Bài tâp phép biến hình-dạng bài toán chứng minh

BÀI TẬP ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH DẠNG TOÁN CHỨNG MINH
Bài tập 1:
Cho tam giác ABC. Vẽ bên ngoài tam giác các hình vuông ABDE,ACFG lần lượt
có tâm O,O’. Gọi I là trung điểm của BC.
Chứng minh rằng: Tam giác IOO’ là tam giác vuông cân.
Bài tập 2:
Cho tam giác ABC đều. Từ một điểm M thuộc miền trong của tam giác kẻ các
đoạn IQ, PK, NJ lần lượt song song với các cạnh AB,BC,CA: N,P thuộc cạnh AB, I,J
thuộc cạnh BC, Q,K thuộc cạnh AC.
Chứng minh rằng: NI = PJ và góc hợp bởi hai đường thẳng NI,PJ bằng 60
0
.
( Góc hợp bởi hai đường thẳng cắt nhau là góc nhỏ nhất trong bốn góc tạo thành).
Bài tập 3:
Cho tam giác ABC. Gọi A’, B’,C’ lần lượt là các điểm đối xứng của A qua B, của
B qua C, của C qua A. I, I’ lần lượt là trung điểm của BC, B’A’ và G là trọng tâm tam
giác ABC. Chứng minh rằng:
1
( ; )
2
( ')
G
V AC
−
=
II’
Bài 4. Cho tam giác ABC. Dựng về phía ngoài của tam giác ABC các tam giác vuông
cân tại A là BAE và CAF. Gọi I, M và J lần lượt là trung điểm của EB, BC và CF. Chứng
minh rằng: tam giác IMJ vuông cân.
Bài 5. Cho hình bình hành ABCD và điểm M sao cho C nằm trong tam giác MBD. Giả
sử

·
·
MBC MDC=
. Chứng minh rằng
·
·
AMD BMC=
Bài 6. Cho tam giác ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác một hình chữ nhật BCDE. Các
đường cao xuất phát từ D và E lần lượt vuông góc với AB và AC và cắt nhau tại I. Chứng
minh rằng AI và BC vuông góc nhau.
Bài 7. Cho tam giác ABC. Gọi A
1
, B
2
và C
3
lần lượt là trung điểm của BC, CA và AB. Gọi
O
1
, O
2
, O
3
lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và I
1
, I
2
, I
3
lần lượt là tâm đường tròn

nội tiếp của các tam giác AB
1
C
1
, BA
1
C
1
, CA
1
B
1
. Chứng minh rằng hai tam giác O
1
O
2
O
3
và I
1
I
2
I
3
bằng nhau.
Bài 8. Cho tam giác ABC. Gọi P và Q là hai điểm di động trên AB và AC sao cho
AP=CQ. Xác phép quay biến
AD
uuur
thành

CQ
uuur
.
Bài 9. Cho tam giác đều ABC. Từ một điểm M thuộc miền trong của tam giác này kẻ các
đường thẳng song song với các cạnh của tam giác ABC và cắt các cạnh tại P, L, N, Q, H,
K với PL//AB, P
∈
AC, L
∈
BC, QH//AC, Q
∈
AB, H
∈
BC, NK//BC, N
∈
AC, K
∈
AB.
a. Chứng minh rằng QL=KH
b. Gọi I=QL
∩
HK. Chứng minh rằng tứ giác BKIL nội tiếp đường tròn.
Bài 10. Cho tam giác giác ABC có các đỉnh được kí hiệu theo hướng âm, dựng bên ngoài
tam giác này hai hình vuông ABDE và BCKF. Gọi P là trung điểm cạnh AC, H là điểm
đối xứng của D qua B, M là trung điểm đoạn FH.
a. Xác định ảnh của hai vectơ
BA
uuur
và
BP

uuur
qua phép quay tâm B góc quay 90
0
.
Chứng minh rằng DF=2BP và DF vuông góc với BP.
Bài 11. Về phía ngoài hình bình hành ABCD dựng các hình vuông có cạnh lần lượt là
AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng bốn tâm của hình vuông đó là bốn đỉnh của một hình
vuông.
Bài 12. Cho tam giác ABC. Vẽ phía ngoài tam giác này hai tam giác vuông cân tại A là
ABE và ACF. Gọi M là trung điểm của BC và AM cắt EF tại H. Chứng minh rằng AH là
đường cao của tam giác AEF.
Bài 13. Cho tam giác ABC. Dựng bên ngoài tam giác này hai hình vuông ABDE và
ACMN. Kẻ trung tuyến AF của tam giác ABC. Chứng minh rằng:
a. AF
⊥
MN
b. NE=2AF
Bài 14. Cho hai tam giác vuông cân là OAB và OA’B’ có chung đỉnh O sao cho O nằm
trên đoạn AB’ và nằm ngoài đoạn thẳng A’B. Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm của tam
giác OAA’ và OBB’. Chứng minh rằng GOG’ là tam giác vuông cân.
Bài 15. Cho hai tam giác OAB và OA’B’ vuông cân tại O. Gọi G và G’ lần lượt là trọng
tâm của tam giác OAA’ và OBB’. Chứng minh rằng OG=OG’.
Bài 16. Trên các cạnh của tam giác ABC dựng các tam giác đều BAC’ và CAB’ nằm
ngoài của tam giác ABC. Chứng minh rằng:
a. AA’=BB’=CC’
b. Ba đường AA’, BB’, CC’ đồng quy tại O.
Bài 17. Cho ba điểm thẳng hang A, B, C với điểm B nằm giữa A và C. Dựng về một phía
của đường thẳng AC các tam giác đều ABE và BCF.
a. Chứng minh rằng AF=EC và góc giữa hai đường thẳng AF và EC là 60
0

.
b. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AE và FC. Chứng minh rằng tam giác
BMN đều.
Bài 18. Cho tam giác ABC. Dựng về phía ngoài tam giác các hình vuông BCIJ, ABEF,
ACMN và gọi O, P, Q lần lượt là tâm của chúng. Gọi D là trung điểm AB.
a. Chứng minh rằng DOP là tam giác vuông cân đỉnh D
b. Chứng minh rằng AO
⊥
PQ và AO=PQ
Bài 19. Cho tam giác ABC. Vẽ bên ngoài tam giác các hình vuông ABDK, BCEF, CAGH
lần lượt có tâm O
1
, O
2
, O
3
.
a. Chứng minh rằng BG=KC và BG
⊥
KC.
b. Chứng minh rằng IO
1
=IO
3
( I trung điểm BC )
c. Chứng minh rằng AE=BH và AE
⊥
BH.
Bài 20. Cho tam giác ABC đều. Trên các cạnh AB, BC, CA lần lượt lấy các điểm M, N, P
sao cho:

AM BN CP
MB NC PA
= =
. Gọi I, J, K lần lượt là giao điểm của AN và CM , AN và BP,
MC và BP. Chứng minh rằng IJK là tam giác đều.