viết phương trình đường thẳng trong không gian

Trường THPT Nguyễn Quán Nho Gv:Trần Tuấn Ngọc

VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
(SKKN được xếp loại C cấp tỉnh năm học 2009-2010)

Tác giả: Trần Tuấn Ngọc
Giáo viên trường THPT Nguyễn Quán Nho
ĐẶT VẤN ĐỀ
Năm học 2009-2010 là năm học tiếp tục thực hiện cuộc vận động “Học tập và làm theo tấm gương
đạo đức Hồ Chí Minh”, “Hai không_bốn nội dung”, “Mỗi thầy cô là một tấm gương đạo đức, tự học
và tự sáng tạo”, với chủ đề “Năm học đổi mới quản lí và nâng cao chất lượng giáo dục” cùng với
phong trào xây dựng “trường học thân thiện, học sinh tích cực”
Nghị quyết TW2 khoá VIII đã khẳng định “ Đổi mới mạnh mẽ phương pháp giáo dục và đào tạo,
khắc phục lối dạy truyền thụ một chiều, rèn luyện nều tư duy cho người học, từng bước áp dụng
phương pháp tiên tiến, hiện đại vào quá trình dạy học”.
Do đó trong quá trình dạy học đòi hỏi đội ngũ các thầy cô giáo phải tích cực học tập, không ngừng
nâng cao năng lực chuyên môn, đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát huy tích cực, tự giác,
chủ động và sáng tạo của học sinh, bồi dưỡng khả năng tự học, khả năng vận dụng kiến thức vào
thực tế, đem lại sự say mê, hứng thú học tập cho học sinh.
Trong quá trình giảng dạy tôi thấy học sinh còn gặp nhiều lúng túng trong việc giải quyết một bài
toán hình học tọa độ nói chung, có thể có rất nhiều nguyên nhân dẫn đến tình trạng nói trên, nhưng
theo tôi, nguyên nhân chủ yếu là khi học hình học toạ độ, học sinh chỉ “giải hình học bằng đại số”,
không để ý đến các tính chất hình học.
Các phương pháp giải còn mang tính chất chủ quan, rời rạc, gặp bài toán nào thì chỉ chú trọng tìm
cách giải cho riêng bài toán đó mà không có một cách nhìn tổng quát. Chính vì vậydẫn đến tình trạng
các em bị lúng túng trước các câu hỏi mặc dù các câu hỏi đó chỉ xoay quanh một vấn đề: Viết
phương trình đường thẳng trong không gian.
Với vai trò là một giáo viên dạy Toán và qua nhiều năm giảng dạy, để trao đổi cùng các thầy cô
đồng nghiệp với mong muốn tìm ra hướng giải quyết đơn giản nhất cho một bài toán, làm cho học
sinh nhớ được kiến thức cơ bản trên cơ sở đó để sáng tạo. Tôi xin trình bày một số kinh nghiệm của
mình về việc giải quyết bài toán Viết phương trình đường thẳng trong không gian đó là :

“Phân dạng và định hướng cách giải cho bài toán viết phương trình đường thẳng
trong không gian”.
CƠ SỞ LÝ LUẬN
Trong chương trình Sách giáo khoa có đề cập đến hai dạng phương trình của đường thẳng:Phương
trình tham số và phương trình chính tắc.
Như vậy để xác định được phương trình đường thẳng ở hai dạng trên, người học phải xác định được:
+) Điểm mà đường thẳng đi qua.
+) Véctơ chỉ phương của đường thẳng.
Năm học 2009_2010
1
Trường THPT Nguyễn Quán Nho Gv:Trần Tuấn Ngọc

Nhưng không phải trong mọi trường hợp, ta đều có thể tìm được một cách dễ dàng hai đại lượng
nói trên, và cũng như nhiều vấn đề khác của toán học. Bài toán viết phương trình đường thẳng cũng
chủ yếu có hai dạng: tường minh và không tường
minh
Dạng tường minh:
- Các đại lượng để giải quyết bài toán thì đề bài cho sẵn, dạng toán này chủ yếu để người học củng
cố công thức.
- Với bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian, dạng tường minh theo tôi đó là:
Viết phương trình tham số (hoặc chính tắc)của đường thẳng biết:
1) Hai điểm mà đường thẳng đi qua.
2) Một điểm mà đường thẳng đi qua và véctơ chỉ phương.
Dạng không tường minh:
- Các đại lượng để giải quyết bài toán được ẩn dưới một số điều kiện nhất định nào đó, dạng toán
này đòi hỏi người học phải biết kết hợp kiến thức, có tư duy logíc toán học, vận dụng linh hoạt các
điều kiện có trong đề bài.
Trong đề tài này tôi xin được bàn về các dạng toán không tường minh, đây cũng là dạng toán chủ
yếu xuất hiện trong các kì thi, và học sinh cũng thường găph phải khó khăn trong dạng toán này,
trước hết tôi xin được chia nhỏ thành hai bài toán:

Bài toán 1: Viết phương trình đường thẳng trong không gian biết một điểm đi qua
Ở bài toán này đề bài chỉ cho biết một điểm đi qua,không cho trực tiếp phương của đường thẳng,
buộc học sinh phải xác định phương của đường thẳng dựa vào các điều kiện khác của bài toán
Bài toán 2: Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn một số điều kiện cho trước
Ở bài toán này đề bài không cho trực tiếp điểm đi qua và phương của đường thẳng, buộc học sinh
phải xác định các đại lượng đó dựa vào các điều kiện của bài toán.
Ngoài việc phân dạng toán, chúng ta cũng cần phải hướng dẫn cho học sinh định hướng cách giai
khi đứng trước một bài toán.
Trong bài toán Viết phương trình đường thẳng trong không gian, người học cần chú ý đến các
điều kiện xác định của đường thẳng trong không gian, tôi đặc biệt chú ý đền hai điều kiện xác định
đường thẳng sau:
+) Biết hai điểm đi qua.
+) Biết hai mặt phẳng cùng chứa đường thẳng cần tìm
Và đó cũng là hướng giải quyết chủ yếu cho bài toán mà tôi đưa ra:
Định hướng thứ nhất: Tìm hai điểm mà đường thẳng đi qua.
Khi xác định được hai điểm đi qua thì hiển nhiên ta có hai đại lượng cần thiết để hình thành
phương trình dạng tham số hoặc dạng chính tắc.
Định hướng thứ hai: Xác định hai mặt phẳng cùng chứa đường thẳng cần tìm
Một vấn đề đặt ra ở đây là: phương trình dạng tổng quát của đường thẳng không được trình bày
trong sách giáo khoa, vậy nếu học sinh vẫn để dưới dạng tổng quát thì có được chấp nhận hay
không? nếu không được chấp nhận thì làm thế nào?
Các khắc phục không có gì khó khăn, các bạn có thể hướng dẫn học sinh chuển về dạng tham số
thông qua ví dụ sau:
Ví dụ 1: (Cách thứ nhất)
Đường thẳng ∆ là tập hợp các điểm có tọa độ thoả mãn hệ:

2 5 0
2 1 0
x y z
x y z

− + − =


+ + − =

Ta có thể đặt bất kì một ẩn làm tham số
Năm học 2009_2010
2
Trường THPT Nguyễn Quán Nho Gv:Trần Tuấn Ngọc

Đặt:
3 2 0 3 3 3 0 1
1
2 0 2 0 2
x y t x t x t
z t
x y t x y t y t
− − + = − + = = −
  
= + ⇒ ⇒ ⇒
  
+ + = + + = = − +
  
Vậy ta có phương trình dạng tham số của ∆.

( )
1
2
1
x t

y t t R
z t
= −


= − + ∈


= +

Ví dụ 2: (Cách thứ hai)
Đường thẳng ∆ là tập hợp các điểm có tọa độ thoả mãn hệ:

( )
( )
( )
2 5 0
2 1 0
x y z
I
x y z
α
β

− + − =


+ + − =



+) Điểm đi qua: Với
1z =
thay vào hệ (I) ta có:

( )
3 1
2 0 2
x y x
I
x y y
− = =
 
⇔
 
+ = = −
 
Suy ra ∆ đi qua
( )
1; 2;1M −
.
+) Đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng nên có một véctơ chỉ phương là tích có hướng
của hai mặt phẳng.

( )
, 3;3;3u n n
α β
∆
 
= = −
 

uur uur uur
Vậy ∆ có phương trình dạng tham số:
( )
1 3
2 3
1 3
x t
y t t R
z t
= −


= − + ∈


= +

Ngoài ra trong từng trường hợp cụ thể, với các mối quan hệ trong từng bài toán cũng cần hướng cho
học sinh sáng tạo, tìm tòi cách giải mới.
CƠ SỞ THỰC TIỄN
Sau khi nghiên cứu và áp dụng vào các tiết dạy cho học sinh, tôi thấy học sinh không còn lúng túng
trước bài toán hình học dạng này nữa, mà chỉ sau một số bài tập nhất định, các em đã nắm chắc
nguyên tắc cơ bản để giải bài toán là “ Xác địn điểm đi qua và véctơ chỉ phương”. Đa số các em học
sinh từ trung bình trở lên đều có thể tự tin làm được hết các bài tập SGK và bài tập sách bài tập
hình học nâng cao 12. Các em tự đặt câu hỏi: Còn cách giải khác cho bài toán không? Từ đó kích
thích sự tò mò tìm cách giải mới cho mỗi bài toán cụ thể và cũng có nhiều em đã tìm được một số lời
giải khá độc đáo khác cho bài toán. Biết kết hợp các kiến thức đã học để giải các bài toán hình học
khó hơn.
NỘI DUNG NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI
Trên cơ sở các kiến thức cơ bản về hình học giải tích đã được trình bày trong sách giáo khoa Hình

học 12. Kiến thức cơ bản về đường thẳng trong không gian lớp 11.Tôi xin được trình bày nội dung
đề tài dưới một số Bài toán cơ bản mà phương pháp giải các bài toán đó được rút ra từ hai định
hướng cớ bản nêu trên.
Bài toán 1: Viết phương trình đường thẳng trong không gian biết một điểm đi qua
+) Điểm đi qua đã cho trong đề bài.
+) Phương của đường thẳng xác định thông qua các đại lượng, các mối quan hệ
trong bài toán.
Ví dụ 1
Năm học 2009_2010
3
Trường THPT Nguyễn Quán Nho Gv:Trần Tuấn Ngọc

Trong không gian tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm
( )
1;2;3M
và vuông
góc với mặt phẳng
( )
: 2 3 2 0x y z
α
− + − =
Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?
1) Đề cho:
+) Điểm đi qua của đường thẳng cần tìm :
( )
1;2;3M
.
+) Mặt phẳng (α) ⇔ có tọa độ các điểm thuộc mặt phẳng và véctơ pháp tuyến:

( )

2; 3;1n
α
−
uur
+) Quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
2) Cần xác định véctơ chỉ phương của đường thẳng ∆.
Các cách giải:
Cách 1:
Vì đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (α) nên song song hoặc trùng với giá của véctơ pháp
tuyến của mặt phẳng (α).Vậy ∆ nhận
( )
2; 3;1n
α
−
uur
làm véctơ chỉ phương nên có phương trình dạng
tham số:

( )
1 2
2 3
3 1
x t
y t t R
z
= +


= − ∈



= +

Cách 2: Vì đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (α) nên ∆ là tập hợp các điểm
( )
; ;N x y z
sao
cho:

( ) ( )
1 2 1 2
2 3 2 3
3 3
x t x t
MN tn
y t y t t R I
t R
z t z t
α
− = = +
 

=
  
⇔ − = − ⇔ = − ∈
  
∈


 

− = = +
 
uuuur uur
Hệ (I) là phương trình dạng tham số của đường thẳng ∆.
(Cách giải thứ 2 được đề xuất từ học sinh)
Ví dụ 2
Trong không gian tọa độ Oxyz. Viết phương trình của đường thẳng ∆ qua
( )
1;2;5M −
và song song
với hai mặt phẳng:
( )
:3 5 8 0P x y z+ − + =
và
( )
:2 1 0Q x y z− + − =
.
Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?
1) Đề cho:
+) Điểm đi qua của đường thẳng cần tìm :
( )
1;2;5M −
.
+) Hai mặt phẳng :
(P) ⇔ có véctơ pháp tuyến:
( )
3;1; 5
P
n −
uur

.
(Q) ⇔ có véctơ pháp tuyến:
( )
2; 1;1
Q
n −
uur
.
+) Quan hệ: Đường thẳng ∆ song song với cả hai mặt phẳng, suy ra nó có
phương vuông góc với hai véctơ pháp tuyến của hai mặt phẳng.
2) Cần xác định véctơ chỉ phương của đường thẳng ∆.
Cách giải:
Từ mối qua hệ giữa đường thẳng ∆ với hai mặt phẳng (P) và (Q) dẫn đến đường thẳng ∆ có một chỉ
phương
( )
; 4; 13; 5
P Q
u n n
 
= = − − −
 
r uur uur
Đường thẳng cần tìm có phương trình dạng chính tắc:
Năm học 2009_2010
4
Trường THPT Nguyễn Quán Nho Gv:Trần Tuấn Ngọc


1 2 5
:

4 13 5
x y z+ − −
∆ = =
− − −
Ví dụ 3
Trong không gian tọa độ Oxyz. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm
( )
2;1;3A −
, cắt cả hai
đường thẳng
1
1 2 1
:
1 1 1
x y z− − +
∆ = =
−
và
2
2 3 1
:
1 2 1
x y z+ − +
∆ = =
−

Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?
1) Đề cho:
+) Điểm đi qua của đường thẳng cần tìm :
( )

2;1;3A −
.
+) Đường thẳng
1
∆
đi qua điểm
( )
1;2; 1M −
và có véctơ chỉ phương
( )
1
1; 1;1u −
ur
.
+) Đường thẳng
2
∆
đi qua điểm
( )
2;3; 1N − −
và có véctơ chỉ phương
( )
2
1;2;1u −
uur
.
+) Quan hệ: Đường thẳng ∆ cắt cả hai đường thẳng
1
∆
và

2
∆
.
2) Cần xác định véctơ chỉ phương của đường thẳng ∆.
Từ mối quan hệ ta có thể có hai hướng giải quyết sau:
Định hướng 1:
+) Đường thẳng ∆ cắt đường thẳng
1
∆
nên xác định một mặt phẳng
( )
α
.
+) Đường thẳng ∆ cắt đường thẳng
2
∆
nên xác định một mặt phẳng
( )
β
.
Vậy đường thẳng ∆ là giao của hai mặt phẳng
( )
α
và
( )
β
.
Định hướng 2:
+) Đường thẳng ∆ cắt đường thẳng
1

∆
tại P.
+) Đường thẳng ∆ cắt đường thẳng
2
∆
tại Q.
Vậy đường thẳng ∆ cũng là đường thẳng PQ.
Từ đó dẫn đến các cách giải
Cách giải:
Cách 1:
• Gọi
( )
α
là mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau ∆ và
1
∆
.
Vậy
( )
α
có hai chỉ phương là
( )
3;1; 4AM −
uuuur
và
( )
1
1; 1;1u −
ur
, suy ra pháp tuyến của

( )
α
:

( )
1
; 3; 7; 4n AM u
α
 
= = − − −
 
uur uuuur ur
• Gọi
( )
β
là mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau ∆ và
2
∆
.
Vậy
( )
β
có hai chỉ phương là
( )
0;2; 4AN −
uuur
và
( )
2
1;2;1u −

uur
, suy ra pháp tuyến của
( )
α
:

( )
2
; 10;4;2n AN u
β
 
= =
 
uur uuur uur
Suy ra đường thẳng cần tìm có chỉ phương:
( )
; 2; 34;58u n n
α β
 
= = −
 
r uur uur
Hay ∆ có phương trình:
2
: 1 17
3 29
x t
y t
z t
= − +



∆ = −


= +

Cách 2:
Gọi P là giao điểm của ∆ và
1
∆
.
( )
1
1 ;2 ; 1P P t t t∈∆ ⇒ + − − +
Năm học 2009_2010
5
Trường THPT Nguyễn Quán Nho Gv:Trần Tuấn Ngọc

Gọi Q là giao điểm của ∆ và
2
∆
.
( )
2
2 ';3 2 '; 1 'Q Q t t t∈∆ ⇒ − − + − +
Mặt khác ba điểm P, A, Q cùng thuộc đường thẳng ∆ nên thẳng hàng hay:

( )
'; 2 2 ';4 'QA t t t− − −

uuur
,
( )
3 ; 1 ;4PA t t t− − − + −
uuur
.

2
'
15
' 3 ' 3 0
8
2 2 ' 2 ' 2
15
4 ' 4 ' 4 4
26
15
t
t k tk t k tk
QA k PA t k tk t k tk k
t k tk t k tk
tk

=

= − − + + =
 

  
= ⇔ − − = − + ⇔ − + = − ⇔ =

  
  
− = − + − =
 

= −


uuur uuur
Với
2
'
15
t =
ta có :
2 34 58
; ;
15 15 15
QA
 
−
 ÷
 
uuur
Hay đường thẳng ∆ có chỉ phương:
( )
1; 17;29u −
r
và đi qua
A nên có phương trình:

2 1 3
:
1 17 29
x y z+ − −
∆ = =
−
Cách 3:
Ta có:
( )
1
; 3; 7; 4AM u
 
= − − −
 
uuuur ur
,
( )
2
; 10;4;2AN u
 
=
 
uuur uur
Gọi
( )
( )
2 2 2
; ; 0u a b c a b c+ + ≠
r
là chỉ phương của đường

thẳng ∆ cần tìm.
+) Ba vectơ
1
, ,AM u u
uuuur ur r
đồng phẳng

( )
1
, . 0 3 7 4 0 1AM u u a b c
 
⇔ = ⇔ + + =
 
uuuur ur r
+) Ba vectơ
2
, ,AN u u
uuur uur r
đồng phẳng

( )
2
, . 0 10 4 2 0 2AN u u a b c
 
⇔ = ⇔ + + =
 
uuur uur r
Từ (1) và (2):

3 7 4 0 3 7 20 8 0 17

5 2 0 5 2 29
a b c a b a b b a
a b c c a b c a
+ + = + − − = = −
  
⇔ ⇔
  
+ + = = − − =
  
Vì
2 2 2
0 0a b c a+ + ≠ ⇒ ≠
véctơ
( )
; 17 ;29u a a a−
r
hay đường thẳng cần tìm có chỉ phương
( )
1; 17;29u −
r
và đi qua A nên có phương trình:

2 1 3
:
1 17 29
x y z+ − −
∆ = =
−
Ví dụ 4
Trong không gian tọa độ Oxyz. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua

( )
1;2;3A
đồng thời vuông
góc với d
1
và cắt d
2
:biết
1
6 2
: 1 4
4
x t
d y t
z t
= −


= +


= −

,
2
1 2 3
:
2 1 1
x y z
d

− + −
= =
−
.
Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?
1) Đề cho:
+)Điểm đi qua của đường thẳng cần tìm :
( )
1;2;3A
.
+)Đường thẳng
1
d
đi qua điểm
( )
6;1;4M
và có véctơ chỉ phương
( )
1
2;4; 1u − −
ur
.
Năm học 2009_2010
6
A
P
Q
1
∆
2

∆
•
Trường THPT Nguyễn Quán Nho Gv:Trần Tuấn Ngọc

+) Đường thẳng
2
d
đi qua điểm
( )
1; 2;3N −
và có véctơ chỉ phương
( )
2
2;1; 1u −
uur
.
+) Quan hệ: Đường thẳng ∆ cắt
2
d
.
Đường thẳng ∆ vuông góc với
1
d
(có thể cắt hoặc không cắt).
2) Cần xác định véctơ chỉ phương của đường thẳng ∆.
Từ mối quan hệ ta có thể có hai hướng giải quyết sau:
Không thể dựa vào điều kiện
∆
cắt
1

d
vì mối qua hệ này không chắc chắn xảy ra.
Định hướng 1: (Xác định điểm đi qua)
+)Đường thẳng ∆ cắt đường thẳng
2
d
tại P.
+)Đường thẳng ∆ vuông góc với
1
d
nên
1 1
. 0AP u AP u⊥ ⇔ =
uuur ur uuur ur
.
Suy ra đường thẳng ∆ cũng là đường thẳng PA.
Định hướng 2:
+) Đường thẳng ∆ cắt đường thẳng
2
d
nên xác định một mặt phẳng
( )
α
.
+) Đường thẳng ∆ vuông góc với
1
d
nên xác định một mặt phẳng
( )
β

qua A và
vuông góc với
1
d
.
Vậy đường thẳng ∆ là giao của hai mặt phẳng
( )
α
và
( )
β
.
Từ đó dẫn đến các cách giải
Cách giải:
Cách 1:
Gọi giao của đường thẳng ∆ với
2
d
là P, suy ra
2
P d∈
hay
( )
1 2 ; 2 ;3P t t t+ − + −

Véctơ
( )
2 ; 4;AP t t t− −
uuur
Mặt khác ∆ vuông góc với

1
d
nên:

1 1
. 0 4 4 16 0 16AP u AP u t t t t⊥ ⇔ = ⇔ − + − + = ⇔ =
uuur ur uuur ur
.
Suy ra
( )
32;12; 16AP −
uuur
, hay
1 2 3
:
8 3 4
x y z− − −
∆ = =
−
.
Cách 2: Gọi
( )
α
là mặt phẳng xác định bởi ∆ và
2
d
.
( )
2
, 4;0; 8n NA u

α
 
= = − −
 
uur uuur uur
Mặt khác
( )
α
chứa ∆ nên đi qua A.
( )
: 2 7 0x z
α
+ − =
Gọi
( )
β
là mặt phẳng qua A và vuông góc với
1
d
, nên nhận
( )
1
2;4; 1u − −
ur
là véctơ pháp tuyến.

( )
: 2 4 3 0x y z
β
− + + =

Ví ∆ là giao của
( )
α
và
( )
β
nên có chỉ phương
( )
, 8;3; 4u n n
α β
 
= = −
 
r uur uur
.
Phương trình của đường thẳng
( )
1 8
: 2 3
3 4
x t
y t t R
z t
= +


∆ = + ∈


= −


.
Ngoài hai cách giải trên, ta còn có thể tìm trực tiếp véctơ chỉ phương
Cách 3: Gọi
( )
; ;u a b c
r
là chỉ phương của đường thẳng ∆ cần tìm
2 2 2
0a b c+ + ≠
.
Vì ∆ cắt
2
d
nên ba véctơ
2
;NA u
uuur uur
và
u
r
đồng phẳng:
Năm học 2009_2010
7
Trường THPT Nguyễn Quán Nho Gv:Trần Tuấn Ngọc


( )
2
, . 0 4 8 0 2 1NA u u a c a c

 
= ⇔ + = ⇔ = −
 
uuur uur r
Mặt khác ∆ ⊥
1
d
⇔
( )
1
. 0 2 4 0 2u u a b c= ⇔ − + − =
r ur
Từ (1) và (2) ta có:
3 4 0 3 4c b c b+ = ⇔ = −
Chọn
3
4
8
b
c
a
=

= − ⇒

=

Vậy ∆ có phương trình:
( )
1 8

: 2 3
3 4
x t
y t t R
z t
= +


∆ = + ∈


= −

.
Cách 4: Gọi
( )
; ;K x y z
. K thuộc đường thẳng cần tìm khi và chỉ khi

2
1
; ;AK NA u
AK u



⊥


uuur uuur uur

uuur ur

( )
2
1
, 0
. 0
AK NA u
I
AK u

 
=

 
⇔


=

uuur uuur uur
uuur ur

( ) ( )
( ) ( ) ( )
4 1 8 3 0
2 7 0
2 4 3 0
2 1 4 2 3 0
x z

x z
x y z
x y z

− − − − =
+ − =


⇔ ⇔
 
− + + =
− − + − − − =



Đặt z = t:

7 2
7 2
17 3
14 4 4 3 0
4 4
x t
x t
t y t
y t
= −

= −



⇔
 
− − + + =
= −



Vậy, đường thẳng cần tìm có phương trình
( )
7 2
17 3
:
4 4
x t
y t t R
z t
= −



∆ = − ∈


=


.
Ví dụ 5
Trong không gian tọa độ Oxyz. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua

( )
3; 2; 1A − −
, vuông góc và
cắt đường thẳng
3
: 4 5
1 2
x t
d y t
z t
= +


= −


= − +

Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?
1) Đề cho:
+) Điểm đi qua của đường thẳng cần tìm :
( )
3; 2; 1A − −
.
+) Đường thẳng
d
đi qua điểm
( )
3;4; 1M −
và có véctơ chỉ phương

( )
1; 5;2u −
r
.
+) Quan hệ: Đường thẳng ∆ cắt
d
.
Đường thẳng ∆ vuông góc với
d
.
2) Cần xác định véctơ chỉ phương của đường thẳng ∆.
Từ định hướng trên, học sinh có thể giải quyết Ví dụ5 với đầy đủ các cách như Ví dụ4.
Cách giải:

( )
0;6;0AM
uuuur
Gọi
( )
α
là mặt phẳng qua A và chứa d.
( )
, 12;0; 6n AM u
α
 
= = −
 
uur uuuur r
Năm học 2009_2010
8

đồng phẳng
Trường THPT Nguyễn Quán Nho Gv:Trần Tuấn Ngọc

Gọi
( )
β
là mặt phẳng qua A và vuông góc với d.
( )
1; 5;2n u
β
= −
uur r
Vậy đường thẳng cần tìm có chỉ phương:
( )
1
; 30; 30; 60u n n
α β
 
= = − − −
 
ur uur uur
Phương trình của đường thẳng
3 2 1
:
1 1 2
x y z− + +
∆ = =
.
Qua các ví dụ trên cho thấy, mỗi bài toán không phải chỉ có một cách giải mà đối với mỗi bài
toán, trong từng trường hợp, học sinh có thể định hướng cho mình nhiều cách giải khác nhau,

phù hợp với đặc điểm của từng bài toán.
Có những cách giải thì rất hiệu quả đối với bài toán này nhưng sẽ gặp khó khăn đối với bài
toán khác. Như ví dụ sau:
Ví dụ 6
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
( )
: 2 2 17 0x y z
α
− + + =
và mặt cầu
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
: 1 3 2 9S x y z− + − + + =
. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ với mặt cầu (S) biết tiếp tuyến
đó đi qua
( )
1;8;2M
và song song với mặt phẳng (α).
Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?
1) Đề cho:
+) Điểm đi qua của đường thẳng cần tìm :
( )
1;8;2M
.
+) Mặt phẳng
( )
α
có véctơ pháp tuyến
( )
2; 1;2n

α
−
uur
.
+) Mặt cầu
( )
S
có tâm và bán kính
( )
1;3; 2 , 3I R− =
+) Quan hệ: Đường thẳng
( )
/ /
α
∆
Đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S) ⇔ khoảng cách từ tâm I
đến đường thẳng ∆ bằng R.
2) Cần xác định véctơ chỉ phương của đường thẳng ∆.
Từ định hướng trên, học sinh có thể giải quyết Ví dụ5 với đầy đủ các cách như Ví dụ4.
Cách giải:
Gọi
( )
; ;u a b c
r
là chỉ phương của đường thẳng ∆ cần tìm
2 2 2
0a b c+ + ≠
.
Vì
( )

/ /
α
∆
nên ta có:

( )
. 0 2 2 0 2 2 1u n a b c b a c
α
= ⇔ − + = ⇔ = +
r uur
+)
( )
0;5;4IM
uuur
,
( )
; ;u a b c
r
,
( )
, 5 4 ;4 ; 5IM u c b a a
 
= − −
 
uuur r
Đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S) khi và chỉ khi

( )
( ) ( ) ( )
2 2 2

2 2 2
,
5 4 4 5
, 3
IM u
c b a a
d I R R
u
a b c
 
− + + −
 
∆ = ⇔ = ⇔ =
+ +
uuur r
r

( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
5 4 4 5 3 2c b a a a b c⇔ − + + − = + +
Từ (1) và (2) ta có:

( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2
8 3 4 5 3 2 2a c a a a a c c⇔ + + + − = + + +

2 2 2 2
105 48 9 45 72 45a ac c a ac c⇔ + + = + +

Năm học 2009_2010
9
Trường THPT Nguyễn Quán Nho Gv:Trần Tuấn Ngọc


2 2
5 2 3 0a ac c⇔ − − =

1
3 5 3
5
a
a c
c
a a c
c

=

=

⇔ ⇔


= −


= −



Vì
2 2 2
0a b c+ + ≠
suy ra
0a
≠
.
Nếu
a c=
chọn
4
1
1
b
a
c
=

= ⇒

=

. Tiếp tuyến cần tìm:
1
1 8 2
:
1 4 1
x y z− − −
∆ = =
Nếu

5 3a c
= −
chọn
4
3
5
b
a
c
=

= − ⇒

=

. Tiếp tuyến cần tìm:
2
1 8 2
:
3 4 5
x y z− − −
∆ = =
−
Vậy qua M có hai tiếp tuyến thỏa mãn đề bài

1
1 8 2
:
1 4 1
x y z− − −

∆ = =
và
2
1 8 2
:
3 4 5
x y z− − −
∆ = =
−
.
Như vậy bài toán được giải quyết không mấy khó khăn!nhưng nếu sử dụng cách khácthì vẫn
giải được, tuy nhiên khá phức tạp. Ví như ta dùng các xác định hai điểm đi qua:
Đề bài đã cho một điểm nên ta chi cần xác định thêm một điểm. Điểm có thể tìm được đó là tiếp
điểm.
Cách khác: Gọi
( )
; ;K x y z
là tọa độ tiếp điểm thì ta vẫn có thể tìm được K nhờ các điều kiện sau:
+)
( )
K S∈
, +)
. 0MK n
α
=
uuuur uur
, +)
. 0IK MK =
uur uuuur
.

Bài toán 2: Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn một số điều kiện cho trước
Cả điểm đi qua và phương của đường thẳng được xác định thông qua các đại lượng cho trước và
các mối quan hệ hình học.
Ví dụ 7
Trong không gian tọa độ Oxyz. Viết phương trình của đường thẳng ∆ biết nó vuông góc với mặt
phẳng (P) :
4 0x y z+ − − =
và cắt cả hai đường thẳng chéo nhau:

1
2
: 3
1 2
x t
y t
z t
= −


∆ = +


= −

và
2
2 3 '
: 1 '
'
x t

y t
z t
= +


∆ = −


=

Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?
1) Đề cho:
+) Mặt phẳng (P): véctơ pháp tuyến
( )
1;1; 1
P
n −
uur
.
+) Đường thẳng
1
∆
đi qua
( )
1
1;1; 2M − −
có chỉ phương
( )
1
2;3;1u

ur
.
+) Đường thẳng
2
∆
đi qua
( )
2
2;1;0M
có chỉ phương
( )
1
3; 1;1u −
ur
.
+) Quan hệ: Đường thẳng
( )
P∆ ⊥
Đường thẳng ∆ cắt cả
1
∆
và
2
∆
.
2) Cần xác định điểm đi qua và véctơ chỉ phương của đường thẳng ∆.
Cách giải:
Cách 1: (Xác địng hai điểm đi qua)
Gọi M, N lần lượt là giao điểm của đường thẳng ∆ với hai đường thẳng
1

∆
,
2
∆
.
Năm học 2009_2010
10
Trường THPT Nguyễn Quán Nho Gv:Trần Tuấn Ngọc

+)
( )
1
2 ;3 ;1 2M M t t t∈∆ ⇒ − + −
+)
( )
2
2 3 ';1 '; 'N N t t t∈∆ ⇒ + −
+)
( )
3 ' ; 2 ' ; 1 ' 2MN t t t t t t+ − − − − + +
uuuur
Theo giả thiết
( )
P∆ ⊥
nên:

3 ' 3 ' 0 ' 2
2 ' ' 2 3
1 ' 2 ' 2 1 3
P

t t k t t k t
MN kn t t k t t k t
t t k t t k k
+ = + − = = −
  
  
= ⇔ − − − = ⇔ + + = − ⇔ =
  
  
− + + = − + + = = −
  
uuuur uur
Vậy
( )
1;6; 5M − −
,
( )
3; 3;3MN − −
uuuur
.
Đường thẳng có phương trình:
1 6 5
1 1 1
x y z+ − +
= =
−
Cách 2: (Giao của hai mặt phẳng)
Gọi
( )
α

là mặt phẳng chứa
1
∆
và vuông góc với (P)

( )
1
, 4; 3;1
P
n n u
α
 
= = −
 
uur uur ur
Mặt phẳng
( )
α
có phương trình
4 3 9 0x y z− + + =
Gọi
( )
β
là mặt phẳng chứa
2
∆
và vuông góc với (P)

( )
2

, 0; 4; 4
P
n n u
β
 
= = − −
 
uur uur uur
Mặt phẳng
( )
β
có phương trình
1 0y z+ − =
Vậy đường thẳng ∆ là tập hợp điểm có tọa độ thỏa mãn hệ

4 3 9 0
1 0
x y z
y z
− + + =


+ − =

Đặt z = t:
3
; 1 .
2
x t y t⇒ = − − = −
Đường thẳng có phương trình:

( )
3
2
1
x t
y t t R
z t

= − −


= − ∈


=


Trong bài toán trên, véctơ chỉ phương của đường thẳng có thể xác định được một cách dễ dàng
nhờ mặt phẳng (P). Vậy chỉ cần xác định được một điểm đi qua là đủ
Cách 3: Gọi (α) là mặt phẳng chứa đường thẳng ∆
1
và vuông góc với mặt phẳng (P).
Vì
1
∆
và
2
∆
chéo nhau nên
2

∆
cắt (α) tại M.
Mặt khác
1
∆
không vuông góc với (P) nên
1
∆
cắt đường
thẳng qua M và vuông góc với (P).
Vây đường thẳng cần tìm ∆ là đường thẳng qua M và
vuông góc với mặt phẳng (P).
Ta đi tìm M.
Mặt phẳng (α) đi qua M
1
và có pháp tuyến

( )
1
, 4;3; 1
P
n u n
α
 
= = − −
 
uur ur uur

suy ra:
4 3 5 0x y z+ − − =

Năm học 2009_2010
11
•
∆
1
∆
2
∆
M
P
α
∆
1
∆
2
∆
P
α
β
∆
1
∆
2
∆
P
M
•
•
N
Trường THPT Nguyễn Quán Nho Gv:Trần Tuấn Ngọc

Tọa độ của điểm M là nghiệm của hệ:

( ) ( ) ( )
2 3 '
1 '
3
4 2 3 ' 3 1 ' ' 5 0 '
'
4
4 3 5 0
x t
y t
t t t t
z t
x y z
= +


= −
−

⇒ + + − − − = ⇒ =

=


+ − − =

Với

3 1 7 3
' ; ;
4 4 4 4
t M
−
 
= ⇒ − −
 ÷
 
. Suy ra đường thẳng có phương trình:

1 7 3
4 4 4
1 1 1
x y z+ − +
= =
−
Ví dụ 8
Trong không gian tọa độ Oxyz. Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng:

1
6 1 10
:
1 2 1
x y z− − −
∆ = =
−
và
2
4 3 4

:
7 2 3
x y z+ − −
∆ = =
−
Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?
1) Đề cho:
+)Đường thẳng
1
∆
đi qua
( )
1
6;1;10M
có chỉ phương
( )
1
1;2; 1u −
ur
.
+)Đường thẳng
2
∆
đi qua
( )
2
4;3;4M −
có chỉ phương
( )
2

7;2;3u −
uur
.
+)Quan hệ: Đường thẳng
∆
vuông góc và cắt
1
∆
Đường thẳng ∆ vuông góc và cắt
2
∆
.
2) Cần xác định điểm đi qua và véctơ chỉ phương của đường thẳng ∆.
Cách giải:
Cách 1: (Xác định hai điểm đi qua)
Gọi M, N lần lượt là giao điểm của đường thẳng ∆ với
1
∆
và
2
∆
+)
( )
1
6 ;1 2 ;10M M t t t∈∆ ⇒ + + −
.
+)
( )
2
4 7 ';3 2 ';4 3 'N N t t t∈∆ ⇒ − − + +

.
+)
( )
10 7 ' ;2 2 ' 2 ; 6 3 'MN t t t t t t− − − + − − + +
uuuur

( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1
2 2
10 7 ' 2 2 2 ' 2 6 3 ' 0
. 0
7 10 7 ' 2 2 2 ' 2 3 6 3 ' 0
. 0
t t t t t t
MN u MN u
t t t t t t
MN u MN u
 

− − − + + − − − + + =
⊥ =
  
⇔ ⇔
  
− − − − + + − + − + + =
⊥ =

 


 
uuuur ur uuuur ur
uuuur uur uuuur uur

( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
10 7 ' 2 2 2 ' 2 6 3 ' 0
7 10 7 ' 2 2 2 ' 2 3 6 3 ' 0
t t t t t t
t t t t t t

− − − + + − − − + + =

⇔

− − − − + + − + − + + =



' 0 ' 1
56 62 ' 6 0 1
t t t
t t t
+ = = −
 
⇔ ⇔
 
+ + = =
 

Suy ra
( )
7;3;9M
,
( )
4; 2; 8MN − − −
uuuur
, hay đường vuông góc chung có phương trình:

7 2
3
9 4
x t
y t
z t
= +


= +


= +

Cách 2: (Đường thẳng là giao của hai mặt phẳng)
Ta có:
( )
1 2
; 8;4;16u u
 
=

 
ur uur
su ra đường vuông góc chung có chỉ phương
( )
2;1;4u
r
.
Năm học 2009_2010
12
Trường THPT Nguyễn Quán Nho Gv:Trần Tuấn Ngọc

Gọi (α) là mặt phẳng xác định bởi ∆ và
1
∆
.Vậy (α) đi qua điểm
( )
1
6;1;10M
và có véctơ pháp
tuyến:
( )
1
; 9;6;3n u u
α
 
= = −
 
uur r ur
nên có phương trình:

3 2 6 0x y z− − − =
Gọi (β) là mặt phẳng xác định bởi ∆ và
2
∆
. Vậy (β) đi qua điểm
( )
2
4;3;4M −
và có véctơ pháp
tuyến:
( )
2
; 5; 34;11n u u
β
 
= = − −
 
uur r uur
nên có phương trình:

5 34 11 38 0x y z+ − − =
Vậy đường vuông góc chung là tập hợp các điểm có tọa độ thỏa mãn hệ:

3 2 6 0
5 34 11 38 0
x y z
x y z
− − − =



+ − − =

Đặt:
1 4z t
= +
thay vào hệ ta có:
3 2 4 7 3 2
5 34 44 49 1
x y t x t
x y t y t
− = + = +
 
⇔
 
+ = + = +
 
Vậy đương vuông góc chung cần tìm có phương trình:

3 1 1
2 1 4
x y z− − −
= =
Ví dụ 9
Trong không gian tọa độ Oxyz.
Cho mặt phẳng (P) :
3 5 6 0x y z+ − + =
và đường thẳng
2 1 7
:
1 2 1

x y z
d
− − −
= =
. Viết phương trình
tham số của đường thẳng
∆
nằm trong (P), cắt và vuông góc với d.
Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?
1) Đề cho:
+) Mặt phẳng (P): véctơ pháp tuyến
( )
1;3; 5
P
n −
uur
.
+) Đường thẳng
d
đi qua
( )
2;1;7M
có chỉ phương
( )
1;2;1
d
u
uur
.
+) Quan hệ: Đường thẳng

( )
P∆ ⊂
Đường thẳng ∆ cắt cả
d
và
d
⊥ ∆
.
2) Cần xác định điểm đi qua và véctơ chỉ phương của đường thẳng ∆.
Cách giải:
• Điểm đi qua:
Vì đường thẳng ∆ cắt d và nằm trong mặt phẳng (P) nên đi qu agiao điểm của d va (P).Tọa độ giao
điểm là nghiệm của hệ:

3 5 6 0 14
3 5 6 0
2 3 25
2 1 7
5 19
1 2 1
x y z x
x y z
y x y
x y z
z x z
+ − + = =
 
+ − + =

  

⇔ = − ⇔ =
  − − −
= =
  
= + =

 
Vậy ∆ đi qua điểm
( )
14;25;19M
.
•Véctơ chỉ phương:
Cách 1:
Vì ∆ nằm trong mặt phẳng (P) nên có phương vuông góc với véctơ pháp tuyến của (P), nên có chỉ
phương:

( )
; 13; 6; 1
P d
u n u
 
= = − −
 
r uur uur
Năm học 2009_2010
13
Trường THPT Nguyễn Quán Nho Gv:Trần Tuấn Ngọc

Suy ra ∆ có phương trình:
14 13

25 6
19
x t
y t
z t
= +


= −


= −

Cách 2: Gọi
( )
; ;N x y z
là điểm thuộc đường thẳng ∆ cần tìm, khi đó:
Ta có:
( )
14; 25; 19MN x y z− − −
uuuur

Mặt khác:
( )
. 0
. 0
p
d
MN n
MN P

MN d
MN u

=

⊂
 
⇔
 
⊥

=



uuuur uur
uuuur uur


( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
14 3 25 5 19 0
14 2 25 19 0
x y z
x y z

− + − − − =

⇔


− + − + − =




3 5 6 0
2 83 0
x y z
x y z
+ − + =

⇔

+ + − =


181 13
89 6
x z
y z
= −

⇔

= − +


Đặt
z t=
, ta có phương trình tham số của đường thẳng:

( )
181 13
89 6
x t
y t t R
z t
= −


⇔ = − + ∈


=

(Trong cách 2, đường thẳng
∆
chính là giao tuyến của mặt phẳng (
α
) với mặt phẳng (P), trong đó
(
α
) chứa d và vông góc với (P). )
Ví dụ 10
Trong không gian tọa độ Oxyz. Viết phương trình đường phân giác của hai đường thẳng:

1
2 1 3
:
1 2 2

x y z− + −
∆ = =
−
và
2
1 4
: 3
5 3
x t
y
z t
= +


∆ = −


= +

Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?
1) Đề cho:
+) Đường thẳng
1
∆
đi qua điểm
( )
1
2; 1;3M −
và có chỉ phương
( )

1
1;2; 2u −
ur
.
+) Đường thẳng
2
∆
đi qua
( )
2
1; 3;5M −
có chỉ phương
( )
2
4;0;3u
uur
.
+) Quan hệ: Đường phân giác ∆ là tập hợp các điểm nằm trên mặt phẳng xác định bởi
1
∆
và
2
∆
đồng thời cách đều cả hai đường thẳng đó.
2) Cần xác định điểm đi qua và véctơ chỉ phương của đường thẳng ∆.
Cách giải:
Đường phân giác đi qua giao điểm A của hai đường thẳng
1
∆
và

2
∆
.
Tọa độ giao điểm A là nghiệm của hệ:

( )
1 4 1 4
1
3 3
3
1; 3;5
5 3 5 3
5
2 1 3 4 1 2 3 2
0
1 2 2 1 2 2
x t x t
x
y y
y
A
z t z t
z
x y z t t
t
= + = +
 
=

 

= − = −

 
= −
  
⇔ ⇔ ⇒ −
  
= + = +
=
  
− + − − − +
  
=
= = = =

 
 −  −
Năm học 2009_2010
14
P
d
d’
∆
Trường THPT Nguyễn Quán Nho Gv:Trần Tuấn Ngọc

Đặt
1
1
1
2

2
2
1 2 2
; ;
3 3 3
4 3
;0;
5 5
u
v
u
u
v
u

 
= = −

 ÷
 



 

= =
 ÷

 



ur
ur
ur
uur
uur
uur
Ta có:
1 2
17 2 1
; ;
15 3 15
v v
 
+ = −
 ÷
 
ur uur
,
1 2
7 2 19
; ;
15 3 15
v v
 
− = − −
 ÷
 
ur uur

Hai đường thẳng cắt nhau có hai phân giác
1
d
và
2
d
+) Phân giác
1
d
có chỉ phương cùng phương với
1 2
v v+
ur uur
có tọa độ:
( )
17;10; 1−
nên có phương
trình:
1 3 5
17 10 1
x y z− + −
= =
−
.
+) Phân giác
2
d
có chỉ phương cùng phương với
1 2
v v−

ur uur
có tọa độ:
( )
7;2; 19− −
nên có phương trình:
1 3 5
7 10 19
x y z− + −
= =
− −
.
Ví dụ 11
Trong không gian tọa độ Oxyz. cho đường thẳng


= +

= +


= − +

x 2 4t
d : y 3 2t
z 3 t
nằm trong mặt phẳng
( )
− + + + =
P : x y 2z 5 0
Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong (P) và cách d một khoảng là

14
.
Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?
1) Đề cho:
+) Mặt phẳng (P): véctơ pháp tuyến
( )
1;1;2
P
n −
uur
.
+) Đường thẳng d đi qua
( )
2;3; 3M −
có chỉ phương
( )
4;2;1u
r
.
+) Quan hệ: Đường thẳng
( )
P∆ ⊂
Đường thẳng
/ /d
∆
.
2) Cần xác định điểm đi qua và véctơ chỉ phương của đường thẳng ∆.
Cách giải:
Cách 1: Đường thẳng ∆ có cùng chỉ phương
( )

4;2;1u
r
với d .
Điểm đi qua:
Gọi
( )
0 0 0
; ;A x y z
là hình chiếu của M trên đường thẳng ∆, suy ra:

( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
0 0 0
0 0 0
0 0 0
2 3 3 1414
14
. 0 4 2 2 3 3 0
2 5 0
x y zAM
AM
AM d AM u x y z
A P A P
x y z


− + − + + ==


=



 
⊥ ⇔ = ⇔ − + − + + =
  
  
∈ ∈
− + + + =





uuuur r

( ) ( ) ( )
2 2 2
0 0 0
0 0 0
0 0 0
2 3 3 14
4 2 11 0
2 5 0
x y z
x y z
x y z

− + − + + =



⇔ + + − =


− + + + =


Năm học 2009_2010
15
Trường THPT Nguyễn Quán Nho Gv:Trần Tuấn Ngọc

Đặt
0
11 2z t= −
, ta có hệ:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
2 3 14 2 14 2 3 14 2 14
4 2 2 0 2
22 4 5 0 3 3 27 0
x y t x y t
x y t y x t
x y t x t
 
− + − + − = − + − + − =

 
 
⇔ + − = ⇔ = − +
 
 
− + + − + = − − + =
 
 

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
0 0
0 0
0 0
2 3 14 2 14 7 3 21 14 2 14
18 3 18 3
9 9
x y t t t t
y t y t
x t x t
 
− + − + − = − + − + − =
 
 
⇔ = − + ⇔ = − +
 
 
= − = −
 
 

2
0 0
0 0
8
6
14 196 672 0
18 3 18 3
9 9
t
t
t t
y t y t
x t x t

=



=

− + =




⇔ = − + ⇔ = − +
 
 
= − = −





Với
0
0
0
1
8 6
5
x
t y
z
=


= ⇒ =


= −

, ⇒
( )
1;6; 5A −
Đường thẳng cần tìm có phương trình:
1 6 5
4 2 1
x y z− − +
= =

Với
0
0
0
3
6 0
1
x
t y
z
=


= ⇒ =


= −

, ⇒
( )
3;0; 1A −
Đường thẳng cần tìm có phương trình:
3 1
4 2 1
x y z− +
= =
Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn có phương trình:

1 6 5
4 2 1

x y z− − +
= =
và
3 1
4 2 1
x y z− +
= =
.
Cách 2: (Giao của hai mặt phẳng)
Đường thẳng cần tìm là giao của mặt phẳng (P) với mặt phẳng (α) vuông góc với (P) và cách d một
khoảng bằng
14
.
Mặt phẳng (α) có véctơ pháp tuyến:
( )
; 3; 9;6
d P
n u n
α
 
= = −
 
uur uur uur
nên phương trình có dạng:

3 2 0x y z d− + + =
Mặt khác:

( )
( )

( )
( )
2 9 6
, 14 , 14 14
1 9 4
d
d d d M
α α
− − +
= ⇔ = ⇔ =
+ +

1
13 14
27
d
d
d
= −

⇔ − = ⇔

=

Với
( )
1 : 3 2 1 0d x y z
α
= − ⇒ − + − =
Đường thẳng cần tìm là tập hợp các điểm thỏa mãn hệ:

Năm học 2009_2010
16
Trường THPT Nguyễn Quán Nho Gv:Trần Tuấn Ngọc


 
= =

− + − =
 
⇒ + − = ⇒ =
  
− + + + =

 
− + + = = −
 
y 0 x 3
x 3y 2z 1 0
x 2z 1 0 y 0
x y 2z 5 0
x 2z 5 0 z 1
Đường thẳng có phương trình:
3 4
2
1
x t
y t
z t
= +



=


= − +

Với
( )
27 : 3 2 27 0d x y z
α
= ⇒ − + + =
Đường thẳng cần tìm là tập hợp các điểm thỏa mãn hệ:

 
= =

− + + =
 
⇒ + + = ⇒ =
  
− + + + =

 
− + + = = −
 
y 6 x 1
x 3y 2z 27 0
x 2z 9 0 y 6
x y 2z 5 0

x 2z 11 0 z 5
Đường thẳng có phương trình:
3 4
2
1
x t
y t
z t
= +


=


= − +

Vậy có hai đường thẳng cần tìm:
3 4
2
1
x t
y t
z t
= +


=


= − +


và
3 4
2
1
x t
y t
z t
= +


=


= − +

.
Cách 3: (Sử dụng tập hợp điểm)
Gọi
( )
'; '; 'K x y z
là điểm thuộc đường thẳng cần tìm. Ta có:
+)
( )
' ' 2 ' 5 0K P x y z∈ ⇔ − + + + =
(1)
+)
( )
; 14d K d =
(2)

Gọi (β) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với mặt phẳng (P).
Mặt phẳng (β) có pháp tuyến đi qua
( )
2;3; 3M −
và cóvéctơ pháp tuyến
( )
, 3;9; 6
P
n n u
β
 
= = − −
 
uur uur r

có phương trình:
3 2 13 0x y z− + + =
Ta có:
( ) ( )
( )
' 3 ' 2 ' 13
; 14 ; 14 14
14
x y z
d K d d K
β
− + +
= ⇔ = ⇔ =

' 3 ' 2 ' 13 14

' 3 ' 2 ' 13 14
' 3 ' 2 ' 13 14
x y z
x y z
x y z
− + + =

⇔ − + + = ⇔

− + + = −


( )
( )
' 3 ' 2 ' 1 0 3
' 3 ' 2 ' 27 0 4
x y z
x y z

− + − =
⇔

− + + =


Từ (1) và (3), đặt
' 1 3z t
= +
, ta được:
' 3 ' 2 6 1 0 ' 11 12

' ' 2 6 5 0 ' 4 6
x y t x t
x y t y t
− + + − = = +
 
⇔
 
− + + + + = = +
 
Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình dạng tham số:
Năm học 2009_2010
17
Trường THPT Nguyễn Quán Nho Gv:Trần Tuấn Ngọc


( )
11 12
4 6
1 3
x t
y t t R
z t
= +


= + ∈


= +


Từ (1) và (3), đặt
' 1 3z t
= +
, ta được:
' 3 ' 2 6 27 0 ' 18 6
' ' 2 6 5 0 ' 25 12
x y t y t
x y t x t
− + + + = = +
 
⇒
 
− + + + + = = +
 
Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình dạng tham số:

( )
25 12
18 6
1 3
x t
y t t R
z t
= +


= + ∈


= +


Ví dụ 12
Trong không gian tọa độ Oxyz. Viết phương trình hình chiếu vuông góc ∆ của đường thẳng

= +

=


= +

x 1 t
d : y 1
z 1 t
trên mặt phẳng
( )
: 2 3 0x y z
α
+ − =

Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?
1) Đề cho:
+) Mặt phẳng (α): véctơ pháp tuyến
( )
2;3; 1n
α
−
uur
.
+) Đường thẳng d đi qua

( )
1;1;1A
có chỉ phương
( )
1
1;0;1u
ur
.
2) Cần xác định điểm đi qua và véctơ chỉ phương của đường thẳng ∆.
Cách giải:
Cách 1: (Xác định hai điểm đi qua)
Để xác định hai điểm đi qua của đường thẳng
∆
:
+) Nếu d cắt (
α
) tại N thì N là một điểm đi qua của
∆
, lấy một điểm M bất kì trên d không thuộc (
α
), xác
định hình chiếu M’ của M trên (
α
). Ta có hai điểm đi qua của
∆
.
+)Nếu d không cắt (
α
) thì lấy hai điểm phân biệt M, Ntrên d, xác định hinhd chiếu M’, N’ của M và N trên
(

α
). Ta có hai điểm đi qua của
∆
.
Để xét sự tương giao của d và (α), ta xét hệ:


( )
( ) ( )

= +
  
= + = + = −

  
=
 =   =  =
⇔ ⇔ ⇔
   
= +
= + = + = −
   
+ + − + =
+ − = + + − − = = −
   
  

x 1 t
x 1 t x 1 t x 3
y 1

y 1 y 1 y 1
I :
z 1 t
z 1 t z 1 t z 3
2 1 t 3 1 t 0
2x 3y z 0 2 2t 3 1 t 0 t 4
Vậy d giao với (α) tại
( )
− −
N 3;1; 3
, đường thẳng ∆ đi qua điểm N.
Gọi d’ là đường thẳng qua A và vuông góc với (α), nhận véctơ pháp tuyến của (α) là chỉ phương. Có
phương trình:

( )
1
1 1
1
1 2
1 3
1
x t
y t t R
z t
= +


= + ∈



= −

Hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (α) là giao điểm của đường thẳng d’ với mặt phẳng
(α).Có tọa độ là nghiệm của hệ:
Năm học 2009_2010
18
Trường THPT Nguyễn Quán Nho Gv:Trần Tuấn Ngọc


( ) ( ) ( )
1
1
1
1
1
1
1
1 1 1
1 2
1 2
3 1 9
, ,
1 3
1 3
7 7 7
1
2
1
7
2 1 2 3 1 3 1 0

2 3 0
x t
x t
x y z
y t
y t
z t
z t
t
t t t
x y z
= +

= +



= = =


= +
= +
  
⇔ ⇔
  
= −
= −
  
= −


 

+ + + − − =
+ − =


suy ra
3 1 9
' ; ;
7 7 7
M
 
 ÷
 
Đường thẳng ∆ cũng là đường thẳng NM’ đi qua
( )
− −
N 3;1; 3
và có chỉ phương
24 6 30
' ; ;
7 7 7
NM
 
−
 ÷
 
uuuuur
có phương trình:

( )

= − +

= − ∈


= − +

2
2 2
2
x 3 4t
y 1 t t R
z 3 5t
Cách 2: (Xác định hai mặt phẳng có giao là đường thẳng cần tìm)
Gọi
( )
β
là mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (α) , vậy
mp
( )
β
đi qua
( )
1;1;1A
và có véctơ pháp tuyến
( )
1
; 3; 3; 3n n u

β α
 
= = − −
 
uur uur ur
, phương trình

1 0x y z− − + =
Hình chiếu vuông góc cần tìm là giao của (α) và
( )
β
, thỏa mãn hệ:

1 0
2 3 0
x y z
x y z
− − + =


+ − =

Đặt
1z t= +
, ta có:

1 1
0 2 2 2 0
5 5
2 3 1 0 2 3 1 0 1 4

5 5
y t
x y t x y t
x y t x y t
x t

= −

− − = − − =
 

⇒ ⇒
  
+ − − = + − − =
 

= +


Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình:

1
4
5
1
5
1 5
x t
y t
z t


= +



= −


= +



Cách 3: (Sử dụng tập hợp điểm)
Gọi M là điểm thuộc đường thẳng d,
( )
+ +
M 1 t;1;1 t
. Hình chiếu d’ của d là tập dợp các điểm hình
chiếu của M trên mặt phẳng
( )
α
.
Năm học 2009_2010
19
Trường THPT Nguyễn Quán Nho Gv:Trần Tuấn Ngọc

Trong không gian tọa độ Oxyz. Viết phương trình hình chiếu vuông góc ∆ của đường thẳng

= +


=


= +

x 1 t
d : y 1
z 1 t
trên mặt phẳng
Ví dụ 13
Trong không gian tọa độ Oxyz. Cho đường thẳng
1 1 1
:
2 3 1
x y z− + +
∆ = =
−
và mặt phẳng
( )
: 3 0x y z
α
+ + − =
.
1.Viết phương trình hình chiếu vuông góc d của ∆ trên mặt phẳng (α).
2.Viết phương trình hình chiếu song song theo phương
2 1
:
1 1 2
x y z
l

+ +
= =
−
của đường thẳng ∆ trên
mặt phẳng (α).
Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?
1) Đề cho:
+)Mặt phẳng (P): véctơ pháp tuyến
( )
1;1; 1
P
n −
uur
.
+)Đường thẳng
1
∆
đi qua
( )
1
1;1; 2M − −
có chỉ phương
( )
1
2;3;1u
ur
.
+)Đường thẳng
2
∆

đi qua
( )
2
2;1;0M
có chỉ phương
( )
1
3; 1;1u −
ur
.
+)Quan hệ: Đường thẳng
( )
P∆ ⊥
Đường thẳng ∆ cắt cả
1
∆
và
2
∆
.
2)Cần xác định điểm đi qua và véctơ chỉ phương của đường thẳng ∆.
Cách giải:
Ví dụ 14
Trong không gian tọa độ Oxyz. cho đường thẳng
+ +
= =
−
x 2 y z 3
d :
1 2 2

và mặt phẳng

( )
+ − − =P :2x y z 5 0
1.Xét vị trí tương đối của đường thẳng d và mặt phẳng (P).
2.Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua mặt phẳng (P)
Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?
1) Đề cho:
+)Đường thẳng
d
đi qua
( )
1
2;0; 3M − −
có chỉ phương
( )
1
1; 2;2u −
ur
.
+)Mặt phẳng
( )
P
có pháp tuyến
( )
2;1; 1n −
r
.
+)Quan hệ: Đường thẳng
'd

đối xứng với
d
qua mặt phẳng
( )
P
.
Đường thẳng
d
cắt mặt phẳng
( )
P
.
2)Cần xác định điểm đi qua và véctơ chỉ phương của đường thẳng ∆.
Cách giải:
Năm học 2009_2010
20
Trường THPT Nguyễn Quán Nho Gv:Trần Tuấn Ngọc

Ví dụ 15
Trong không gian tọa độ Oxyz. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng:

( )
1 2
:
2
x t
y t t R
z t
= +



∆ = ∈


= − +

,
1
3 1 1
:
2 1 1
x y z+ − +
∆ = =
và
2
2 1 1
:
2 1 1
x y z− + −
∆ = =
−
Viết phương trình các đường thẳng
1 2
,d d
lần lượt đối xứng với
1 2
,∆ ∆
qua
∆
.

Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?
1) Đề cho:
+) Đường thẳng
∆
đi qua
( )
1;0; 2M −
có chỉ phương
( )
2;1;1u
r
.
+) Đường thẳng
1
∆
đi qua
( )
1
3;1; 1M − −
có chỉ phương
( )
1
2;1;1u
ur
.
+) Đường thẳng
2
∆
đi qua
( )

1
2; 1;1M −
có chỉ phương
( )
2
2; 1;1u −
uur
.
+) Quan hệ:
1) Quan hệ giữa các đại lượng đã cho:

∆
và
1
∆
song song với nhau

∆
và
2
∆
cắt nhau nhau
2) Quan hệ giữa đại lượng cần tìm với đại lượng đã cho

1
d
đối xứng với
1
∆
qua đường thẳng

∆
.

2
d
đối xứng với
2
∆
qua đường thẳng
∆
.
2) Cần xác định điểm đi qua và véctơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm.
Cách giải:
1) Xác định đường thẳng
1
d
.
Cách 1: (Xác định điểm đi qua)
Lấy hai điểm
( )
1 1
3;1; 1M − − ∈∆

( )
1;0; 2M − ∈∆
.
Gọi
( )
1 1 1 1
; ;B x y z

là điểm đối xứng với
1
A
qua M.
Ta có:
( )
1 1 1 1
1; ; 2MB x y z− +
uuuur
,
( )
1
4; 1; 1M M − −
uuuuur
Vì
1
B
đối xứng với
1
A
qua I nên I là trung điểm của
1 1
A B
, hay

( )
1 1
1 1 1 1 1
1 1
1 4 5

1 1 5; 1; 3
2 1 3
x x
MB M M y y B
z z
− = =
 
 
= ⇔ = − ⇔ = − ⇒ − −
 
 
+ = − = −
 
uuuur uuuuur
Năm học 2009_2010
21
1
∆
∆
1
d
M
1
B
1
M
•
•
•
Trường THPT Nguyễn Quán Nho Gv:Trần Tuấn Ngọc

Mặt khác
∆
và
1
∆
song song với nhau nên
1
d
cũng song song với
∆
, hay
1
d
có cùng chỉ phương
với
∆
.
Vậy
1
d
có phương trình:
( )
1
5 2
: 1
3
x t
d y t t R
z t

= +


=− + ∈


= − +

Cách 2: (Sử dụng tập hợp điểm)
Lấy
( )
1;0; 2A − ∈∆
Gọi
1
K ∈∆
, suy ra:
( )
3 2 ;1 ; 1K t t t− + + − +
.

1
d
là tập hợp các điểm
( )
1 1 1 1
; ;K x y z
đối xứng với K qua A. Vậy:
1
1
1

4 2 1
1
1 2
t x
t y
t z
− = −


⇔ − + =


− − = +

1 1
1 1 1
1 1
4 2 1 5 2
1 1
1 2 3
t x x t
KA AK t y y t
t z z t
− = − = −
 
 
= ⇔ − − = ⇔ = − +
 
 
− − = + = − −

 
uuur uuuur
hay đường thẳng cần tìm có phương trình:
5 2
1
3
x t
y t
z t
= −


= − +


= − −

.
Đăng ngày 04 tháng 3 năm 2011
Lê Hoà Bình
Năm học 2009_2010
22