ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN GIẢI TÍCH TOÁN HỌC 2 (3 TÍN CHỈ) DÀNH CHO SINH VIÊN NGÀNH ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TOÁN

ð CƯƠNG BÀI GI NG H C PH N GI I TÍCH TỐN H C 2 (3 TÍN
CH ) - DÀNH CHO SINH VIÊN NGÀNH ð I H C SƯ PH M TOÁN

0


M CL C

CHƯƠNG 1 ....................................................................................................... 2
Chu i s ............................................................................................................. 2
CHƯƠNG 2 ....................................................................................................... 7
Dãy hàm và chu i hàm ....................................................................................... 7
CHƯƠNG 3 ..................................................................................................... 15
ð o hàm và vi phân hàm s có nhi u bi n s ................................................... 15
CHƯƠNG IV ................................................................................................... 26
Tích phân ph thu c tham s ............................................................................ 26
CHƯƠNG V .................................................................................................... 32
Tích phân b i ................................................................................................... 32

1


CHƯƠNG 1
Chu i s
S ti t: 08 (Lý thuy t: 06 ti t; Bài t p 02 ti t)
A) M C TIÊU:
Sinh viên hi u nh ng ki n th c cơ b n v khái ni m chu i s và các v n ñ liên
quan ñ n chu i s như: s h i t , t ng c a chu i s , ñi u ki n h i t , các d u hi u h i t ,
chu i h i t tuy t ñ i và chu i bán h i t .
Sinh viên thành th o trong vi c kh o sát s h i t , phân kì c a chu i s . Tính t ng
c a m t s chu i s cơ b n thư ng g p.

B) N I DUNG
1.1. Các khái ni m cơ b n
Ph n này trình bày v khái ni m chu i s và m t s ñi u ki n ban ñ u liên quan ñ n
s h i t c a nó.
1.1.1. Các đ nh nghĩa
ð nh nghĩa 1.1: Ta g i chu i s là bi u th c hình th c:
∞

a1 + a2 + ⋯ + an + ⋯ = ∑ an

(1.1)

n =1

Các s an ñư c g i là s h ng th

n c a chu i s ñó.

n

ð nh nghĩa 1.2: ð t Sn = ∑ ak .
k =1

(i) Ta g i dãy (Sn) là dãy t ng riêng c a chu i (1.1).
(ii) N u t n t i gi i h n h u h n: lim Sn = s thì chu i (1.1) đư c g i là chu i h i t
n →∞
∞

và s ñư c g i là t ng c a chu i. Kí hi u s = ∑ ak .
k =1

(iii) N u gi i h n lim S n = ∞ ho c khơng t n t i thì chu i (1.1) ñư c g i là chu i
n →∞

phân kỳ.
ð nh nghĩa 1.3: N u an > 0 ( ∀ n ≥ 1) thì chu i (1.1) đư c g i là chu i s dương.
∞

ð nh nghĩa 1.4: Chu i ∑ ak (1.2) ñư c g i là ph n dư th n c a chu i (1.1) hay
k = n +1

ph n dư sau s h ng th n và đư c kí hi u là rn .
Nh n xét: Chu i (1.1) h i t hay phân kỳ ñ ng th i v i ph n dư c a nó và khi
chu i (1.1) h i t thì ph n dư h i t đ n 0: lim rn = 0. ðó là lý do trong nhi u trư ng h p khi
n →∞

nghiên c u s h i t c a chu i ta thư ng thay nó b ng ph n dư ho c ch c n xét các s h ng
trong chu i ng v i ch s ñ l n.
1.1.2. Các tính ch t
ð nh lý 1.1: ð chu i (1.1) h i t ñi u ki n c n là: lim an = 0 .
n →∞

*) Chú ý:

2


(i) ði u ngư c l i nhìn chung khơng ñúng, nghĩa là n u lim an = 0 thì chu i (1.1)
n →∞

chưa ch c ñã h i t .
(ii) ði u ki n ñ ñ chu i (1.1) phân kỳ là: lim an ≠ 0 .
n →∞

Tiêu chu n Cauchy
Hoàn toàn tương t như dãy s , ta có đi u ki n sau đây v s h i t c a chu i.
ð nh lý 1.2: ði u ki n c n và ñ ñ chu i (1.1) h i t là: ∀ε > 0, ∃N ∈ ℕ* : ∀n > N
và v i m i s t nhiên P b t ñ ng th c sau ñư c tho mãn:

Sn + P − Sn = an +1 + an + 2 + ⋯ + an + P < ε .
Chu i đi u hồ t ng qt

1
đư c g i là chu i đi u hồ t ng quát. Trong trư ng h p P = 1 thì
P
n =1 n
∞

Chu i s

∑

chu i đi u hồ t ng quát ñư c g i là chu i ñi u hoà.
ð nh lý 1.3: Chu i ñi u hoà t ng quát h i t khi P > 1, phân kì khi P ≤ 1 .
1.1.2. Các d u hi u h i t c a chu i s dương
∞

Ph n này s nghiên c u s h i t c a chu i s dương ∑ an ,

(1.3)

n =1

∞

a) Chu i tr i: N u an ≤ cn , ∀ n ≥ 1 thì chu i ∑ cn

(1.4)

n =1

ñư c g i là chu i tr i c a chu i (1.3).
Nh n xét: (i) N u chu i (1.4) h i t thì chu i (1.3) h i t .
(ii) N u chu i (1.3) phân kì thì chu i tr i (1.4) cũng phân kì.
b) So sánh chung
∞

n =1

an
= c . Khi đó:
n →∞
bn

∞

n =1

ð nh lý 1.4: Cho hai chu i s dương ∑ an , ∑ bn th a mãn lim

(i) N u c ≠ 0 h u h n thì hai chu i ñã cho cùng h i t hay phân kỳ;
∞

∞

(ii) N u c = 0 và ∑ bn h i t thì ∑ an h i t ;
n =1

n =1

∞

∞

n =1

n =1

(iii) N u c = ∞ và ∑ bn phân kỳ thì ∑ an phân kỳ .
ð nh lý 1.5(D u hi u Cauchy): Gi s t n t i lim n an = q. Khi đó:
n →∞

(i) N u q < 1 thì chu i h i t ;
(ii) N u q > 1 thì chu i phân kỳ;
(iii) N u q = 1 thì chưa th k t lu n v s h i t hay phân kỳ c a chu i.

an +1
= d . Khi đó:
n →∞
an

ð nh lý 1.6(D u hi u D’Alembert): Gi s t n t i lim
(i) N u d < 1 thì chu i h i t ;
(ii) N u d > 1 thì chu i phân kỳ;

3


(iii) N u d = 1 thì chưa th k t lu n v s h i t hay phân kỳ c a chu i.
1.2. Chu i v i d u b t kì
1.2.1. Chu i h i t tuy t đ i và chu i h i t có ñi u ki n
ð nh nghĩa 1.5:
∞

∞

n =1

n =1

(i) Ta nói r ng chu i ∑ an h i t tuy t ñ i n u chu i ∑ an h i t .
∞

∞

∞

n =1

n =1

n =1

(ii) N u chu i ∑ an h i t còn chu i ∑ an phân kỳ thì ta nói r ng chu i ∑ an h i
t có đi u ki n hay chu i bán h i t .
*) Chú ý: Ngư i ta ñã ch ng minh ñư c r ng:
(i) N u m t chu i h i t tuy t đ i thì các s h ng c a chu i có th đ i ch cho nhau
theo th t b t kỳ mà t ng c a chu i v n khơng thay đ i .
(ii) N u chu i h i t có đi u ki n thì b ng cách đ i ch thích h p các s h ng c a
chu i, ta có th nh n ñư c m t chu i m i có t ng b ng s cho trư c b t kỳ (không lo i tr
±∞ ).
1.2.2. D u hi u Leibniz
ð nh lý 1.7: N u an = (-1)nbn; bn ≥ 0 và dãy (bn) b t ñ u t m t ch s nào đó đơn
∞

đi u, ti n t i khơng thì chu i ∑ an h i t . Ngồi ra, đ i v i ph n dư c a chu i ta có ư c
n =1

n

lư ng: Rn ≤ ( −1) θ nbn +1 , ( 0 ≤ θ n ≤ 1 ).
1.2.3. D u hi u Abel
∞

∞

n =1

n =1

ð nh lý 1.8: Chu i ∑ anbn h i t n u chu i ∑ an h i t và {bn } là dãy ñơn ñi u và
b ch n.
C) TÀI LI U H C T P:
[1]. Tr n ð c Long, Nguy n ðình Sang, Hồng Qu c Tồn. Giáo trình gi i tích, t p 2, NXB
ð i h c Qu c Gia Hà N i, 2005.
[2]. Tr n ð c Long, Nguy n ðình Sang, Hồng Qu c Tồn. Bài t p gi i tích, t p 2, NXB ð i
h c Qu c Gia Hà N i, 2002.
B) CÂU H I, BÀI T P, N I DUNG ÔN T P VÀ TH O LU N
1) Tính t ng c a chu i sau.
a)

1
1
1
1
+
+
+
+⋯
1.3 3.5 5.7 7.9

b)

1
1
1
+
+
+⋯
1.2.3 2.3.4 3.4.5

2) Ch ng minh s h i t (b ng ñ nh nghĩa) c a chu i và tìm t ng c a chúng
a)

1
1
1
+
+⋯ +
+⋯
1.4 4.7
(3n − 2)(3n + 1)

b) q sin α + q sin 2α + ⋯ + q sin nα + ⋯ ( q < 1 ).
2

n

4


∞

∞

n =1

n =1

3) Ch ng minh r ng n u các s h ng c a chu i ∑ an là dương và chu i ∑ An nh n ñư c

∞

b ng cách nhóm các s h ng c a chu i đó h i t , thì chu i ∑ an cũng h i t .
n =1

∞

∞

4) Ch ng minh r ng n u các chu i ∑ an và ∑ bn h i t thì các chu i sau ñây cũng h i t :
2

n =1

∞

∞

a) ∑ | anbn | .

b) ∑ (an + bn )

n =1

2

n =1

| an |
n =1 n

∞

c) ∑

2

n =1

5) Xét s h i t c a các chu i s dương sau:

1 1
1
+ +⋯ + +⋯
2 3
n
1 1 1 1 1 1
b) 1 + − + − + − +⋯
2 3 4 5 6 7
1
1
1
1
c)
+
+
+⋯ +
+⋯
1.2
2.3
3.4

n.(n + 1)
a) 1 +

6) S d ng các d u hi u h i t x t s h i t c a các chu i sau:
a)

4 4.7 4.7.10
+
+
+⋯
2 2.6 2.6.10

(1!) 2 (2!) 2 (3!)
( n!) 2
b)
+ 4 + 9 +⋯ + n +⋯
2
2
2
2
2

1
n
∞

c) ∑ an trong ñó: an = 
n =1
1
 n2



khi n = m 2
(m là s t nhiên).

khi n ≠ m

2

7) S d ng d u hi u so sánh xét s h i t c a các chu i sau:

n =1

1
n =1 n

1

∞

a) ∑

∞

b) ∑ ( n + 1 −

2

n + 2n

a

d) ∑  cos 
n =1
n


en
c) ∑ 3
n =1 n

∞

∞

n n −1

∞

e) ∑
n =1

2

(2n + n + 1)

f)

n +1
2

n2

2 + 2 − 2 + 2 − 2 + 2 +⋯

8) S d ng các d u hi u h i t xét s h i t c a các chu i :
2

n − 1)

n

1 2
 n 
a) +   + ⋯ + 
 +⋯
3 5
 2n + 1 

5


n2
b) ∑
n.
n =1
1

2+ 
n


1000 1000 1002 1000 1002 1004
1000⋯ (998 + 2n)
+
+
+⋯ +
+⋯
c)
1
1
4
1
4
7
1.4⋯ (3n − 2)
∞

1.3…( 2n − 1)
.
n =1
3n n!
∞

d) ∑

9) Nghiên c u tính h i t c a các chu i

 1 + cos n 
b) ∑ 


n =1 2 + cos n



n3 ( 2 + (−1) n ) n
a) ∑
n =1
3n

∞

∞

n!en
c) ∑ n + p
n =1 n
∞

2n-lnn

n!

∞

d) ∑
n =1

p

 1.3.5… (2n − 1)  1

e) ∑ 
 p
n =1
 2.4.6… (2n)  n
∞

( 2 + 1)( 2 + 2 )⋯( 2 + n )
 p( p + 1)⋯ ( p + n − 1)  1
 p.
n =1 
n
n
∞

f) ∑ 

10) Ch ng minh s h i t c a các chu i và tìm t ng c a chúng
a) 1 −

3 5 7
+ − +⋯
2 4 8

∞

b) ∑ ( −1)

n

n =1

1
.
n

11) Xét s h i t và h i t tuy t ñ i c a các chu i sau
∞

a) ∑ ( −1)

n −1

n =1

∞

c) ∑ ( −1)
n =1

n −1

 2n + 1 


 3n + 1 
2n + 1
n(n + 1)

n
∞

b) ∑
n =1

∞

( −1)

.n
6n − 5

d) ∑ ( −1)
n =1

6

n −1

n ( n −1)
2

n100
nn


CHƯƠNG 2
Dãy hàm và chu i hàm
S ti t: 12 (Lý thuy t: 10 ti t; bài t p, th o lu n: 02 ti t)
A) M C TIÊU:
Sinh viên hi u nh ng ki n th c cơ b n v dãy hàm và chu i hàm bao g m: s h i t ,

gi i h n c a dãy hàm, t ng c a chu i hàm, ñi u ki n h i t , h i t ñ u, các d u hi u h i t ,
chu i h i t tuy t ñ i, chu i lũy th a và khai tri n hàm s thành chu i.
Sinh viên bi t v n d ng ki n th c đã h c đ tính t ng, kh o sát s h i t c a chu i
hàm và bi u di n hàm s theo chu i lũy th a, chu i Fourier.
B) N I DUNG
2.1. Dãy hàm
2.1.1. Các khái ni m cơ b n
ð nh nghĩa 2.1: Cho các hàm f, f1, f2,..., fn,... cùng xác ñ nh trên X. Dãy hàm (fn)
ñư c g i là h i t v hàm f trên X n u ∀ x0 ∈ X , dãy s {fn(x0)} h i t v f(x0). T c là:

f n ( x0 ) − f ( x0 ) < ε .

∀ε > 0, ∃N (ε , x0 ) ∈ ℕ* , ∀n > N (ε , x0 ) :

ð nh nghĩa 2.2: Dãy hàm (fn) ñư c g i là h i t ñ u v hàm f trên X n u

∀ε > 0, ∃N (ε ) ∈ ℕ* , ∀n > N (ε ) :
Kí hi u: f n ( x )

f n ( x) − f ( x) < ε , ∀ x ∈ X.

f ( x) ∀x ∈ X .

2.1.2. ði u ki n h i t ñ u
ð nh lý 2.1.(Tiêu chu n Cauchy) ði u ki n c n và ñ ñ dãy hàm {fn(x)} h i t ñ u
trên X là v i m i ε > 0 t n t i s t nhiên n0 (ch ph thu c vào ε ) sao cho v i m i m, n >
n0, v i m i x ∈ X ta ln có:
| fn(x) – f(x) | < ε .
ð nh lý 2.2. Dãy hàm {fn(x)} h i t ñ u trên X khi và ch khi

lim sup | f n ( x) − f ( x) |= 0 .
n →∞

X

2.1.3. Tính ch t hàm gi i h n c a dãy hàm
ð nh lý 2.3.(Tính liên t c) Gi s
i) Dãy hàm fn(x) (n =1,2,…) h i t ñ u trên X v hàm f(x)
ii) fn(x) liên t c trên X v i m i n ≥ 1
Khi đó f(x) liên t c trên X.
ð nh lý 2.4.(Tính kh tích) Gi s
i) Dãy hàm fn(x) (n =1,2,…) h i t ñ u trên [a, b] v hàm f(x).
ii) fn(x) kh tích trên [a, b] v i m i n ≥ 1
Khi đó f(x) kh tích trên [a, b] và
b

b

b

a n →∞

a

lim ∫ f n ( x)dx = ∫ lim f n ( x)dx = ∫ f ( x)dx
n →∞ a

7

H qu 2.1. N u m i hàm c a dãy hàm fn(x) (n =1,2,…) ñ u liên t c trên [a, b] và
dãy h i t ñ u trên [a, b] v hàm f(x) thì f(x) kh tích trên [a, b] và
b

b

a

a

b

lim ∫ f n ( x)dx = ∫ lim f n ( x)dx = ∫ f ( x)dx
n →∞

n→∞

a

ð nh lý 2.5. (Tính kh vi) Gi s
i) Các hàm f n ( x) : (a, b) → ℝ kh vi trên (a, b) ∀ n ≥ 1;

ii) Dãy hàm { f n ( x)} h i t t i m t ñi m x0 ∈ (a, b);
iii) Dãy các ñ o hàm { f n/ ( x )} h i t ñ u trên (a, b) v hàm g ( x) .
Khi đó
a) Dãy hàm { f n ( x)} h i t ñ u trên (a, b) v hàm f ( x) .
b) Hàm f ( x) kh vi trên (a, b) và f / ( x) = g ( x), ∀x ∈ (a, b) hay

(

)

/

lim f n ( x) = lim f n/ ( x) .
n →∞

n →∞

2.2. Chu i hàm
2.2.1. Mi n h i t và mi n h i t ñ u
ð nh nghĩa 2.3: Cho dãy {un ( x)} các hàm cùng xác ñ nh trên t p X ⊂ ℝ . Chu i
hàm là t ng hình th c
∞

u1 ( x) + u2 ( x) + ... + un ( x) + ... = ∑ un ( x)
n =1

N u t i x0 ∈ X chu i s

∞

∑ un ( x0 ) h i t thì ta nói x0 là đi m h i t c a chu i hàm

n =1
∞

∑ u ( x) , hay chu
n

i hàm h i t t i x0, n u chu i s

∞

∑ un ( x0 ) phân kỳ thì ta nói x0 là đi m

n =1

n =1
∞

phân kỳ c a chu i hàm

∑ u ( x) , hay chu
n

i hàm phân kỳ t i x0.

n =1

T p h p t t c các ñi m h i t c a m t chu i hàm ñư c g i là mi n h i t c a chu i
∞

∞

n =1

n =1

hàm ∑ un ( x) , khi đó v i m i x ∈X chu i ∑ un ( x ) có t ng là S(x). Như v y

∞

S ( x) = ∑ un ( x) ∀x ∈ X .
n =1

∞

M t ñ nh nghĩa khác: Chu i hàm ∑ un ( x) ñư c g i là h i t t i hàm s(x) trên t p X
n =1

n

n u dãy t ng riêng Sn(x) = ∑ uk ( x) c a nó h i t trên X t i s(x): lim Sn ( x) = s ( x ) .
n →∞
k =1

∞

ð nh nghĩa 2.4: Chu i hàm ∑ un ( x ) ñư c g i là h i t ñ u t i hàm s(x) trên t p X
n =1

n u dãy t ng riêng {Sn(x)} c a nó h i t ñ u t i hàm s(x) trên t p X.

8


∞

Ví d 2.1. Xét chu i ∑ x n .
n =1

∞

n
∑ x có t ng riêng th n là

Ta có v i m i x mà | x |< 1 thì chu i s

n =1
n

S n ( x) = ∑ xi = x
i =1

1 − xn
x
vì xn → 0 .
→
1− x
1− x

V i m i x mà | x | ≥ 1 thì chu i phân kỳ.
∞

Như v y mi n h i t c a chu i hàm là ( – 1 ; 1) và ∑ x n =
n =1

∞

Ví d 2.2. Xét chu i ∑ (−1) n +1
n =1

x
.
1− x

x2
.
(1 + x 2 ) n

V i m i x ∈ ℝ chu i dã cho là chu i ñi u hòa ñan d u nên chu i h i t , vì th nên
chu i có mi n h i t là ℝ .
Áp d ng b t ñ ng th c (1 + x 2 ) n > nx 2 ⇒
+∞

| rn ( x) |=

∑

(−1) k +1

k = n +1

x2
1
< , ta có
2 n
n
(1 + x )

x2

x2
1
≤
< .
2 k
2 n
n
(1 + x )
(1 + x )

1
Khi đó v i ε > 0 cho trư c, ta ch n n0 =   + 1 thì v i m i n ≥ n0 ta ln có
ε 
| rn ( x) |<

1
< ε , ∀x ∈ ℝ.
n

V y chu i h i t ñ u trên ℝ .
b. D u hi u xét s h i t ñ u
∞

ð nh lý 2.6(Tiêu chu n Cauchy): ði u ki n c n và ñ ñ chu i ∑ un ( x ) h i t ñ u
n =1

trên t p X là
p

∀ε > 0, ∃N ∈ ℕ* , ∀n > N , ∀p > 0 : ∑ un +i ( x) < ε ∀x ∈ X .

i =1

∞

ð nh lý 2.7(D u hi u Weierstrass): Cho chu i hàm ∑ un ( x ) g m các hàm xác ñ nh
n =1

∞

trên t p X. N u t n t i m t chu i s dương ∑ an h i t sao cho un ( x) ≤ an∀n, ∀x ∈ X , thì
n =1

chu i đã cho h i t tuy t ñ i và ñ u trên t p X.
ð nh lý 2.8(D u hi u Dirichlet): Cho hai dãy hàm {an ( x)}, {bn ( x)} cùng xác ñ nh

trên t p X. Gi s :
∞

i) Dãy t ng riêng An ( x ) c a chu i hàm ∑ an ( x) b ch n ñ u trên X, t c là t n t i
n =1

m t s dương M sao cho

9


n

| An ( x) |=

∑ a ( x) ≤ M , ∀n, ∀x ∈ X .
i

i =1

ii) Dãy hàm {bn ( x)} ñơn ñi u, t c là v i m i x ∈X dãy s {bn ( x )} ñơn ñi u, và dãy
∞

hàm {bn ( x )} h i t ñ u trên X ñ n hàm 0. Khi đó chu i ∑ an ( x ).bn ( x ) h i t ñ u trên X.
n =1

ð nh lý 2.9(D u hi u Abel ): Cho hai dãy hàm {an ( x)}, {bn ( x)} cùng xác ñ nh trên

t p X. Gi s :
∞

i) Chu i hàm ∑ an ( x) h i t ñ u trên X.
n =1

ii) Dãy hàm {bn ( x )} ñơn ñi u v i m i x ∈X và b ch n đ u trên X. Khi đó chu i
∞

∑ an ( x ).bn ( x ) h i t ñ u trên X.

n =1

+∞

Ví d 2.3. Xét s h i t c a chu i hàm

sin nx
n
n =1

∑

a) Trên ño n ε ≤ x ≤ π − ε , 0 < ε < π .
b) Trên ño n 0 ≤ x ≤ π .
Trư ng h p trên ño n ε ≤ x ≤ π − ε , 0 < ε < π .
+∞

Xét chu i

∑ sin nx , có dãy t

ng riêng

n =1

n

1

n

x
∑ sin kx = x ∑ sin 2 .sin kx =
k =1
sin k =1
2

sin

nx
(n + 1) x
.sin
1
2
2
≤
, ∀ x ∈ [ε , π − ε ] .
x
ε
sin
sin
2
2

1 
Dãy   ñơn ñi u, gi m d n t i không. V y theo d u hi u Dirichlet chu i hàm ñã
n
cho h i t .
Trư ng h p trên ño n 0 ≤ x ≤ π .
T i x = 0 và x = π chu i đã cho h i t và có t ng b ng không. V i 0 < x< π , theo
ph n trên chu i h i t . V y chu i h i t trên [0, π ].
Vì khi ε → 0 thì

1
sin

ε

→ + ∞ nên

2

c. Tính ch t c a t ng c a chu i hàm h i t đ u
c.1. Tính liên t c
ð nh lý 2.10: (i) N u dãy hàm fn(x) (n =1,2,…) h i t ñ u trên [a,b] v hàm f(x) thì
f(x) liên t c trên [a,b].
∞

(ii) N u t t c các s h ng c a chu i s(x) = ∑ un ( x ) liên t c trên [a,b] và chu i
n =1

hàm h i t ñ u trên [a,b], thì t ng s(x) c a nó cũng liên t c trên [a,b].

10


c.2. Tính kh vi
ð nh lý 2.11: (i) N u dãy các hàm kh vi, liên t c fn(x) (n =1,2,…) h i t t i hàm
f ( x) trên [a,b] cịn dãy

{ f ′( x)} h
n

i t đ u v hàm

ϕ ( x) trên [a,b], thì f(x) cũng kh vi trên

[a,b] và

f '( x) = ϕ ( x) = lim f n′( x)
n →∞

(t c là có th chuy n qua gi i h n dư i d u ñ o hàm).
∞

(ii) N u chu i ∑ un ( x) v i các s h ng kh vi liên t c, h i t trên [a,b] và chu i ñ o hàm
n =1

∞

u(x) = ∑ u′ ( x ) h i t
n

đ u trên [a,b], thì t ng S(x) c a chu i kh

vi trên [a,b] và

n =1

∞

′
S ′( x) = u ( x) = ∑ un ( x)
n =1

(t c là có th l y đ o hàm t ng s h ng c a chu i).

c.3. Chuy n qua gi i h n dư i d u tích phân
ð nh lý 2.12: (i) N u dãy hàm liên t c fn(x) (n =1,2,…) h i t ñ u trên [a,b] v hàm

→
f(x), t c là f n ( x)  f ( x ) ∀x ∈ [a,b] thì
→

x

x

x0

x0


→
→
∫ f n ( x) dx  ∫ f ( x)dx ∀xn ∈ [a,b], n → ∞ .
∞

(ii) N u chu i hàm ∑ un ( x ) mà các s h ng c a nó liên t c trên [a,b], h i t ñ u trên ño n
n =1

x

∞

x

x0

n =1

x0

này đ n hàm S(x) thì ta có đ ng th c: ∫ S ( x )dx = ∑ ∫ un (t )dt (t c là có th l y tích phân
t ng s h ng c a chu i trên [x0, x], trong đó x0, x tuỳ ý trên [a,b]), ñ ng th i chu i h i t ñ u
trên [a,b].
c.4. Chuy n qua gi i h n t ng s h ng c a dãy hàm và chu i hàm
∞

ð nh lý 2.13: (i) N u chu i hàm ∑ un ( x ) h i t ñ u trong lân c n ñi m x0 và n u
n =1

∞

∞

∞

k =1

k =1

lim uk ( x) = Ck (k = 1,2,...) thì chu i s ∑ Ck h i t , ñ ng th i lim ∑ uk ( x) = ∑ Ck , nghĩa
x→x
x→x
k =1

0

0

là trong chu i h i t đ u ta có th chuy n qua gi i h n t ng s h ng c a nó.
(ii) N u dãy hàm liên t c fn(x) (n =1,2,…) h i t ñ u trong lân c n ñi m x0 và v i m i n t n
t i gi i h n h u h n lim f n ( x) = An , thì dãy s {An} (n = 1,2,…) cũng h i t và
x → x0

lim(lim f n ( x)) = lim(lim f n ( x)) .
x → x0 n →∞

x →∞ n → x0

2.2. Chu i lu th a
2.2.1. Mi n h i t và bán kính h i t c a chu i lu th a
∞

ð nh nghĩa 2.5: Chu i có d ng ∑ an ( x − a ) ñư c g i là chu i lu th a, h ng s
n

n =0

an ñư c g i là h s c a chu i.

11


ð nh lý 2.14: (i) N u chu i lu th a h i t t i

x0 ≠ a thì nó h i t t i m i

x : x − a < x0 − a . Hơn n a, v i m i s dương r < x0 − a chu i ñã cho h i t ñ u trên
kho ng ( a − r , a + r ).
(ii) N u chu i lu th a phân kỳ t i x0 ≠ a thì nó phân kỳ t i m i x : x − a > x0 − a .
ð nh lý 2.15: T n t i R (0 ≤ R ≤ ∞) sao cho chu i lu th a h i t t i m i x:

x − a < R và phân kỳ t i m i x: x − a > R.
Ngư i ta g i R là bán kính h i t c a chu i, nó đư c xác đ nh theo cơng th c Cauchy
– ama:

1
= lim n an
R n→∞

hay R = lim
n →∞

an
an +1

(n u gi i h n này t n t i).

N u R = 0 thì chu i lu th a ñã cho h i t t i duy nh t m t ñi m x = a, n u R = ∞ thì chu i
h i t trên tồn tr c s .
2.1.1.2. Các tính ch t cơ b n c a chu i lu th a
a) T ng c a chu i lu th a trong mi n h i t là m t hàm liên t c. Hơn n a trong
kho ng h i t nó kh vi vơ h n.
b) N u chu i lu th a phân kỳ t i ñ u mút x = R + a c a kho ng h i t thì chu i
khơng th h i t ñ u trong kho ng [a, R + a).

c) N u chu i lu th a h i t khi x = R + a thì chu i h i t ñ u trên ño n [a, R + a].
ð nh lý 2.16 (Abel): N u chu i lu th a h i t t i ñi m x = R + a thì t ng S(x) c a
∞

nó là hàm liên t c phía trái t i đi m ñó, nghĩa là: S(R+a) = lim S ( x) = ∑ an R (hoàn
n → R + a −0

n

n =0

toàn tương t , ta cũng có kh ng đ nh ñ i v i mút trái c a kho ng h i t ).
2.1.1.3. Khai tri n hàm thành chu i Taylorr
ð nh nghĩa 2.6: (i) Cho hàm f(x) kh vi vơ h n t i đi m a. Chu i lu

th a

f ( k ) (a)
( x − a) k ñư c g i là chu i Taylorr c a f t i a.
∑
k =0
k!
∞

∞

(ii) N u f ( x) = ∑
k =0

f ( k ) (a )

( x − a ) k trên m t kho ng nào đó thì ta nói f khai tri n đư c
k!

thành chu i Taylorr hay có khai tri n Taylorr t i a.
(iii) Khi a = 0, thì khai tri n Taylorr t i 0 ñư c g i là khai tri n Maclorin.
ð nh lý 2.17: ð cho hàm f(x) có khai tri n thành chu i Taylor trên kho ng (a-R,
a+R) ñi u ki n c n và ñ là hàm f(x) kh vi vô h n và ph n dư th n c a chu i Taylor ñ i v i
hàm này ti n d n t i 0 khi n → ∞ trên kho ng đó.
Hàm f(x) khai tri n ñư c thành chu i Taylorr, ñư c g i là hàm gi i tích và khai tri n
Taylorr c a nó là duy nh t.
Ph n dư c a khai tri n hàm thành chu i Taylorr dư i d ng Lagrange:

12


f ( n +1) [a+θ (x-a)]
f ( k ) (a)
k
Rn(x) = f(x) - ∑
( x − a ) n +1 (0 < θ < 1)
( x − a) =
k =0
(n + 1)!
k!
n

Ph n dư c a khai tri n hàm thành chu i Taylorr dư i d ng Cauchy:

f ( n +1) [a+θ1 (x-a)]
(1 − θ ) n ( x − a) n +1 (0 < θ1 < 1, 0 < θ < 1) .

Rn(x) =
n!
2.3. Chu i Fourier
2.3.1. Khái ni m
ð nh nghĩa 2.7: (i) H hàm các hàm

1, cos x, sin x,…,cos nx, sin nx,…
xác ñ nh trên [-π , π ] ñ

c g i là h lư ng giác cơ s . H hàm này tr c giao trên [-π , π ] .

(ii) Cho f(x) là hàm kh tích trên [-ℓ, ℓ] các s

ak =

1

π

1

π

π

−π

π

−π

∫ f ( x )cos kxdx , bk =

∫ f ( x)sin kxdx (k = 0,1,2,…)

ñư c g i là h s Fourier c a hàm f(x) theo h lư ng giác cơ s .
(iii) Chu i lư ng giác:

a0 ∞
+ ∑ ( an cos nx + bn sin nx )
2 n =1
ñươc g i là chu i Fourier c a hàm f(x).
C) TÀI LI U H C T P:
[1] Tr n ð c Long, Nguy n ðình Sang, Hồng Qu c Tồn (2006), Giáo trình gi i tích t p 2,
NXB ðHQG Hà N i
[2] Tr n ð c Long, Nguy n ðình Sang, Hồng Qu c Tồn (2008), Bài t p gi i tích t p 2,
NXB ðHQG Hà N i
D) CÂU H I, BÀI T P, N I DUNG ÔN T P VÀ TH O LU N
1) Xác ñ nh mi n h i t (h i t n tuy t đ i và hơi t có đi u ki n) c a các chu i hàm sau ñây:

n
n
n =1 x
∞

1. ∑

(−1) n  1 − x 
2. ∑



n =1 2 n − 1 1 + x


∞

∞

3. ∑ n.c

n

− nx

n =1

xn
2
n
n =1 (1 + x )(1 + x )...(1 + x )
∞

4. ∑

2) Kh o sát s h i t ñ u c a dãy hàm, chu i hàm
n

1) f n ( x) = nx(1 − x) , D = [0,1]

13

2) f n ( x) =

x
1 + nx 2

D = [0; +∞)

xn
trên ño n [-1; 1].
2
n =1 n
∞

3) ∑
∞

4) ∑ (1 − x) x trên ño n [0; 1].
n

n =1

3) Ch ng minh r ng hàm s

sin nx
liên t c và có đ o hàm liên t c trên kho ng (
n =1
n2
∞

f n ( x) = ∑

- ∞ , + ∞ ).
4) Khai tri n các hàm s sau ñây thành chu i lũy th a nguyên dương c a x.
1. f ( x) =

1
(1 − x) 2

2. f ( x) =

1
1 − x − x2

3. f ( x) = ln(1 + x + x + x )
2

3

5. Khai tri n hàm s sau thành chu i
a) f ( x ) = sin x
3

b) f ( x) =

1
(1 − x)2

c) f ( x) =

x
(1 − x )(1 − x 2 )

d) arcsin x
e) f ( x ) = arctg

2 − 2x
.
1 + 4x

6) Khai tri n thành chu i Fourier các hàm s sau:
a) f ( x ) = x

trong kho ng (-π ;π ) ;

b) f ( x ) = sin ax trong kho ng (-π , π ) (a không ph i là h ng s nguyên);
c) arcsin ( cos x ) ;
d) f ( x) = cos x .

14


CHƯƠNG 3
ð o hàm và vi phân hàm s có nhi u bi n s
S ti t: 16 (Lý thuy t: 14 ti t; bài t p, th o lu n: 2 ti t)
A) M C TIÊU
Sinh viên hi u nh ng ki n th c cơ b n v hàm s nhi u bi n th c bao g m: gi i h n
và tính liên t c, tính kh vi và ñ o hàm riêng, vi phân hàm nhi u bi n.
Sinh viên bi t v n d ng ki n th c ñã h c ñ kh o sát v s t n t i gi i h n, tính gi i

h n, kh o sát tính liên t c, nghiên c u tính kh vi, tính các ñ o hàm riêng và vi phân c a m t
hàm nhi u bi n cho trư c.
B) N I DUNG
3.1. Các khái ni m cơ b n
3.1.1. Gi i h n
Tôpô trong không gian ℝ
ð nh nghĩa 1:
i) T p h p m i c p s th c có th t
{(x1, x2 , xn) : x1, x2 , xn ∈ ℝ }
đư c g i là khơng gian t a ñ n chi u. M i c p (x1, x2 , xn) ñư c g i là m t đi m c a khơng
gian.
n

n

ii) Trong khơng gian ℝ kho ng cách gi a hai ñi m b t kỳ X(x1, x2 , xn), Y(y1, y2 ,
yn) ñư c xác ñ nh b i:
n

XY = ∑ ( xi − yi ) 2 .
i =1
n

iii) Gi s ñi m M0(x1, x2 , xn) ∈ ℝ và ε >0. T p h p m i ñi m M(y1, y2 , yn) ∈ ℝ

n

sao cho M0M < ε ñư c g i là ε -lân c n c a ñi m M0.
iv)
ð nh nghĩa 1: Hàm n bi n là ánh x

f : E ⊂ ℝn → ℝ
( x1 , x2 ,..., xn ) ֏ f ( x1 , x2 ,..., xn ) .

E ñư c g i là t p xác ñ nh c a f .
ð thu n l i cho vi c trình bày, trong chương này ta ch xét trư ng h p hàm hai
bi n, trư ng h p hàm nhi u hơn hai bi n xét tương t .
ð nh nghĩa 2: ð th c a hàm 2 bi n f ( x1 , x2 ) là t p h p các ñi m c a không gian ℝ

3

d ng ( x1 , x2 , f ( x1 , x2 )) .
ð nh nghĩa 3: Gi s

f ( x, y ) là hàm hai bi n xác ñ nh trên t p E và P0 ( x0 , y0 ) là ñi m

gi i h n c a t p E . S b ñư c g i là gi i h n c a hàm s f t i ñi m Po khi M → Po n u

15


v im is

ε > 0 , ∃δ > 0 : ∀ M ( x, y ) ∈ E tho mãn 0 < ρ ( M , P0 ) < δ thì f ( M ) − b < ε .

Kí hi u: lim f ( x, y ) = b hay lim f ( M ) = b.
x → x0
y → y0

M →M0

ð nh lý 1: ði u ki n c n và ñ ñ s b là gi i h n c a f ( M ) khi M → M o là v i m i dãy
ñi m {M n } ⊂ E mà lim M n = P0 thì lim f ( M n ) = b .
n →∞

n →∞

*) Chú ý:
(i) Theo ñ nh lý 1, gi i h n c a hàm không ph thu c vào phương M d n ñ n M o . Do đó n u

M → M o theo các hư ng khác nhau mà f ( M ) d n đ n các giá tr khác nhau thì hàm
f ( M ) khơng có gi i h n khi M → M o .

(ii) Gi i h n c a hàm f ( M ) khi M → M o n u có là duy nh t.
(iii) ð i v i hàm nhi u bi n, cùng v i gi i h n thông thư ng (gi i h n kép) đã nêu trên ngư i
ta cịn xét gi i h n l p như sau:
Gi s f(x,y) xác ñ nh trong hình ch nh t Q = {( x, y ) : x − xo < d1 , y − y0 < d 2 }
có th tr ra chính các đo n x = xo , y = yo . Khi c ñ nh m t giá tr y thì hàm f ( x, y ) tr
thành hàm m t bi n. Gi

s

ñ i v i giá tr

y c ñ nh b t kỳ tho mãn ñi u ki n

0 < y − y0 < d 2 t n t i gi i h n:
lim f ( x, y ) = φ ( y ) ( y c ñ nh).
x → x0

Ti p theo, gi s lim φ ( y ) = b t n t i. Khi ñó ngư i ta nói r ng t n t i gi i h n l p c a hàm
y → y0

f ( x, y ) t i ñi m M 0 ( x0 , y0 ) và vi t:
lim f ( x, y ) = b
x → x0
y → y0

gi i h n lim f ( x, y ) , y c ñ nh, g i là gi i h n trong.
x → x0

Tương t , ta có th phát bi u ñ nh nghĩa gi i h n l p khác lim lim f ( x, y ) trong đó
x → x0 y → y0

gi i h n lim f ( x, y ) , x c ñ nh, là gi i h n trong.
y → y0

Ta có ñ nh lý sau v m i quan h gi a gi i h n kép và gi i h n l p.
ð nh lý 2: Gi s t i ñi m M 0 ( x0 , y0 ) gi i h n kép và các gi i h n trong c a các gi i h n
l p c a hàm f ( x, y ) t n t i. Khi đó các gi i h n l p t n t i và

lim lim f ( x, y ) = lim lim f ( x, y ) = lim f ( x, y ) .
x → x0 y → y0

y → y0 x → x0

x → x0
y → y0

T ñ nh lý này ta th y r ng vi c thay ñ i th t trong các gi i h n không ph i bao gi cũng

th c hi n đư c.
Ví d . Cho hàm s

16


3.1.3. Tính liên t c và liên t c đ u
ð nh nghĩa 4: Cho hàm f ( M ) xác ñ nh trên t p E ⊂ ℝ , ñi m Po ∈ E là ñi m gi i h n
2

c a t p E.
(i) Hàm f ( M ) ñư c g i là liên t c t i đi m Po n u nó có gi i h n t i ñi m Po và gi i h n
đó b ng f ( Po ) .
(ii) N u hàm s

f ( M ) liên t c t i m i đi m P ∈ E thì ta b o f ( M ) liên t c trên E và kí

hi u f ( M ) ∈ C ( E ) . N u hàm s

f không liên t c t i Po thì ta b o f gián ño n t i Po và

P0 ñư c g i là ñi m gián ño n c a f .
Sau ñây chúng ta nghiên c u m t s tính ch t c a hàm liên t c.
ð nh lý 3 (Weierstrass 1): N u hàm s

f ( x, y ) xác ñ nh và liên t c trên t p h p đóng và b

ch n D thì nó b ch n trên mi n y.
ð nh lý 4 (Weierstrass 2): N u hàm s

f ( x, y ) liên t c trên t p h p đóng và b ch n D thì

nó đ t đư c c n trên ñúng và c n dư i ñúng trên mi n y.
Ti p theo, ta chuy n sang nghiên c u v tính liên t c đ u.
ð nh nghĩa 5: Hàm s
v i

m i

s

f xác ñ nh trên t p E ⊂ ℝ 2 ñư c g i là liên t c ñ u trên t p E n u

ε >0, t n t i s

δ (ε ) > 0

sao

cho

v i

m i

c p

ñi m

M ( x, y ) ∈ E; M ′( x′, y′) ∈ E mà ρ ( M , M ′ ) < δ thì f ( M ) − f ( M ′) < ε .

ð nh lý 5 (Cantor): N u hàm s

f liên t c trên t p đóng và b ch n E ⊆ ℝ 2 thì nó liên t c

đ u trên t p đó.
3.2. ð o hàm riêng, tính kh vi và vi phân toàn ph n
3.2.1. ð o hàm riêng
ð nh nghĩa 6: Cho hàm u = f ( x, y ) xác ñ nh trong mi n m D và ñi m P ( x, y ) ∈ D .
N u t n t i gi i h n (h u h n ho c vô h n).

∆ xu
f ( x + ∆x, y ) − f ( x, y )
= ∆lim
x →0
∆x
∆x
thì gi i h n ñó ñư c g i là ñ o hàm riêng c a hàm s u ñ i v i bi n s x t i ñi m P ( x, y )
lim
∆x →0

∂u
∂f ( x, y )
( x, y ),
, f x′( x, y ) .
∂x
∂x
Tương t , ñ o hàm riêng c a hàm s u ñ i v i bi n y t i ñi m P ( x, y ) đư c kí hi u

và kí hi u b ng m t trong các kí hi u sau:

b ng m t trong các kí hi u:

∂u
∂f ( x, y )
( x, y ),
, f y′( x, y ).
∂y
∂y
*) Chú ý: (i) T ñ nh nghĩa ta th y vi c tính đ o hàm riêng th c ch t là tính đ o hàm c a hàm
m t bi n s khi ta xem bi n kia là m t s khơng đ i. Do đó m i cơng th c tính đ o hàm c a
hàm m t bi n v n ñư c b o tồn khi tính đ o hàm riêng.

17


(ii).Hồn tồn tương t , ta có th đ nh nghĩa ñ o hàm riêng c a hàm ba bi n s ho c nhi u
hơn ba bi n s .
3.2.2. Tính kh vi và vi phân tồn ph n
ð nh nghĩa 7: Cho hàm s u = f ( x, y ) . Hi u ∆f = f ( x + ∆x, y + ∆y ) − f ( x, y ) đư c
g i là s gia tồn ph n c a hàm f ( x, y ) t i ñi m M ( x, y ) ∈ D , trong đó M ( −1, −1) là
nh ng s gia c a các bi n x và

η = b1 x + b2 y + b3 z tương ng. Hàm u = f ( x, y ) ñ c g i

là hàm kh vi t i ñi m M ( x, y ) n u s gia toàn ph n c a nó t i đi m M ( x, y ) có th bi u
di n dư i d ng:

∆f = A∆x + B∆y + o( ρ ) ; ( ρ = ∆x 2 + ∆y 2 ),
v i A, B là nh ng h ng s không ph thu c vào ∆x, ∆y . Ph n chính tuy n tính đ i v i s gia
c a ñ i s c a hàm f

kh vi t i ñi m M ( x, y ) ñư c g i là vi phân c a hàm này t i

M ( x, y ) và kí hi u là df : df = A∆x + B∆y .
Sau ñây chúng ta tìm hi u v m i quan h gi a tính kh vi c a l p hàm hai bi n v i
các ñ o hàm riêng c a chúng.
ð nh lý 6: N u hàm f ( x, y ) kh vi t i ñi m M ( x, y ) thì t i đi m đó nó liên t c, có đ o
hàm riêng theo m i bi n và

∂f
∂f
( x, y ) = A, ( x, y ) = B . Như v y
∂x
∂y

∆f =

∂f
∂f
∆x + ∆y + o( ρ ) .
∂x
∂y

ð nh lý 7: N u t i ñi m M ( x, y ) các ñ o hàm riêng

∂f ∂f
t n t i trong m t lân c n c a
;
∂x ∂y

M ( x, y ) thì hàm u = f ( x, y ) kh vi t i M ( x, y ) .
Vì ∆x = dx, ∆y = dy nên bi u th c vi phân c a hàm f ( x, y ) có th vi t dư i d ng:

df =

∂f
∂f
dx + dy .
∂x
∂y

ð nh nghĩa 8 (ð o hàm theo hư ng): N u t n t i gi i h n

∂f
f (M ) − F (M o )
= lim
MM o
∂ ℓ MM →0
o

thì gi i h n đó đư c g i là ñ o hàm c a hàm f ( x, y ) theo hư ng ℓ = MM o cho trư c.
ð nh lý 8: N u hàm f ( x, y ) kh vi t i ñi m ( x, y ) thì t i ñi m này hàm f ( x, y ) có đ o
hàm theo m i hư ng và:

∂f ∂f
∂f
= cosα + sin α , trong đó α là góc h p gi a Ox và
∂y
∂ ℓ ∂x

véc tơ ℓ .
3.2.3. ð o hàm riêng c a hàm h p, tính b t bi n c a vi phân c p m t

18


Gi s

u = f ( x, y ) là hàm kh vi trong mi n D ⊂ R 2 ; x = x(t , s ), y = y (t , s ) là

nh ng hàm kh vi ñ i v i bi n t , s trong mi n D′ và có mi n giá tr thu c D . Khi đó hàm

(

)

h p u = f x ( t , s ) , y ( t , s ) là hàm c a hai bi n (ñ c l p) xác đ nh trong D′ . Ta có:

∂f ∂f ∂x ∂f ∂y
=
+
;
∂t ∂x ∂t ∂y ∂t
∂f ∂f ∂x ∂f ∂y
=
+
.
∂s ∂x ∂s ∂y ∂s
T các h th c này ta cũng suy ra tính b t bi n c a d ng vi phân c p m t c a hàm hai bi n.
Ngồi ra ta có các cơng th c và qui t c tính vi phân gi ng như trư ng h p hàm m t bi n.

3.3. ð o hàm và vi phân c p cao
3.3.1. ð o hàm riêng c p cao

∂2 f
∂  ∂f 
′
′′
=   = f xx ( x, y ) = ( f x′( x, y ) ) x ;
2
∂x
∂x  ∂x 

′
∂2 f
∂  ∂f 
′′
=   = f yy ( x, y ) = ( f y′( x, y ) ) y ;
2
∂y
∂y  ∂y 
∂2 f
∂  ∂f 
′
′′
=   = f xy ( x, y ) = ( f x′( x, y ) ) y ;
∂x∂y ∂y  ∂x 
′
∂2 f
∂  ∂f 
′′

=   = f yx ( x, y ) = ( f y′( x, y ) ) x .
∂y∂x ∂x  ∂y 
ð nh lý sau cho th y trong m t s trư ng h p ta có th thay ñ i th t l y ñ o hàm
riêng.

∂2 f
∂2 f
và
t n t i trong m t lân c n nào
ð nh lý 8: N u các ñ o hàm riêng h n h p
∂y∂x
∂x∂y
∂2 f
∂2 f
đó và liên t c t i ñi m M ( x, y ) thì
(M ) =
(M ).
∂y∂x
∂x∂y
b) Nh n xét: (i) T ñ nh nghĩa ñ o hàm riêng c p hai ta có th đ nh nghĩa đ o hàm riêng c p
cao hơn.
(ii) Nh ñ nh lý trên ta d dàng ch ng minh ñư c r ng b t kỳ hai ñ o hàm riêng h n h p
(v i c p tuỳ ý) nào ch khác nhau th t l y ñ o hàm mà liên t c t i m t ñi m P ( x, y ) ∈ D
cũng ñ u b ng nhau t i đi m đó.
3.3.2. Vi phân c p cao
N u hàm s

u = f ( x, y ) có các ñ o hàm riêng liên t c ñ n c p n thì t n t i vi phân

c p n. Vi phân c p n c a hàm s u = f ( x, y ) n u t n t i

n

(

ñư c ñ nh nghĩa như sau: d u = d d

u) .

n −1

19


n

∂

∂
d u =  dx + dy  u .
∂y 
 ∂x
n

Cách vi t (hình th c):

3.4. Cơng th c Taylorr c a hàm hai bi n
N u hàm f ( x, y ) kh vi n l n trong lân c n nào đó c a đi m M ( x, y ) thì v i t t c
các ñi m M ′ ( x + h, y + k ) thu c lân c n c a ñi m M ( x, y ) ta có cơng th c:
q

n

1 ∂
1 ∂
∂ 
∂ 
f ( x + h, y + k ) = ∑  h + k  f ( x, y ) +  h + k  f ( x + θ h, y + θ k )
q =0 q !
n!  ∂x
∂y 
∂y 
 ∂x
n −1

,
trong đó 0 < θ < 1.
ð c bi t khi M ( x, y ) trùng v i ñi m g c O(0,0) thì ta g i cơng th c Taylorr là công
th c Maclorin.
3.5. C c tr c a hàm hai bi n. C c tr có đi u ki n
3.5.1. Khái ni m c c tr
ð nh nghĩa 1: Cho hàm s u = f ( x, y ) xác ñ nh trong mi n m D và ñi m Po ( xo , yo ) ∈ D .
Ta nói r ng Po ( xo , yo ) là m t ñi m c c ñ i (c c ti u ) ñ a phương c a hàm s u n u t n t i
m t lân c n S ( Po , R ) ⊂ D sao cho f ( x, y ) < f ( xo , yo ) , ( f ( x, y ) > f ( xo , yo )) v i m i
ñi m P( x, y ) ∈ S ( Po , R) , P ≠ Po .
ði m c c ñ i ñ a phương và ñi m c c ti u ñ a phương ñư c g i chung là ñi m c c tr ñ a
phương.
*) Chú ý: Tương t như ñ i v i hàm s th c m t bi n, không m y khó khăn ta nh n th y
r ng giá tr c c ñ i ñ a phương (tương ng: c c ti u đ a phương) nhìn chung khơng ph i là giá
tr l n nh t (tương ng: giá tr nh nh t) c a hàm s .
3.5.2. ði u ki n t n t i c c tr ñ a phương

ð nh lý 3.1: N u hàm f ( x, y ) có c c tr đ a phương t i đi m Po thì t i đi m Po c hai ñ o
hàm riêng c a hàm f (n u t n t i) ñ u b ng 0 ho c ít nh t m t trong hai đ o hàm riêng
khơng t n t i (ðó là nh ng ñi m t i h n ho c ñi m d ng c a hàm f ( x, y ) ).
*) Chú ý: Không ph i m i ñi m d ng ñ u là ñi m c c tr .
ð nh lý 3.2: Gi

B=

s

P0 là ñi m d ng c a hàm s

f(x, y). ð t : A =

∂2 f
( Po ) ,
∂x 2

∂2 f
∂2 f
( Po ) , C = 2 ( Po ) , ∆ = B 2 − AC . Khi đó:
∂x∂y
∂y

(i) N u ∆ < 0 thì hàm s

f có c c tr ñ a phương t i Po ( A < 0 thì P0 là đi m c c đ i,

A > 0 thì Po là đi m c c ti u).
(ii) N u ∆ > 0 thì đi m Po khơng ph i là đi m c c tr c a hàm s

20

f.


(iii) N u ∆ = 0 thì t i đi m Po hàm có th có và cũng có th khơng có c c tr đ a phương.
Ví d : Tìm c c tr c a hàm s z = x3 + 2y3 – 3x – 6y
/
Ta có z x = 3 x 2 − 3,

/
/
//
/
z x/ = 3 x ; z y = 6 x 2 − 6, z y/ = 12 y, z xy = 0 ,
2

2

 2
 x = ±1
3x − 3 = 0
Xét h  2
.
⇔
6 y − 6 = 0
 y = ±1

V y các ñi m t i h n là M(1; 1), N(1; - 1), P(-1; 1), Q( -1; -1) .

T i M, ta có A = 3, B = 0, C = 12, ∆ < 0, A > 0 nên M là ñi m c c ti u.
T i N, ta có A = 3, B = 0, C = -12, ∆ > 0, nên M khơng là đi m c c tr .
T i P, ta có A = - 3, B = 0, C = 12, ∆ > 0, nên M khơng là đi m c c tr .
T i Q, ta có A = - 3, B = 0, C = - 12, ∆ < 0, A < 0 nên M là ñi m c c ñ i.
3.5.3. Hàm s n, c c tr có đi u ki n
3.5.3.1. Khái ni m hàm s n
Cho phương trình
F(x, y) = 0

(3.1)

trong đó F(x, y): U → R là m t hàm hai bi n xác ñ nh trên m t t p con U c a R2. N u v i
m i x = x0 c ñ nh trong m t kho ng I nào đó, có m t hay nhi u giá tr y0 sao cho F(x0, y0) =
0, ta nói phương trình (3.1) xác đ nh m t hay nhi u hàm s n y theo x trong kho ng I. V y
hàm s f: I → R là hàm s

n xác ñ nh b i (3.1) n u:
∀ x ∈ I, (x, f(x)) ∈ U và F(x, f(x)) = 0

Ví d :
1) T phương trình
x + xy – y – 1 = 0
ta ñư c

y = −1
Phương trình trên xác đ nh m t hàm s

n xác ñ nh trong R.

2) T phương trình

x2 + y2 = 1
ta đư c

y = ± 1 − x2
Phương trình trên xác ñ nh hai hàm s n xác ñ nh trong đo n [ - 1; 1].
Ta có các đ nh lý sau kh ng ñ nh v s t n t i, tính liên t c và tính kh vi c a các hàm
s

n.
ð nh lý 3.3 . Cho phương trình
F(x, y) = 0

(3.1)

trong đó F(x, y): U → R là m t hàm hai bi n có các ñ o hàm riêng liên t c trên m t t p h p
/

m U c a R2. Gi s (x0, y0) ∈ U, F(x0, y0) = 0. N u Fy ( x0 , y0 ) ≠ 0 thì phương trình (3.1)

21


xác ñ nh trong m t lân c n nào ñó c a ñi m x0 m t hàm s

n duy nh t y = f(x), th a mãn: y0

= f(x0), liên t c, có đ o hàm liên t c trong lân c n nói trên.
Chú ý:
/

+ ð i vai trò c a x và y Gi s (x0, y0) ∈ U, F(x0, y0) = 0. N u Fx ( x0 , y0 ) ≠ 0 thì
phương trình (3.1) xác ñ nh trong m t lân c n nào ñó c a ñi m y0 m t hàm s
f(y), x0 = f(y0), liên t c, có đ o hàm liên t c trong lân c n nói trên. .

n duy nh t x =

+ N u Fx/ ( x0 , y0 ) = Fy/ ( x0 , y0 ) = 0 thì khơng k t lu n đư c gì v s t n t i hàm n
xác đ nh b i phương trình (3.1). Khi đó đi m (x0, y0) ñư c g i là ñi m kỳ d c a phương trình
(3.1).
3.5.3.2. ð o hàm hàm s n
Gi s gi thi t c a ñ nh lý trên đư c th a mãn. Khi đó phương trình (3.1) xác đ nh
duy nh t
3.5.3.3. C c tr có ñi u ki n
Ngư i ta g i c c tr có đi u ki n c a hàm s z = f ( x, y ) là c c tr c a hàm đó đ t đư c v i ñi u ki n các bi n x và y tho mãn phương trình g ( x, y ) = 0 (Phương trình ràng
bu c).
ð tìm c c tr có đi u ki n v i đi u ki n ràng bu c g ( x, y ) = 0 ta l p hàm
Lagrange: F ( x, y , λ ) = f ( x, y ) + λ g ( x, y ) . Trong đó

λ là h ng s nhân chưa ñư c xác

ñ nh và ñi tìm c c tr thơng thư ng c a hàm b tr này. ðây là phương pháp nhân t
Lagrange.
Tìm đi u ki n c n ñ t n t i c c tr có đi u ki n là gi i h phương trình:

∂g
 ∂f
( x, y ) + λ ( x , y ) = 0
 ∂x
∂x


 ∂f
 ( x, y ) + λ ∂g ( x, y ) = 0
 ∂y
∂y

φ ( x, y ) = 0


(4.1)

T h này ta có th xác đ nh x, y , λ .
V n ñ t n t i và ñ c tính c a c c tr đ a phương ñư c xác ñ nh d a trên cơ s xét d u
c a vi phân c p hai c a hàm b tr :

∂2F 2
∂2F
∂2F 2
d F = 2 dx + 2
dxdy + 2 dy
∂x
∂x∂y
∂y
2

(đư c tính đ i v i các giá tr

x, y, λ thu ñư c khi gi i h (4.1) v i ñi u ki n là:

∂g
∂g

dx + dy = 0, dx 2 + dy 2 ≠ 0 ).
∂x
∂y
2

+ N u d F < 0 thì hàm f ( x, y ) có c c ñ có ñi u ki n .

22


2

+ N u d F > 0 thì hàm f ( x, y ) có c c ti u có ñi u ki n
+ N u A > 0 thì hàm f ( x, y ) chưa cho k t lu n (c n ph i kh o sát thêm).
*) Nh n xét:
(i) Vi c tìm c c tr c a hàm ba bi n ho c nhi u hơn ba bi n ñư c ti n hành tương t như hàm
hai bi n.
(ii) Tương t như hàm hai bi n, ta có th tìm c c tr có đi u ki n c a hàm ba bi n ho c nhi u
hơn v i m t ho c nhi u phương trình ràng bu c ( s phương trình ràng bu c ph i ít hơn s
bi n). Khi ñó c n l p hàm b tr v i s th a s chưa xác ñ nh b ng s phương trình ràng
bu c.
(iii) Ngồi phương pháp th a s b t đ nh Lagrange ngư i ta cịn dùng phương pháp kh bi n
s đ tìm c c tr có đi u ki n (xem bài t p cu i chương).
Ví d :
2

2

1) Tìm c c tr c a hàm s z = 2 x + 3 y , v i ñi u ki n x + y – 5 = 0.
2) Tìm c c tr c a hàm s z = x − y , v i ñi u ki n x2 + y2 ≤ 4.

2

3) Tìm c c tr c a hàm s

2

z = x 2 + 2 xy − 4 x + 8 y , trong hình ch nh t gi i h n

b i các ñư ng x = 0, x = 1, y = 0, y = 2.
Giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a hàm trong m t mi n đóng D
Cách tìm: Tìm t t c các ñi m d ng c a chúng trong mi n D, tính giá tr c a hàm f t i
nh ng ñi m này và so sánh giá tr c a chúng v i giá tr c a hàm trên biên c a D.
*) Tài li u h c t p:
[1] Nguy n Văn Khuê, Ph m Ng c Thao, Lê M u H i, Nguy n ðình Sang (1997), Toán cao
c p, t p 2, Nhà Xu t b n Giáo d c, Hà N i.
[2] Vũ Tu n, Phan ð c Thành, Ngô Xuân Sơn (1997), Gi i tích Tốn h c, t p 2, 3, Nhà Xu t
b n Giáo d c, Hà N i.
*) Câu h i, bài t p, n i dung ôn t p và th o lu n
1) Tìm các gi i h n sau:
a) lim (1 + xy )
x →0
y →2

2
x + xy
2

2

b) lim

x2 + ( y − 2) + 1 − 1
x2 + ( y − 2)

x →0
y →2

x4 + y 4
c) lim 2
x →0
x + y2
y →0
2) Kh o sát s t n t i c a các gi i h n sau
a) lim
x →0
y →0

xy
x + y2
2

b) lim
x →0
y →0

sin x − shy
shx − sin y

23

2


(1 + x 2 + y 2 )(1 − cos y )
c) lim
x →0
y2
y →0
3) Kh o sát s

t n t i gi i h n l p c a các hàm t i ñi m cho trư c

1
1
sin , M o (0,0)
x
y

a) f ( x, y ) = ( x + y )sin
b) f ( x, y ) =

xy
, M o (0,0) .
x + y2
2

4) Ch ng minh r ng ñ i v i hàm f ( x, y ) =

(

x− y
ta có: lim lim f ( x, y ) = 1 ;
x →0
y →0
x+ y

(

)

)

lim lim f ( x, y ) = −1, trong khi đó lim f ( x, y ) không t n t i.
x →0
y →0
x →0
y →0

5) Kh o sát s liên t c c a các hàm s sau và c a các ñ o hàm riêng c p m t c a chúng.

 2
 1 
2
khi ( x, y ) ≠ (0,0).
( x + y )sin  2
2 
a) f ( x, y ) = 
x +y 

khi ( x, y ) = (0,0)

 0

 x3 − y3
 2
2
b) f ( x, y ) =  x + y
0


khi ( x, y ) ≠ (0,0).
khi ( x, y ) = (0,0)

6) Tìm các ñi m gián ño n c a các hàm s sau.
a) f ( x, y ) =

x− y
x3 − y 3

b) f ( x, y ) =

1
x2 + y 2

.
2

7) Kh o sát tính liên t c đ u c a hàm f ( x, y ) = 2 x − 3 y + 5 trong m t ph ng ℝ .
8) Hàm f ( x, y ) = sin

π

2

2

1− x − y

2

2

có liên t c đ u trong mi n x + y < 1 hay không.

9) Khai tri n hàm f ( x, y ) = 2 x − xy − y − 6 x − 3 y + 5 theo công th c Taylorr trong lân
2

2

c n đi m A(1, −2) .
10) Tìm s gia c a hàm f ( x, y ) = x y + xy − 2 xy khi chuy n t giá tr x = 1, y = −1 t i
2

2

các giá tr x1 = 1 + h, y1 = −1 + k .
11) Tìm c c tr c a các hàm s sau.
3

3

a) f ( x, y ) = x + y − 3 xy
b) f ( x, y ) = e

− ( x2 + y 2 )

(2 x 2 + 3 y 2 )

12) Tìm c c tr c a hàm s
2

a) z = 1 − x − y

2

v i ñi u ki n x + y − 1 = 0 .

24