Các phương pháp xử lý tín hiệu dùng bộ lọc, phương pháp Fourier Transform, STFT( Short Time Fourier Transform)

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP TRƯỜNG ĐHBK TP.HCM-năm2007




26
2.4. CÁC PHƯƠNG PHÁP XỬ LÝ TÍN HIỆU TRƯỚC ĐÂY:
Xử lý tín hiệu :
- Trong miền thời gian: dùng bộ lọc.
- Trong miền tần số: phương pháp Fourier Transform.
- Trong miền thời gian và tần số: STFT( Short Time Fourier Transform).
2.4.1. Phương pháp Fourier:
2.4.1.1. Biến đổi Fourier:
Cho một hàm f(t) khả tích tuyệt đối, biến đổi Fourier của nó được định nghĩa:

() () ()
tfedtetfF
titj
,
ωω
ω ==
∫
∞
∞−
−
(2.14)
Biến đổi Fourier ngược là:

() ()
∫

∞
∞−
= ωω
π
ω
deFtf
tj
2
1
(2.15)
Giả sử rằng biến đổi Fourier và Fourier ngược của nó tồn tại, ta kí hiệu :
() ( )
ωFtf = là một cặp biến đổi Fourier.
ü Biến đổi liên tục:

>=<⋅=
⋅=
∫
∫
∞
∞−
−
∞
∞−
tjtj
tj
etxdetxjX
dejXtx
ωω
ω

ωω
ωω
π
),()()(
)(
2
1
)(
(2.16)
ü Rời rạc:


nj
n
j
njj
enxeX
eeXnx
ωω
π
ωω
π
−
∞
−∞=
∑
∫
⋅=
⋅=
][)(

)(
2
1
][
2
(2.17)
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
www.bme.vn

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP TRƯỜNG ĐHBK TP.HCM-năm2007




27
2.4.1.2. Tính chất:
Dịch :Nếu trong miền thời gian nếu f(t) bị dịch đi một đoạn là t
0
thì trong miền tần
số biến đổi Fourier của nó được nhân với một hệ số pha:
( )
0
0
tj
ettf
ω−
↔−
Ngược lại, nếu trong miền tần số sẽ nhân một hệ số pha trong miền thời gian:
( )
0

)(
0
ωω
ω
−↔ Ftfe
tj

Tỷ lệ :Một tỷ lệ trong miền thời gian sẽ sinh ra một tỷ lệ nghịch trong miền tần số:
( )






↔
a
F
a
atf
ω1

Moment : Gọi mn là moment thứ n của F(t):
()
∫
∞
∞−
= dttftm
n
n

, n = 1,2 …
2.4.1.3. Chuỗi Fourier:
Cho hàm tuần hoàn F(t) với chu kỳ T:
F(t+T) = F(t)
Nó có thể được biểu diễn là một tổ hợp tuyến tính của các số mũ phức với tần số
nω
0
, trong đó ω
0
= 2π/T. Khai triển chuỗi Fourier của F(t)

() ()
∑
∞
−∞=
=
k
tjk
ekFtf
0
ω
(2.18)
với
() ()
∫
−
−
=
2
2

0
1
T
T
tjk
dtetf
T
kF
ω

• Phân tích liên tục:
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP TRƯỜNG ĐHBK TP.HCM-năm2007




28

><=
⋅=⋅=
==
∫∫
∑∑
−
−
∞
−∞=
∞

−∞=
tjk
T
t
T
jk
T
tjk
k
k
t
T
jk
k
k
tjk
k
etx
T
dtetx
T
dtetx
T
a
eaeatx
0
0
0
),(
1

)(
1
)(
1
)(
2
2
ω
π
ω
π
ω
(2.19)
• Phân tích rời rạc:

><=
⋅=⋅=
==
−
>=<
−
>=<
−
>=<>=<
∑∑
∑∑
njk
Nn
n
N

jk
Nn
njk
k
Nk
n
N
jk
k
Nk
njk
k
enx
N
enx
N
enx
N
a
eaeanx
0
0
0
],[
1
][
1
][
1
][

2
2
ω
π
ω
π
ω
(2.20)
Nhược điểm :
Khi biến đổi sang miền tần số thông tin thời gian bị mất. Nếu thuộc tính tín hiệu
không thay đổi nhiều theo thời gian thì nhược điểm là không đáng kể. Tuy nhiều tín hiệu
có chứa các thông số động: trôi, nghiêng, biến đổi đột ngột, khởi đầu và kết thúc của sự
kiện thì Fourier không phát hiện được.
2.4.2. Phương pháp STFT:
Để đạt được một biến đổi Fourier cục bộ, chúng ta có thể định nghĩa một biến đổi
Fourier cửa sổ. Tín hiệu đầu vào được nhân với một hàm cửa sổ
W
(t - τ) và sau đó lấy
biến đổi Fourier của nó. Kết quả là một biến đổi hai chỉ số STFTf(ω,τ) được cho bởi:

[ ]
∫
−
⋅−⋅=
t
tj
x
dtetWtxSTFT
ωω
τωτ )()(),( (2.21)

)(τ−tW : hàm cửa sổ dùng để phân tích (tập trung tại
τ=t
)

tj
e
ω−
: hàm cơ bản (trọng số của FT)
Khi đó ta thể biểu diễn dưới dạng tích trong:

( ) ( ) ( )
tftgSTFT
f τω
τω
,
, = với
( ) ( )
tj
ettg
ω
τω
τω −=
,
(2.22)
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP TRƯỜNG ĐHBK TP.HCM-năm2007

29
Mỗi hàm thành phần trong khai triển có cùng độ phân giải thời gian và tần số, một
cách đơn giản là một sự định vị khác nhau ở miền thời gian – tần số.
f(t) có thể được khôi phục lại trong L
2
(R) bằng tích phân kép

() ( ) ()
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
= τωτω
π
τω
ddtgSTFTtf
f ,
,
2
1
(2.23)

STFT cũng có tính chất bảo toàn năng lượng:

() ( )
∫∫
∞
∞−

∞
∞−
= τωτω
π
ddSTFTtf
f
2
2
,
2
1
(2.24)
Cung cấp phân bố năng lượng cả t1in hiệu trong mặt phẳng thời gian tần số

2
2
0
2
)()(
)()(
),(),(
∫
−∗
⋅−⋅=
==
t
ftj
xxS
dtetttx
ftSTFTftSPECP

π
γγ
γ
(2.25)
Phân tích rời rạc :
dtenTttxkFnTSTFT
kFtj
t
x
πγ
γ
2*)(
)()(),(
−
∫
−= (2.26)

∑∑
−⋅=
nk
kFtj
x
enTtgkFnTSTFTtx
πγ 2)(
)(),()(
(2.27)
Cửa sổ hẹp, phân giải thời gian tốt
Cửa sổ rộng phân giải tần số tốt
Nhược điểm:
Độ chính xác giới hạn phụ thuộc vào kích thước hàm cửa sổ. Chọn kích thước cụ

thể cho cửa sổ thời gian, bằng nhau cho mọi tần số. Đối với một số tín hiệu cần sự mềm
dẻo hơn thì STFT không đáp ứng được


PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP TRƯỜNG ĐHBK TP.HCM-năm2007




30

2.5. BIẾN ĐỔI WAVELET:
2.5.1. Phân tích đa phân giải:
Phân tích tín hiệu ra các thành phần dựa trên dãy xấp xỉ. Một tín hiệu sẽ được xấp
xỉ thô cộng với các chi tiết. Trong đó không gian con thô và không gian con chi tiết là
trực giao với nhau. Nói cách khác, tín hiệu chi tiết là hiệu của phiên bản thô và phiên bản
tinh của tín hiệu . Bằng cách áp dụng một cách đệ quy các dãy xấp xỉ, chúng ta sẽ thấy
không gian các tín hiệu đầu vào L
2
(R) có thể được sinh ra bởi các không gian của dãy xấp
xỉ tại tất cả các độ phân giải. Khi độ phân giải chi tiết tiến đến vô cùng thì sai số xấp xỉ
tiến đến 0.
Độ phân giải được đưa ra bởi Mallat và Meyer, nó không chỉ là cơ sở cho Wavelet
mà còn là công cụ toán học rất mạnh để liên kết Wavelet và phân tích băng con tín hiệu.
Định nghĩa : Một phân tích đa phân tích đa phân giải bao gồm một chuỗi của khối các
không gian con đóng.
......
2112 −−

⊂⊂⊂⊂ VVVVV
o

Sao cho :
- Đầy đủ hợp :
U
−−
∈
=
Zm
m
RLV )(
2

- Đầy đủ giao :
{ }
I
Zm
m
V
∈
= 0

- Bất biến tỷ lệ :
o
m
m
VtfVtf ∈⇔∈ )2()(
- Bất biến dịch : ZnVntfVtf
oo

∈∀∈−⇒∈ ,)()(
- Tồn tại
o
V∈
∞
ϕ sao cho
{ }
znnt ∈− )(ϕ là một cơ sở trực chuẩn Vo.
2.5.2. Chuỗi wavelet:
Một hàm f ∈ L
2
(R) có thể được biểu diễn:
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com