Sáng kiến kinh nghiệm Khai thác yếu tố trung điểm trong bài toán hình học

Tên đề tài: Khai thác yếu tố trung điểm trong bài toán hình học

Phần I. Mở đầu
I. lý do chọn đề tài
Toán học là bộ môn khoa học mang tính trừu tợng và lôgíc cao,đồng thời còn là
môn học công cụ hỗ trợ đắc lực cho việc học tập các môn học khác của chơng
trình phổ thông. Hình học là phân môn quan trọng của Toán học vừa rèn luyện khả
năng đo đạc, tính toán, suy luận lôgíc vừa phát triển t duy sáng tạo cho học
sinh.Khi nắm chắc kiến thức và học giỏi hình học nó còn có tác dụng làm cho các
em phát huy đợc tính độc lập sáng tạo,linh hoạt trong cách tìm lời giải cho các bài
toán nói chung và nó còn có ý nghĩa thực tiễn rất cao trong việc vận dụng kiến thức
vào cuộc sống sau này. Qua nhiều năm trực tiếp giảng dạy và bồi dỡng học sinh
khá, giỏi tôi rút ra đợc kinh nghiệm thực tế là: Việc bồi dỡng HSG không đơn thuần
chỉ là cung cấp cho các em các dạng toán từ cơ bản đến nâng cao mà phải biết rèn
luyện khả năng sáng tạo, t duy trừu tợng và suy luận lôgíc phải biến những điều
đó thành kỹ năng và cao hơn là hình thành phơng pháp giải toán, học toán, ứng
dụng kiến thức toán thế nào cho hiệu quả. Muốn đạt đợc những điều đó trớc hết ng-
ời thầy giáo phải nắm chắc bản chất của từng loại toán, từ đó vừa phân loại vừa liên
kết đợc từng dạng với nhau đó chính là phơng pháp dạy và học toán nói chung
cũng nh việc bồi dỡng học sinh giỏi toán nói riêng. Trong rất nhiều những dạng
toán mà tôi đã dày công nghiên cứu, tập hợp trên hai mơi năm làm nghề dạy học
qua rất nhiều tài liệu và các kênh thông tin khác nhau từ SGK trong chơng trình đến
các loại tài liệu tham khảo, đề thi các nh : Toán về phần nguyên, Toán về diện
tích, Toán về thẳng hàng, Đồng qui,Bất đẳng thức, Cực trị , từ việc ban đầu là
tâp hợp thành những dạng toán sau đó liên kết chúng để hình thành kỹ năng, ph-
ơng pháp dạy và học toán nh tôi đã trinh bày ở trên.
Khai thác yếu tố trung điểm trong bài toán hình học là một đề tài mà tôi
muốn xâydựng một phơng pháp học mới để đạt đợc những yêu cầu sau đây:
- Sử dụng thành thạo kẻ đờng phụ trong bài toán có yếu tố trung điểm.

Ngời thực hiện: Phạm Quang Thăng THCS Cao Xuân Huy

Trang1
Tên đề tài: Khai thác yếu tố trung điểm trong bài toán hình học

- Chứng minh sự bằng nhau, song song, thẳng hàng,đồng quy
- Biết đợc yếu tố trung điểm có nhiều trong các bài toán : Chứng minh, dựng
hình, quĩ tích, cực trị
- Vận dụng đợc nhiều kiến thức khi giải một bài toán đó là cách hay nhất để ôn
cũ biết mới và hình thành kỹ năng t duy cho học sinh
II. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu.
Thuận lợi : Trong những năm gần đây chất lợng giáo dục đợc nâng lên rõ rệt, các
nhà trờng chú trọng vào việc đổi mới phơng pháp dạy và học đặc biệt quan tâm hơn
đến học sinh nhất là coi trọng năng lực tự học của các em.
Môn Toán là môn học mà học sinh rất thích, có nhiều em học rất giỏi đó chính
là lợi thế rất lớn để giáo viên có thể tập trung đợc tâm huyết và trách nhiệm cũng
nh lòng yêu nghề của mình.
Việc dạy cho các em học kiến thức cơ bản trong chơng trình rồi từ đó hình
thành phơng pháp học bằng việc đa vào những chuyên đề toán thông qua các hệ
thống tài liệu tham khảo dới sự hớng dẫn của giáo viên cũng rất thuận lợi.
Các kỳ thi HSG ngoài sự quan tâm chỉ đạo của các cấp quản lý giáo dục còn
thu hút đợc sự quan tâm của đông đảo PHHS. Với hệ thống đề thi ngày càng phù
hợp, vừa sát chơng trình
Khó khăn: Với đặc thù vùng nông thôn, điều kiện kinh tế khó khăn, vì vậy việc
quan tâm đến học hành còn hạn chế cả về tinh thần và vật chất dẫn đến hạn chế
việc học hành của các em đặc biệt là môn toán.Chinh vì vậy càng cần phải rèn
luyện, bồi dỡng nhằm giúp cho các em học sinh khả năng tự học, tự tìm tòi, sáng
tạo trong việc học tập, nghiên cứu để chiếm lĩnh tri thức nhân loại, tích lũy kinh
nghiệm cuộc sống mai sau. Vì thế càng khiến tôi tâm huyết tìm tòi, nghiên cứu để
giảng dạy có hiệu quả cao nhất.

Ngời thực hiện: Phạm Quang Thăng THCS Cao Xuân Huy
Trang2
Tên đề tài: Khai thác yếu tố trung điểm trong bài toán hình học

Phần II. Nội dung
A. Phơng pháp chung
Trong đề tài này do khuôn khổ, giới hạn của đề tài tôi chỉ đa ra một số dạng cơ
bản , một số bài tập khó và nâng cao về bài toán có yếu tố trung điểm, ở đây tôi
không đa ra nhiều cách giải mà chỉ minh hoạ chỉ ra đờng lối, phơng pháp , thói
quen thờng gặp ở bậc THCS . Đó là khi gặp bài toán có yếu tố trung điểm ta nghĩ
ngay đến việc tạo ra đờng phụ theo một trong các hớng sau:
+ Hớng 1: Lấy thêm đoạn thẳng mới để cùng với đoạn đã cho có chung trung
điểm từ đó sử dụng tính chất hai đoạn thẳng có chung trung điểm ở lớp 7, hoặc tính
chất của hình bình hành ở lớp 8.
+ Hớng 2: Lấy thêm trung điểm thứ hai để tạo ra đờng trung bình trong tam giác,
trong hình thang, trong tứ giác nếu có nhiều đờng trung bình liền nhau càng tốt, từ
đó sử dụng các tính chất của các đờng trung bình này.
+ Hớng 3: Nếu trung điểm đó là trung điểm của cạnh huyền của tam giác vuông
đăc biệt lại là cạnh huyền chung của nhiều tam giác vuông thì ta kẻ thêm các đờng
trung tuyến thuộc cạnh huyền này để sử dụng tính chất đờng trung tuyến thuộc
cạnh huyền trong tam giác vuông.
+ Hớng 4: Nếu trung điểm đó là trung điểm của dây cung của đờng tròn thì ta kẻ
ngay đờng kính của đờng tròn đi qua trung điểm đó để sử dụng tính chất của đờng
kính đi qua trung điểm của dây cung trong đờng tròn.
Sau đây tôi xin giới thiệu một số bài toán minh họa cho những kinh nghiệm mà
tôi đã có đợc trong những năm trực tiếp làm nhiệm vụ giảng dạy và bồi dỡng học
sinh giỏi.


Ngời thực hiện: Phạm Quang Thăng THCS Cao Xuân Huy

Trang3
Tên đề tài: Khai thác yếu tố trung điểm trong bài toán hình học

B. Một số bài toán quen thuộc trong chơng trình.
Trong chơng trình toán 7 khi nghiên cứu các trờng hợp bằng nhau của tam gíac
để giúp học sinh nắm vững kỹ năng ,vận dụng thành thạo kiến thức ta giới thiệu
cho học sinh các bài toán sau:
Bài toán 1: Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác thì song song với
cạnh còn lại và có độ dài bằng nửa cạnh đó.
Ta hớng dẫn cho học sinh sử dụng tính chất của trung điểm bằng cách: Trên tia
đối của tia NM lấy điểm P sao cho NP = NM,
Khi đó hai đoạn AC và MP có chung trung điểm là N, từ các tính chất trung điểm
chung ta có các cặp tam giác (ANM, CNP) và (AMP, MBC) bằng nhau dẫn đến hai
đoạn MP, BC song song và bằng nhau từ đó ta có điều cần chứng minh.
Sau khi chứng minh xong, ta cũng cho học sinh chứng minh bài toán ngợc lại.
Qua đó học sinh đợc hình dung tính chất đờng trung bình của tam giác.
Cũng nh vây ta cho học sinh làm bài toán sau:
Bài toán 2: Trong tam giác vuông Chứng minh đờng trung tuyến thuộc cạnh huyền
bằng nửa cạnh huyền.
Ta cũng hớng dẫn cho học sinh tạo ra trung điểm M là trung điểm chung của hai
đoạn BC và AD.
Khi đó sử dụng tính chất trung điểm chung ta chứng minh hai tam giác ABC và
CDA bằng nhau để có hai đoạn BC và AD bằng nhau, từ đó ta có điều cần chứng
minh của bài toán.

Ngời thực hiện: Phạm Quang Thăng THCS Cao Xuân Huy
Trang4
P
N
M

C
B
A
Tên đề tài: Khai thác yếu tố trung điểm trong bài toán hình học


Sau đó ta cũng cho hoc học sinh chứng minh bài toán ngợc lại
Từ bài toán này ta cho học sinh chứng minh bài toán sau:
Bài toán 3: Chứng minh rằng trong một tam giác vuông có một góc bằng 60
khi và chỉ khi cạnh kề góc đó bằng một nửa cạnh huyền.
Để giải bài này ta sử dụng đờng trung tuyến thuộc cạnh huyền AM Từ việc xét
tam giác cân MAB khi có góc B bằng 60 suy ra MAB là tam giác đều và ng ợc lại,
từ cạnh AB bằng nửa cạnh BC dẫn đến tam giác MAB đều dẫn đến góc B bằng 60 .
Cũng từ bài toán 3 ta lại có bài toán sau:
Bài toán 4: Một tam giác có một góc bằng 60 mà hai cạnh kề góc này có một
cạnh bằng một nửa cạnh kia thì đó là tam giác vuông.
Ta có thể hớng dẫn cho học sinh làm bài này nh sau:
Ta lấy điểm D sao cho A là trung điểm của BD xét đặc điểm của tam giác CBD với
trung tuyến CA và các quan hệ đã cho ta sẽ có điều cần chứng minh.
Hoàn toàn tơng tự ta cho học sinh lớp 7 làm các bài toán sau:
Bài toán 5: Cho tam giác ABC vuông tại A có AM là trung tuyến. Chứng
minh góc BAM lớn hơn góc CAM khi và chỉ khi cạnh AB bé hơn cạnh AC.
Hớng làm: Xét trên hình của bài toán 2, ta thấy: Việc so sánh góc BAM với góc
CAM cũng nh cạnh AB với cạnh AC ta đi so sánh góc ADC với góc DAC và cạnh

Ngời thực hiện: Phạm Quang Thăng THCS Cao Xuân Huy
Trang5
D
M
C

B
A
A
D
C
B
Tên đề tài: Khai thác yếu tố trung điểm trong bài toán hình học

CD với cạnh AC của tam gíac ACD ( Sử dụng quan hệ cạnh và góc đối diện trong
tam giác).
Bài toán 6: Chứng minh rằng: trong một tam giác độ dài đờng trung tuyến luôn
bé hơn nửa tổng hai cạnh còn lại.
Hớng làm: Cũng tơng tự trên hình của bài toán 2, sử dụng bất đẳng thức trong
tam giác của tam giác ACD ta sẽ có điều cần chứng minh.
Đến đây ta khẳng định giá trị to lớn của tính chất hai đoạn thẳng có chung trung
điểm.
Từ việc sử dụng tính chất của hai đoạn thẳng có chung trung điểm ta đã chứng
minh tính chất đờng trung bình của tam giác, tứ đó ta cũng chứng minh tính chất đ-
ờng trung bình của hình thang, tính chất Đờng trung bình của tứ giác.
Bài toán 7: Chứng minh đờng trung bình của hình thang song song với cạnh
đáy và có độ dài bằng nửa tổng hai đáy.
Hớng làm: Xét thêm trung điểm I của đờng chẻo AC,Ta có IM,IN là các đờng
trung bình của các tam giác ADC vầ ABC

Khi đó sử dụng tính chất đờng trung bình của tam giác ta chứng minh đợc bài
toán này.
Bài toán 8: Cho tứ giác ABCD có M, N là trung điểm các cạnh AD, BC. Chứng
minh độ dài đoạn MN

2
CDAB +
.
Hớng làm: Xét tứ giác ABCD mà có AB song song với CD thí theo tính chất của
hình thang ta có MN đúng bằng nửa tổng AB và CD.

Ngời thực hiện: Phạm Quang Thăng THCS Cao Xuân Huy
Trang6
I
N
M
C
D
B
A
Tên đề tài: Khai thác yếu tố trung điểm trong bài toán hình học

còn nếu AB không song song với CD, ta cũng lấy I là trung điểm của AC.
Khi đó MI, NI là các đờng trung bình của các tam giác ACD và ABD đông thời
xet quan hệ ba cạnh của tam giác MNI ta có điều cần chứng minh.
Từ các bài toán 7 và bài toán 8 ta cho học sinh làm bài sau:
Bài toán 9: Chứng minh rằng: Một tứ giác là hình thang khi và chỉ khi đoạn
thẳng nối trung điểm hai cạnh đối bằng nửa tổng hai cạnh còn lại
Cũng với tính chất đờng trung bình của tam giác, ta có bài toán sau:.
Bài toán 10: Cho tứ giác ABCD có M, N, P, Q. lần lợt là trung điểm các cạnh
AB, BC, CD, DA. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành.
Việc giải bài toán này không khó với học sinh lớp 8 còn với học sinh lớp 7 ta
thay đổi một số tên gọi cho phù hợp thì bài này trở nên khá hấp dẫn, vì với học sinh
lớp 7 việc chứng minh bài toán này đã phải sử dụng khá nhiều kiến thức: Tính chất
đờng trung bình của tam giác, đờng thẳng song song, hai đoạn thẳng song song và

bằng nhau, hai tam giác bằng nhau, . . .
Từ bài toán này học sinh có thêm một tính chất hình học:
Các đờng trung bình của tứ giác gặp nhau tại trung điểm của chúng
Cũng từ bài toán 10 ta có bài toán tổng quát hơn sau:.

Bài toán 11: Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q, E, F, G, H lần lợt là trung điểm
của các đoạn: BC, DA, AB, CD, MA, MB, NB, NC.
Chứng minh các đờng MN, PQ, EF, GH đồng quy.

Ngời thực hiện: Phạm Quang Thăng THCS Cao Xuân Huy
Trang7
I
N
M
B
C
A
D
Tên đề tài: Khai thác yếu tố trung điểm trong bài toán hình học

C. Các bài toán nâng cao và phát triển
I. Bài toán chứng minh
Bài toán 12: Cho tam giác ABC, dựng về phía ngoài các tam giác vuông cân tại
A là ABM và ACN. Chứng minh rằng đờng thẳng chứa trung tuyến AI của tam
giác ABC cũng chứa đờng cao của AH của tam giác AMN.
Hớng làm: Đây là bài toán khá khó đối với học sinh lớp 7, và bài toán này lại đ-
ợc gặp ở lớp 8, nên ở lớp 7 ta dùng ngôn ngữ sau:
Do đã có trung điểm I của BC nên ta nghĩ đến việc tạo ra I là trung điểm chung
của hai đoạn, cụ thể là trên tia đối của tia IA lấy điểm D sao cho I là trung điểm
của AD.

Khi đó từ tính chất trung ôiểm chung I của hai đoạn AD , BC ta có đợc hai
đoạn CD và AB song song và bằng nhau từ đó ta có đợc hai tam giác ACD, MAN
bằng nhau, sử dụng các góc bằng nhau của hai tam giác này và tính chất các góc tại
đỉnh A ta có đợc AH vuông góc với MN.
Từ bài toán này ta có bài toán sau:
Bài toán 13: Cho tam giác ABC, dựng về phía ngoài tam giác các hình vuông
ABDE và ACHF, vẽ hình bình hành AEQF,

Ngời thực hiện: Phạm Quang Thăng THCS Cao Xuân Huy
Trang8
D
H
I
N
M
C
B
A
Tên đề tài: Khai thác yếu tố trung điểm trong bài toán hình học

Chứng minh ba đờng QA, HB, DC đồng quy.

Hớng làm: Theo bài 12 ta đã có QA vuông góc với BC, ta chỉ cần chứng minh BH
vuông góc với QC và CD vuông góc với QB (bằng cách xét cho các tam giác
AQC , CBH bằng nhau và các tam giác AQB, BCD bằng nhau) khi đó QA, HB, DC
chứa ba đờng cao của tam giác QBC nên ba đờng QA, HB, DC đồng quy.
Tơng tự nh vậy ta có các bài toán sau:
Bài toán 14: Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh BC,Dựng về phía
ngòai các hình vuông ABDE, ACHF có tâm là I, J.
Chứng minh tam giác MIJ vuông cân.

Hớng làm: Nhìn vào hình vẽ ta thấy hai tam giác AEC và ABF bằng nhau

hai đoạn EC, BF bằng nhau và vuông góc với nhau mà MI, MJ là các đờng trung
bình của hai tam giác BEC và CBF nên ta chứng minh đợc hai đoạn MI, MJ băng
nhau và vuông góc với nhau.

Ngời thực hiện: Phạm Quang Thăng THCS Cao Xuân Huy
Trang9
B
C
A
P
H
F
E
D
Q
B
C
A
H
F
E
D
I
J
M
Tên đề tài: Khai thác yếu tố trung điểm trong bài toán hình học

.

Từ bài toán này ta có loạt các bài toán sau:
Bài toán 15 :Cho hình bình hành ABCD, về phía ngoài hình bình hành các tam
giác ABM vuông cân tại M; ACN vuông cân tại N; BDP vuông cân tại P; CDQ
vuông cân tại Q.
Chứng minh rằng tứ giác NMPQ là hình vuông.
Hớng làm: Từ kết quả bài toán 14 ta có các tam giác IMN, INQ, IQP, IPM đều
vuông cân tại I từ đó suy ra tứ giác MNQP là hình vuông.
Từ bài toán này ta lại đa ra bài toán sau:

Ngời thực hiện: Phạm Quang Thăng THCS Cao Xuân Huy
Trang10
B
C
A
D
N
Q
P
M
I
Tên đề tài: Khai thác yếu tố trung điểm trong bài toán hình học

Bài toán 16: Cho hình bình hành ABDC, về phía ngoài hình bình hành các hình
vuông ABEF, ACMN, DBPQ, CDKL, Gọi S, G, R, H lần lợt là tâm của các hình
vuông trên.
Chứng minh rằng tứ giác SGHR là hình vuông.
Tiếp tục bài toán trên, Nếu tứ giác ABCD không phải là hình bình hành mà là một
tứ giác bất kỳ thì liệu tứ giác SGHR có tính chất gì không? Ta có bài toán sau:.
Bài toán 17: Cho hình tứ giác ABCD, về phía ngoài tứ giác dựng các hình
vuông ABMN, ADEF, DCGH, BCPQ, Gọi V, S, J, K lần lợt là tâm của các hình

vuông trên. Chứng minh rằng KS = VJ và KS

VJ.

Hớng làm: Do có V, S, J, K là trung điểm của các đờng chéo hình vuông nên để
sử dụng đờng trung bình của tam giác ta xét thêm trung điểm I của AC. Từ kết quả
bài toán 14 ta có IV, IK vuông góc và bằng nhau cũng nh vậy hai đoạn IS, IJ cũng

Ngời thực hiện: Phạm Quang Thăng THCS Cao Xuân Huy
Trang11
B
C
A
D
M
F
E
Q
K
L
N
P
G
H
R
S
Tên đề tài: Khai thác yếu tố trung điểm trong bài toán hình học

vuông góc và bằng nhau. Từ đó hai tam giácIKS và IVJ bằng nhau. Suy ra hai đoạn
thẳng KS và VJ bằng nhau và vuông góc với nhau.

Đối với bài toán này việc vẽ đờng phụ là quan trọng.ngoài việc biết khai thác yếu
tố trung điểm nh đã nêu học sinh cần áp dụng kiến thức về hai tam giác bằng nhau,
kiến thức về tam giác cân, tam giác đều , đã đợc học vào giải bài toán.Từ đó học
sinh mới t duy và tìm tòi lời giải. Giáo viên không nên đa ra lời giải mà phải hớng
dẫn để học sinh dần dần tìm lời giải cho mỗi bài toán.
Bài toán 18: Cho tam giác ABC trên các cạnh AB, AC lấy các điểm M, N sao
cho BM = CN, gọi E, F là trung điểm các đoạn BC, MN. Chứng minh EF song song
với phân giác góc A.
Hớng làm: Trong bài toán này đã có hai trung điểm M, N nên ta nghĩ đến việc
lấy thêm một trung điểm nữa để cùng với hai trung điểm đã cho tao ra các đờng
trung bình của tam giác sẽ giúp ta giải bài toán, cụ thể nh sau:
Gọi I là trung điểm của BM khi đó IE, IF là đờng trung bình của các tam giác
BCM và MBN, Từ tính chất đờng trung bình của tam giác và giả thiết của bài toán

Ngời thực hiện: Phạm Quang Thăng THCS Cao Xuân Huy
Trang12
D
C
B
A
P
Q
M
N
F
E
H
G
V
K

J
S
I
R
Tên đề tài: Khai thác yếu tố trung điểm trong bài toán hình học

ta có tam giác IEF cân tại I. Từ đặc điểm các góc của tam giác IEF và các góc tại
đỉnh A ta có đợc EF song song với phân giác của góc BAC.
Ta biết từ bài toán này chúng ra có thể đa ra nhiều yêu cầu khá hay nh:
+ Chứng minh đờng thẳng MN tạo với hai đờng thẳng AB, AC những góc bằng
nhau.
+ Khi M,N thay đổi chứng minh trung điểm của đoạn MN luôn nằm trên một đờng
cố định.
Bài toán 19: Chứng minh rằng trong một tam giác Trọng tâm, Trực tâm và Tâm
đờng tròn ngoại tiếp cùng nằm trên một đờng thẳng ( Đờng thẳng Ơ le).
Hớng làm: Có rất nhiều cách chứng minh bài toán này, các cách đều sử dụng
tính chất của trung điểm để tạo ra đờng trung bình của tam giác để chứng minh:
Khoảng cách từ trực tâm đến mỗi đỉnh luôn gấp đôi khoảng cách từ tâm đờng tròn
ngoại tiếp đến cạnh đối diện với đỉnh đó (HA = 2 OM)

Ngời thực hiện: Phạm Quang Thăng THCS Cao Xuân Huy
A
B
M
N
E
F
I
Trang13
C

Tên đề tài: Khai thác yếu tố trung điểm trong bài toán hình học



Sau đó lại sử dụng tính chất đờng trung bình IK của tam giác GAH để chứng
minh hai tam giác: GIK và GOM bằng nhau từ đó có đợc ba điểm G, H, O thẳng
hàng. ( Xin phép không trình bày chi tiết phép chứng minh này vì đây là bài toán
điển hình mà ai cũng biết)
Bài toán 20: Cho lục giác ABCDEF
có M, N, P, I, K, L lần lợt là trung
điểm các cạnh: AB, CD, EF, BC, DE, FA.
Chứng minh hai tam giác MNP và IKL
có chung trọng tâm.
Hớng làm: Từ kết quả bài toán 10, gọi S là trung điểm đoạn BE thì hai đoạn
MP và LS cũng nh hai đoạn IK và SN có chung trung điểm là X và Y, khi đó NX
và LY là các đờng trung tuyến của các tam giác MNP và IKL, đồng thời NX và LY
cũng là các đờng trung tuyến của tam giác SNL mà NX và LY cắt nhau tại G nên G
là trọng tâm của các tam giác này.

Ngời thực hiện: Phạm Quang Thăng THCS Cao Xuân Huy
Trang14
M
I
K
O
G
H
C
B
A

S
G
Y
X
L
K
I
P
N
M
F
E
D
C
B
A
Tên đề tài: Khai thác yếu tố trung điểm trong bài toán hình học

Vậy hai tam giác MNP và IKL có chung trọng tâm.
Bài toán 21: Cho tứ giác ABCD có M, N là trung điểm các cạnh AB, CD.Trên
đoạn MN lấy điểm I bất kỳ, một đờng thẳng d qua I cắt AD, AC, BD, BC lần lợt tại
E, F, G, H.
Chứng minh:
ED
EA
+
FC
FA
+
RD

RB
+
HC
HB

4.
IN
IM
Hớng làm: Do có các trung điểm M,N nên ta nghĩ đến đờng trung bình, mà bài
toán lại có các tỷ số nên ta lại nghĩ đến định lý Talet, từ đó buộc ta phải nghĩ đến
việc tạo ra các đờng thẳng song song. cụ thể qua A, B, C, D kẻ các đờng thẳng song
song với MN chúng lần lợt cắt đờng thẳng d tại A, B, C, D. Khi đó IM, IN là đ-
ờng trung bình của các hình thang ABBA, DCCD, sử dụng tính chất đờng trung
bình của hình thang và định lý Talet ta có biểu thức vế trái đợc thay bằng tổng sau:
DD'
A'A
+
CC'
A'A
+
D'
'
D
BB
+
'
'
CC
BB
= (AA + BB)(

'
1
CC
+
D'
1
D
)
=
( )( )
DDCC
DDCCBBAA
'.'
'''' ++

Đến đây ta sử dung tính chất đờng trung bình hình thang và bất đẳng thức Côsi ta
có kêt quả cần chứng minh.
Nhiều khi đã thành kỹ năng sử dụng trung điểm, mà trong bài toán không cho
trung điểm thì chúng ta dự đoán và tạo ra trung điểm, nh bài toán sau:
Bài toán 22: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đờng tròn tâm O có BN là đờng
phân giác. Từ A kẻ một đờng thẳng vuông góc với tia BN, cắt BC tại H. Chứng
minh bốn điểm A; O; H; C nằm trên một đờng tròn.
Đối với bài toán này xảy ra hai trờng hợp đối với hình vẽ .
Trờng hợp 1: H và O nằm cùng phía với AC Hình 1
Trờng hợp 2: H và O nằm khác phía với AC Hình 2

Ngời thực hiện: Phạm Quang Thăng THCS Cao Xuân Huy
Trang15
Tên đề tài: Khai thác yếu tố trung điểm trong bài toán hình học

Khi có đờng phân giác trong tam giác ta có thể tạo ra tam giác cân để đờng phân
giác cũng là đờng cao, đờng trung tuyến từ đó ta làm nh sau:
Hớng làm:(Trờng hợp 1) Qua A kẻ các đờng vuông góc với các phân giác của
các góc ACB và ABC có các giao điểm nh hình vẽ.Khi đó IK là đờng trung bình
của tam giác APH từ đó ta có góc IKC bằng góc KCB, mà tứ giác AIOK nội tiếp
nên góc IKO bằng góc OAI từ đây ta có hai góc OAH và OCH bằng nhau
Do đó bốn điểm A,O,H,C cùng nằm trên một đờng tròn.
B i toán 23 :Cho đờng tròn và hai dây AB, CD cắt nhau tại M, đờng thẳng đi
qua M và trung điểm N của BD cắt AC tại K.
Chứng minh:
KC
KA
=
2
2
MC
MA
.

Ngời thực hiện: Phạm Quang Thăng THCS Cao Xuân Huy
Trang16
Q
I
P
K
N
M
D
C
B

A
A
Tên đề tài: Khai thác yếu tố trung điểm trong bài toán hình học

Hớng làm: Ta thấy đã có trung điểm N của BD nên ta kẻ qua C đờng song song
với MN cắt AB tại P, từ P lại kẻ đờng song song với BD cắI MN, CD tại I, Q. Ta có
I là trung điểm của PQ dẫn đến M là trung điểm của CQ, từ đó ta có tứ giác ACPQ
nội tiếp
.

MA.MP = MC.MQ = MC
2


MP =
MA
MC
2
Khi đó :
KC
KA
=
MP
MA
= MA :
MA
MC
2
=
2

2
MC
MA
Bài toán 24: Cho đờng tròn tâm O và hai đờng kính AB, CD. Trên đờng kính CD
lấy hai điểm M,N sao cho O là trung điểm của MN, các tia AM, AN cắt đờng tròn
tại E, F, đờng thẳng EF cắt CD tại S.
Chứng minh SB là tiếp tuyến của đờng tròn (O).
Hớng làm: Ta thấy bài toán đã có O là trung điẻm chung của hai đoạn MN và AB
nên ta nghĩ đến việc sử dụng tính chất trung điểm chung.
Cụ thể ta nối BM,BN và đặt các giao điểm P, Q (hình vẽ) Từ tính chất trung
điểm chung, tính chất song song và góc nội tiếp ta có BE // PQ và do đó tứ giác
BQFP nội tiếp

Góc BEF = Góc FBP = Góc BAF = Góc ABM. mà:
Góc ABM + Góc ABF = 90

Góc ABF + Góc FBP = 90

SB là tiếp tuyến của đờng tròn (O) .

Ngời thực hiện: Phạm Quang Thăng THCS Cao Xuân Huy
Trang17
P
Q
S
F
E
N
M
O

D
C
B
A
Tên đề tài: Khai thác yếu tố trung điểm trong bài toán hình học

Bài toán 25: Cho đờng tròn tâm O, qua trung điển I của dây cung AB kẻ hai dây
cung bất kỳ CD và MN, gọi P, Q là giao điểm của CN, DM với AB. Chứng minh I
cũng là trung điểm của PQ.
Hớng làm: Đây là bài toán Con bớm nổi tiếng !
Ta thấy trong bài toán đã có trung điểm của dây cung nên ta kẻ ngay đờng kính đi
qua trung điểm I của dây cung AB, cũng nh vậy ta kẻ các đờng kính đi qua các
trung điểm của các dây cung CD, MN (hình vẽ ).

Ngời thực hiện: Phạm Quang Thăng THCS Cao Xuân Huy
Trang18
O
F
E
Q
P
N
M
D
C
I
B
A
R
Tên đề tài: Khai thác yếu tố trung điểm trong bài toán hình học

Khi đó xét các tứ giác nội tiếp PIOE, QIOF và từ các tam giác đồng dạng ICN,
IMD dẫn đến các tam giác ICE, IMF đồng dạng dẫn đến tam giác OPQ cân tại O
(vì có đờng cao cũng là phân giác) từ đó suy ra I là trung điểm của PQ
Bài toán Con bớm này cũng có trong tam giác:
Bài toán 26: cho tam giác ABC có I là trung điểm cạnh BC, đờng trẳng d bất kỳ
qua I cắt AB, AC tại M, N. Đờng thẳng d qua I cắt AB, AC tại P, Q. Gọi E, F là
giao điểm của MP, NQ với BC. Chứng minh IE = IF.
Bài toán Con bớm trong tứ giác:
Bài toán 27: Cho tứ giác ABCD. Qua giao điểm I của hai đờng chéo kẻ đờng
thẳng d bất kỳ cắt AB, BC, CD, DA lần lợt tại M, N, P, Q. Chứng minh rằng: I là
trung điểm của MP khi và chỉ khi I là trung điểm của NQ.
Việc kẻ thêm đờng phụ khi có yếu tố trung điểm đợc thực hiện trong bài toán
chứng minh, chứng ta cũng thực hiện trong các bài toán khác.

II. Toán dựng hình
Bài toán 28: Dựng tam giác ABC vuông tại A có AC = 2 AB và cạnh BC có độ
dài bằng a cho trớc.
Hớng làm: trong việc phân tích tìm tòi lời giải ta thấy có điều kiện AC gấp đôi
AB thì ta luôn cho học sinh có thói quen khi có đoạn này gấp đôi, gấp ba, . . ,
đoạn kia thì trên đoạn đó ta lấy các điểm chia đôi, chia ba, . . . Tong bài toán này
ta lấy I là trung điểm của AC để có AI = IC = AB.

Ngời thực hiện: Phạm Quang Thăng THCS Cao Xuân Huy
Trang19
K
I
H
B
C

A
Tên đề tài: Khai thác yếu tố trung điểm trong bài toán hình học

Khi đó kẻ đờng cao AH và lấy thêm trung điểm K của HC ta có hai tam giác
ABH và CIK bằng nhau, từ đó suy ra: BH = IK =
2
1
AH =
4
1
HC.
Vây ta có cách dựng tam giác AHB từ đó dựng tam giác ABC.
Bài toán 29: Cho tứ giác ABCD có M, P trên các cạnh AB, CD. Dựng hình bình
hành MNPQ có N, Q trên BC, DA.
Hớng làm: Do tứ giác MNPQ là hình bình hành nên trung điểm O của MP cũng
là trung điểm của NQ, hay O là tâm đối xứng của hình bình hành MNPQ. Từ đó ta
dùng phép đối xứng tâm O để xác định N, Q đẻ có hình bình hành MNPQ.
Bài toán 30: Cho 4 đờng thẳng a, b, c, d (không có hai đờng nào song song) và
một điểm O. Dựng hình bình hành ABCD nhận O là tâm và có các đỉnh nằm trên
các đờng thẳng đã cho.
Hớng làm: Do tâm O của hình bình hành cũng là tâm đối xứng, nên ta xét phép
đối xứng tâm O để xâc định các điểm A, B, C, D,
Bài toán 31: Cho góc xOy khác góc bẹt và điểm A nằm trong góc đó. Dựng đờng
thẳng qua A cắt hai cạnh của góc xOy tại C, D sao cho A là trung điểm của CD.
Hớng làm: Đây là bài toán quen thuộc ở lớp 8 nhng với học sinh lớp 7 cũng xem
là hấp dẫn ! Ta khai thác yêu tố trung điểm trong bài toán này theo các hớng:
+ Tạo ra A là trung điểm chung của hai đoạn OE và CD thì ta có đợc hai đoạn
song song là CE // OD và DE // OC từ đó ta có cách dựng CD.
+ Tao ra AI là đờng trung bình của tam giác DOC ( AI // Ox) khi đó I là trung
điểm của CD từ đây ta có cách xác định điểm D và đờng thẳng DC.

Ngời thực hiện: Phạm Quang Thăng THCS Cao Xuân Huy
Trang20
Tên đề tài: Khai thác yếu tố trung điểm trong bài toán hình học

Bài toán 32::Cho tam giác nhọn ABC. M là điểm bất kỳ trên cạnh BC, gọi E, F
là hình chiếu của M trên AB, AC. Tìm vị trí của điểm M sao cho độ dài đoạn EF
nhỏ nhất.
Hớng làm: ở đây ta thấy có hai tam giác vuông chung cạnh huyền là AEM và
AFM, nên ta nhanh chóng lấy thêm trung điểm I của AM để có các trung tuyến
thuộc cạnh huyền của hai tam giác vuông. Từ đặc điểm của tam giác cân IEF có
góc EIF không đổi và EF nhỏ nhất khi AM nhỏ nhất, khi đó AM chính là đờng cao.
Bài toán 33: Cho góc vuông xOy và điểm A nằm trong góc đó. Một góc vuông
đỉnh A quay xung quanh A các cạnh của góc này cắt Ox, Oy tại M, N. Xác định vị
trí của góc vuông đỉnh A để đoạn MN nhỏ nhất.
Hớng làm: Ta thấy ở đây cũng có hai tam giác vuông chung cạnh huyền là
OMN và AMN, nên ta nghĩ ngay đến việc sử dụng trung tuyến thuộc cạnh huyền

Ngời thực hiện: Phạm Quang Thăng THCS Cao Xuân Huy
Trang21
I
F
E
M
C
B
A
I
N
M

A
y
x
O
Tên đề tài: Khai thác yếu tố trung điểm trong bài toán hình học

chung đó. Khi đó độ dài đoạn MN chính bằng IO + IA, xét quan hệ ba đoạn OA,
AI, IO ta sẽ có MN nhỏ nhất là bằng đoạn OA, khi đó I cũng là trung điểm đoạn
OA từ đó ta có cách xác định vị trí điểm M và N.
III. Toán quỹ tích
Bài toán 34: Cho tam giác ABC có điểm M thay đổi trên BC. Tìm quỹ tích trung
điển I của AM ?
Hớng làm: Bài toán này không khó, yếu tố trung điểm đợc khai thác rất trực quan
qua một số vị trí của điểm M, nên ta nhanh chóng nghĩ đến việc tạo ra đờng trung
bình của tam giác và khai thác tính chất đờng trung bình để giải bài toán này.
Bài toán 35: Cho góc vuông xOy. một đoạn thẳng AB có độ dài cho trớc thay đổi
sao cho các điểm A, B luôn nắm trên các tia Ox, Oy. Tìm quỹ tích trung điểm I của
đoạn AB ?
Hớng làm: Trong bài toán này đã có trung điểm và lại có tam giác vuông mà
cạnh huyền lại có độ dài không đổi, nên ta nghĩ ngay đến việc kẻ thêm đờng trung
tuyến thuộc cạnh huyền rồi sử dụng tính chât trung tuyến thuộc cạnh huyền để tìm
ra mối quan liên hệ giữa điểm I và điểm O đẻ có kết quả.
Bài toán 36: Cho góc vuông xOy và điểm A nằm trong góc đó, một góc vuông
có đỉnh A quay xung quanh A, các cạnh góc này cắt Ox, Oy tại M, N. Tìm quỹ
tích trung điểm I của MN ?
Hớng làm: Cũng nh bài 33 ở trên ta nối ngay IO,IA và sử dụng tính chất trung
tuyến thuộc cạnh huyền trong các tam giác vuông OMN, AMN để từ đó có đợc :
IO = IA và trả lời bài toán.
Bài toán 37: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đờng cao AH. Điểm M thay
đổi trên đờng cao AH, đờng thẳng qua A vuông góc với BM cắt BC tại N. Tìm quỹ

tích trung điểm I của NM ?

Ngời thực hiện: Phạm Quang Thăng THCS Cao Xuân Huy
Trang22
K
I
N
M
H
C
B
A
Tên đề tài: Khai thác yếu tố trung điểm trong bài toán hình học

Hớng làm: Từ giả thiết ta có ngay MN song song với AC, do đó tam giác vuông
HMN có HI là trung tuyến thuộc cạnh huyền thì HI cũng cắt AC tai trung điểm K
của AC từ đó ta có I thuộc đoạn HK.
Bài toán 38: Cho hình vuông ABCD, một góc vuông đỉnh A quay xung quanh
A là xAy Tia Ax cắt BC, CD tại M, N; tia Ay cắt BC, CD tại P, Q. Tìm quỹ tich
trung điểm I, K của NP, MQ.


D. Bài tập tự luyện .
Bài tập 1: ở miền trong của hình vuông ABCD lấy một điểm E sao cho
Góc EAB = Góc EBA = 15
0
. Chứng minh rằng : CDE là tam giác đều.
Bài tập 2 : Cho hình thang cân ABCD, (AB // CD) có O là giao điểm hai đờng
chéo. Gọi M, N, P là trung điểm của OA, OD, BC, biết góc AOB bằng 60 .
Chứng minh tam giác MNP đều.

Bài tập 3: Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm của đờng chéo AC và BD gọi M
và N là trung điểm của OB và CD chứng minh A; M; N; D cùng thuộc đờng tròn
Bài tập 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O đờng kính AC. Trên tia AB
lấy điểm D sao cho AD = 3AB. Đờng thẳng Dy vuông góc với DC tại D cắt tiếp
tuyến Ax của đờng tròn (O) tại E. Chứng minh tam giác BDE là tam giác cân.

Ngời thực hiện: Phạm Quang Thăng THCS Cao Xuân Huy
Trang23
Tên đề tài: Khai thác yếu tố trung điểm trong bài toán hình học

Bài tập 5: Cho tam giác ABC, về phía ngoài tam giác dựng các hình vuông ABEF;
ACMN; BCPQ. Chứng minh các đờng cao của các tam giác AFN; CMP; BQE xuất
phát từ A, B, C đồng quy.
Bài tập 6 : Cho tam giác ABC, dựng về phía ngoài các tam giác đều BCA, ABC.
Gọi M, N, P là trung điểm của AC, BC, BA. Chứng minh tam giác MNP đều.
Bài tập 7: Cho tam giác ABC, dựng về phía ngoài các tam giác đều BCA, CAB,
ABC. Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm các đoạn CA, AB, AC.Chứng minh hai
đoạn MN, CP bằng nhau và tạo với nhau một góc 60 .
Bài tập 8: Cho tam giác ABC dựng về phía ngoài các hình vuông. Gọi I, J, K là
trung điểm các cạnh hình vuông đối diện với các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh
AI, BJ, CK đồng quy.
Bài tập 9. Chứng minh rằng Một tứ giác là nội tiếp khi và chỉ khi các đờng thẳng
đI qua trung điểm mỗi cạnh và vuông góc với cạnh đối diện đồng quy.
Bài tập 10: Cho tam giác ABC có điểm M nằm trong tam giác, các tia AM, BM,
CM cắt BC, CA, AB tại A, B, C. Gọi X, Y, Z là trung điểm của BC, CA, AB và
X, Y, Z là trung điểm của BC, CA, AB.
Chứng minh XX, YY, ZZ đồng quy.
Bài toán 11: Cho tam diác ABC, dựng về phía ngoài các tam giác MBC, NCA,
PAB tơng ứng đồng dạng với nhau. Chứng minh rằng: Hai tam giác ABC và MNP
có cùng trọng tâm.

Bài toán 12 : Cho đa giác bất kỳ có chu vi 2p. Chứng minh rằng có thể phủ kín đa
giác bằng một hình tròn có đờng kính bằng p.
Bài toán 13: Cho tanm giác ABC có góc B = 60 , góc C = 30 . Lờy điểm d trên
cạnh AC, điểm E trên cạnh AB sao cho góc ABD = 20 ,góc ACE = 10 . Gọi K là
giao điểm của BD và CE. Tính các góc của tam giác KDE.?
Bài toán 14: Cho tam giác ABC có góc B = 60 , góc C = 45 . Trong tam giác vẽ tia
Bx sao cho góc CBx = 15 .Đ ờng vuông góc với AB tại A cắt tia Bx tại E.

Ngời thực hiện: Phạm Quang Thăng THCS Cao Xuân Huy
Trang24
Tên đề tài: Khai thác yếu tố trung điểm trong bài toán hình học

Tính góc CBE ?
Bài toán 15: Cho tam giác ABC có góc B = 75 , góc C = 45 , Trên cạnh BC lấy
điểm D sao cho góc BAD = 45 . Đ ờng vuông góc với DC tại C cắt tia phân giác của
góc ADC tại E, Tình góc CBE ?
Bài toán 16; Cho tam giác ABC, Vẽ về phía ngoài các tam giác đều ABE và ACF.
Gọi I là trung điểm cạnh BC, K là trực tâm tam giác ABE.
Tính các góc của tam giác IKF ?
Bài toán 17: Cho tam giác ABC cân tại A có góc A = 20 , Trên nửa mặt phẳng
không chứa B có bờ AC kẻ tia Cx sao cho góc ãC = 60 , trên tia Cx lấy điểm D sao
cho CD = CB. Tính góc ADC ?
Bài toán 18: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trong tam giác lấy điểm E sao
cho tam giác EAC vuông cân tại E và goác ở đáy bằng 15 . Tính góc AEB ?
Bài toán 19: Cho tam giác ABC vuông tại A có góc B = 75 ,Trên tia đối của tia AB
lấy điểm H sao cho BH = 2.AC. Tính góc BHC ?
Bài toán 20:Cho tam giác ABC có điểm O trong tam giác sao cho góc OBA = góc
OCA . Gọi I, K là hình chiếu của O trên AB, AC.còn M là trung điểm cạnh BC.
Chứng minh MI = MK.
Bài toán 21:Cho tam giác ABC cân tại A, có BD là phân giác. Qua D kẻ đờng

vuông góc với BD cắt BC tại I. Chứng minh BI = 2.DC.
Bài toán 22: Cho tam giác nhọn ABC có BD, CE là các đờng cao của tam giác.
Chứng minh : góc ADE = góc B; góc AED = góc C ( toán lớp 7)
Phần iii. Bài học kinh nghiệm.
1- Đối với giáo viên:
- Cần xác định đúng yêu cầu nhiệm vụ, trách nhiệm về vấn đề bồi dỡng học
sinh giỏi, và vấn đề chất lợng học môn toán, chất lợng học sinh giỏi toán.
- Cần có tinh thần trách nhiệm cao, luôn chăm lo đến chất lợng học sinh đặc biệt là
học sinh giỏi.

Ngời thực hiện: Phạm Quang Thăng THCS Cao Xuân Huy
Trang25