Toán học lớp 11: Hai đường thẳng vuông góc (Phần 2) Thầy Đặng Việt Hùng.

Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 11 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!





III. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC



Hai đường thẳng a, b được gọi là vuông góc với nhau nếu
( )

o
a; b 90 a b.
= ←→ ⊥



Chú ý:
Các phương pháp chứng minh a
⊥
b:


Ch
ứ
ng minh
( )


o
a; b 90
=


Ch
ứ
ng minh hai véc t
ơ
ch
ỉ
ph
ươ
ng c
ủ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng vuông góc v
ớ
i nhau,
u.v 0.
=
 

 Chứng minh hai đường thẳng có quan hệ theo định lý Pitago, trung tuyến tam giác cân, đều
Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD trong đó




= = = = = =
o o o
AB AC AD a, BAC 60 , BAD 60 , CAD 90 .
G
ọ
i I và J l
ầ
n l
ượ
t
là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AB và CD.
a) Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng IJ vuông góc v
ớ
i c
ả
hai
đườ
ng AB và CD.
b) Tính

độ
dài IJ.
Hướng dẫn giải:
a)
Từ giả thiết ta dễ dàng suy ra tam giác ABC, ABD đều,
∆ACD vuông cân tại A.
Từ đó
BC BD a,CD a 2
= = = →∆BCD vuông cân t
ạ
i B.

Chứng minh IJ vuông góc với AB
Do các ∆ACD, ∆BCD vuông cân t
ạ
i A, B nên
1
AJ CD
2
AJ BJ IJ AB.
1
BJ CD
2

=


→ = ⇔ ⊥



=




Chứng minh IJ vuông góc với CD
Do các ∆ACD, ∆BCD
đề
u nên CI = DI → IJ ⊥CD.
b) Áp d
ụ
ng
đị
nh lý Pitago cho ∆AIJ vuông t
ạ
i I ta
đượ
c
2
2
2 2
a 2 a a
IJ AJ AI
2 4 2
 
= − = − =
 
 
 

V
ậ
y IJ = a/2.

Ví d
ụ
2. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC và



= =
ASB BSC CSA.

Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng SA ⊥
⊥⊥
⊥ BC, SB ⊥
⊥⊥
⊥ AC, SC ⊥
⊥⊥
⊥ AB.
Hướng dẫn giải:

Ch
ứ
ng minh: SA ⊥ BC.
Xét

(
)
SA.BC SA. SC SB SA.SC SA.SB
= − = −
        

Mà
( )

( )




SA.SC SA.SC.cos SA;SC
SA.SB SA.SB.cos SA;SB
SA.SC SA.SB SA.SC SA.SB 0 SA.BC 0 SA BC
SA SB SC
ASB BSC CSA
=
=
→ = ⇔ − = ←→ = ⇔ ⊥
= =
= =
   
   
         

Chứng minh tương tự ta cũng được SB ⊥ AC, SC ⊥ AB
Ví d

ụ
3. Cho t
ứ
di
ệ
n
đề
u
ABCD
, c
ạ
nh b
ằ
ng
a
. G
ọ
i
O
là tâm
đườ
ng tròn ngo
ạ
i ti
ế
p
∆
∆∆
∆BCD
.

a) Ch
ứ
ng minh
AO
vuông góc v
ớ
i
CD
.
b) G
ọ
i
M
là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a
CD
. Tính góc gi
ữ
a




BC
và

AM
.




AC
và
BM
.

Hướng dẫn giải:
02. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC – P2
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 11 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
a) Sử dụng phương pháp dùng tích vô hướng
Gọi M là trung điểm của CD. Ta có
(
)
AO.CD AM MO .CD AM.CD MO.CD
= + = +
        

Do ABCD là tứ diện đều nên AM ⊥ CD và O là tâm đáy (hay
O là giao điểm của ba đường cao). Khi đó
AM CD AM.CD 0
AO.CD 0 AO CD.
MO CD
MO.CD 0


⊥ =


⇔ → = ⇔ ⊥
 
⊥
=



 
 
 

b)
Xác
đị
nh góc gi
ữ
a BC và AM; AC và BM

Xác định góc giữa BC và AM:
G
ọ
i I là trung
đ
i
ể
m c

ủ
a BD → MI // BC.
T
ừ

đ
ó
( )

( )



AMI
BC;AM MI;AM
180 AMI

= =


−


Áp d
ụ
ng
đị
nh lý hàm s
ố
cosin trong ∆AMI ta

đượ
c


( )
2 2 2
AM MI AI
cosAMI , 1 .
2.AM.MI
+ −
=

Các ∆ABD, ∆ACD
đề
u, có c
ạ
nh a nên
a 3
AI AM .
2
= =
MI là
đườ
ng trung bình nên MI = a/2.
T
ừ

đ
ó
( )

 
( )

2 2 2
a 3a 3a
1 1 1
4 4 4
1 cosAMI AMI arccos BC;AM arccos .
a a 3 2 3 2 3 2 3
2. .
2 2
+ −
   
⇔ = = → = ⇔ =
   
   


Xác định góc giữa BC và AM:
G
ọ
i J là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AD → MJ // AC.
Khi
đ

ó
( )

( )



BMJ
AC;BM MJ;BM
180 BMJ

= =


−


Các tam giác ABD, BCD là các tam giác
đề
u c
ạ
nh a, nên các trung tuy
ế
n t
ươ
ng
ứ
ng
a 3
BJ BM

2
= =
Do
đ
ó,


1
AIM BJM AMI BMJ arccos .
2 3
 
∆ = ∆ → = =
 
 

V
ậ
y
( )

1
AC;BM arccos .
2 3
 
=
 
 

Ví dụ 4. Cho hình lập phương ABCD.A
′

′′
′
B
′
′′
′
C
′
′′
′
D
′
′′
′
cạnh a. Đặt
′
= = =
AB a,AD b,AA c.
     

a) Tính góc gi
ữ
a các
đườ
ng th
ẳ
ng:
( )

( )


( )

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
AB,B C ; AC,B C ; A C ,B C .

b) G
ọ
i O là tâm c
ủ
a hình vuông ABCD và I là m
ộ
t
đ
i
ể
m sao cho
′ ′
= + + + +
OI OA OA OB OB
    

′ ′
+ + + +
OC OC OD OD .
   

Tính khoảng cách từ O đến I theo a.
c) Phân tích hai véc tơ
′

AC , BD
 
theo ba véc tơ
a, b, c.
  
Từ đó, chứng tỏ rằng AC′
′′
′ và BD vuông góc với nhau.
d) Trên cạnh DC và BB′
′′
′ lấy hai điểm tương ứng M, N sao cho DM = BN = x (với 0 < x < a).
Chứng minh rằng AC′
′′
′ vuông góc với MN.
Hướng dẫn giải:
Nhận xét:
Để
làm t
ố
t các bài toán liên quan
đế
n hình l
ậ
p ph
ươ
ng ta c
ầ
n nh
ớ
m

ộ
t s
ố
tính ch
ấ
t c
ơ
b
ả
n c
ủ
a hình l
ậ
p ph
ươ
ng:

T
ấ
t c
ả
các
đườ
ng chéo
ở
các m
ặ
t c
ủ
a hình l

ậ
p ph
ươ
ng
đề
u b
ằ
ng nhau và b
ằ
ng
a 2
(n
ế
u hình l
ậ
p ph
ươ
ng c
ạ
nh a).

Các
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng t
ạ
o b

ở
i các kích th
ướ
c c
ủ
a hình l
ậ
p ph
ươ
ng luôn vuông góc v
ớ
i nhau (dài, r
ộ
ng, cao).
Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 11 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
a) Tính góc giữa:
( )

( )

( )

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
AB,B C ; AC,B C ; A C ,B C .

 Tính
( )

AB,B C

′ ′
:
( )

( )

o
Do B C //BC AB,B C AB,BC 90 .
′ ′ ′ ′
→ = =

Tính
( )

AC,B C
′ ′
:
( )

( )



o
ACB
Do B C //BC AC,B C AC,BC
180 ACB

′ ′ ′ ′
→ = =



−



ABCD là hình vuông nên
∆
ABC là tam giác vuông cân t
ạ
i B

( )

o o
ACB 45 AC,B C 45 .
′ ′
→ = ⇔ =


Tính
( )

A C ,B C
′ ′ ′
:
( )

( )




o
ACB
Do A C //AC A C ,B C AC,B C
180 ACB

′
′ ′ ′ ′ ′ ′
→ = =

′

−


Xét trong tam giác ACB
′
có AC = B
′
C = AB
′
(do
đề
u là các
đườ
ng chéo
ở
các m
ặ

t hình vuông c
ủ
a hình l
ậ
p ph
ươ
ng).
Do
đ
ó
∆
ACB
′

đề
u

( )

o o
ACB 60 A C ,B C 60 .
′ ′ ′ ′
→ = ⇔ =

b) Tính
độ
dài OI theo a.

V
ớ

i O là tâm c
ủ
a hình vuông ABCD thì
OA OC 0
OA OC OB OD 0
OB OD 0

+ =

→ + + + =

+ =


  
    
  

Khi
đ
ó
OI OA OB OC OD
′ ′ ′ ′
= + + +
    

G
ọ
i O
′

là tâm c
ủ
a
đ
áy A
′
B
′
C
′
D
′
, theo quy t
ắ
c trung tuy
ế
n ta có
OA OC 2OO
OI 4OO
OB OD 2OO

′ ′ ′
+ =

′
→ =

′ ′ ′
+ =



  
 
  

Kho
ả
ng cách t
ừ
O
đế
n I chính là
độ
dài véc t
ơ
OI, t
ừ

đ
ó ta
đượ
c OI = 4OO
′
= 4a.
c) Phân tích hai véc t
ơ

′
AC , BD
 

theo ba véc t
ơ

a, b, c.
  

Theo tính ch
ấ
t c
ủ
a hình l
ậ
p ph
ươ
ng ta d
ễ
dàng có
a.b 0
a.c 0
b.c 0

=


=


=



 
 
 


Phân tích:
AC AB BC CC a b c
BD BA AD b a
′ ′
= + + = + +
= + = −
      
    


Ch
ứ
ng minh AC
′
vuông góc v
ớ
i BD.
Xét
(
)
(
)





2 2 2 2
2 2
0 0 0 0
AC .BD a b c . b a a.b b c.b a a.b c.a b a AD AB 0 AC.BD AC B
D.
′ ′ ′
= + + − = + + − − − = − = − = ⇔ ⇔ ⊥
                    

d) Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng AC
′
′′
′
vuông góc v
ớ
i MN.
Ta có phân tích:
MN MC CB BN
AC AB BC CC
= + +
′ ′
= + +
   
   

( ) ( )
0 0 0 0
MN.AC MC CB BN . AB BC CC MC.AB MC.BC MC.CC CB.AB CB.BC CB.CC
BN.AB
   
′ ′ ′ ′
→ = + + + + = + + + + + +
   
   
+
        
         
 
   

0 0
BN.BC BN.CC MC.AB CB.BC BN.CC
 
′ ′
+ + = + +
 
 
          
 

Mà
( )
( )
o
o 2 2

o
MC.AB MC.AB.cos0 a x a
CB.BC CB.BC.cos180 a MN.AC a x a a ax 0 MN AC .
BN.CC BN.CC .cos0 ax
= = −
′ ′
= = − → = − − + = ⇔ ⊥
′ ′
= =
 
   
 

Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 11 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1. [ĐVH]:

Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Gọi M, N lần lượt là các điểm thuộc A′B và B′C sao cho
1 1
;
2 2
′ ′
= =
   
BM MA CN NB
. Chứng minh rằng:
a) MN ⊥A′B. b) MN ⊥B′C.
Bài 2. [ĐVH]:

Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Xác định góc giữa các cặp vectơ:
a)
(
)
, .
′ ′
 
AB A C
b)
(
)
, .
′ ′
 
AB A D
c)
(
)
, .
′
 
AC BD

Bài 3. [ĐVH]:

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′. Chứng minh rằng:
a) AD ⊥ A′B′. b) AD ⊥ D′C.
Bài 4. [ĐVH]:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. Biết AB = BC = a; AD = 2a. Hình

chiếu của S xuống (ABCD) là điểm H thuộc AC sao cho CH = 3AH;
3.
=SH a Tính góc gi
ữ
a
a)
(SC; AB)
b)
(SA; BD)
Đ
/s:
( ) ( )
66 10
) cos ; ) cos ;
22 50
= =a SC AB b SA BD
Bài 5. [ĐVH]:

Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy là hình ch
ữ
nh
ậ
t, AB = a; AD = 2a. Hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a S xu
ố

ng
m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABCD) là
đ
i
ể
m H thu
ộ
c AB sao cho AB = 3AH. Bi
ế
t
2
.
=
SAB
S a
Tính góc gi
ữ
a
a)
(SA; BD)
b)
(SC; BM), v
ớ
i M là trung
đ
i

ể
m c
ủ
a AD.
Đ
/s:
( )

( )
0
38
) ; 86 ) cos ;
19
≈ =a SA BD b SC BM