nguyên hàm,tích phân hàm lượng giác 1
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (834.27 KB, 17 trang )
1
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC
I. KIẾN THỨC
Công thức cơ bản
tên hàm số
Công thức đạo hàm
Đạo hàm của hàm số hợp
Các hàm số
thường gặp
C
=0 (C là hằng số)
x
=1 (kx)’=k (k là hằng số )
n
x
=n.x
n-1
(n
N, n
2)
n
u
=n.u
n-1
.u
/
2
11
xx
(x
0)
/
2
1u
u
u
(u 0)
)( x
=
x2
1
(x>0)
/
u
u
2u
(u 0)
Hàm số
lượng giác
/
/
/
2
2
/
2
2
sin cos
cos sin
1
1 tan
cos
1
cot 1 cot
sin
xx
xx
tanx x
x
xx
x
/
/
/
/
/
/
2
/
/
2
sin cos .
cos sin .
1
tan .
cos
1
cot .
sin
u u u
u u u
uu
u
uu
u
Hàm lũy
thừa
(x
α
)
/
= α x
α -1
(u
α
)
/
= α u
α -1
u
/
Hàm số mũ
(e
x
)’ = e
x
(a
x
)’ = a
x
lna
( e
u
)’ = u’ .e
u
( a
u
)’ = u’ .a
u
.lna
Hàm logarít
(lnx )’ =
1
x
(x>0)
(ln /x/ )’ =
1
x
(x≠0)
(
log
a
x
)’ =
1
lnxa
(x>0, 0<a1)
(
log
a
x
)’ =
1
lnxa
(x>0, 0<a1)
( lnu)’ =
'u
u
(u>0)
( ln /u/ )’ =
'u
u
(u≠0)
(
log
a
u
)’ =
'
ln
u
ua
(u>0, 0<a≠0)
(
log
a
u
)’ =
'
ln
u
ua
(u>0, 0<a≠0)
3. Bảng nguyên hàm các hàm số đơn giản
u là hàm số theo biến x,
tức là
()u u x
*Trường hợp đặc biệt
,0u ax b a
*Nguyên hàm của các hàm số đơn giản
dx x C
du u C
k dx k x C
, k là hằng số
k du k u C
1
1
x
x dx C
1
1
u
u du C
1
1 ( )
( ) . .
1
ax b
ax b dx C
a
2
1
lndx x C
x
1
lndu u C
u
11
ln
()
dx ax b C
ax b a
11
2
dx C
x
x
11
2
u
u
dx C
1
2dx x C
x
1
2du u C
u
11
.2du ax b C
a
ax b
*Nguyên hàm của hàm số mũ
C
xx
e dx e
C
uu
e du e
1
ax b ax b
e dx e C
a
C
xx
e dx e
C
uu
e du e
,0 1
ln
Ca
x
a
x
a dx
a
ln
C
u
a
u
a du
a
. , 0
1
ln
m
m
mx n
a
mx n
a dx C
a
*Nguyên hàm của hàm số lượng giác
cos . sin Cx dx x
cos . sin Cu du u
1
cos( ) sin( )ax b dx ax b C
a
sin . cosx dx x C
sin . cos Cu du u
1
sin( ) cos( )ax b dx ax b C
a
1
tan
2
cos
dx x C
x
1
tan
2
cos u
du u C
11
tan( )
2
cos ( )
dx ax b C
a
ax b
1
cot
2
sin
dx x C
x
1
cot
2
sin
du u C
u
11
cot ( )
2
sin ( )
dx g ax b C
a
ax b
Một số ví dụ trong trường hợp đặc biệt
*Trường hợp đặc biệt
u ax b
Ví dụ
1
cos . sin
k
kxdx kx C
,( 2)
2
1
cos2 . sin2 kx dx x C
1
sin . cos
k
kxdx kx C
2
1
sin2 . cos2x dx x C
1
C
k
kx kx
e dx e
1
2
22
C
xx
e dx e
1
1 ( )
( ) . .
1
ax b
ax b dx C
a
21
23
1
.(
2 2 1 6
1 (2 1)
(2 1) . . 2 1)
x
x dx C x C
11
ln
()
dx ax b C
ax b a
3
11
ln 3 1
31
dx x C
x
11
.2du ax b C
a
ax b
2
33
11
.2 3 5 3 5
35
du x C x C
x
1
ax b ax b
e dx e C
a
2
1
2 1 2 1xx
e dx e C
3
. , 0
1
ln
m
m
mx n
a
mx n
a du C
a
5
5.
2
21
1
21
ln5
x
x
dx C
1
cos( ) sin( )ax b dx ax b C
a
2
1
cos(2 1) sin(2 1)x dx x C
1
sin( ) cos( )ax b dx ax b C
a
3
1
sin(3 1) cos(3 1)x dx x C
11
tan( )
2
cos ( )
dx ax b C
a
ax b
2
11
tan(2 1)
2
cos (2 1)
dx x C
x
11
cot( )
2
sin ( )
dx ax b C
a
ax b
3
11
cot(3 1)
2
sin (3 1)
dx x C
x
Chú ý:
a/
1
sin ax+b os ax+bdx c
a
b/
sin ax+b
ln os ax+b
os ax+b
dx c
c
c /
1
os ax+b sin ax+bc dx
a
d/
os ax+b
ln sin ax+b
sin ax+b
c
dx
Dạng 1 :
nxdxmxI cos.sin
Cách làm: biến đổi tích sang tổng .
Dạng 2 :
dxxxI
nm
.cos.sin
Cách làm :
Nếu
nm,
chẵn . Đặt
xt tan
Nếu
m
chẵn
n
lẻ . Đặt
xt sin
(trường hợp còn lại thì ngược lại)
Dạng 3 :
cxbxa
dx
I
cos.sin.
Cách làm :
Đặt :
2
2
2
1
1
cos
1
2
sin
2
tan
t
t
x
t
t
x
x
t
Dạng 4 :
dx
xdxc
xbxa
I .
cos.sin.
cos.sin.
Cách làm :
Đặt :
xdxc
xdxcB
A
xdxc
xbxa
cos.sin.
)sin.cos.(
cos.sin.
cos.sin.
Sau đó dùng đồng nhất thức .
Dạng 5:
dx
nxdxc
mxbxa
I .
cos.sin.
cos.sin.
4
Cách làm :
Đặt :
nxdxc
C
nxdxc
xdxcB
A
nxdxc
mxbxa
cos.sin.cos.sin.
)sin.cos.(
cos.sin.
cos.sin.
Sau đó dùng đồng nhất thức.
Ví dụ 1. Tính các tích phân sau :
a. ĐH, CĐ Khối A – 2005
2
0
cos31
sin2sin
dx
x
xx
I
b ĐH, CĐ Khối B – 2005 .
dx
x
xx
I
2
0
cos1
cos2sin
a.
22
00
2cos 1 sinx
sin2 sin
1
1 3cos 1 3cos
x
xx
I dx dx
xx
Đặt :
2
t 1 2
osx= ;sinxdx=-
33
1 3cos
0 2; 1
2
c tdt
tx
x t x t
Khi đó :
2
12
2
3
21
1
21
2
3
2 2 1 2 1 34
2
1
3 9 9 3 27
t
t
I tdt dt t t
t
b.
22
2 2 2
0 0 0
sin2 cos 2sin cos os
2 sinxdx 1
1 cos 1 cos osx+1
x x x x c x
I dx dx
x x c
Đặt :
2
dt=-sinxdx, x=0 t=2;x= 1
2
1 osx
1
1
( ) 2
t
tc
t
f x dx dt t dt
tt
Do đó :
1
2
2
02
2
11
2 ( ) 2 2 2 2 ln 2ln2 1
1
2
I f x dx t dt t t t
t
Ví dụ 2. Tính các tích phân sau
a. ĐH- CĐ Khối A – 2006 .
2
22
0
sin 2x
I dx
cos x 4sin x
KQ:
2
3
b. CĐ Bến Tre – 2005 .
2
0
1sin
3cos
dx
x
x
I
KQ:
2 3ln2
5
a.
2
22
0
sin 2x
I dx
cos x 4sin x
. Đặt :
2 2 2 2 2
os 4sin os 4sint c x x t c x x
Do đó :
2
2 2sin cos 8sin cos 3sin 2 sin2
3
0 1; 2
2
tdt x x x x dx xdx xdx tdt
x t x t
Vậy :
22
2
0 1 1
2
2 2 2 2
()
1
3 3 3 3
tdt
I f x dx dt t
t
b.
2
0
1sin
3cos
dx
x
x
I
.
Ta có :
3 2 2 2
os3x=4cos 3cos 4cos 3 osx= 4-4sin 3 osx= 1-4sin osxc x x x c x c x c
Cho nên :
2
1 4sin
os3x
( ) osxdx 1
1+sinx 1 sinx
x
c
f x dx dx c
Đặt :
2
dt=cosxdx,x=0 t=1;x= 2
2
1 sinx
1 4 1
3
( ) 8 4
t
t
t
f x dx dt t dt
tt
Vậy :
2
2
2
01
2
3
( ) 8 4 8 2 3ln 2 3ln2
1
I f x dx t dt t t t
t
Ví dụ 3. Tính các tích phân sau
a. CĐ Sư Phạm Hải Dương – 2006 .
2
3
0
cos2x
I dx
sin x cos x 3
KQ:
1
32
b. CĐ KTKT Đông Du – 2006 .
4
0
cos2x
I dx
1 2 sin 2x
KQ:
1
ln 3
4
a.
2
3
0
cos2x
I dx
sin x cos x 3
. Vì :
22
cos2 os sin osx+sinx osx-sinxx c x x c c
Cho nên :
33
osx-sinx
os2x
( ) osx+sinx
sinx-cosx+3 sinx-cosx+3
c
c
f x dx dx c dx
Đặt :
3 2 3
dt= cosx+sinx ; 0 2, 4
2
sinx-cosx+3
3 1 1
( ) 3
dx x t x t
t
t
f x dx dt dt
t t t
6
Vậy :
4
2
2 3 2
02
4
1 1 1 3 1 1
( ) 3
2
4 32
I f x dx dt
t t t t
b.
4
0
cos2x
I dx
1 2 sin 2x
. Đặt :
1
4cos2 os2xdx=
4
1 2sin 2
0 1; 3
4
dt xdx c dt
tx
x t x t
Vậy :
3
4
01
3
cos2x 1 dt 1 1
I dx ln t ln 3
1 2 sin 2x 4 t 4 1 4
Ví dụ 4.Tính tích phân :
a)
2
0
4
1
)1(sin
cos
x
xdx
I
b)
2
0
5
2
cos
xdxI
c)
4
0
6
3
tan
xdxI
Bài làm :
a) Đặt :
xdxdtxt cos1sin
Đổi cận :
2
2
10
tx
tx
Vậy :
24
7
3
1
)1(sin
cos
2
1
3
2
1
4
2
0
4
1
tt
dt
x
xdx
I
b) Đặt :
xdxdtxt cossin
Đổi cận :
1
2
00
tx
tx
Vậy :
15
8
3
2
5
211cos
1
0
1
0
3
5
1
0
1
0
24
2
2
2
0
5
2
tt
t
dtttdttxdxI
c) Đặt :
dxxdtxt )1(tantan
2
Đổi cận :
1
4
00
tx
tx
7
Vậy :
415
13
35
1
1
1
1
tan
4
0
1
0
35
1
0
1
0
2
24
2
6
4
0
6
3
dut
tt
dt
t
tt
t
dtt
xdxI
Ví dụ 5.Tính các tích phân sau :
a)
2
0
1
5cos3sin4
1
dx
xx
I
b)
2
0
2
5cos3sin4
6cos7sin
dx
xx
xx
I
Bài làm :
a) Đặt :
1
2
1
2
tan
2
tan
2
2
t
dt
dxdx
x
dt
x
t
Đổi cận :
1
2
00
tx
tx
Vậy :
6
1
2
1
1
5
1
1
3
1
2
4
1
2
1
0
1
0
2
1
0
2
2
2
2
1
t
t
dt
dt
t
t
t
t
t
I
b)Đặt :
5cos3sin45cos3sin4
sin3cos4
5cos3sin4
6cos7sin
xx
C
xx
xx
BA
xx
xx
Dùng đồng nhất thức ta được:
1,1,1 CBA
Vậy :
6
1
8
9
ln
2
5cos3sin4ln
5cos3sin4
1
5cos3sin4
sin3cos4
1
5cos3sin4
6cos7sin
1
2
0
2
0
2
0
2
Ixxx
dx
xxxx
xx
dx
xx
xx
I
Ví dụ 6. Tính các tích phân sau
a. I =
3
3
2
3
sin x sin x
cotgxdx
sin x
b. I =
2
2
sin( x)
4
dx
sin( x)
4
c. I =
2
4
0
sin xdx
d. I =
dxxxnsix )cos(2cos
44
2
0
giải:
8
a. I =
3
3
3
2
22
33
1
sinx 1
sin x sin x
sin x
cotgxdx cotxdx
sin x sinx
22
3
2
3
2
33
1
1 cot xdx cot x cot xdx
sin x
b. I =
22
22
sin( x)
cosx-sinx
4
dx dx
cosx+sinx
sin( x)
4
2
2
d cosx+sinx
2
ln cosx+sinx 0
cosx+sinx
2
c. I =
2
2 2 2
4
0 0 0
1 cos2x 1 1 cos4x
sin xdx dx 1 2cos2x dx
2 4 2
2
0
3 1 1 3 1 1 3
cos2x+ cos4x dx x sin2x sin4x
2
8 2 8 8 4 32 16
0
d. I =
dxxxnsix )cos(2cos
44
2
0
. Vì :
4 4 2
1
sin os 1 sin 2
2
x c x x
Cho nên :
2 2 2
2 2 3
0 0 0
1 1 1 1
1 sin 2 os2xdx= os2xdx- sin 2 cos2 sin2 sin 2 0
22
2 2 2 3
00
I x c c x xdx x x
Ví dụ 7 . Tính các tích phân sau
a.
3
4
4
tan xdx
(Y-HN-2000) b.
4
0
os2x
sinx+cosx+2
c
dx
(NT-2000) c.
6
2
4
4
os
sin
cx
dx
x
(NNI-2001)
d.
2
4
6
0
sin
os
x
dx
cx
( GTVT-2000) e.
2
2
0
sin 2
4 os
x
dx
cx
f.
2
4
0
1 2sin
1 sin 2
x
dx
x
(KB-03)
Giải
9
a.
3
4
4
tan xdx
. Ta có :
2
2
4
4
4 4 4 2
1 os
sin 1 1
( ) tan 2 1
os os os os
cx
x
f x x
c x c x c x c x
Do đó :
3 3 3
2
4 2 2
4 4 4
11
3
( ) 2 1 1 tan 2tan
os os os
4
dx
I f x dx dx x x x
c x c x c x
3
1 4 2
3
tanx+ tan 2 3 2 2 3 2 3 2
3 12 3 12 3 12
4
x
* Chú ý : Ta còn có cách phân tích khác :
4 2 2 2 2 2 2 2 2
( ) tan tan tan 1 1 tan 1 tan tan tan 1 tan tan 1 1f x x x x x x x x x x
Vậy :
3 3 3 3
2 2 2 2
22
4 4 4 4
tan 1 tan tan 1 1 tan .
os os
dx dx
I x x x dx x dx
c x c x
3
1 1 1 2
3
tan tanx+x 3 3 3 1
3 3 3 3 4 3 12
4
Ix
b.
4
0
os2x
sinx+cosx+2
c
dx
.
Ta có :
22
3 3 3
os sin
osx-sinx osx+sinx
os2x
()
sinx+cosx+9 sinx+cosx+9 sinx+cosx+9
c x x
cc
c
fx
Do đó :
44
3
00
osx+sinx
( ) osx-sinx 1
sinx+cosx+2
c
I f x dx c dx
Đặt :
3 2 3
cosx+sinx=t-2.x=0 t=3;x= 2 2,
4
sinx+cosx+2
2 1 1
osx-sinx ( ) 2
t
t
t
dt c dx f x dx dt dt
t t t
Vậy :
22
22
2 3 2
3
1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2
22
2
3 9 3
22
3
2 2 2 2
I dt
t t t t
sin ost sin ost
sin ost os sin t ( )
sin ost+9 sin ost+9
t c t c
t c dt c t dt f x
t c t c
10
c.
6
2
4
4
os
sin
cx
dx
x
Ta có :
3
2
6 2 4 6
2
4 4 4 4 2
1 sin
os 1 3sin 3sin sin 1 1
( ) 3 3 sin
sin sin sin sin sin
x
c x x x x
f x x
x x x x x
Vậy :
2 2 2 2
2
22
4 4 4 4
1 os2x
1 cot 3 3
sin sin 2
dx dx c
I x dx dx
xx
3
1 1 1 5 23
2
cot 3cot 3 sin 2
3 2 4 8 12
4
x x x x x
d.
22
4 4 4 4 4
2
6 6 6 4 4 2 2
0 0 0 0 0
sin 1 os 1 1 1 1
1 tan
os os os os os os os
x c x dx
dx dx dx dx x
c x c x c x c x c x c x c x
4 4 4 4
2
2 2 2 4 2
22
0 0 0 0
11
1 tan 1 tan 1 2tan tan tan 1 tan tanx
os os
x dx x dx x x d x x d
c x c x
3 5 3 3 5
2 1 1 1 1 8
tanx+ tan tan tanx- tan tan tan
44
3 5 3 3 5 15
00
x x x x x
e.
2 2 2 2
2
0 0 0 0
7 os2x
sin2 sin 2 2sin2 3
ln 7 os2x ln
2
1 os2x
4 os 7 os2x 7 os2x 4
4
0
2
dc
x x x
dx dx dx c
c
c x c c
f.
2
4 4 4
0 0 0
1 sin2
1 2sin os2 1 1 1
ln 1 sin2 ln2
4
1 sin2 1 sin 2 2 1 sin 2 2 2
0
dx
x c x
dx dx x
x x x
Ví dụ 8. Tính các tích phân sau :
a.
2
34
0
sin cosx xdx
b.
2
0
sin3
1 2 os3x
x
dx
c
c.
5
22
6 6 3
00
3
2
sin os os2x
sinx+ 3 osx sinx+ 3 osx cosx- 3sinx
x c x c
I dx J dx K dx
cc
Giải
a.
2 2 2
3 4 2 4 6 4
0 0 0
sin cos 1 os os .sinxdx os os osxx xdx c x c x c x c x d c
11
75
1 1 2
os os
2
7 5 35
0
c x c x
b.
2 2 2
0 0 0
1 2cos3
sin3 1 3sin3 1 1 1
ln 1 2cos3 ln3
2
1 2 os3x 6 1 2cos3 6 1 2cos3 6 6
0
dx
xx
dx dx x
c x x
c. Ta có :
22
6 6 6
0 0 0
sin os 1 1 1 1
22
sinx+ 3 osx 1 3
sin
sinx+ osx
3
22
x c x
I J dx dx dx
c
x
c
Do :
2
tan
26
1 1 1 1
.
sin 2sin os x+ tan 2 os tan
3 2 6 6 2 6 2 6 2 6
x
d
x x x x
x c c
Vậy :
6
0
tan
26
1 1 1 1
ln tan ln 3 ln3
6
2 2 2 6 2 4
tan
0
26
x
d
x
I
x
(1)
- Mặt khác :
22
66
00
sin 3 os sin 3 os
sin 3 os
3
sinx+ 3 osx sinx+ 3 osx
x c x x c x
x c x
I J dx dx
cc
Do đó :
6
0
3 sinx- 3 osx osx- 3sinx 1 3
6
0
I J c dx c
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ :
3 3 1
1
ln3
ln3
16 4
4
3
1 3 1
3 1 3
ln3
16 4
I
IJ
IJ
J
Để tính K ta đặt
3 3 ; 0. 5
2 2 3 6
t x dt dx x t x t
Vậy :
66
00
os 2t+3
os2t 1 3 1
ln3
82
sint+ 3 ost
os t+3 3sin t+3
22
c
c
K dt dt I J
c
c
III. MỘT SỐ CHÚ Ý QUAN TRỌNG
Trong phương pháp đổi biến số dạng 2.
* Sử dụng công thức :
00
( ) ( )
bb
f x dx f b x dx
Chứng minh :
12
Đặt : b-x=t , suy ra x=b-t và dx=-dt ,
0
0
x t b
x b t
Do đó :
0
0 0 0
( ) ( )( ) ( ) ( )
b b b
b
f x dx f b t dt f b t dt f b x dx
. Vì tích phân không phụ
thuộc vào biến số
Ví dụ : Tính các tích phân sau
a/
2
3
0
4sin
sinx+cosx
xdx
b/
2
3
0
5cos 4sin
sinx+cosx
xx
dx
c/
4
2
0
log 1 tanx dx
d/
6
2
66
0
sin
sin os
x
dx
x c x
e/
1
0
1
n
m
x x dx
f/
4
2
33
0
sin cos
sin os
xx
dx
x c x
giải: a/
2
3
0
4sin
sinx+cosx
xdx
I
.(1) . Đặt :
33
, 0 ; 0
22
4sin
4cos
2
22
( ) ( )
cost+sint
sin os
22
dt dx x t x t
t
t x x t
t
f x dx dt dt f t dt
t c t
Nhưng tích phân không phụ thuộc vào biến số , cho nên :
0
2
3
0
2
4 osx
( ) 2
sinx+cosx
c
I f t dt dx
Lấy (1) +(2) vế với vế ta có :
22
32
00
4 sinx+cosx
1
22
sinx+cosx sinx+cosx
I dx I dx
2
2
0
1
2 tan 2
2
4
2cos
0
4
I dx x
x
b/
2
3
0
5cos 4sin
sinx+cosx
xx
I dx
. Tương tự như ví dụ a/ ta có kết quả sau :
13
0
22
3 3 3
00
2
5cos 4sin 5sin 4cos 5sin 4 os
2
sinx+cosx ost+sint sinx+cosx
x x t t x c x
I dx dt dx
c
Vậy :
22
2
2
00
1 1 1 1
2 tan 1
2
2 4 2
sinx+cosx
2cos
0
4
I dx dx x I
x
c/
4
2
0
log 1 tanx dx
. Đặt :
22
, 0 ; 0
44
44
( ) log 1 tanx log 1 tan
4
dx dt x t x t
t x x t
f x dx dx t dt
Hay:
2 2 2 2
1 tan 2
( ) log 1 log log 2 log
1 tan 1 tan
t
f t dt dt t
tt
Vậy :
0
44
2
00
4
( ) log 2
4
48
0
I f t dt dt tdt I t I
d/
6
2
66
0
sin
sin os
x
I dx
x c x
(1)
6
0
6
2
66
66
0
2
sin
os
2
os sin
sin os
22
t
cx
d t dx I
c x x
t c t
(2)
Cộng (1) và (2) ta có :
66
22
66
00
os sin
2
2
os sin 2 4
0
c x x
I dx dx x I
c x x
e/
1
0
1
n
m
x x dx
. Đặt : t=1-x suy ra x=1-t . Khi x=0,t=1;x=1,t=0; dt=-dx
Do đó :
0 1 1
1 0 0
1 ( ) (1 ) (1 )
m
n n m n m
I t t dt t t dt x x dx
Ví dụ . Tính các tích phân sau :
a.
2
0
sinx-cosx+1
sinx+2cosx+3
dx
( Bộ đề ) b.
4
0
osx+2sinx
4cos 3sin
c
dx
xx
( XD-98 )
14
c.
2
0
sinx+7cosx+6
4sin 3cos 5
dx
xx
d. I =
2
0
4cosx 3sin x 1
dx
4sin x 3cosx 5
Giải
a.
2
0
sinx-cosx+1
sinx+2cosx+3
dx
. Ta có :
osx-2sinx
sinx-cosx+1
( ) 1
sinx+2cosx+3 sinx+2cosx+3 sinx+2cosx+3
Bc
C
f x A
Quy đồng mẫu số và đồng nhất hệ số hai tử số :
1
5
21
2 sinx+ 2A+B osx+3A+C
3
( ) 2 1
sinx+2cosx+3 5
31
4
5
A
AB
A B c
f x A B B
AC
C
. Thay vào (1)
2 2 2
0 0 0
sinx+2cosx+3
1 3 4 1 3 4
ln sinx+2cosx+3
2
5 5 sinx+2cosx+3 5 sinx+2cosx+3 10 5 5
0
d
I dx dx J
3 4 4
ln 2
10 5 5 5
IJ
- Tính tích phân J :
Đặt :
2
1
2
0
2
22
22
1
; 0 0, 1
22
os
2
2
tan
1 2 2
2
12
()
21
1 2 3
23
11
dx
dt x t x t
x
c
x dt
tJ
dt dt
t
f x dx
tt
t t t
tt
. (3)
Tính (3) : Đặt :
12
2
2
2
2
2 . 0 tan ; 1 tan 2
os 2
1 2 tan
1 2 2
()
2
os 2
os
du
dt t u u t u u
cu
tu
du
f t dt du
cu
cu
Vậy :
2
1
2 1 2 1
u
2
2
tan
2 2 3 4 4 2
j= ln
2
2 2 10 5 5 5 2
tan 2
u
u
du u u I I u u
u
b.
4
0
3cos 4sin
osx+2sinx osx+2sinx
; ( ) 1
4cos 3sin 4cos 3sin 4cos 3sin 4cos 3sin
B x x
c c C
dx f x A
x x x x x x x x
Giống như phàn a. Ta có :
21
;
55
AB
;C=0
15
Vậy :
4
0
3cos 4sin
2 1 2 1 1 4 2
ln 4cos 3sin ln
4
5 5 4cos 3sin 5 5 10 5 7
0
xx
I dx x x x
xx
Bài tập tự l uyện:
dx
xx
x
I
2
6
4
5
)sin43(sin
cos
8
0
44
6
cossin
4sin58sin3
dx
xx
xx
I
4
0
7
2cos1
2sin33
dx
x
x
I
2
0
8
2sin32cos2
)
3
cos(
dx
xx
x
I
dx
x
x
I
2
0
3
9
cos1
sin4
2
6
2
10
3sin
sin
dx
x
x
I
4
0
11
1cossin2sin
)
4
sin(
dx
xxx
x
I
2
4
12
2sin5
cossin
dx
x
xx
I
2
0
13
32cossin4
2sin
dx
xx
x
I
4
0
14
)
4
sin(.cos xx
dx
I
4
0
2
15
)cos3sin2( xx
dx
I
6
0
16
)cos(sincos xxx
dx
I
3
4
4
53
17
cos.sin xx
dx
I
4
0
27
cos)sincos4(
tan
dx
xxx
x
I
4
0
33
2
18
)cos3sin2(cos
sin
dx
xxx
x
I
2
0
2
28
cossin57
)
2
3
sin(
dx
xx
x
I
2
0
3
19
)cos(sin
sin
dx
xx
x
I
4
0
29
)
4
sin(22sin1
2cos
dx
xx
x
I
4
8
66
20
cossin xx
dx
I
3
4
2
3
30
cos1cos
tan
dx
xx
x
I
dx
x
x
I
6
0
2
3
1
)
4
(cos
2cos
dx
xx
x
I
2
6
2
)
4
sin(.sin
cot
dx
xxx
x
I
2
4
33
2
3
)cos(sinsin
cos
3
4
3
4
sin.cos xx
dx
I
16
12
16
21
8cot4tan
6cos.2cos
dx
xx
xx
I
4
0
66
31
cossin
4sin
dx
xx
x
I
2
0
22
cos31
sin2sin
dx
x
xx
I
2
0
2
3
32
cos1
sin
dx
x
x
I
2
0
23
cos1
cos.2sin
dx
x
xx
I
4
0
3
33
)2cos(sin
2cos
dx
xx
x
I
2
0
24
1sin31
cos22sin
dx
x
xx
I
6
0
4
34
2cos
tan
dx
x
x
I
3
0
2
25
sin3cos
sin
dx
xx
x
I
2
0
3
35
)
4
(sin
cos3sin5
dx
x
xx
I
4
0
2
26
)cossin2( xx
dx
I
2
0
22
36
sin4cos
2sin
dx
xx
x
I
4
4
24
2
37
)5tan2.(tancos
sin
dx
xxx
x
I
3
6
6
46
cos.sin xx
dx
I
2
0
2
38
2)
4
sin(
2cos
2
1
dx
x
x
I
6
0
3
47
2sin36sin4sin3
sin
dx
xxx
x
I
8
3
8
2
39
22cos2sin
)
8
(cos
dx
xx
x
I
2
6
48
cossin
2cos2sin1
dx
xx
xx
I
2
0
2
40
cossin57
)
2
3
sin(
dx
xx
x
I
2
0
2
3
49
cos1
cos.sin
dx
x
xx
I
2
3
3
3
3
41
cot
sin
sinsin
xdx
x
xx
I
2
2
6
2
50
cos
sin
dx
x
x
I
6
0
3
42
2cos
tan
dx
x
x
I
17
3
0
43
2cottan
4sin.3sin
dx
xx
xx
I
2
0
5
44
sin1
cos
dx
x
x
I
2
3
23
45
1sincos
2sin
dx
xx
x
I
