khóa luận tốt nghiệp vành khớp và môđun khớp

1

PHẦN I. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Đại số là một trong các chuyên ngành nền tảng của Toán học, nói đến
Đại số thì không thể không nhắc tới “Vành và Môđun”, lí thuyết Vành và
Môđun là một mảng rất khó trong chuyên ngành Đại số.Trong số các vấn đề
của Vành và Môđun thì Vành khớp và Môđun khớp chiếm giữ một khối
lượng kiến thức khá quan trọng. Đã có rất nhiều nghiên cứu khoa học, bài báo
được đăng nói về vấn đề Vành khớp và Môđun khớp,các kết quả tìm ra đã
làm mới được vấn đề này, điều đó chứng tỏ nó rất được quan tâm.Với tầm
quan trọng và hấp dẫn của nó, cộng thêm sự tò mò muốn được tìm hiểu của
bản thân để tăng thêm sự hiểu biết chúng tôi đã chọn vấn đề: “Vành khớp và
Môđun khớp” làm đề tài cho luận văn của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Khi nghiên cứu đề tài này mục đích của chúng tôi là tìm hiểu thế nào là
Vành khớp và Môđun khớp, một số tính chất, định lý của Vành khớp, Môđun
khớp và các vấn đề liên quan khác.
3. Nội dung nghiên cứu
Nội dung gồm 2 chương.
Chương 1: Các khái niệm cơ sở.
Trong chương này chúng tôi nêu ra một số khái niệm mở đầu để làm tiền đề
cho việc hiểu sâu các khái niệm Vành khớp và Môđun khớp, các tính chất của
nó.
Chương 2: Vành khớp và Môđun khớp.
Chương này là phần quan trọng của đề tài, gồm định nghĩa, tính chất,
định lý và các vấn đề liên quan tới Vành khớp, Môđun khớp.
4. Phương pháp nghiên cứu
Dịch và hiểu các tài liệu tham khảo.

2

PHẦN II. NỘI DUNG
Chương 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ SỞ
Bài 1. Các khái niệm cơ sở
1.1. Các khái niệm cơ sở
1.1.1. Vành
R

Một vành R là một nhóm giao hoán


,
R

với một phép nhân kết hợp
(không nhất thiết phải giao hoán) từ
R R R
 
và phép nhân phân phối đối
với phép cộng.
1.1.2. Vành ma trận
( )
n
M R
.
m n
R

là các ma trận m dòng, n cột trên vành
R

. Phép nhân ma trận có
tính chất kết hợp, phân phối đối với phép cộng.
Các phần tử trong
m n
R

của vành
R
được gọi là vành ma trận
( )
n
M R
với
mỗi
n


.
Phần tử đơn vị trong
( )
n
M R
có thể được xác định theo phần tử đơn vị
trong
R
.
1.1.3. Tập hợp các hàng, cột của ma trận.
Với mỗi ma trận
m n
A R



ta có:


1 1
( ) : ,
n m
Row A x R x uA u R
 
   
là tập hợp các hàng của ma trận A.


1 1
( ) : ,
m n
Col A y R y Av v R
 
   
là tập hợp các cột của ma trận A.
Mối phần tử đơn vị trong
R
phải thỏa mãn
( )
Row A
chứa hàng của A và
tương tự
( )
Col A

chứa cột của A.
Tập hợp hữu hạn các ma trận là một tập hợp hữu hạn của
R
.
Chú ý: Tập hợp các hàng cột của A khép kín với phép cộng và phép nhân trái
(phải) ma trận (không khép kín trong
R
).
1.1.4. R-môđun.
Giả sử R là một vành. Một R-môđun phải là:

3

(1) Nhóm cộng aben M cùng với
(2) ánh xạ

( , )
M R M
m r mr
 


được gọi là phép nhân với vô hướng thỏa mãn các hệ thức:

, ,
, ,
, ,
( ) ( )
( )
( )

.1
mr r m rr
m m r mr mr
m r r mr mr
m m

  
  


với mọi
, ,
, ; ,
m m M r r R
 
.
Nếu
0 ,0
M R
tương ứng là các phần tử đơn vị của M và R thì từ định nghĩa ta
có:

0 0 ; 0 0
( ) ( ) ( )
M M R M
r m
mr m r m r
 
    

với mọi
;
m M r R
 
.
Tương tự, một R-môđun trái là một nhóm aben M cùng với phép nhân với vô
hướng
( ; )
rm r R m M
 
thỏa mãn:

, ,
, ,
, ,
( ) ( )
( )
( )
1.
r rm r r m
r m m rm rm
r r m rm r m
m m

  
  


với mọi
, ,

, ; ,
m m M r r R
 
.
Nếu vành R là giao hoán thì hai khái niệm môđun trái và phải trùng nhau khi
đó chúng ta gọi là R-môđun.
1.1.5. Phần bù trực giao.
R
là một vành ( kết hợp nhưng không nhất thiết phải giao hoán) thì có phần
tử 0, phần tử đơn vị 1; phần tử đối của
a R

là
a

.

4

+) Phần bù trực giao của
1
n
X R

 là
R
-môđun phải.


1

: . 0
n
X v R x v x X
 
    
.
+) Phần bù trực giao của
1
m
Y R

 là
R
-môđun trái


1
: . 0
m
Y u R u y y Y
 
    
.
Trong trường hợp n=m=1, thì các kí hiệu
" "

không được định nghĩa.
Nếu trong trường hợp này
R
là giao hoán thì hai khái niệm

X

và
Y


trùng nhau và
X

là đại số linh hoá tử
( )
Ann X
của
X R

.
Nếu
m n
A R


thì
ow( )
R A

là ker của toàn ánh:

1
( )
n

R Col A
v Av




Do đó
1
( )
ow( )
n
R
Col A
R A



và là
R
-môđun phải.
Tương tự
1
ow( )
( )
m
R
R A
Col A




và là
R
-môđun trái.
Cũng giống như các ker của tập hợp các hàng, cột ta lấy bao hàm thức
nghịch đảo của phần bù trực giao.
Ta có: ( ) ow( ) ; ( ) ( )
m n
Row A R A Col A Col A A R
  
    .




5

Chương 2. VÀNH KHỚP VÀ MÔĐUN KHỚP

Bài 1. Vành khớp
1.1. Định nghĩa
Định nghĩa 1.
Một vành
R
là khớp nếu 2 điều kiện sau thỏa mãn với mọi
m n
A R


:



1
E
: Nếu
1
\ ow( )
n
x R R A

 thì ta có
, 1
,
n
v v R

 với
, ,
( )
Av Av xv xv
  .


2
E
: Nếu
1
\ ( )
m
y R Col A



thì ta có
, 1
,
m
u u R


với
, ,
, ( )
uA u A uy u y
  .
Sau đây là một số định lí mà chúng ta có thể dùng để chứng minh một
vành là khớp.
Định lý 1.
Cho
R
là một vành ,
R
là một vành khớp nếu và chỉ nếu các điều kiện
sau thỏa mãn với mọi
m n
A R


:



1
F
: Nếu
p n
B R

 với
ker ow( ) er ow( )
R A k R B

thì
o ( ) ow( )
R w B R A

.


2
F
: Nếu
m q
B R


với
ker ( ) er ( )
Col A k Col B

thì
( ) ( )

Col B Col A

.
Định lý 2.
Cho
R
là một vành ,
R
là khớp nếu và chỉ nếu các điều kiện sau thỏa
mãn với mọi
m n
A R


:


1
G
: Phép nhúng trái:

 
( ) ( )
Row A Col A
x Av xv


 
là toàn ánh.



2
G
: Phép nhúng phải:

 
( ) ow( )
Col A R A
y uA uy


 
là toàn ánh.
6

1.2. Phần bù trực giao và vành khớp.
Định lý 3.
Cho
R
là một vành,
R
là khớp nếu và chỉ nếu
ow( ) o ( )
R A R w A


và
( ) ( )
Col A Col A


 với mọi
m n
A R


.
Chứng minh:
Giả sử


1
E
làm cho
m n
A R


và
ow( )
x R A

 khi đó:


, ,
, er ow( )
xv xv v v K R A
  
(vì
,

ow( )
v v R A

  ).
Do đó
ow( )
x R A

và như vậy
ow( ) ow( )
R A R A


Suy ra
ow( ) ow( )
R A R A

 vì ở trên ta đã có
ow( ) ow( )
R A R A


Bây giờ ta giả sử
ow( ) ow( )
R A R A

 với mọi
m n
A R



.
Và cho
p n
B R


với
er o ( ) er ow( )
K R w A K R B

.
Ta có:
( ) ow( )
Row A R B
 
 sao cho:
ow( ) ow( ) ow( ) ow( )
R B R B R A R A
 
  
(vì là bao hàm thức nghịch đảo của phần bù trực giao).
Do đó A thỏa mãn


1
F
.
Lí luận tương tự ta thấy từ



2
E
suy ra :
( ) ( )
Col A Col A

 và mọi
m n
A R


thỏa mãn


2
F
.


Nhớ lại rằng một vành được gọi là miền nguyên nếu nó giao hoán và nó
không có ước của 0.
Các định lý sau đây cho ta biết rằng tất cả các khớp của miền nguyên
phải là một trường, đặc biệt miền nguyên

không phải là một khớp.
Định lý 4.
Nếu
R
là một vành khớp giao hoán thì tất cả các phần tử khác 0 của

R

đều là ước của 0 hoặc là phần tử đơn vị.
Chứng minh.
7

Cho


\ 0
a R , nếu a là ước của 0 thì ta giả sử


0 \ 0
ab b R   khi
đó hàm
( )
aR


cho bởi
( )
av v
 
được xác định.
Do đó
1 ( ) ,
a ua u R
   
( theo



1
G
).


Nhớ lại rằng một vành chính là một miền nguyên mà trong đó tất cả các
Iđêan là Iđêan chính, tức là Iđêan được tạo bởi một phần tử.
Tất cả các trường,

và


K t
với K là một trường, là các Iđêan chính.
Khi đó


K t
biểu thị một vành các đa thức ẩn t với hệ số thuộc K. Trong các
định lý sau P sẽ là một Iđêan chính và
R
là chia được của P bởi một phần tử
cố định
r P

.
Định lý 5. Nếu
P

R
rP
 với P là một Iđêan chính và
r P

thì
( ) ( )
Row A Col A

với mọi
m n
A R


.
Chứng minh.
Thêm các hàng và cột của 0 vào A sao cho không thay đổi số chiều của
nó.
Vì vậy có thể giả sử A là một ma trận vuông. Do có ma trận nghịch đảo
M và N trong
R
và MAN chéo, vì vậy:
1 1 1
( ) ( )
T T T T T T T T
ANM M MANM M MAN M M N A ANM
      
   
Do MAN đối xứng và như vậy
T

ANM

đối xứng.
Đẳng cấu:
: o ( ) ( )
( )
T T
R w A Col A
uA uANM

 

với mọi
ow( )
uA R A

.
Mà
Im( ) ( )
Col A
 
(vì
T
ANM

đối xứng)
Nên ta có:

1
: ( ) ow( )

( )
T T
Col A R A
Av N MAv


 

với mọi
( )
Av Col A

.


8

Định lý 5 không hạn chế
r P

, do đó nó được áp dụng cho

và
n



với mọi
0,
n n

 

.
Hai kết quả sau đây cũng được áp dụng cho mọi
n


với
0
n

. Tuy
nhiên không áp dụng với

.
Định lý 6.
Cho
P
R
rP
 với P là một Iđêan chính và


\ 0
r P , nếu
m n
A R


thì

có
n n
B R


sao cho
( ) ( )
Row A Col B


và
( ) ow( )
Col B R A


.
Chứng minh.
Đầu tiên chúng ta thấy định lý đúng với mọi
1 1
A R


. Chúng ta sẽ chứng
minh rằng với mọi
A R

thì sẽ có
B R

sao cho

( )
Ann RA BR

và
( )
Ann BR RA

.
, ,
;
A a rP a P
  
và lấy
a P

sao cho:
,
Pa rP

là Iđêan. Đó là lấy a
là ước chung lớn nhất của
,
a
và r.
Khi đó r=ba với
b P

và
( )
RA R a rP

 

Nếu
0
a

hoặc
0
b

thì
0
r

vì vậy
0, 0
a b
 
.
Cho
B b rP
 
, ta có:
( )
BR Ann RA

(vì
ba rP

).

Nếu
( ) ;
c rP Ann RA ca dr dba d P c db
       

(vì P là miền nguyên và
0
a

).
Do đó
c rP BR
 
và như vậy
( )
Ann RA BR

.
Tương tự ta có:
( )
Ann BR RA

.
(Lưu ý rằng nếu
0
A rP
 
thì chúng ta có thể lấy
1
B rp

 
).
Điều này đúng với ma trận chéo
m n
A R


.
Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử A là ma trận vuông chéo.
Để cho
n n
B R


ta thay thế mỗi
a R

trong đường chéo của A bởi một
phần tử
b R

và sử dụng các điều trên ta có:
9

( ) ( )
Row A Col B

 và
( ) ow( )
Col B R A


 , bây giờ chúng ta sẽ chứng
minh định lý cho ma trận tùy ý
m n
A R


.
Do có ma trận khả nghịch
( )
n
M M R

và
( )
n
N M R

với MAN chéo.
Như vậy theo kết quả trên thì có ma trận
n n
B R


với:
( ) ( )
Row MAN Col B


và

( ) ow( )
Col B R MAN


.
Tính nghịch đảo của M và N cho thấy:
o ( ) ow( ) ( )
R w A R MA Col NB
 
  và
( ) ow( ) ow( )
Col NB R MA R A

  .


Từ trên ta có hệ quả sau.
Hệ quả.
Nếu
P
R
rP

với P là một Iđêan chính và


\ 0
r P thì
R
là khớp và

1
( )
ow( )
n
R
Row A
R A


 với mọi
m n
A R


.
Chứng minh.
Theo định lý 6 ta có
n n
B R


với
( ) ( )
Row A Col B

 và
( ) ow( )
Col B R A

 , do đó

o ( ) ( ) ow( )
R w A Col B R A
 
  .
Tương tự
( ) ( )
Col A Col A

 .
Suy ra
R
là khớp ( theo định lý 4)
Theo định lý 5 ta lại có:
ow( ) ( ) ow( )
R A Col B R B

 
, do đó:
1 1
ow( )
ow( )
( )
n n
R R
R A
R A
Col B
 



 
.









10
Bài 2. Môđun khớp
2.1. Định nghĩa
Một vành R được gọi là khớp trái nếu với mọi môđun con trái hữu hạn
sinh S của
n
R
và mọi đồng cấu
:
S R


có một đồng cấu
:
n
R R


sao

cho
( ) ( )
x x
 

với mọi
x S

.
Cho 2 môđun M,N ta nói N là M-khớp nếu mọi môđun con S hữu hạn
sinh của
n
M
, mọi đồng cấu
:
S N


có thể mở rộng tới đồng cấu
:
n
M N

 .
N gọi là khớp nếu N là N-khớp.
2.2. Một số tính chất của môđun khớp
(1) N là tựa nội xạ thì N-khớp.
Chứng minh.
Gọi S là môđun con hữu hạn sinh của
n

N
.
2
:
n
i S N
 là phép nhúng,
:
S N


là một đồng cấu.
Xét phép chiếu:

1 2
1
:
( , , , )
n
n
n i
N N
n n n n





Do ( )
n

S N S N

  
. Do vậy ta đặt
: ( )
i S N


là phép nhúng và
1
: ( )
i S S


là phép chiếu;
:
f N N

.
Giả sử N là môđun tựa nội xạ suy ra
1
fi i


.
Với mọi
1 2 3
1
; ( , , , , ) ( )
n

n i
s S s s s s s s s

   

.
Ta có
1
1 1 1 1
( ) ( ) ( )
n n n n
i i i i
fi s i s f s s f s s
  
     
    
     
     
   
.
Ta đặt:
11

1 2
1
:
( , , , ) ( )
n
n
n i

N N
n n n f n





Ta có:
2
1
( ) ( ) ( ) ( )
n
i
i s s f s s
  
  

.
Vậy N là khớp.










(2) N là M-khớp thì N là A-khớp với mọi A là môđun con của M

Chứng minh.
Xét với mọi tập con S hữu hạn sinh của
n
A
,
:
S N

 
,
vì N là M-khớp suy ra: :
n
M N

  sao cho
1 2
i i
 

,
(với
1 2
,
i i
là hai phép nhúng).
Đặt
2
|
:
n

n
A
h A N hi
 
   

Suy ra N là A-khớp.





S

n
A

n
M

N


2
i

1
i

h



( )
S


N
S
N
n
N

1
i



i





2
i

f

12

(3) Nếu N là M-khớp thì N là
M
A
khớp với A là môđun con của M.
Chứng minh.
Ta có N là M-khớp suy ra :
n
M N

  sao cho
2 1
i p
 

(với
2
i
là
phép nhúng).
2 1
( ) ( ) ( ) ( )
i s p s s s A
   
   
.
Xét hàm:


:
( )

n
n
M
N
A
m A m




 
với mọi
n
m M

Ta cần chứng minh


là ánh xạ:
, ,
n n n
m A m A m m A
     
.
Ta có
( ) ( )
n
m A m
 


  và
, ,
( ) ( )
n
m A m
 

  .
Do
, , ,
2 1
( ) ( )
n
m m A S i m m p m m
 
      


, ,
( ) ( ) (0 ) 0
n n
m m m m A A
  
 
       
 
.

, ,
( ) 0 ( ) ( )

m m m m
  
     .
Suy ra
,
( ) ( )
n n
m A m A
 
 
   .
Ta có
S
A
là tập con hữu hạn sinh của


n
M
A
.
Với mọi
S
s A
A
  ta có:
1
( ) ( ) ( ) ( )
i s A s A s s A
   

 
     
.
1
i
 

 
. Vậy N là
M
A
- khớp .









S
n
M



n
M
A

S
A

N

2
i

2
p

p




1
i



1
p

13
(4). N là khớp , A là hạng tử trực tiếp của N thì A là khớp.
Chứng minh.
Ta có N là khớp . Giả sử
1

:
n
i S A

và
2
:
n n
i A N

là hai phép nhúng
với S là tập con hữu hạn sinh của
n
A
và
n
N
:
n n
s A N
 
.
:
S A


là một đồng cấu. Gọi
:
h A N


là phép nhúng chính tắc.
Ta có:
:
h S N


là một đồng cấu. Do N là khớp nên tồn tại đồng cấu:
:
n
N N

 sao cho
2 1
i i h
 

.
Bây giờ ta xét đồng cấu
k fh

trong đó
:
f N A

là phép chiếu chính
tắc.
Ta có:
2 1 2 1 2 1
( ) ( )ki i f i i f i i fh
   

   
(vì
: ; :
h A N f N A
 
).
Suy ra A là N-khớp.
Do A là N-khớp nên
2 1
ki i


. Đặt
|
:
n
n
A
g k A A
 

1
gi

 
.
Vậy A là khớp.

(5). N là M-khớp, A là hạng tử trực tiếp của N thì A là M-khớp.
Chứng minh .
Cho
,
N A A
 
, S là môđun con hữu hạn sinh của
n
M
.
Đồng cấu :
n
p S M
 ,
1
:
i S A

là đồng cấu,
2
:
i A N

là phép nhúng.

S

n
A

n
N

0
A
N
1
i

2
i



h

f

g

k



14

Ta có
2 1:
i i S N

là đồng cấu. Do N là M-khớp suy ra tồn tại :
n
M N


sao cho
2 1
p i i


.Bây giờ ta xét đồng cấu
k f


trong đó
:
f N A

là phép
chiếu chính tắc. Ta có
2 1 1
kp f p fi i i

  
, suy ra A là M-khớp.

(6). Nếu N là R-khớp thì N là R-nội xạ.
Chứng minh.
Cho
a R

và
:
Ra N


là một đồng cấu, khi đó
Ra
là một môđun con
trái hữu hạn sinh của
n
R
.
Do N là R-khớp,

mở rộng tới đồng cấu
*

:
n
R N

 sao cho
*
2 1
i i
 
 .
Đặt
*
|
:
R
R N
 
  là một đồng cấu khi đó
1
i
 

.
Vậy N là R-nội xạ.





(7).

i
i I
N


là M-khớp khi và chỉ khi
i
N
là M-khớp với mọi
i I

.
Chứng minh.
S
n
M

A
N
1
i

2
i

p
k


f

Ra
R
n
R

N
1
i

2
i





*


15
Theo (5) ta có
i
i I
N


là M-khớp suy ra
i
N

là M-khớp với mọi
i I

.
Ngược lại
i
N
là M-khớp với mọi
i I

thì ta cho S là môđun con hữu hạn
sinh của
n
M
và
:
i
i I
S N




là một đồng cấu, :
n
p S M
 là một phép
nhúng.
Cho
i


là phép chiếu chính tắc của
i
i I
N


tới
i
N
với mọi i, thì
:
i
S N
 

là một đồng cấu.
i
N
là M-khớp suy ra tồn tại một đồng cấu :
n
i i
M N

 sao cho
i i
p
  

.

Đặt
:
n
i
i I
M N




xác định bởi
( ) ( )
i
i I
m m
 



là một đồng cấu.
Từ đó ta suy ra được
i
i I
N


là M-khớp.
(8).
i I i
N



là M-khớp khi và chỉ khi
i
N
là M-khớp với mọi
i I

.
Chứng minh.
Theo (5) ta có
i I i
N


là M-khớp suy ra
i
N
là M-khớp với mọi
i I

.
Ngược lại
i
N
là M-khớp với mọi
i I

thì ta cho S là môđun con hữu hạn
sinh của

n
M
và :
i I i
S N


 
là một đồng cấu.
Khi đó
( )
S

là một môđun con hữu hạn sinh của
i I i
N


. Gọi F là tập
con hữu hạn của I sao cho
( )
S

là môđun con của
i F i
N


.Từ
i F i

N


là tổng
trực tiếp của các M-khớp nên tồn tại một đồng cấu
*
:
n
i F i
M N


  .
Đặt
*
i
 

với :
i F i i I i
i N N
 
  
là phép chiếu chính tắc. Do đó
:
n
i I i
M N



  là một đồng cấu.
Suy ra
i I i
N


là M-khớp.



16
2.3. Vành nhóm và nhóm hữu hạn địa phương
2.3.1. Vành nhóm
Vành nhóm của một nhóm G trên R là tập hợp


R G
của tất cả tích lũy
tổng
h
h G
h
 



có hệ số và có giá trị hữu hạn ( tập hợp tất cả
h G

sao cho

0
h


).
Tổng
, ,,
 

được xác định bởi
, ,, , ,,
h h
h
   
 
  
 
và tích
, ,,
 

được xác định bởi
1
, ,, , ,,
gh
g
h
g G
   



 

 

.
e
R


được gọi là số hạng không đổi của

nếu e là phần tử đơn vị của
G.
2.3.2. Nhóm hữu hạn địa phương
Nhóm G được gọi là hữu hạn địa phương nếu mỗi nhóm con hữu hạn
sinh của nó đều là nhóm hữu hạn.
2.3.3. Một số định lý
Câu hỏi: Có tồn tại hay không một vành khớp nhưng không tựa nội xạ?
Định lý 1.
Cho F là một trường và G là một nhóm, vành nhóm


F G
là tựa nội xạ
nếu và chỉ nếu G hữu hạn.
Ngoài ra


R G

là khớp nếu và chỉ nếu R khớp và G hữu hạn địa phương.
Vậy một vành có thể khớp nhưng không tựa nội xạ.
Định lý 2.
Giả sử mọi tập con hữu hạn sinh của F trong R là một vành S khớp trái
nhúng trong F và là vành con của R thì R là khớp trái.
Chứng minh.
Cho M là R-môđun trái sinh bởi hệ vectơ
1 2
, , ,
k
v v v
trong
1
n
R

và một
hàm tuyến tính
:
M R


, theo giả thiết của định lý R có một vành con S
khớp trái, với mọi i, tất cả các tọa độ của
i
v
và phần tử
( )
i
v


. Từ S là khớp
17
trái , sự hạn chế của

trên S-môđun
1

k
Sv Sv
 
mở rộng tới một hàm
tuyến tính
1
:
n
S S



.
Kí hiệu phần tử
(0, ,1, 0)

bởi
j

và đặt
1
( , , )

n
  

.
Ta có ( ) .
n
x x x S
 
  
và
( ) ( )
i i
v v i
 
 
.
Bây giờ ta giả sử
( )
y

xác định bởi .
n
y y R

  , ta có
( ) ( ) ( )
i i i
v v v i
  
  

Từ đó

là tuyến tính trái suy ra
( ) ( )
M
    
  
, vậy R khớp trái.
Định lý 3.
Nếu R là vành khớp trái và G là nhóm hữu hạn thì


R G
là khớp trái.
Chứng minh.
B1. Kí hiệu


R G
  , xét S là R-môđun trái sinh bởi một tập hợp hữu
hạn tổng

của các vectơ trong
n

và cho
:
S


 
là tuyến tính.
B2. Kí hiệu
1
:
S R


biến một vectơ
x S

thành một phần tử không
đổi trong
( )
x

. Từ đó

là

-tuyến tính.
B3. Suy ra


1
1
( ) ( )
h
x h x h G
 


  
và
1
1
( ) ( )
h G
x h x h x S
 


  

.
B4. Chú ý rằng hệ vectơ
gv
sinh S từ R-môđun và
n

đẳng cấu với
G n
R

từ R-môđun. Do R là khớp trái thì có
1
:
n
R

 

sao cho
1
( ) ( )
x x x S
 
  
.
B5. :
n

  
xác định bởi
1
1
( ) ( )
h G
y h y h
 




.
B6. Từ đó ta có với mọi
y G

:
1 1
1 1
( ) ( ) ( ) ( )

h G G
gy h gy h y g g y

     
 
 
  
 
.
18
B7. Do B4,
1

là R-tuyến tính trái, như vậy ta có

do B5, từ B6 dẫn tới

là R-tuyến tính trái. B4 và B5 suy ra




1
1
h G
x h x h x S
 


  


và ta có




x x x S
 
  
do B3, vậy ta có điều phải chứng minh.
Định lý 4.
Cho R là vành khớp trái, G là nhóm hữu hạn địa phương thì


R G
là khớp
trái.
Chứng minh.
Với mỗi tập con hữu hạn


S R G
 , J là tập hợp tất cả giá trị của các
phần tử trong S và là tập hợp hữu hạn.
Do giả thiết của định lý, J sinh bởi một nhóm con hữu hạn
0
G
trong G,
do đó vành con



0
R G
của


R G
là khớp trái do định lý 3.
Đưa


0
R G
nhúng trong S, thì theo định lý 2 ta có điều phải chứng minh.










19
PHẦN III. KẾT LUẬN
1. Kết luận
Chúng tôi đã giải quyết vấn đề đặt ra là : “Vành khớp và Môđun
khớp”.
Qua đề tài này chúng tôi đã tích lũy được rất nhiều kinh nghiệm, đặc biệt

là cách tiếp cận và giải quyết một vấn đề, cụ thể là qua hai bài báo về vành
khớp chúng tôi đã có được định nghĩa và một số tính chất của vành khớp, đặc
biệt tính mới của đề tài được thể hiện ở phần môđun khớp, đó là các tính chất
của môđun khớp, từ tính chất (1) đến tính chất (8), ngoài ra chúng tôi cũng đã
đưa thêm một số khái niệm có liên quan tới Vành khớp và Môđun khớp như
vành nhóm, nhóm hữu hạn địa phương và một số định lí ở mục 2.3 ,và đề tài
này có thể là tài liệu hữu ích cho những ai quan tâm tới vấn đề này.
2. Kiến nghị
Do thời gian nghiên cứu khá ngắn và trình độ bản thân còn hạn chế nên
khóa luận khó tránh khỏi những sai sót. Rất mong nhận được sự quan tâm và
ý kiến đóng góp của quý thầy cô giáo, các bạn yêu thích môn toán đề đề tài
ngày càng hoàn thiện hữu ích hơn.








20
TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1]. D.Wilding, M. Johnson, M.Kambites, Exact rings and semirings,
Journal of Algebra 388 (2013) 324-337.
[2]. Y.Shitov, Group rings that the exact, Journal of Algebra 403 (2014)
179-184.

21
LỜI CẢM ƠN

Trong thời gian làm khóa luận tôi đã nhận được sự hướng dẫn tận tình
chu đáo của giảng viên ThS. Nguyễn Thị Thanh Tâm.
Tôi xin được bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới giáo viên hướng dẫn, người
đã định hướng nghiên cứu và chỉ dạy giúp đỡ tôi trong suốt thời gian thực
hiện đề tài nghiên cứu này.
Đồng thời qua đây tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy,
cô giáo trong khoa sư phạm Tự nhiên, đặc biệt là các thầy,cô giáo trong tổ
Toán đã tận tình giảng dạy, trang bị cho tôi những kiến thức cần thiết trong
quá trình học tập.
Xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã cổ vũ, động viên tôi trong suốt quá trình
học tập và làm khóa luận.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song khóa luận không tránh khỏi những hạn
chế, thiếu sót. Tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp của thầy, cô giáo và
các bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn.
Xin trân trọng cảm ơn !
Hà Tĩnh, ngày …tháng 5 năm 2014
Sinh viên

Trần Thị Anh

22

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Những kết quả trong
khóa luận chưa được ai công bố dưới bất cứ hình thức nào.
Tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm trước nhà trường về sự cam đoan này.

Hà Tĩnh, ngày …tháng 5 năm 2014
Sinh viên

Trần Thị Anh

23