Phát triển năng lực trí tuệ của học sinh trong dạy học phương trình lượng giác (đại số và giải tích lớp 11 nâng cao

1
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC



NGUYỄN MẠNH THẮNG



PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TRÍ TUỆ CỦA HỌC SINH
TRONG DẠY HỌC PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC
(ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH LỚP 11 NÂNG CAO)


LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HỌC


Chuyên ngành: Lý luận và phƣơng pháp dạy học
(Bộ môn Toán học)
Mã số: 60 14 10

Người hướng dẫn khoa học: TS. Hoàng Lê Minh

HÀ NỘI - 2011

2

LỜI CẢM ƠN

Em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Ban giám hiệu, Phòng
Đào tạo cùng các thầy cô giáo giảng dạy bộ môn toán của trường Đại học
Giáo Dục- Đại học quốc gia Hà Nội đã tạo điều kiện giúp đỡ em trong suốt
quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành cuốn luận văn này.
Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới tiến sĩ Hoàng Lê Minh,
người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em hình thành ý tưởng, nghiên cứu và
hoàn chỉnh luận văn.
Em xin chân thành cảm ơn Sở Giáo Dục và Đào Tạo Hải Phòng, Ban
giám hiệu trường THPT Nguyễn Trãi cũng như đồng nghiệp, gia đình, bạn bè
đã giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất để em có thể hoàn thành cuốn luận văn
này.

Hà Nội, tháng 5 năm 2011
Tác giả



Nguyễn Mạnh Thắng

3



BẢNG CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

Viết tắt
Viết đầy đủ
BĐT
: Bất đẳng thức
?
: Câu hỏi
ĐC
: Đối chứng
GV
: Giáo viên
HS
: Học sinh
NL
: Năng lực
NLTT
: Năng lực trí tuệ
NC
: Nâng cao
VD
: Ví dụ

PT
: Phương trình
PTLG
: Phương trình lượng giác
SGK
: Sách giáo khoa
THPT
: Trung học phổ thông
TN
: Thực nghiệm











4
MỤC LỤC

Trang
MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
1
2. Mục đích nghiên cứu

2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
2
4. Phương pháp nghiên cứu
2
5. Giả thuyết khoa học
3
6. Cấu trúc luận văn
3
Chƣơng 1 : CỞ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
4
1.1. Một số vấn đề về phát triển năng lực trí tuệ của học sinh
4
1.1.1. Khái niệm năng lực trí tuệ
4
1.1.2. Mối quan hệ giữa dạy học và phát triển trí tuệ
6
1.1.3. Tầm quan trọng của việc phát triển năng lực trí tuệ của học sinh
7
1.1.4. Các biện pháp phát triển trí tuệ của học sinh thông qua dạy học toán
8
1.2. Dạy học giải bài tập Toán học với việc phát triển trí tuệ của học sinh
14
1.2.1. Vai trò của bài tập toán trong quá trình dạy học
14
1.2.2. Phương pháp chung để giải bài tập toán học
15
1.2.3. Vai trò của bài tập toán học với việc phát triển trí tuệ của học sinh
17
1.3. Những tiềm năng để bồi dưỡng năng lực trí tuệ của học sinh trong

dạy học phương trình lượng giác

17
1.3.1. Mục tiêu dạy học phương trình lượng giác ở lớp 11 nâng cao
17
1.3.2. Nội dung cơ bản phần phương trình lượng giác ban nâng cao ở
trường trung học phổ thông và những đổi mới so với sách giáo khoa
trước đây


18
1.3.3. Tiềm năng bồi dưỡng năng lực trí tuệ của học sinh thông qua dạy
học phương trình lượng giác

20
1.3.4. Những thuận lợi và khó khăn trong dạy học phương trình lượng
giác lớp 11 nâng cao

20
Tiểu kết chương 1
21

5
Chƣơng 2: PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TRÍ TUỆ CỦA HỌC SINH
TRONG DẠY HỌC PT LƢỢNG GIÁC (ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
LỚP 11 NÂNG CAO)


22
2.1. Một số phương pháp cơ bản giải PT lượng giác

22
2.1.1. Giải PT lượng giác bằng các phép biến đổi tương đương
23
2.1.2. Giải PT lượng giác bằng cách đặt ẩn phụ
26
2.1.3. Giải PT lượng giác bằng phương pháp đánh giá
30
2.2. Một số biện pháp phát triển năng lực trí tuệ của học sinh trong dạy
học PT lượng giác (Đại số và giải tích lớp 11 nâng cao)

33
2.2.1. Rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ chính xác
33
2.2.2. Rèn luyện khả năng suy đoán và tưởng tượng
46
2.2.3. Rèn luyện các hoạt động trí tụê cơ bản
58
2.2.4. Hình thành các phẩm chất trí tuệ
76
Tiểu kết chương 2
89
Chƣơng 3 : THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM
90
3.1. Mục đích, nội dung, kế hoạch thực nghiệm sư phạm
90
3.1.1. Mục đích thực nghiệm
90
3.1.2. Nội dung thực nghiệm
90
3.1.3. Kế hoạch thực nghiệm

90
3.2. Giáo án thực nghiệm
91
3.2.1. Giáo án 1
91
3.2.2. Giáo án 2
97
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm
103
Tiểu kết chương 3
105
KẾT LUẬN
106
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO
107

1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Luật giáo dục chương II, mục 2, điều 23 qui định: “Mục tiêu giáo dục
phổ thông là giúp HS phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm
mỹ và các kĩ năng cơ bản nhằm hình thành nhân cách con người Việt Nam xã
hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân, chuẩn bị cho HS
tiếp tục học lên cao hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và
bảo vệ tổ quốc”.
Phát triển NLTT cho HS là một nhiệm vụ rất quan trọng và thường
xuyên trong dạy học ở nhà trường phổ thông. Để làm tốt điều này người GV
phải có kiến thức sâu sắc về tâm lý học, giáo dục học, đặc biệt là kiến thức
chuyên môn về môn học mình phụ trách cùng với khả năng truyền thụ tốt.
Môn toán trong nhà trường phổ thông có một vị trí, ý nghĩa hết sức

quan trọng trong việc góp phần nâng cao NLTT cho HS. Tuy nhiên dạy toán
thế nào để đạt được mục đích trên thì không phải là điều đơn giản. Hiện nay
phần lớn HS rất thụ động trong học tập, làm bài máy móc, thiếu tính linh hoạt,
sáng tạo trong suy nghĩ.Vì vậy nếu người GV không đổi mới phương pháp
dạy theo hướng phát huy tính tích cực của người học thì sẽ không thể phát
triển được NLTT của các em.
Vấn đề phát triển trí tuệ của HS thông qua dạy học môn Toán đã được
nhiều tác giả trong nước quan tâm. Có thể kể đến các công trình nghiên cứu như:
- “Rèn luyện khả năng khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự cho học
sinh phổ thông”- Luận văn thạc sĩ khoa học sư phạm- Tâm lý của Lê Tuấn
Anh (1998).
- “ Khai thác các bài toán trong SGK đại số 10 thí điểm ban khoa học
tự nhiên nhằm phát triển khả năng khái quát hoá, đặc biệt hoá của học sinh
khá giỏi”- Luận văn thạc sĩ khoa học giáo dục của Lê Anh Tuấn (2005).

2
- " Phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh trong dạy học chương vectơ"
- Luận văn thạc sĩ khoa học giáo dục của Nguyễn Ngọc Hiếu (2010).
- “Khuyến khích một số hoạt động trí tuệ của học sinh qua dạy học môn
Toán ở trường THCS”, của các tác giả Nguyễn Bá Kim, Vương Dương Minh,
Tần Thâu (1998).
- “Rèn luyện tư duy trong dạy học Toán” của tác giả Trần Thúc Trình (2003).
- “Rèn luyện tư duy qua việc giải bài tập Toán” của tác giả Nguyễn
Thái Hoè (1997).
Tuy nhiên chưa có một công trình nào đi sâu nghiên cứu việc phát triển
NLTT của HS thông qua việc dạy học PTLG mặc dù PTLG là mảng kiến thức
hay và khó trong trường phổ thông. Các bài tập về giải PTLG rất đa dạng và
thường xuyên có trong các kì thi tuyển sinh đại học, thi học sinh giỏi các cấp.
Đây là mảng kiến thức có nhiều tiềm năng để người GV có thể phát triển
được NLTT của HS. Do đó tôi chọn đề tài: “Phát triển năng lực trí tuệ của

học sinh trong dạy học phương trình lượng giác (Đại số và giải tích lớp 11
nâng cao).
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu biện pháp phát triển NLTT của HS thông qua dạy học
PTLG trong chương trình Đại số và giải tích lớp 11 nâng cao.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu cơ sở lí luận về NLTT, biện pháp phát triển NLTT.
- Nghiên cứu nội dung dạy học PTLG ở trường THPT để đưa ra biện
pháp thích hợp và sử dụng các biện pháp đó nhằm phát triển NLTT của HS.
- Thực nghiệm sư phạm
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
4.1. Nghiên cứu lí luận
- Nghiên cứu chương trình, SGK, sách GV, sách tham khảo liên quan
đến các kiến thức về PTLG ở lớp 11 nâng cao.

3
- Nghiên cứu tài liệu tham khảo và các luận án, luận văn có liên quan
đến vấn đề phát triển NLTT của HS.
4.2. Quan sát, điều tra
- Quan sát, điều tra việc dạy PTLG ở các lớp 11 ban nâng cao tại
trường THPT Nguyễn Trãi – Thành phố Hải Phòng.
4.3. Thực nghiệm sư phạm
- Tiến hành thực nghiệm dạy học giải PTLG cho HS lớp 11 nâng cao
theo hướng phát phát triển NLTT của các em nhằm kiểm chứng tính khả thi
và hiệu quả của đề tài.
5. Giả thuyết khoa học
Nếu vận dụng một cách linh hoạt các biện pháp phát triển NLTT của
học sinh trong dạy học PTLG thì không những học sinh đạt kết quả cao trong
học tập mà còn đáp ứng mục tiêu phát triển tư duy của học sinh.
6. Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, luận văn
gồm 3 chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chương 2: Phát triển năng lực trí tuệ của học sinh trong dạy học
PTLG lớp 11 nâng cao.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm









4
CHƢƠNG 1
CỞ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Một số vấn đề về phát triển năng lực trí tuệ của học sinh
1.1.1. Khái niệm năng lực trí tuệ
1.1.1.1. Khái niệm năng lực
Năng lực là khả năng thực hiện có hiệu quả các hoạt động, giải quyết
các nhiệm vụ, vấn đề thuộc các lĩnh vực nghề nghiệp, xã hội hay cá nhân
trong những tình huống khác nhau trên cơ sở sự hiểu biết, kỹ năng, kỹ xảo và
kinh nghiệm của mỗi người. [36; tr. 303]
Khi nói đến năng lực phải nói đến năng lực trong một loại hoạt động
nhất định. Một người được coi là có năng lực nếu trong một hoàn cảnh nhất
định người đó nắm vững tri thức, kỹ năng, kỹ xảo của một loại hoạt động nào
đó và đạt kết quả cao hơn so với kết quả của những người khác. Năng lực
được nảy sinh và quan sát được trong hoạt động giải quyết những yêu cầu đặt

ra. Năng lực chỉ được hình thành và phát triển thông qua hoạt động và bằng
hoạt động.
1.1.1.2. Khái niệm trí tuệ
Trong tiếng La Tinh, trí tuệ có nghĩa là hiểu biết, thông tuệ. Còn trong
từ điển Tiếng Việt (NXB Khoa học xã hội 1994) giải thích: Trí tuệ là khả
năng nhận thức lý tính đạt đến một trình độ nhất định.
Xét trong khoa học tâm lý học, có thể khái quát một cách tương đối các
quan niệm đã có về khái niệm trí tuệ thành 3 nhóm chính: Nhóm thứ nhất
định nghĩa trí tuệ là khả năng hoạt động lao động và học tập của cá nhân;
Nhóm thứ hai định nghĩa trí tuệ là năng lực tư duy trừu tượng của cá nhân;
Nhóm thứ ba coi trí tuệ là năng lực thích ứng tích cực của cá nhân.
- Quan niệm thứ nhất đã có từ lâu và khá phổ biến. Theo nhà tâm lý học
người Nga B.G.Ananhev, trí tuệ là đặc điểm tâm lý phức tạp của con người
mà kết quả của công việc lao động và học tập phụ thuộc vào nó. Mối quan hệ

5
giữa học tập (đặc biệt là kết quả học tập) với khả năng trí tuệ cá nhân đã được
các nhà sư phạm quan tâm từ lâu. Các công trình nghiên cứu cho thấy giữa
hai yếu tố này có mối quan hệ nhân quả với nhau nhưng không phải là quan
hệ tương ứng 1-1. Năm 1905 nhà tâm lý học A.Binet (1857-1911) đã nghiên
cứu bằng test trí lực và xác định được những HS học kém do khả năng trí tuệ
và những em do lười hoặc do nguyên nhân khác. [37; tr.46]
- Nhóm thứ 2 đã quy hẹp khái niệm trí tuệ vào các thành phần cốt lõi
của nó là tư duy và gần như đồng nhất chúng với nhau. Trên thực tế, nhóm
quan niệm này khá phổ biến bao gồm: A.Binet (1905), L.Terman (1937),
G.X.Cotchuc (1971), V.A.Cruchetky (1976), R.Sternberg (1986). [33; tr.46]
- Nhóm thứ 3, coi trí tuệ là khả năng thích ứng của cá nhân được phổ
biến hơn cả và thu hút nhiều nhà nghiên cứu lớn: U.Ster, G.Piagie,
D.Wechsler, R.Zazzo…Theo G.Piagie( 1969) bất kỳ trí tuệ nào cũng là một
sự thích ứng. D.Wechsler (1939) cho rằng trí tuệ là khả năng tổng thể để hoạt

động một cách có suy nghĩ, tư duy hợp lý, chế ngự được môi trường xung
quanh. Trí tuệ là khả năng xử lý thông tin để giải quyết vấn đề và nhanh
chóng thích nghi với tình huống mới ( F.Raynal và A.Rieunier- 1997). Trí tuệ
là khả năng hiểu các mối quan hệ sẵn có giữa các yếu tố của tình huống và
thích nghi để thực hiện cho lợi ích bản thân ( N.Sillamy-1997). [37; tr.47]
Các quan niệm về trí tuệ không loại trừ nhau. Không có quan niệm nào
chỉ chú ý đến duy nhất một khía cạnh năng lực tư duy hay khả năng thích
ứng, mà thường đề cập đến hầu hết các nội dung đã nêu. Sự khác biệt về các
quan niệm chỉ là ở chỗ khía cạnh nào được nhấn mạnh và nghiên cứu sâu hơn.
Tuy nhiên để có cách hiểu bao quát về vấn đề khái niệm trí tuệ, cần lưu ý đến
4 đặc trưng của trí tuệ là:
- Trí tuệ là yếu tố tâm lý có tính độc lập tương đối với các yếu tố tâm lý
khác của cá nhân.

6
- Trí tuệ có chức năng đáp ứng mối quan hệ tác động qua lại giữa chủ
thể với môi trường sống, tạo ra sự thích ứng tích cực của cá nhân.
- Trí tuệ được hình thành và biểu hiện trong hoạt động của chủ thể.
- Sự phát triển của trí tuệ chịu ảnh hưởng của yếu tố sinh học của cơ thể
và chịu sự chế ước của các yếu tố văn hoá xã hội.
1.1.1.3. Khái niệm năng lực trí tuệ
Từ các khái niệm về năng lực và trí tuệ đã nêu ở trên ta có thể định
nghĩa về NLTT như sau: NLTT là khả năng thực hiện có hiệu quả các hoạt
động, giải quyết các nhiệm vụ, vấn đề thuộc về lĩnh vực trí tuệ.
1.1.2. Mối quan hệ giữa dạy học và phát triển trí tuệ
Dạy học và sự phát triển trí tuệ có mối quan hệ thống nhất biện chứng.
Dạy học phải dẫn đến sự phát triển trí tuệ cho người học. Sự phát triển trí tuệ
vừa là kết quả, vừa là tiền đề cho việc dạy học có hiệu quả.
Tuy nhiên nói dạy học thống nhất với sự phát triển trí tuệ không có
nghĩa là trình độ dạy học tương đồng hoặc ngang bằng với trình độ phát triển

trí tuệ của người học. Theo L.X.Vưgotxki: “Dạy học theo đúng chức năng của
nó phải đi trước và kéo theo sự phát triển trí tuệ cho người học”. Nếu dạy học
đi sau hoặc ngang bằng với sự phát triển trí tuệ của người học sẽ kìm hãm lại
sự phát triển trí tuệ. Do đó trong quá trình dạy học việc xác định đúng trình độ
phát triển của HS là một việc làm vô cùng quan trọng của GV. Theo
L.X.Vưgotxki, cần thiết phải phân biệt hai trình độ trong suốt quá trình phát
triển của HS: Trình độ phát triển hiện thời và khả năng phát triển gần nhất
(vùng phát triển gần nhất). Trình độ phát triển hiện thời là trình độ mà ở đó
các chức năng tâm lý đã đạt tới mức chín muồi, còn vùng phát triển gần nhất
là vùng trong đó các chức năng tâm lý đang trưởng thành nhưng chưa chín.
Trình độ phát triển hiện thời được biểu hiện qua tình huống HS có thể độc lập
giải quyết nhiệm vụ, không cần sự trợ giúp từ bên ngoài. Còn khả năng phát
triển gần nhất biểu hiện qua tình huống HS hoàn thành nhiệm vụ khi có sự

7
hợp tác giúp đỡ của người khác, mà nếu tự mình HS không thể thực hiện
được. Dạy học đón đầu sự phát triển của HS nghĩa là phải tác động vào vùng
phát triển gần nhất, hướng dẫn và tạo ra sự phát triển trí tuệ tối đa, đúng
hướng ở người học. [33; tr.50]
Nhưng như vậy không có nghĩa là nếu dạy học đón đầu sự phát triển của
HS thì sẽ phát triển được trí tuệ của các em. Muốn làm được điều đó dạy học
phải có sự định hướng đứng đắn, phù hợp. Nếu không dạy học sẽ làm cho trí
tuệ không phát triển, thậm trí phát triển lùi lại hoặc rơi vào lối tư duy hình
thức, thụ động, thiển cận.
1.1.3. Tầm quan trọng của việc phát triển năng lực trí tuệ của học sinh
Trong thời đại ngày nay, khoa học công nghệ đang phát triển rất nhanh
và dần trở thành lực lượng sản xuất trực tiếp trong nền kinh tế tri thức. Kho
tàng tri thức của nhân loại gia tăng với tốc độ chóng mặt trong khi thời gian
học tập tại nhà trường có hạn. Nhiệm vụ đặt ra cho dạy học hiện nay là phải
nâng cao chất lượng học tập nhằm giúp HS có thể tự tìm kiếm tri thức, tự học

suốt đời và bắt kịp nhịp sống của xã hội hiện đại. Hay nói cách khác dạy học
không chỉ hướng vào việc cung cấp kiến thức lý thuyết mà quan trọng hơn,
phải hình thành năng lực hoạt động trí tuệ, hình thành phẩm chất tư duy và
phương pháp hoạt động cho người học.
Để giải quyết được bài toán trên, việc phát triển NLTT cho người học
trở thành nhiệm vụ trọng tâm trong dạy học. Người GV cần chú trọng hình
thành, rèn luyện phương pháp tư duy sáng tạo, bồi dưỡng các phẩm chất trí
tuệ, rèn luyện khả năng suy nghĩ và giải quyết các tình huống đặt ra trong
cuộc sống một cách nhạy bén cho HS. Trong dạy học cần chú trọng hình
thành phương pháp học, phương pháp làm việc, rèn luyện các thuộc tính độc
lập, sáng tạo, mềm dẻo của trí tuệ. Cần rèn luyện tính đa dạng, chiều rộng,
chiều sâu của tư duy. Có như vậy nhiệm vụ phát triển NLTT của người học
mới đạt hiệu quả cao, đáp ứng được yêu cầu trong thời kỳ mới.

8
1.1.4. Các biện pháp phát triển trí tuệ của học sinh thông qua dạy học toán
Môn toán có khả năng to lớn góp phần phát triển NLTT của HS. Mục
tiêu này cần được thực hiện một cách có ý thức, có hệ thống, có kế hoạch chứ
không phải tự phát. Các biện pháp phát triển trí tuệ của HS thông qua dạy học
Toán bao gồm:
1.1.4.1. Rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ
Do đặc điểm của khoa học toán học, môn toán có tiềm năng quan trọng
có thể khai thác để rèn luyện cho HS tư duy logic. Nhưng tư duy không thể
tách rời ngôn ngữ, nó phải diễn ra với hình thức ngôn ngữ, được hoàn thiện
trong sự trao đổi bằng ngôn ngữ của con người và ngược lại, ngôn ngữ được
hình thành nhờ có tư duy. Vì vậy việc phát triển tư duy logic gắn liền với việc
rèn luyện ngôn ngữ chính xác.
Việc phát triển tư duy logic và ngôn ngữ chính xác ở HS qua môn Toán
có thể thực hiện theo 3 hướng liên quan chặt chẽ với nhau:
- Thứ nhất: Làm cho HS nắm vững, hiểu đúng và sử dụng đúng những

liên kết logic: và, hoặc, nếu thì, phủ định, những lượng từ tồn tại và khái quát…
- Thứ hai: Phát triển khả năng định nghĩa và làm việc với những định
nghĩa cho HS.
- Thứ ba: Phát triển khả năng hiểu chứng minh, trình bày lại chứng
minh và độc lập tiến hành chứng minh. [9; tr.45]
1.1.4.2. Rèn luyện khả năng suy đoán và tưởng tượng
Tác dụng phát triển tư duy của môn toán không những ở sự rèn luyện
tư duy logic mà còn ở sự phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng. Muốn
rèn luyện khả năng này cho HS, GV cần lưu ý:
+) Làm cho HS quen và có ý thức sử dụng những quy tắc suy đoán như
xét tương tự, khái quát hóa, quy lạ về quen,…những suy đoán có thể rất táo
bạo, nhưng phải có căn cứ, dựa trên những quy tắc, kinh nghiệm nhất định
chứ không phải là đoán mò, nghĩ liều.

9
+) Tập luyện cho HS khả năng hình dung được những đối tượng, quan
hệ không gian và làm việc với chúng dựa trên những dữ liệu bằng lời hay
những hình phẳng, từ những biểu tượng của những đối tượng đã biết có thể
hình thành, sáng tạo ra hình ảnh của những đối tượng chưa biết hoặc không có
trong đời sống. [9; tr.45- 46]
1.1.4.3. Rèn luyện các hoạt động trí tuệ cơ bản
Môn toán đòi hỏi HS phải thường xuyên thực hiện những hoạt động trí
tuệ cơ bản như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, khái quát hoá, tương tự
hoá, đặc biệt hoá, so sánh. Vì thế môn toán có ý nghĩa to lớn trong việc rèn
luyện cho HS những hoạt động trí tuệ này. Sau đây tôi xin trình bày cụ thể
từng hoạt động trí tuệ.
- Phân tích và tổng hợp
Theo định nghĩa của G.S Nguyễn Bá Kim: Phân tích là tách (trong tư
tưởng) một hệ thống thành những vật, tách một vật thành những bộ phận
riêng lẻ.

G.S Nguyễn Cảnh Toàn định nghĩa một cách tường minh hơn: phân
tích là đi sâu tìm hiểu các chi tiết, bộ phận của một tổng thể, tìm ra những đặc
điểm của các chi tiết, bộ phận đó.
Tổng hợp là liên kết (trong tư tưởng) những bộ phận cấu thành một vật,
liên kết nhiều vật thành một hệ thống. Phân tích và tổng hợp là hai hoạt động
trí tuệ trái ngược nhau nhưng lại là hai mặt của một quá trình thống nhất.
Chúng là hai hoạt động trí tuệ cơ bản của quá trình tư duy. Những hoạt động
trí tuệ khác đều diễn ra trên nền tảng phân tích và tổng hợp.
- Trừu tượng hoá và khái quát hoá:
Trừu tượng hoá là tách những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm
không bản chất. Đương nhiên sự phân biệt bản chất với không bản chất ở đây
mang ý nghĩa tương đối, nó phụ thuộc vào mục đích hành động.

10
Theo G.Pôlya: “Khái quát hoá là chuyển từ việc nghiên cứu một tập
hợp đối tượng đã cho đến việc nghiên cứu một tập lớn hơn, bao gồm cả tập
hợp ban đầu”.
G.S Nguyễn Bá Kim định nghĩa khái quát hoá một cách tường minh
hơn như sau: “Khái quát hoá là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang một tập
hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung
của các phần tử trong tập hợp xuất phát". Như vậy ta thấy trừu tượng hoá là
điều kiện cần của khái quát hoá.
Có hai dạng khái quát hoá thường gặp trong môn Toán là: Khái quát
hoá từ cái riêng lẻ đến cái tổng quát và khái quát hoá từ cái tổng quát đến cái
tổng quát hơn. Trong Toán học, người ta thường khái quát một yếu tố hoặc
nhiều yếu tố của khái niệm, định lý, bài toán thành những kết quả tổng quát.
VD: Chúng ta khái quát hoá khi mở rộng công thức
)0
2
;0

1
(
2
.
1
2
21


aaaa
aa
thành
), ,2,1,0(

2
.
1

21
ni
i
a
n
n
aaa
n
n
aaa




.
Hay chúng ta khái quát hoá từ việc nghiên cứu hệ thức lượng trong tam giác
vuông sang nghiên cứu hệ thức lượng trong tam giác thường.
Trong hai VD trên khái quát hoá được thực hiện theo hai hướng có tính
chất khác nhau. Ở VD thứ nhất khái quát hoá được thực hiện bằng cách thay
hằng số 2 bởi biến số n (n
)N
. Ở VD thứ hai khái quát hoá được thực hiện
bằng cách loại bỏ điều kiện góc của tam giác bằng
0
90
để nghiên cứu những
tam giác với góc bất kỳ.
- Đặc biệt hoá
Theo G. Pôlya: “Đặc biệt hóa là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp
đối tượng đã cho sang việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong tập
hợp đã cho”. Hay nói cách khác đặc biệt hóa chính là quá trình đi từ cái chung

11
đến cái riêng, là quá trình minh họa hoặc giải thích những khái niệm, định lí
bằng những trường hợp riêng lẻ, cụ thể.
Có hai dạng đặc biệt hoá thường gặp là: Đặc biệt hoá từ cái tổng quát
đến cái riêng lẻ và đặc biệt hoá từ cái riêng đến cái riêng hơn.
Như vậy chúng ta thấy đặc biệt hoá là thao tác tư duy ngược lại với
khái quát hoá. Đặc biệt hóa thường được sử dụng trong việc trình bày các
khái niệm, chứng minh các định lí, bài toán…Trong bài toán quỹ tích hoặc
tìm điểm cố định đặc biệt hóa thường được sử dụng để mò mẫm, dự đoán quỹ
tích, dự đoán điểm cố định trên cơ sở đó để tìm lời giải của bài toán.
VD: Chúng ta đặc biệt hóa khi chuyển từ việc nghiên cứu đa giác sang

việc nghiên cứu đa giác đều. Từ việc nghiên cứu đa giác đều n cạnh (n
3
) ta
lại đặc biệt hóa để nghiên cứu tam giác đều. Đó là đặc biệt hóa từ cái riêng
đến cái riêng hơn.
VD: Trong hệ thức

cos.2
222
bccba 
với một tam giác, ta đặc
biệt hoá góc
0
90

sẽ được định lý Pytagore trong tam giác vuông.
- So sánh và tương tự
So sánh: Là sự phát hiện những đặc điểm chung và những đặc điểm
riêng ở một số các đối tượng.
Tương tự:
Theo G.Polya: “Hai hệ được gọi là tương tự nhau nếu chúng phù hợp với
nhau trong các mối quan hệ xác định rõ ràng giữa các bộ phận tương ứng”.
Nếu đối tượng A có các tính chất a,b,c,d và đối tượng B cũng có các
tính chất a,b,c thì thì ta rút ra kết luận giả định rằng đối tượng B cũng có tính
chất d.
Phép tương tự trong môn Toán thường được đề cập trên 3 khía cạnh sau:
+) Hai phép chứng minh là tương tự nếu đường lối và phương pháp
chứng minh của chúng giống nhau.

12

+) Hai hình là tương tự nếu chúng có nhiều tính chất giống nhau hoặc
vai trò của chúng giống nhau trong vấn đề nào đó, hoặc giữa các phần tử
tương ứng của chúng có quan hệ giống nhau.
+) Hai tính chất là tương tự nếu chúng biểu diễn các yếu tố hoặc các
thuộc tính của hai hình tương tự.
VD: Tam giác trong hình học phẳng được xem là tương tự với tứ diện
trong hình học không gian vì tam giác là hình có diện tích hữu hạn được giới
hạn bởi một số tối thiểu nhất những yếu tố cơ bản của mặt phẳng, còn tứ diện
là hình có thể tích hữu hạn được giới hạn bởi một số tối thiểu nhất những yếu
tố cơ bản của không gian.
Việc thực hiện một số hoạt động trí tuệ trên có thể được minh hoạ
thông qua VD tìm giá trị của
12
11
cos

.
Để giải bài toán này HS thực hiện các hoạt động trí tuệ sau:
Hoạt động phân tích biến đổi
12
11
cos

thành
)
12
cos(




. Sự phân tích
này có được trên cơ sở tổng hợp, liên hệ biểu thức
12
11
cos

với công thức
bababa sinsincoscos)cos( 
.Việc khớp trường hợp riêng
)
12
cos(




vào biểu thức tổng quát
bababa sinsincoscos)cos( 
là một sự khái
quát hoá nhờ sự trừu tượng hoá: Nêu bật các đặc điểm bản chất “hàm số cos”,
“đối số có dạng hiệu hai số” và tách chúng khỏi đặc điểm không bản chất là
“ một số hạng có giá trị bằng
12
1
số hạng kia”. Sau đó là hoạt động đặc biệt
hoá công thức
bababa sinsincoscos)cos( 
cho trường hợp

a

và
12

b
để tới công thức
12
cos
12
sinsin
12
coscos)
12
cos(







.

13
Tiếp tục phân tích
12
cos


thành
)

43
cos(


. Điều này dẫn tới việc
vế phải thành
)62(
4
1
)
4
sin
3
sin
4
cos
3
(cos 

. Cuối cùng ta liên
kết biểu thức xuất phát
12
11
cos

với kết quả biến đổi
)62(
4
1


là một sự
tổng hợp để đi đến kết quả cuối cùng là:
12
11
cos

=
)62(
4
1

.
1.1.4.4. Hình thành các phẩm chất trí tuệ cho người học
Việc rèn luyện cho HS các phẩm chất trí tuệ có ý nghĩa to lớn đối với
việc học tập, công tác và trong cuộc sống. Các phẩm chất trí tuệ quan trọng là:
- Tính linh hoạt: Tính linh hoạt của tư duy thể hiện ở khả năng chuyển
hướng quá trình tư duy. Trước hết cần rèn luyện cho HS khả năng đảo ngược
quá trình tư duy, lấy đích của một quá trình đã biết làm điểm xuất phát cho
một quá trình mới, còn điểm xuất phát của quá trình đã biết lại trở thành đích
của quá trình mới. Việc chuyển hướng quá trình tư duy không chỉ có nghĩa là
đảo ngược quá trình này mà còn có thể là chuyển từ hướng này sang một
hướng khác không nhất thiết phải ngược với hướng ban đầu. [9; tr.49]
Tính linh hoạt của tư duy có những đặc trưng sau:
+) Dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác,
giải pháp này sang giải pháp khác, điều chỉnh kịp thời hướng suy nghĩ khi gặp
trở ngại.
+) Suy nghĩ không dập khuôn máy móc những kinh nghiệm, kiến thức
đã có vào hoàn cảnh mới, có khả năng thoát khỏi ảnh hưởng kìm hãm của
những kinh nghiệm, phương pháp, cách nghĩ đã có từ trước.
+) Nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng

mới của đối tượng quen biết, nhìn sự vật một cách động chứ không phải bất
biến.

14
- Tính độc lập: Tính độc lập của tư duy thể hiện ở khả năng tự mình
phát hiện vấn đề, tự mình xác định phương hướng, tìm ra cách giải quyết, tự
mình kiểm tra và hoàn thiện kết quả đạt được. Tính độc lập liên hệ mật thiết
với tính phê phán của tư duy, điều này thể hiện ở khả năng đánh giá những
nghiên cứu, ý nghĩ và tư tưởng của người khác và của chính bản thân mình,
có tinh thần hoài nghi khoa học, biết đặt ra những câu hỏi như “tại sao”, “như
thế nào” đúng lúc, đúng chỗ. [9; tr. 49-50]
+) Tính sáng tạo: Tính linh hoạt, tính độc lập, tính phê phán là những
điều kiện cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khác
nhau của tư duy sáng tạo. Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ở khả năng
tạo ra cái mới: phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới.
Nhấn mạnh cái mới không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ. Cái mới thường nảy
sinh, bắt nguồn từ cái cũ, nhưng vấn đề là ở chỗ cách nhìn cái cũ thế nào.
Tính sáng tạo có thể dẫn tới những suy nghĩ rất táo bạo nhưng có căn cứ và
cân nhắc cẩn thận. [9; tr. 50- 51]
1.2. Dạy học giải bài tập Toán học với việc phát triển trí tuệ của học sinh
1.2.1. Vai trò của bài tập toán trong quá trình dạy học
Bài tập là tình huống kích thích đòi hỏi một lời giải đáp không có sẵn ở
thời điểm bài tập được đưa ra.
Bài tập Toán học có vai trò đặc biệt quan trọng trong môn toán. Bài tập
toán là giá mang hoạt động của HS. Thông qua giải bài tập, HS phải thực hiện
những hoạt động nhất định như nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lý, qui
tắc hay phương pháp, những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động
trí tuệ phổ biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt
động ngôn ngữ. Vai trò của bài tập toán thể hiện ở cả ba bình diện: Mục đích,
nội dung và phương pháp của quá trình dạy học.

- Về mặt mục đích dạy học: Bài tập toán ở trường phổ thông là giá
mang những hoạt động mà việc thực hiện những hoạt động đó thể hiện mức

15
độ đạt mục tiêu. Ngoài ra bài tập cũng thể hiện những chức năng khác nhau
hướng đến việc thực hiện mục đích dạy học môn toán như:
+) Hình thành, củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo, kỹ năng ứng dụng
toán học ở những giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học.
+) Phát triển NLTT chung: Rèn luyện các thao tác tư duy, hình thành
các phẩm chất trí tuệ.
+) Hình thành, bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng cũng như
những phẩm chất đạo đức của người lao động mới.
- Về mặt nội dung dạy học: Bài tập toán học là giá mang hoạt động liên
hệ với những nội dung cụ thể. Nó là một phương tiện để cài đặt nội dung dưới
dạng tri thức hoàn chỉnh hay những yếu tố bổ sung cho tri thức đã học ở phần
lý thuyết.
- Về mặt phương pháp dạy học: Bài tập toán là giá mang những hoạt
động để HS kiến tạo những nội dung nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các
mục đích dạy học khác. Khai thác tốt bài toán như vậy sẽ góp phần tổ chức tốt
cho HS học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động
sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu.
Trong thực tiễn dạy học, bài tập toán được sử dụng với những dụng ý
khác nhau. Về phương pháp dạy học: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động
cơ, làm việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra Đặc biệt về mặt kiểm
tra, bài tập toán là phương tiện không thể thay thế để đánh giá mức độ tiếp thu
kiến thức, khả năng làm việc độc lập và trình độ phát triển tư duy của HS,
cũng như hiệu quả giảng dạy của GV.
1.2.2. Phương pháp chung để giải bài tập toán học
Không có một thuật toán tổng quát nào để giải mọi bài toán. Chúng ta
chỉ có thể thông qua dạy học giải một bài toán cụ thể mà dần dần truyền thụ

cho HS cách thức, kinh nghiệm trong việc suy nghĩ, tìm tòi lời giải các bài
toán. Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của

16
Polya (1975) về cách thức giải một bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực
tiễn dạy học, có thể nêu lên phương pháp chung cho quá trình tìm lời giải một
bài toán bao gồm 4 bước:
- Tìm hiểu nội dung bài toán
- Tìm cách giải
- Trình bày lời giải
- Nghiên cứu sâu lời giải
Nội dung cụ thể của từng bước như sau:
Bước 1. Tìm hiểu nội dung bài toán:
Để giải được một bài toán HS phải hiểu và hứng thú với việc giải bài toán
đó. Vì thế người GV cần chú ý gợi động cơ, khêu gợi trí tò mò và giúp HS hiểu
bài toán phải giải. GV có thể yêu cầu HS thực hiện những thao tác sau:
- Phát biểu đề bài dưới những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung
bài toán.
- Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh.
- Dùng công thức, kí hiệu , hình vẽ để hỗ trợ việc diễn tả đề bài.
Bước 2. Tìm cách giải:
- GV phải chú ý cho HS tới những suy nghĩ có tính chất tìm đoán như:
biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã
cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với
bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay
một bài toán nào đó có liên quan, sử dụng phương pháp đặc thù với từng dạng
toán như chứng minh phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình, toán quĩ
tích…
- Kiểm tra lời giải bằng cách xem kỹ từng bước thực hiện hoặc đặc biệt
hoá kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên

quan…
- Tìm thêm các cách giải khác, so sánh và chọn ra cách giải hợp lý nhất.

17
Bước 3. Trình bày lời giải:
Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chương
trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó.
Bước 4. Nghiên cứu sâu lời giải:
- Kiểm tra lại kết quả và toàn bộ quá trình giải bài toán.
- Thử tìm cách làm mới hay hơn, sáng tạo hơn.
- Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải.
- Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề.
1.2.3. Vai trò của bài tập toán học với việc phát triển trí tuệ của học sinh
Quá trình giải bài tập Toán học đòi hỏi người học thường xuyên tiến
hành những hoạt động sau:
- Những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học như: Lật ngược vấn
đề, xét tính giải được (có nghiệm, nghiệm duy nhất, vô số nghiệm), phân chia
trường hợp…
- Những hoạt động trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, so sánh, xét
tương tự, trừu tượng hoá, khái quát hoá, đặc biệt hoá.
- Những hoạt động ngôn ngữ khi HS phát biểu bài toán bằng lời lẽ của
mình hoặc biến đổi chúng từ dạng này sang dạng khác như từ dạng ký hiệu
Toán học sang dạng ngôn ngữ tự nhiên hoặc ngược lại.
Tất cả các hoạt động trên đều góp phần hình thành và phát triển trí tuệ
cho người học. Do đó có thể khẳng định bài tập toán học có vai trò số một
trong việc phát triển trí tuệ cho HS.
1.3. Những tiềm năng để bồi dƣỡng năng lực trí tuệ của học sinh trong
dạy học phƣơng trình lƣợng giác
1.3.1. Mục tiêu dạy học phương trình lượng giác ở lớp 11 nâng cao
Dạy học PTLG trong chương trình lớp 11 nâng cao có những mục tiêu

sau:
Về kiến thức: Giúp HS

18
- Hiểu phương pháp xây dựng công thức nghiệm của các PTLG cơ bản
(Sử dụng đường tròn lượng giác, các trục sin, côsin, tang, cotang và tính tuần
hoàn của các hàm số lượng giác);
- Nắm vững công thức nghiệm của các PTLG cơ bản.
- Nắm vững cách giải một số dạng PTLG đơn giản như: PT bậc nhất và
bậc hai đối với một hàm số lượng giác, PT bậc nhất với sin và cos, PT thuần
nhất bậc hai đối với sin và cos.
- Có thể giải các PTLG phải sử dụng các biến đổi để quy về một trong
các dạng trên.
Về kỹ năng:
- Biết cách tìm điều kiện xác định của PTLG.
- Biết vận dụng thành thạo công thức nghiệm của các PTLG cơ bản.
- Biết cách biểu diễn nghiệm của các PTLG cơ bản trên đường tròn
lượng giác.
- Nhận biết và giải thành thạo các dạng PT: PT bậc nhất và bậc hai đối
với một hàm số lượng giác, PT bậc nhất với sin và cos, PT thuần nhất bậc hai
đối với sin và cos, các PTLG phải sử dụng các biến đổi để quy về một trong
các dạng trên.
Về thái độ:
- HS thấy được vai trò của lượng giác trong thực tế, yêu thích bộ môn
lượng giác nói riêng và môn Toán nói chung.
- Chăm chỉ, say mê trong học tập, cẩn thận, tỉ mỉ, sáng tạo khi làm bài
- Say mê nghiên cứu khoa học.
1.3.2. Nội dung cơ bản phần phương trình lượng giác ban nâng cao ở trường
trung học phổ thông và những đổi mới so với sách giáo khoa trước đây
Khối kiến thức về lượng giác trong chương trình nâng cao ở trường

THPT hiện nay được trình bày trong 2 chương: Chương góc lượng giác, công

19
thức lượng giác ở lớp 10 và chương hàm số lượng giác, PTLG ở lớp 11. Nội
dung cụ thể và thời lượng từng chương như sau:
- Chương góc lượng giác và công thức lượng giác: 14 tiết
§1. Góc và cung lượng giác 2 tiết
Luyện tập 1 tiết
§2. Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác 2 tiết
Luyện tập 1 tiết
§3. Giá trị lượng giác của các góc (cung) có liên quan đặc biệt 1 tiết
Luyện tập 1 tiết
§4. Một số công thức lượng giác 2 tiết
Luyện tập 2 tiết
Ôn tập và kiểm tra chương VI 2 tiết.

- Chương Hàm số lượng giác và PT lượng giác 17 tiết
§1. Các hàm số lượng giác 3 tiết
Luyện tập 1 tiết
§2. PT lượng giác cơ bản 3 tiết
Luyện tập 2 tiết
§3. Một số dạng PT lượng giác đơn giản 4 tiết
Luyện tập 2 tiết
Ôn tập và kiểm tra chương 2 tiết.
Nhìn vào phân bố chương trình ta thấy nội dung của PTLG chiếm một
tỷ trọng lớn trong khối kiến thức về lượng giác được giảng dạy trong chương
trình lớp 11 (13/17 tiết). Trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp và đặc biệt
là các kỳ thi tuyển sinh vào đại học thường xuyên có các bài toán về giải
PTLG. Điều đó cho thấy tầm quan trọng của lớp bài toán PTLG với việc
thực hiện các nhiệm vụ dạy học môn Toán trong đó có nhiệm vụ phát triển

trí tuệ của HS.

20
Yêu cầu về giải các PTLG trong SGK hiện nay đã được giảm nhẹ đi so
với SGK xuất bản năm 2000. Điều đó thể hiện ở 2 điểm cơ bản:
- Chỉ nêu các dạng PTLG đơn giản, hạn chế những thủ thuật biến đổi
lượng giác phức tạp. Nếu có các điều kiện kèm theo thì việc thử các điều kiện
đó khá đơn giản.
- Không yêu cầu giải và biện luận PTLG chứa tham số.
Tuy nhiên GV cần chú ý rèn luyện cho HS kỹ năng giải các PTLG cơ
bản thật thành thạo. Đây là cơ sở để HS nâng cao kỹ năng giải các PT phức
tạp hơn.
1.3.3. Tiềm năng bồi dưỡng năng lực trí tuệ của học sinh thông qua dạy
học phương trình lượng giác
Khi giải một PTLG học sinh phải biết cách sử dụng các ký hiệu Toán
học, các liên từ logic, phải thực hiện các phép biến đổi thích hợp và các phép
suy đoán để tìm ra lời giải. Điều này giúp cho tư duy logic, khả năng sử dụng
ngôn ngữ chính xác cũng như khả năng suy đoán của HS được nâng cao.
Trong quá trình giải PTLG học sinh phải thực hiện nhiều thao tác như
phân tích bài toán, tổng hợp các kết quả, so sánh kết quả tìm được với điều
kiện bài toán. Đây là điều kiện thuận lợi để HS được rèn luyện các hoạt động
trí tuệ cơ bản.
Mỗi bài tập PLTG có thể có nhiều cách biến đổi và cách làm khác
nhau. Việc suy nghĩ để tìm ra các cách giải mới sẽ giúp HS rèn luyện được
các phẩm chất trí tuệ như linh hoạt, độc lập, sáng tạo.
1.3.4. Những thuận lợi và khó khăn trong dạy học phương trình lượng giác
lớp 11 nâng cao
Trong quá trình dạy học phần PTLG ở lớp 11 nâng cao hiện nay có
những thuận lợi sau:
- Phần công thức lượng giác được chuyển về chương cuối cùng của

chương trình lớp 10 vì thế đã góp phần giảm tải cho HS nhưng vẫn đảm bảo
sự liên tục về mặt kiến thức.