Rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh thông qua dạy học phương trình mũ và phương trình lôgarit lớp 12 trung học phổ thông

1
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC


BÙI ĐỨC QUANG


RÈN LUYỆN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH THÔNG QUA
DẠY HỌC PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƢƠNG TRÌNH LÔGARIT
LỚP 12 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG


LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HỌC
Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC
(BỘ MÔN TOÁN)
Mã số: 60 14 10


Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Nhuỵ



HÀ NỘI – 2010

2
LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trƣờng Đại học Giáo
dục - Đại học Quốc gia Hà Nội đã nhiệt tình giảng dạy và hết lòng giúp đỡ tác
giả trong quá trình học tập và nghiên cứu đề tài.

Luận văn đƣợc hoàn thành tại trƣờng Đại học Giáo dục dƣới sự hƣớng dẫn
khoa học của PGS.TS Nguyễn Nhuỵ. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết
ơn sâu sắc tới thầy.
Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy cô trƣờng
Trung học Phổ thông Xuân Trƣờng B, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Nam Định đã
tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trong quá trình hoàn thành bản luận văn này.
Sự quan tâm giúp đỡ của gia đình, bạn bè và đặc biệt là lớp Cao học Lý
luận và Phƣơng pháp dạy học bộ môn Toán khoá 4 trƣờng Đại học Giáo dục là
nguồn động viên cổ vũ và tiếp thêm sức mạnh cho tác giả trong suốt những năm
học tập và thực hiện đề tài.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi những
thiếu sót, tác giả mong đƣợc lƣợng thứ và rất mong nhận đƣợc những ý kiến
đóng góp quý báu của thầy cô và các bạn.
Hà Nội, tháng 11 năm 2010
Tác giả

Bùi Đức Quang


3
DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

ĐKXĐ: Điều kiện xác định
Nxb: Nhà xuất bản
SGK: Sách giáo khoa
THPT: Trung học Phổ thông
tr: Trang


4

MỤC LỤC
Trang

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài 1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2
3. Phƣơng pháp nghiên cứu 2
4. Giả thuyết khoa học 3
5. Cấu trúc luận văn 3
Chƣơng 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIẾN 5
1.1. Xung quanh khái niệm về năng lực giải toán 5
1.1.1. Nguồn gốc của năng lực 5
1.1.2. Năng lực 5
1.1.3. Năng lực toán học 6
1.1.4. Năng lực giải toán 7
1.2. Ý nghĩa, vai trò và chức năng của hệ thống bài tập 8
1.2.1. Ý nghĩa, vai trò của hệ thống bài tập 8
1.2.2. Chức năng của hệ thống bài tập 9
1.3. Nội dung của chƣơng trình phƣơng trình mũ và phƣơng trình
lôgarit trong môn Toán ở trƣờng Trung học Phổ thông 10
1.3.1. Nội dung cụ thể của phƣơng trình mũ và phƣơng trình lôgarit
trong chƣơng trình giải tích THPT 10
1.3.2. Mục đích yêu cầu của dạy học chủ đề phƣơng trình mũ
và phƣơng trình lôgarit ở trƣờng THPT 11
1.3.3. Những chú ý khi giảng dạy chủ đề phƣơng trình mũ
và phƣơng trình lôgarit ở trƣờng THPT 11

5
1.4. Những khó khăn và sai lầm của học sinh khi giải các bài toán
xung quanh chủ đề phƣơng trình mũ và phƣơng trình lôgarit 12

Chƣơng 2. XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP VÀ NHỮNG KẾT LUẬN
SƢ PHẠM VỀ VIỆC RÈN LUYỆN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC
SINH THÔNG QUA DẠY HỌC PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƢƠNG
TRÌNH LÔGARIT 19
2.1. Phƣơng trình mũ, phƣơng trình lôgarit cơ bản 19
2.1.1. Phƣơng trình mũ cơ bản 19
2.1.2. Phƣơng trình lôgarit cơ bản 19
2.1.3. Các ví dụ 19
2.2. Phƣơng trình mũ, phƣơng trình lôgarit đƣa về phƣơng
trình mũ và phƣơng trình lôgarit cơ bản 21
2.2.1. Phƣơng pháp đƣa về cùng một cơ số 21
2.2.2. Phƣơng pháp mũ hoá và lôgarit hoá 28
2.2.3. Phƣơng pháp đặt ẩn phụ 32
2.3. Phƣơng trình mũ, phƣơng trình lôgarit có thể giải bằng cách áp dụng
tính chất của hàm số mũ, hàm số lôgarit 52
2.4. Phƣơng trình mũ, phƣơng trình lôgarit giải bằng phƣơng pháp đồ thị 63
2.5. Phƣơng trình mũ, phƣơng trình lôgarit với một số phƣơng pháp
giải đặc biệt khác 71
2.5.1. Ứng dụng của định lý Lagrange 71
2.5.2. Phƣơng pháp điều kiện cần và đủ 74
2.5.3. Phƣơng pháp đánh giá 79
2.5.4. Ứng dụng của định lý Roll 81
2.5.5. Sử dụng phƣơng pháp hằng số biến thiên 83
2.6. Những kết luận sƣ phạm về việc rèn luyện năng lực giải toán cho học

6
sinh qua giải bài tập về phƣơng trình mũ và phƣơng trình lôgarit 85
2.6.1. Cách lựa chọn sử dụng các bài tập của hệ thống
trong quá trình dạy học 85
2.6.2. Vai trò của giáo viên 87

2.6.3. Vai trò của ngƣời học 93
Chƣơng 3. TỔNG KẾT KINH NGHIỆM VÀ KẾT QUẢ THỰC
NGHIỆM SƢ PHẠM 98
3.1. Tổng kết kinh nghiệm 98
3.1.1. Quá trình tích luỹ để xây dựng hệ thống bài tập 98
3.1.2. Quá trình chấn chỉnh và hoàn thiện hệ thống bài tập 101
3.1.3. Hiệu quả thực tế của việc rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh
thông qua các hệ thống bài tập giải phƣơng trình mũ và phƣơng trình lôgarit 103
3.2. Thực nghiệm sƣ phạm 105
3.2.1. Mục đích của thực nghiệm sƣ phạm 105
3.2.2. Nội dung thực nghiệm 105
3.2.3. Tổ chức thực nghiệm 105
3.2.4. Đánh giá kết quả thực nghiệm 105
3.2.5. Kết quả kiểm tra 106
KẾT LUẬN 109
TÀI LIỆU THAM KHẢO 110

1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Kiến thức về phƣơng trình mũ và phƣơng trình lôgarit là một trong những
nhóm kiến thức cơ bản nhất đƣợc trình bày ở trong chƣơng trình toán THPT. Hệ
thống bài tập về phƣơng trình mũ và phƣơng trình lôgarit không những phong
phú và đa dạng mà còn rất quan trọng đối với học sinh, điều đó đã và đang đƣợc
thể hiện qua các kỳ thi tốt nghiệp và tuyển sinh vào Đại học - Cao đẳng…
Khi dạy học toán nói chung và dạy học chủ đề phƣơng trình mũ, phƣơng
trình lôgarit nói riêng cho học sinh THPT thì việc bồi dƣỡng các năng lực tƣ duy
cho học sinh là một trong các nhiệm vụ cơ bản của quá trình dạy học, đồng thời
là một yêu cầu thƣờng xuyên và cần thiết nhằm thực hiện mục đích giáo dục toán
học. Trong đó việc phát triển năng lực giải toán cho học sinh là một nhiệm vụ rất

quan trọng của nhà trƣờng phổ thông nƣớc ta hiện nay. Vì vậy, ngƣời thầy không
chỉ cung cấp cho học sinh phƣơng pháp giải, những dạng toán cụ thể mà còn cần
phải thông qua nó rèn luyện cho học sinh năng lực phân tích tổng hợp; năng lực
khái quát hóa; năng lực suy luận lôgic; năng lực rút gọn quá trình suy luận; năng
lực tƣ duy linh hoạt; năng lực tìm ra lời giải hay; năng lực tƣ duy thuận nghịch;
trí nhớ toán học,…
Hiện nay trên quan điểm cải cách giáo dục, ngƣời ta nghiên cứu và cải tiến
nội dung chƣơng trình toán học bằng những nội dung cụ thể thiết thực. Mục tiêu
cuối cùng cần đạt tới là làm thế nào cho học sinh nắm đƣợc mối quan hệ biện
chứng giữa các khái niệm, đồng thời hiểu và vận dụng đƣợc các kiến thức cơ bản
của môn học để tính toán, suy luận, tự xây dựng cho mình một cách học sáng tạo.
Trên tinh thần đó, để phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo của học
sinh chúng ta cần tăng cƣờng cho học sinh vận dụng kiến thức vào nhiều tình
huống khác nhau thông qua hệ thống bài tập đa dạng, phong phú để giúp rèn

2
luyện năng lực giải toán và phát triển tƣ duy cho học sinh. Khi đó học sinh biết
nhìn nhận mọi vấn đề dƣới nhiều góc độ khác nhau. Không những vậy mà thông
qua việc giải các bài tập toán còn giúp học sinh hình thành thế giới quan duy vật
biện chứng, gây hứng thú học tập, say mê tìm tòi sáng tạo. Sự say mê khoa học
luôn đƣợc bắt nguồn từ sự hiểu biết. Giúp học sinh hiểu biết hơn về lĩnh vực
phƣơng trình mũ và phƣơng trình lôgarit là góp phần làm cho các em say mê
môn toán nói riêng và các môn khoa học khác nói chung.
Để nâng cao hiệu quả giáo dục và góp phần đáp ứng nhu cầu đổi mới
phƣơng pháp dạy học môn toán ở nhà trƣờng phổ thông chúng tôi chọn đề tài:
"Rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh thông qua dạy học phương
trình mũ và phương trình lôgarit lớp 12 Trung học Phổ thông".
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
- Phân tích sự triển khai dạy học phƣơng trình mũ và phƣơng trình lôgarit
ở nhà trƣờng phổ thông.

- Phân tích, xem xét một số sai lầm khi giải phƣơng trình mũ và phƣơng
trình lôgarit của học sinh.
- Phân tích vai trò của việc tăng cƣờng rèn luyện năng lực giải toán cho
học sinh khi dạy phƣơng trình mũ và phƣơng trình lôgarit.
- Xây dựng hệ thống bài tập theo các phƣơng pháp giải khác nhau nhằm
rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh.
- Đƣa ra những kết luận sƣ phạm để rèn luyện năng lực giải toán cho học
sinh thông qua hệ thống bài tập nói trên.
- Tổng kết kinh nghiệm qua quá trình làm công tác giảng dạy bộ môn toán
ở trƣờng THPT Xuân Trƣờng B.
3. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý luận:

3
Nghiên cứu sách giáo khoa, các giáo trình phƣơng pháp giảng dạy toán,
tạp chí nghiên cứu giáo dục, các sách tham khảo và luận án có liên quan đến chủ
đề phƣơng trình mũ và phƣơng trình lôgarit.
- Nghiên cứu thực tiễn:
Tổng kết kinh nghiệm qua thực tế giảng dạy ở các lớp chọn toán, qua kinh
nghiệm luyện thi học sinh giỏi, dạy ôn thi đại học và bồi dƣỡng học sinh yếu
kém từ năm 2004 đến nay.
Tổng kết kinh nghiệm qua thao diễn giảng dạy, qua việc dự giờ, thăm lớp
đồng thời trao đổi với giáo viên và học sinh để tìm ra những khó khăn, vƣớng
mắc của họ khi dạy học chủ đề phƣơng trình mũ và phƣơng trình lôgarit trong
nhà trƣờng phổ thông hiện nay.
4. Giả thuyết khoa học
Trong quá trình dạy học phƣơng trình mũ và phƣơng trình lôgarit ở lớp 12,
nếu thực hiện đƣợc việc rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh sẽ giúp học
sinh khắc sâu hơn những kiến thức đã học đƣợc, có kinh nghiệm và nhạy bén
hơn trong việc giải bài tập về phƣơng trình mũ và phƣơng trình lôgarit, phát huy

đƣợc tính tích cực, sáng tạo từ đó học sinh sẽ đƣợc nâng cao chất lƣợng kiến
thức, phát triển đƣợc các năng lực tƣ duy toán học giúp học sinh vững vàng hơn
khi tiếp thu các kiến thức mới tiếp sau này.
5. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và thƣ mục sách tham khảo, phần chính của
luận văn bao gồm 3 chƣơng:
Chƣơng 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chƣơng 2: Xây dựng hệ thống bài tập và những kết luận sƣ phạm về việc
rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh thông qua dạy học phƣơng trình mũ và
phƣơng trình lôgarit.

4
Chƣơng 3: Thực nghiệm sƣ phạm.

Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

5

1.1. Xung quanh khái niệm về năng lực giải toán
1.1.1. Nguồn gốc của năng lực
Cuộc tranh luận gay gắt và kéo dài từ cuối thế kỷ 19 đến nay về bản chất và
nguồn gốc của năng lực, tài năng vẫn chƣa kết thúc. Hiện nay đã có xu hƣớng thống
nhất trên một số quan điểm cơ bản, quan trọng về lý luận cũng nhƣ về thực tiễn:
Thứ nhất: Năng lực con ngƣời có nguồn gốc xã hội, lịch sử. Muốn một
ngƣời của thế hệ sau đƣợc phát triển trong thế giới tự nhiên, xã hội đã đƣợc các
thế hệ trƣớc cải tạo, xây dựng và để lại các dấu ấn đó trong môi trƣờng văn hóa
xã hội. Con ngƣời khi lọt lòng mẹ đã có sẵn các tố chất nhất định cho sự phát
triển các năng lực tƣơng ứng, nhƣng nếu không có môi trƣờng xã hội thì cũng
không phát triển đƣợc…
Thứ hai: Năng lực có nguồn gốc từ hoạt động và là sản phẩm của hoạt
động. Sống trong môi trƣờng xã hội tự nhiên do các thế hệ trƣớc tạo ra và chịu
sự tác động của nó, trẻ em và ngƣời lớn ở thế hệ sau không chỉ đơn giản sử dụng
hay thích ứng với các thành tựu của các thế hệ trƣớc để lại, mà còn chiếm lĩnh
chúng và quan trọng hơn là cải tạo chúng để không chỉ đạt đƣợc các kết quả "vật
chất" mà còn tạo ra tiền đề mới cho hoạt động tiếp theo.
Tóm lại, ngày nay khoa học cho rằng năng lực, tài năng là hiện tƣợng có
bản chất phức tạp. Xã hội, các tố chất và hoạt động của con ngƣời tƣơng tác qua

lại với nhau để tạo ra các năng lực, tài năng. Vậy đào tạo có hiệu quả nhất là đƣa
học sinh vào các dạng hoạt động thích hợp.
1.1.2. Năng lực
Năng lực là những đặc điểm tâm lý cá nhân của con ngƣời đáp ứng đƣợc
yêu cầu của một loại hoạt động nhất định và là điều kiện cần thiết để hoàn thành
tốt loại hoạt động đó.

6
Thông thƣờng, một ngƣời đƣợc coi là có năng lực nếu ngƣời đó nắm vững
tri thức, kỹ năng, kỹ xảo của một loại hoạt động nào đó và đạt đƣợc kết quả tốt
hơn, cao hơn so với trình độ trung bình của những ngƣời khác cũng tiến hành
hoạt động đó trong những điều kiện và hoàn cảnh tƣơng đƣơng.
Ngƣời ta thƣờng phân biệt ba trình độ của năng lực:
a) Năng lực là tổng hòa các kỹ năng kỹ xảo.
b) Tài năng là một tổ hợp các năng lực tạo nên tiền đề thuận lợi cho hoạt
động có kết quả cao, những thành tích đạt đƣợc này vẫn nằm trong khuôn khổ
của những thành tựu đạt đƣợc của xã hội loài ngƣời.
c) Thiên tài là một tổ hợp đặc biệt các năng lực, nó cho phép đạt đƣợc
những thành tựu sáng tạo mà có ý nghĩa lịch sử vô song.
Khi nói đến năng lực phải nói đến năng lực trong loại hoạt động nhất định
của con ngƣời. Năng lực chỉ nảy sinh và quan sát đƣợc trong hoạt động giải
quyết những yêu cầu đặt ra.
1.1.3. Năng lực toán học
Theo V.A.Krutetxki thì khái niệm năng lực toán học sẽ đƣợc giải thích
trên hai khía cạnh:
- Các năng lực sáng tạo (khoa học) - các năng lực hoạt động toán học tạo
ra đƣợc các kết quả, thành tựu mới, khách quan và quý giá.
- Các năng lực học tập giáo trình toán phổ thông, lĩnh hội nhanh chóng và
có kết quả cao các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo tƣơng ứng.
Nhƣ vậy, năng lực toán học là các đặc điểm tâm lý cá nhân (trƣớc hết là

các đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng đƣợc các yêu cầu của hoạt động học toán
và tạo điều kiện lĩnh hội các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong lĩnh vực toán học
tƣơng đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc trong những điều kiện nhƣ nhau.

7
Cũng theo V.A.Krutetxki thì cấu trúc năng lực toán học của học sinh có
thể tóm tắt thành 9 yếu tố chủ yếu là:
1. Năng lực tri giác hình thức hóa tài liệu toán học, năng lực nắm cấu trúc
hình thức của bài toán.
2. Năng lực tƣ duy lôgic trong lĩnh vực các quan hệ số lƣợng và không
gian, hệ thống ký hiệu số và dấu, năng lực tƣ duy bằng các ký hiệu toán học.
3. Năng lực khái quát hóa nhanh chóng và rộng rãi các đối tƣợng quan hệ
toán học và các phép toán.
4. Năng lực rút gọn quá trình suy luận toán học và hệ thống các phép toán
tƣơng ứng, năng lực tƣ duy bằng các cấu trúc đƣợc rút gọn.
5. Tính linh hoạt của các quá trình tƣ duy trong hoạt động toán học.
6. Khuynh hƣớng vƣơn tới tính rõ ràng, đơn giản, tiết kiệm hợp lý của lời giải.
7. Năng lực nhanh chóng và dễ dàng sửa lại phƣơng hƣớng của quá trình
tƣ duy, năng lực chuyển từ tiến trình tƣ duy thuận sang tiến trình tƣ duy đảo -
trong suy luận toán học.
8. Trí nhớ toán học, tức là trí nhớ khái quát về các quan hệ toán học, đặc
điểm về loại, các sơ đồ suy luận và chứng minh, về các phƣơng pháp giải toán và
các nguyên tắc, đƣờng lối giải toán.
9. Khuynh hƣớng toán học của trí tuệ.
1.1.4. Năng lực giải toán
Năng lực giải toán là đặc điểm tâm lý cá nhân của con ngƣời đáp ứng
đƣợc yêu cầu của hoạt động giải toán và là điều kiện cần thiết để hoàn thành tốt
hoạt động giải toán đó.
Thông thƣờng một ngƣời đƣợc coi là có năng lực giải toán nếu ngƣời đó
nắm vững tri thức, kỹ năng, kỹ xảo của hoạt động giải toán và đạt đƣợc kết quả

tốt hơn, cao hơn so với trình độ trung bình của những ngƣời khác cũng tiến hành

8
hoạt động giải toán đó trong những điều kiện và hoàn cảnh tƣơng đƣơng.
Các thành phần của hoạt động giải toán gồm: Năng lực phân tích tổng
hợp, năng lực khái quát hóa, năng lực suy luận lôgic, năng lực rút gọn quá trình
suy luận, năng lực tƣ duy linh hoạt, năng lực tìm ra lời giải hay, năng lực tƣ duy
thuận nghịch, trí nhớ toán học…
Để nghiên cứu năng lực giải toán của học sinh qua việc giải các bài toán
thực nghiệm, không những chỉ cần nghiên cứu kết quả giải toán mà còn phải
nghiên cứu cả quá trình suy luận để giải ra bài toán.
Để rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh thì phƣơng pháp tốt nhất là
đƣa ra một hệ thống bài tập nhằm giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tƣ
duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo ứng dụng toán học vào thực tiễn. Trong phạm vi
luận văn thì việc xây dựng hệ thống bài tập về phƣơng trình mũ và phƣơng trình
lôgarit theo các phƣơng pháp giải khác nhau nhằm bồi dƣỡng và rèn luyện cho
học sinh những năng lực giải toán trên.
1.2. Ý nghĩa, vai trò và chức năng của hệ thống bài tập
1.2.1. Ý nghĩa, vai trò của hệ thống bài tập
Ở trƣờng phổ thông, dạy toán là hoạt động toán học. Đối với học sinh có
thể xem xét việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Việc giải
toán có những ý nghĩa sau:
Thứ nhất: Đó là hình thức tốt nhất để củng cố, đào sâu, hệ thống hóa kiến
thức và rèn luyện kỹ năng. Đôi khi giải bài toán còn là hình thức rất tốt để dẫn
dắt học sinh tự mình đi đến kiến thức mới.
Thứ hai: Đó là một hình thức vận dụng những kiến thức đã học vào
những vấn đề cụ thể, vào các vấn đề mới và vào thực tế…
Thứ ba: Đó là hình thức tốt nhất để giáo viên kiểm tra học sinh và học
sinh tự kiểm tra về năng lực, về mức độ tiếp thu và vận dụng kiến thức đã học.

9
Thứ tư: Việc giải toán có tác dụng rất lớn trong việc gây hứng thú học tập
cho học sinh, phát triển trí tuệ và giáo dục, rèn luyện con ngƣời học sinh về rất
nhiều mặt.
Việc giải bài toán cụ thể không chỉ nhằm vào một dụng ý đơn nhất nào đó
mà thƣờng bao hàm những ý nghĩa đã nêu.
1.2.2. Chức năng của hệ thống bài tập
Chức năng dạy học: Giúp học sinh củng cố những tri thức, kỹ năng, kỹ
xảo ở những giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học, làm sáng tỏ và khắc sâu
những vấn đề lý thuyết. Thu gọn, mở rộng bổ sung cho lý thuyết trên cơ sở
thƣờng xuyên hệ thống hóa kiến thức mà nhấn mạnh phần trọng tâm của lý
thuyết. Đặc biệt hệ thống bài tập còn mang tác dụng giáo dục kỹ thuật tổng hợp
thể hiện qua việc giúp học sinh: Thói quen đặt vấn đề một cách hợp lý, ngắn gọn,
tiết kiệm thời gian và phƣơng pháp tƣ duy; Rèn luyện kỹ năng tính toán, sử dụng
đồ thị, bảng biến thiên và cuối cùng là rèn luyện kỹ năng thực hành toán học.
Chức năng giáo dục: Giúp học sinh hình thành thế giới quan duy vật biện
chứng, niềm tin và phẩm chất đạo đức của ngƣời lao động mới, rèn luyện cho
học sinh đức tính kiên nhẫn, chính xác, chu đáo trong học tập, từng bƣớc nâng
cao hứng thú học tập môn toán, phát triển trí thông minh sáng tạo.
Chức năng phát triển: Giúp học sinh ngày càng nâng cao khả năng độc
lập suy nghĩ, rèn luyện các thao tác tƣ duy nhƣ phân tích, tổng hợp, suy diễn,
quy nạp, tƣơng tự…Thông thạo một số phƣơng pháp suy luận toán học, biết phát
hiện và giải quyết vấn đề một cách thông minh sáng tạo.
Chức năng kiểm tra: Thông qua hệ thống bài tập, giáo viên có thể kiểm
tra, đánh giá kết quả học tập của học sinh trong quá trình dạy học. Kiểm tra,
đánh giá nhằm cung cấp cho giáo viên và học sinh những thông tin về kết quả
dạy học của giáo viên và học sinh những thông tin về kết quả dạy học: Về tri

10
thức, kỹ năng, năng lực giải toán…và về hiệu quả dạy học của giáo viên.

1.3. Nội dung của chƣơng trình phƣơng trình mũ và phƣơng trình lôgarit
trong môn Toán ở trƣờng Trung học Phổ thông
1.3.1. Nội dung cụ thể của phương trình mũ và phương trình lôgarit trong
chương trình giải tích THPT
Chủ đề phƣơng trình mũ và phƣơng trình lôgarit đƣợc trình bày trong 2
tiết của chƣơng 2 - Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit. Có thể nói
rằng chủ đề có yêu cầu nhẹ nhàng hơn rất nhiều so với trƣớc đây, mặc dù nội
dung cơ bản có vẻ nhƣ không khác mấy. Điều đó đƣợc thể hiện cụ thể nhƣ sau:
- SGK không xét các phƣơng trình có chứa tham số. Điều này sẽ làm cho
yêu cầu về kỹ năng giải bài tập của học sinh đƣợc giảm nhẹ nhiều. Bởi vì khi giải
các phƣơng trình mũ, phƣơng trình lôgarit có chứa tham số thì học sinh thƣờng
phải xét các điều kiện cho cơ số dẫn đến sự biện luận khá phức tạp.
- SGK không xét các phƣơng trình mũ có chứa ẩn đồng thời ở cả cơ số lẫn
số mũ. Điều này nhằm tránh các trƣờng hợp còn có các ý kiến chƣa thống nhất
về nghiệm của phƣơng trình. Chẳng hạn, đối với phƣơng trình
2
1
1
x
x


, có ngƣời
chấp nhận
1x 
là một nghiệm, trong khi theo quan điểm của các tác giả thì
ĐKXĐ của phƣơng trình là
0x 
, do đó giá trị
1x 

không phải là nghiệm.
- SGK cũng không xét phƣơng trình lôgarit mà ẩn có mặt đồng thời ở cả
cơ số lẫn trong biểu thức lấy lôgarit. Trong một số ví dụ và bài tập, các tác giả có
đƣa vào một số bài toán về phƣơng trình, trong đó có chứa ẩn nằm trong cơ số
của lôgarit, chẳng hạn nhƣ
log 2
x
. Tuy nhiên đó chỉ là cách viết khác đi của
2
log , (0 1)xx
nên không gây ra điều gì qua phức tạp cho học sinh.
- SGK chỉ yêu cầu học sinh nắm đƣợc các phƣơng pháp và giải đƣợc các
phƣơng trình có các dạng nêu trong bài học. Không xét các phƣơng trình đòi hỏi

11
biến đổi các biểu thức lũy thừa và lôgarit qúa phức tạp.
1.3.2. Mục đích yêu cầu của dạy học chủ đề phương trình mũ và phương trình
lôgarit ở trường THPT
Về kiến thức: Học sinh cần
- Nắm vững cách giải các phƣơng trình mũ và phƣơng trình lôgarit cơ bản.
- Hiểu rõ đƣợc các phƣơng pháp thƣờng dùng để giải phƣơng trình mũ và
phƣơng trình lôgarit.
Về kỹ năng: Giúp học sinh
- Vận dụng thành thạo các phƣơng pháp giải phƣơng trình mũ và phƣơng
trình lôgarit vào bài tập.
- Biết sử dụng các phép biến đổi đơn giản về lũy thừa và lôgarit vào việc
giải phƣơng trình.
1.3.3. Những chú ý khi giảng dạy chủ đề phương trình mũ và phương trình
lôgarit ở trường THPT
Đây là lần đầu tiên học sinh đƣợc làm quen với phƣơng trình mũ và

phƣơng trình lôgarit. Khi giải các phƣơng trình này giáo viên cần lƣu ý học sinh
một số điểm sau:
- Luôn luôn chú ý đến ĐKXĐ của phƣơng trình, nhất là phƣơng trình
lôgarit. Đôi khi có thể sử dụng ngay các điều kiện ấy trong biến đổi phƣơng
trình.
- Muốn có kỹ năng giải phƣơng trình mũ và phƣơng trình lôgarit, học sinh
phải có kỹ năng biến đổi các biểu thức mũ và lôgarit.
Phần lớn các sai lầm mà học sinh thƣờng hay mắc phải trong chƣơng này
là do chƣa chú ý đúng mức đến ĐKXĐ của phƣơng trình hoặc do biến đổi
phƣơng trình sai.
Trong SGK Đại số và Giải tích 11, khi nói về phƣơng trình lƣợng giác, các

12
tác giả đã đi vào cách giải các dạng phƣơng trình thƣờng gặp. Nhƣng đối với
phƣơng trình mũ và phƣơng trình lôgarit ở SGK Giải tích 12, các tác giả đã
không làm nhƣ vậy mà chỉ nêu các phƣơng pháp giải thƣờng dùng. (Tất nhiên có
thể phân loại theo các dạng phƣơng trình, chẳng hạn nhƣ phƣơng trình bậc nhất
và bậc hai đối với một hàm số mũ hay lôgarit; phƣơng trình thuần nhất bậc hai
đối với hai hàm số mũ;…Song cách phân loại nhƣ vậy không thật sự thích hợp
đối với các phƣơng trình mũ và lôgarit).
Cuối cùng, yêu cầu chủ yếu của bài này là yêu cầu về kỹ năng. Do đó, khi
dạy học thì giáo viên cần dành nhiều thời gian cho học sinh làm bài tập luyện tập
ngay tại lớp.
1.4. Những khó khăn và sai lầm của học sinh khi giải các bài toán xung
quanh chủ đề phƣơng trình mũ và phƣơng trình lôgarit
Chỉ ra những sai lầm trong lời giải của học sinh là cần thiết song điều quan
trọng hơn là phân tích đƣợc nguyên nhân chính dẫn đến sai lầm đó, bởi vì "con
ngƣời phải biết học ở những sai lầm và những thiếu sót của mình".[8, tr. 204].
Việc thấy đƣợc những sai lầm đặc biệt có giá trị về mặt phƣơng pháp, vì
chúng giúp học sinh quán triệt súc tích môn học, chống lối hiểu hình thức mà đặc

trƣng cho lối hiểu hình thức này là trong khi thu nhận và ghi nhớ một sự kiện
toán học, học sinh thƣờng phạm sai lầm là để biểu hiện quen thuộc bên ngoài của
sự kiện (lời văn, ký hiệu hay hình ảnh) lấn át hẳn nội dung, bản chất của sự kiện
đó. [21].
Những sai lầm làm hạn chế năng lực học toán của học sinh. Qua việc phân
tích những sai lầm, ngƣời giáo viên cần làm cho học sinh nhận diện đƣợc các sai
lầm, thấy đƣợc nguyên nhân chính dẫn đến sai lầm. Từ đó học sinh sẽ tránh đƣợc
những sai lầm, nắm nội dung kiến thức một cách chắc chắn hơn.
Trong phạm vi luận văn chúng tôi chỉ phân tích những sai lầm có tính chất

13
điển hình, nhiều học sinh thƣờng mắc.
Nhƣ đã nói ở trên thì học sinh thƣờng mắc các sai lầm do không chú đến
điều kiện xác định của phƣơng trình và do biến đổi sai các biểu thức mũ và
lôgarit. Sau đây là một vài ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Giải phƣơng trình
2
lg( 6 7) lg( 3)x x x   

Một số học sinh giải như sau:
2 2 2
lg( 6 7) lg( 3) 6 7 3 7 10 0x x x x x x x x            
nên phƣơng
trình có hai nghiệm là
2, 5xx
.
Nhƣ vậy, học sinh đã mắc phải sai lầm là quên tìm ĐKXĐ của phƣơng
trình. Ta có thể thấy ngay là
lg( 3)x 
không xác định tại

2x 
.
Lời giải đúng như sau:
ĐKXĐ:
2
6 7 0xx  
và
30x 
. Do đó, ta có thể viết:
2
2
2
2
6 7 0
30
lg( 6 7) lg( 3) 3 0
7 10 0
6 7 3
30
5
25
xx
x
x x x x
xx
x x x
x
x
xx


  



       

  


   



  




hoÆc

Vậy nghiệm của phƣơng trình là
5x 
.
Ví dụ 2: Giải phƣơng trình
23
33
log 20log 3 0xx  

Một số học sinh giải như sau:
ĐKXĐ:

0x 
. Với điều kiện đó, ta có
2 3 2
3 3 3 3
3
3
3
log 20log 3 0 3log 10log 3 0
log 3
27
1
log
3
3
x x x x
x
x
x
x
      















14
Sai lầm của học sinh trong lời giải trên là biến đổi lôgarit
2 3 2
33
log 3log .xx

Thực ra, ta phải có
 
 
2
2
2 3 3 2
3 3 3 3
log log 3log 9logx x x x  

Lời giải đúng như sau:
2 3 2
3 3 3 3
log 20log 3 0 9log 10log 3 0x x x x      

Trong phƣơng trình cuối, đặt
3
logyx
ta có phƣơng trình
2
9 10 3 0yy  

.
Dễ thấy phƣơng trình này vô nghiệm nên phƣơng trình đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 3: Giải phƣơng trình
2
2 2 20
xx


Một số học sinh giải như sau:
2
2 2 20
xx
  
2
2 (1 2 ) 20 2 4 2
xx
x     

Tuy
2x 
là đáp số đúng song sai lầm ở đây là học sinh đã hiểu
22
2 2 .2
xx


Lời giải đúng như sau:
Đặt
2 , ( 0)
x

tt
ta có
2
4
20
5
t
tt
t


  



. Do
0t 
nên chọn
4t 
. Khi đó
2x 
là nghiệm của phƣơng trình đã cho.
Ví dụ 4: Giải phƣơng trình
2
22
log 2log (3 4)xx

Một số học sinh giải như sau:
2
2 2 2 2

log 2log (3 4) 2log 2log (3 4) 3 4 2x x x x x x x          

Do đó
2x 
không là nghiệm của phƣơng trình.
Sai lầm của học sinh trong lời giải trên là biến đổi
2
22
log 2logxx
, phải
luôn nhắc nhở học sinh là
2
22
log 2logxx
.
Lời giải đúng như sau:
2
2 2 2 2
34
log 2log (3 4) 2log 2log (3 4) 1
3 4 0
xx
x x x x x
x


        




15
Vậy phƣơng trình đã cho có nghiệm
1.x 

Ví dụ 5: Giải phƣơng trình
2
log
4 6 0
x
x  

Sai lầm của học sinh là hiểu
22
log log
22
4 (2 )
xx
x
nên dẫn đến
2
3
60
2
x
xx
x



   




Trên thực tế
2
log
2
x
xx khi > 0
nên phƣơng trình chỉ có nghiệm
2.x 

Ví dụ 6: Giải phƣơng trình
2
66
11
1 log log ( 1)
72
x
x
x

  


Sai lầm của học sinh:
6 6 6
1

log log ( 1) log ( 7)
7
x
xx
x

   

và
2
66
log ( 1) 2log ( 1)xx  

Cả 2 bƣớc biến đổi trên đều làm co hẹp miền xác định của phƣơng trình, dẫn đến
hiện tƣợng làm mất nghiệm. Cần chú cho học sinh rằng:
log log log
c c c
a
ab
b





là một trong những phép biến đổi làm cho miền xác định mở rộng ra nên cần phải
cẩn thận khi sử dụng nó.
Lời giải đúng như sau:
ĐKXĐ:
1

0
7
x
x



. Khi đó
2
6 6 6
1 1 1
1 log log ( 1) log 1
7 2 ( 7) 1
11
( 7) 1 6
xx
x
x x x
x
xx

     
  





Giải ra ta đƣợc
13x 

là nghiệm của phƣơng trình.
Ví dụ 7: Tìm nghiệm của phƣơng trình
2
2
3
3 .4 144
x
x


thuộc miền xác định của

16
hàm số
2
lg( 10 )y x x
.
Ta có
22
22
22
33
3 .4 144 3 .4 3 .4
xx
xx

  
(1)
Lấy lôgarit thập phân hai vế của phƣơng trình ta đƣợc:

2
2 2 2
2
lg3 lg4 lg3 .4 lg2 3 lg3 4lg2 5lg12 0
3
x
x x x

      
(2)
Từ (1) ta lấy
2x 
là một nghiệm của phƣơng trình. Áp dụng định lý Viét ta có
2
3
1 log 12
2
x 
là nghiệm thứ hai.
Thử lại, có
2x 
thuộc miền xác định của hàm số
2
lg( 10 )y x x
.
Sai lầm của học sinh thƣờng gặp ở bài này là từ phƣơng trình (2) các em
giải ra phƣơng trình có hai nghiệm là:
22
1,2
3lg3 9lg 3 32lg 2 48lg2lg12

4lg2
x
   


Rõ ràng dựa vào biểu thức nghiệm này mà kiểm tra xem nghiệm nào thuộc
miền xác định của hàm số
2
lg( 10 )y x x
tức là thỏa
0; 10xx  
là một
công việc cực kỳ phức tạp. Nhiều học sinh đành bỏ dở giữa chừng, không giải
quyết đến kết quả cuối cùng đƣợc.
Ví dụ 8: Giải phƣơng trình
2
22
log ( 1)log 6 2x x x x   

ĐKXĐ:
0x 

Đặt
2
logtx
, khi đó phƣơng trình đƣợc viết lại dƣới dạng
2
( 1) 6 2t x t x    
2
2

log 2
2
log 3
3
x
t
xx
tx











(*)
(**)

Phƣơng trình (*) có nghiệm
1
4
x 
.

17
Phƣơng trình (**) có vế trái là hàm số đồng biến, vế phải là hàm số nghịch biến

nên phƣơng trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất. Mà
2x 
là một nghiệm
của phƣơng trình (**) nên
2x 
là nghiệm duy nhất.
Vậy phƣơng trình đã cho có hai nghiệm là
1
4
x 
và
2x 
.
Trong bài này học sinh thƣờng mắc sai lầm là: Lúng túng không biết cách
đặt ẩn phụ
2
logtx
để đƣa về phƣơng trình bậc hai ẩn số t, có thể học sinh nhận
xét
2
22
log ( 1)logy x x x  
là hàm số đồng biến,
62yx
là hàm số nghịch
biến. Điều này chƣa chính xác và dễ làm mất nghiệm
1
4
x 
.

Ví dụ 9: Giải phƣơng trình
39
11
log cos log sin
22
3 6 9
xx


ĐKXĐ:
sin 0,cos 0xx

Ta có
39
11
log cos log sin
22
3 6 9 3cos 6 3sin ( 1) ,
64
xx
k
x x x k k



          
Khi
5
2 : 2 ,
12

k n x n n


   =
thỏa mãn điều kiện.
Khi
11
2 1: 2 ,
12
k n x n n


    =
không thỏa mãn điều kiện.
Vậy phƣơng trình chỉ có nghiệm
5
2,
12
x= víi nn



.
Sai lầm ở bài này là khi sử dụng tính chất của lôgarit rút từ phƣơng trình
đã cho về phƣơng trình lƣợng giác thì vô tình chúng ta đã làm mở rộng tập xác
định. Do đó, phải hƣớng dẫn học sinh đặt điều kiện xong không nên giải điều
kiện, làm mất thời gian, mà nên giải phƣơng trình xong rồi so sánh với điều kiện.
Học sinh không nắm vững tính chất của lôgarit nên cảm giác bài toán khó, dẫn

18

đến lúng túng trong tìm đƣờng đi.
Ví dụ 10: Tìm tất cả các cặp số thực
, xy
thỏa mãn

2
3
2 3 log 5
( 4)
35
xx
y
  


(*)
và
2
4 1 ( 3) 8y y y    
(**)
Ta có
( 4)
5
y

2
3
3
2 3 log 5
log 5

1
3 3 5
xx  



, suy ra
3y 
.
Từ (**) ta có
2
3 0 3 0y y y     
, do vậy
3y 
.
Vậy các cặp số thực
, xy
thỏa mãn bài toán là:
13
,
33

xx
yy
  


   

.

Học sinh thƣờng gặp sai lầm ở dạng bài này là khử dấu giá trị tuyệt đối ở
(**) dẫn đến giải dài và khó định hƣớng tiếp theo.
KẾT LUẬN CHƢƠNG 1
Tóm lại việc giải phƣơng trình mũ và phƣơng trình lôgarit ở THPT thì rất
phong phú và đa dạng. Trong quá trình học tập, giải toán về chủ đề trên, học sinh
không thể tránh khỏi sai lầm và gặp những khó khăn khi yêu cầu về kiến thức và
kỹ năng không ngừng nâng cao. Trên đây chỉ là một số khó khăn, sai lầm cơ bản,
điển hình mà học sinh THPT thƣờng mắc phải. Trên cơ sở phân tích và đƣa ra
các biện pháp khắc phục ta có thể nâng cao hiệu quả dạy học chủ đề, hơn nữa
học sinh sẽ có thêm hứng thú, phát triển tƣ duy và đồng thời phát triển năng lực
giải toán cho bản thân.





19
Chƣơng 2: XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP VÀ NHỮNG KẾT LUẬN
SƢ PHẠM VỀ VIỆC RÈN LUYỆN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC
SINH THÔNG QUA DẠY HỌC PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƢƠNG
TRÌNH LÔGARIT

2.1. Phƣơng trình mũ, phƣơng trình lôgarit cơ bản
2.1.1. Phương trình mũ cơ bản
Phương trình mũ cơ bản có dạng:
01
x
a b a a   ( , )

Phương pháp giải:

Với
0b 
, ta có
log
x
a
a b x b  

Với
0b 
, phƣơng trình vô nghiệm.
2.1.2. Phương trình lôgarit cơ bản
Phương trình lôgarit cơ bản có dạng:
log 0, 1
a
x b a a   ( )

Phương pháp giải:
Theo định nghĩa lôgarit ta có:
log
b
a
x b x a  
. Nhƣ vậy, phƣơng trình
log 0 1
a
x b a a   ( , )
luôn có nghiệm duy nhất
b
xa

với mọi
b
.
2.1.3. Các ví dụ
Ví dụ 1: Giải phƣơng trình
1
25
5
x





Hƣớng dẫn giải:
Phƣơng trình
1
5
1
25 log 25 2
5
x
xx

     


.
Vậy nghiệm của phƣơng trình đã cho là
2x 

.
Ví dụ 2: Giải phƣơng trình
2
56
51
xx
