Bài giảng Hình học 11 chương 3 bài 5 Khoảng cách

BÀI 5: KHOẢNG CÁCH
CHƯƠNG III : VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
BÀI GIẢNG HÌNH HỌC 11
2
Kiểm tra bài cũ
Câu 1: hãy nêu cách xác định
hình chiếu của một điểm lên
một đường thẳng ?
a
O
H
Câu 2: Hãy nêu cách xác
định hình chiếu của một
điểm lên một mặt phẳng?
α
O
H
β
∆
α
3
Tiết 38. § 5 KHOẢNG CÁCH
I. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một
mặt phẳng.
II. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song,
giữa hai mặt phẳng song song.
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
2.Khoảng cách từ một điểm đến một mặt thẳng.
1. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song.
2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.

4
I. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng ,đến một mặt
phẳng.
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng .
O
α
a H
Cho điểm O và đường
thẳng a. trong mặt phẳng (O,a) gọi
H là hình chiếu vuông góc của O
trên a. Khi đó khoảng cách giữa
hai điểm O và H được gọi là
khoảng cách từ điểm O đến đường
thẳng a, ký hiệu d(O,a).
Hình 3.38
∆.1) Chứng minh rằng khoảng cách từ
điểm O đến đường thẳng a là bé nhất so
với các khoảng cách từ điểm O tới một
điểm bất kì của đường thẳng a?
5
Chứng minh:
Trên đường thẳng a ta lấy điểm H’ khác điểm H. Khi đó
tam giác OHH’ là tam giác vuông ở H, nên theo định lý pitago
ta có OH’
2
=OH
2
+HH’
2
.Từ đó ta có OH ≤OH’ suy ra OH là bé

nhất.
O
a
α
H
H’
Hình 3.38
Khoảng cách từ một điểm
đến một đường thẳng bằng
0 khi nào ?
+ Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng bằng
không khi điểm đó nằm trên đường thẳng a, tức là khi điểm O
trùng điểm H.Hay d(O,a)=0⇔O∈a.
GT:Cho điểm O và đường thẳng a.H∈a,OH⊥a,H’∈a.
KL:OH≤OH’
6
2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
α
O
H
Cho điểm O và mặt
phẳng (α).Gọi H là hình chiếu
vuông góc của O lên mặt phẳng
(α). Khi đó khoảng cách giữa
hai điểm O và H được gọi là
khoảng cách từ điểm O đến mặt
phẳng (α) và được kí hiệu là
d(O,(α)).
Hãy xác định hình chiếu của O
trên mặt phẳng (α) ?

∆.2) Chứng minh rằng khoảng cách từ điểm O đến
mặt phẳng (α) là bé nhất so với các khoảng cách từ O
tới một điểm bất kì của mặt phẳng (α)?
7
Chứng minh:
H
α
O
M
Trên mặt phẳng (α) ta lấy
điểm M xét tam giác vuông
OHM .Ta có OM
2
=OH
2
+HM
2
từ
biểu thức ta suy ra được
OH≤OM.Vậy với mọi điểm M∈(α)
mà khác điểm H với cách chứng
minh tương tự ta luôn có OH ≤OM
suy ra OH là bé nhất hay d(O,(α)) là
bé nhất.
Hình 3.39
Khoảng cách từ O đến (α) bằng không khi O∈(α) hay
d(O,(α))=0⇔O∈(α).
Khoảng cách từ điểm O đến
mặt phẳng (α) bằng không
khi nào?

GT:Cho điểm O và mặt phẳng (α),H∈(α),OH ⊥ (α), M∈(α).
KL:OH≤OM
8
II. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song,
giữa hai mặt phẳng song song.
1. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song.
a. Định nghĩa.
Cho đường thẳng a
song song với mặt phẳng
(α).Khoảng cách giữa đường
thẳng a và mặt phẳng (α) là
khoảng cách từ một điểm bất kì
của a đến mặt phẳng (α), kí
hiệu là d(a,(α)).
A B
A’
B’
α
a
Hình 3.40
9
A’
B’
α
A
B
GT: a // (α),A∈(α),
B∈(α).AA’⊥(α),BB’⊥(α).
KL: AA’=BB’
Chứng minh:

Ta có mặt phẳng
(ABB’A’)∩(α)=A’B’.Suy ra
AB//A’B’⇒ABB’A’ là hình bình
hành, mà AA’⊥A’B’.Nên ABB’A’
là hình chữ nhật.Suy ra AA’=BB’.
a
Hình 3.40
Vậy liệu AA’ có
bằng BB’ hay
không?
10
A’
α
A
a
M
GT: a//(α),A∈a,AA’⊥(α),M∈(α), d(a,
(α))=AA’.
KL: AA’≤AM
Chứng minh:
Lấy một điểm M bất kì trên mặt
phẳng (α).Khi đó ta có tam giác
AA’M là tam giác vuông ở
A’.Nên ta có:
AM
2
=AA’
2
+A’M
2

,từ biểu thức ta
suy ra được AM ≥AA’.Vậy
khoảng cách giữa đường thẳng a
và mặt phẳng (α) là bé nhất.
Hình 3.40
Khoảng cách từ a đến mặt phẳng (α) bằng không khi
a∈(α),hay d(a,(α))= 0 ⇔ a∈(α).
∆.3) Chứng minh rằng khoảng
cách giữa đường thẳng a và mặt
phẳng (α) là bé nhất so với
khoảng cách từ một điểm bất kì
thuộc a tới một điểm bất kì
thuộc mặt phẳng (α)?
Vậy khoảng cách giữa
đường thẳng a và mặt phẳng
(α) bằng không khi nào?
11
2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
M
M’
β
α
a)Định nghĩa.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một
điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
Ta kí hiệu khoảng cách
giữa hai mặt phẳng (α) và
(β) song song với nhau là
d((α),(β)). Khi đó d((α),
(β))=d(M,(β)) với M∈α,

và d((α),(β))=d(M’,(α))
với M’∈(β).
Hình 3.41
12
M
M’
β
α
N
∆.4) Chứng minh rằng khoảng cách
giữa hai mặt phẳng song song (α) và
(β) là nhỏ nhất trong các khoảng cách
từ một điểm bất kì của mặt phẳng này
tới một điểm bất kì của mặt phẳng
kia?
GT: Cho (α)//(β),M∈(β),M’∈(α),N∈(α).
KL:MM’≤MN.
Chứng minh:
Lấy điêm N thuộc mặt
phẳng (α).Khi đó xét tam
giác MM’N là tam giác
vuông tai M’.Nên ta có
MN
2
=MM’
2
+M’N
2
.Ta suy ra
được MN ≥MM’. Vậy MM’

là bé nhất .
Hình 3.41
13
Bài tập. Chọn phương án đúng trong các bài toán sau.
1.Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’
có cạnh là a.Khoảng cách từ điểm A đến
BD là:
(a) (b)
(C) (c) 2a
A
B
D
C
A’
B’
C’
D’
2a
2
2
a
a2
2. Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’ có
cạnh AA’=a,AB=a,AD=b.Khoảng cách
từ điểm A’ đến B’D’ là.
(a) (c)
(b) (d)
C
B
A

D
D’
B’
C’
A’
22
ba
ab
+
22
ba
ab
+
ab
ba
22
+
2
3
22
ba +
14
Sai
15
Đúng
16
Bài tập.
Cho hình chóp SABCD đáy
ABCD là hình vuông tâm O.
SA⊥(ABCD).Em hãy chọn đáp

án sai trong các đáp án sau.
(a) Khoảng cách từ S đến
(ABCD) là SO.
(b) Khoảng cách từ D đến (SAB)
là AD.
(c) Khoảng cách giữa DC và
(SAB) là AD.
S
A
C
B
D
O
17
Sai
18
Đúng
19
Tóm tắt bài học
Qua bài học các em cần nắm được.
+ Khoảng cách tù một điểm đến một đường thẳng.
+ Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
+ Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song
song.
+ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
Bài tập về nhà: 1; 2; 3; 4; 5. Trang 119 SGK
20