Tích phân hàm lượng giác
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (802.68 KB, 72 trang )
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498
Gmail:
CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC
PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI SỐ TRONG TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC
Dạng 1: Tính tích phân dạng I f cos x .sin x dx đặt t cos x dt sin dx
Bài tập giải mẫu:
2
2
Bài 1: (ĐHTS – 1999) Tính tích phân sau I sin x cos x 1 cos x dx
0
Giải:
Cách 1: Ta có:
2
2
0
2
2
0
I sin x cos x 1 cos x dx sin x cos x 1 2cos x cos 2 x dx cos x 2cos 2 x cos 3 x .sin xdx
0
Đặt t cos x dt sin xdx
x 0
t 1
Đổi cận
t 0
x 2
Khi đó
0
1
t 2 2t 3 t 4 1 17
I t 2t 2 t 3 dt t 2t 2 t 3 dt
3
4 0 12
2
1
0
Cách 2:
2
2
2
0
2
0
I sin x cos x 1 cos x dx sin x cos x 1 2 cos x cos 2 x dx cos x 2 cos 2 x cos3 x .d cos x
0
cos 2 x 2 cos 3 x cos 4
3
4
2
x
17
2
0 12
Cách 3:
sin xdx dt
Đặt t 1 cos x
… bạn đọc tự giải (cách này là dễ nhất)
cos x t 1
Cách 4:
du sin xdx
u cos x
3
Đặt
2
2
1 cos x
dv sin x 1 cos x dx 1 cos x d 1 cos x v
3
Khi đó
www.MATHVN.com
1
Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498
www.MATHVN.com
Gmail:
1
12
2 12
3
3
3
I cos x. 1 cos x 2 sin x 1 cos x dx 1 cos x d 1 cos x
3
30
3 30
0
2 1
17
4
1 cos x 2
3 12
12
0
2
Bài 2: Tính tích phân sau I
3
dx
sin x
Giải:
Cách 1:
Nhân cả tử và mẫu cho sin x ta được
2
I
dx
2
sin x
3
3
2
sin xdx
sin xdx
2
sin x 1 cos 2 x
3
Đặt t cos x dt sin xdx
t 0
x 2
Đổi cận
1
x
t 2
3
Khi đó
0
1
2
1
2
1
2
1
2
dt
dt
1 1
1
1 dt 1 dt
dt 2 t 1 2 t 1
2
2
2 0 1 t 1 t
1 1 t
0 1 t
0
0
I
2
1
1
1
ln t 1 ln t 1 2 ln 3
2
2
0
Cách 2:
x
1
x
2dt
1
Đặt t tan dt tan 2 1 dx dx 2
dx
2
2
2
t 1
sin x
1
2tdt 1
.
dt
2t 1 t 2 t
1 t2
x
3
3 t
Đổi cận
3
x
t 1
2
www.MATHVN.com
2
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498
2
1
dx
Khi đó I
sin x
3
1
1
t dt ln t
3
3
1
Gmail:
3 1
ln 3.
3 ln
3
2
3
Cách 3:
x
d tan
dx
dx
dx
x 2 1
2
I
dx
ln tan
ln 3
x
x
x
x
x
2 2
2
sin x
2 sin cos
2 tan cos
tan
3
3
3
2
2
2
2 3
2
3
Cách 4:
2
2
I
2
2
dx
sin x
3
3
2
2
2
2
3
3
sin xdx
sin xdx
1 1 cos x 1 cos x
d cos x
2
2
2 1 cos x 1 cos x
sin x 1 cos x
2
2
3
2
3
3
1
1
1
1
1
1
1
1 cos x 1 cos x d cos x 2 1 cos x d 1 cos x 2 1 cos x d 1 cos x
2
1
1
1
ln 1 cos x 2 ln 1 cos x 2 ln 3
2
2
2
3
3
Cách 5:
u sin x
du cos xdx
Đặt
…. Bạn đọc tự giải nhé
dx
v cot x
dv sin 2 x
2
Bài 2: (ĐH – A 2005) Tính tích phân sau I
0
sin 2 x sin x
1 3cos x
dx
Giải:
Cách 1:
Ta có: sin 2 x sin x sin x 2 cos x 1 .
Đặt t 1 3cos x ta được dt
3sin x
2 1 3cos x
t 1
2t 1
cos x
2 cos x 1
3
3
x 0
t 2
Đổi cận
t 1
x 2
Khi đó
2
www.MATHVN.com
dx
sin x
1 3cos x
dx
2dt
;
3
2
3
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498
Gmail:
2
4t 2 2
2 2 34
4
I
dt t 3 t
9
9
9 1 27
27
1
Cách 2: Đặt t 1 3cos x … bạn đọc tự giải
Cách 3:
u 2 cos x 1
du 2 sin x
Đặt
d 1 3cos x
2
sin x
dx
dv
v 3 1 3cos x
1 3cos x
3 1 3cos x
Khi đó
2
42
2 42
I 2 cos x 1 1 3cos x 2 sin x 1 3cos xdx 1 3cos xd 1 3cos x
3
30
3 90
0
2 8
3 27
1 3cos x
3
34
2
27
0
Cách 4:
Phân tích
2
1
1 3cos x
1 2 cos x 1
1 3
3 d 1 3cos x
dx .
d 1 3cos x .
3 1 3cos x
3
1 3cos x
1 3cos x
2
1
1 3cos xd 1 3cos x
d 1 3cos x
9
9 1 3cos x
… Đến đây thì quá dễ rùi, bạn đọc tự làm nhé
Chú ý:
Nếu ta đặt t cos x thì tích phân ban đầu trở thành tích phân hàm hữu tỷ lại phải đặt lần nữa mất công nên ta
lựa chọn cách nào là phù hợp nhất
a. sin 2 x b sin x
a.sin 2 x bcosx
Tổng quát:
dx hoặc
dx ta đặt c d cos x t .
c d cos x
c d s inx
sin 2 x sin x
2
sin 2 x.cos x
dx
1 cos x
0
Bài 3: (ĐH – B 2005) Tính tích phân sau I
Giải:
Cách 1:
2
2
sin 2 x.cos x
sin x.cos 2 x
dx 2
dx
1 cos x
1 cos x
0
0
Ta có I
dt sin xdx
Đặt t 1 cos x
cos x t 1
www.MATHVN.com
4
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498
t 1
x
Đổi cận
2
t 2
x 0
Khi đó
2
1
2
t 1
t2
1
I 2
dt 2 t 2 dt 2 2t ln
t
t
2
2
1
Cách 2:
2
2
Gmail:
2
t 2 ln 2 1
1
2
1 cos 2 x 1
sin 2 x.cos x
sin x.cos x
d cos x
I
dx 2
dx 2
1 cos x
1 cos x
1 cos x
0
0
0
2
2
1
cos 2 x
2 1 cos x
ln 1 cos x 2 2ln 2 1
d cos x sin x
1 cos x
2
0
0
Chú ý: d cos x d 1 cos x và ta có thể đặt t cos x
Tổng quát: I
a sin 2 x.cos x
dx ta đặt t b c.cos x hoặc t cos x
b c.cos x
2
4sin 3 x
dx
1 cos x
0
Bài 4: (Đề 68 IVa) Tính tích phân sau I
Giải:
4 sin 3 x 1 cos x
4 sin 3 x 1 cos x
4sin 3 x
Ta có
4 sin x 4 sin x cos x 4 sin x 2 sin 2 x
1 cos x 1 cos x 1 cos x
sin 2 x
Cách 1:
2
3
4sin x
Khi đó I I
dx
1 cos x
0
2
4sin x 2sin 2 x dx cos 2 x 4cos x 2 2
0
0
Cách 2:
2
0
I
2
0
3
4sin x
dx
1 cos x
2
2
2
4sin x 4sin x cos x dx 4 sin xdx 4 cos xd cos x 4cos x 2 2cos x 2 2
0
0
0
0
Cách 3:
2
2
4 1 cos 2 x sin x
4sin x
I
dx
dx
1 cos x
1 cos x
0
0
3
dt sin xdx
Đặt t 1 cos x
cos x t 1
www.MATHVN.com
5
Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498
www.MATHVN.com
Gmail:
t 1
x
Đổi cận
2
t 2
x 0
2
1 4 1 t 1
2
2
Khi đó I
dt 4t 8 dt 2t 2 8t 2
1
t
2
1
Chú ý: Có thể đặt t cos x
Cách 4:
dt
dx
x
2t
Đặt t tan sin x
2
1 t2
1 t2
cos x
1 t2
Chú ý: Nếu ta phân tích theo hướng sau
4sin 3 x 4sin x (1 cos x )(1 cos x )
4sin x 2sin 2 x … lại có mấy cách khác, bạn đọc tự làm và khám
1 cos x
1 cos x
phá nhé!
2
4 cos3 x
Tương tự I
dx 2
1 sin x
0
12
Bài 5: Tính tích phân sau I
tan 4 xdx
0
Giải:
Cách 1:
12
Ta có:
12
sin 4 x
tan 4 xdx cos 4 x dx
0
0
Đặt t cos 4 x dt 4sin 4 xdx sin 4 xdx
dt
4
x 0
t 1
Đổi cận
1
x 12
t 2
12
12
1
2
1
1
sin 4 x
1 dt 1 dt 1
1
Khi đó I tan 4 xdx
dx ln t 1 ln 2.
cos 4 x
41 t 41 t 4
4
0
0
2
2
Cách 2:
www.MATHVN.com
6
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498
12
I
12
tan 4 xdx
0
0
Gmail:
sin 4 x
1 12 d cos 4 x
1
1
dx
ln cos 4 x 12 ln 2
cos 4 x
4 0 cos 4 x
4
4
0
2
cos 3 x
dx
1 sin x
Bài 6: Tính tích phân sau I
4
Giải:
2
3
2
2
2
1 sin x cos xdx
2
cos x
cos x
dx
cos xdx
1 sin x
1 sin x
1 sin x
I
4
4
2
1 sin x cos xdx
4
4
Đến đây ta đặt t 1 sin x
Hoặc
1
1
3 2 2
I cos x cos x sin x dx cos xdx sin 2 xdx sin x sin 2 x 2
2
4
4
4
4
4
4
2
2
2
Bài tập tự giải có hướng dẫn:
2
3sin x 4 cos x
3
dx
ln 3
2
2
6
0 3sin x 4 cos x
Bài 1: (ĐHTL – 2000) Tính tích phân: I
HD:
2
2
sin x
cos x
Tách làm hai tích phân I 3
dx 4
dx kết hợp với công thức
2
2
2
3sin x 4cos x
3sin x 4 cos 2 x
0
0
sin 2 x cos2 x 1 ta sẽ được kết quả
2
3cos x 4sin x
dx
2
2
0 3sin x 4 cos x
Cách khác: Sử dụng tích phân liên kết là J
3
Bài 2: (DBĐH – A 2005) Tính tích phân sau I sin 2 x.tan xdx ln 2
0
3
8
HD:
Ta có sin 2 x. tan x 1 cos 2 x
sin x
và đặt t cos x
cos x
2
sin 3 x
dx 1 3ln 2
1 cos x
0
Bài 3: (ĐHQG HCM – B 1997) Tính tích phân sau I
HD:
www.MATHVN.com
7
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498
2
Gmail:
2
2 sin x 4 cos 2 x 1
dx và đặt t 1 cos x
sin 3 x
3sin x 4sin 3 x
Ta có I
dx
dx
1 cos x
1 cos x
1 cos x
0
0
0
2
sin 3 x
dx 1
2
2
0 1 cos x
Bài 4: (ĐHQGHN – A 1997) Tính tích phân sau I
HD:
sin 3 x
1 cos2 x
Ta có
sin x và đặt t cos x
1 cos2 x 1 cos 2 x
2
Bài 5: Tính tích phân sau I
sin x
x
0 sin x 2 cos x.cos
2
2
dx ln 2
2
HD:
Ta có sin 2 x 2 cos x.cos 2
x
sin 2 x cos x 1 cos x 1 cos x và đặt t 1 cos x
2
2
cos 2 x
dx 1
1 cos x
2
0
Bài 6: (ĐHNN І – B 1998) Tính tích phân: I
6
sin 3 x sin 3 3 x
1 1
dx ln 2
1 cos 3 x
6 3
0
Bài 7: Tính tích phân: I
HD:
Phân tích sin 3x sin 3 3x sin 3x 1 sin 2 3 x sin 3x.cos 3x và đặt t 1 cos 3 x
2
Bài 8: (ĐHDB – 2004) Tính tích phân sau: I ecos x sin 2 xdx 2
0
HD:
Sử dụng công thức nhân đôi sin 2 x 2 sin x cos x và đặt t cos x
4
1
Bài 9: (ĐHDB – 2005) Tính tích phân sau: I tan x esin x cos x dx ln 2 e
2
1
0
HD:
Tách ra thành tổng hai tích phân đơn giản
2
Bài 10: (ĐH – D 2005) Tính tích phân sau: I esin x cos x cos xdx e
0
1
4
HD:
Tách ra thành tổng hai tích phân đơn giản
2
Bài 11: (TN – 2005) Tính tích phân sau: I
0
www.MATHVN.com
sin 2 x
dx
4 cos 2 x
8
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498
3
Bài 12: Tính tích phân sau: I
2sin 2 x sin x
6 cos x 2
0
Gmail:
dx
HD:
Đặt t 6 cos x 2 hoặc t 6 cos x 2
4
4
1 cos2 x sin x dx
4sin x
Bài 13: (HVKTQS – 1996) Tính tích phân sau: I
dx 4
4
1 cos 4 x
0 1 cos x
0
HD: Đặt t cos x
2
cos x
Bài 14: Tính tích phân sau: I
1 cos 2 x
0
dx
3
4
HD:
Phân tích 1 cos 2 x 2 sin 2 x từ đó đặt t sin x
2
sin 4 x
3
dx 2 6 ln
2
4
0 1 cos x
Bài 15: Tính tích phân sau I
HD:
Phân tích
sin 4 x
2sin 2 x cos 2 x
và đặt t 3 cos 2 x hoặc t cos 2 x
2
1 cos 2 x
1 cos x
1
2
b
Dạng 2: Tính tích phân dạng I
f sin x .cos xdx
đặt u sin x du cos xdx
a
Để tính tích phân dạng
a.sin 2 x b.sin x
c d .cos x
dx ta đổi biến bằng cách đặt t c d .cos x
Bài tập giải mẫu:
4
1 2sin 2 x
Bài 1: (ĐH – B 2003) Tính tích phân sau I
dx
1 sin 2 x
0
Giải:
Cách 1:
4
Ta có I
2
1 2sin x
4
cos 2 x
1 sin 2 x dx 1 sin 2 x dx
0
0
Đặt 1 sin 2 x t cos 2 xdx
www.MATHVN.com
dt
2
9
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498
Gmail:
t 2
x
Đổi cận
4
t 1
x 0
2
2 1
1 dt 1
Khi đó I ln t ln 2
1 2
21 t
2
Hoặc đặt sin 2x t
Cách 2:
4
4
'
cos 2x
1 1 sin 2 x
1 4 d (1 sin 2 x ) 1
1
I
dx
dx
ln 1 sin2 x 4 ln 2
1 sin 2 x
2 0 1 sin 2 x
2 0 1 sin 2 x
2
2
0
0
Cách 3:
2
Biến đối 1 – 2 sin 2 x cos x sin x cos x – sin x và 1 sin 2 x cos x sin x
4
4
4
d cos x sin x
1 2sin x
cos x sin x
1
I
dx
dx
ln cos x sin x 4 ln 2
1 sin 2 x
cos x sin x
cos x sin x
2
0
0
0
0
Hoặc đặt t sin x cos x
2
3
Bài 2: Tính tích phân sau I 2
0
cos x
2 cos 2 x
dx
Giải:
Đặt t sin x dt cos xdx
t 0
x 0
Đổi cận
3
x
t
3
2
3
Khi đó I 2
0
cos x
2 cos 2 x
3
2
dx
0
dt
3 2t
2
1
2
3
2
0
dt
3 2
t
2
3
3
cos u dt
sin udu
2
2
t 0
u 2
Đổi cận
3
t
u
2
4
Khi đó
Đặt t
www.MATHVN.com
10
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498
I
1
2
3
2
dt
3 2
t
2
0
3
sin udu
2
2
1
2
4
3
1 cos2 u
2
2
4
1
Gmail:
1
du
2
2
4
u
4 2
4
Chú ý:
3
cos u thì bài tốn sẽ nhanh hơn
2
Ta có thể dùng một bước đặt là sin x
Bài 3: Tính tích phân sau I
cos 3 x
dx
sin x
Giải:
3
cos 3 x
4 cos x 3cos x
I
dx
dx
sin x
sin x
4 cos
2
x 3
sin x
2
.cos xdx
0
4 1 sin 2 x 3
sin x
.d sin x
1
1 2
4 sin x
d sin x 4. sin x ln sin x C
sin x
2
Hoặc đặt t sin x
2
2
Bài 4: Tính tích phân sau I esin x sin 2 xdx
0
Giải:
Đặt t sin 2 x dt sin 2 xdx
x 0
t 0
Đổi cận
t 1
x 2
2
1
sin 2 x
Khi đó I e
sin 2 xdx et dt et
0
2
Hoặc I e
0
0
sin 2 x
2
sin 2 x
sin 2 xdx e
1
e 1.
0
sin 2 x
d sin x e
2
0
2 e 1
0
Bài tập tự giải và có hướng dẫn
2
Bài 1: (Bộ đề 96) Tính tích phân sau I
0
cos x
2 cos 2 x
dx
HD:
Ta có 2 cos 2 x 3 2sin 2 x và đặt t sin x
Bài 2: (CĐ Kĩ thuật Cao Thắng – 2006) Tính tích phân sau
www.MATHVN.com
11
Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498
2
3
I sin 2 x 1 sin 2 x dx
0
www.MATHVN.com
Gmail:
15
4
HD:
3
3
Ta có sin 2 x 1 sin 2 x 2sin x 1 sin 2 x cos x và đặt t sin x
4
x
Bài 3: Tính tích phân sau I 1 tan x.tan sin xdx
2
0
HD:
x
x
x
2sin cos sin
x
2
2.
2 .sin x sin x .sin 2 x 1 cos x .sin x và đặt t cos x
Ta có tan x. tan .sin x
x
2
cos x
cos x
2
cos x
cos
2
2 1
Đs: I 1
ln 2
2
4 2
2
Bài 4: (ĐHĐN – 1998) Tính tích phân sau I
0
cos x
1 cos 2 x
dx
4
HD:
Phân tích 1 cos2 x 1 1 sin 2 x 2 sin 2 x và đặt t 2 sin 2 x hoặc t 2 sin 2 x
2
Bài 5: (ĐHBKHN – 1998) Tính tích phân: I cos 2 x sin 4 x cos 4 x .dx 0
0
HD:
1
Phân tích sin 4 x cos 4 x 1 sin 2 2 x và đặt t sin 2 x
2
2
Bài 6: (TN – KHP 2005) Tính tích phân sau: I
0
sin 2 x
4
dx ln
2
3
4 cos x
2
sin x cos 3 x
dx
2
0 1 cos x
Bài 7: (ĐH BCVT – 1997) Tính tích phân sau: I
6
Bài 8: (CĐSP HCM – 1997) Tính tích phân sau: I
0
2
Bài 9: (CĐHQ – 1999) Tính tích phân sau I
0
cos xdx
10
ln
2
9
6 5sin x sin x
cos x
7 cos 2 x
dx
6 2
2
cos xdx
2
0 11 7sin x cos x
Bài 10: (CĐHQ HCM – 1999) Tính tích phân sau I
www.MATHVN.com
12
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498
2
Bài 9: Tính tích phân I 6 1 cos3 x .sin x.cos 5 xdx
0
Gmail:
12
91
HD:
t 6 1 cos3 x cos3 x 1 t 6 . Hoặc t 1 cos3 x
b
Dạng 3: Tính tích phân dạng I
a
sin 2 x
sin 2 x
du sin 2 xdx
f 2 sin 2 xdx đặt u 2
cos x du sin 2 xdx
cos x
Bài tập giải mẫu:
2
sin 2 x
dx
2
0 1 cos x
Bài 1: Tính tích phân sau I
Giải:
Đặt t 1 cos2 x dt sin 2 xdx sin 2 xdx dt
x 0
t 2
Đổi cận
t 1
x 2
2
1
2
2
sin 2 x
dt
dt
dx ln t ln 2.
2
t 1 t
1
0 1 cos x
2
Khi đó I
Hoặc
2
2
d 1 cos 2 x
sin 2 x
2
I
dx
ln 1 cos x 2 ln 2
1 cos 2 x
1 cos 2 x
0
0
0
4
sin 4 x
dx
2
0 1 cos x
Bài 2: (HVNH TPHCM – D 2000) Tính tích phân sau I
Giải:
4
Ta có:
4
sin 4 x
1 cos
0
2
x
dx
0
2sin 2 x cos 2 x
dx
1 cos 2 x
2
Đặt t 1 cos x dt 2sin x cos xdx sin 2 xdx và
cos 2 x t 1 cos 2 x 2 cos 2 x 1 2 t 1 1 2t 3
x 0
t 2
Đổi cận
3
x 4
t 2
Khi đó
www.MATHVN.com
13
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498
3
2
I
2 2t 3 dt
2
t
Gmail:
3
2
2
2
6
6
4
4 dt 4 dt 4t 6 ln t 3 2 6 ln
t
t
3
3
2
2
2
Cách khác:
4
4
4
4
2 1 cos x 3
sin 4 x
2sin 2 x cos 2 x
2cos x 1
I
dx
dx 2
d 1 cos 2 x 2
d 1 cos 2 x
2
2
2
2
1 cos x
1 cos x
0 1 cos x
0
0 1 cos x
0
4
4
2
2
4
8 sin xd sin x 6
4sin x 6ln 1 cos x 4 2 6ln
2
3
1 cos x
0
0
0
sin 4 x
2sin 2 x.cos 2 x
sin 2 x.cos 2 x
Hoặc phân tích
4
và đặt t 3 cos 2 x
2
1 cos 2 x
3 cos 2 x
1 cos x
1
2
d 1 cos 2 x
2
2
2
3
Bài 3: Tính tích phân sau I sin 2 x 1 sin 2 x dx
0
Giải:
Đặt t 1 sin 2 x dt 2sin x cos xdx sin 2 xdx
x 0
t 1
Đổi cận
t 2
x 2
2
2
t4 2
1 15
Khi đó I sin 2 x 1 sin x dx t dt
4
41
4 4
0
1
Cách khác:
3
2
2
3
I sin 2 x 1 sin x dx
2
0
3
2
1 sin x
2
3
1 sin x d 1 sin x
2
2
0
2
Bài 4: (ĐH – A 2006) Tính tích phân sau: I
0
4
sin 2 x
2
4
2
15
2
4
0
dx
cos x 4sin x
HD:
Cách 1: Phương pháp phân tích kết hợp biến đổi số
2
I
2
sin 2 x
2
2
dx
sin 2 x
2
dx
1 sin x 4sin x
1 3sin x
0
dt
Đặt t 1 3sin 2 x
sin 2 xdx
3
0
www.MATHVN.com
14
Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498
www.MATHVN.com
Gmail:
t 4
x
Đổi cận
2
t 1
x 0
4
4
1
4 2
1 dt 1 2
2
Khi đó I
t dt
t
31 t 31
3 1 3
Hoặc đặt t 1 3sin 2 x
Chú ý: Không cần biến đổi mà có thể đặt ln t cos 2 x 4 sin 2 x hoặc t cos 2 x 4sin 2 x
Cách 2:
2
I
2
sin 2 x
2
dx
2
1 sin x 4 sin x
2
2
2
1 3sin x 2
3
3
0
Cách 3:
0
0
12
dx 1 3sin 2 x
30
1 3sin 2 x
sin 2 x
1
2
d 1 3sin 2 x
2
Ta có I
2
sin 2 x
dx
sin 2 x
1 cos 2 x
1 cos 2 x
5 3cos 2 x
0
0
4
2
2
2
5 3cos 2 x
5 3cos 2 x
Và đặt t
hoặc t
2
2
2
Tổng quát: Để tính I =
sin x cos xdx
2
a cos2 x b 2 sin 2 x
0
Ta đặt: u =
2
dx
với a, b 0
2
a cos x b 2 sin 2 x
2
Bài 5: Tính tích phân sau I
0
sin x cos xdx
4cos 2 x 9sin 2 x
HD :
Đặt u = 4 cos 2 x 9 sin 2 x u2 = 4cos 2 x 9 sin 2 x udu 5sin x cos xdx
Khi đó
3
I
2
1 udu
1
.
u
5
u
5
3
2
1
5
Bài 6: (ĐHTCKTHN - 95) Tính tích phân sau I
2
0
sin x.cos x
b2 cos 2 x c 2 sin 2 x
dx
HD:
www.MATHVN.com
15
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498
1
Nếu b 2 c 2 b c thì I
2b
2
2
1
sin 2 xdx 2 b
Gmail:
;
0
2
2
2
2
Nếu b c b c thì đặt t b cos x c sin
2
c
x . Khi đó dt
2
b 2 sin x.cos x.dx
b 2 cos 2 x c 2 sin 2 x
1
bc
và tính được I
2
sin x cos x
Bài 7: Tính tích phân sau I
a 2 sin 2 x b 2 cos 2 x
0
dx
Giải:
Cách 1:
2
2
sin x cos x
Ta có I
sin x cos x
dx
a 2 cos 2 x b 2 sin 2 x
0
2
a 2 1 sin 2 x b 2 sin 2 x
0
dx
0
sin x cos x
b2 a2 sin 2 x a 2
dx
2tdt 2 b 2 a 2 sin x cos xdx
Đặt t b 2 a 2 sin 2 x a 2 t 2 b 2 a 2 sin 2 x a 2
tdt
sin x cos xdx 2
b a2
x
t b
Đổi cận
2
t a
x 0
b
b
ba
tdt
1
1
2
.t 2
2
2
2
b a
ab
a b a
a t b a
Khi đó I
2
Cách 2:
Đặt t a 2 sin 2 x b 2 cos 2 x dt 2( b 2 a 2 ) sin x cos xdx
x 0 t a2
Đổi cận
2
x t b
2
Nếu a b
2
Khi đó I
0
sin x.cos x
a 2 .sin x b 2 .cos x
dx
1
2 b2 a 2
b2
a2
dt
1
2
t
2
t b a
b2
a2
ab
2
b a
2
1
ab
Nếu a b
2
Khi đó I
0
2
sin x.cos x
2
2
2
2
a .sin x b .cos x
2
2
sin x.cos xdx
1
1
1
sin 2 xdx 4 a cos 2 x 2 a
a
2a 0
0
0
dx
Bài tập tự giải có hướng dẫn:
www.MATHVN.com
16
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498
Gmail:
4
sin 4 x
4
dx ln 2
6
3
0 sin x cos x
Bài 1: (ĐHNT – 2001) Tính tích phân sau I
6
HD:
sin 4 x
2sin 2 x cos 2 x
3
và đặt t sin 2 x hoặc t 1 sin 2 2 x
6
3 2
4
sin x cos x
1 sin 2 x
4
14
1
1
3 2
4
3 2
Hoặc I
d 1 sin 2 x ln 1 sin 2 x 4 ln 2
3
30
4
3
4
3
1 sin 2 2 x
0
4
Phân tích
6
4
Bài 2: Tính tích phân sau: I
0
e tan x
dx
cos 2 x
HD: Đặt t tan x
3
8
Bài 3: (Đề 104) Tính tích phân sau: I
sin
8
3
8
Cách 2: Phân tích I 4
8
Cách 3: Đặt t tan
2
dx
x cos 2 x
3
8
1
cos
8
2
x
1
dx 4
sin 2 x
dx
sin 2 2 x
x
2
Dạng 4: Tính tích phân dạng I f tan x
1
1
dx đặt u tan x du
dx 1 tan 2 x dx
2
cos x
cos 2 x
Hoặc: I f tan x 1 tan 2 x dx đặt u tan x du
1
dx
cos 2 x
Bài tập giải mẫu:
4
dx
1 tan x
0
Bài 1: Tính tích phân sau I
Giải:
Đặt t tan x dt
1
dt
dt
dx 1 tan 2 x dx dx
2
2
cos x
1 tan x 1 t 2
www.MATHVN.com
17
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498
Gmail:
x 0
t 0
Đổi cận
t 1
x 4
1
dt
1
t 1
1 1 dt 1 1 tdt
1 1 dt
dt
Khi đó I
2
2 01 t 2 0 t2 1 2 0 t2 1
2 1 t 2
0 1 t 1 t
0 2 1 t
1
J1
J2
J3
1
Tính: J1
1 ln 2
1 dt
1
t 1 2 ln t 1 0 2
20
2
1
1
1 ln 2
1 tdt
1 d t 1 1
Tính: J 2 2
2
ln t 2 1
2 0 t 1 4 0 t 1
4
0
4
4
1
Tính: J 3
Vậy I
1 dt
1
t 2 1 2 du 8 (với t tan u )
20
0
ln 2 ln 2 ln 2
2
4
8 8
4
Cách 2:
1
cos x
1 cos x sin x cos x sin x
.
1 tan x sin x cos x 2
sin x cos x
14
1 4 d sin x cos x 1
1
Khi đó I dx
x ln sin x cos x 4 ln 2
20
2 0 sin x cos x
2
8 4
0
Phân tích
Hoặc: Sử dụng đồng nhất thức cos x A cos x sin x B cos x sin x đồng nhất hai vế tìm A và B
4
Bài 2: Tính tích phân I
sin 2 x
cos x tan
4
4
2
x 2 tan x 5
dx
Giải:
4
Phân tích I
4
2
sin x
cos x tan
4
2
4
Đặt t tan x dt
x 2 tan x 5
dx
tan
4
tan 2 x
2
x 2 tan x 5 .cos 2 x
dx
1
dx
cos 2 x
x 4
t 1
Đổi cận
t 1
x
4
Khi đó
www.MATHVN.com
18
Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498
Gmail:
2t 2
t2
dt
1 t 2 2t 5 dt 1 dt 1 t 2 2t 5dt 31 t 12 4
1
I
www.MATHVN.com
1
t ln t 2 2t 5
1
Tính I1
1
1
1 3 I
1
1
2 5 ln 2 3I1
dt
t 1
2
1
4
Đặt t 1 2 tan u dt 2 tan 2 u 1 du
0
1 0
1
Khi đó I1
du du u
2
2
2
8
4 tan u 1
4
4
4
3
Vậy I 2 5 ln 2
8
0
2 tan 2 u 1
4
1
dx
cos 4 x
0
Bài 3: Tính tích phân sau I
Giải:
Cách 1:
4
4
1
1
1
dx
.
dx
4
2
cos x
cos x cos 2 x
0
0
1
Đặt t tan x dt
dx
cos 2 x
x 0
t 0
Đổi cận
t 1
x 4
Ta có I
4
Khi đó I
0
1
t3 1 4
1
dx 1 t 2 dt t .
30 3
cos 4 x
0
Cách 2:
4
4
1
1
I
dx 1 tan 2 x
dx
4
cos 2 x
0 cos x
0
4
tan 3 x
4
1 tan x d tan x tan x x 4 3
0
0
2
Cách 3:
1
sin 2 x cos 2 x sin 2 x
1
tan 2 x
1
4
4
4
2
2
cos x
cos x
cos x cos x cos x cos2 x
… đến đây thì quá dễ rùi phải khơng
Cách 4:
Phân tích
www.MATHVN.com
19
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498
Gmail:
1
u cos 2 x
Đặt
… Mời bạn đọc tự làm, dễ thôi mà
dv 1 dx
cos 2 x
Hoặc : Đặt t tan x
4
Bài 4: Tính tích phân sau I tan 6 xdx
0
Giải:
Cách 1:
Đặt t tan x dt tan 2 x 1 dx dx
dt
1 t2
x 0
t 0
Đổi cận
t 1
x 4
Khi đó
4
1
1
6
1
4 t 5 t 3
t dt
1
13
I tan 6 xdx 2
t4 t2 1 2
dt t du
15 4
t 1
5 3
0 0
0
0 t 1
0
Cách 2:
Phân tích
tan 6 x tan 6 x tan 4 x tan 4 x tan 2 x tan 2 x 1 1
tan 4 x tan 2 x 1 tan 2 x tan 2 x 1 tan 2 x 1 1
tan 4 x tan 2 x 1
1
1
cos 2 x
Khi đó
4
4
tan 5 x tan 3 x
1
13
4
2
I tan x tan x 1
dx dx
tan x x 4
2
3
cos x
5
0 15 4
0
0
4
Bài 5: Tính tích phân sau I tan 3 xdx
0
Giải:
t tan x dt 1 tan 2 x dx 1 t 2 dt dx
dt
t 1
2
x 0
t 0
Đổi cận
t 1
x 4
Khi đó
www.MATHVN.com
20
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498
4
Gmail:
2
1
1
1
1
t3
t
1
2t
t 2 1 1 d t 1
I tan xdx 2
dt t 2
dt
dt tdt 2
t 1
t 1
2 0 t 1
2 0 2 t2 1
0
0
0
0
0
1
3
1 1 1
1 1
1
ln t 2 1 ln 2 1 ln 2 .
0 2 2
2 2
2
Hoặc phân tích tan 3 x tan 3 x tan x tan x tan x.
/4
Bài 6: Tính tích phân sau I
sin
2
0
1
tan x …bạn đọc tự giải
cos 2 x
dx
x 2sin x.cos x cos 2 x
Giải:
Chia cả tử và mẫu cho cos2 x ta được
dx
/4
/4
d tan x
cos 2 x
I
2
2
0 tan x 2 tan x 1
0 tan x 2 tan x 1
1
Đặt t tan x dt
dx
cos 2 x
t 1
x
Đổi cận
4
t 0
x 0
Khi đó
1
1
dt
dt
2
2
0 t 2t 1
0 t 1
I
2
2
1
2 2
ln
t 1 2 1
t 1 2 0
Cách khác:
dt
dx t 2 1
Đặt x tan t
… bạn đọc tự giải
2 sin x cos x 2t
t2 1
Bài tập tự giải có hướng dẫn:
4
Bài 1: Tính tích phân sau I
0
tan x 1
2
cos x
2
dx
7
3
HD: Đặt t tan x 1
4
Bài 2: Tính tích phân sau I
0
sin 3 x
2
tan 2 x 1 cos5 x
dx
HD:
www.MATHVN.com
21
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498
Phân tích
sin 3 x
tan
2
2
x 1 cos5 x
tan 3 x
tan
2
x 1
2
.
Gmail:
1
và đặt t tan x
cos 2 x
6
Bài 3: (ĐH – A 2008) Tính tích phân sau I
0
tan 4 x
1
10
dx ln 2 3
cos 2 x
2
9 3
HD:
Biến đổi cos 2 x cos 2 x sin 2 x 1 tan 2 x cos 2 x và đặt t tan x
Hoặc sử dụng công thức cos 2 x
1 tan 2 x
1 tan 2 x
6
tan 3 x
Bài 4: (ĐHKTQD – 2001) Tính tích phân sau I
dx
cos 2 x
0
HD:
Biến đổi cos 2 x cos 2 x sin 2 x 1 tan 2 x cos 2 x và đặt t tan x
Hoặc sử dụng cơng thức cos 2 x
3
Bài 5: Tính tích phân sau I
4
1 tan 2 x
1 tan 2 x
tan x
cos x. 1 cos 2 x
dx 5 3
HD:
1
Phân tích cos x 1 cos 2 x cos x cos 2 x
1 cos 2 x tan 2 x 2 và đặt t tan 2 x 2
2
cos x
Hoặc đặt t tan x
2
dx
1
1 sin 2 x
0
Bài 6: (ĐHCĐ – 1999) Tính tích phân sau I
HD:
2
Phân tích 1 sin 2 x sin 2 x cos 2 x 2sin x cos x sin x cos x cos 2 x tan x 1 và đặt t tan x 1
Cách khác:
dx
2
2
2
dx
dx
4
I
2
0 1 sin 2 x
0 sin x cos x
0 2cos 2 x
4
4
Bài 7: (ĐHSP TPHCM – 2001) Tính tích phân: I
1
0 sin x 2 cos x
2
dx
HD:
2
Phân tích sin x 2cos x cos 2 x tan x 2 và đặt t tan x 2
www.MATHVN.com
22
Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498
www.MATHVN.com
4
3
Bài 8: (ĐH Y HN – 1999) Tính tích phân sau I
Gmail:
dx
ln 3
x
sin
2
HD:
x
d tan
dx
dx
1
dx
4
2
x
x
x 2
x
x
x
sin
2sin .cos
tan .cos 2
tan
2
4
4
4
4
4
2
dx
1
1 cos x
0
Bài 9: (HVQY – 1999) Tính tích phân sau I
HD:
dx
1 cos x
dx
x
d tan
x
2
2 cos 2
2
4
cos 2 x
dx
sin 2 x cos 2 x
0
Bài 10: (ĐHTS – 2001) Tính tích phân sau I
HD:
Phân tích
cos 2 x
1 2 cos 2 x sin 2 x 2 cos 2 x sin 2 x
sin 2 x cos 2 x 4
sin 2 x cos 2 x
4
Bài 11: Tính tích phân sau I 1 tan 8 x dx
0
76
105
HD:
Phân tích 1 tan 8 x tan 8 x tan 6 x tan 6 tan 4 x tan 4 x tan 2 x tan 2 x 1
Dạng 5: Tính tích phân I f cot x
1
1
dx đặt u cot x du 2 dx
2
sin x
sin x
Hoặc: I f cot x 1 cot 2 x dx đặt u cot x du
1
dx
sin 2 x
Bài tập giải mẫu:
2
Bài 1: (KTQS – 1997) Tính tích phân sau: I
3
sin 3 x sin x
cot xdx
sin 3 x
Giải:
www.MATHVN.com
23
Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498
www.MATHVN.com
Gmail:
Cách 1:
2 3
I
3
2
3
sin x sin x
1
cot x
cot xdx 3 1 2 . 2 dx
3
sin x
sin x sin x
3
Đặt t cot x dt
1
dx
sin 2 x
t 0
x 2
Đổi cận
1
x
t 3
3
0
Khi đó I
1
3
8 0
3 3
1
t .tdt t dt t 1 3
8
8 3
1
3
3
5
3
0
3
2
Cách 2:
2 3
I
3
2 3
sin 3 x sin x
sin 3 x sin x cot x
cot xdx
dx
sin x
sin 3 x
sin 2 x
3
1
3
1
2
3 1 2 .cot xd cot x 3 cot 2 x .cot xd cot x cot xd cot x cot x 3
8
sin x
8 3
3
3
3
3
Cách 3:
2
2
2 3
I
3
2
5
3
8
3
2
sin 3 x sin x
cos x 3 sin 3 x sin x
cot xdx
dx
sin 3 x
sin 4 x
3
Đặt t sin x dt cos xdx
t 1
x
2
Đổi cận
3
x
t
2
3
1 3
Khi đó I
3
2
Đặt u 3 1
3
t t
dt
t4
1
3
1
t 2 dt
3
1
3
2
t
1
1
3
dt
u 3 1 2 u 2 du 3
2
2
t
t
t
www.MATHVN.com
24
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498
Gmail:
t 1
u 0
Đổi cận
3 u 1
t
3
3
2
0
0
3
3 u4
1
3
Khi đó I u du
1 3
2 1
2 4 3
8 3
3
3
3
2
Bài 2: (ĐHY TB – 2000) Tính tích phân sau I
0
1
dx
2 cos 2 x
Giải:
4
1
dx
dx
1
2 sin 2 x cos 2 x cos2 x 2 tan 2 x 1 2
0
0
0
Ta có I
Đặt t
4
1
2
Khi đó I
tan u I
1
2
0
dt
1
u2
2
2
dt
1
t
2
2
2
, (với tan 2)
2
(với tan 2 )
2
Bài tập tự giải có hướng dẫn:
2
Bài 1: Tính tích phân sau I
dx
sin
4
x
4
3
4
HD:
Phân tích
1
1
1
1
. 2
1 cot 2 x và đặt t cot x
4
2
2
sin x sin x sin x sin x
2
Bài 2: Tính tích phân sau I
4
3cot x 1
dx
sin 2 x
HD: Đặt t 3cot x 1 hoặc t 3cot x 1
4
Bài 3: Tính tích phân sau: I
6
1
2
sin x cot x
dx
HD: Đặt t cot x
www.MATHVN.com
25
