HỆ THỨC VI - ÉT

Chuyeân ñeà
Toå Toaùn
NGƯỜI THỰC HIỆN: BÙI NGUYÊN KHÁNH
ĐƠN VỊ:TRƯỜNG THCS TRẦN HƯNG ĐẠO

KIỂM TRA BÀI CŨ
HS1: Cho phương trình

2
2 5 3 0x x− + =
a/ Xác định hệ số a, b,c rồi tính a + b + c.
b/ Chứng tỏ là một nghiệm của phương trình.
1
1x =
HS2: Cho phương trình
2
3 7 4 0x x+ + =
1
1x = −
1
1x =
a/ Xác định hệ số a, b,c rồi tính a – b + c.
b/ Chứng tỏ là một nghiệm của phương trình.
KẾT QUẢ
HS1:
a/ Hệ số a = 2; b = – 5; c = 3 và a + b + c = 2 + (– 5) + 3 = 0
b/ Thay vào vế trái của phương trình
2
2 5 3 0x x− + =

Ta được : 2. - 5.1 + 3 = 2 – 5 + 3 = 0 bằng vế phải.
Vậy là nghiệm của phương trình
2
1
1
1x = −
1
1x =
2
2 5 3 0x x− + =
HS2:
a/ Hệ số a = 3; b = 7; c = 4 và a – b + c = 3 – 7 + 4 = 0
b/ Thay vào vế trái của phương trình
1
1x = −
2
3 7 4 0x x+ + =
Ta được : 3. + 7.(-1) + 4 = 3 – 7 + 4 = 0 bằng vế phải.
Vậy là nghiệm của phương trình
2
3 7 4 0x x+ + =
2
( 1)−

Tiết 57 - BÀI 6 : HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
1. HÖ thøc vi- Ðt
Nếu phương trình bậc hai ax
2
+ bx +c = 0
có nghiệm thì dù đó là hai nghiệm phân

biệt hay nghiệm kép ta đều có thể viết các
nghiệm đó dưới dạng:
a
b
x,
a
b
x
22
21
∆−−
=
∆+−
=
?1.H·y tÝnh : x
1
+x
2
=
(H/s1)
x
1
. x
2
= (H/s2)

1. HÖ thøc vi- Ðt
1 2
2 2
b b

x x
a a
− + ∆ − − ∆
+ = +
( )
2
b b
a
− + ∆ + − − ∆
=
1 2
.
2 2
b b
x x
a a
   
− + ∆ − − ∆
= ×
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
2 2 2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( 4 )
4 4 4
b b b b ac
a a a
− − ∆ − ∆ − −
= = =

Tiết 57 - BÀI 6: HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
2
2
b
a
−
=
b b
a a
=
−
= −
2 2
2
4
4
b b ac
a
− +
=
2
4
4
ac
a
=
c
a
=

1. HÖ thøc vi- Ðt
Phrăng-xoa Vi-ét là nhà Toán học- một
luật sư và là một nhà chính trị gia nổi
tiếng người Pháp (1540 - 1603). Ông đã
phát hiện ra mối liên hệ giữa các nghiệm
và các hệ số của phương trình bậc hai
và ngày nay nó được phát biểu thành
một định lí mang tên ông .
F.Viète
Tiết 57 - BÀI 6: HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
§Þnh lÝ vi- Ðt
NÕu x
1
, x
2

lµ hai nghiÖm cña ph ¬ng
tr×nh ax
2
+ bx + c= 0 (a≠0) th×







=
−=+
a

c
x.x
a
b
xx
21
21

1. Hệ thức vi ét
p dng:
Bit rng cỏc phng trỡnh sau cú
nghim, khụng gii phng trỡnh, hóy
tớnh tng v tớch ca chỳng:
a/ x
2
- 2011x + 2010 = 0
b/ -3x
2
+ 26x + 1 = 0
Giải
( )
1 2
2011
/ 2011
1
b
a
a x x

+ = = =

1 2
26 26
/
3
( 3)
b
b
a
x x+ = = =


1 2
1 1
.
( 3) 3
c
x x
a
= = =

áp dụng
Tit 57 BI 6 H THC VI-ẫT V NG DNG
Định lí vi- ét
Nếu x
1
, x
2

là hai nghiệm của ph ơng
trình ax

2
+ bx + c= 0 (a0) thì







=
=+
a
c
x.x
a
b
xx
21
21
1 2
2010
. 2010
1
x x
c
a
= = =

1.Hệ thức vi ét
Định lí Vi-ét:

Nếu x
1
, x
2

là hai nghiệm của ph ơng trình
ax
2
+ bx + c= 0 (a0) thì







=
=+
a
c
x.x
a
b
xx
21
21
áp dụng
Bài tập 25: Đối với mỗi ph ơng trình sau, kí
hiệu x
1

và x
2
là hai nghiệm (nếu có).
Không giải ph ơng trình, hãy điền vào
những chỗ trống ( ).
(Dãy trái làm câu a, b; Dãy phải làm câu c, d)
a/ 2x
2
- 17x+1= 0, = x
1
+x
2
=
x
1
.x
2
=
b/ 5x
2
- x- 35 = 0, = x
1
+x
2
=
x
1
.x
2
=

c/ 8x
2
- x+1=0, = x
1
+x
2
=
x
1
.x
2
=
d/ 25x
2
+ 10x+1= 0, = x
1
+x
2
=
x
1
.x
2
=
281
17
2
1
2
701

1
5
-7
-31
0
2
5

1
25
Khụng cú
Khụng cú
Tit 57 - BI 6: H THC VI-ẫT V NG DNG

Hoạt Động nhóm (3 )
Dãy trái ( Làm ?2 )
Cho ph ơng trình 2x
2
- 5x+3 = 0 .
a) Xác định các hệ số a,b,c rồi tính a+b+c.
b) Chứng tỏ x
1
= 1 là một nghiệm của ph
ơng trình.
c) Dùng định lý Vi- ét để tìm x
2.
.
Dãy phải (Làm ?3)
Cho ph ơng trình 3x
2

+7x+4=0.
a) Chỉ rõ các hệ số a,b,c của ph ơng
trình v tính a-b+c
b) Chứng tỏ x
1
= -1 là một nghiệm của
ph ơng trình.
c) Tìm nghiệm x
2.
1. Hệ thức vi ét
Định lí Vi-ét: Nếu x
1
, x
2

là hai nghiệm
của ph ơng trình ax
2
+ bx + c= 0(a0) thì







=
=+
a
c

x.x
a
b
xx
21
21
áp dụng
Tit 57 - BI 6: H THC VI-ẫT V NG DNG

1. Hệ thức vi ét
Định lí Vi-ét: Nếu x
1
, x
2

là hai nghiệm
của ph ơng trình ax
2
+ bx + c= 0 (a0)
thì :







=
=+
a

c
x.x
a
b
xx
21
21
áp dụng
Tổng quát 1 : Nếu ph ơng trình
ax
2
+bx+c= 0 (a 0 ) có a+b+c=0 thì ph
ơng trình có môt nghiệm x
1
=1, còn
nghiệm kia là
c
a
x
2
=
Hoạt Động nhóm
Dãy1 ( Làm ?2 )
Tr li:
Phng trỡnh 2x
2
-5x + 3 = 0
a/ a =2 ; b = - 5 ; c = 3
a+b+c =2+(-5)+3=0
b/ Thay x=1 vo v trỏi phng trỡnh ta

c: 2+(-5)+3=0
Vy x=1 l mt nghim ca phng
trỡnh
c/ Ta cú
Tit 57 - BI 6: H THC VI-ẫT V NG DNG
21 2
3
.
3
2 2
c
x x
a
x= = =

1. HÖ thøc vi Ðt
§Þnh lÝ Vi-Ðt: NÕu x
1
, x
2

lµ hai nghiÖm
cña ph ¬ng tr×nh ax
2
+ bx + c= 0 (a≠0) th×








=
−=+
a
c
x.x
a
b
xx
21
21
¸p dông
Tæng qu¸t 1 : NÕu ph ¬ng tr×nh
ax
2
+bx+c= 0 (a≠ 0 ) cã a+b+c=0 th× ph
¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x
1
=1, cßn
nghiÖm kia lµ
c
a
x
2
=
Tæng qu¸t 2: NÕu ph ¬ng tr×nh
ax
2
+bx+c=0 (a≠0 ) cã a-b+c = 0 th× ph

¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x
1
= -1, cßn
nghiÖm kia lµ
2
c
x
a
= −
Ho¹t §éng nhãm
Dãy 2 ( Làm ?3)
Phương trình 3x
2
+7x + 4= 0
a/ a =3 ; b = 7 ; c = 4
a-b+c =3 + (- 7) + 4 = 0
b/ Thay x = -1 vào vế trái phương trình
ta được: 3+(-7)+4=0
Vậy x= -1 là một nghiệm của phương
trình
c/ Ta có
Tiết 57 - BÀI 6: HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
1 2 2
4 4
3 3
.
c
x x
a
x= = ⇒ = −

1. Hệ thức vi ét
Định lí Vi-ét: Nếu x
1
, x
2

là hai nghiệm
của ph ơng trình ax
2
+ bx + c= 0(a0) thì







=
=+
a
c
x.x
a
b
xx
21
21
áp dụng
?4:Tính nhẩm nghiệm của ph ơng trình

a/ - 5x
2
+3x +2 =0;
b/ 2004x
2
+ 2005x+1=0
b/ 2004x
2
+2005x +1=0
có a=2004 ,b=2005 ,c=1
=>a-b+c=2004-2005+1=0
Vậy x
1
= -1,
a/ -5x
2
+3x+2=0 có a=-5, b=3, c=2
=>a+b+c= -5+3+2= 0.
Vậy x
1
=1,
2
2 2
5 5
c
x
a

= = =

Tổng quát 1 : Nếu ph ơng trình
ax
2
+bx+c= 0 (a 0 ) có a+b+c=0 thì ph
ơng trình có môt nghiệm x
1
=1, còn
nghiệm kia là
c
a
x
2
=
Tổng quát 2: Nếu ph ơng trình
ax
2
+bx+c=0 (a0 ) có a-b+c = 0 thì ph ơng
trình có một nghiệm x
1
= -1, còn nghiệm
kia là
x
2
=
c
a

Tit 57 - BI 6: H THC VI-ẫT V NG DNG
Lời giải
2

1
2004
c
x
a
= =

1.HÖ thøc vi Ðt
§Þnh lÝ Vi-Ðt: NÕu x
1
, x
2

lµ hai nghiÖm
cña ph ¬ng tr×nh ax
2
+ bx + c= 0(a≠0) th×







=
−=+
a
c
x.x
a

b
xx
21
21
¸p dông
Tæng qu¸t 1 :(SGK)
Tæng qu¸t 2:(SGK)
2. T×m hai sè biÕt tæng vµ tÝch
cña chóng :
Tiết 57 - BÀI 6: HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
Hệ thức Vi-ét cho ta biết cách
tính tổng và tích của hai nghiệm
phương trình bậc hai
Ngược lại nếu biết tổng của
hai số bằng S và tích của chúng
bằng P thì hai số đó là nghiệm
của phương trình nào?

1.Hệ thức vi ét
Định lí Vi-ét: Nếu x
1
, x
2

là hai nghiệm
của ph ơng trình ax
2
+ bx + c= 0(a0) thì

=
=+
a
c
x.x
a
b
xx
21
21
áp dụng
Tổng quát 1 :(SGK)
Tổng quát 2:(SGK)
2. Tìm hai số biết tổng và tích
của chúng :
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P
thì hai số đó là hai nghiệm của ph ơng
trình x
2
Sx + P = 0
Điều kiện để có hai số đó là S
2
-4P 0
+ Cho hai số có tổng l S và tích
bằng P. Gọi một số là x thì số kia là

x(S x) = P
Nếu = S
2
- 4P 0,
thì ph ơng trình (1) có nghiệm.Các nghiệm này
chính là hai số cần tìm.
áp dụng
?Tìm hai số, biết tổng của chúng bằng
34, tích của chúng bằng 120.
Giải :
Hai số cần tìm là nghiệm của ph ơng trình.
x
2_
34x +120 = 0
= 34
2
- 4.1.120 = 1156 - 480 = 676 >0
1 2
34 26 34 26
30, 4
2 2
x x
+
= = = =
Vậy hai số cần tìm là 30 và 4
S -x .
Theo giả thiết ta có ph ơng trình
<=> x
2
- Sx + P= 0 (1)

Tit 57 - BI 6: H THC VI-ẫT V NG DNG

676
=
= 26

1.Hệ thức vi ét
Định lí Vi-ét: Nếu x
1
, x
2

là hai nghiệm
của ph ơng trình ax
2
+ bx + c= 0(a0) thì







=
=+
a
c
x.x
a
b

xx
21
21
áp dụng
Tổng quát 1 :(SGK)
Tổng quát 2:(SGK)
2. Tìm hai số biết tổng và tích
của chúng :
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P
thì hai số đó là hai nghiệm của ph ơng
trình x
2
Sx + P = 0
Điều kiện để có hai số đó là S
2
-4P 0
áp dụng
?5. Tìm hai số biết tổng của chúng
bằng 1, tích của chúng bằng 5.
Giải
Hai số cần tìm là nghiệm của ph ơng trình
: x
2
- x + 5 = 0
= (-1)
2
4.1.5 = -19 < 0.
Ph ơng trình vô nghiệm.
Vậy không có hai số nào có tổng bằmg 1
và tích bằng 5.

? Tính nhẩm nghiệm của ph ơng trình
x
2
-7x+10 = 0.
Giải.

cú = 49 40 = 9>0
Vì: 2+5 = 7; 2.5 = 10,
nên x
1
= 2, x
2
= 5 là hai
nghiệm của ph ơng trình đã cho.
Tit 57 - BI 6: H THC VI-ẫT V NG DNG

1.Hệ thức vi ét
Định lí Vi-ét: Nếu x
1
, x
2

là hai nghiệm
của ph ơng trình ax
2
+ bx + c= 0(a0) thì

=
=+
a
c
x.x
a
b
xx
21
21
áp dụng
Tổng quát 1 :(SGK)
Tổng quát 2:(SGK)
2.Tìm hai số biết tổng và tích
của chúng :
Nếu hai số có tổng bằng S và tích
bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của
ph ơng trình x
2
Sx
+ P = 0
Điều kiện để có hai số đó là S
2
-4P 0
Bài 27/ SGK.Dùng hệ thức Vi-ét
để tính nhẩm các nghiệm của ph
ơng trình.

a/ x
2
7x+12= 0 (1)
b/ x
2
+7x+13=0 (2)
Dãy trái làm câu a .
Dãy phải làm câu b.
Giải
a/ =(7)
2
4.1.12 = 49 48 =1 > 0.
Vì : 3 + 4 = 7 và 3. 4 = 12
nên x
1
=3, x
2
= 4
là hai nghi m c a ph ơng trình
(1)
Tit 57 - BI 6: H THC VI-ẫT V NG DNG
b/ =(-7)
2
4.1.13 = 49 52 = -3 < 0.
V y: Ph ơng trình (2) vô nghiệm.

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Chọn câu trả lời đúng :
B
A

C
D
x
2
- 9x + 10 = 0
x
2
+ 9x + 10 = 0
x
2
- 9x - 10 = 0
x
2
+ 9x - 10 = 0
sai
ún
g
Đ
Sai
Phương trình nào sau đây có 2 nghiệm và
1
1x = −
2
10x =

Tớnh nhaồm nghieọm cuỷa caực phửụng trỡnh sau
. 4x
2
-

6x + 2 = 0 => x
1
= ; x
2
=
. 2x
2
+ 3x + 1 =0 => x
1
= ; x
2
=
x
2
- 5x + 6 = 0 => x
1
= .; x
2
=
1
2
3
1
- 1
3
2
1
2
1
2

1.HƯ thøc vi Ðt
§Þnh lÝ Vi-Ðt: NÕu x
1
, x
2

lµ hai nghiƯm
cđa ph ¬ng tr×nh ax
2
+ bx + c= 0(a≠0) th×







=
−=+
a
c
x.x
a
b
xx
21
21
¸p dơng

Tỉng qu¸t 1 :(SGK)
Tỉng qu¸t 2:(SGK)
2.T×m hai sè biÕt tỉng vµ tÝch
cđa chóng :
NÕu hai sè cã tỉng b»ng S vµ tÝch
b»ng P th× hai sè ®ã lµ hai nghiƯm cđa
ph ¬ng tr×nh x
2
- Sx +
P = 0
§iỊu kiƯn ®Ĩ cã hai sè ®ã lµ S
2
-4P ≥0
Tiết 57 - BÀI 6: HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
Hai số u và v là hai nghiệm của
phương trình: x
2
– 32x + 231 = 0
∆’ = 256 – 231 = 25 > 0
⇒ = 5
x
1
= 16 + 5 = 21
x
2
= 16 – 5 = 11
Vậy u = 21, v = 11 ho c u = 11,v = ặ
21
25
Bài tập: 28 (a) /SGK.

Tìm hai số u và v biết u +
v=32, u.v = 231.
Gi¶i

Tit 57 - BI 6: H THC VI-ẫT V NG DNG
Tổng quát 1 : Nếu ph ơng trình ax
2
+bx+c= 0 (a 0 ) có a+b+c=0 thì ph
ơng trình có môt nghiệm x
1
=1, còn nghiệm kia là
Tổng quát 2: Nếu ph ơng trình ax
2
+bx+c=0 (a0 ) có a-b+c = 0 thì ph
ơng trình có một nghiệm x
1
= -1, còn nghiệm kia là
1.Hệ thức vi ét
Định lí Vi-ét:
Nếu x
1
, x
2

là hai nghiệm của ph ơng trình ax
2
+ bx + c= 0 (a0) thì
2.Tìm hai số biết tổng và tích của chúng :
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của
ph ơng trình x

2
Sx + P = 0 .Điều kiện để có hai số đó là S
2
-4P 0
2
c
x
a
=
2
c
x
a
=







=
=+
a
c
x.x
a
b
xx
21

21

1.Hệ thức vi ét
Định lí Vi-ét:
Nếu x
1
, x
2

là hai nghiệm của ph ơng trình
ax
2
+ bx + c= 0 (a0) thì







=
=+
a
c
x.x
a
b
xx
21
21

áp dụng
Tổng quát 1 :(SGK)
Tổng quát 2:(SGK)
2.Tìm hai số biết tổng và tích
của chúng :
Nếu hai số có tổng bằng S và tích
bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của
ph ơng trình x
2
Sx
+ P = 0
Điều kiện để có hai số đó là S
2
-4P 0
Hng dn t hc:
a) Bi va hc:
-Hc thuc nh lớ Vi-ột v
cỏch tỡm hai s bit tng v tớch.
-Nm
vng cỏch nhm nghim: a+b+c=0;
a-b+c=0
-Trng hp tng v tớch
ca hai nghim ( S v P) l nhng s
nguyờn cú giỏ tr tuyt i khụng quỏ
ln.
Tit 57 - BI 6: H THC VI-ẫT V NG DNG
BTVN: 28bc /tr53, 29/tr54 (SGK)
B sung thờm: Bi tp 38,41 trang
43,44 SBT

Chuyeân ñeà
Toå Toaùn