CONG THỨC NGHIỆM PHƯƠNG TRINH
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (495.81 KB, 15 trang )
Cho phương trình bậc hai: 2x
2
+ 5x + 2 = 0.
Hãy chỉ rõ các hệ số a, b, c của phương trình rồi giải
phương trình bằng cách biến đổi phương trình về
dạng phương trình với vế trái là một bình phương
còn vế phải là một hằng số
KIỂM TRA BÀI CŨ:
TIẾT 53
TIẾT 53: CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
a
c
a
b
a
b
x
−=
+
2
2
2
42
1. Công thức nghiệm:
ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) (1)
⇔ ax
2
+ bx = - c
⇔ x
2
+
a
c
x
a
b
−=
⇔
a
c
a
b
xx
−=+
.2
2
2
⇔
2
2
2
4
4
2 a
acb
a
b
x
−
=
+
⇔
(2)
⇔
2
2
+
a
b
a
b
xx
2
.2
2
+
a
c
−=
2
2
+
a
b
Xét phương trình tổng quát
ax
2
+bx +c = 0 (a ≠0) (1)
⇔ ax
2
+bx = - c
⇔ x
2
+
a
c
x
a
b
−=
⇔
a
c
a
b
xx
−=+
.2
2
2
a
c
a
b
a
b
x
−=
+
2
2
2
42
⇔
2
2
2
4
4
2 a
acb
a
b
x
−
=
+
⇔
(2)
Người ta kí hiệu
∆=b
2
-4ac
⇔
2
2
+
a
b
a
b
xx
2
.2
2
+
a
c
−=
2
2
+
a
b
TIẾT 53: CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
∆ đọc là denta
Gọi nó là biệt thức của phương
trình bậc hai
1. Công thức nghiệm:
a/ Ví dụ:
b/Tổng quát
b
2
– 4ac
∆
Ta có:
2
2
42 aa
b
x
∆
=
+
(2)
Ta có:
2
2
42 aa
b
x
∆
=
+
(2)
?1
?1
Hãy điền những biểu thức thích hợp vào các chỗ trống ( ) dưới đây:
a) Nếu ∆ >0 thì từ phương trình (2) suy ra
2
±=+
a
b
x
Do đó, phương trình (1) có hai nghiệm:x
1
= , x
2
=
b) Nếu ∆ = 0 thì từ phương trình (2) suy ra
2
=+
a
b
x
Do đó, phương trình (1) có nghiệm kép x
1
=x
2
=
?2
?2
Hãy giải thích vì sao khi ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm.
a2
∆
a
b
2
∆+−
a
b
2
∆−−
0
a
b
2
−
∆=b
2
-4ac
(vì phương trình (2) vô nghiệm do vế phải là một số âm còn vế
trái là một số không âm )
Từ kết quả và ,với phương trình bậc hai
ax
2
+bx +c = 0 (a ≠0) và biệt thức ∆ = b
2
- 4ac
Với điều kiện nào của ∆ thì:
+ Phương trình có hai nghiệm phân biệt?
+ Phương trình có nghiệm kép?
+ Phương trình vô nghiệm ?
?2
?2
?1
?1
Với phương trình bậc hai ax
2
+bx +c = 0 (a ≠0) và biệt thức
∆ = b
2
- 4ac
+ Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi
+ Phương trình có nghiệm kép khi
+ Phương trình vô nghiệm khi
∆ > 0
∆ = 0
∆ < 0
Công thức nghiệm của phương trình bậc hai
•
Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
a
b
x
2
2
∆−−
=
a
b
x
2
1
∆+−
=
,
Đối với phương trình ax
2
+ bx +c = 0 (a ≠ 0)
và biệt thức ∆ = b
2
- 4ac :
•
Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép
a
b
xx
2
21
−==
•
Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm.
d/Các bước giải một phương trình bậc hai theo công thức nghiệm:
Bước 1: Xác định các hệ số a, b, c.
Bước 2: Tính ∆ = b
2
- 4ac rồi so sánh kết quả với 0.
Bước 3: Kết luận số nghiệm của phương trình.
Bước 4: Tính nghiệm theo công thức nếu phương trình có nghiệm.
Giải:
∆ = b
2
- 4ac
=(-5)
2
- 4.4.(-1)
=25 + 16 = 41 > 0
⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
a
b
x
2
1
∆+−
=
( 5) 41 5 41
2.4 8
− − + +
= =
2.Áp dụng:
Ví dụ: Giải phương trình 4x
2
- 5x - 1 = 0
( 5) 41 5 41
2.4 8
− − − −
= =
Bước 2: Tính ∆ ? Rồi
so sánh với số 0
Bước 4: Tính nghiệm
theo công thức?
Bước 1: Xác định các
hệ số a, b, c ?
a
b
x
2
2
∆−−
=
a= 4, b= -5,
c= - 1
Bước 3: Kết luận số
nghiệm của phương
trình ?
Bài tập 1: Áp dụng công thức nghiệm để giải các phương trình:
a) 5x
2
- x + 3 = 0 b) - 4x
2
+ 4x - 1 = 0
c) -3x
2
+ x + 5 = 0
b) - 4x
2
+ 4x - 1 = 0
(a= - 4, b = 4, c = - 1)
∆ = b
2
- 4ac = 4
2
- 4.(-4).(- 1)
= 16 - 16 = 0
⇒Phương trình có nghiệm kép
2
1
)4.(2
4
=
−
−=
Giải:
a) 5x
2
- x + 3 = 0
(a= 5 , b = -1 , c = 3)
∆ = b
2
- 4ac= (-1)
2
- 4.5.3
= 1 - 60 = -59 < 0
⇒ Phương trình vô nghiệm.
a
b
2
−
x
1
= x
2
=
c) -3x
2
- 2x + 5 = 0 (a=-3, b = -2, c = 5)
∆= b
2
- 4ac=(-2)
2
- 4.5.(- 3)= 4 + 60 = 64 >0
⇒ Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
a
b
x
2
1
∆+−
=
a
b
x
2
2
∆−−
=
2 8 6
1
2.( 3) 6
− −
= = =
− −
2 8 10 5
2.( 3) 6 3
+ −
= = =
− −
64 8
⇒ ∆ = =
Cả hai bạn giải trên đều đúng. Em nên chọn cách giải của
bạn nào ? Vì sao?
Bài tập 2: Khi giải phương trình 2010x
2
- 2011 = 0.
Bạn An và Hoa đã giải theo hai cách như sau:
1
2
b
x
a
− + ∆
=
Bạn Hoa giải:
2010x
2
- 2011 = 0 (a=2010, b = 0, c = -2011)
∆=b
2
- 4ac = 0
2
- 4.2010.(-2011)
= 0 + 4042110 = 4042110 >0
⇒ Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
0 4042110 4.2010.2011 2011
2.2010 2.2010 2010
+
= = =
a
b
x
2
2
∆−−
=
0 4042110 4.2011.2010 2011
2.2010 2.2010 2010
− −
= = = −
⇔
⇔
Bạn An giải:
2010x
2
- 2011 = 0
2
2011
2010
x =
2011
2010
x
= ±
⇔ 2010x
2
= 2011
1
2
2011
2010
2011
2010
x
x
=
⇒
=
Chú ý:
1.Giải phương trình bậc hai dạng đặc biệt khuyết hệ số b hoặc
hệ số c bằng công thức nghiệm có thể phức tạp nên ta thường
giải bằng phương pháp riêng đã biết.
-
NÕu ph¬ng tr×nh ax
2
+ bx + c = 0 (a 0 ) ≠ cã a vµ c tr¸i dÊu
⇒ ∆= b
2
- 4ac > 0
⇒ Ph"¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt
⇒ ac < 0
c) -3x
2
+ 2x + 5 = 0
(a=-3, b = 2, c = 5)
∆= b
2
- 4ac= 2
2
- 4.5.(- 3)
= 4 + 60 = 64 >0
=>Phương trình có 2
nghiệm phân biệt
a
b
x
2
1
∆+−
=
a
b
x
2
2
∆−−
=
2 8 6
1
2.( 3) 6
− −
= = =
− −
2 8 10 5
2.( 3) 6 3
+ −
= = =
− −
∆ = b
2
- 4ac
=(-5)
2
- 4.4.(-1)
=25 + 16 = 41 > 0
⇒ Phương trình có hai
nghiệm phân biệt:
( 5) 41 5 41
2.4 8
− − + +
= =
phương trình 4x
2
- 5x - 1 = 0
( 5) 37 5 37
2.4 8
− − − −
= =
a= 2, b= -5,
c= - 1
a
b
x
2
1
∆+−
=
a
b
x
2
2
∆−−
=
Chú ý:
HƯỚNG DẪN HỌC BÀI:
Học lý thuyết: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai
Xem lại cách giải các phương trình đã chữa
Làm bài tập15,16 /SGK tr45, 42,44 trang 41 SBT
Tiết sau các em tiếp tục sử dụng công thức nghiệm của phương
trình bậc hai để giải các phương trình và tìm điều kiện để
phương trình có nghiệm.
Bài tập tham khảo:
Cho phương trình x
2
– 2(m-1)x + 2m – 4 = 0 (1), với m là
tham số
a/ Giải phương trình (1) khi m = 3
b/ Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm
phân biệt với mọi giá trị của m
c/ Công thức nghiệm của phương trình bậc hai
•
Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
a
b
x
2
2
∆−−
=
a
b
x
2
1
∆+−
=
,
Đối với phương trình ax
2
+ bx +c = 0 (a ≠ 0)
và biệt thức ∆ = b
2
- 4ac :
•
Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép
a
b
xx
2
21
−==
•
Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm.
d/Các bước giải một phương trình bậc hai:
Bước 1: Xác định các hệ số a, b, c.
Bước 2: Tính ∆ = b
2
- 4ac rồi so sánh kết quả với 0.
Bước 3: Kết luận số nghiệm của phương trình.
Bước 4: Tính nghiệm theo công thức nếu phương trình có
nghiệm.
