Tiết 60 hệ thức vi ét

Viết công thức nghiệm của phương trình bậc hai.
KIỂM TRA BÀI CŨ
Giải phương trình: 2x
2
- 5x + 3 = 0
Tiết 57 : HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
1. Hệ thức Vi-et
Nếu pt bậc hai ax
2
+ bx + c = 0
có nghiệm thì ta có thể viết các
nghiệm đó dưới dạng:
1 2
-b +Δ -b - Δ
x = , x =
2a 2a
Hãy tính x
1
+ x
2
, x
1
.x
2
?1
1 2
-b +Δ + (-b)- Δ -2b -b
x + = = =
2a 2a
x

a
×
2 2 2
1 2
2 2 2
b -Δ b -(b - 4ac) 4ac
= = = =
4a 4a 4a
c
x x
a
Giải
=
1 2
x + x
-b
a
×
1 2
x x =
c
a
Phrăng-xoa Vi-et (1540-1603)
nhà Toán học nổi tiếng người
Pháp đã phát hiện ra mối liên
hệ giữa các nghiệm và các hệ
số của phương trình bậc hai
vào đầu thế kỉ XVII, ngày nay
nó được phát biểu thành một
định lí mang tên ông.

F.Viète
Nếu x
1
, x
2

là hai nghiệm của
pt ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) thì
a) Định lí Vi- et
Tiết 57 : HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
1. Hệ thức Vi-et
Bài 25 (SGK): Đối với mỗi pt
sau, kí hiệu x
1
và x
2
là hai nghiệm
(nếu có). Không giải phương trình,
hãy điền vào những chỗ trống (…)
b) Áp dụng
∆ =
x
1
+ x
2
= , x
1
. x

2
=
a) 2x
2
- 17x + 1 = 0
(-17)
2
– 4.2.1 = 281 > 0
1
2
17
2
…
…
…
NÕu x
1
, x
2

lµ hai nghiÖm cña
pt ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) th×
a) Định lí Vi- et
=
1 2
x + x
-b
a

×
1 2
x x =
c
a
∆ =
x
1
+ x
2
= , x
1
. x
2
=
c) 8x
2
- x + 1 = 0
(-1)
2
– 4.8.1 = -31 < 0
…
…
…
∆ =
x
1
+ x
2
= , x

1
. x
2
=
Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm
Hoạt Động nhóm
Nhóm 1 và nhóm 2 ( Làm ?2 )
Cho phơng trình 2x
2
- 5x + 3 = 0 .
a) Xác định các hệ số a, b, c rồi tính a+b+c
b) Chứng tỏ x
1
= 1 là một nghiệm của ph
ơng trình.
c) Dùng định lý Vi- ét để tìm x
2.
.
Nhóm 3 và nhóm 4 (Làm ?3)
Cho phơng trình 3x
2
+ 7x + 4 = 0.
a) Chỉ rõ các hệ số a, b, c của phơng
trình v tính a b + c
b) Chứng tỏ x
1
= -1 là một nghiệm của
phơng trình.
c) Tìm nghiệm x
2.

Nếu x
1
, x
2

là hai nghiệm của
pt ax
2
+ bx + c = 0 (a 0) thì
Tit 57 : H THC VI-ẫT V NG DNG
1. H thc Vi-et
a) nh lớ Vi- et
b) p dng
=
1 2
x + x
-b
a
ì
1 2
x x =
c
a
NÕu x
1
, x
2

lµ hai nghiÖm cña
pt ax

2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) th×
Tiết 57 : HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
1. Hệ thức Vi-et
a) Định lí Vi- et Phương trình 2x
2
-5x + 3 = 0
a) a = 2 ; b = -5 ; c = 3
a + b + c = 2 + (-5) + 3 = 0
b) Thay x = 1 vào phương trình ta được
2.1
2
+ (-5).1 + 3 = 2 + (-5) + 3 = 0
Vậy x
1
= 1 là một nghiệm của ph/trình
c) Ta có
1 2 2
c 3 3
x .x = = x =
a 2 2
⇒
?2
Tæng qu¸t 1: NÕu pt ax
2

+ bx + c = 0
(a ≠ 0) cã a + b + c = 0 th× pt cã một
nghiÖm x
1

=1, cßn nghiÖm kia lµ
2
c
x
a
=
=
1 2
x + x
-b
a
×
1 2
x x =
c
a
b) Áp dụng
Ho¹t §éng nhãm
Ho¹t §éng nhãm
NÕu x
1
, x
2

lµ hai nghiÖm cña
pt ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) th×
Tiết 57 : HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
1. Hệ thức Vi-et

a) Định lí Vi- et Phương trình 3x
2
+ 7x + 4 = 0
a) a = 3 ; b = 7 ; c = 4
a - b + c = 3 - 7 + 4 = 0
b) Thay x = -1vào phương trình ta được
3.(-1)
2
+ 7.(-1) + 4 = 3 - 7 + 4 = 0
Vậy x
1
= -1 là một nghiệm của ph/trình
c) Ta có
1 2 2
c 4 4
x .x = = x = -
a 3 3
⇒
?3
Tæng qu¸t 1: NÕu pt ax
2

+ bx + c = 0 (a
≠ 0) cã a + b + c = 0 th× pt cã một
nghiÖm x
1
=1, cßn nghiÖm kia lµ
2
c
x

a
=
2
c
x
a
= −
Tæng qu¸t 2: NÕu pt ax
2

+ bx + c = 0
(a ≠ 0) cã a - b + c = 0 th× pt cã một
nghiÖm x
1
=-1, cßn nghiÖm kia lµ
=
1 2
x + x
-b
a
×
1 2
x x =
c
a
b) Áp dụng
NÕu x
1
, x
2

lµ hai nghiÖm cña
pt ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) th×
Tiết 57 : HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
1. Hệ thức Vi-et
a) Định lí Vi- et
?4
Tính nhẩm nghiệm của các pt:
a) -5x
2
+ 3x + 2 = 0
b) 2004x
2
+ 2005x +1 = 0
b) 2004x
2
+ 2005x + 1 = 0
cã a = 2004 , b = 2005 , c = 1
⇒ a – b + c = 2004 – 2005 +1 =
0
x
2
= -
1
2004
VËy x
1
= -1,

a) -5x
2
+ 3x + 2 = 0 cã a = -5, b =3, c = 2
⇒ a + b + c = -5 + 3 + 2 = 0
VËy x
1
= 1 ,
2
2 2
x
5 5
−
= =
−
Gi¶i
=
1 2
x + x
-b
a
×
1 2
x x =
c
a
b) Áp dụng
Tæng qu¸t 1: NÕu pt ax
2

+ bx + c = 0 (a

≠ 0) cã a + b + c = 0 th× pt cã một
nghiÖm x
1
=1, cßn nghiÖm kia lµ
2
c
x
a
=
2
c
x
a
= −
Tæng qu¸t 2: NÕu pt ax
2

+ bx + c = 0
(a ≠ 0) cã a - b + c = 0 th× pt cã một
nghiÖm x
1
=-1, cßn nghiÖm kia lµ
NÕu x
1
, x
2

lµ hai nghiÖm cña
pt ax
2

+ bx + c = 0 (a ≠ 0) th×
Tiết 57 : HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
1. Hệ thức Vi-et
a) Định lí Vi- et
=
1 2
x + x
-b
a
×
1 2
x x =
c
a
b) Áp dụng
Tæng qu¸t 1: NÕu pt ax
2

+ bx + c = 0 (a
≠ 0) cã a + b + c = 0 th× pt cã một
nghiÖm x
1
=1, cßn nghiÖm kia lµ
2
c
x
a
=
2
c

x
a
= −
Tæng qu¸t 2: NÕu pt ax
2

+ bx + c = 0
(a ≠ 0) cã a - b + c = 0 th× pt cã một
nghiÖm x
1
=-1, cßn nghiÖm kia lµ
Tæng qu¸t: (SGK)
2. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng
Giả sử hai số cần tìm có tổng
bằng S và tích bằng P. Gọi một
số là x thì số kia là S - x.

Theo giả thiết ta có phương trình:

x (S – x) = P

hay
x
2
– Sx + P = 0 (1)

Nếu ∆ = S
2
– 4P ≥ 0 thì phương
trình (1) có nghiệm. Các nghiệm

này chính là hai số cần tìm.
NÕu hai sè cã tæng b»ng S vµ tÝch
b»ng P th× hai sè ®ã lµ hai nghiÖm
cña ph¬ng tr×nh x
2
– Sx + P = 0
§iÒu kiÖn ®Ó cã hai sè ®ã lµ S
2
- 4P ≥ 0
Tổng quát: (SGK)
2. Tỡm hai s bit tng v tớch ca chỳng
Tit 57 : H THC VI-ẫT V NG DNG
1. H thc Vi-et
Nếu x
1
, x
2

là hai nghiệm của
pt ax
2
+ bx + c = 0 (a 0) thì
a) nh lớ vi- et
=
1 2
x + x
-b
a
ì
1 2

x x =
c
a
b) p dng
Nếu hai số có tổng bằng S và tích
bằng P thì hai số đó là hai nghiệm
của phơng trình x
2
Sx + P = 0
Điều kiện để có hai số đó
là S
2
- 4P 0
áp dụng
Ví dụ 1: Tìm hai số, biết tổng của
chúng bằng 27, tích của chúng
bằng 180.
Giải:
Hai số cần tìm là hai nghiệm của
phơng trình:
x
2 _
27x + 180 = 0
1 2
27 3 27 3
x 15 , x 12
2 2
+
= = = =
Vậy hai số cần tìm là 15 và 12

2
27 4.1.180 9 0 3
= = > =
Ta cú:
Tổng quát: (SGK)
2. Tỡm hai s bit tng v tớch ca chỳng
Tit 57 : H THC VI-ẫT V NG DNG
1. H thc Vi-et
Nếu x
1
, x
2

là hai nghiệm của
pt ax
2
+ bx + c = 0 (a 0) thì
a) nh lớ vi- et
=
1 2
x + x
-b
a
ì
1 2
x x =
c
a
b) p dng
Nếu hai số có tổng bằng S và tích

bằng P thì hai số đó là hai nghiệm
của phơng trình x
2
Sx + P = 0
Điều kiện để có hai số đó
là S
2

- 4P 0
áp dụng
Tìm hai số biết tổng của chúng
bằng 1, tích của chúng bằng 5.
Giải
Hai số cần tìm là nghiệm của
phơng trình : x
2
- x + 5 = 0
Ta cú = (-1)
2
- 4.1.5 = -19 < 0
Phơng trình vô nghiệm.
Vậy không có hai số nào có tổng
bằng 1 và tích bằng 5.
?5
Tổng quát: (SGK)
2. Tỡm hai s bit tng v tớch ca chỳng
Tit 57 : H THC VI-ẫT V NG DNG
1. H thc Vi-et
Nếu x
1

, x
2

là hai nghiệm của
pt ax
2
+ bx + c = 0 (a 0) thì
a) nh lớ vi- et
=
1 2
x + x
-b
a
ì
1 2
x x =
c
a
b) p dng
Nếu hai số có tổng bằng S và tích
bằng P thì hai số đó là hai nghiệm
của phơng trình x
2
Sx + P = 0
Điều kiện để có hai số đó
là S
2

- 4P 0
áp dụng

Ví dụ 2: Tính nhẩm nghiệm của
phơng trình x
2
- 5x + 6 = 0.
Giải.

Vì 2 + 3 =5 ; 2.3 = 6
nên x
1
= 2, x
2
= 3
là hai nghiệm của phơng trình
đã cho.
Tổng quát: (SGK)
2. Tỡm hai s bit tng v tớch ca chỳng
Tit 57 : H THC VI-ẫT V NG DNG
1. H thc Vi-et
Nếu x
1
, x
2

là hai nghiệm của
pt ax
2
+ bx + c = 0 (a 0) thì
a) nh lớ vi- et
=
1 2

x + x
-b
a
ì
1 2
x x =
c
a
b) p dng
Nếu hai số có tổng bằng S và tích
bằng P thì hai số đó là hai nghiệm
của phơng trình x
2
Sx + P = 0
Điều kiện để có hai số đó
là S
2

- 4P 0
Bài 27 (SGK): Dùng hệ thức Vi-ét
để tính nhẩm các nghiệm của ph
ơng trình
x
2
7x + 12 = 0
Giải
= (7)
2
- 4.1.12 = 49 - 48 = 1 > 0

Vì 3 + 4 = 7 và 3. 4 = 12
nên x
1
=3, x
2
= 4 là hai nghim
ca phơng trình đã cho.
áp dụng
Tỉng qu¸t: (SGK)
2. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng
Tiết 57 : HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
1. Hệ thức Vi-et
NÕu x
1
, x
2

lµ hai nghiƯm cđa
pt ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) th×
a) Định lí vi- et
=
1 2
x + x
-b
a
×
1 2
x x =

c
a
b) Áp dụng
NÕu hai sè cã tỉng b»ng S vµ tÝch
b»ng P th× hai sè ®ã lµ hai nghiƯm
cđa ph¬ng tr×nh x
2
– Sx + P = 0
§iỊu kiƯn ®Ĩ cã hai sè ®ã
lµ S
2

- 4P ≥ 0
Hai số u và v là hai nghiệm của
phương trình x
2
– 32x + 231 = 0
∆'= (-16)
2
– 1.231 = 25 > 0 ⇒ = 5
x
1
= 16 + 5 = 21, x
2
= 16 – 5 = 11
Vậy u = 21, v = 11
ho c u = 11,v = 21ặ
'
∆
Bài 28a (SGK)

Tìm hai số u và v biết:
u + v = 32 , u.v = 231
Gi¶i
¸p dơng
5x
2
-

9x + 4 = 0 ⇒ x
1
= ; x
2
=
2x
2
+ 3x + 1 = 0 ⇒ x
1
= ; x
2
=
x
2
- 5x + 6 = 0 ⇒ x
1
= ; x
2
=
2x
2

+ x + 5 = 0 ⇒
x
2
+ 3x - 10 = 0 ⇒ x
1
= ; x
2
=
1
2
3
4
5





-5
2
Ph¬ng tr×nh v« nghiƯm
-1
3
2
−
1
2

Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
4
5
1
x
1
= ; x
2
=
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Chọn câu trả lời đúng:
B
A
C
D
x
2
- 2x + 5 = 0
x
2
+ 2x – 5 = 0
x
2
- 7x + 10 = 0
x
2
+ 7x + 10 = 0
sai
ú

n
g
Đ
Sai
Hai số 2 và 5 là nghiệm của phương trình nào ?
HƯỚNG DẪN HỌC Ở NHÀ
HD Bài 30b: Tìm giá trị của m để pt có nghiệm rồi tính tổng và
tích các nghiệm theo m: x
2
+ 2(m-1)x + m
2
= 0
- Tính Δ theo m rồi tìm điều kiện để pt có nghiệm (Δ ≥ 0)
- Áp dụng hệ thức Vi-et để tính tổng và tích các nghiệm theo m
- Học thuộc định lí Vi-ét và cách tìm hai số biết tổng và tích.
- Nắm vững cách nhẩm nghiệm khi a + b + c = 0 ; a – b + c = 0
và khi tổng và tích của hai nghiệm (S và P) là những số ngun
có giá trị tuyệt đối khơng q lớn.
* BTVN: 25bd, 26, 28bc, 30 (SGK) 38, 41 (SBT)

Chuyeân ñeà
Toå Toaùn