Tải bản đầy đủ (.doc) (24 trang)

SKKN Rèn luyện cho học sinh THPT kĩ năng tính thể tích khối đa diện

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (189.39 KB, 24 trang )

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
"RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH THPT KĨ NĂNG TÍNH THỂ TÍCH
KHỐI ĐA DIỆN"

1
A - ĐẶT VẤN ĐỀ:
Trong đề thi Đại học các khối A, B và D những năm gần đây, câu IV trong đề thi là
câu ở mức (điểm 7). Hầu hết các học sinh ở các trường THPT, nhất là học sinh học ở các
trường miền núi thường rất ngại câu này. Trong thực tế giảng dạy tôi thấy, muốn cho học
sinh đạt được điểm 7 trở lên trong các kỳ thi ĐH thì phải hướng dẫn các em học tốt các
nội dung trong câu IV. Một phần kiến thức rất quan trọng trong phần này là: Tính thể tích
khối đa diện. Với mong muốn các học sinh của mình sẽ làm tốt câu IV trong các kỳ thi
ĐH, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kinh nghiệm:“ RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KỸ
NĂNG TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN”. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm gồm 3
phần:
Phần I: Các kiến thức cơ bản cần nhớ.
Phần II: Kỹ năng phân tích đề, từ đó hình thành kỹ năng vẽ hình và tự giải quyết
vấn đề.
Phần III: Các ví dụ minh chứng và bài tập tự luyện.
Do khả năng còn hạn chế và kinh nghiệm chưa nhiều nên trong SKKN của tôi có thể
có những phần chưa hoàn chỉnh. Rất mong được sự đóng góp quí báu của quí thầy cô.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ

2
1/ Một học sinh không thể học hình học không gian tốt nếu các kiến thức về hình học
phẳng không tốt.
2/ Một học sinh không thể học hình học không gian tốt nếu không có kỹ năng phân tích
đề, không có kỹ năng vẽ hình và khả năng tự giải quyết vấn để.


……
II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ
1/ Thực trạng chung: Hầu hết các học sinh có cảm giác sợ hình và ngại học hình, nhất là
“hình học không gian”
2/ Thực trạng đối với giáo viên: Do đây là phần kiến thức khó dạy, học sinh lại không
muốn học, vì vậy một số giáo viên không mặn mà khi dạy phần kiến thức này.
3/ Thực trạng đối với học sinh: Hầu hết học sinh chưa có cách học tốt khi gặp phần kiến
thức này và luôn có cảm giác “sợ học hình không gian”. Vì vậy hầu hết các em đều học
chưa tốt phần kiến thức này.
III. GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN.
1/ Trang bị lại cho học sinh các kiến thức cơ bản nhất, cần thiết nhất của hình học
phẳng nhằm học tốt nội dung này.
Ví dụ như:
• Các công thức tính diện tích tam giác, tứ giác, đa giác.
• Định lí sin, định lí côsin, công thức tính độ dài đường trung tuyến trong tam giác,


3
• Các tính chất trong tam giác vuông, trong tam giác đều, trong hình vuông, trong
hình thoi, …
2/ Trang bị cho học sinh các kiến thức cơ bản nhất về các khối đa diện, nhất là các
khối đa diện đặc biệt và kỹ năng vẽ các hình đó.
Ví dụ:
Khi nhắc đến “hình chóp tam giác đều” thì trong đầu chúng ta hiện lên những tính chất
gì? Cách vẽ hình như thế nào?
Khi nhắc đến “hình chóp tứ giác đều” thì trong đầu chúng ta hiện lên những tính chất gì?
Cách vẽ hình như thế nào?

3/ Trang bị cho học sinh kỹ năng tự đặt câu hỏi và tự trả lời câu hỏi.
3.1/ Câu hỏi 1: Có sử dụng được trực tiếp công thức tính thể tích không? (trong các

đê thi ĐH, đối với bài toán tính thể tích khối đa diện thì có đến 90% bài toán chỉ cần sau
câu hỏi này học sinh đã thực hiện được)
*/ Ta hướng dẫn học sinh như sau:
A - Phải nhớ được công thức tính thể tích khối đa diện:
+/ Công thức tính thể tích khối chóp:

hSV .
3
1
=

Trong đó:
S
- là diện tích mặt đáy;
h
- là chiều cao của hình chóp.
+/ Công thức tính thể tích khối lăng trụ:

4

hSV .=

Trong đó:
S
- là diện tích mặt đáy;
h
- là chiều cao của khối lăng trụ.
Như vậy để làm được bài toán theo cách này thì ta cần phải tính được 2 yếu tố:
Một là: Với giả thiết bài cho ta phải tính được diện tích đáy
Hai là: Ta phải xác định được chính xác chiều cao của hình chóp, muốn vậy ta cần phải

xác định chính xác chân đường cao hạ từ đỉnh của hình chóp.
B - Một số lưu ý khi xác định chân đường cao hạ từ đỉnh của hình chóp:
 Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau (hoặc các cạnh bên hợp với đáy những góc
bằng nhau) thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
 Hình chóp có các mặt bên tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân đường cao là
tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy.
 Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường cao nằm trên giao
tuyến của mặt phẳng đó với mặt đáy (là hình chiếu của đỉnh lên giao tuyến đó).
 Hình chóp có hai cạnh bên kề nhau cùng vuông góc với đáy thì đường cao của nó
chính là giao tuyến của hai mặt phẳng đó.
. . .
C - Một số ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1 Tính thể tích khối tứ diện đều
ABCD
có cạnh bằng
a
.
*/ Cách thức mà trong thực tế bản thân đã làm:
 Yêu cầu từng học sinh đứng tại chỗ nêu lên những tính chất nổi bật của tứ diện đều
mà em nhìn thấy được.

5
(Giáo viên ghi lần lượt các tính chất đó của từng học sinh sau đó đưa ra kết luận cho
phần này rồi yêu cầu tất cả các học sinh ghi vào vở)
 Yêu cầu học sinh nêu lên cách vẽ một tứ diện đều và lên bảng thực hiện.
+/ Giáo viên nhấn mạnh lại những thao tác cơ bản nhất:
1. Vẽ đáy trước(nêu lên cách vẽ)
2. Xác định chân đường cao hạ từ đỉnh
3. Dựng đường cao(nêu lên cách dựng)
4. Vẽ các cạnh bên, hoàn thiện hình.

 Yêu cầu học sinh trả lời câu hỏi: Ta có thể áp dụng trực tiếp công thức tính thể tích
để tính thể tích khối tứ diện đều không?
 Yêu cầu học sinh chỉ ra đâu là đáy, đâu là chiều cao và cách tính các đại lượng đó.
+/ Tính diện tích tam giác
BCD
theo nhiều cách:

4
3
.
2
1
2
a
BMCDS
BCD
==

+/ Tính chiều cao
AG
bằng cách gắn
AG
vào tam giác vuông
AGB

6
2
;
3
3

3
2 a
AG
a
BMBG ===
+/ Ta tính được thể tích:

3
2
12
2
6
2
4
3
3
1
a
aa
V =















=

6
C
A
B D
G M
 Với hướng dẫn trên, giáo viên yêu cầu học sinh lên bảng thực hiện chi tiết lời giải
sau đó giáo viên yêu cầu các học sinh khác chấm điểm. Sau cùng là giáo viên đưa ra kết
luận.
Ví dụ 2 Tính thể tích khối chóp tam giác đều
ABCS.
có cạnh đáy bằng
a
trong các
trường hợp sau:
a) Cạnh bên bằng
2a
.
b) Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
0
60
.
c) Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
0
60

.
 Với cách thực hiện như ví dụ 1 thì nhiều học sinh đã làm quen dần với cách nghĩ,
cách làm khi gặp bài toán tính thể tích khối đa diện.
 Tiếp tục giáo viên hướng dẫn học sinh làm các ví dụ sau:

7
D – Bài tập:
Bài 1: Tính thể tích khối chóp tam giác
ABCS.
, biết
)(ABCmpSA ⊥
trong các trường hợp
sau:
a) Tam giác
ABC
vuông cân tại
B
, cạnh
aAB =
và góc giữa
SC
với mặt đáy bằng
0
45
.
b) Tam giác
ABC
vuông cân tại
B
, cạnh

aAB =
và góc giữa mặt
SBC
với mặt đáy bằng
0
45
.
c) Tam giác
ABC
vuông cân tại
B
, mặt phẳng
SBC
với mặt đáy bằng
0
60
và tam giác
SBC
có diện tích bằng
2
a
.
Bài 2: Tính thể tích khối chóp tứ giác đều
ABCDS.
có cạnh đáy bằng
a
trong các trường
hợp sau:
a) Cạnh bên bằng
2a

.
b) Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
0
60
.
c) Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
0
60
.
Bài 3: Cho lăng trụ tam giác đều
'''. CBAABC
, mặt phẳng
BCA'
tạo với đáy một góc
0
30
và tam giác
BCA'
có diện tích bằng
8
. Tính thể tích khối lăng trụ.
Bài 4:(Đại học khối A năm 2009)
Cho hình chóp
ABCDS.
, đáy
ABCD
là hình thang vuông tại
A

D

;
aCDaADAB === ,2
. Góc giữa hai mặt phẳng
)(SBC

)(ABCD
bằng
0
60
. Gọi
I
là trung

8
điểm của
AD
. Biết hai mặt phẳng
)(SBI

)(SCI
cùng vuông góc với
)(ABCDmp
. Tính
thể tích khối chóp
ABCDS.
.

9
Bài 5:(Đại học khối B năm 2009)
Cho hình lăng trụ tam giác

'''. CBAABC

aBB ='
. Góc giữa đường thẳng
'BB

)(ABCmp
bằng
0
60
; tam giác
ABC
vuông tại
C
và góc
BAC
bằng
0
60
. Hình chiếu vuông
góc của đỉnh
'B
lên
)(ABCmp
trùng với trọng tâm của tam giác
ABC
. Tính thể tích khối
chóp
ABCA'.
theo

a
.
3.2/ Câu hỏi 2: Có thể bổ sung thêm hoặc chia nhỏ khối đa diện cần tính thể tích
thành nhiều khối đa diện đơn giản hơn được không?
A/ Mở đầu: Có một số khối đa diện nếu ta tính trực tiếp thể tích của nó thì sẽ gặp
nhiều khó khăn, nhưng nếu chúng ta bổ sung thêm hoặc phân chia khối đa diện đó thành
nhiều khối đa diện thì việc tính thể tích lại đơn giản hơn. Đây là một kỹ năng rất cần thiết
đối với học sinh.
B/ Các ví dụ:
Ví dụ 1 Cho hình vuông
ABCD
cạnh
a
, các nửa đường thẳng
DyBx,
vuông góc với
)(ABCDmp
và ở cùng một phía đối với mặt phẳng ấy. Lấy điểm
DyNBxM ∈∈ ,
. Đặt
yDNxBM == ,
. Tính thể tích tứ diện
ACMN
theo
ayx ,,
.
 Yêu cầu học sinh lên bảng vẽ hình, học sinh khác nhận xét, giáo viên đưa ra kết
luận cuối cùng.

10

A
B
C
D
x
y
N
M
I


11
 Yêu cầu học sinh nêu lên những hiểu biết của mình về tứ diện
ACMN
 Yêu cầu học sinh chọn một mặt nào đó của tứ diện làm mặt đáy và áp dụng công
thức tính thể tích khối chóp.
(Với yêu cầu này thì học sinh gặp khó khăn)
Giáo viên gợi ý: Gọi
I
là trung điểm của
AC
, các em có nhận xét gì về mối quan hệ
giữa đường thẳng
AC

)(MINmp
?
(Câu trả lời mong muốn:
)(MINAC ⊥
)

 Yêu cầu học sinh tính thể tích tứ diện
AMNI
theo
ayx ,,
.
 Yêu cầu học sinh tính thể tích tứ diện
CMNI
theo
ayx ,,
.
 Đáp số:
)(
6
3
yx
a
V +=
Với cách khai thác như trên, học sinh đã phần nào hình thành cho mình cách suy nghĩ
khi gặp bài toán tính thể tích của khối đa diện là: Có thể phân chia khối đa diện cần tính
thể tích thành nhiều khối đa diện đơn giản hơn được không?
Ví dụ 2 Cho tứ diện
ABCD
có các cặp cạnh đối bằng nhau
aCDAB ==
,
., cBCADbBDAC ====
Tính thể tích tứ diện
ABCD
.
Hướng dẫn:

+/ Dựng tam giác
PQR
sao cho
DCB ,,
lần lượt là trung điểm
của
RPQRPQ ,,

12
A
B C
D
P
Q
R
+/
PQR
4
1
∆∆∆∆
=== SSSS
BDPBCQDCR
Suy ra
PQRABC
SS
∆∆
=
4
1


13
+/
PRBCAD
2
1
==
;
D
là trung điểm của
PR
. Suy ra:
APR ⊥A
.
+/ Hoàn toàn tương tự, ta cũng chứng minh được:
AQRAQ;P ⊥⊥ AA
+/
abcAAQAPVV
PQRABCDA
12
2
R
24
1
4
1

===
C/ Bài tập:
Bài 1: Cho hình chóp
ABCS.

có tất cả các góc phẳng ở đỉnh
A

B
đều bằng
α
,
aAB =
.
Tính thể tích khối chóp
ABCS.
.
Đáp số:
2
cossin.
2
sin.
cos12
22
2
3
α
α
α
α
−=
a
V
Bài 2: Cho tứ diện
ABCD


MN
là đoạn vuông góc chung của
AB

CD
.
a/ Chứng minh rằng, nếu
CDAB ⊥
thì thể tích của tứ diện
ABCD
là:

MNCDABV
6
1
=
b/ Chứng minh rằng, nếu góc giữa hai đường thẳng
AB

CD
bằng
α
thì thể tích của tứ
diện
ABCD
là:
α
sin
6

1
MNCDABV =
3.3/ Câu hỏi 3: Có thể sử dụng công thức về tỉ lệ thể tích được không?
A/ Lí thuyết: Một số kiến thức cần nhớ:
1. Tỉ số diện tích:
a/ Cho tam giác
ABC
,
'B
là điểm nằm giữa
A

B
. Khi đó ta có:

14
BB
AB
S
S
AB
BB
S
S
AB
AB
S
S
BCB
CAB

ABC
BCB
ABC
CAB
'
'
;
'
;
'
'
'''
===






b/ Cho tam giác
ABC
,
'B
là điểm nằm giữa
A

B
,
'C
là điểm nằm giữa

A

C
. Khi đó
ta có:
ACAB
ACAB
S
S
ABC
CAB
.
''.
''
=


2. Tỉ số thể tích:

15
A
B C
B’
A
B C
B’ C’
a/ Cho hình chóp tam giác
ABCS.
,
'A

là một điểm bất kỳ nằm giữa
S

A
. Khi đó ta có:
AA
SA
V
V
SA
AA
V
V
SA
SA
V
V
ABCA
BCAS
ABCS
ABCA
ABCS
BCAS
'
'
;
'
;
'
'.

'.
.
'.
.
'.
===
b/ Cho hình chóp tam giác
ABCS.
,
'A
là một điểm bất kỳ nằm giữa
S


A
,
'B
là một điểm bất kỳ nằm

16
A
B
C
S
A’
B’
B
C
S
A’

A’
giữa
S

B
. Khi đó ta có:
SBSA
SBSA
V
V
ABCS
BCAS
.
''.
.
'.
=
c/ Cho hình chóp tam giác
ABCS.
,
'A
là một điểm bất kỳ nằm giữa
S


A
,
'B
là một điểm bất kỳ nằm
giữa

S

B

'C
là một điểm bất
kỳ nằm giữa
S

C
.
Khi đó ta có:
SCSBSA
SCSBSA
V
V
ABCS
BCAS

''.'.
.
'.
=
B/ Các ví dụ:
1/ Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác đều
SABC
có cạnh
.aAB
=
Các cạnh bên

SCSBSA ,,
tạo
với đáy một góc bằng
0
60
. Gọi
D
là giao điểm của
SA
với mặt phẳng qua
BC
và vuông
góc với
SA
.
a/ Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp
DBCS.

ABCS.

17
A
B
C
S
A’
B’
C’
b/ Tính thể tích của khối chóp
DBCS.

.
Giáo viên yêu cầu học sinh:
*/ Yêu cầu học sinh lên bảng vẽ hình
*/ Tính tỉ số
ABCS
DBCS
V
V
.
.
(kết quả mong muốn:
SA
AD
SA
SD
V
V
ABCS
DBCS
−==
1
.
.
)
*/ Chỉ ra góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy (kết quả mong muốn: góc
SAI
)
*/ Tính
SAAD,
theo các yếu tố đã biết?

Kết quả mong muốn:
0
0
60cos
3
2
;60cos
AI
SAAIAD ==
*/ Vậy tỉ số
ABCS
DBCS
V
V
.
.
bằng bao nhiêu?
Kết quả mong muốn:
8
5
.
.
=
ABCS
DBCS
V
V

18
B

C
S
D
A’
I
H
B/ Bài tập:
Bài 1: Cho hình chóp
ABCDS.
có đáy
ABCD
là hình bình hành.
M
là trung điểm của
SC
,
mặt phẳng
)(P
chứa
AM
và song song với
BD
chia hình chóp thành hai phần. Tính tỉ số
thể tích của hai hình đó?
Giáo viên hướng dẫn:
*/ Công thức tỉ lệ thể tích chỉ áp dụng được cho khối chóp tam giác.
*/ Gọi
2
1
)(');('

''.
''.
=⇒∩=∩=
MBDABCD
MDABS
V
V
PSDDPSBB
Bài 2: Cho hình chóp
ABCDS.
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
,
α
=⊥
))(,(),( SABSCABCDSA
. Mặt phẳng
)(P
qua
A
và vuông góc với
SC
chia khối chóp
thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó.
Bài 3: Cho hình lăng trụ đứng
'''. CBAABC
có đáy
ABC

là tam giác vuông tại
B
,
aCAaAAaAB 3',2',
===
. Gọi
M
là trung điểm của đoạn thẳng
''CA
.
I
là giao điểm của
AM

CA'
. Tính
ABCI
V
.
theo
a
.
Đáp số:
9
4
3
a
V
IABC
=

Bài 4: Cho tứ diện
ABCD
có góc
aABCADBADABC ==∠=∠=∠ ,120,90
00
,
aADaAC 3,2
==
. Tính
ABCD
V
?
Đáp số:
2
.2
3
a
V
ABCD
=
3.4/ Câu hỏi 4: Có thể sử dụng phương pháp tọa độ được không?
A/ Mở đầu:

19
Trong đê thi Đại học hiện nay ít khi sử dụng được phương pháp này nhưng chúng
ta cần trang bị cho học sinh cách này vì đây là phần kiến thức khá bổ ích trong các kỳ thi.
Để áp dụng được cách này, giáo viên cần hướng dẫn học sinh cách chọn hệ trục tọa
độ thích hợp. Muốn vậy, học sinh phải nắm vững tính chất của các hình không gian.
B/ Ví dụ: Cho hình chóp
ABCDS.

có đáy
ABCD
là hình thoi,
ACBDAC ,2,4
==
cắt
BD
tại
22),(,
=⊥
SAABCDSOO
. Gọi
M
là trung điểm của
)(, ABMSC
cắt
SD
tại
N
. Tính thể tích
khối chóp
ABMNS.
.
*/ Giáo viên yêu cầu học sinh làm các công việc sau:
1. Chọn hệ trục tọa độ
Oxyz
(kết quả mong muốn:
iIO ,

cùng hướng với

OA
;
j
cùng
hướng với
OB
;
k
cùng hướng với
OS
)
2. Chỉ ra tọa độ của các điểm có liêm quan:
3. Nêu công thức tính thể tích thể tích
của một tứ diện(biểu thức tọa độ).

20
A B
C
S
D
I
MN
y
x
z
4. Nêu lên cách tính thể tích khối chóp
ABMNS.
.
Kết quả mong muốn:
AMNSABMSABMNS

VVV

+=
5. Tính thể tích tứ diện:
AMNSABMS .;.
Kết quả mong muốn:
[ ]
3
22
.,
6
1
.
==
SBSMSAV
ABMS

[ ]
3
2
.,
6
1
.
==
SNSMSAV
AMNS
6. Tính thể tích khối chóp
ABMNS.
(Kết quả mong muốn:

2
.
=
ABMNS
V
*/ Giáo viên yêu cầu học sinh về nhà làm theo cách khác.
C/ Bài tập:

21
Bài 1: Cho hình hộp chữ nhật
''''. DCBAABCD

cAAbADaAB
===
',.
.
a/ Tính thể tích tứ diện
BDCA ''
b/ Gọi M là trung điểm của
'CC
. Tính thể tích khối chóp
BDMA'
.
Đáp số: a/
abcV
BDCA
3
1
''
=

; b/
abcV
BDMA
4
1
'
=
.
Bài 2: Cho hình lăng trụ đứng
'''. CBAABC

aAAaACaAB .52',2,
===
,
0
120=∠BAC
. Gọi
M
là trung điểm của cạnh
'CC
.
Tính thể tich khối chóp
MBAA '.
Đáp số:
3
.15
3
'.
a
V

MBAA
=
.
Với cách làm trên tôi đã giảng dạy tại lớp 12A1 và 12CA4, còn tại hai lớp 12A2 và
12CA3 tôi dạy theo cách cũ. Tôi thấy, với cách hướng dẫn học sinh cách suy nghĩ, cách
tự đặt câu hỏi, tự trả lời những câu hỏi của mình trong quá trình làm một bài toán nói
chung và nhất là trong bài hình học sẽ làm cho học sinh có cảm giác không sợ khi gặp bài
toán hình học tổng hợp. Với cách làm đó Tôi thấy học sinh học hình học tổng hợp tốt hơn
nhiều so với những lớp vẫn dạy theo cách truyền thụ một chiều, học sinh làm nhiều rồi
quen. Cụ thể như sau:
Qua hai lần kiểm tra đối chứng, thu được kết quả sau:
Lớp Sĩ số Giỏi Khá
Trung
bình
Yếu Kém
12A1 Lần kiểm tra 1 50 6 16 24 4 0

22
Lần kiểm tra 2 11 25 13 1 0
12CA4
Lần kiểm tra 1
50
2 12 26 10 0
Lần kiểm tra 2 8 20 18 4 0
12A2
Lần kiểm tra 1
50
5 14 23 8 0
Lần kiểm tra 2 7 16 22 5 0
12CA3

Lần kiểm tra 1
50
2 13 25 10 0
Lần kiểm tra 2 3 16 26 5 0
C. KẾT LUẬN
Như vậy trong thực tiễn dạy học Tôi thấy, việc hướng dẫn cho học sinh cách suy
nghĩ: Tự đặt câu hỏi - tự giải quyết vấn đề, Giáo viên chỉ làm cố vấn trong quá trình học
sinh thực hiện. Khi làm tốt được điều này, Tôi thấy học sinh có tiến bộ rõ rệt trong tư duy
nói chung và nhất là trong tư duy hình học.
Thực tiễn giảng dạy ở trường THPT Cẩm Thuỷ 1, tôi được Nhà trường giao cho
giảng dạy 4 lớp: 12A1, 12A2, 12CA3 và 12CA4. Tôi đã áp dụng tổ chức cho học sinh
trong hai lớp 12A1 và 12CA4 học tập theo cách trên. Sau quá trình giảng dạy trong năm
học 2011 – 2012, tôi thấy khả năng tư duy và giải quyết vấn đề của học sinh ở hai lớp
12A1 và 12CA4 được phát triển lên một bước. Cụ thể, sau hai bài kiểm tra cho 4 lớp với
chất lượng đề như nhau tôi thấy hai lớp 12A1 và 12CA4 có kết quả cao hơn hẳn so với
hai lớp 12A2 và 12CA3, đặc biệt là khả năng giải quyết những vấn đề khó trong hình
học.

23
Trong chuyên đề này, không thể tránh khỏi mhững thiếu sót và hạn chế. Rất mong được
sự góp ý của quý bạn đọc, các thầy cô giáo, các bạn đồng nghiệp và các em học sinh để
chuyên đề này được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

24

×