ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN TOÁN KINH TẾ

ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG
HỌC PHẦN TOÁN KINH TẾ
1
Chương 1
Giới thiệu mô hình toán kinh tế
Số tiết: 6 (Lý thuyết: 4 tiết; bài tập, thảo luận: 2 tiết)
* Mục tiêu:
- Mục tiêu về kiến thức người học cần đạt được:
Chương này nhằm trang bị cho người học chuyên ngành kinh tế, kế toán, tài chính ngân
hàng, quản trị kinh doanh những kiến thức cơ bản về môn hình và mô hình toán kinh tế. Hiểu được
các bước xây dựng mô hình toán kinh tế và có thể vận dụng vào thực tế để xây dựng được mô hình
toán kinh tế đồng thời đo lường được sự tác động của biến ngoại sinh đến biến nội sinh.
- Mục tiêu về kỹ năng người học cần đạt được:
Người học có thể ứng dụng các công cụ phân tích của toán kinh tế nhằm phân tích, hiểu
và vận dụng được vào phân tích và đo lường sự thay đổi của biến ngoại sinh đến sự biến động
của biến nội sinh. Có các kỹ năng tư duy logic, phân tích và ra quyết định, kỹ năng phát hiện và
giải quyết vấn đề. Có kỹ năng tìm kiếm, lựa chọn thông tin và kiến thức để dùng vào những mục
đích riêng biệt.
- Mục tiêu về thái độ người học cần đạt được
Giúp cho người học cảm thấy thích thú, quan tâm tìm kiếm các mô hình kinh tế phản ánh
mối quan hệ giữa biến nội sinh và các biến ngoại sinh.
1.1. Các khái niệm
1.1.1. Khái niệm mô hình
Mô hình là sự phản ánh hay mô tả một đối tượng hay một thực thể nào đó bằng ngôn
ngữ, đường nét, hình ảnh, hình khối, mầu sắc, lời văn,
Như vậy, việc mô tả đối tượng cần nghiên cứu bằng mô hình liên quan đến:
- Trình độ nhận thức, tầm hiểu biết của người nghiên cứu về đối tượng.
- Phương pháp diễn đạt sự nhận thức về đối tượng.
1.1.2. Mô hình kinh tế
Mô hình kinh tế là sự phản ánh hay mô tả các đối tượng, các thực thể hay các hoạt động
kinh tế. Các vấn đề liên quan tới những đối tượng này, những vấn đề kinh tế vốn dĩ là những vấn

đề phức tạp. Do đó khi phác thảo mô hình kinh tế chúng ta cần phải sử dụng những kiến thức
khoa học, kinh tế đã tích luỹ. Tuy nhiên các lý thuyết, các học thuyết thường mang tính khái
quát, trừu tượng.
1.1.3. Mô hình toán kinh tế
Mô hình toán kinh tế là mô hình kinh tế được trình bày bằng ngôn ngữ toán học. Việc sử
dụng ngôn ngữ toán học tạo khả năng áp dụng các phương pháp suy luận toán học và kế thừa các
thành tựu trong lĩnh vực này. Đối với các vấn đề phức tạp có nhiều mối liên hệ đan xen, thậm chí
tiềm ẩn mà chúng ta cần nghiên cứu thì phương pháp truyền thống, phân tích giản đơn không đủ
hiệu lực để giải quyết, chúng ta cần đến phương pháp suy luận toán học.
2
1.2. Cấu trúc của mô hình
1.2.1. Các biến số, các tham số
- Các biến ngoại sinh (biến giải thích): Là các biến có một mức độ độc lập nhất định với
mô hình và được xem là tồn tại bên ngoài mô hình.
- Các biến nội sinh (biến được giải thích): Đó là các biến tồn tại trong bản thân mô hình,
chúng phụ thuộc khăng khít với nhau và chịu tác động của các biến ngoại sinh.
- Các tham số (thông số): Đó là các biến số thể hiện các đặc trưng tương đối ổn định của
hiện tượng trong vấn đề chúng ta nghiên cứu.
1.2.2. Mối liên hệ giữa các biến số
Đó là các mối quan hệ kinh tế nảy sinh trong quá trình hoạt động kinh tế giữa các chủ
thể, giữa chủ thể với Nhà nước, giữa các khu vực, bộ phận của nền kinh tế của các quốc gia.
Chúng ta có thể phân quan hệ kinh tế theo các quy luật, quy tắc hình thành chúng. Các quan hệ
chủ yếu gồm:
- Quan hệ hành vi: Là mối quan hệ nảy sinh khi chủ thể thực hiện hành vi kinh tế
- Mối quan hệ định nghĩa (quan hệ đồng nhất): Đơn thuần là các quan hệ được định
nghĩa, được gán cho các yếu tố
- Mối quan hệ kỹ thuật: Phản ánh mối quan hệ mang tính kỹ thuật giữa các yếu tố
- Mối quan hệ thể chế: Các quan hệ hình thành do quy định của pháp luật, các văn bản
pháp quy hoặc do các quy định, quy ước, thoả thuận giữa các đối tác
- Một số quan hệ khác như : Quan hệ cầm cố, quan hệ chuyển nhượng,

1.2.3. Phân loại mô hình
Chúng ta có thể phân loại mô hình theo các căn cứ khác nhau phụ thuộc vào nội dung,
hình thức, quy mô, phạm vi, công cụ hay mục đích…
- Theo trạng thái biểu hiện của các chỉ tiêu: Mô hình dạng hiện vật và mô hình dạng giá trị.
- Theo thời hạn: Mô hình ngắn hạn và mô hình dài hạn.
- Theo sự biến động của các yếu tố thời gian:
+ Mô hình tĩnh: Mô tả hiện tượng kinh tế tồn tại ở một thời điểm hay một khoảng thời
gian đã xác định.
+ Mô hình động: Mô tả hiện tượng kinh tế mà trong đó có các yếu tố biến động theo thời
gian gọi là mô hình động.
- Theo phạm vi nghiên cứu:
+ Mô hình kinh tế vĩ mô: Mô tả các hiện tượng kinh tế liên quan đến một nền kinh tế,
một khu vực kinh tế gồm một số nước, ở mức gộp lợi
+ Mô hình kinh tế vi mô: Mô tả một thực thể kinh tế nhỏ hoặc những hiện tượng kinh tế
với các yếu tố ảnh hưởng trong phạm vi hẹp và ở mức độ chi tiết.
3
1.3. Các bước xây dựng mô hình toán kinh tế
1.3.1. Lựa chọn vấn đề nghiên cứu
1.3.2. Lựa chọn cơ sở lý luận
Đó là mục tiêu người nghiên cứu, có thể là mục tiêu nhận thức, phân tích hoặc là dự đoán
1.3.3. Lựa chọn và phân tích mô hình
Dựa vào cơ sở lý luận, mối quan hệ giữa các biến để quyết định lựa chọn các biến số và
các phương trình của mô hình.
Sử dụng các công cụ toán học để phân tích kỹ lưỡng hơn các quan hệ giữa các biến số kể
cả các quan hệ tiềm ẩn.
Xác lập mối liên hệ trực tiếp giữa các biến nội sinh với các biến ngoại sinh và các tham số.
1.3.4. Mô phỏng thực tiễn và hiệu chỉnh mô hình
Trên cơ sở quan hệ giữa các biến được biểu thị thông qua các biểu thức toán học, có thể
mô phỏng giả định các tình huống biến động của một số biến số để xem xét phản ứng của các
biến số liên quan.

1.4. Một số phương pháp phân tích mô hình
1.4.1. Đo lường sự thay đổi của biến nội sinh theo sự thay đổi của biến ngoại sinh
- Xét hàm Y = F(X
1
, X
2
, , X
n
), tại X = X
0
, gọi sự thay đổi của Y là ∆Y
i
khi chỉ có X
i
thay
đổi một lượng nhỏ ∆X
i
, tức là:
∆Y
i
= F(X
1
, , X
i
+ ∆X
i
, ,X
n
) – F(X
1

, ,X
i
, ,X
n
)
Ta có lượng thay đổi trung bình của Y theo X
i
là: ρ =
Xi
Yi
∆
∆
Trong trường hợp F khả vi theo X
i
ta có tốc độ thay đổi trung bình được tính:
ρ =
i
X
y
∂
∂
Ví dụ: Chi phí C(Q) phụ thuộc sản lượng Q và được mô hình hoá như sau:
C(Q) = Q
3
– 61,25Q
2
+ 1528,5Q + 2000
Sự thay đổi của C khi tăng (giảm) một đơn vị sản lượng, ký hiệu MC, được xác định bởi
biểu thức:MC(Q) =
Q

C
∂
∂
= 3Q
2
- 122,5Q +1528,5
- Trường hợp tất cả các biến ngoại sinh đều thay đổi với các lượng khá nhỏ ký hiệu là
∆
X
1
,
∆
X
2
, ,
∆
X
n
. Để tính sự thay đổi của biến nội sinh y ta dùng công thức xấp xỉ:
∆Y ≈
1
X
F
∂
∂
∆X
1
+
2
X

F
∂
∂
∆X
2
+ +
n
X
F
∂
∂
∆X
n
Gọi ∆X
1
, ∆X
2
,…, ∆X
n
là các vi phân của biến ngoại sinh thì ta có thể sử dụng công thức
vi phân toàn phần:
dy =
1
X
F
∂
∂
dX
1
+

2
X
F
∂
∂
dX
2
+ +
n
X
F
∂
∂
dX
n
4
Y
F
Ví dụ 1.1: Cho hàm số y = 2X
1
+ 6X
2
+ 3X
3
. Xác định sự thay đổi tuyệt đối của y khi
các X
i
thay đổi 1 đơn vị
Diễn giải:
∆y = 2∆X

1
+ 6 ∆X
2
+ 3∆X
3
= 11
- Trường hợp giữa biến ngoại sinh và biến nội sinh được biểu diễn dưới dạng hàm hợp
thì để đo lường sự thay đổi tuyệt đối ta làm như sau:
Giả sử Y = F(X
1
, X
2
, X
3
)
Trong đó:
X
2
= G(X
1
)
X
3
= H(X
1
)
Y, X
2
, X
3

là biến nội sinh, X
1
là biến ngoại sinh
Sơ đồ kênh liên hệ:


Ta có:
1
dX
dY
=
2
X
F
∂
∂
1
2
X
X
∂
∂
+
3
X
F
∂
∂

1

3
X
X
∂
∂
+
1
X
F
∂
∂
ảnh hưởng ảnh hưởng ảnh hưởng ảnh hưởng
tổng cộng gián tiếp gián tiếp trực tiếp
thông qua X
2
thông qua X
3
Ví dụ 1.2: Cho hàm sản lượng Q phụ thuộc vào giá cả một số loại hàng hoá.
Q = 6P
1
+ 5P
2
+ 4P
3
Trong đó:
2P
2
+ P
1
= 6 → P

2
= 3 - 1/2 P
1
4P
3
- 3P
1
= 7 → P
3
= 7/4 + 3/4P
1
Yêu cầu: khi P
1
, P
2
, P
3
thay đổi 1 đơn vị sẽ làm cho sản lượng Q thay đổi bao nhiêu đơn vị?
Diễn giải:
1
dP
dQ
=
2
P
Q
∂
∂
1
2

dP
dP
+
3
P
Q
∂
∂

1
3
dP
dP
+
1
P
Q
∂
∂
= 5(-1/2) + 4(3/4) + 6 = 6,5
Khi P
1
, P
2
, P
3
thay đổi 1 đơn vị sẽ làm cho Q thay đổi 6,5 đơn vị. Trong đó bản thân P
1
làm Q
thay đổi 6 đơn vị, P

2
làm Q giảm 2,5 đơn vị, P
3
làm Q tăng 3 đơn vị.
5
F
X
3
G
F
X
2
X
1
* Đo lường sự thay đổi tương đối
Để đo tỉ lệ thay đổi tương đối (tức thời) của biến nội sinh với sự thay đổi tương đối của
một biến ngoại sinh, người ta dùng hệ số co giãn (hệ số co giãn riêng). Hệ số co giãn (độ co
giãn) của biến Y theo biến X
i
tại X = X
0
, ký hiệu là
Y
X
i
E
(X
0
) - được định nghĩa bởi công thức:
Y

X
i
E
(X
0
) =
i
X
XF
∂
∂ )(
0
)(
0
0
XF
X
i
Hệ số này cho biết tại X = X
0
, khi biến X thay đổi 1% thì Y thay đổi bao nhiêu %. Nếu hệ
số co giãn
Y
X
i
E
(X
0
) > 0 thì X, Y thay đổi cùng hướng, ngược lại
Y

X
i
E
(X
0
) < 0 thì X, Y thay đổi
ngược hướng.
Nếu muốn đo lường sự thay đổi tương đối của Y khi tất cả các biến ngoại sinh đều thay
đổi (tương đối) theo cùng một tỉ lệ ta dùng hệ số co giãn chung (toàn phần) được tính theo công
thức sau đây:
E
Y
x
0
=
∑
=
n
i 1
Y
X
i
E
(X
0
)
Trong đó
Y
X
i

E
(X
0
) là hệ số co giãn của Y theo X
i
tính tại X
0
.
Y
E
cho chúng ta biết tại X =
X
0
, tỉ lệ % thay đổi của Y khi tất cả các biến X
i
cùng thay đổi 1%. Xu hướng thay đổi của Y phụ
thuộc vào dấu và độ lớn của các hệ số co giãn.
Nói chung hệ số co giãn của Y phụ thuộc vào điểm chúng ta tính, tức là phụ thuộc vào
các biến ngoại sinh. Tuy nhiên, nếu quan hệ giữa Y và các biến ngoại sinh có dạng
Y =
0
α
∏
=
n
i
i
X
i
1

α
=α
0
X
1
α
1
X
2
α
2
X
n
α
n
Với α
0
, α
1
, , α
n
là các tham số (dạng hàm cobb – douglas), khi đó ta có thể chứng minh
được rằng:
Y
X
i
E
(X) = α
i
(i =

n1,
)
và do đó: E
y
=
∑
=
n
i
i
1
α
Ví dụ 1.3:
Với Q là mức sản lượng, K là vốn và L là khối lượng lao động được sử dụng người ta có
mô hình quen thuộc (mô hình hàm sản xuất), giả sử có dạng:
Q = ak
α
L
β

với α,β> 0. Ta có:
Q
K
E
= α,
Q
L
E
= β và
Q

E
= α + β.
Sử dụng quy tắc tính đạo hàm, ta có thể chứng minh các công thức sau:
Cho U = G(X), V = H(X)
Nếu Y = UV thì
Y
X
E
=
U
X
E
+
V
X
E
Nếu Y = U/V thì
Y
X
E
=
U
X
E
-
V
X
E
6
1.4.2. Tính hệ số tăng trưởng (nhịp tăng trưởng)

Nếu trong trường hợp mô hình có biến ngoại sinh là biến thời gian, khi này sự biến động
của biến nội sinh theo thời gian được đo bằng hệ số tăng trưởng (nhịp tăng trưởng). Hệ số tăng
trưởng của một biến đo tỉ lệ biến động của biến theo đơn vị thời gian.
Giả sử Y = F(X
1
, X
2
, , X
n
, t) với t là biến thời gian. Hệ số tăng trưởng của Y – ký hiệu là
r
y
- được định nghĩa theo công thức: r
y
=
Y
t
Y
∂
∂
Thông thường r
y
được tính theo tỉ lệ %.
Ví dụ: Với công thức tính lãi kép liên tục, ta có lượng tiền thu được tại thời điểm t (V
t
) tính
theo công thức: V
t
= V
0

e
r t
Trong đó: V
0
là vốn gốc, r là lãi suất, t là thời gian.
Hệ số tăng trưởng của V
t
là: r
v
=
t
t
V
t
V
∂
∂
= r.
Nếu thời gian t không quá dài hoặc lãi suất r tính theo từng chu kỳ thì công thức trên có
dạng:
V
t
= V
0
(1 + r)
t
và do đó hệ số tăng trưởng của V
t
là Ln(1+r).
Từ công thức định nghĩa hệ số tăng trưởng và các quy tắc tính đạo hàm, ta có thể chứng

minh các công thức sau:
Cho U = G(t), V = H(t)
Nếu Y = UV thì r
Y
= r
U
+ r
V
Nếu Y = U/V thì r
Y
= r
U
– r
V
Nếu Y = U + V thì r
Y
=
VU
U
+
r
U
+
VU
U
+
r
V
Nếu Y = U – V thì r
Y

=
VU
U
−
r
U
-
VU
V
−
r
V
Tổng quát hơn, nếu biến nội sinh phụ thuộc thời gian một cách gián tiếp thông qua sự
phụ thuộc vào thời gian của các biến khác, tức là hàm số có dạng:
Y = F(X
1
(t), X
2
(t), , X
n
(t)) khi đó hệ số tăng trưởng của Y có thể tính dựa vào hệ số tăng
trưởng của các biến X(t)

theo công thức:

Xi
1
r.
∑
=

=
n
i
Y
Xiy
Er
Trong đó,
Y
Xi
E
là hệ số co giãn của Y theo X
i
và r
Xi
là hệ số tăng trưởng của X
i
.
1.4.3. Tính hệ số thay thế (MRS)
Trong nhiều mô hình ta thấy một biến nội sinh có thể phụ thuộc nhiều biến ngoại sinh và
các biến ngoại sinh có thể thay thế lẫn nhau. Ta có thể tính hệ số thay thế của các biến cho nhau
như sau:
Giả sử: Y = F(x
1
, x
2
, , x
n
) là hàm khả vi theo tất cả các biến:
7
Ta có:

dy =
1
x
F
∂
∂
dx
1
+
2
x
F
∂
∂
dx
2
+ +
n
x
F
∂
∂
dx
n
Ta cố định x
3
, x
4
, , x
n

và thay đổi x
1
, x
2
sao cho y không đổi, tức y = y
0
. Ta có:
0 =
1
x
F
∂
∂
dx
1
+
2
x
F
∂
∂
dx
2
⇒
2
1
dx
dx
= -
1

2
x
F
x
F
∂
∂
∂
∂
Đó chính là hệ số thay thế của x
2
cho x
1
nó cho biết khi giảm x
2
một đơn vị cần tăng x
1
bao nhiêu đơn vị để kết quả y không đổi. Một cách tổng quát ta tính được hệ số thay thế giữa
biến x
j
và biến x
i
nhờ công thức:
MRS
xi/xj
=
j
i
dx
dx

= -
i
j
x
F
x
F
∂
∂
∂
∂
Dấu (-) ở vế phải chỉ mang ý nghĩa là khi ta giảm mức sử dụng x
j
thì phải tăng mức sử
dụng x
i
. Như vậy, chỉ khi hệ số thay thế âm thì 2 yếu tố này mới có vai trò thay thế nhau thực sự;
trường hợp ngược lại ta thấy 2 yếu tố này có tính chất đồng bộ, kéo theo lẫn nhau. Chẳng hạn khi
tăng số giờ làm việc trong ngày đến một mức nào đó thì sau mức này muốn đảm bảo số sản
phẩm sản xuất ra trong một ca không đổi buộc phải tăng tiền lương cho mỗi giờ làm việc.
Ví dụ 1.4:
Cho hàm số: Q

(L,K) = 20L + 15K
Hỏi: khi ta sử dụng thêm một đơn vị vốn thì phải giảm bao nhiêu đơn vị lao động?
Diễn giải
dL
dK
= - 20/15 = -4/3
Vậy khi tăng sử dụng thêm một đơn vị vốn thì ta phải giảm 4/3 đơn vị lao động.

1.4.4. Vấn đề quy mô và hiệu quả (Return to Scale)
Về mặt dài hạn, doanh nghiệp có khả năng thay đổi tất cả các yếu tố và tình huống được
quan tâm là khi tất cả các yếu tố đều thay đổi theo cùng một tỷ lệ (tương đối, tuyệt đối) thì tác
động này ảnh hưởng như thế nào tới sản lượng. Khi này chúng ta đề cập tới vấn đề tăng quy mô
và hiệu quả.
Cho hàm sản xuất: Q = F(X
1
, X
2
, , X
n
), với λX = (λX
1
, λX
2
, , λX
n
), ta nói quy mô sản
xuất tăng với hệ số λ (λ > 1).
Nếu:
- F(λX) > λF(X) ta có thể nói rằng tăng quy mô có hiệu quả (hiệu quả tăng theo quy mô).
- F(λX) < λF(X) ta nói rằng tăng quy mô không có hiệu quả (hiệu quả giảm theo quy
mô).
- F(λX) = λF(X) ta có thể nói rằng tăng quy mô không làm thay đổi hiệu quả (hiệu quả
không thay đổi theo quy mô).
8
* Chú ý: Hiệu quả ở trên chỉ phản ánh hiệu quả kỹ thuật của sản xuất không hề đồng nhất
khái niệm này với hiệu quả kinh tế.
Ví dụ 1.5:
Cho hàm số: Q = 0,4 K

0,4
L
0,6
Hỏi: nếu tăng quy mô sản xuất 6 lần thì sản lượng đầu ra có hiệu quả không?
Diễn giải:
Với quy mô: λ = 6 ⇒ λX
0
= (6K, 6L)
⇒ Q(6k, 6L) = 0,4 (6K)
0,4
(6L)
0,6
= 0,4. 6
0,4 + 0,6
. K
0,4
.L
0,6
= 6 Q
Kết luận: Tăng quy mô không làm thay đổi hiệu quả.
* Nhận xét: Đối với hàm sản xuất dạng Cobb – Douglas với 2 yếu tố vốn (K) và lao động
(L): Q = aK
α
L
β
+ Khi α + β > 1 thì hiệu quả tăng theo quy mô.
+ Khi α + β < 1 thì hiệu quả giảm theo quy mô.
+ Khi α + β = 1 thì hiệu quả không đổi theo quy mô.
* Tài liệu học tập
1. Nguyễn Quang Dong (2006) Giáo trình mô hình toán kinh tế, NXB Thống kê, Hà Nội.

2. Lê Đình Thuý (2008) Toán cao cấp cho các nhà kinh tế (Phần I: Đại số tuyến tính), NXB Đại
học Kinh tế quốc dân, Hà Nội.
Câu hỏi ôn tập chương 1
Câu 1: Khái niệm mô hình toán kinh tế? Lấy ví dụ minh hoạ cụ thể?
Câu 2: Trình bày cấu trúc của mô hình toán kinh tế?
Câu 3: Trình bày các bước để xây dựng mô hình toán kinh tế?
Bài tập chương 1
Bài 1:
Một doanh nghiệp có hàm tổng doanh thu TR = 58Q – 0,5Q
2
và hàm tổng chi phí TC =
1/3Q
3
– 8,5Q
2
+ 97Q + FC Trong đó: Q là sản lượng và FC là chi phí cố định.
a, Với FC = 4, hãy xác định mức sản lượng để tối đa hoá lợi nhuận.
b, Hãy phân tích tác động của chi phí cố định FC tới mức sản lượng tối đa hoá lợi nhuận
và mức lợi nhuận tối đa.
Bài 2:
Cho hàm tổng chi phí: TC = Q
3
– 5Q
2
+ 14Q + 144; (Q > 0)
a, Khảo sát sự thay đổi tuyệt đối của TC theo Q từ đó cho nhận xét mở rộng sản xuất.
b, Tính hệ số co giãn của TC theo Q tại Q = 2.
c, Cho giá sản phẩm là P = 70, với mức thuế doanh thu 20%, tính lợi nhuận khi Q = 3.
Bài 3:
Cho hàm tổng chi phí TC = 4000 + 10Q + 0,1Q

2
(Q: là sản lượng). Giá cả P được xác
định bởi phương trình: Q = 800 – 2,5P
a, Tìm hàm chi phí cận biên MC.
b, Tìm hàm chi phí trung bình AC, khảo sát sự thay đổi của nó.
c, Tìm hệ số co giãn của TC tại P = 80.
9
Chương 2
Phân tích cân bằng tĩnh
Số tiết: 7 (Lý thuyết: 5 tiết; bài tập, thảo luận: 2 tiết)
* Mục tiêu:
- Mục tiêu về kiến thức người học cần đạt được:
Chương này nhằm cung cấp cho sinh viên những kiến thức cơ bản về mô hình thị trường,
xây dưng mô hình thị trường và phân tích cân bằng tĩnh. Hiểu được các bước xây dựng mô hình toán
kinh tế và có thể vận dụng vào thực tế để xâ dựng được mô hình thị trường đồng thời đo lường được
sự tác động của các biến đến cân bằng thị trường.
- Mục tiêu về kỹ năng người học cần đạt được:
Người học có thể ứng dụng các công cụ phân tích của toán kinh tế nhằm phân tích, hiểu
và vận dụng được vào phân tích và đo lường sự thay đổi của các biến trong mô hình thì trường.
Có các kỹ năng tư duy logic, phân tích và ra quyết định, kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề.
Có kỹ năng tìm kiếm, lựa chọn thông tin và kiến thức để dùng vào những mục đích riêng biệt.
- Mục tiêu về thái độ người học cần đạt được
Giúp cho người học cảm thấy thích thú với bài toán cân bằng thị trường.
2.1. Mô hình thị trường- Mô hình tuyến tính
2.1.1. Xây dựng mô hình một loại hàng hoá
Thị trường 1 loại hàng hóa:
Hàm cung : Q
s
= -a
0

+ a
1
P
Hàm cầu : Q
d
= b
0
- b
1
P
Trong đó: a
i
,b
i
≥ 0, P giá hàng hóa
Mô hình cân bằng thị trường:
Q
s
= Q
d
=> (a
1
+b
1
)P = (a
0
+b
0
)
Ví dụ: Một sản phẩm trên thị trường có các thông tin:

Hàm cung : Q
s
= -1 + P
Hàm cầu : Q
d
= 3 – P
Hãy tìm mức sản lượng và giá cân bằng của thị trường?
2.1.2. Thị trường hàng hoá có liên quan
- Thị trường 2 loại hàng hóa:
Hàng hóa 1có hàm cung và cầu như sau:



++=
++=
21211110
21211110
1
1
PbPbbQ
PaPaaQ
d
s
Hàm cung cầu của hàng hóa 2:



++=
++=
22212120

22212120
2
2
PbPbbQ
PaPaaQ
d
s
10
Mô hình cân bằng:





=
=
22
11
ds
ds
QQ
QQ
Hệ phương trình cân bằng:



−−=−+−
−−=−+−
)()()(
)()()(

20202222212121
10102121211111
baPbaPba
baPbaPba



−=+
−=+
20222121
10212111
cPcPc
cPcPc
- Thị trường n loại hàng hóa:
Giả sử sản phẩm thứ i có hàm cung và cầu như sau:





++++=
++++=
niniiid
niniiis
PbPbPbbQ
PaPaPaaQ
i
i

22110
22110
Nếu đặt: c
ij
= (a
ij
– b
ij
)
Khi đó, hệ phương trình cân bằng:







−=+++
−=+++
−=+++
02211
202222121
101212111




nnnnnn
nn
nn

cPcPcPc
cPcPcPc
cPcPcPc
2.2. Cân bằng trong phân tích thu nhập quốc dân
2.3. Phân tích vào ra
2.3.1. Khái niệm
Bảng I/O lần đầu tiên được Wassily Leotief đưa ra vào năm 1927. Thực chất của bảng
này là phương pháp sổ kép ghi lại phân phối sản phẩm của các ngành trong nền kinh tế quốc dân
và quá trình hình thành sản phẩm của mỗi ngành.
2.3.2. Ngành thuần tuý
Mô hình I/O coi nền kinh tế quốc dân là một thể thống nhất gồm n ngành sản xuất thuần
túy có quan hệ mật thiết với nhau.
Có tương ứng một – một giữa ngành thuần túy và sản phẩm. Về nguyên tắc với mỗi sản
phẩm ta có một ngành thuần túy.
Một số nhận xét:
- Mỗi quốc gia có thể có nhiều ngành thuần túy và ngành thuần túy có thể nằm trong
nhiều ngành kinh tế khác nhau.
- Khi nhóm gộp các sản phẩm cần tuân thủ những quy tắc, các tiêu chuẩn nhất định.
2.3.3. Các giả thuyết cơ bản
- Đồng nhất về mặt công nghệ
- Đồng nhất về mặt sản phẩm
- Công nghệ tuyến tính, cố định
- Hiệu quả dây truyền
2.3.4. Phân tích bản cân đối liên ngành
11
Năm 1941, Wassily Leontief lần đầu trình bày mô hình cân đối liên ngành (còn gọi là mô
hình I/O) trong công trình “Cấu trúc của nền kinh tế Hoa kỳ”. Ngày nay, mô hình I/O và các ứng
dụng cụ thể trong phân tích và dự báo về cấu trúc kinh tế của một đất nước hoặc một vùng trên
cơ sở xem xét các mối quan hệ liên ngành trong nền kinh tế đã và đang được ứng dụng rộng rãi ở
nhiều nước trên thế giới.

Từ năm 1990, Việt Nam đã bắt đầu nghiên cứu chuyển đổi hệ thống thống kê theo hệ
thống tài khoản quốc gia (SNA). Trên cơ đó, được sự hỗ trợ chuyên môn, kỹ thuật của các
chuyên gia Thống kê Liên Hợp quốc, Tổng Cục thống kê đã xây dựng bảng cân đối liên ngành
đầu tiên cho Việt Nam - Bảng năm 1989. Đến nay tại Việt Nam, đã có 4 bảng I/O quốc gia
được Tổng Cục Thống kê lập và công bố chính thức (1989, 1996, 2000 và 2007). Đây là những
nguồn tài liệu rất quan trọng, là cơ sở để vận dụng mô hình I/O trong phân tích và dự báo nền
kinh tế Việt Nam.
Việc xây dựng bảng I/O cho nền kinh tế đòi hỏi phải tiêu tốn rất nhiều thời gian và nguồn
lực, tuy nhiên, việc vận dụng các bảng này cho nghiên cứu phát triển của Việt Nam vẫn chưa
được chú trọng đúng mức. Một trong những nguyên nhân của tình trạng trên là ở Việt Nam hiện
có rất ít tài liệu trình bày một cách cụ thể và dễ hiểu cấu trúc cơ bản của mô hình I/O cũng như
các bước tính toán và phân tích số liệu. Mục tiêu của bài viết này là giới thiệu các ứng dụng cơ
bản mô hình I/O trong phân tích và dự báo kinh tế của quốc gia cho những người mới bắt đầu
tiếp cận mô hình này.
- Cấu trúc cơ bản của mô hình cân đối liên ngành
Mô hình I/O mô phỏng mối quan hệ giữa các ngành trong nền kinh tế trong quá trình
sản xuất và sử dụng sản phẩm của một nước theo hệ thống hàm tuyến tính. Cấu trúc của bảng
cân đối liên ngành được thể hiện như sau:
Tiêu dùng trung gian Tiêu dùng cuối cùng GO
Sử dụng trung gian
X11 X12 X13 … X1n
X21 X22 X23 … X2n

Xi1 Xi2 Xi3 … Xin

Xn1 Xn2 X13 … Xnn
C1 G1 I1 X1 - M1
C2 G2 I2 X2 - M2
…
Ci Gi Ii Xi - Mi

Cn Gn In Xn - Mn
X1
X2
…
Xi
…
Xn
Giá trị gia tăng
L1 L2 L3 … Ln
K1 K2 K3 … Kn
P1 P2 P3 … Pn
T1 T2 T3 … Tn
GI
X1 X2 X3 … Xn
Ô
Ô
I:
I: Thể hiện chi phí trung gian của các ngành; Phần tử X ij của ma trận X thể hiện ngành
j sử dụng sản phẩm i làm chi phí trung gian trong quá trình sản xuất sản phẩm j. Tổng theo cột
của ÔI thể hiện tổng chi phí trung gian của từng ngành (intermediate input).
12
Ô
Ô
II:
II: Những sản phẩm của các ngành được sử dụng cho nhu cầu sử dụng cuối cùng, bao
tiêu dùng cuối cùng của hộ gia đình (C), tiêu dùng của chính phủ (G), tích luỹ tài sản (I), xuất
khẩu ròng: xuất khẩu (X) - nhập khẩu (M).
Ô
Ô

III:
III: Thể hiện giá trị gia tăng của các ngành bao gồm thu nhập của người lao động (L),
khấu hao tài sản cố định (K), thặng dư sản xuất (P) và thuế gián thu đánh vào sản phẩm (T).
Xét theo cột của bảng I/O, có thể nhận thấy để thực hiện quá trình sản xuất mỗi ngành
phải sử dụng các yếu tố đầu vào từ các ngành khác trong nền kinh tế và kết hợp các yếu tố đầu
vào với giá trị gia tăng để tạo ra giá trị sản xuất cho từng ngành ( X i ). Như vậy, giá trị sản xuất
của mỗi ngành được xác định bằng tổng đầu vào trung gian được mua từ các ngành khác và giá
trị gia tăng được tạo ra bởi chính ngành đó. Mặt khác, mỗi hàng trên bảng I/O cho thể hiện trị
sản xuất của từng ngành được sử dụng cho tiêu dùng trung gian của các ngành trong nền kinh tế
và cho tiêu dùng cuối cùng. Ký hiệu Bi là giá trị tiêu dùng cuối cùng của ngành thứ i, ta có thể
biểu diễn mối quan hệ tuyến tính giữa giá trị sản xuất, tiêu dùng trung gian và tiêu dùng cuối
cùng của các ngành trong nền kinh tế bằng hệ phương trình sau:
X
1
= X
11
+ X
12
+…+X
1j
+…+ X
1n
+ B
1
X
2
= X
21
+ X
22

+…+X
2j
+…+ X
2n
+ B
2
………………………………………
X
n
= X
n1
+ X
n2
+…+X
nj
+…+ X
nn
+ B
n
Có thể nhận thấy, mỗi ngành trong nền kinh tế có quan hệ rất mật thiết với ngành khác
thông qua việc mua các yếu tố đầu vào từ các ngành, cũng như cung cấp sản phẩm đầu ra cho
tiêu dùng trung gian của các ngành. Một ngành có điều kiện phát triển sẽ kéo theo nhu cầu đầu
vào tăng cao của một số ngành khác. Đến lượt mình, các ngành khác lại có điều kiện mở rộng
sản xuất, tạo ra nhu cầu đầu vào từ các ngành khác nữa và sự lan tỏa này diễn ra trong toàn bộ
nền kinh tế qua rất nhiều vòng.
Để phân tích tác động trực tiếp của một ngành đến các ngành đầu vào của nó, người ta sử
dụng hệ số chi phí trung gian trực tiếp. Hệ số này cho biết để tạo ra được một đồng giá trị sản
xuất của một ngành nào đó, cần phải yêu cầu bao nhiêu giá trị đầu vào mua từ trực tiếp từ các
ngành khác Hệ số chi phí trung gian trực tiếp aij cho biết để sản xuất được 1 đồng giá trị sản
xuất của ngành j cần yêu cầu bao nhiêu giá trị trung gian mua từ ngành i, được tính theo công

thức sau:
j
ij
ij
X
X
a =
Hay X
ij
= a
ij
X
j








++++=
++++=
++++=
nnnnnnn
nn
nn
BXaXaXaX
BXaXaXaX
BXaXaXaX

2211
222221212
112121111
13
Hay:







=−−−−
=−−−+−
=−−−−
nnnnnn
nn
nn
BXaXaXa
BXaXaXa
BXaXaXa
)1 (

)1(
)1(
2211

22222121
11212111
Đặt
























=
nn
a

m
a
n
a
n
aaa
n
aaa
A

21

2

2221
1

1211















=
n
X
X
X
X

2
1













=
n
B
B
B
B

2
1
BXAI
=−=>
)(
(*)
Trong đó:
A: ma trận hệ số kỹ thuật hay ma trận chi phí trực tiếp
a
ij
: hệ số chi phí cho nhập lượng hay hệ số kỹ thuật
Dòng i: giá trị sản phẩm ngành i bán cho mỗi ngành
Cột j: giá trị sản phẩm ngành j mua mỗi ngành để sử dụng
[I-A] là ma trận Leontief.
Công thức (*) có thể biến đổi để biểu diễn quan hệ cơ bản nhất của mô hình I/O, cho
phép đo lường sự thay đổi của giá trị sản xuất của từng ngành cũng như tổng giá trị sản xuất của
cả nền kinh tế dưới tác động của sự thay đổi về tiêu dùng cuối cùng về sản phẩm của từng ngành:
BAX ∆−=∆
−1
)1(
Ma trận
1
)1(
−
− A
là ma trận hệ số chi phí toàn phần, hay thường gọi là ma trận nghịch
đảo Leontief, ký hiệu là ma trận . Ma trận này cho biết chi phí toàn phần để sản xuất ra một đơn
vị sử dụng cuối cùng của một ngành nào đó.
- Mô hình I/O mở rộng

Mô hình trên chỉ cho phép nghiên cứu mối quan hệ tác động qua lại giữa các ngành
sản xuất, theo đó sự tăng (hoặc giảm) tiêu dùng cuối cùng về sản phẩm của một ngành trước
hết sẽ tác động đến sản lượng sản xuất của chính ngành đó và từ đó sẽ kích thích sản xuất
của các ngành khác thông qua các mối quan hệ đầu vào đầu ra giữa các ngành. Trên thực tế,
sự tăng trưởng về qui mô sản xuất của các ngành còn đặt ra yêu cầu tăng thêm về lao động
và do đó tạo ra được việc làm và thu nhập tăng thêm cho người lao động. Các khoản thu
nhập tăng thêm này sẽ được sử dụng cho tiêu dùng của các hộ gia đình và sự tiêu dùng tăng
thêm này đến lượt nó lại kích thích phát triển sản xuất.
Chính vì vậy, trong phân tích mô hình I/O, người ta thường sử dụng mô hình "mở
rộng", theo đó đưa vào trong mô hình thêm một dòng và một cột.
* Tài liệu học tập
1. Nguyễn Quang Dong (2006) Giáo trình mô hình toán kinh tế, NXB Thống kê, Hà Nội.
14
2. Lê Đình Thuý (2008) Toán cao cấp cho các nhà kinh tế (Phần I: Đại số tuyến tính), NXB Đại
học Kinh tế quốc dân, Hà Nội.
3. Bài giảng Toán kinh tế, Trường Đại học nông nghiệp Hà Nội, 2009
5. Mankiw, Gregory (2003), Nguyên lý kinh tế học tập 2, Đại học KTQD, NXB. Thống kê.
Câu hỏi ôn tập chương 2
Câu 1: Khái niệm phân tích vào ra là gì? Lấy ví dụ minh hoạ cụ thể?
Câu 2: Ngành thuần túy là gì? Lấy ví dụ minh hoạ cụ thể?
Câu 3: Hãy phân tích bản cân đối liên ngành?
Câu 4: Hãy so sánh phân tích vào ra của Mỹ và Việt Nam?
Bài tập chương 2
Câu 1:
Giả định cầu, cung về ngô ở thị trường Phú Thọ năm 2008 được biểu diễn bằng phương
trình: Q
D
= 35 - 5P và Q
S
= 5P - 5

(P tính bằng triệu đồng/tấn; Q tính bằng nghìn tấn)
Xác định giá và lượng cân bằng trên thị trường ngô?
Câu 2:
Có số liệu giả định về cung, cầu thịt lợn ở thị trường Phú Thọ năm 2005 như sau:
Qd = 118 - 4P
Qs = 5P - 80
(P tính bằng triệu đồng/tấn; Q tính bằng nghìn tấn)
Xác định giá và lượng cân bằng trên thị trường? Tính độ co giãn của cầu đối với giá, độ co giãn
của cung đối với giá ở mức giá cân bằng?
Câu 3:
Giả định cầu, cung về máy điều hòa ở thị trường Phú Thọ năm 2008 được biểu diễn bằng
phương trình: Q
D
= 120 - 10P và Q
S
= 12P – 45
(P tính bằng triệu đồng/chiếc; Q tính bằng chiếc)
a/. Xác định giá và lượng cân bằng trên thị trường máy điều hòa? Hãy tính độ co giãn của cầu,
độ co giãn của cung đối với giá ở mức giá cân bằng?
b/. Tính lượng dư thừa và thiếu hụt của thị trường ở các mức giá 7 triệu đồng/chiếc và 9 triệu
đồng/chiếc?
Câu 4:
Có số liệu giả định về cung, cầu thịt lợn ở thị trường Phú Thọ năm 2005 như sau:
Qd = 118 - 4P
Qs = 5P - 80
(P tính bằng triệu đồng/tấn; Q tính bằng nghìn tấn)
a/. Xác định giá và lượng cân bằng trên thị trường? Tính độ co giãn của cầu đối với giá, độ co
giãn của cung đối với giá ở mức giá cân bằng?
15
b/. Tính lượng dư thừa và thiếu hụt của thị trường ở mức giá 19 triệu đồng/tấn và 24 triệu

đồng/tấn?
16
Chương 3
Phân tích so sánh-ứng dụng của đạo hàm và vi phân trong phân tích kinh tế
Số tiết: 7 (Lý thuyết: 5 tiết; bài tập, thảo luận: 2 tiết)
* Mục tiêu:
- Mục tiêu về kiến thức người học cần đạt được:
Chương này nhằm bổ trợ cho sinh viên những kiến thức toán như đạo hàm, vi phân và ứng
dụng của đạo hàm và vi phân trong phân tích kinh tế.
- Mục tiêu về kỹ năng người học cần đạt được:
Người học có thể ứng dụng các công cụ của toán nhằm phân tích, hiểu và vận dụng được
vào giải quyết các vấn đề kinh tế giữa chi phí biên và doanh thu biên. Có các kỹ năng tư duy
logic, phân tích và ra quyết định, kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề. Có kỹ năng tìm kiếm,
lựa chọn thông tin và kiến thức để dùng vào những mục đích riêng biệt.
- Mục tiêu về thái độ người học cần đạt được
Giúp cho người học cảm thấy thích thú với các vấn đề kinh tế.
3.1. Ứng dụng phép tính đạo hàm và vi phân
3.1.1. Đạo hàm
Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trong (a,b) và x
0
∈ (a,b).
Nếu tồn tại
thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại x
0
. Ký hiệu f’(x
0
), y’(x
0
)
Đặt ∆x = x – x

0
, ta có x = x
0
+ ∆x và
đặt ∆y = f(x
0
+ ∆x) – f(x
0
) thì
Ký hiệu dy/dx, df/dx
Đạo hàm bên phải:
Đạo hàm bên trái:
- Hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng đó.
- f(x) có đạo hàm trên đoạn [a,b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng (a,b), có đạo
hàm phải tại a và đạo hàm trái tại b.
Ví dụ: Tìm đạo hàm của y = x
2
, y = sinx
Đạo hàm của tổng thương tích của hai hàm số:
Nếu các hàm số u, v có đạo hàm tại x thì:
(u + v) cũng có đạo hàm tại x và (u + v)’ = u’ + v’
(u.v) cũng có đạo hàm tại x và (u.v)’ = u’v + v’u
(u/v) cũng có đạo hàm tại x\V(x)≠0 và
2
'
''
v
uvvu
v
u −

=






Đạo hàm của hàm số hợp:
17
0
0
)()(
lim
0
xx
xfxf
xx
−
−
→
x
y
y
x
∆
∆
=
→∆ 0
lim'
x

y
y
x
∆
∆
=
+→∆ 0
lim'
x
y
y
x
∆
∆
=
−→∆ 0
lim'
Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm theo x, hàm y = f(u) có đạo hàm tương ứng u = u(x) thì
hàm số hợp f(u) có đạo hàm theo x và y’(x) = y’(u).u’(x).
3.1.2. Mối quan hệ giữa hàm doanh thu biên và doanh thu bình quân
Doanh thu biên MR: (Marginal Revenue)
Hàm doanh thu: TR = PQ suy ra:MR = TR’
Q
Nếu: Q do thị trường quyết định, giá do doanh nghiệp quyết định thì MR là đại lượng đo
lường sự thay đổi của doanh thu khi sản lượng tăng thêm 1 đơn vị.
Nếu: Q do doanh nghiệp quyết định, giá do thị trường quyết định thì MR là đại lượng đo
lường sự thay đổi của doanh thu khi giá tăng thêm 1 đơn vị.
Ví dụ: Một sản phẩm trên thị trường có hàm cầu là:
Doanh thu bình quân: AR
3.1.3. Mối quan hệ giữa hàm chi phí cận biên và hàm chi phí trung bình

Chi phí biên MC: (Marginal Cost)
Hàm chi phí: TC = TC(Q) suy ra: MC = TC’
Q
MC là đại lượng đo lường sự thay đổi của chi phí khi sản lượng tăng lên một đơn vị.
Ví dụ: Tìm MC và MC là bao nhiêu khi Q = 50 và cho nhận xét.
TC = 0,0001Q
3
– 0,02Q
2
+ 5Q + 100
Chi phí bình quân: AC
3.1.4. Ứng dụng của đạo hàm riêng trong phân tích kinh tế
Định nghĩa: cho hàm z = f(x,y) xác định trong miền D, M0(x
0
,y
0
) ∈ D. Nếu cho y = y
0
là
hằng số, hàm số một biến f(x,y
0
) có đạo hàm tại x = x
0
, được gọi là đạo hàm riêng của f đối với x
tại M
0
. Ký hiệu:
),(
z
),,(

f
,),(
000000
'
yx
x
yx
x
yxf
x
∂
∂
∂
∂
Đặt ∆xf = f(x
0
+ ∆x, y
0
)-f(x
0
,y
0
): Số gia riêng của f tại M
0
.
x
f
x
x
∆

∆
=
→∆ 0
'
x
limf
Tương tự ta cũng có định nghĩa đạo hàm riêng của f theo biến y.
y
f
y
y
∆
∆
=
→∆ 0
'
y
limf
Tương tự ta cũng có đạo hàm riêng đối với hàm n biến số (n≥3).
Ví dụ: Tính các đạo hàm riêng:
4234
25 yyxxz +−=
Đạo hàm riêng cấp cao: Cho hàm số f(x,y). Các đạo hàm riêng f’x, f’y được gọi là những
đạo hàm riêng cấp 1. Các đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp 1 nếu tồn tại được gọi là đạo
hàm riêng cấp 2.
18
y
xu =
),(
''

2
2
yxf
x
f
x
f
x
xx
=
∂
∂
=






∂
∂
∂
∂
),(
''
2
yxf
xy
f
x

f
y
yx
=
∂∂
∂
=






∂
∂
∂
∂
),(
''
2
yxf
yx
f
y
f
x
xy
=
∂∂
∂

=








∂
∂
∂
∂
),(
''
2
yxf
yy
f
y
f
y
yy
=
∂∂
∂
=









∂
∂
∂
∂
Tương tự, ta có định nghĩa đạo hàm riêng cấp 3,…
Định lý (Schwarz): Nếu trong lân cận nào đó của M
0
hàm số f(x,y) tồn tại các đạo hàm
riêng và liên tục tại M
0
thì fxy = fyx tại M
0
.
Định lý này cũng đúng cho các đạo hàm riêng cấp cao hơn của n biến số (n≥3)
Đạo hàm của hàm hợp: Nếu hàm z = f(u,v) là các hàm số khả vi của u,v và các hàm số
u = u(x,y), v = v(x,y) có các đạo hàm riêng u
x
, u
y
, v
x
, v
y
thì tồn tại các đạo hàm riêng:
Ví dụ: Tính z = e

u
cosv, u = xy, v = x/y
3.2. Ứng dụng của vi phân trong phân tích kinh tế
3.2.1. Vi phân và hệ số co giãn điểm
Khái niệm vi phân:
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x
0
. Gọi Δx là số gia của biến số tại x
0
. Tích f'(x
0
).Δx
được gọi là vi phân của hàm số f tại x
0
ứng với số gia Δx (vi phân của f tại x
0
).
Ký hiệu : df(x
0
) = f'(x
0
).Δx Nếu lấy f(x) = x thì df = dx = (x)'.Δx = Δx. Do đó ta thay
Δx = dx và có : df(x
0
) = f(x
0
)dx
Cho hàm số y = f(x) và f(
n-1)
khả vi, ta ký hiệu d

(n)
y = y
(n)
dx
n
(d
(n)
f = f
(n)
dx) được gọi là vi
phân cấp n của hàm số f.
Vi phân của tổng, tích, thương:
d(u + v) = du + dv
d(u.v) = vdu + udv
2
v
udvvdu
v
u
d
−
=






Hệ số co giãn điểm được xác định bởi công thức:
y

x
yE
y
x
.
'
=
Ví dụ: sự co giãn tại một điểm trên đường cầu. Áp dụng phương pháp tính co giãn điểm
khi có sự thay đổi vô cùng nhỏ của lượng cầu và các yếu tố ảnh hưởng.
3.2.2. Vi phân toàn phần
Định nghĩa:
Hàm số z = f(x, y) được gọi là khả vi tại (x
0
, y
0
) nếu số gia toàn phần

theo các số gia ∆ x, ∆ y của các biến x, y tại (x
0
, y
0
) có thể được viết dưới dạng

Trong đó A, B là các hằng số (không phụ thuộc ∆ x, ∆ y) và α → 0, β → 0 khi ∆ x
→
0, ∆ y
→

0.
Biểu thức được gọi là vi phân của hàm số f tại (x

0
, y
0
), ký hiệu là df(x
0
, y
0
).
Tính chất: Tương tự như đối với hàm một biến ta có các tính chất sau đó của vi phân:
d(f + g) = df + dg
d(f.g) = g.df + f.dg
19
x
v
v
f
x
u
u
f
x
z
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂

∂
=
∂
∂
y
v
v
f
y
u
u
f
y
z
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
(với g ≠ 0).
3.2.3. Đạo hàm toàn phần
Cho hàm số y = f[t, x
1

(t), , x
n
(t)] phụ thuộc vào biến số t và các x
k
, trong đó x
k
= x
k
(t) là
các hàm số của t. Đạo hàm toàn phần của y là
trong đó
k
x
f
t
f
∂
∂
∂
∂
,
là các đạo hàm riêng.
3.2.4. Ứng dụng của đạo hàm và vi phân toàn phần trong phân tích mô hình kinh tế
Định nghĩa: Hàm số f(x,y) đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm M
0
(x
0
,y
0
) nếu tồn tại một lân

cận ∆ của M
0
sao cho f(M) ≤ f(M
0
), ∀M ∈ ∆ (f(M) ≥ f(M
0
), ∀M ∈ ∆). F(M
0
) gọi chung là cực
trị.
Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số: z = x
2
+ y
2
Điều kiện cần để có cực trị:
Nếu z(x
0,
y
0
) là cực trị của z và z có đạo hàm riêng tại (x
0
,y
0
) thì:
Z’x(x
0
,y
0
) = 0
Z’y(x

0
,y
0
) = 0
Điều kiện đủ của cực trị:
Cho hàm số z = f(x,y). Tại những điểm thỏa z
x
= z
y
= 0
Ta gọi định thức Hessian:
yyyx
xyxx
zz
zz
H =
Đặt:
yyyx
xyxx
xx
zz
zz
HzH ==
2 ,1
Nếu |H
1
|>0
|H
2
|>0 thì z đạt cực tiểu

Nếu |H
1
|<0
|H
2
|>0 thi z đạt cực đại
Ví dụ: tìm cực trị hàm số z = x
2
+ y
2
+ 4x – 2y + 8, với điều kiện z = x
3
+ y
3
- Cực trị của hàm nhiều biến:
Cho hàm số y = f(x
1
,x
2
…x
n
)
Điêu kiện cần để hàm số đạt cực trị:








=
=
=
0'

0'
0'
2
1
xn
x
x
y
y
y
Điều kiện đủ của cực trị
Tại những điểm thỏa f
x1
= f
x1
= … f
x1
= 0, giả sử tại đó tồn tại các đạo hàm riêng cấp 2
20
Ta có định thức Hessian:
nnnn
n
n
n
fff

fff
fff
H




21
22221
11211
=
Đặt:
nnnn
n
n
n
fff
fff
fff
H
ff
ff
HfH




, ,
21
22221

11211
2221
1211
2111
===
Khi đó:
Nếu |H
1
|>0, |H
2
|>0,… |H
n
|>0 : z đạt cực tiểu
Nếu |H
1
|<0, |H
2
|>0,… (-1)
n
|H
n
|>0 : z đạt cực đại
Ví dụ: Tìm cực trị hàm số y = x
3
+ y
2
+ 2z
2
-3x - 2y – 4z
* Cực trị có điều kiện

- Cực trị của hàm hai biến
Cho hàm số z = f(x,y) với điều kiện g(x,y) = c gọi là cực trị có điều kiện.
Định lý: Nếu M
0
(x
0
,y
0
) là cực trị có điều kiện trên.
Đặt hàm Lagrange: L(x,y,λ) = f(x,y) + λ(c-g(x,y)) với g’
x
,g’
y
không đồng thời bằng 0 thì:
Điều kiện cần có cực trị là:





=−=
=−=
=−=
0),(
0
0
yxgcL
gfL
gfL
yyy

xxx
λ
λ
λ
λ là nhân tử Lagrange, điểm M
0
(x
0
,y
0
) của hệ trên gọi là điểm dừng.
Ví dụ: Tìm điểm dừng của z(x,y), với điều kiện x + y = 1.
22
1 yxz −−=
Mở rộng hàm n biến: Hàm số f(x
1
,x
2
,…x
n
) với điều kiện g(x
1
,x
2
,…x
n
) = c
Hàm Lagrange L = f + λ(c-g)
Điều kiện đủ để có cực trị có điều kiện:
Định lý: Nếu f, g có đạo hàm riêng cấp hai liên tục tại điểm dừng M

0
, xét định thức
Hessian đóng:
• Nếu |H|>0: f đạt cực đại có điều kiện
21









=−=
=−=
=−=
=−=
0
0

0
0
222
111
gcL
gfL
gfL
gfL
nnn

λ
λ
λ
λ
yyyxy
xyxxx
yx
LLg
LLg
gg
H
0
=
• Nếu |H|<0: f đạt cực đại có điều kiện
- Mở rộng hàm n biến
Xét hàm số f(x
1
,x
2
,…x
n
) với điều kiện g(x
1
,x
2
,…x
n
) = c.
Hàm Lagrange
L = f + λ(c-g). Xét tại điểm dừng M

0
(x
0
,y
0
), ta xét định thức Hessian đóng:
nnnnn
n
n
n
LLLg
LLLg
LLLg
ggg
H




0
21
222212
112111
21
=
- Nếu |H
2
|<0, |H
3
|<0,… |Hn|<0 : z đạt cực tiểu

- Nếu |H
2
|>0, |H
3
|<0,… (-1)
n
|H
n
|>0 : z đạt cực đại
* Tài liệu học tập
1. Nguyễn Quang Dong (2006) Giáo trình mô hình toán kinh tế, NXB Thống kê, Hà Nội.
2. Lê Đình Thuý (2008) Toán cao cấp cho các nhà kinh tế (Phần I: Đại số tuyến tính), NXB Đại
học Kinh tế quốc dân, Hà Nội.
3. Bài giảng Toán kinh tế, Trường Đại học nông nghiệp Hà Nội, 2009
Câu hỏi ôn tập chương 3
Câu 1: Khái niệm đạo hàm và đạo hàm riêng? Lấy ví dụ minh hoạ?
Câu 2: Nêu các ứng dụng của hệ số co giãn trong kinh tế?
Bài tập chương 3
22
C. Cực trị có rằng buộc:
23. Tìm cực trị hàm số u = x – 2y + 2z với điều kiện x
2
+ y
2
+ z
2
= 1
24. Tìm cực trị có điều kiện của hàm số: f = 6 – 4x – 3y với điều kiện x
2
+ y

2
= 1
25. Tìm cực trị có điều kiện của hàm số: g = 6 – 4x
2
– 3y với điều kiện x
2
+ y
2
– 3xy = 1
23
Chương 4
Bài toán tối ưu hóa sản xuất và tiều dùng
Số tiết: 9 (Lý thuyết: 6 tiết; bài tập, thảo luận: 3 tiết)
* Mục tiêu:
- Mục tiêu về kiến thức người học cần đạt được:
Chương này nhằm giúp cho người học củng có lại kiến thức về đạo hàm, hàm số, vi phân và
cực trị trong toán học. Hiểu được mối quan hệ giữa doanh thu và lợi nhuận của doanh nghiệp, lợi ích
và nhu cầu của người tiêu dùng trong những điều kiện giới hạn (hay có những rằng buộc).
- Mục tiêu về kỹ năng người học cần đạt được:
Người học có thể ứng dụng bài toán tối ưu hóa trong sản xuất và tiêu dùng để có thể hiểu
hơn về các hoạt động của doanh nghiệp và có cách lựa chọn thông minh hơn cho bản thân nhằm
đạt được lợi ích tối ưu và chi phí tối thiểu.
- Mục tiêu về thái độ người học cần đạt được
Giúp cho người học cảm thấy thích thú, quan tâm và vận dụng bài toán tối ưu hóa lợi ích
trong tiêu dùng cho bản thân.
4.1. Các bài toán
4.1.1. Bài toán tối ưu hoá sản xuất
Giả sử xét một doanh nghiệp sản xuất ra sản phẩm hàng hoá. Để sản xuất ra sản phẩm đó,
doanh nghiệp cần sử dụng n yếu tố đầu vào khác nhau. Khi biết được chi phí cho một đơn vị yếu
tố đầu vào, lúc đó doanh nghiệp có thể gặp phải 2 tình huống sau:

Tình huống 1: Với số kinh phí đầu tư ấn định trước, doanh nghiệp muốn lựa chọn tổ
hợp sử dụng các yếu tố sao cho mức sản lượng là cao nhất – tối đa hoá sản lượng.
Tình huống 2: Với mức sản lượng dự kiến sản xuất, doanh nghiệp phải tiêu tốn một
khoản chi phí để thực hiện, đương nhiên là doanh nghiệp muốn lựa chọn tổ hợp sử dụng các yếu
tố sao cho mức chi phí là thấp nhất – cực tiểu hoá chi phí.
* Mô hình hoá bài toán
Gọi x
1
, x
2
, , x
n
lần lượt là số lượng các yếu tố đầu vào được sử dụng để sản xuất ra sản
phẩm hàng hoá cho doanh nghiệp (x
j
≥ 0).
Gọi P
1
, P
2
, , P
n
lần lượt là giá (chi phí) cho mỗi đơn vị yếu tố đầu vào.
Gọi Q là số đơn vị sản phẩm được sản xuất ra, giữa Q và số lượng các yếu tố đầu vào x
j
có
một mối quan hệ, mối quan hệ đó được phản ánh thông qua hàm số sau:
Q = F(x
1
, x

2
, , x
n
) hay có thể viết Q = F(X)
Trong đó X = (x
1
, x
2
, , x
n
) và Q được gọi là hàm sản xuất của doanh nghiệp. Vì doanh
nghiệp có thể lựa chọn mục tiêu tối đa hoá sản lượng hoặc cự tiểu hoá chi phí nên chúng ta phân
ra hai trường hợp:
Trường hợp 1: Tối đa sản lượng
Gọi K là kinh phí doanh nghiệp dự kiến đầu tư mua các yếu tố với mức x
1
, , x
n
để sản
xuất. Do biết được giá của mỗi đơn vị yếu tố đầu vào, ta có thể viết được hàm tổng chi phí sau:
P
1
x
1
+ P
2
x
2
+ + P
n

x
n
=
∑
=
n
j 1
P
j
x
j
. Khi đó bài toán trở thành:
24
Xác định x
j
≥ 0 (j = 1, , n) để cho hàm số: Q = F(x
1
, x
2
, , x
n
) → Max
Nhưng với điều kiện ràng buộc về tổng chi phí sản xuất:
∑
=
n
j 1
P
j
x

j
= K
Trường hợp 2: Cực tiểu chi phí
Ta gọi Q
0
là mức sản lượng doanh nghiệp dự kiến sản xuất. Khi đó bài toán trở thành:
Xác định x
j
≥ 0 (j = 1, , n) để cho hàm số:
∑
=
n
j 1
P
j
x
j
→ Min (chi phí sản xuất nhỏ nhất).
Nhưng với điều kiện ràng buộc về số đơn vị sản phẩm cần sản xuất:
Q = F(x
1
, x
2
, , x
n
) = Q
0
4.1.2. Bài toán tiêu dùng
Tác nhân hoạt đông trên lĩnh vực tiêu thụ hàng hoá gọi là người tiêu dùng. Trong trường
hợp hàng hoá được tiêu thụ là sản phẩm cuối cùng thì người tiêu dùng được gọi là hộ gia đình.

Hộ gia đình quyết định chọn loại hàng nào, mua với khối lượng bao nhiêu phụ thuộc vào:
- Thị hiếu, sở thích
- Thu nhập (I) đem chi tiêu cho việc mua hàng hoá (ngân sách dành cho tiêu dùng của hộ
gia đình).
- Giá cả của hàng hoá (P)
- Mục đích tiêu dùng.
Khi đó sẽ có 2 trường hợp của bài toán này xảy ra như sau:
Trường hợp 1: Với ngân sách dành cho tiêu dùng các sản phẩm hàng hoá đã được ấn định
trước và giá cả của hàng hoá dựa vào thị trường. Yêu cầu hãy xác định cơ cấu tiêu dùng hợp lý
để cho người tiêu dùng thoả mãn tối đa lợi ích.
Trường hợp 2: Giả sử lợi ích cần đạt được là ấn định, do đó yêu cầu xác định cơ cấu tiêu
dùng hợp lý để người tiêu dùng đáp ứng được lợi ích đã được đặt ra đó với chi phí dành cho tiêu
dùng là nhỏ nhất.
4.2. Phương pháp tìm cực trị tự do của hàm số
4.2.1. Đối với bài toán chỉ một biến số
4.2.1.1. Kiểm tra tính cực trị bằng đạo hàm bậc nhất
4.2.1.2. Kiểm tra cực trị của hàm số bằng đạo hàm bậc hai
4.2.2. Đối với bài toán có 2 biến số
Cho hàm số y = f(x). Điều kiện cần để hàm số có cực trị là dy = 0 (vi phân cấp 1);
dy = f
‘
(x).dx ⇒ dy = 0 ⇔ f
‘
(x) = 0
- Điều kiện đủ để hàm số có cực đại: d
2
y < 0
- Điều kiện đủ để hàm số có cực tiểu: d
2
y > 0

+ dy = f
‘
(x).dx
+ d
2
y = d(f
‘
(x).dx) = f
’’
(x)d
2
x
d
2
y < 0 khi f
’’
(x) < 0
d
2
y > 0 khi f
’’
(x) > 0
* Dùng vi phân để khảo sát cực trị của hàm 2 biến
Giả sử y = f(x
1
, x
2
). Ta có: dy = f
1
dx

1
+ f
2
dx
2
+ Điều kiện cần để hàm số có cực trị:
25