Hàm số lũy thùa

TRƯỜNG THPT THANH BÌNH
TỔ TOÁN – TIN
NĂM HỌC 2013 – 2014
Chương II.
HÀM SỐ LUỸ THỪA – HÀM SỐ MŨ
HÀM SỐ LÔGARIT
HÀM SỐ LUỸ THỪA
Thực hiện: Thầy Nguyễn Thanh Lam
Bài 2
I. KHÁI NIỆM
Ta đã biết các hàm số:
+ y = x; y = x
2
; y = x
3
; …
+ viết lại :
+ viết lại :
1
y
x
=
y x=
1
y x
−
=
1
2

y x=
Các hàm số trên đều có dạng:
,y x R
α
α
= ∈
Hãy viết dạng tổng quát
của các hàm số trên?
1. Định nghĩa:
Hàm số được gọi là hàm số lũy
thừa
,y x R
α
α
= ∈
1. Định nghĩa
I. KHÁI NIỆM
I. KHÁI NIỆM
1. Định nghĩa
2. Tập xđ
Ví dụ
Điều
kiện
Tập xác định

2. Tập xác định của hàm số:
,y x R
α
α
= ∈

y x
α
=
:
α
nguyeân döông
x R∀ ∈
D R=
:
0
α
α
=
nguyeân aâm
hoaëc
0x ≠
{ }
\ 0D R=
:
α
khoâng nguyeân
1
2
2
3
2
y x
y x
y x
−

=
=
=
0x >
(0; )D = + ∞
3
y x=
3
y x
−
=
Chú ý: Tập xác định của hàm số lũy thừa y = x
α
tùy thuộc
vào giá trị của α


Bài tập 1
Tính tập xác định của các hàm số sau:
( )
3
1
2
5
3
2 2 2 2
1) 1 2) (2 )
3) ( 1) 4) ( 2)
y x y x
y x y x x

−
−
= − = −
= − = − −
I. KHÁI NIỆM
1. Định nghĩa
2. Tập xđ
(Bài tập số 1, trang 60, sách giáo khoa giải tích 12)
Hãy chú ý và
Cùng thực hiện


Hướng dẫn và kết quả:
Câu
Hàm số Gợi ý
Kết quả
1
2
3
4
( )
1
3
1y x
−
= −
( )
3
2
5

2y x= −
( )
2
2
1y x
−
= −
( )
2
2
2y x x= − −

α
khoâng nguyeân

α
khoâng nguyeân

α
nguyeân aâm

α
khoâng nguyeân
( )
;1D = −∞
( )
2; 2D = −
{ }
\ 1;1D R= −
( ) ( )

; 1 2;D = −∞ − ∪ +∞
Chú ý: Tập xác định của hàm số lũy thừa y = x
α
tùy thuộc
vào giá trị của α
Em hãy nhắc lại cơng thức tính đạo
hàm của hàm số
y x=
Em hãy nhắc lại cơng thức tính đạo
hàm của hàm số y = x
n
với
*
n N∈
I. KHÁI NIỆM
1. Định nghĩa
2. Tập xđ
1 *
( ) ' . , ( , )
n n
x n x x R n N
−
= ∀ ∈ ∈
II. ĐẠO HÀM
II. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LŨY THỪA
1 1
1
2 2
1 1
( ) ' ( ) ' ( ) ' , ( 0)

2
2
x hay x x x x
x
−
= = = >
Hàm số luỹ thừa y = x
α
có đạo hàm với mọi
x > 0 và
1
( )'x x
α α
α
−
=
( )R
α
∈
Công thức tính đạo hàm của hàm số hợp đối với hàm
số luỹ thừa:
1. Đh hàm lũy thừa
2. Đh hàm hợp
( )
'
1
'u u u
α α
α
−

=
Bài tập 2
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
5 2
3 3
1
2 2
4
1) 2) (3 )
3) (2 7) 4) ( 5)
y x y x
y x y x x
π
= = −
= + = − +
I. KHÁI NIỆM
1. Định nghĩa
2. Tập xđ
II. ĐẠO HÀM
1. Đh hàm lũy thừa
2. Đh hàm hợp
Tương tự:
(Bài tập số 2, trang 61, sách giáo khoa giải tích 12)
Ghi nhận và khắc sâu
công thức tính đạo hàm
của hàm số luỹ thừa


Hướng dẫn và kết quả:
Câu

Hàm số Gợi ý
Đạo hàm
1
2
3
4
5
3
y x=
( )
2
3
3y x= −
( )
2
2 7y x
π
= +
( )
1
2
4
5y x x= − +
( )
'
1
.x x
α α
α
−

=
( )
'
1
. 'u u u
α α
α
−
=
( )
'
1
. 'u u u
α α
α
−
=
( )
'
1
. 'u u u
α α
α
−
=
2
3
5
'
3

y x=
( )
1
3
2
' 3
3
y x
−
= − −
( )
1
2
' 4 2 7y x x
π
π
−
= +
( )
3
2
4
2 1
' 5
4
x
y x x
−
−
= − +

I. KHÁI NIỆM
1. Định nghĩa
2. Tập xđ
II. ĐẠO HÀM
III. KHẢO SÁT HÀM SỐ LŨY THỪA
y x
α
=
1. Đh hàm lũy thừa
2. Đh hàm hợp
III. KHẢO SÁT
HS LŨY THỪA
1. Khảo sát hàm số
1. Khảo sát hµm sè lòy thõa trªn kho¶ng (0 ; +∞)
1.Tập khảo sát :
2. Sự biến thiên:
Tiệm cận: không có
1.Tập khảo sát :
2. Sự biến thiên:
Tiệm cận:
Trục Ox là tiệm cận ngang
Trục Oy là tiệm cận đứng
( )
0y x
α
α
= >
( )
0y x
α

α
= <
( )
0; +∞
( )
0;+∞
1
' . 0, 0y x x
α
α
−
= > ∀ >
1
' . 0, 0y x x
α
α
−
= < ∀ <
0
lim 0,
x
x
α
+
→
=
0
lim ,
x
x

α
+
→
= +∞
lim
x
x
α
→+∞
= +∞
lim 0
x
x
α
→+∞
=
3. Bảng biến thiên 3. Bảng biến thiên
x
'y
y
0
+∞
+∞
0
+
x
'y
y
0
+∞

−
0
+∞
I. KHÁI NIỆM
1. Định nghĩa
2. Tập xđ
II. ĐẠO HÀM
III. KHẢO SÁT HÀM SỐ LŨY THỪA
y x
α
=
1. Đh hàm lũy thừa
2. Đh hàm hợp
III. KHẢO SÁT
HS LŨY THỪA
1. Khảo sát hàm số
2. å thÞ cña hµm sè lòy thõa trªn kho¶ng (0 ; +Đ ∞)
O
x
y
1
1
α > 1
α = 1
0 < α < 1
α = 0
α < 0
®å thÞ cña hµm sè luü thõa y = x
α
lu«n ®i qua ®iÓm (1; 1)

2. Đồ thị hs lũy thừa
I. KHÁI NIỆM
1. Định nghĩa
2. Tập xđ
II. ĐẠO HÀM
III. KHẢO SÁT HÀM SỐ LŨY THỪA
y x
α
=
1. Đh hàm lũy thừa
2. Đh hàm hợp
III. KHẢO SÁT
HS LŨY THỪA
1. Khảo sát hàm số
3. Tính chất
3. TÝnh chÊt cña hµm sè lòy thõa
Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số lũy thừa y = x
α
trên
khoảng ( 0;+
∞
)
α > 0 α < 0
Đạo hàm
Chiều biến thiên
Tiệm cận
Đồ thị
y' = α.x
α -1
Hàm số luôn đồng biến

Không có
Tiệm cận ngang là trục ox
Tiệm cận đứng là trục oy
Đồ thị luôn đi qua điểm (1; 1)
y' = α.x
α -1
Hàm số luôn nghịch biến
2. Đồ thị hs lũy thừa
Bài tập 3
Hãy so sánh các cặp số sau:
( )
( ) ( ) ( )
3,4 3,4
0,6
7,5 7,5
3 9
1) 3 à 1 2) à
17 17
9
3) 0,3 à 4) 3,1 à 4, 2
10
v v
v v
π
π
−
−
   
 ÷  ÷
   

 
 ÷
 
I. KHÁI NIỆM
1. Định nghĩa
2. Tập xđ
II. ĐẠO HÀM
1. Đh hàm lũy thừa
2. Đh hàm hợp
III. KHẢO SÁT
HS LŨY THỪA
1. Đồ thị hs lũy thừa
2. Tính chất hs lt
Suy nghĩ và cùng thực hiện


Gợi ý : So sánh hai luỹ thừa
Nếu : a > 1
α β
>
a a
α β
>
α β
<
a a
α β
<
Nếu : 0 < a < 1
α β

>
a a
α β
<
α β
<
a a
α β
>


Hướng dẫn và kết quả:
Câu
Cặp số Gợi ý
Kết quả
1
2
3
4
( )
0,6
3 &1
3,4 3,4
3 9
&
17 17
   
 ÷  ÷
   
( )

9
0,3 &
10
π
π
−
−
 
 ÷
 
( ) ( )
7,5 7,5
3,1 & 4, 2
0,6 0>
3 9
17 17
<
3 9
10 10
<
3,4 4, 2<
( )
0,6
3 1>
3,4 3,4
3 9
17 17
   
<
 ÷  ÷

   
( )
9
0,3
10
π
π
−
−
 
>
 ÷
 
( ) ( )
7,5 7,5
3,1 4, 2<


Củng cố:

Tập xác định của hàm số luỹ thừa.
Tập xác định của hàm số luỹ thừa
tuỳ thuộc vào giá trị của

Công thức tính đạo hàm của hàm số luỹ thừa

Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số luỹ thừa
Nhận biết và phân biệt được các dạng đồ thị của hàm số luỹ
thừa
Một số nội dung cần nhớ và khắc sâu:

α
( )
'
1
.x x
α α
α
−
=
( )
'
1
. 'u u u
α α
α
−
=
y x
α
=
y x
α
=


Thầy chúc các em luôn vui,
khoẻ và cố gắng học tập
Tiết học kết thúc
Nguyễn Thanh Lam