Phương pháp số giải phương trình vi phân có chậm

1
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
ĐỖ THỊ THÚY NGỌC
PHƯƠNG PHÁP SỐ
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ CHẬM
Chuyên ngành : TOÁN HỌC TÍNH TOÁN
Mã số : 60 46 30
Người hướng dẫn : PGS. TS. VŨ HOÀNG LINH
HÀ NỘI - 2012
2
Mục lục
Lời nói đầu 4
1 Giới thiệu 6
1.1 Một vài ví dụ so sánh phương trình vi phân có chậm và phương
trình vi phân thường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Phương pháp số giải phương trình vi phân thường . . . . . . . . . . . 12
1.2.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2 Một số phương pháp số tiêu biểu giải phương trình vi phân
thường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Nghiệm số của phương trình vi phân có chậm: Phương pháp cho
phương trình vi phân thường liệu có đủ hay không? . . . . . . . . . . . 17
1.3.1 Sự thất bại về cấp chính xác của phương pháp . . . . . . . . . . 18
1.3.2 Sự thất bại về tính ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.3 Một phương pháp tốt cho các PTVPCC . . . . . . . . . . . . . 25
2 Sự tồn tại và tính chính qui của nghiệm của phương trình vi
phân có chậm 27
2.1 Vị trí của các điểm gián đoạn và sự trơn dần của nghiệm . . . . . . . 27
2.1.1 Các điểm gián đoạn gốc và thứ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.2 Chậm triệt tiêu và không triệt tiêu . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.3 Chậm bị chặn và không bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2 Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3 Các phương pháp cho phương trình vi phân có chậm 37
3.1 Hướng tiếp cận đầu tiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2 Các kết quả sơ bộ về phương pháp số giải PTVP với đầu ra liên tục . 40
3.3 Hướng tiếp cận thông thường thông qua phương pháp số giải
PTVP với đầu ra liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4 Sự hội tụ của phương pháp số giải PTVP với đầu ra liên tục 50
3
4.1 PTVPCC với chậm hằng số hoặc chậm phụ thuộc thời gian không
triệt tiêu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2 PTVPCC với chậm phụ thuộc thời gian tuỳ ý . . . . . . . . . . . . . . 59
Kết luận 67
Tài liệu tham khảo 69
Phụ lục 70
4
LỜI NÓI ĐẦU
Ta đã biết phương trình vi phân thường (PTVPT) là phương trình có dạng:
y

(t) = f(t, y(t)), t ≥ t
0
.
Tuy nhiên, trong nhiều vấn đề, biến y

còn phụ thuộc vào các giá trị trong quá
khứ của biến y. Khi đó PTVPT trên biến đổi thành phương trình sau, gọi là
phương trình vi phân có chậm (PTVPCC):
y

(t) = f(t, y(t − τ

1
), , y(t − τ
n
)), t ≥ t
0
,
với τ
i
= τ
i
(t, y(t)) ≥ 0 ∀t ≥ t
0
, i = 1, , n, được gọi là các chậm.
Việc nghiên cứu về mặt lí thuyết cũng như phương pháp số giải PTVPT đã
thu hút được sự quan tâm của các nhà toán học trong một thời gian dài với rất
nhiều những kết quả quan trọng. Ngược lại, việc nghiên cứu đối với PTVPCC
mới được quan tâm nhiều trong thời gian từ những thập niên cuối thế kỉ 20 trở
lại đây. Sự quan tâm của các nhà toán học ứng dụng dành cho các phương pháp
số giải PTVPCC ngày càng gia tăng, thể hiện qua số lượng ngày càng nhiều các
sách chuyên khảo, bài báo và công trình nghiên cứu được công bố và đăng tải
trên các tạp chí toán học uy tín.
Mục tiêu của luận văn này là giới thiệu các phương pháp số giải PTVPCC,
đặc biệt là các phương pháp số giải PTVP với đầu ra liên tục áp dụng giải bài
toán giá trị ban đầu cho PTVP có chậm hằng số hoặc chậm chỉ phụ thuộc thời
gian. Luận văn gồm 4 chương:
Chương 1 sẽ giới thiệu PTVPCC thông qua việc so sánh với PTVPT. Những
khác biệt quan trọng nhất về tính chất định tính cũng như về khía cạnh giải số
sẽ được đề cập đến trong phần đầu của chương. Phần thứ hai của chương giới
thiệu một cách vắn tắt các khái niệm cơ bản về phương pháp số giải PTVPT,
từ đó phần thứ ba sẽ chỉ ra lí thuyết cho PTVPT là không đủ khi áp dụng cho

PTVPCC.
5
Chương 2 trình bày sự tồn tại và tính chính qui nghiệm của PTVPCC. Đặc
biệt, ta sẽ tập trung sự quan tâm vào tính chất và vị trí của các điểm gián đoạn
của đạo hàm, nếu có, và sự lan truyền của chúng dọc theo khoảng tích phân
dưới các giả thiết khác nhau trên các chậm.
Chương 3 phác hoạ một cách vắn tắt một vài hướng tiếp cận khác nhau
đã được sử dụng để giải số các PTVPCC, tập trung vào hướng tiếp cận thông
thường thông qua các phương pháp số giải PTVP với đầu ra liên tục.
Chương 4 trình bày sự hội tụ của các phương pháp số giải PTVP với đầu
ra liên tục đã được giới thiệu trong chương 3. Đặc biệt, ta chứng minh tính
đặt chỉnh (well-posedness) của phương pháp và phân tích cấp hội tụ của nó cho
PTVPCC và PTVPCC trung tính có chậm hằng số hoặc chậm phụ thuộc thời
gian.
Luận văn được hoàn thành trên cơ sở tham khảo hai tài liệu chính:
1. Uri M.Ascher, Linda R.Petzold, Computer Methods for Ordinary Equations
and Differential-Algebraic Equations, SIAM, 1998.
2. Alfredo Bellen, Marino Zennaro, Numerical Methods for Delay Differential
Equations, Oxford University Press, 2003.
Qua đây, tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.TS Vũ Hoàng Linh, người thầy
đã tận tâm giảng dạy và hướng dẫn tác giả hoàn thành bản luận văn này. Xin
được gửi lời cảm ơn chân thành đến trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại
học Quốc gia Hà Nội nơi tác giả đã hoàn thành chương trình cao học dưới sự
giảng dạy và hướng dẫn nhiệt tình của các thầy các cô. Xin được cảm ơn tập
thể lãnh đạo, chuyên viên phòng Giáo dục Trung học, Sở Giáo dục và Đào tạo
Ninh Bình đã thông cảm, động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi về thời gian,
công việc để tác giả hoàn thành khoá học và luận văn. Cuối cùng, xin được cảm
ơn bè bạn và gia đình đã hỗ trợ, động viên và chia sẻ những khó khăn với tác
giả trong suốt thời gian học tập vừa qua.
Do thời gian và trình độ còn hạn chế, chắc chắn bản luận văn không thể

tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo tận tình của
các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp, tác giả xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, 15.11.2012
Học viên
Đỗ Thị Thuý Ngọc
6
CHƯƠNG 1
GIỚI THIỆU
Nhiều vấn đề thực tế trong vật lí, kĩ thuật, sinh học, y học, kinh tế . . . có
thể được mô hình hóa bằng một bài toán giá trị ban đầu, hoặc còn được gọi là
bài toán Cauchy, cho các PTVPT có dạng

y

(t) = g(t, y(t)), t ≥ t
0
,
y(t
0
) = y
0
,
(1.1)
trong đó hàm y(t), được gọi là biến trạng thái, biểu diễn một đại lượng nào đó
tham gia vào quá trình.
Tuy nhiên, để làm cho mô hình phù hợp hơn với các hiện tượng thực tế, đôi
khi ta cần biến đổi vế phải của (1.1) để thể hiện sự phụ thuộc của biến y

vào
các giá trị trong quá khứ của biến trạng thái y. Dạng tổng quát nhất của các

mô hình như thế được cho bởi PTVPCC
y

(t) = f(t, y
t
), t ≥ t
0
,
trong đó y
t
= y(t + θ), θ ∈ [−r, 0], là một hàm thuộc vào không gian Banach C =
C
0
([−r, 0], R
d
) các hàm số liên tục ánh xạ khoảng [−r, 0] vào R
d
, và f : Ω → R
d
là một hàm đã cho ánh xạ tập hợp Ω ⊂ R × C vào R
d
.
Bài toán giá trị ban đầu bây giờ là

y

(t) = f(t, y
t
), t ≥ t
0

,
y
t
0
= y(t
0
+ θ) = Φ(θ),
(1.2)
trong đó Φ(θ) ∈ C biểu diễn điểm khởi tạo hoặc dữ liệu khởi tạo.
7
1.1. Một vài ví dụ so sánh phương trình vi phân có
chậm và phương trình vi phân thường
Trong tài liệu này, bài toán giá trị ban đầu (1.2) sẽ được mô tả theo một
cách thức thân thiện hơn như sau

y

(t) = f(t, y(t − τ
1
), y(t − τ
n
)), t ≥ t
0
,
y(t) = φ(t), t ≤ t
0
.
(1.3)
Tùy theo độ phức tạp của hiện tượng, các chậm τ
i

luôn luôn là không âm,
có thể chỉ là các hằng số (trường hợp chậm hằng số), hoặc các hàm số của
t, τ
i
= τ
i
(t) (trường hợp chậm biến thiên hoặc phụ thuộc thời gian) hoặc thậm
chí là các hàm số của t và chính y, τ
i
= τ
i
(t, y(t)) (trường hợp chậm phụ thuộc
trạng thái). Luận văn này sẽ tập trung sự nghiên cứu vào hai trường hợp: chậm
phụ thuộc hằng số và chậm phụ thuộc thời gian. Để đơn giản hóa về mặt kí
hiệu, hàm φ(t) được hiểu là được định nghĩa trong [ρ, t
0
], trong đó
ρ = min
1≤i≤n

min
t≥t
0
(t − τ
i
)

.
Một trường hợp khá phổ biến và thú vị là khi n = 2 và τ
1

≡ 0, khi đó (1.3)
có dạng như sau

y

(t) = f(t, y(t), y(t − τ)), t ≥ t
0
,
y(t) = φ(t), t ≤ t
0
.
(1.4)
Vì với t ≥ t
0
nào đó có thể xảy ra t − τ < t
0
, sự khác nhau đầu tiên giữa các
phương trình dạng (1.1) và (1.4) đó là nghiệm của (1.4) thường phụ thuộc vào
hàm khởi tạo φ(t) hơn là phụ thuộc vào giá trị khởi tạo y
0
như đối với (1.1). Nói
chung, đạo hàm bên phải y

(t
+
0
), đó là f(t
0
, φ(t
0

), φ(t
0
− τ)), không bằng đạo hàm
trái y

(t
−
0
) và do đó nghiệm y không được liên kết trơn với hàm khởi tạo φ(t) tại
điểm t
0
, ở đó chỉ có tính chất C
0
-liên tục là có thể được đảm bảo. Hơn nữa, tính
không liên tục của đạo hàm sẽ lan truyền từ điểm khởi tạo t
0
theo khoảng tích
phân và tạo ra các điểm gián đoạn tiếp theo mà tại đó, nghiệm càng ngày càng
trơn hơn. Như một hệ quả, thậm chí nếu các hàm f(t, y, x), τ(t, y) và φ(t) trong
(1.4) là C
∞
-liên tục thì nói chung y(t) đơn giản chỉ là C
1
-liên tục trong [t
0
, t
f
].
Ví dụ 1.1.1. Xét phương trình


y

(t) = −y(t − 1), t ≥ 0,
y(t) = 1, t ≤ 0.
(1.5)
8
Nghiệm của phương trình được miêu tả trong Hình 1.1. Vì y

(0
−
) = 0 và
y

(0
+
) = −y(−1) = −1, hàm đạo hàm y

(t) có một điểm gián đoạn tại t = 0. Đạo
hàm cấp hai y

(t) được cho bởi
y

(t) = −y

(t − 1),
và do đó nó có một điểm gián đoạn tại t = 1. Đạo hàm cấp ba được cho bởi
y

(t) = −y


(t − 1) = y

(t − 2)
và do đó nó có một điểm gián đoạn tại t = 2, và tương tự như thế tại các điểm
là các bội số của chậm t = 3, 4, . . .
Hình 1.1: Nghiệm của (1.5)
Trong các mô hình tổng quát hơn, đạo hàm y

(t) có thể phụ thuộc vào y và
chính y

tại một giá trị quá khứ t − τ nào đó. Trong trường hợp này, (1.4) thay
đổi thành dạng

y

(t) = f(t, y(t), y(t − τ), y

(t − τ)), t ≥ t
0
,
y(t) = φ(t), t ≤ t
0
,
(1.6)
trong đó hàm φ(t) được giả thiết ít nhất là C
1
-liên tục. Phương trình (1.6) được
gọi là một PTVPCC trung tính (delay differential equation of neutral type).

Như trước đã nói, hàm khởi tạo φ(t) không liên kết trơn với nghiệm y(t) tại t
0
,
nơi chỉ có duy nhất tính liên tục được đảm bảo. Điểm gián đoạn này sẽ lan
truyền thành một tập các điểm gián đoạn mà ở đó nghiệm, không giống trường
hợp không trung tính, chỉ thuộc duy nhất lớp C
0
. Do đó, trừ phi điều kiện nối
φ

(t
−
0
) = f(t
0
, φ(t
0
), φ(t
0
− τ), φ

(t
0
− τ))
được thỏa mãn, còn không thì nghiệm của (1.6) phải được hiểu theo nghĩa tổng
quát “hầu khắp nơi”.
9
Ví dụ 1.1.2. Xét phương trình

y


(t) = −y

(t − 1), t ≥ 0,
y(t) = t, t ≤ 0,
(1.7)
có nghiệm được vẽ trên Hình 1.2. Vì y

(0
−
) = 1 và y

(0
+
) = −y

(−1) = −1, đạo
hàm y

(t) có một điểm gián đoạn tại t = 0. Hơn nữa, vì y

(t) = −y

(t − 1) với mọi
t ≥ 0, đạo hàm y

(t) không liên tục tại t = 1 cũng như tại t = 2, 3, . . . là các bội
số của t = 1.
Hình 1.2: Nghiệm của (1.7).
Ví dụ sau chỉ ra rằng, trong khi các nghiệm bị chặn của các PTVPT có thể

dao động chỉ khi hệ thống có ít nhất hai thành phần và có thể dao động hỗn
loạn chỉ khi hệ thống có ít nhất ba thành phần (Định lí Poincaré-Bendixon), thì
các nghiệm của PTVPCC có thể có tính chất dao động và thậm chí dao động
hỗn loạn trong trường hợp vô hướng.
Ví dụ 1.1.3. Xét phương trình logistic có chậm sau
y

(t) = ay(t)(1 − y(t − 1)), (1.8)
phương trình này mô hình hóa sự thay đổi của dân số, là cải tiến của mô hình
Verhulst-Pearl y

(t) = ay(t)(1 − y(t)).
Trong khi các nghiệm của phương trình Verhulst-Pearl là đơn điệu, các
nghiệm dương của (1.8) là đơn điệu với a ∈ (0, 1/e), dao động với a ∈ [1/e, π/2)
và xấp xỉ với các quỹ đạo tuần hoàn với a > π/2 (Hình 1.3 và 1.4). (Xem [6])
Cuối cùng, ta thấy rằng sự có mặt của thành phần chậm có thể thay đổi
mạnh mẽ tính chất định tính của nghiệm bằng cách tác động đến sự ổn định
của mô hình.
10
Hình 1.3: Nghiệm của (1.8) với y(t) = 0.1 khi t ≤ 0, a = 1.4 và 0.3.
Hình 1.4: Nghiệm của (1.8) với a = 1.7 trong mặt phẳng pha.
Ví dụ 1.1.4. Xét phương trình vô hướng tuyến tính

y

(t) = λy(t) + µy(t − 1), t ≥ 0,
y(t) = −t + 1, t ≤ 0,
(1.9)
với các hệ số λ, µ là các hằng số thực. Ta biết rằng, với µ = 0, phương trình
(1.9) có dạng


y

(t) = λy(t), t ≥ 0,
y(0) = 1,
(1.10)
Nghiệm của phương trình này tiệm cận tới 0 với mọi λ âm và bùng nổ với
λ dương bất kì. Hơn nữa trong trường hợp λ âm, nghiệm còn bị chặn bởi giá
11
trị khởi tạo 1. Mặt khác, với µ = 0, thành phần chậm µy(t − 1) trong (1.9) tác
động như một thành phần cưỡng bức và các tính chất đã nêu của nghiệm có thể
không còn được thoả mãn. Đặc biệt, với mọi µ > 0, tồn tại λ < 0 sao cho nghiệm
không tiệm cận tới 0 và tồn tại giá trị λ < 0 khác sao cho nghiệm tiệm cận tới
0 nhưng không bị chặn bởi giá trị khởi tạo y(0) = 1. Các tình huống này được
minh họa trong Hình 1.5 với µ = 4, λ = −3.5 và λ = −5. Cũng vậy, với λ = 0.5 và
µ = −1, thành phần chậm −y(t − 1) tác động như là một thành phần ổn định
hoá (stabilizer) của mô hình có nghiệm ổn định bất chấp tính dương của λ (xem
Hình 1.6).
Hình 1.5: Nghiệm ổn định và không ổn định của (1.9) với λ < 0.
Hình 1.6: Nghiệm ổn định của (1.9) với λ > 0.
Ví dụ 1.1.5. PTVPCC trung tính sau là một ví dụ cho thấy chậm với giá trị
nhỏ có thể tạo ra một ảnh hưởng rộng lớn
y

(t) = −1.5y

(t − τ) + λy(t), λ < 0, (1.11)
12
Nghiệm của phương trình này ổn định tiệm cận với τ = 0 và không ổn định
với mọi τ > 0. Trong trường hợp này thành phần chậm tác động như là một

thành phần làm mất ổn định (destabilizer).
1.2. Phương pháp số giải phương trình vi phân thường
Để có cơ sở theo dõi được điểm khác biệt giữa các phương pháp số giải
PTVPT và PTVPCC, trong phần này ta sẽ nhắc lại các khái niệm cơ bản liên
quan đến PTVPT, một số phương pháp số tiêu biểu giải PTVPT cũng như tính
chất của các phương pháp đó. (Xem [3])
1.2.1. Các khái niệm cơ bản
Xét bài toán giá trị đầu cho PTVPT tổng quát

y

= f(t, y), 0 ≤ t ≤ b,
y(0) = c,
(1.12)
trong đó b > 0, c ∈ R
n
cho trước, f ∈ C([0, b] × R
n
→ R
n
).
Định nghĩa 1.2.1. Nghiệm y(t) được gọi là ổn định nếu với mọi ε > 0 cho
trước, tồn tại một δ > 0 sao cho với mọi nghiệm ˆy(t) khác y(t) và thoả mãn
|y(0) − ˆy(0)| ≤ δ
ta cũng có
|y(t) − ˆy(t)| ≤ ε, ∀t ≥ 0.
Định nghĩa 1.2.2. Nếu có thêm điều kiện
|y(t) − ˆy(t)| → 0 khi t → ∞
thì y(t) được gọi là ổn định tiệm cận.
Chọn lưới điểm ∆ = {t

0
= 0, t
1
, . . . , t
N
= b} và đặt h
n
= t
n
− t
n−1
với n =
1, . . . , N. Ta xét một phương pháp số đơn giản giải (1.12), đó là phương pháp
Euler hiển, có dạng
y
n
= y
n−1
+ h
n
f(t
n−1
, y
n−1
).
Ta viết lại công thức trên thành
y
n
− y
n−1

h
n
− f(t
n−1
, y
n−1
) = 0.
13
Cho u là một hàm bất kì định nghĩa trên lưới điểm ∆. Xét toán tử sai phân
N
h
u(t
n
) ≡
u(t
n
) − u(t
n−1
)
h
n
− f(t
n−1
, u(t
n−1
))
với n = 1, . . . , N. Toán tử sai phân này thay đổi tùy theo phương pháp. Xét y
h
là một hàm lưới nhận giá trị y
n

tại mỗi điểm t
n
, n = 0, 1, . . . , N. Khi đó phương
pháp số cho bởi phương trình toán tử
N
h
y
h
(t
n
) = 0, n = 0, , N
(với y
0
= c).
Định nghĩa 1.2.3. Gọi y là nghiệm chính xác của phương trình. Sai số chặt
cụt địa phương là đại lượng được định nghĩa bởi
d
n
= N
h
y(t
n
).
Định nghĩa 1.2.4. Phương pháp số được gọi là chính xác cấp p nếu
N
h
y(t
n
) = O (h
p

n
)
với p là một số nguyên dương.
Đặt h = max
1≤n≤N
h
n
.
Định nghĩa 1.2.5. Phương pháp số được gọi là hội tụ cấp p nếu sai số toàn cục
e
n
, trong đó e
n
= y
n
− y(t
n
), e
0
= 0 thoả mãn
e
n
= O(h
p
)
với n = 1, 2, . . . , N.
Định nghĩa 1.2.6. Phương pháp số được gọi là ổn định – 0 nếu có các hằng số
h
0
và K sao cho với các hàm lưới x

h
và z
h
bất kì với h ≤ h
0
ta luôn có
|x
n
− z
n
| ≤ K

|x
0
− z
0
| + max
1≤j≤N
|N
h
x
h
(t
j
) − N
h
z
h
(t
j

)|

, 1 ≤ n ≤ N.
Định lý 1.2.1. Nếu phương pháp là chính xác cấp p và ổn định – 0 thì nó hội
tụ cấp p
|e
n
| ≤ K max
j
|d
j
| = O (h
p
) .
Xét phương trình thử
y

= λy
với λ ∈ C, Reλ < 0 và y
0
, y
1
, , y
N
là một lời giải số.
14
Định nghĩa 1.2.7. Điều kiện sau được gọi là điều kiện ổn định tuyệt đối
|y
n
| ≤ |y

n−1
| , n = 1, 2, , N.
Định nghĩa 1.2.8. Miền ổn định tuyệt đối của một phương pháp số là miền
trong mặt phẳng phức z sao cho khi áp dụng phương pháp cho phương trình thử,
với z = λh nằm trong miền này, ta được một nghiệm xấp xỉ thoả mãn điều kiện
ổn định tuyệt đối.
Định nghĩa 1.2.9. Một phương pháp số được gọi là ổn định – A nều miền ổn
định tuyệt đối của nó chứa toàn bộ nửa bên trái mặt phẳng phức z = λh.
1.2.2. Một số phương pháp số tiêu biểu giải phương trình vi
phân thường
Trong phần này ta xét hai loại phương pháp tiêu biểu để giải (1.12), đó là
các phương pháp một bước và các phương pháp đa bước.
Một lớp phương pháp một bước quan trọng để giải (1.12) là các phương pháp
Runge – Kutta (R - K). Sau đây là một số phương pháp R - K đơn giản nhất.
(a) Phương pháp Euler hiển y
n
= y
n−1
+ h
n
f(t
n−1
, y
n−1
).
Người ta chứng minh được rằng phương pháp Euler hiển chính xác cấp 1, ổn
định – 0 và do đó hội tụ cấp 1. Tuy nhiên phương pháp Euler hiển không ổn
định – A.
(b) Phương pháp Euler ẩn y
n

= y
n−1
+ h
n
f(t
n
, y
n
).
Cũng như phương pháp Euler hiển, người ta chứng minh được rằng phương
pháp Euler ẩn chính xác cấp 1, ổn định – 0 và do đó hội tụ cấp 1. Tuy nhiên,
không giống phương pháp Euler hiển, phương pháp Euler ẩn là ổn định – A.
(c) Phương pháp trung điểm y
n
= y
n−1
+ h
n
f(t
n−1/2
,
y
n
+y
n−1
2
).
(d) Phương pháp hình thang y
n
= y

n−1
+
h
n
2
[f(t
n−1
, y
n−1
) + f(t
n
, y
n
)] .
Người ta chứng minh được rằng phương pháp trung điểm và phương pháp
hình thang đều chính xác cấp 2, ổn định – 0 và do đó hội tụ cấp 2. Ngoài ra, cả
hai phương pháp đều ổn định – A.
Nói chung, một phương pháp R – K s - nấc giải PTVPT y

= f(t, y) có thể
được viết dưới dạng
Y
i
= y
n−1
+ h
s

j=1
a

ij
f(t
n−1
+ c
j
h, Y
j
), i = 1, 2, , s,
y
n
= y
n−1
+ h
s

i=1
b
i
f(t
n−1
+ c
i
h, Y
i
),
15
trong đó








c
i
=
s

j=1
a
ij
, i = 1, , s,
s

i=1
b
i
= 1.
Nếu a
ij
= 0 ∀j > i thì ta có một công thức R – K hiển. Ngược lại ta có một
công thức R – K ẩn.
Ta thể hiện phương pháp một cách thuận tiện bằng cách sử dụng bảng
Butcher như sau
c
1
a
11
a

12
. . . a
1s
c
2
a
21
a
22
. . . a
2s
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
c
s
a
s1

a
s2
. . . a
ss
b
1
b
2
. . . b
3
Chẳng hạn, ta có bảng Butcher của
(a) Phương pháp Euler hiển
0 0
1
(b) Phương pháp Euler ẩn
1 1
1
(c) Phương pháp trung điểm
1/2 1/2
1
(d) Phương pháp hình thang
0 0 0
1 1/2 1/2
1/2 1/2
Ngoài các phương pháp một bước, người ta còn xây dựng các phương pháp
đa bước để giải bài toán giá trị ban đầu cho các PTVPT. Một phương pháp k -
bước tuyến tính tổng quát có dạng
k

j=0

α
j
y
n−j
= h
k

j=0
β
j
f
n−j
,
trong đó các hằng số α
j
, β
j
, j = 0, . . . , k là các hệ số của phương pháp, α
0
=
0; |α
k
| + |β
k
| = 0 và
t
n−j
= t
n
− jh, y

n−j
≈ y(t
n−j
), f
n−j
= f(t
n−j
, y
n−j
) ≈ f(t
n−j
, y(t
n−j
)), j = 0, , k.
16
Nếu β
0
= 0, ta có một công thức đa bước hiển. Ngược lại, ta có một công
thức đa bước ẩn.
Hai họ phương pháp đa bước phổ biến nhất là các phương pháp Adams và
các phương pháp BDF.
Các phương pháp Adams hiển, còn được gọi là các phương pháp Adams-
Bashforth, là phổ biến nhất trong các phương pháp đa bước hiển và có dạng
như sau
y
n
= y
n−1
+ h
k


j=1
β
j
f
n−j
trong đó
β
j
= (−1)
j−1
k−1

i=j−1

i
j − 1

γ
i
,
γ
i
= (−1)
i
1

0

−s

i

ds.
Các phương pháp Adams ẩn, còn được gọi là các phương pháp Adams-
Moulton, có dạng
y
n
= y
n−1
+ h
k

j=0
β
j
f
n−j
.
Cấp của một phương pháp Adams-Moulton k-bước là p = k + 1. Các phương
pháp Adams-Moulton có các hằng số sai số nhỏ hơn, sử dụng ít hơn một bước
và có miền ổn định rộng hơn nhiều so với các phương pháp Adams-Bashforth có
cùng cấp.
Một phương pháp k-bước BDF với cấp p = k có dạng sau
k

i=1
1
i
∇
i

y
n
=hf (t
n
, y
n
) ,
trong đó
∇
0
f (t
n
, y
n
) = f (t
n
, y
n
) ,
∇
i
f (t
n
, y
n
) = ∇
i−1
f (t
n
, y

n
) − ∇
i−1
f (t
n−1
, y
n−1
) .
Phương pháp BDF có tính stiff decay (giảm nhanh), thích hợp giải bài toán
cương, xem [3].
17
1.3. Nghiệm số của phương trình vi phân có chậm:
Phương pháp cho phương trình vi phân thường
liệu có đủ hay không?
Để minh hoạ một vài đặc trưng cơ bản của các phương pháp số giải PTVPCC
và sự khác nhau của chúng so với các phương pháp số giải PTVPT, ta xem xét
PTVPCC hằng số sau

y

(t) = f(t, y(t), y(t − 1)), t ≥ 0,
y(t) = φ(t), t ≤ 0.
(1.13)
Hướng tiếp cận việc giải số (1.13) một cách tự nhiên nhất, nhưng không phải
là duy nhất, là sử dụng các bước tích phân nhỏ hơn hoặc bằng chậm τ = 1 và
tích phân từng bước các PTVPT đạt được từ (1.13) bằng cách thay thành phần
chậm y(t − 1) bằng một hàm η(t − 1) cho trước, tuỳ theo giá trị của t mà bằng
hàm khởi tạo φ(t−1) hoặc bằng một mở rộng liên tục của nghiệm tìm được trước
đó bởi chính phương pháp đang sử dụng. Do đó, tại bước thứ (n + 1), phương
trình được giải sẽ là


ω

n+1
(t) = f(t, ω
n+1
(t), x(t − 1)), t
n
≤ t ≤ t
n+1
,
ω
n+1
(t
n
) = y
n
,
(1.14)
trong đó
x(s) =

φ(s), s ≤ 0,
η(s), 0 ≤ s ≤ t
n
.
Công thức tích phân cho ta giá trị y
n+1
và nghiệm xấp xỉ η của (1.13) liên
tục trong [t

n
, t
n+1
] sao cho η(t
n+1
) = y
n+1
.
Một tính chất riêng của hướng tiếp cận này là trong khi phương pháp số giải
PTVPT chỉ cung cấp các giá trị xấp xỉ của nghiệm tại các điểm nút thì việc cài
đặt phương pháp số giải (1.14) có thể yêu cầu các hiểu biết về nghiệm xấp xỉ η(t)
tại một vài điểm t − 1 có thể khác các điểm nút. Do đó, nói chung, các phương
pháp số giải PTVPCC sẽ dựa trên cơ sở các mở rộng liên tục của các phương
pháp số giải PTVPT. Điều này có thể thực hiện bằng một phép nội suy hậu
nghiệm (a posteriori interpolation) của các giá trị y
n
được cung cấp bởi phương
pháp PTVPT rời rạc cơ sở hoặc, tốt hơn, bằng phương pháp số giải PTVP với
đầu ra liên tục, đó là các phương pháp cung cấp từng bước một xấp xỉ liên tục
của nghiệm (xem Hình 1.7). Như chúng ta sẽ thấy, sự thành công của phương
pháp số giải PTVP thường với đầu ra liên tục đạt được về mặt sự chính xác và
18
Hình 1.7: Nghiệm xấp xỉ của (1.13) đạt được bằng phương pháp số giải PTVP với đầu
ra liên tục.
tính ổn định phụ thuộc vào sự lựa chọn đặc biệt phương pháp rời rạc cũng như
là mở rộng liên tục.
Ta cũng đã chỉ ra rằng sự xuất hiện của thành phần có chậm có thể thay
đổi một cách mạnh mẽ một vài tính chất về tính bị chặn và ổn định, và nói
chung, về sự biến đổi của mô hình PTVPT ban đầu. Bây giờ, ta muốn minh
hoạ, qua các ví dụ, rằng trong khi cài đặt, một vài tính chất về sự chính xác và

tính ổn định được mong đợi của phương pháp PTVPT cơ sở có thể bị phá huỷ
khi phương pháp được áp dụng cho một PTVPCC.
1.3.1. Sự thất bại về cấp chính xác của phương pháp
Để minh hoạ cho khả năng có thể mất tính chính xác, xét lớp các phương
trình tuyến tính hệ số hằng số sau

y

(t) = ay(t) −
π
2
e
a
y(t − 1), t ≥ 0,
y(t) = φ(t) = e
at
sin(
π
2
t), t ≤ 0,
(1.15)
Nghiệm của phương trình, y(t) = e
at
sin(
π
2
t), thuộc lớp C
∞
trong [−1, +∞).
Theo (1.14), với n = 0, 1, . . . , ta sẽ giải PTVPT sau


w

n+1
(t) = aw
n+1
(t) −
π
2
e
a
x(t − 1), t
n
≤ t ≤ t
n+1
,
w
n+1
(t
n
) = y
n
,
(1.16)
trong đó
x(s) =

φ(s) = e
as
sin


π
2
s

, s ≤ 0,
η(s), 0 ≤ s ≤ t
n
Một lớp phương pháp tốt để tích phân (1.16) được cho bởi phương pháp
trùng khớp tại ν điểm Gauss, có thể được xem là các phương pháp Runge-Kutta
19
ν-nấc cấp 2ν. Vì chúng là các phương pháp trùng khớp dựa trên sự xấp xỉ đa
thức từng khúc bậc ν, nên chúng cũng cung cấp một mở rộng liên tục η(t) có
cấp chính xác đều ν + 1. Do đó, phương pháp trùng khớp Gauss xuất hiện như
là một lớp các phương pháp liên tục hấp dẫn để tích phân các PTVPCC giống
như (1.15).
Với ν = 1, phương pháp đã được biết đến như là phương pháp trung điểm,
và với phương trình tổng quát (1.14) nó có dạng
y
n+1
= y
n
+ hf

t
n
+
h
2
,

y
n
+ y
n+1
2
, x

t
n
+
h
2
− 1

. (1.17)
Áp dụng (1.17) cho (1.16) với cỡ bước tích phân hằng số h = 1/(m−δ), m ≥ 2,
m nguyên, và 0 ≤ δ < 1, ta được
y
n+1
=

y
n
+ h

a
y
n
+y
n+1

2
− e
a
π
2
φ

t
n
+
h
2
− 1

, t
n
+
h
2
− 1 ≤ 0,
y
n
+ h

a
y
n
+y
n+1
2

− e
a
π
2
η

t
n
+
h
2
− 1

, t
n
+
h
2
− 1 > 0,
trong đó η

t
n
+
h
2
− 1

được cho bởi phép nội suy tuyến tính, đó là
η


t
n
+
h
2
− 1

= η

t
n
+
h
2
− (m − δ) h

=

1
2
− δ

y
n−m
+

δ +
1
2


y
n−m+1
, 0 ≤ δ ≤
1
2

3
2
− δ

y
n−m+1
+

δ −
1
2

y
n−m+2
,
1
2
< δ < 1
Tóm lại, công thức trung điểm cho (1.15) có dạng
y
n+1
=


1 +
1
2
ha

y
n
−
π
2
he
a
(
n+
1
2
)
h
sin

π
2

n +
1
2

h − 1

1 −

1
2
ha
(1.18)
với n ≤ m − δ −
1
2
và
y
n+1
=



(
1+
1
2
ha
)
y
n
−
π
2
e
a
h
((
1

2
−δ
)
y
n−m
+
(
δ+
1
2
)
y
n−m+1
)
1−
1
2
ha
, 0 ≤ δ ≤
1
2
,
(
1+
1
2
ha
)
y
n

−
π
2
e
a
h
((
3
2
−δ
)
y
n−m+1
+
(
δ−
1
2
)
y
n−m+2
)
1−
1
2
ha
,
1
2
< δ < 1,

(1.19)
với n > m − δ −
1
2
.
Ta biết rằng, trong khi cấp chính xác rời rạc và đều của công thức trung
điểm (ν = 1) cho các PTVPT đều bằng 2, thì công thức trùng khớp Gauss 2-nấc
(ν = 2) lại có cấp chính xác rời rạc bằng 4 và cấp chính xác đều bằng 3.
Để kiểm tra cấp chính xác rời rạc p của các phương pháp số giải PTVP với
đầu ra liên tục thu được, xét nghiệm của (1.15) trong đoạn [0, 10] và nhớ rằng
20
nghiệm thuộc lớp C
∞
. Do đó không có điểm gián đoạn nào ảnh hưởng được đến
cấp chính xác của phương pháp. Ta kí hiệu e
h
là sai số tuyệt đối lớn nhất tại
các điểm nút với cỡ bước tích phân h = 1/(m − δ). Bằng cách chia đôi cỡ bước,
giá trị tiệm cận của tỉ số r
h
= e
h
/e
h
2
được kì vọng bằng 2
p
.
Hình 1.8: Đồ thị logarit của các tỉ số r
h

, h = 1/(m −δ), m − δ = 2
i
∗ k, như là một hàm
số của i, cho các nghiệm số của phương trình (1.15) với a = 1 đạt được bằng phương
pháp trùng khớp tại ν = 1 và ν = 2 các điểm Gauss. Các giá trị của m − δ được xác
định bởi k = 1 (đường nét liền) và k = 5/3 (đường nét đứt).
Với các giá trị nguyên (δ = 0) và không nguyên (δ > 0) của m − δ, tương ứng
với h là hoặc không là “ước” của chậm τ = 1, công thức trung điểm duy trì được
cấp chính xác rời rạc được kì vọng là 2. Ngược lại, công thức trùng khớp Gauss
2-nấc có cấp chính xác rời rạc là 4 hoặc 3 tuỳ theo m − δ là nguyên hay không
nguyên, trong khi cấp chính xác đều là bằng 3.
1.3.2. Sự thất bại về tính ổn định
Cũng giống như việc phân tích tính chính xác của các phương pháp số giải
PTVP với đầu ra liên tục, ta xét lớp các phương trình thử tuyến tính hệ số hằng
số sau

y

(t) = λy(t) −
4
5
λy(t − 1), t ≥ 0,
y(t) = 1, t ≤ 0.
(1.20)
Phương trình này có nghiệm, được vẽ trên Hình 1.9 với một số giá trị của λ,
là ổn định tiệm cận với mọi λ < 0.
Công thức trung điểm (1.17), được mở rộng bởi phép nội suy tuyến tính, áp
dụng cho phương trình (1.20) có dạng
y
n+1

=

1 +
1
2
hλ

y
n
−
4
5
hλ
1 −
1
2
hλ
21
Hình 1.9: Nghiệm của (1.20) với λ < 0.
với n ≤ m − δ −
1
2
và
y
n+1
=



(

1+
1
2
hλ
)
y
n
−
4
5
hλ
((
1
2
−δ
)
y
n−m
+
(
δ+
1
2
)
y
n−m+1
)
1−
1
2

hλ
, 0 ≤ δ ≤
1
2
,
(
1+
1
2
hλ
)
y
n
−
4
5
hλ
((
3
2
−δ
)
y
n−m+1
+
(
δ−
1
2
)

y
n−m+2
)
1−
1
2
hλ
,
1
2
< δ < 1,
(1.21)
với n > m − δ −
1
2
.
Ta biết rằng phương pháp trung điểm là ổn định – A, tức là với mọi phương
trình y

= λy, Re(λ) < 0, phương pháp cung cấp các nghiệm số tiệm cận tới 0 với
cỡ bước tích phân h > 0 bất kì. Vì nghiệm của (1.20) ổn định tiệm cận với mọi
λ < 0, ta kì vọng tính chất đó cũng đúng cho nghiệm số đạt được bằng phương
pháp trung điểm mà không phụ thuộc vào cỡ bước h. Tuy nhiên, trong khi (1.21)
cho ta các nghiệm số ổn định của (1.20) khi m − δ là số nguyên (δ = 0), thì các
giá trị không nguyên của m − δ có thể tạo ra các nghiệm số không ổn định. Hình
1.10 thể hiện các nghiệm số của (1.20) với λ = −50, đạt được bằng cách áp dụng
(1.21) với m − δ = 10 và m − δ = 12,5. Mặc dù trong trường hợp sau ta sử dụng
một cỡ bước tích phân nhỏ hơn nhưng nghiệm đạt được lại không ổn định.
Bây giờ ta xét một phương pháp ổn định – A rất phổ biến khác, gọi là phương
22

Hình 1.10: Nghiệm số của phương trình(1.20) với λ = −50 đạt được bằng phương pháp
trung điểm với h = 1/(m − δ), m − δ nguyên hoặc không nguyên.
pháp hình thang, áp dụng cho phương trình tổng quát (1.14), như sau
y
n+1
= y
n
+
h
2
(f (t
n
, y
n
, x (t
n
− 1)) + f (t
n+1
, y
n+1
, x (t
n+1
− 1))) . (1.22)
Áp dụng (1.22) cho (1.20) với cỡ bước hằng số h = 1/ (m − δ) , m ∈ Z, m ≥
2, 0 ≤ δ < 1 và nội suy tuyến tính giữa các điểm nút cho ta
y
n+1
=
(
1+

1
2
hλ
)
y
n
−
4
5
hλ
1−
1
2
hλ
với n ≤ m − 2,
y
n+1
=
(
1+
1
2
hλ
)
y
n
−
1
2
h

4
5
λ(2−δ+δy
1
)
1−
1
2
hλ
với n = m − 1,
và
y
n+1
=

1 +
1
2
hλ

y
n
−
1
2
h
4
5
λ ((1 − δ) y
n−m

+ y
n−m−1
+ δy
n−m+2
)
1 −
1
2
hλ
(1.23)
với n ≥ m.
Không giống như phương pháp trung điểm, phương pháp hình thang cung
cấp các nghiệm ổn định với các cỡ bước tích phân không phải là “ước” của chậm.
Hình 1.11 minh hoạ tính chất nghiệm của (1.23) với λ = −50 và m − δ = 12.5,
trong khi với các điều kiện đó, phương pháp trung điểm gặp thất bại.
Mặc dù phương pháp hình thang thể hiện tính ổn định tốt hơn phương pháp
trung điểm khi áp dụng cho các PTVPCC tuyến tính hệ số hằng số, chúng có
thể là không đủ khi áp dụng cho lớp rộng hơn các PTVPCC tuyến tính hệ số
biến thiên, thậm chí với các giá trị m − δ nguyên. Để minh hoạ cho sự khác
nhau này giữa các phương pháp khi áp dụng cho các PTVPT và PTVPCC, xét
phương trình

y

(t) = λ(t)y(t) −
4
5
λ(t)y(t − 1), t ≥ 0,
y(t) = t + 1, t ≤ 0,
(1.24)

23
Hình 1.11: Nghiệm số của phương trình (1.20) với λ = −50 đạt được bằng phương
pháp hình thang với m − δ = 12.5.
trong đó λ(t) = −50 sin
2

2π
3

t −
1
4

, có nghiệm được vẽ trong Hình 1.12 (bên
trái), là ổn định tiệm cận.
Hình 1.12: Nghiệm của phương trình (1.24) với λ(t) ≤ 0 nào đó.
Với phương trình tuyến tính hệ số biến thiên y

(t) = λ(t)y(t), y(0) = y
0
, ta biết
rằng nghiệm tiến đến 0 với mọi hàm thực λ(t) ≤ 0 sao cho
t

0
λ(s)ds → −∞ khi
t → +∞. Ta cũng biết rằng phương pháp trung điểm là ổn định đại số và như
một hệ quả, nghiệm số bị chặn bởi giá trị khởi tạo |y
0
| với cỡ bước hằng số h > 0

bất kì. Không giống như trường hợp hệ số hằng số, phương pháp trung điểm
cho ta nghiệm không ổn định thậm chí với một số cỡ bước tích phân hằng số
là “ước” của chậm. Kết quả với h = 0, 5, ứng với m − δ = 2, được thể hiện trên
Hình 1.13 (bên trái).
Như một kết quả không mong muốn cuối cùng trong phần này, ta chỉ ra rằng
phương pháp hình thang có thể cũng không ổn định khi áp dụng cho các phương
trình như là (1.24). Để làm điều này, xét phương trình (1.24) với hệ số hơi khác
một chút là λ(t) = −50 sin
2

2π
3
t

, nghiệm của phương trình được vẽ trong Hình
24
1.12 (bên phải). Nghiệm số, với cỡ bước tích phân h = 0.5, được vẽ trong Hình
1.13 (bên phải).
Cũng cần thiết phải chỉ ra rằng, hai ví dụ cuối cùng được thiết kế để phá
hỏng tính chất ổn định đại số của các phương pháp PTVPT khi áp dụng cho
PTVPCC. Một sự thay đổi nhỏ trên hệ số λ(t) trong (1.24) hoặc trên cỡ bước
tích phân có thể làm cho các mô hình khi áp dụng phương pháp trung điểm
và phương pháp hình thang trở thành ổn định. Các kết quả số đạt được bằng
phương pháp trung điểm và phương pháp hình thang cho hai ví dụ cuối cùng
với cỡ bước h = 0.505, tương ứng với m − δ = 1.98, được vẽ trên Hình 1.14 mà
trong đó, sau một vài dao động giả, chúng trở nên ổn định tiệm cận.
Hình 1.13: Nghiệm số của phương trình (1.24) với λ(t) ≤ 0 nào đó đạt được bằng
phương pháp trung điểm (bên trái) và phương pháp hình thang (bên phải) với m−δ = 2.
Hình 1.14: Nghiệm số của phương trình (1.24) với λ(t) ≤ 0 nào đó đạt được bằng
phương pháp trung điểm (bên trái) và phương pháp hình thang (bên phải) với m−δ =

1.98.
25
1.3.3. Một phương pháp tốt cho các PTVPCC
Để đạt được một xấp xỉ cấp hai cho một lớp các bài toán ổn định bao gồm
cả (1.24) là một bài toán ổn định với mọi cỡ bước, ta có thể lựa chọn phương
pháp Lobatto IIIC hai nấc với nội suy tuyến tính giữa các điểm nút. Ta có bảng
Butcher của phương pháp này
0 1/2 −1/2
1 1/2 1/2
1/2 1/2
Áp dụng phương pháp cho (1.24) với cỡ bước tích phân hằng số h = 1/ (m − δ) , m ∈
Z, m ≥ 2, 0 ≤ δ < 1, ta được
Y
n
1
= y
n
+
1
2
h

λ(t
n
)Y
n
1
− λ(t
n+1
)Y

n
2
−
4
5
λ(t
n
)η(t
n
− 1) +
4
5
λ(t
n+1
)η(t
n+1
− 1)

,
Y
n
2
= y
n
+
1
2
h

λ(t

n
)Y
n
1
+ λ(t
n+1
)Y
n
2
−
4
5
λ(t
n
)η(t
n
− 1) −
4
5
λ(t
n+1
)η(t
n+1
− 1)

,
y
n+1
= Y
n

2
,
trong đó
η(t
n
− 1) = t
n
η(t
n+1
− 1) = t
n+1

với n ≤ m − 2,
η(t
n
− 1) = t
n
η(t
n+1
− 1) = 1 − δ + δy
1

với n = m − 1,
η(t
n
− 1) = (1 − δ)y
n−m
+ δy
n−m+1
η(t

n+1
− 1) = (1 − δ)y
n−m+1
+ δy
n−m+2

với n ≥ m.
Hình 1.15: Nghiệm số của phương trình (1.24) đạt được bằng phương pháp Lobatto
IIIC hai nấc với λ(t) = −50 sin
2

2π
3

t −
1
4

và m − δ = 2.