)
*) Nếu m =-2, hệ phương trình vô nghiệm
*) Nếu m ≠ ±2 thì hệ phương trình có nghiệm
duy nhất (x=
m+2
1
, y =
m+2
1
.)
Vậy
*)Nếu m=2, thì hệ phương trình có
vô số nghiệm .
Nghiệm TQ: (x=4-my; y∈R)
*) Nếu m =-2, hệ phương trình vô
nghiệm
*) Nếu m ≠ ±2, hệ phương trình có

nghiệm duy nhất
(x=
m
m
+
−
2
8
,y =
m+2
5
)
(Cần lưu ý, sử dụng phương pháp cộng đại số để giải quyết bài toán trên,bắt buộc phải
nhân hai vế của một trong hai phương trình với m nên vẫn có thể mắc thiếu sót nếu như
không phân trường hợp m=0 hay m≠0.)
2.5 Dạng 5 - Một số bài toán về điều kiện nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất
hai ẩn.
Thường là gặp những bài toán này, học sinh phải thực hiện được 3 bước cơ bản sau đây:
- Hệ phương trình có nghiệm khi nào?
- Khi ấy nghiệm là gì?
- Điều kiện nghiệm cần thoả mãn mà bài toán đặt ra?
Trang 9
KNGD MÔN TOÁN 2010-2011 . Lương Cao Trịnh – THCS Tam Cường
Bài 8 Cho hệ phương trình:



=−
=+
12

2
ymx
myx
. Tìm m để hệ có nghiệm (x,y) duy nhất thoả
mãn (x>0;y<0).
Hướng dẫn giải:
Xét hệ phương trình



=−
=+
)2(12
)1(2
ymx
myx
.
*) Từ (1) <=> x = 2-my (1’), thay vào (2) ta có: m(2-my)-2y=1 => (m
2
+2)y = 2m-1 (3).
Do m
2
+2> 0 ∀m => (3) luôn có nghiệm duy nhất
 hệ luôn có nghiệm (x,y) duy nhất.
*) Khi đó y =
2
12
2
+
−

m
m
, thay vào (1’) ta có
2
1
4 <<− m
x =
2
4
2
+
+
m
m
*) Để (x>0;y<0) thì :
2
1
4
2
1
4
012
04
0
2
12
0
2
4
2

2
<<−<=>





<
−>
<=>



<−
>+
<=>







<
+
−
>
+
+
m

m
m
m
m
m
m
m
m
Vậy với
2
1
4 <<− m
thì hệ phương trình có nghiệm (x;y) duy nhất thoả mãn (x>0;y<0).
Bài 9: Cho hệ phương trình:



=++
+=+
2)1(
12
ymx
mmymx
. Tìm m để hệ có nghiệm (x,y) duy nhất
thoả mãn điểm M(x;y) nằm trong góc phần tư thứ nhất.
Hướng dẫn giải:
Xét hệ phương trình




=++
+=+
)2(2)1(
)1(12
ymx
mmymx
.
*) Từ (2) <=> x = 2 –(m+1)y (2’)
Thay (2’) vào (1) ta có m[2-(m+1)y]+2my=m+1 <=> m(m-1)y=m-1(3)
Hệ có nghiệm duy nhất <=> pt(3) có nghiệm duy nhất <=> m≠0 và m≠1.(*)
*) Khi đó, (3) => y =
m
1
thay vào (2’) ta có x =
m
m 1−
*) Điểm M(x;y) nằm trong góc phần tư thứ nhất khi và chỉ khi (x>0,y>0)
<=>
1
0
1
0
01
0
1
0
1
><=>




>
>
<=>



>
>−
<=>







>
>
−
m
m
m
m
m
m
m
m
Vậy với m>1 thì hệ phương trình có nghiệm (x;y) duy nhất thoả mãn điều kiện điểm M
(x;y) nằm trong góc phần tư thứ nhất.

Bài 10 Tìm giá trị của tham số m để cho hệ phương trình



=+
=−
53
2
myx
ymx
có nghiệm duy
nhất (x;y) thoả mãn hệ thức x+y=1-
3
2
2
+m
m
Hướng dẫn giải:
Xét hệ phương trình



=+
=−
)2(53
)1(2
myx
ymx

*) Từ (1) <=> y = mx-2 (1’). Thay (1’) vào (2) ta có:

3x+m(mx-2)=5 <=> (m
2
+3)x=2m+5 (3) – Luôn có nghiệm duy nhất (do m
2
+3>0) nên
hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất ∀m.
Trang 10
KNGD MÔN TOÁN 2010-2011 . Lương Cao Trịnh – THCS Tam Cường
*) Khi đó (3) => x=
3
52
2
+
+
m
m
thay vào (1’) ta có y =
3
65
2
+
−
m
m
.
*) Để x+y=1-
3
2
2
+m

m
thì
3
52
2
+
+
m
m
+
3
65
2
+
−
m
m
= 1 -
3
2
2
+m
m
<=> m =
7
4
.
Vậy với m =
7
4

thì hệ có nghiệm duy nhất (x;y) thoả mãn hệ thức x+y=1-
3
2
2
+m
m
Bài 11. Cho hệ phương trình



=−+
+=−+
2)1(
1)1(
yax
ayxa
a) Giải và biện luận số nghiệm của hệ phương trình theo tham số m.
b) Khi hệ có nghiệm (x;y) duy nhất, lạp hệ thức liên hệ giữa x và y độc lập với
M. Từ đó chứng tỏ M(x;y) nằm trên đường thẳng cố định.
c) Tìm giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn x,y nguyên.
d) Tìm giá trị của m để hệ có nghiệm (x;y) duy nhất thoả mãn điều kiện x+y nhỏ
nhất.
Hướng dẫn giải
Xét hệ phương trình



=−+
+=−+
)2(2)1(

)1(1)1(
yax
ayxa

a) Từ (1) => y= (a+1)x-(a +1) (1’). Thay vào (2) ta có: a
2
x

=a
2
+1(3)

KL +) a ≠ 0 hệ có nghiệm duy nhất (x=
2
2
1
a
a +
;y=
2
2
1
a
a +
).
+)a = 0 hệ phương trình vô nghiệm.
b) Theo câu a, khi a ≠ 0 hệ có nghiệm duy nhất (x=
2
2
1

a
a +
;y=
2
2
1
a
a +
)
=> x- y = 0 hay y =x (hệ thức độc lập với m)
=> Khi hệ có nghiệm (x;y) duy nhất thì điểm M(x;y) nằm trên đường thẳng y =x (cố
định). ĐPCM
c) Theo câu a, khi a ≠ 0 hệ có nghiệm duy nhất (x=
2
2
1
a
a +
;y=
2
2
1
a
a +
).
Khi đó nếu a nguyên, để x, y nguyên thì a
2
+1 chia hết cho a
2
=> 1 chia hết cho a

2
=> a
2
= 1.
=> a = ±1 (thoả mãn a≠0).
Vậy :
d) Theo câu a, khi a ≠ 0 hệ có nghiệm duy nhất (x=
2
2
1
a
a +
;y=
2
2
1
a
a +
).
Khi đó
8
7
8
7
)
4
11
(2
21
1

2
2
22
2
≥++=++=
++
=+
a
a
a
a
aa
yx
Dấ u “=” xảy ra khi a= -4 (thoả mãn a ≠ 0)
=> Min(x+y)- =
8
7
khi a = -4
Trang 11
KNGD MÔN TOÁN 2010-2011 . Lương Cao Trịnh – THCS Tam Cường
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
DẠNG 1 Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế và cộng đại số
Bài 1
a)
2 3 2
3 2 3
x y
x y
+ = −



− = −

b)
4 3 6
2 0
x y
x y
+ =


+ =

c)
9 8 6
2 2
x y
x y
+ =


− =

d)
6 17
5 23
x y
x y
− =



+ =

e)
7 4 74
3 2 32
x y
x y
+ =


+ =

f)
3 6
2 6 12
x y
x y
− =


− + = −

Bài 2
a)
2 0
3 4
5 11
x y
x y


+ − =



− =

b)
1
3 3 3
4 5 10
a b
a b

+ = −



− =

c)
2 3
10
x y
x y

=




+ =

Bài 3
a)
2 3 1
3 2
x y
x y

− =


+ =


b)
( 2 1) 2
( 2 1) 1
x y
x y

− − =


+ + =


c)
2 3 1
2 2 2

x y
x y

− =


+ = −


d)
2 3 1
3 2
x y
x y

− =


+ =


e)
5 (1 3) 1
(1 3) 5 1
x y
x y

− + =



− + =


f)
5 3 2 2
6 2 2
x y
x y

+ =


− =


Bài 4
a)
6( ) 8 2 3
5( ) 5 3 2
x y x y
y x x y
+ = + −


− = + +

b)
( 1)( 2) ( 1)( 3)
( 5)( 4) ( 4)( 1)
x y x y

x y x y
− − = + −


− + = − +

c)
( 2)( 1)
( 8)( 2)
x y xy
x y xy
− + =


+ − =

2. DẠNG 2 Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Bài 5
a)
1 1
1
3 4
5
x y
x y

− =





+ =


b)
6 5
3
9 10
1
x y
x y

+ =




− =


c)
1 1 1
4
10 1
1
x y
x y

+ =





− =


d)
1 1 1
24
2 3
x y
x y

+ =




=


e)
1 1
2
2 1
2 3
1
2 1
x y
x y


+ =

− −



− =

− −

f)
4 5
2
3 1
5 1 29
3 1 20
x y
x y

+ =

− +



+ =

− +


g)
8 1
1
12
1 5
3
12
x y
x y

− =

=



+ =

+

h)
4 9
1
2 1 1
3 2 13
2 1 1 6
x y
x y

+ = −


+ −



− =

+ −

i)
1 1
2
1 2
2 3
1
2 1
x y
y x

+ =

− −



− =

− −

j)

2
2
7 13 39
5 11 33
x y
x y

+ = −

− =

k)
2 2
2 2
2 3 36
3 7 37
x y
x y

+ =

+ =

l)
2 2
2 2
3 5
3 1
x y
x y


+ =

− =

m)
3 5
2 3 18
x y
x y

− =


+ =


n)





−=−−−
=−+−
2122
9122
yx
yx
o)

7 4 5
3
7 6
5 3 1
2
6
7 6
x y
x y

− =

− +



+ =

− +

Trang 12
KNGD MÔN TOÁN 2010-2011 . Lương Cao Trịnh – THCS Tam Cường
Bài 6
a)
2
2
1 1
3
1
1 1

x y
x y
x y
x y

+ =

+ +



+ = −

+ +

b)
4 5
2
2 3 3
3 5
21
3 2 3
x y x y
x y x y

+ = −

− +




− =

+ −

c)
7 5 9
2 1 2
3 2
4
2 1
x y x y
x y x y

− =

− + + −



+ =

− + + −

d)
1
12
2
12
x x

y y
x x
y y

− =

+



− =

+

e)
3 6
1
2
1 1
0
2
x y x y
x y x y

− = −

− +




− =

− +

f)
4
1
5 5
2 3 2
3 1 7
1 2 3 5
x y
x y
x y x y
+ −

− =

− +



+ =

+ − + − +

g)
5
2
10

3
x y xy
xy x y
x y xy
xy x y
+

+ =

+


−

+ =

−

h)
2 1
1
1
2 5
2
1 1
x
y x y
y x
x y


− =

− +



− =

− −

3.Giải và biện luận số nghiệm của hệ phương trình. Một số bài tập về nghiệm
của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Bài 7:
a) Tìm m để hệ phương trình



+=++
−=++−
73)1(
3)2()1(
mmyxm
mymxm
vô nghiệm
b) Giải và biện luận số nghiệm của hệ phương trình



=−−−+
=++−

0)1()1(2
022)1(
mymmx
myxm

theo tham số m.
Bài 8
Cho hệ phương trình



=−+
−=+−
mymx
myxm
)1(
43)1(
với tham số m.
a) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) duy nhất?
b) Khi phương trình có nghiệm (x;y) duy nhất.
1)Chứng tỏ rằng M(x;y) nằm trên đường thẳng cố định.
2) Tìm m để M(x;y) nằm trong góc vuông III
3) Tìm giá trị nguyên của m để x,y nguyên
4) Tìm giá trị của m để tích xy đạt giá trị nhỏ nhất
Trang 13
KNGD MÔN TOÁN 2010-2011 . Lương Cao Trịnh – THCS Tam Cường
C.Đánh giá kết quả đạt được
Tiến hành đánh giá kết quả đạt được bằng cách thực hiện kiểm tra khảo sát với
nội dung bám sát các vấn đề mang tính trọng tâm đã đặt ra, thời lượng 30 phút.
Kết quả chung: Sau khi được tham gia thực hiện chuyên đề trên, từng học

sinh đã có bước tiến bộ trong việc tiếp cận với giải các bài toán về hệ phương
trình bậc nhất hai ẩn . Những điểm hạn chế đã phát hiện theo đánh giá sơ bộ
đã cơ bản được khắc phục.
Điểm
Bài khảo
sát
Giỏi Khá
Trung
bình
Yếu Kém Ghi chú
ban đầu 8 15 6 2 0 Số điểm10: 0
thu
hoạch
16 13 2
Số điểm10: 7
D.Kết luận và khuyến nghị :
Qua thực tế giảng dạy, bản thân có chủ quan suy nghĩ: Hệ phương trình nói
chung và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn nói riêng là một trong những
đơn vị kiến thức cơ bản của phân môn Đại số. Việc tiếp cận tốt với những vấn
đề có tính chất mở đầu như trình bày trên đây sẽ không chỉ củng cố, trang bị
cho học sinh một vốn kiến thức nhất định mà còn tạo cơ sở quan trọng để học
sinh tiếp tục có một phương pháp tiếp cận tốt hơn trong giai đoạn tiếp theo khi
mở rộng học tập, nghiên cứu về nội dung này.
Bên cạnh đó, cũng nhận thấy việc ôn tập và hệ thống kiến thức theo nội
dung bám sát là vấn đề thiết thực đối với học sinh đại trà. Với môn Toán, qua
kinh nghiệm bản thân thấy rằng, muốn có một chất lượng dạy – học hiệu quả thì
giáo viên phải cần lựa chọn những vấn đề cơ bản của chương trình, của đơn vị
kiến thức để tập trung giải quyết. Ở đó nên thực hiện những khảo sát đánh giá để
hiểu đúng thực trạng về việc nắm bắt và vận dụng kiến thức của học sinh, trong
đó đặc biệt quan tâm tới cái yếu, cái thiếu ở từng học sinh. Trên cơ sở này, tiến

hành xây dựng được nội dung phù hợp, kịp thời củng cố khắc sâu, lấp hổng kiến
thức cho học sinh bằng phương pháp tổ chức hoạt động dạy học một cách hợp lý
và có một lưu ý rằng, với trình độ không đồng đều của các học sinh, việc đặt ra
yêu cầu quá thấp hoặc quá cao đều không khích lệ, khơi dậy niềm tin, hứng thú
học tập, hạn chế khả năng hoạt động tích cực, sáng tạo cho mỗi em . Với quan
điểm như vậy, chuyên đề hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn môn Toán 9-THCS
xin được nêu ra để cùng đồng nghiệp trao đổi và tham khảo.
Tam Cường tháng 1 năm 2011
Người viết
Lương Cao Trịnh
Trang 14
KNGD MÔN TOÁN 2010-2011 . Lương Cao Trịnh – THCS Tam Cường
Tài liệu tham khảo:
Sách giáo khoa và Sách bài tập toán 9 – Tập hai (NXB GD)
Sách một số vấn đề phát triển đại số 9 – NXB GD (năm 2001)
23 chuyên đề giải bài toán sơ cấp – NXB TRẺ
Có sử dụng tham khảo một số tư liệu của đồng nghiệp trong phần BTĐN
Các chuyên đề được viết gần đây:
Phương trình đường thẳng
(Năm 2008) – XL A
Giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình
(Năm 2009) – XL A
Rèn kỹ năng giải phương trình dạng ax + b = 0 và phương trình quy về
dạng ax +b = 0 (Năm 2010) – XL A
Trang 15
KNGD MÔN TOÁN 2010-2011 . Lương Cao Trịnh – THCS Tam Cường
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
BẢN CAM KẾT
I. TÁC GIẢ:

Họ và tên: LƯƠNG CAO TRỊNH
Ngày, tháng, năm sinh: 16/06/1975
Đơn vị : Trường THCS Tam Cường
Điện thoại: 0313884592. Di động 01278.388.498
E-mail:
II. SẢN PHẨM:
Đề tài : “ Chuyên đề hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn "
III. CAM KẾT
Tôi xin cam kết sáng kiến kinh nghiệm này là sản phẩm của cá nhân tôi. Nếu có xảy ra
tranh chấp về quyền sở hữu đối với một phần hay toàn bộ sản phẩm sáng kiến kinh nghiệm, tôi
hoàn toàn chịu trách nhiệm trước lãnh đạo đơn vị, lãnh đạo Sở GD&ĐT về tính trung thực của
bản Cam kết này.
Tam Cường, ngày 20 tháng 01 năm 2011
Người cam kết
(Ký, ghi rõ họ tên)
Lương Cao Trịnh
Trang 16