Bài tâp phép biến hình-dạng bài toán chứng minh

SỰ TỒN TẠI CỦA PHÉP QUAY VÀ ỨNG DỤNG:
1. Mở rộng sự tồn tại của phép quay:
V/Đ: Cho hai điểm A,B phân biệt. Liệu có tồn tại phép quay nào biến A thành B
hay không? Phép quay đó có duy nhất hay không?
Mệnh đề 1. Cho hai đoạn thẳng AB và A’B’ sao cho AB = A’B’. Khi đó, tồn tại duy nhất
một phép quay R biết AB thành A’B’ tương ứng.
Tâm quay O thuộc những đường nào?
Mệnh đề 2. (Mệnh đề 1 bổ sung) Phép quay R duy nhất biến AB thành A’B’ như trên,
có góc quay là
( )
, ' 'AB A B
α
=
uuur uuuuur
và tâm O nằm trên các trung trực của AA’, BB’ đồng thời
nằm trên cung tròn chứa các điểm nhìn đoạn AA’, BB’ dưới một góc có hướng bằng
α
Trung trực AA’, BB’
O
∈

Cung tròn những điểm nhìn đoạn AA’, BB’ dưới góc
·
( )
, ' 'AB A B
α
=
V/đ: Cho hai đoạn thẳng AB, A’B’ song song nhau. Có tồn tại phép biến hình nào
biến AB thành A’B’ hay không?
Mệnh đề 3. Ta giữ các giả thiết như mệnh đề 1 và mệnh đề 2.
(1) giả sử các đường thẳng AB và A’B’ cắt nhau tại P, khi đó các tứ giác APOA’,

BPOB’ nội tiếp.
(2) Giả sử các đường thẳng AA’, BB’ cắt nhau tại Q, khi đó các tứ giác ABQO,
A’B’QO nội tiếp.
Có nhận xét gì về các tứ giác nội tiếp ở trên?
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC cân tại A . Trên cạnh AB và AC lần lượt lấy các điểm M,N
sao cho AM = CN. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN luôn đi qua một
điểm cố định khác A.
Ví dụ 2. Trên hai tia
Ox
và
Oy
của góc
xOy
cho hai điểm A, B. M, N là hai điểm thay
đổi trên
,Ox Oy
sao cho
AM AN=
(M khác phía O đối với A, còn N cùng phía O đối với
B). Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN luôn đi qua điểm cố định
khác O.
Ví dụ 3. Cho tứ giác ABCD có AB = CD và các điểm M, N trên AB, CD sao cho AM =
CN. Giả sử MN cắt AD và BC lần lượt tại P, Q. Chứng minh rằng tồn tại một điểm O có
cùng phương tích với tất cả bốn đường tròn ngoại tiếp các tam giác PAM, PAN, BMQ,
CNQ.