BÀI GIẢNG HỌC PHẦN: TOÁN CHUYÊN NGÀNH (DÀNH CHO HỆ TÍN CHỈ)

BỘ CÔNG THƯƠNG
TRƯỜNG CAO ĐẲNG CÔNG NGHIỆP TUY HÒA
KHOA GIÁO DỤC ĐẠI CƯƠNG

BÀI GIẢNG
HỌC PHẦN: TOÁN CHUYÊN NGÀNH
(DÀNH CHO HỆ TÍN CHỈ)
Bài giảng Toán chuyên ngành

1
TUY HOÀ, THÁNG 5 NĂM 2010
Bài giảng Toán chuyên ngành

Chương I.
SỐ PHỨC
1.1. Định nghĩa
Định nghĩa. Số phức là một biểu thức có dạng
x iy+
, trong đó
x
và
y
là những số thực,
và kí hiệu
i
gọi là đơn vị ảo. Ta gọi
x
là phần thức và
y
là phần ảo của số phức
x iy+

. Ta
thường kí hiệu:
z x iy= +
( )
( )
Re Re
Im Im
x z x iy
y z x iy
= = +
= = +
Ta kí hiệu tập số phức là
£
.
Vậy
{ }
,z x iy x y= = + ∈£ ¡
, trong đó
¡
là tập hợp tất cả các số thực.
Nếu
0y =
thì
z x=
, khi đó
z
là số thực.
Nếu
0x =
thì

z iy=
, khi đó
z
được gọi là số thuần ảo.
Chú ý.
2
1i = −
.
Ví dụ. Cho số phức
2 7z i= −
. Khi đó
Re 2,Im 7z z= = −
.
Định nghĩa. Số phức
x iy−
được gọi là số phức liên hợp của số phức
z x iy= +
và được kí
hiệu là
z
.
Định nghĩa. Số phức
( )
x iy− −
được gọi là số phức đối của số phức
z x iy= +
và được kí
hiệu là
z−
.

Định nghĩa. Hai số phức
1 1 1
z x iy= +
và
2 2 2
z x iy= +
được gọi là bằng nhau nếu chúng có
phần thực bằng nhau và phần ảo bằng nhau, nghĩa là
1 2 1 2
;x x y y= =
, khi đó ta viết
1 2
z z=
.
1.2. Các phép toán trên số phức
1. 2.1. Phép cộng
a. Định nghĩa. Cho hai số phức
1 1 1
z x iy= +
và
2 2 2
z x iy= +
. Ta gọi số phức
( ) ( )
1 2 1 2
z x x i y y= + + +
là tổng của hai số phức
1
z
và

2
z
. Khi đó ta viết
1 2
z z z= +
.
b. Tính chất.
1 2 2 1
z z z z+ = +
;
( ) ( )
1 2 3 1 2 3
z z z z z z+ + = + +
.
1.2.2. Phép trừ
Định nghĩa. Cho hai số phức
1 1 1
z x iy= +
và
2 2 2
z x iy= +
. Ta gọi số phức
z x iy= +
là hiệu
của hai số phức
1
z
và
2
z

nếu
2 1
z z z+ =
. Khi đó theo định nghĩa của
z
ta có:
2 1 2 1
;x x x y y y+ = + =
. Vậy
1 2 1 2
;x x x y y y= − = −
và
( ) ( )
1 2 1 2
z x x i y y= − + −
.
Ta kí hiệu số phức hiệu là
1 2
z z z= −
.
Từ định nghĩa ta thấy rằng
( )
1 2 1 2
z z z z− = + −
.
1.2.3. Phép nhân
a. Định nghĩa. Cho hai số phức
1 1 1
z x iy= +
và

2 2 2
z x iy= +
.
2
Bài giảng Toán chuyên ngành

Ta gọi số phức
( ) ( )
1 2 1 2 1 2 2 1
z x x y y i x y x y= − + +
là tích của số phức
1
z
với số phức
2
z
.
Khi đó ta viết
1 2
.z z z=
.
Ví dụ. Cho
1 2
2 5 ; 4 8 .z i z i= − = − +
Tính
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
, , , . , .z z z z z z z z z z+ + +
.
Giải:
Ta có:

2
4 8z i= − −
. Do đó
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
1 2
1 2
1 2
2
1 2
2 4 5 8 2 3
2 4 5 8 6 13
2 4 5 8 2 13
. 2 5 . 4 8 8 40 16 20 48 32
z z i i
z z i i
z z i i
z z i i i i i
+ = + − + − + = − +
− = − − + − − = −

+ = + − + − − = − −
= − − + = − + + + = − +
b. Tính chất
( )
( )
( )
1 2 2 1
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 1 3
. .
. . .( . )
. . .
1 .
.0 0. 0
z z z z
z z z z z z
z z z z z z z
z z
z z
=
=
+ = +
− = −
= =

1.2.4. Phép chia
Định nghĩa. Cho hai số phức
1 1 1
z x iy= +
và

2 2 2
0z x iy= + ≠
. Ta gọi số phức
z x iy= +
là
thương của hai số phức
1
z
và
2
z
nếu
1 2
.z z z=
và kí hiệu là
1
2
z
z
. Khi đó, ta có:
1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
.
.
z x x y y x y x y z z
z i
z x y x y
z z

+ −
= = + =
+ +
.
Ví dụ:
2 2 2 2
2 5 2.1 5.( 1) 1.5 2.( 1) 3 7
1 1 1 1 1 2 2
i
i i
i
+ + − − − −
= + = +
− + +
.
Thực tế ta tiến hành chia như sau:
1 1 2 1 2
2
2
2 2
2
. .
.
z z z z z
z
z z
z
= =
.
Ví dụ: Thực hiện phép chia sau:

(2 5 ) :(1 )i i+ −
.
Ta có
( ) ( )
( ) ( )
2 5 1
2 5 3 7 3 7
1 1 1 2 2 2
i i
i i
i
i i i
+ +
+ − + −
= = = +
− − +
.
1.3. Mặt phẳng phức
Cho
z x iy= + ∈£
. Mỗi số phức
z x iy= +
được đồng nhất với điểm
( )
2
,x y ∈¡
.
Vậy
2
≡£ ¡

. Khi đó mặt phẳng
0x y
được gọi là mặt phẳng phức.
0x
: trục thực
0y
: trục ảo
3
Bài giảng Toán chuyên ngành

Vậy
( )
2
,x iy x y+ ≡ ∈¡
.
1.4. Môđun và argument của số phức
1.4.1. Mô đun của số phức
z
Giả sử
z x iy= +
. Ta gọi
2 2
x y+
là môđun của số phức
z x iy= +
. Kí hiệu:
z
.
Vậy
2 2

z x y= +
.
Ví dụ. Cho
2 3z i= +
. Khi đó
2 2
2 3 13z = + =
.
1.4.2. Argument của số phức
z
Góc lượng giác
( )
0 ,0x z
uur uur
xác định sai khác
( )
2k k
π
∈¢
được gọi là argument của
z
và kí
hiệu là
Argz
.
Trong số các trị của
Argz
với
0z ≠
luôn luôn có một trị thuộc

(
]
,
π π
−
mà ta kí hiệu là
arg z
. Vậy
arg z
π π
− < ≤
và
{ }
rg arg 2 ,A z z k k
π
= + ∈¢
.
Để tìm
arg z
, ta dựa vào công thức sau:
Với
0x ≠
, ta có
ar , 0
arg ar , 0, 0
ar , 0, 0
y
ctg x
x
y

z ctg x y
x
y
ctg x y
x
π
π

>



= + < ≥



− + < <


Với
0x
=
, ta có
, 0
2
arg
, 0
2
y
z

y
π
π

>


=


− <


1.5. Dạng lượng giác và dạng mũ của số phức
1.5.1. Dạng lượng giác


4
Giả sử
2 2
r x y= +
: môđun của
z
,
Argz
ϕ
=
: argument của
z
.

Ta có
cos , sinx r y r
ϕ ϕ
= =
( )
cos sinz x iy r i
ϕ ϕ
⇒ = + = +
: gọi là
dạng lượng giác của số phức
z
.
* Vậy để tìm dạng lượng giác của
một số phức
z x iy= +
, ta cần tính:
+
2 2
r x y z= + =
+
arg z
( )
os(arg ) isin(arg )z r c z z⇒ = +
.
r
ϕ
x
y
0
x

y
Bài giảng Toán chuyên ngành

Ví dụ. Cho số phức
1z i= +
. Hãy viết số phức
z
dưới dạng lượng giác.
Giải:
2 2
1 1 2z = + =
;
arg ar .
4
y
z ctg
x
π
= =
Vậy
1 2 os isin .
4 4
z i c
π π
 
= + = +
 ÷
 
1.5.2. Dạng mũ
Giả sử số phức z có dạng lượng giác

( )
cos sinz r i
ϕ ϕ
= +
. Khi đó dạng mũ của số phức z
là
.
i
z r e
ϕ
=
.
Ví dụ. Hãy viết dạng mũ cả số phức
1z i
= − −
.
Giải:
Dạng lượng giác của số phức
z
là

3 3
2 os .sin
4 4
z c i
π π
 
   
= − + −
 ÷  ÷

 ÷
   
 
.
Do đó dạng mũ của
z
là
3
4
2.
i
z e
π
−
=
.
1.6. Phép khai căn một số phức
1.6.1. Phép lũy thừa của số phức
Định lí. Giả sử
( )
cos sinz r i
ϕ ϕ
= +
. Khi đó,
( )
cos sin
n n
z r n i n
ϕ ϕ
= +

.
Từ định lí trên ta suy ra: nếu
.
i
z r e
ϕ
=
thì
.
n n in
z r e
ϕ
=
.
Ví dụ. Cho số phức
1 3z i= − +
. Tính
8
z
.
Giải:
Ta có
( )
( )
2
2
8 8 8
8 8 8
2
1 3 2; arg .

3
2 2
2 os .sin
3 3
8.2 8.2 8.2 8.2
2 os .sin 2 os .sin .
3 3 3 3
1 3 1 3
2 2 .
2 2 2 2
r z z
z c i
z c i c i
z i i
π
π π
π π π π
= = − + = =
 
⇒ = +
 ÷
 
   
⇒ = + = +
 ÷  ÷
   
 
   
⇒ = − + − = − +
 ÷

 ÷  ÷
 ÷  ÷
 ÷
   
 
1.6.2. Phép khai căn của số phức
Cho số phức
z ∈£
và
n
∈
¥
.
Định nghĩa. Căn bậc
n
của số phức
z
kí hiệu
n
z
là số phức
w
sao cho
n
w z=
.
Ví dụ.
1
có hai giá trị là 1 và
1−

vì
( ) ( )
1.1 1; 1 1 1.= − − =
Chú ý.
a.
0 0
n
=
.
b. Nếu
0z ≠
thì
n
z
có n giá trị.
5
Bài giảng Toán chuyên ngành

* Cho
( )
cos sinz r i
ϕ ϕ
= +
. Tìm
n
z
.
Giả sử
w
n

z =
, tức là
n
w z=
với
( )
os +isinw c
ρ θ θ
=
. Khi đó
( )
osn +isinn osn sinn
n n n n
w c c i
ρ θ θ ρ θ ρ θ
= = +
.
Ta viết
z
dưới dạng
( ) ( )
cos 2 sin 2z r k ir k
ϕ π ϕ π
= + + +
.
Suy ra
( ) ( )
osn sinn cos 2 sin 2
n n
c i r k ir k

ρ θ ρ θ ϕ π ϕ π
+ = + + +
. Do đó
( )
( )
[ ]
osn cos 2
2
n 2
sinn sin 2
, 0, 1 .
n
n
n
n
r
c r k
r
k
k
r k
k n
n
ρ
ρ θ ϕ π
ρ
ϕ π
θ ϕ π
ρ θ ϕ π
θ


=

= +

=
 
⇒ ⇒
  
+
= +
= +
= ∈ −





Vậy

2 2
os isin , 0,1, , 1
n n
k k
z r c k n
n n
ϕ π ϕ π
 + + 
 
= + = −

 
 ÷
 
 
.
Ví dụ. Tính
i
.
Giải:
Ta có
0 1.i i
= +
. Dạng lượng giác của số phức
i
là:
os isin
2 2
i c
π π
= +
.
Do đó
2 2
5 5
2 2
os isin , 0,1 os isin ; os isin .
2 2 4 4 4 4
k k
i c k c c
π π

π π
π π π π
 
+ +
 
 
= + = = + +
   
 
 
 
1.7.Tập con và miền trong mặt phẳng phức
1.7.1. Đường cong trong
£
.
Định nghĩa. Đường cong trong
£
là một ánh xạ liên tục
[ ]
: ,a b
γ
⊂ →¡ £
cho bởi biểu
thức
( ) ( ) ( )
[ ]
; ,z t x t iy t t a b
γ
= = + ∈
(3.1)

Ví dụ: Đường tròn tâm 0 bán kính
r
có phương trình:
( ) ( ) ( )
[ ]
cos sin , 0,2z t x t iy t r t ir t t
γ π
= = + = + ∈
Hoặc
,0 2
it
z re t
π
= ≤ ≤
.
Định nghĩa. Đường cong
γ
được gọi là đường cong Jordan nếu
γ
là đơn ánh.
6
Bài giảng Toán chuyên ngành

Đường cong không Jordan Đường cong Jordan
Định nghĩa. Đường cong
γ
được gọi là đường cong kín nếu
( ) ( )
a b
γ γ

=
.
Ví dụ: đường tròn là đường cong kín.
Định nghĩa. Đường cong Jordan
γ
thoả mãn
( ) ( )
a b
γ γ
=
được gọi là chu tuyến.
1.7.2. Tập liên thông và miền trong
£
Định nghĩa. Tập
D ⊂ £
được gọi là mở nếu mọi
z D∈
đều có một hình tròn tâm
z
nằm
trọn trong
D
.
Định nghĩa. Tập
D ⊂ £
được gọi là liên thông nếu
1 2
,z z D∀ ∈
, tồn tại đường cong
D

γ
⊂

nối
1 2
,z z
.
Định nghĩa. Tập
D ⊂ £
được gọi là miền nếu
D
mở và liên thông.
Định nghĩa.
D
là miền
n −
liên nếu biên của nó gồm n thành phần.
Ví dụ: Hình tròn là miền đơn liên, hình vành khăn
{ }
:1 2D z z
γ
= ∈ ≤ ≤
là miền nhị liên.
Bài tập:
1. Cho
3 6
1 2
8 , 2
i i
z e z e

π π
= =
. Tính:
a.
1
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2
, , , , , , . ,
z
z z z z z z z z z z
z
+ −
.
b.
4 6
5 3
1 2 1 2
, , ,z z z z
.
2. Tính và viết dưới dạng đại số:
( )
5
6
2 1
. . 1 3 .
4 3 1
i i
a b i c
i i
− + +

 
+
 ÷
− −
 
3. Cho
1z i= +
.
a. Tìm
,argzz
.
b. Biểu diễn
z
dưới dạng lượng giác, dạng mũ.
c. Tính
7
z
.
d. Tính
4
z
.
4. Viết dạng lượng giác và dạng mũ các số:
. 5 .1 3 . 2 2 . 3a b i c i d i− − − + − −
.
7
Bài giảng Toán chuyên ngành

5. Giải các phương trình sau trên
£

:
a.
2
1 0z z+ + =
b.
2
2 10 0z z− + =
c.
5
1z i= +
.
8
Bài giảng Toán chuyên ngành

Chương II.
HÀM SỐ BIẾN SỐ PHỨC
2.1. Hàm biến phức
2.1.1. Khái niệm hàm biến phức
Định nghĩa. Cho
z ∈£
. Giả sử
z r=
. Nếu
r = +∞
thì số phức
z
được gọi là
số phức
∞
. Khi đó, tập

{ }
= ∪ ∞£ £
được gọi là tập số phức mở rộng.
Định nghĩa. Giả sử
D ⊂ £
.
Một ánh xạ
:
w
f D
z
→ £
a
được gọi là một hàm số phức xác định trên
D
.
D
: miền xác định của
f
,
( )
f D
: miền giá trị của
f
.
Vì
w
và
z
là những số phức nên ta có thể biểu diễn như sau:

,z x iy w u iv= + = +
Khi đó hàm số
( )
w f z=
trở thành
( ) ( ) ( )
, ,w f z u x y iv x y= = +
trong đó
( ) ( ) ( ) ( )
, R ef z ; , Imf z .u x y v x y= =
Như vậy việc cho hàm số
( )
f z
của một biến phức tương đương với việc cho hai hàm số
của hai biến số thực
,x y
là
( ) ( )
, , ,u x y v x y
.
Ví dụ.
( )
2
w f z z= =
,
z x iy= + ∈£
.
MXĐ:
£
.

Ta có
( )
2 2 2
.2z x iy z x y i xy= + ⇒ = − +
.
Đặt
( )
2 2
, :u x y x y= −
phần thực của
( )
f z

( )
, 2 :v x y xy=
phần ảo của
( )
f z
.
Ví dụ. Cho
( )
.
n
w f z z= =
Giả sử
( )
os +isinz x iy r c
ϕ ϕ
= + =
. Khi đó,

( )
n
w z osn +isinn
n
r c
ϕ ϕ
= =
.
Do đó
Re w cos ; Im w = sin
n n
r n r n
ϕ ϕ
=
.
2.2. Giới hạn và tính liên tục của hàm biến phức
2.2.1. Giới hạn của hàm số phức
a. Định nghĩa
Cho hàm số
( )
f z
xác định trong lân cận của điểm
0
z
, có thể trừ
0
z
. Số
A∈£
được gọi là

giới hạn của
f
khi
0
z z→
nếu
0, 0, z D
ε δ
∀ > ∃ > ∀ ∈
mà
0
0 z z
δ
< − <
ta có
( )
f z A
ε
− <
.
9
Bài giảng Toán chuyên ngành

Kí hiệu
( )
0
lim
z z
f z A
→

=
hay
( )
f z A→
khi
0
z z→
.
b. Tính chất
+ Giới hạn (nếu có) của
f
khi
0
z z→
là duy nhất.
+
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0
0 0 0
0
lim
lim , lim lim . .
lim , 0
z z
z z z z z z
z z
f g z A B

f z A g z B f g z A B
f A
z g z
g B
→
→ → →
→


∃ ± = ±


∃ = = ⇒ ∃ =



 
= ≠

 ÷
 

2.2.2. Tính liên tục của hàm số phức
Định nghĩa.
:f D → £
được gọi là liên tục tại
0
z D∈
nếu
( ) ( )

0
0
lim
z z
f z f z
→
=
.
Định nghĩa.
f
được gọi là liên tục trên
D
nếu
f
liên tục tại mọi
z D∈
.
Ví dụ. Hàm số
( )
2
f z z=
liên tục trên tập
£
. Thật vậy, lấy điểm
0
z ∈£
tùy ý.
Khi đó, ta có
( ) ( )
2 2

0 0 0
z z z z z z− = − +
.
Suy ra
( )
2 2
0 0 0
z z z z z z− ≤ − +
. Ta xét hình tròn
{ }
B z z r= ∈ ≤£
sao cho
0
,z z B∈
.
Khi đó
2 2
0 0
.2z z z z r− ≤ −
. Chọn
2r
ε
δ
<
.
Khi đó,
2 2
0 0
0, : ,z z z z
ε δ δ ε

∀ > ∃ ∀ − < − <
. Do đó
f
liên tục tại
0
z
.
Vậy
f
liên tục trên
£
.
2.3. Hàm khả vi và điều kiện Cauchy-Riemann
2.3.1. Đạo hàm
a. Định nghĩa. Cho
0
: ( ), ,f D D z D z→ ⊂ ∈ ∆£ £
đủ nhỏ sao cho
0
z z z D= + ∆ ∈
. Hàm
f

được gọi là
£
-khả vi (hay khả vi theo nghĩa phức) tại
0
z
nếu tồn tại giới hạn
( ) ( )

0 0
0
lim
z
f z z f z
z
∆ →
+ ∆ −
∆
và giới hạn này được gọi là đạo hàm của
f
tại
0
z
, kí hiệu
( )
0
'f z
.
Hàm
f
được gọi là
£
- khả vi trên
D
nếu
f
là khả vi tại mọi
z D∈
.

Ví dụ. Hàm
( )
2
f z z=

£
- khả vi tại mọi
z ∈£
. Thật vậy,
Lấy điểm
z ∈£
bất kì. Xét
( ) ( ) ( )
2
2
0 0
lim lim 2
z z
f z z f z z z z
z
z z
∆ → ∆ →
+ ∆ − +∆ −
= =
∆ ∆
.
Vậy
( )
2f z z
′

=
.
2.3.2. Các tính chất của đạo hàm
Nếu
( )
f z
và
( )
g z
là
−£
khả vi tại
0
z
thì
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
0
, . , 0
f z
f z g z f z g z g z
g z
α β
+ ≠

cũng là
−£

khả vi tại
0
z
với mọi
,
α β
∈£
và
10
Bài giảng Toán chuyên ngành

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0
2
0
.
i f g z f z g z
ii f g z f z g z f z g z
f z g z f z g z
f
iii z
g g z
α β α β

′
′ ′
+ = +
′
′ ′
= +
′
′ ′
−
 
=
 ÷
 
( )
iv
Nếu
( )
w f z=
−£
khả vi tại
0
z
, còn
( )
g w
khả vi phức tại
( )
0 0
w f z=

thì hàm hợp
g fo
−£
khả vi tại
0
z
và
( ) ( ) ( )
( )
( )
0 0 0
g f z g f z f z
′
′ ′
=o
.
Ta đã biết rằng giữa hàm số biến số phức và hàm số biến số thực có sự liên hệ với nhau.
Tuy nhiên sự liên hệ đó biểu hiện như thế nào? Điều kiện Cauchy – Rieman sẽ trả lời cho
câu hỏi đó.
2.3.3. Điều kiện Cauchy – Rieman
Giả sử
( ) ( ) ( )
: , , ,f D f z u x y iv x y→ = +£
và
0 0 0
z x iy D= + ∈
.
Định nghĩa. Hàm
f
được gọi là

2
¡
-khả vi (hay khả vi theo nghĩa thực) tại
0
z
nếu các
hàm số
( ) ( )
, , ,u x y v x y
khả vi tại
( )
0 0
,x y
.
Định lí. (Điều kiện Cauchy – Rieman).
f
là
£
-khả vi tại
0 0 0
z x iy= +
khi và chỉ khi
f
là
2
¡
-khả vi tại
0
z
và

f
thỏa mãn điều
kiện Cauchy – Rieman
u v
x y
u v
y x
∂ ∂

=

∂ ∂


∂ ∂

= −

∂ ∂

tại
0
z
.
* Nhận xét. Từ điều kiện đủ của định lý trên, nếu
f
là
£
-khả vi tại
0 0 0

z x iy= +
thì
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
, , , , , ,
u u v v v u
f z x y i x y x y i x y x y i x y
x y y x y y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
′
= − = + = −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Ví dụ. Cho
( )
z
f z e=
. Chứng minh rằng
f
khả vi tại mọi
0 0 0
z x iy= + ∈£

và
( )
z z
e e
′
=
.
Giải:

Giả sử
( )
( )
( )
{
osy+isiny osy +i siny
,
,
z x iy x x x
e e e c e c e
v x y
u x y
+
= = =
1 2 3
( )
( )
, osy
,
, sin y
x
x
u x y e c
u v
v x y e

=

⇒


=


là
2
¡
-khả vi tại mọi
0
z ∈£
.
Hơn nữa, ta cũng có
11
Bài giảng Toán chuyên ngành

osy
osy
x
x
u
e c
u v
x
v
x y
e c
y
∂

=


∂ ∂
∂

⇒ =

∂
∂ ∂

=
∂


sin y
sin y
x
x
u
e
u v
y
y x
v
e
x
∂

= −

∂ ∂
∂


⇒ = −

∂ ∂
∂

=

∂

Suy ra
f
thỏa mãn điều kiện Cauchy – Rieman tại mọi
0
z ∈£
.
Vậy
( )
z
f z e=
khả vi tại mọi
0
z ∈£
.(
f
khả vi trên
£
)
Theo nhận xét trên ta có
( )

( )
os +i sin = cos +isin .
z x x x x iy x iy z
u v
e i e c y e y e y y e e e e
x x
+
∂ ∂
′
= + = = = =
∂ ∂
.
2.4. Hàm chỉnh hình
Định nghĩa. Cho
: ( ),f D D f→ ⊂£ £
được gọi là chỉnh hình tại
0
z D∈
nếu tồn tại
0r >

sao cho
f
là
£
-khả vi tại mọi
( )
0
,z B z r∈
.

f
được gọi là chỉnh hình trên
D
nếu
f
chỉnh hình tại mọi
z D∈
.
Nhận xét.
a.
f
chỉnh hình tại
0
z
thì
f
khả vi tại
0
z
. Điều ngược lại nói chung không đúng.
Ví dụ.
Cho
( ) ( ) ( )
2 2
.f z z z x iy x iy x y= = − + = +
. Khi đó,
f
là
2
¡

-khả vi trên
£
nhưng
f
chỉ thỏa
mãn điều kiện điều kiện Cauchy – Rieman tại
0z =
. Do đó
f
chỉ
£
-khả vi tại duy nhất
0z =
và không khả vi trong bất kì lân cận nào của
0z =
. Suy ra
f
không chỉnh hình tại
0z
=
.
b. Nếu
f
khả vi trên
D
- mở thì
f
chỉnh hình trên
D
.

2.5. Một số hàm số sơ cấp cơ bản
2.5.1. Hàm hữu tỉ: có dạng tổng quát
( )
1
1 1 0
1
1 1 0


n n
n n
m m
m m
a z a z a z a
f z
b z b z b z b
−
−
−
−
+ + + +
=
+ + + +
.
trong đó
z x iy= +
là biến phức,
,
i j
a b ∈£

.
Chú ý. mẫu và tử gọi là các đa thức.
Trường hợp riêng:
+
( )
f z az b= +
: hàm tuyến tính
+
( )
n
f z z=
: hàm lũy thừa
+
( )
az b
f z
cz d
+
=
+
: hàm phân tuyến tính.
2.5.2. Các hàm siêu việt cơ bản
a. Định nghĩa
12
Bài giảng Toán chuyên ngành

( )
( )
( )
( )

( )
( )
2
0
2 1 3 5
0
2 2 4
0
2 1 3 5
0
2 2 4
0
1
! 2! !
sin 1
2 1 ! 3! 5!
osz = 1 1
2 ! 2! 4!

2 1 ! 3! 5!
z = 1
2 ! 2! 4!
n n
z
n
k
k
k
k
k

k
k
k
k
k
z z z
e z
n n
z z z
z z
k
z z z
c
k
z z z
shz z
k
z z z
ch
k
∞
=
+
∞
=
∞
=
+
∞
=

∞
=
= = + + + + +
= − = − + +
+
− = − + +
= = + + +
+
= + + +
∑
∑
∑
∑
∑
b. Một số tính chất
+
w w
. , w,z
z z
e e e
+
= ∀ ∈£
+
0,
z
e z≠ ∀ ∈£
+
z
e
là hàm tuần hoàn với chu kì

2 i
π
+
sin ; os
2 2
iz iz iz iz
e e e e
z c z
i
− −
− +
= =

( ) ( )
2 2
isin iz ; os iz
2 2
1
z z z z
e e e e
shz chz c
ch z sh z
− −
− +
= = − = =
− =
+
sin ,cosz z
tuần hoàn với chu kì
2

π
. Tất cả các công thức lượng giác đối với các
hàm sin và cos biến thực đều đúng cho các hàm ở biến phức.
+ Hàm
sin ,cosz z
không bị chặn.
Bài tập
1. Xét tính
−£
khả vi của các hàm số sau:
( )
)a f z z=
( )
) Reb f z z=
( )
) Rec f z z z=
( )
2
. .d f z z z=
( )
( )
2 2 2 2
. 2 2e f z x y xy i xy x y= − − + + −
2. Tính
( ) ( ) ( )
sin ; ;z shz chz
′ ′ ′
.
3. Tìm hàm
( )

f z
nếu:
a.
( ) ( )
2 2
Re ;Im 2 .f z x y f z xy= − =
b.
( ) ( )
1 1
Re ;Im .f z f z
x y
= =
* Phương pháp chung để tìm hàm
( ) ( ) ( )
, ,f z u x y iv x y= +
:
Ta có
,
,
2 2
z x iy z x iy
z z z z
x y
i
= + = −
+ −
⇒ = =
13
Bài giảng Toán chuyên ngành

Thay vào biểu thức đã cho của hàm
f
ta được hàm cần tìm.
Chương III.
TÍCH PHÂN TRONG MẶT PHẲNG PHỨC
3.1. Tích phân của hàm phức
3.1.1. Định nghĩa
Cho
γ
là đường cong có phương trình
( ) ( ) ( )
[ ]
; ,t x t iy t t a b
γ
= + ∈
,
( )
f z
là hàm số xác
định trên
γ
.
14
Bài giảng Toán chuyên ngành

Ta chia đoạn
[ ]
,a b
thành n phần bởi các điểm chia :
0 1 1

k k n
a t t t t t b
−
= < < < < < < =
,
tương ứng ta có các điểm trên đường cong được xác định là:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 1 1
0 1 1
, , , , , ,
k k n
k k n
a t t t t t b
z z z z z
γ γ γ γ γ γ γ
−
−
= =
P P P P P
K K
Lấy
[ ]
1
,
k k k
t t
ζ
−
∈

. Đặt
( )
k k
c
γ ζ
=
.
Đặt
1
1 k n
ax
k k
m t t
τ
−
≤ ≤
= −
. Lập tổng
( ) ( )
1
1
n
n k k k
k
S f c z z
−
=
= −
∑
(3.2)

n
S
gọi là tổng tích phân.
Nếu tồn tại
0
lim
n
S
τ
→
hữu hạn mà không phụ thuộc vào cách chia đoạn
[ ]
,a b
và cách chọn
điểm
k
ζ
thì giới hạn trên được gọi là tích phân của hàm
( )
f z
trên
γ
.
Kí hiệu
( )
f z dz
γ
∫
.
Vậy

( ) ( ) ( ) ( )
1
0 0
1 1
lim lim
n n
k k k k k
k k
f z dz f c z z f c z
τ τ
γ
−
→ →
= =
= − = ∆
∑ ∑
∫
.
* Chú ý. a. Nếu
γ
là đường cong Jordan thì ta định nghĩa tích phân bằng cách phân hoạch
trực tiếp trên
γ
.
Giả sử
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
; .
k k k k
f z u z iv z t t x i y

γ γ
−
= + − = ∆ + ∆
Khi đó (3.2) có thể viết dưới dạng:

( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
1
n
n k k k k
k
n
k k k k k k k k
k
S u c iv c x i y
u c x v c y i u c y v c x
=
=
= + ∆ + ∆
= ∆ − ∆ + ∆ + ∆   
   
∑
∑
(3.3)
vế phải của (3.3) là tổng tích phân của các tích phân đường (loại 2) tương ứng. Sự tồn tại
0
lim

n
S
τ
→
kéo theo sự tồn tại của các tổng tích phân ở vế phải (3.3) và ta có:
( )
f z dz udx vdy i udy vdx
γ γ γ
= − + +
∫ ∫ ∫
(3.4)
Chú ý. lấy
:t a b
→
.
Nhận xét. Ta có thể tính tích phân hàm phức bằng cách đưa về tích phân đường (loại 2)
như công thức (3.4).
Ví dụ. Tính
I zdz
γ
=
∫
với
γ
là đoạn thẳng nối
0z
=
và
2z i
= +

.
Giải:
Ta đưa I về tích phân đường (loại 2):
15
Bài giảng Toán chuyên ngành

( )
( ) ( )
( , )I zdz x iy dz u x v y
xdx ydy i xdy ydx
γ γ
γ γ
= = − = = −
= + + −
∫ ∫
∫ ∫
Phương trình của
γ
là
[ ]
, 0,2
2
x
y x= ∈
. Suy ra
2 2
0 0
5
2 2 2 2 2
x dx dx x

I xdx x dx
   
= + + − =
 ÷  ÷
   
∫ ∫
.
b. Nếu
( ) ( ) ( )
[ ]
; ,t x t iy t t a b
γ
= + ∈
là đường cong trơn. Khi đó, ta có
( ) ( )
( )
( )
.
b
a
f z dz f t t dt
γ
γ γ
′
=
∫ ∫
(3.5)
trong đó
( ) ( ) ( )
t x t iy t

γ
′ ′ ′
= +
.
Ví dụ .Tính
( )
[ ]
, , 0,2
it
dz
I t e t
z
γ
γ π
= = ∈
∫
.
Giải:
Thay
it
z e=
,
it
dz ie dt=
. Khi đó
2 2 2
0 0 0
2 .
it
it

dz ie dt
I idt i dt i
z e
π π π
γ
π
= = = = =
∫ ∫ ∫ ∫
Ví dụ.Tính tích phân sau
dz
z a
γ
−
∫
với
γ
là đường tròn tâm
a
bán kính
r
.
Giải:
Phương trình tham số của
γ
là
( )
[ ]
, 0,2
it
z t a re t

γ π
= = + ∈
.
Áp dụng công thức (3.5), ta có
2
0
2
it
it
dz i re dt
i
z a re
π
γ
π
= =
−
∫ ∫
.
3.1.2. Tính chất
Cho
γ
là đường cong, kí hiệu
γ
+
là đường cong
γ
với hướng dương cho trước (thường
người ta cho theo chiều tăng của tham số),
γ

−
là đường cong
γ
với hướng ngược lại.
a. Nếu
,f g
khả tích trên
γ
thì

( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
. , .
f z g z dz f z dz g z dz
a f z dz a f z dz a
γ γ γ
γ γ
+ = + 
 
= ∈
∫ ∫ ∫
∫ ∫
£
b. Nếu
f
khả tích trên
γ
thì
( ) ( )
f z dz f z dz

γ γ
+ −
= −
∫ ∫
.
c. Cho
1 2
,
γ γ
là 2 đường cong mà điểm đầu của
2
γ
trùng với điểm cuối của
1
γ
. Kí hiệu
1 2
γ γ
+
là đường cong hợp thành bởi
1 2
,
γ γ
. Khi đó, nếu
f
khả tích trên
1 2
,
γ γ
thì

16
Bài giảng Toán chuyên ngành

( ) ( ) ( )
1 2 1 2
f z dz f z dz f z dz
γ γ γ γ
+
= +
∫ ∫ ∫
.
3.2. Công thức Newton - Leibnitz
Định nghĩa nguyên hàm. Hàm
( )
F z
được gọi là nguyên hàm của
( )
f z
trên
D ⊂ £
nếu
( ) ( )
,F z f z z D
′
= ∀ ∈
.
Nếu
( )
F z
là nguyên hàm của

( )
f z
thì
( )
,F z C C+ ∈£
cũng là nguyên hàm của
( )
f z
.
Định lý. Nếu
( )
F z
là nguyên hàm của
( )
f z
trên
D
và
( ) ( ) ( )
[ ]
; ,t x t iy t t a b
γ
= + ∈
là
đường cong trơn trong
D
và
( ) ( )
1 2
,a z b z

γ γ
= =
thì
( ) ( ) ( )
1 2
f z dz F z F z
γ
= −
∫
(3.6)
Công thức (3.6) được gọi là công thức Newton – Lebnitz. Khi tính tích phân của một hàm
giải tích ta dùng trực tiếp công thức này mà không cần đưa về tích phân đường.
Ví dụ. Tính
,
z
I e dz
γ
γ
=
∫
là cung tròn đi từ điểm
z a= −
đến
, 0z a a= >
.
a
z z a a
a
I e dz e dz e e
γ

−
−
= = = −
∫ ∫
.
Chú ý. Nếu
γ
là đường cong kín thì tích phân của hàm
( )
f z
trên
γ
được kí hiệu là
( )
f z dz
γ
∫Ñ
.
3.3. Định lý Cauchy
3.3.1. Định lý Cauchy cho miền đơn liên
Định lí. Nếu
f
là hàm chỉnh hình trong miền đơn liên
D
và
γ
là một chu tuyến bất kì
nằm trong
D
thì

( )
0f z dz
γ
=
∫Ñ
.
Ví dụ.
1 1
0
z
z
e dz
− =
=
∫
Ñ
.
3.3.2. Định lý Cauchy cho miền đa liên
Định lí. Cho
D
là miền đa liên,
f
là hàm chỉnh hình trên
D
và liên tục trên
D
.
Khi đó
( )
0

D
f z dz
∂
=
∫
.
3.4. Công thức tích phân Cauchy
Định lí. Giả sử
f
là hàm chỉnh hình trong miền
D
,
γ
là một chu tuyến bất kì trong
D
,
0
z D D
γ
∈ ⊂
. Khi đó
( )
( )
0
0
1
2
f z
f z dz
i z z

λ
π
=
−
∫Ñ
(3.7)
trong đó
D
γ
là phần mặt phẳng được giới hạn bởi
γ
.
17
Bài giảng Toán chuyên ngành

Ví dụ. Tính
2
1
1
z i
dz
I
z
− =
=
+
∫Ñ
.
Giải:
Ta có

( ) ( )
2 2 2
1 z z i z i z i+ = − = − +
. Do đó
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2
1 1 1
1/
1 1
2 2 ,
1 2
z i z i z i
z i
dz dz
I dz if i i f z
z z i z i z i i z i
π π π
− = − = − =
+
= = = = = = =
+ + − − +
∫ ∫ ∫Ñ Ñ Ñ
.
Định lý. Giả sử
f
là hàm chỉnh hình trong miền

D
,
γ
là một chu tuyến bất kì trong
D
,
0
z D D
γ
∈ ⊂
. Khi đó,
f
khả vi mọi cấp tại
0
z
và
( )
( )
( )
( )
0
1
0
!
, 0,1,2
2
n
n
f z
n

f z dz n
i
z z
γ
π
+
= =
−
∫Ñ
(3.8)
Chú ý: khi
0n
=
thì (3.8) trùng với (3.7).
Ví dụ. Tính
( )
2
1 1
1
z
z
e
I dz
z
− =
=
−
∫Ñ
.
Giải:

( ) ( )
( ) ( )
2 1 1
1 1 1 1
2
1 2 ,
1!
1 1
z z
z
z z
e e i
I dz dz f ie f z e
z z
π
π
+
− = − =
′
= = = = =
− −
∫ ∫Ñ Ñ
.
Vậy
2I ei
π
=
.
Bài tập:
1. Tính

( )
2
2 2 2
1 1/ 2 2
3
2 2
1/2 1 1
4 2
1 1 2
cos
. ; . ; .
2 1
sin
. ; . ; .
1
. . .
1 1
z z z i
z z i z i
z z
z dz zdz
a dz b dz c
z i z z
dz dz zdz
d e f
z z z
z i
zdz dz
g h
z z

π
= = − =
= + = + =
− = =
− + −
+ +
+
− +
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫
Ñ Ñ Ñ
Ñ Ñ Ñ
Ñ Ñ
.
2. Tính
a.
ReI zdz
γ
=
∫
, với
γ
là đoạn thẳng nối
0z =
và
2z i= +
;
b.
.ImI z zdz

γ
=
∫
, với
γ
là đoạn thẳng nối
0z =
và
1z i= +
;
c. Tính
,
dz
I
z
γ
γ
=
∫
là cung tròn đi từ điểm
z a= −
đến
, 0z a a= >
.
18
Bài giảng Toán chuyên ngành

Chương IV
PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE
4.1. Khái niệm phép biến đổi Laplace

4.1.1. Các định nghĩa
Định nghĩa. Ta gọi hàm
( )
f t
của biến số thực
t
là hàm gốc nếu nó thoả mãn các điều
kiện sau:
19
Bài giảng Toán chuyên ngành

a.
( )
f t
liên tục từng khúc khi
0t ≥
.
b. Tồn tại
0
0, 0M s> ≥
sao cho với mọi
t
ta có:
( )
0
s t
f t Me≤
0
s
được gọi là số mũ tăng của

( )
f t
. Với hàm bị chặn, rõ ràng
0
0s =
.
c.
( )
0f t =
khi
0t
<
. Điều kiện này được đặt ra vì trong các ứng dụng thực tế biến
t

thường là thời gian.
Ví dụ. Hàm
( )
0, 0
1, 0
t
t
t
η
<

=

≥


là hàm gốc.
Thật vậy,
+ khi
( )
0, 1t f t≥ =
là hàm liên tục
⇒
điều kiện (a) được thoả mãn;
+ vì
( )
1t
η
≤
nên điều kiện (b) được thoả mãn nếu chọn
0
1, 0M s= =
;
+ Rõ ràng điều kiện (c) là thoả mãn.
Ví dụ. Hàm
( )
0 , 0
sin
sin , 0
t
t t
t t
η
<

=


≥

là hàm gốc.
Thật vậy,
+ khi
( )
0, sint f t t≥ =
là hàm liên tục
⇒
điều kiện (a) được thoả mãn;
+ vì
( )
.sin 1t t
η
≤
nên điều kiện (b) được thoả mãn nếu chọn
0
1, 0M s= =
;
+ Rõ ràng điều kiện (c) là thoả mãn.
Tổng quát, nếu hàm
( )
g t
thoả mãn tính chất (a) và (b) thì hàm
( ) ( ) ( )
f t t g t
η
=
là hàm

gốc.
Quy ước. Để đơn giản cách viết, thông thường người ta bỏ nhân tử
( )
t
η
và hiểu ngầm tất
cả các hàm đang xét đều triệt tiêu khi
0t
<
. Chẳng hạn, đáng lẽ viết
( ) ( ) ( )
, sin ,
n
t t at t t
η η η
ta chỉ viết
1, sin ,
n
at t
.
(ta viết
( )
g t
thay cho
( ) ( )
t g t
η
)
Định nghĩa. Ta gọi hàm
( )

F p
của biến phức
p
được xác định bởi:

( ) ( )
0
pt
F p f t e dt
+∞
−
=
∫
(4.1)
là ảnh của gốc
( )
f t
qua phép biếnđổi Laplace và kí hiệu là:
( ) ( )
{ }
F p L f t=
hay
( ) ( )
f t F p
•
•
=
.
* Nếu
( ) ( )

{ }
F p L f t=
thì
( )
f t
gọi là phép biến đổi Laplace ngược của hàm
( )
F p
và kí
hiệu là
( ) ( )
{ }
1
f t L F p
−
=
hay
( ) ( )
f t F p
•
•
=
.
Tóm lại:
( ) ( )
{ }
( ) ( )
{ }
1
F p L f t f t L F p

−
= ⇔ =
.
20
Bài giảng Toán chuyên ngành

Chú ý.
( )
{ }
( )
( )
( )
{ }
( )
( )
1
1
L L f t f t
L L F p F p
−
−
=
=
Định lý. (Điều kiện để tồn tại ảnh)
Nếu
( )
f t
là hàm gốc với số mũ tăng
0
s

thì
( )
F p
hội tụ trong miền
0
Re p s>
(nửa mặt
phẳng phức bên phải đường thẳng
0
s s=
).
Chú ý. Không phải mọi hàm phức
( )
F p
đều có nghịch ảnh là một hàm gốc. Chẳng hạn,
( )
2
F p p=
không thể là ảnh của một hàm gốc nào vì
( )
lim
p
F p
→+∞
= +∞
. Điều này mâu thuẫn
với định lí trên.
4.1.2. Biến đổi Laplace của một số hàm quan trọng
Ví dụ. Tìm ảnh qua phép biến đổi Laplace(gọi tắt là ảnh) của hàm
1

.
Ta có
{ }
( )
( )
0
0 0
0
.
1 1.
s iv t
pt st ivt
pt
e e e e
L e dt p s iv
p p p
+∞
+∞ +∞
+∞
− +
− − −
−
= = − = − = − = +
∫
.
Nếu
Re 0p s= >
thì khi
t → +∞
,

0
st
e
−
→
, khi
0t →
,
1
st
e
−
→
.
Vậy
{ }
1
1L
p
=
. (4.2)
Suy ra
1
1
1L
p
−
 
=
 

 
.
Ví dụ. Tìm ảnh của hàm
( )
at
f t e=
trong đó
a i
α β
= +
.
Ta có
{ }
( )
( )
0 0
0
.
a p t
a p t
at at pt
e
L e e e dt e dt
a p
+∞
+∞ +∞
−
−
−
= = =

−
∫ ∫
Khi
0t
→
,
( )
1
a p t
e
−
→
.
Nếu
( )
Re Rep a s
α
> >
thì khi
t → +∞
,
( ) ( ) ( )
. 0
a p t s t i v t
e e e
α β
− − −
= →
.
Vậy

{ }
1
at
L e
p a
=
−
. (4.3)
Suy ra
1
1
at
L e
p a
−
 
=
 
−
 
.
Ví dụ. Tìm ảnh của
( )
f t t=
.
Ta có
{ }
2
0 0
0 0 0

. 1 .
.
pt pt pt
pt pt
t e t e e
L t t e dt e dt
p p p p
+∞ +∞ +∞
+∞ +∞
− − −
− −
= = + = −
∫ ∫
Khi
t → +∞
thì
0
pt
e
−
→
; khi
0t
→
thì
1
pt
e
−
→

.
Vậy
21
Bài giảng Toán chuyên ngành

{ }
2
1
L t
p
=
với
Re 0p >
. (4.4)
Suy ra
1
2
1
L t
p
−
 
=
 
 
.
Ví dụ. Tìm ảnh của
( )
n
f t t=

.
Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh được
{ }
1
!
n
n
n
L t
p
+
=
với
Re 0p >
. (4.5)
Suy ra
1
1
!
n
n
n
L t
p
−
+
 
=
 
 

.
Chú ý. Sau này ta chỉ quan tâm tới sự tồn tại ảnh trong một miền nào đó, mà không để ý
tới bản thân miền đó, nên bên cạnh công thức ảnh của một hàm gốc, ta sẽ không viết miền
có nghĩa của công thức ảnh.
4. 2. Các tính chất của phép biến đổi Laplace
4.2.1. Tính tuyến tính
Giả sử
( ) ( )
,f t g t
là hai hàm gốc,
,A B
là hai hằng số,
( ) ( )
{ }
F p L f t=
và
( ) ( )
{ }
G p L g t=
. Khi đó

( ) ( )
{ }
( )
{ }
( )
{ }
L Af t B g t AL f t BL g t+ = +
( ) ( )
{ }

( ) ( )
1
L AF p BG p Af t B g t
−
+ = +
.
Ví dụ. Tính
{ } { }
sin , osL t L c t
.
Ta có
sin , os
2 2 2 2 2 2
it it it it it it it it
e e e e e e e e
t c t
i i i
− − − −
− +
= = − = = +
Theo (4.3):
{ }
1
at
L e
p a
=
−
. Sử dụng tính chất tuyến tính, ta được:
{ }

{ } { }
2
1 1 1 1 1 1
sin
2 2 2 1
it it
L t L e L e
i i i p i p i p
−
 
= − = − =
 ÷
− + +
 
.
{ }
{ } { }
2
1 1 1 1 1
os
2 2 2 1
it it
p
L c t L e L e
p i p i p
−
 
= + = + =
 ÷
− + +

 
.
Suy ra
1
2
1
sin
1
L t
p
−
 
=
 
+
 
và
1
2
os
1
p
L c t
p
−
 
=
 
+
 

.
Ví dụ. Tính
( )
{ }
( )
{ }
,L ch at L sh at
.
Ta có
22
Bài giảng Toán chuyên ngành

( )
( )
1 1
2 2 2
1 1
2 2 2
at at
at at
at at
at at
e e
ch at e e
e e
sh at e e
−
−
−
−

+
= = +
−
= = −
Sử dụng công thức (4.3) và tính chất tuyến tính của toán tử Laplace, ta được
( )
{ }
{ } { }
( )
{ }
{ } { }
2 2
2 2
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2
at at
at at
p
L ch at L e L e
p a p a p a
a
L sh at L e L e
p a p a p a
−
−
= + = × + × =
− + −
= − = × − × =

− + −
Suy ra
( )
1
2 2
p
L ch at
p a
−
 
=
 
−
 
và
( )
1
2 2
a
L sh at
p a
−
 
=
 
−
 
.
4.2.2. Tính đồng dạng
Nếu

( ) ( )
{ }
F p L f t=
và
k
là một số dương bất kì thì
( )
{ }
1 p
L f kt F
k k
 
=
 ÷
 
(4.7)
Ví dụ. Tính
{ } { }
sin , osL at L c at
.
Sử dụng (4.7), ta có
{ }
2
2 2
1 1 1
sin
1
p a
L at F
a a a p a

p
a
 
= = × =
 ÷
+
 
 
+
 ÷
 
.
Tương tự
{ }
2
2 2
1 1
os
1
p
p p
a
L c at F
a a a p a
p
a
 
= = × =
 ÷
+

 
 
+
 ÷
 
.
4.2.3. Đạo hàm gốc
Định lí. Nếu
( ) ( )
{ }
F p L f t=
và
( )
f t
′
là một hàm gốc thì
( )
{ }
( ) ( )
0L f t pF p f
′
= −
. (4.8)
Hơn nữa, nếu
( )
f t
có đạo hàm tới cấp
n
và các đạo hàm này đều là hàm gốc thì
( )

( )
{ }
( ) ( ) ( )
( )
( )
1
1 2
0 0 0
n n
n n n
L f t p F p p f p f f
−
− −
′
= − − − −L
.
Đặc biệt, nếu
( ) ( )
( )
( )
1
0 0 0
n
f f f
−
′
= =L
thì
( )
( )

{ }
( )
n
n
L f t p F p=
.
Ví dụ. Tính
{ }
2
sinL t
.
Ta có
( )
2
sin 2sin . os sin 2t t c t t
′
= =
Suy ra
( )
{ }
2
2
2
sin sin 2
4
L t L t
p
 
′
= =

 
+
 
23
Bài giảng Toán chuyên ngành

Mặt khác
( ) { }
2 2 2
0
sin sin sin
t
L t pL t t
=
 
′
= −
 
 
Suy ra
{ } ( )
2 2 2
2
0
2
sin sin sin
4
t
pL t L t t
p

=
 
′
= + =
 
+
 
Vậy
{ }
( )
2
2
2
sin
4
L t
p p
=
+
.
4.2.4. Đạo hàm ảnh
Định lí. (Định lí nhân) Nếu
( ) ( )
{ }
F p L f t=
thì

( )
{ }
( )

( )
( )
1
n
n
n
L t f t F p= −
(4.9)
Đặc biệt, nếu
1n
=
thì công thức trên trở thành
( )
{ }
( )
L tf t F p
′
− =
.
Chứng minh bằng quy nạp ta cũng có
( )
( )
{ }
( ) ( )
{ }
1 1
1
n
n
n

L F p t L F p
− −
= −
.
Ví dụ. Tính
{ } { }
( )
{ }
( )
{ }
{ } { }
, , , , cos , sin
n n at
L t L t e L tch at L tsh at L t at L t at
.
Ta đã biết
{ }
{ }
( )
{ }
( )
{ }
{ } { }
2 2 2 2
2 2 2 2
1 1
1 , , , ,
sin , cos .
at
p a

L L e L ch at L sh at
p p a p a p a
a p
L at L at
p a p a
= = = =
− − −
= =
+ +
Áp dụng định lí nhân, ta được:
{ } { }
( )
( )
{ }
( )
( )
{ }
( )
{ }
( )
{ }
( )
2 2
1 2 2
1
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
! ! 2

, , , ,
2
sin , cos .
n n at
n
n
n n p a ap
L t L t e L tch at L tsh at
p
p a
p a p a
ap p a
L t at L t at
p a p a
+
+
+
= = = =
−
− −
−
= =
+ +
Ví dụ. Tính
( )
1
2
4
1
L

p
−
 
 
 
+
 
 
.
Ta có
( ) ( )
( ) ( )
( )
1
1 1 1 1
2 2
4 1 1 1
4 4 4 4. 1 . .
1 1
1 1
t
L L L L t e
p p
p p
− − − − −
   
′ ′
   
   
       

= = − = − = − −
 ÷  ÷
       
 ÷  ÷
+ +
+ +
   
   
   
   
   
4.2.5. Tích phân gốc
Định lí. Nếu
( ) ( )
{ }
F p L f t=
thì
( )
( )
0
t
F p
L f t dt
p
 
=
 
 
∫
.

24
Bài giảng Toán chuyên ngành

Suy ra
( )
( ) ( )
{ }
1 1
0 0
t t
F p
L f t dt L F p dt
p
− −
 
 
= =
   ÷
 
 
∫ ∫
.
Ví dụ. Nếu biết
{ }
2 2
cos
p
L at
p a
=

+
thì ta có thể tìm
{ }
sinL at
như sau:
Ta có
0
sin cos
t
at a atdt=
∫
, áp dụng định lí trên, ta được
2 2
2 2
0
1
cos
t
p
p a
L atdt
p p a
 
+
= =
 
+
 
∫
.

Do đó
{ }
2 2
1
sinL at
p a
=
+
.
Ví dụ. Tính
( )
1
1
2
L
p p
−
 
 
 
+
 
 
.
Ta có
( )
( )
( )
2
1 1 1 2 2

0
0 0
1
2
1 1 1 1
2 2 2 2 2
t
t t
t
t r
p
e
L L L dt e dr e
p p p p
−
− − − − −
 
 
   
+
     
= = = − = −
     
+ +
   
   
 
 
 
∫ ∫

.
4.2.6. Tích phân ảnh
Định lí. (Định lí chia)
Nếu
( ) ( )
{ }
F p L f t=
và
( )
p
F p dp
+∞
∫
hội tụ thì
( )
( )
p
f t
L F p dp
t
+∞
 
=
 
 
∫
.
Suy ra
( )
( )

( )
{ }
1
1
p
L F p
f t
L F p dp
t t
−
+∞
−
 
 
= =
 
 
 
∫
.
Ví dụ. Tính
bt at
e e
L
t
 
−
 
 
.

Vì
{ }
1 1
bt at
L e e
p b p a
− = −
− −
nên theo định lí chia, ta có:
1 1
ln
bt at
p
e e p a
L dp
t p b p a p b
+∞
 
 
− −
= − =
 
 ÷
− − −
 
 
∫
.
Ví dụ. Tính
2

1
2
ln 1
a
L
p
−
 
 
 
+
 
 ÷
 
 
 
.
Ta có
25