BAI TAP VE CAC DUONG DONG QUY TRONG TAM GIAC

BÀI TẬP CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY TRONG TAM GIÁC
Bài 1. Cho hình vẽ . Hãy so sánh : PA và CA,
CP và CB, AP và BO, CP và nửa chu vi tam
giác ABC
Nói thêm với HSG
Lấy M nằm trong tam giác ABC. So sánh MA
+ MB + MC và nửa chu vi tam giác ABC và
với chu vi tam giác ABC
Kẻ AH và BK vuông góc với CP. Chứng minh
AH + BK < AB
C
A
B
P
Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ
AH BC
⊥
. Kẻ HP vuông góc với AB và kéo
dài để có PE = PH. Kẻ HQ vuông góc với AC
và kéo dài để có QF = QH
a.
Chứng minh
APE APH, AQH AQF
∆ = ∆ ∆ = ∆
b.
Chứng minh E, A, F thẳng hàng và A là
trung điểm của EF
c.
Chứng minh BE//CF
d.
Cho AH = 3cm, AC = 4cm. Tính HC,

EF
F
E
Q
P
H
B
A
C
Bài 3. Cho hình bên, chứng minh
µ
0
A 90
=
M
B
A
C
Bài 4. Cho hình bên biết AB = BD, BE =
1/3BC. Chứng minh :
a. DK = CK
b. D, E và trung điểm M của AC thẳng
hàng
E
B
K
A
D
C
Bài 5. Tam giác ABC có AC > AB, trung tuyến

AM
Chứng minh :
AC AB AC AB
AM
2 2
− +
< <
M
B
C
A
Bài 6. Cho tam giác ABC. Kẻ AH vuông góc
với BC. Trên tia đối của tia AH lấy D sao cho
AH = AD. Lấy trung điểm E của HC. Gọi F là
giao điểm của AC và DE. Chứng minh :
a. AF = 1/3AC
b. H, F và trung điểm M của DC thẳng
hàng
c. HF = 1/3DC
(câu b có thể hỏi gọi M là trung điểm của
DC. Chứng minh DE, CA và HM đồng quy
M
F
E
B
C
A
H
D
1

BÀI TẬP CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY TRONG TAM GIÁC
-> chỗ này nói với hsinh )
Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại A. Trung
tuyến AM. Trên tia đối tia MA lấy D sao cho
MD = MA.
a. Chứng minh
MAB MDC. Suy ra ACD
∆ = ∆ ∆
vuôn
g
b. Gọi K là trung điểm AC. Chứng minh
KB = KD
c. Gọi I là giao điểm của KD và BC, N là
giao điểm của KB và AD. Chứng minh
tam giác KNI cân
d. Chứng minh
( )
1
AM AB AC
2
< +
.
Điều này còn đúng không nếu tam giác
ABC không là tam giác vuông
N
I
K
D
M
B

A
C
Bài 8. Cho rABC có AB = 9cm, AC = 12cm,
BC = 15cm
a. Tam giác ABC là tam giác gì ?
b. Vẽ trung tuyến AM. Kẻ
MH AC
⊥
.
Trên tia đối của tia MH lấy K sao cho
MK = MH
• Chứng minh
MHC MKB
∆ = ∆
. Suy ra
BK//AC
• BH cắt AM tại G. Chứng minh G là
trọng tâm của tam giác ABC
• Tính độ dài AG
G
M
B
A
C
H
K
Bài 9. Cho tam giác ABC có
µ
0
A 50

=
. Phân
giác trong của góc B và C cắt nhau tại I
a. Tính góc BIC
b. Kẻ tia phân giác góc ngoài tại B cắt AI
tại J. Chứng minh CJ là tia phân giác
của góc ngoài tại C
J
I
B
C
A
2
BÀI TẬP CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY TRONG TAM GIÁC
Bài 10. Cho
ABC
∆
có
µ
0
A 120
=
. Các phân
giác AD và CE gặp nhau ở O. Đường thẳng
chứa tia phân giác ngoài tại đỉnh B của tam
giác ABC cắt đường thẳng AC tại F. Chứng
minh :
a.
BO BF
⊥

b.
·
·
BDF ADF
=
c. Ba điểm D, E, F thẳng hàng
E
F
O
D
A
B
C
Bài 11. Cho tam giác ABC cân tại A. trên hai
cạnh AB, AC và về phía ngoài tam giác vẽ các
tam giác đều ADB, AEC
a. Chứng minh BE =CD
b. Kẻ phân giác AH của tam giác cân.
Chứng minh BE, CD, AH đồng quy
E
D
H
B
C
A
Bài 12. Cho tam giác ABC. Trung tuyến AD,
BE, CF. Chứng minh :
a.
( )
2

BE CF BC
3
+ >
b.
( )
3
AD BE CF AB BC CA
4
+ + > + +
D
F
E
A
B
C
Bài 13. Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường
phân giác BE. Kẻ EH vuông góc với BC. Gọi K
là giao điểm của AB và HE. Chứng minh :
a.
ABE HBE
∆ = ∆
b. BE là đường trung trực của AH
c. EK = EC
d. AE < EC
e.
BE KC
⊥
f. Cho AB = 3cm, BC = 5cm. Tính KC
H
E

B
A
C
K
3
BÀI TẬP CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY TRONG TAM GIÁC
Bài 14. Cho góc vuông xOy, điểm A thộc tia
Ox, B thuộc Oy. Đường trung trực của OA cắt
Ox tại D, đường trung trực của OB cắt Oy ở E.
Gọi C là giao điểm của hai đường trung trực đó.
Chứng minh :
a. CE = OD
b. CE vuông góc với CD
c. CA = CB
d. CA//DE
e. A, B, C thẳng hàng
x
y
C
D
E
O
A
B
Bài 15. Cho tam giác DEF cân tại D có DE =
DF = 5cm, EF = 8cm. M, N lần lượt là trung
điểm DF và DE. Kẻ
DH EF
⊥
.

a.
Chứng minh EM = FN và
·
·
DEM DFN
=
b.
Giao điểm của EM và FN là K. Chứng
minh KE = KF
c.
Chứng minh DK là phân giác của góc
EDF
d.
Chứng minh EM, FN, AH đồng quy
e.
Tính AH
K
N
M
H
E
F
D
Bài 16. Cho tam giác ABC, trung tuyến AM.
Trên AM lấy I, K sao cho AI = IK = KM. Gọi
N, P lần lượt là trung điểm của AC và AB
a. Chỉ ra các điểm thẳng hàng
b. D là giao điểm của BN và CI thì D là
trọng tâm của tam giác nào ?
c. Cho BN = 18cm. Tính DN

D
P
I
K
N
M
B
C
A
Bài 17. Cho tam giác ABC nhọn có AB > AC,
kẻ đường cao AH
a.
Chứng minh HB > HC
b.
Chứng minh
µ
$
C B
>
c.
So sánh
·
·
BAH vµ CAH
B
C
A
H
4
BÀI TẬP CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY TRONG TAM GIÁC

Bài 18. Cho tam giác ABC vuông tại B. Trung
tuyến AM. Trên tia đối của tia MA lấy E sao
cho ME = AM. Chứng minh :
a.
ABM ECM
∆ = ∆
b. AC > CE
c.
·
·
BAM MAC
>
E
M
A
B
C
Bài 20. Cho M nằm trong góc xOy. Qua M
vẽ
MA Ox
⊥
cắt Oy tại C và vẽ
MB Oy
⊥
cắt Ox tại D
a. *Chứng minh OM vuông góc với
DC
b. Xác định trực tâm tam giác MCD
c. Nếu M thuộc phân giác góc xOy thì
tam giác OCD là tam giác gì ? Vẽ

hình minh họa
y
x
C
D
A
B
O
M
Bài 21. Cho tam giác ABC vuông tại A,
đường trung trực của AB cắt AB tại E và
BC tại F
a.
Chứng minh FA = FB
b.
Vẽ
FH AC
⊥
, chứng minh
FH EF
⊥
c.
Chứng minh FH = AE
d.
Chứng minh EH//BC và EH = ½ BC
F
E
B
A
C

H
Bài 22. Cho tam giác ABC vuông ở C có
µ
0
A 60
=
. Tia phân giác của góc BAC cắt
BC ở E. Kẻ
EK AB, BD AE
⊥ ⊥
. Chứng
minh :
a. AC = AK và AE vuông góc với CK
b. KA = KB
c. EB > AC
d. AC, BD, KE cùng đi qua một điểm
D
K
E
C
B
A
5
BI TP CC NG NG QUY TRONG TAM GIC
Bài 23. Cho tam giác ABC vuông ở A, có
AB = 5cm, BC = 13cm. Ba đờng trung tuyến
AM, BN, CE cắt nhau tại O.
a. Tính AM, BN, CE.
b. Tính diện tích tam giác BOC
O

E
N
M
C
A
B
Bài 24.Cho tam giác đều AOB, trên tia đối
của tia OA, OB lấy theo thứ tự các điểm C
và D sao cho OC = OD.Từ B kẻ BM vuông
góc với AC, CN vuông góc với BD. Gọi P là
trung điểm của BC.Chứng minh:
a.Tam giác COD là tam giác đều
b.AD = BC
c.Tam giác MNP là tam giác đều
M
N
P
D
O
A
B
C
Bài 25. Cho tam giác cân ABC, AB = AC, đ-
ờng cao AH. Kẻ HE vuông góc với AC. Gọi
O là trung điểm của EH, I là trung điểm của
EC. Chứng minh:
a. IO vuông góc vơi AH
b. AO vuông góc với BE
O
I

E
H
B
C
A
Bài 26.Cho tam giác nhọn ABC. Về phía
ngoài của tam giác vẽ các tam giác vuông
cân ABE và ACF ở B và C. Trên tia đối của
tia AH lấy điểm I sao cho
AI = BC. Chứng minh:
a) Tam giác ABI bằng tam giác BEC
b) BI = CE và BI vuông góc với CE.
c) Ba đờng thẳng AH, CE, BF cắt nhau
tại một điểm.
F
E
B
C
A
6