SKKN Phát triển tư duy học sinh khá, giỏi qua bài toán tìm tọa độ trọng tâm và mô men quán tính của vật rắn

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
"PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC SINH KHÁ, GIỎI QUA BÀI TOÁN
TÌM TỌA ĐỘ TRỌNG TÂM VÀ MÔ MEN QUÁN TÍNH CỦA VẬT
RẮN"
1
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1. Lý do khách quan:
Trong bối cảnh hiện nay, chất lượng giáo dục đang là vấn đề được toàn xã hội quan tâm.
Giáo dục Việt nam cũng đã và đang nỗ lực đổi mới nhằm phát huy tính tích cực, chủ
động trong học tập của học sinh, tạo nên những thế hệ có khả năng hiểu biết sâu sắc về lí
luận và từ đó vận dụng linh hoạt lí luận vào thực tế. Để đạt được mục tiêu trên thì ở cấp
T.H.P.T, Vật lí là một trong những môn học đóng vai trò quan trọng. Ngoài việc cung cấp
cho học sinh những kiến thức phổ thông cơ bản, có hệ thống của ngành, nó còn rèn luyện
cho học sinh những kỹ năng như: Kỹ năng quan sát, kỹ năng dự đoán, kỹ năng phân tích,
tổng hợp, kỹ năng ứng dụng… Tuy nhiên, thực tế vẫn tồn tại những hạn chế về dạy và
học trong nhà trường, đó là mới chỉ dừng lại ở chỗ làm sao cho học sinh thuộc công thức
để làm được một số bài tập dạng phổ biến trong các sách và đề thi. Tất yếu xảy ra là các
em hoàn toàn bế tắc khi gặp đề thi mang tính mở.
2. Lý do chủ quan
Trong chương trình vật lí 12- Ban Khoa học tự nhiên, “Động lực học vật rắn” là phần
mới và khó (mới được đưa vào chương trình năm 2008). Nhưng đây cũng là phần có
nhiều bài tập hay có thể giúp học sinh khá, giỏi đào sâu suy nghĩ và phát triển tư duy
logic. Mấu chốt để giải bài toán về “vật rắn” là phải tìm được tọa độ trọng tâm (điểm đặc
biệt) và mô men quán tính (đại lượng giữ nhiệm vụ quan trọng) trong chuyển động của
vật rắn. Tuy nhiên, lí thuyết về hai vấn đề này trong sách giáo khoa Vật lí 12 ban nâng
2
cao chưa được chú trọng nhiều lắm, chủ yếu thiên về trình bày để người đọc thừa nhận
kết quả.Trong khi đó, tài liệu tham khảo viết riêng cho “vật rắn” lại rất hiếm. Thế nhưng,
thực tế trong những năm gần đây, những vấn đề liên quan đến trọng tâm và mô men quán

tính lại có mặt ở các câu “chốt” trong các đề thi tuyển sinh, học sinh giỏi các cấp… Nhận
thức được tầm quan trọng của phần kiến thức này, xuất phát từ thực tế học, thi môn Vật
lí, qua quá trình giảng dạy, luyện thi đại học, bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi môn Vật
lí tại trường T.H.P.T Bỉm Sơn, tôi đã đúc kết được một vài kinh nghiệm để giải bài toán
tìm tọa độ trọng tâm và mô men quán tính của vật rắn. Vì vậy tôi mạnh dạn trình bày
sáng kiến kinh nghiệm về việc : “Phát triển tư duy học sinh khá, giỏi qua bài toán
tìm tọa độ trọng tâm và mô men quán tính của vật rắn” nhằm giúp các em học sinh
khá, giỏi và một số đồng nghiệp có thêm tài liệu tham khảo để học và phục vụ công tác
giảng dạy.Với ý thức cầu thị, tôi mong muốn nhận được sự góp ý chân thành từ các đồng
nghiệp để đề tài này hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn.
II. NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI
1.Cơ sở lí luận của đề tài.
2.Thực trạng của đề tài.
3.Giải pháp thực hiện.
4. Kết quả đạt được.
III. ĐỐI TƯỢNG PHẠM VI NGHIÊN CỨU
1. Đối tượng nghiên cứu:
Bài toán tìm tọa độ trọng tâm và mô men quán tính của vật rắn
3
2. Phạm vi nghiên cứu: Học sinh các lớp khối A gồm 12A7; 12A4; 12A2 năm học
2010-2011; học sinh lớp 12A4; 12A
8
;12A
9
năm học 2011-2012 trường THPT Bỉm sơn.
Thị xã Bỉm Sơn.
IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
- Phương pháp quan sát sư phạm.
- Phương pháp nêu vấn đề trong giảng dạy
- Phương pháp thống kê, tổng hợp, so sánh.

4
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI
- Xây dựng một hệ thống kiến thức lý thuyết đầy đủ, gọn gàng, sâu sắc.
- Các bài tập mang tính phổ biến, tổng quát được sắp xếp từ dễ đến khó.
- Trong quá trình giảng dạy nên luôn luôn coi trọng việc phát triển tư duy cho học sinh từ
vấn đề đơn giản đến vấn đề phức tạp để tập kĩ năng khái quát, phân tích, tổng hợp các
vấn đề.
- Chỉ ra sự liên hệ và ứng dụng lí thuyết vào thực tế cuộc sống.
II. THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI
* Đặc điểm tình hình của nhà trường:
Trường THPT Bỉm Sơn là trường có bề dày kinh nghiệm, thành tích trong công tác giảng
dạy các đội tuyển học sinh giỏi cấp tỉnh, quốc gia cũng như ôn thi đại học với thế mạnh
là các môn tự nhiên. Trường có đội ngũ giáo viên giỏi, nhiệt tình, tâm huyết với công tác
chuyên môn, các em học sinh đa phần là ngoan, chịu khó, thông minh với khả năng tư
duy tốt.
* Thực trạng của vấn đề : “Phát triển tư duy học sinh khá giỏi qua bài toán tìm tọa
độ trọng tâm và mô men quán tính của vật rắn” tại trường THPT Bỉm Sơn là:
- Về kiến thức: Học sinh chưa nắm vững định nghĩa khối tâm, mô men quán tính, cách
xây dựng công thức tính cho các trường hợp thường gặp và các dạng câu hỏi về phần này
mà mới dừng lại ở mức độ thuộc vẹt một số công thức đơn giản.
- Về kỹ năng: Học sinh chưa biết cách phân tích vi phân vật rắn, sử dụng linh hoạt các định
nghĩa về khối tâm, mô men quán tính, các phép toán để giải quyết.
5
- Trong một đơn vị lớp có nhiều đối tượng học sinh với các khả năng nhận thức, tư duy khác
nhau nên không thể cho học sinh thảo luận để phát huy tối đa tính tích cực, chủ động trong
học tập của mỗi em nhằm phát triển tư duy cho các em.
- Thực tế, kết quả khảo sát chất lượng vật lí 12 đầu năm của 3 lớp khối A của trường
T.H.P.T Bỉm sơn năm 2010 về phần vật rắn.
Lớp

Số
bài
kiểm
tra
Giỏi Khá
Trung
bình
Yếu Kém
SL % SL % SL % SL % SL %
12A
2
42 0 0 10 23,8 20 47,
7
8 19 4 9,5
12A
4
44 1 2,3 13 29,5 18 38,
7
10 22,
7
3 6,8
12A7 45 4 8,9 18 40 20 44,
4
3 6,7 0 0
III. GIẢI PHÁP THỰC HIỆN
1. Trình bày cơ sở lí thuyết của vấn đề nghiên cứu
1.1. Định nghĩa khối tâm (tâm quán tính, trọng tâm)
6
* Ta xét một hệ gồm n chất điểm A
1

,A
2
,….,A
n
có khối lượng m
1
,m
2
,….,m
n
có toạ độ
1
r
,
2
r
,….,
n
r
đối với một điểm gốc O lấy tuỳ ý. Khối tâm hay tâm quán tính của hệ là điểm G
xác định bởi đẳng thức:
G
r
(m
1
+ m
2
+ …… + m
n
) = m

1
1
r
+ m
2

2
r
+ ……+ m
n
n
r

M
rm
m
rm
r
ii
i
ii
G
∑
∑
∑
==⇒
(M là khối lượng toàn phần của hệ chất điểm)
- Nếu O
≡
G thì

G
r
= 0
∑
=⇒ 0
ii
rm
0
2211
=+++⇒
nn
GAmGAmGAm
- Lưu ý: Nếu trọng trường là đều thì
i
g
=
j
g
nên khối tâm trùng với trọng tâm.
* Xét với vật rắn có khối lượng M, khối lượng riêng
ρ
:
dm =
ρ
dV=
ρ
dxdydz thì khối tâm G được xác định bởi đẳng thức:
.
G G
rdm rdxdydz

r dm r dm r
M
dm
ρ
= ⇒ =
∫∫∫ ∫∫∫
∫∫∫ ∫∫∫
∫∫∫
r r
uur ur uur
Nếu
const
=
ρ
thì
G
r
=
V
dxdydzr
∫∫∫
- Lưu ý: Khi vật rắn đồng tính và có tâm đối xứng thì khối tâm của vật rắn là tâm đối
xứng.
1.2. Mô men quán tính của vật rắn đối với một trục quay cho trước.
* Mô men quán tính của vật đối với một trục cho trước là đại lượng vô hướng xác định
bởi đẳng thức
2
i i
I m r=
∑

với m
i
, r
i
lần lượt là khối lượng và khoảng cách của chất điểm i
trên vật tới trục quay.
- Lưu ý:
7
+ Từ công thức tính mô men quán tính ở trên trong các trường hợp cụ thể ta có thể
chuyển dấu
∑
thành tích phân để tiện tính toán tương tự phần tọa độ trọng tâm ở trên.
+ Mô men quán tính có tính chất cộng tức mô men quán tính của một hệ vật đối với một
trục quay thì bằng tổng mô men quán tính của các vật trong hệ đối với trục quay ấy.
+ Công thức định lí Steiner
2
G
I I md
∆
= +
với I
G
là mô men quán tính của vật đối với trục
quay đi qua khối tâm G của vật;
I
∆
là mô men quán tính của vật đối với trục
∆
song song
với trục đi qua khối tâm ở trên; m là khối lượng của vật ; d la khoảng cách hai trục kể

trên.
2. Các bài tập theo thứ tự từ tổng quát đến cụ thể, từ cơ bản đến ứng dụng và nâng
cao.
Bài 1: Xác định tọa độ trọng tâm.
Ví dụ 1: Xác định tọa độ trọng tâm của các vật đồng chất có khối lượng là
ρ
trên một
đơn vị phân bố tương ứng có hình dạng như sau
a. Đoạn dây hình cung, bán kính R, chắn góc
α
. Áp dụng cho đoạn dây nửa đường tròn
bán kính R.
b. Bản phẳng hình quạt bán kính R, góc ở tâm
α
. Áp dụng cho bản bán nguyệt bán kính
R.
c. Hình quạt cầu bán kính R, góc ở tâm là 2
α
. Áp dụng cho nửa hình cầu bán kính R.
Hướng dẫn: Với bài toán này giáo viên cần hướng dẫn cụ thể cách phân tích vi phân
chiều dài dl; vi phân diện tích dS (xem như có dạng hình chữ nhật); vi phân thể tích dV
(xem như có dạng hình hộp chữ nhật). Nhận xét do khối lượng phân bố đều trên các vi
phân tương ứng để chỉ ra vi phân dm nhằm giúp học sinh quen dần cách lập biểu thức
tính tích phân .
8
Giải tóm tắt:
a) Tọa độ trọng tâm của cung tròn
+ Do tính chất đối xứng nên vị trí khối tâm G của đoạn dây nằm trên trục Ox
+ Xét phần tử vi phân chiều dài rất bé
có độ dài và khối lượng tương ứng là

.
. .
dl R d
dm R d
ϕ
ρ ϕ
=


=

( Vì khối lượng phân bố theo chiều dài)
+Tọa độ khối tâm G
2 2 2
2
2 2 2
2 sin
1 1
2
. cos . os . os .
G
R
R
x dm R R c d c d
m m
α α α
α α α
α
ϕ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ

α α
− −
−
= = = =
∫ ∫ ∫
( với
. .m R
ρ α
=
)
+ Áp dụng cho đoạn dây nửa đường tròn
2
G
R
x
α π
π
= ⇒ =
b) Tọa độ trọng tâm của hình quạt.
+ Biện luận như câu a. Trọng tâm nằm trên trục Ox
+ Xét phần tử vi phân diện tích dS
giới hạn bởi hai đường tròn bán kính
r và (r + dr) có góc ở tâm là
d
ϕ
có
khối lượng tương ứng là dm với
9
O
R

x
d
α
R
α
O
C
x
r
dr
dφ
. . .
. . .
dS dl dr r d dr
dm dS r d dr
ϕ
ρ ρ ϕ
= =


= =

( Vì khối lượng phân bố theo diện tích)
+ Tọa độ khối tâm G
2
2
0
2
4. sin
1

2
. . os .
3
R
G
R
x r dr c d
m
α
α
α
ρ ϕ ϕ
α
−
= =
∫ ∫
(với
2
1
2
m R
ρα
=
)
+ Áp dụng cho hình bán nguyệt
4
3
G
R
x

α π
π
= ⇒ =
c) Tọa độ trọng tâm của hình quạt cầu.
+ Biện luận như câu a. Trọng tâm nằm trên trục Ox
+ Xét phần tử vi phân thể tích dV dạng
hình hộp chữ nhật tâm M ở cách O một
khoảng r, độ dài ba cạnh của hộp theo
tọa độ cực lần lượt là
dr ;
.r d
θ
;
cos .r d
θ ϕ
, có khối lượng tương
ứng dm với
2
2
os . . .
. os . . .
dV r c dr d d
dm dV r c dr d d
θ θ ϕ
ρ ρ θ θ ϕ

=


= =



+ Tọa độ khối tâm G
4
3 2
0
3
2
0
sin 2
os . os .
( )2sin
3 sin 2
4 2
(2 )
16
.2sin .2
. os .
3
R
G
R
R
r dr c d c d
R
x
R
r dr c d d
α α
α α

α α
α α
α
θ θ ϕ ϕ
α α
α
α
α α
θ θ ϕ
+ +
− −
+ +
− −
+
= = = +
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
10
+ Áp dụng cho nửa hình cầu
3
8
G
x R=
Ví dụ 2: Xác định tọa độ trọng tâm của các vật có hình dạng sau
a) Một tấm bìa mỏng đồng chất hình chữ nhật kích thước a.2a bị cắt đi một hình vuông ở
góc tấm bìa cạnh a/2.
b) Một đĩa tròn đồng chất bán kính R bị khoét đi một lỗ tròn bán kính r, biết khoảng cách
giữa hai tâm là a.
c) Gồm hai khối đồng chất một bán cầu và một khối trụ ghép với nhau. Biết bán kính mặt
cầu là R, khối trụ bán kính R độ cao h.

Hướng dẫn: Với bài toán này giáo viên cần hướng dẫn cụ thể cách sử dụng linh hoạt công
thức tính tọa độ trọng tâm( Hình nào cần tìm công thức tọa độ trọng tâm tổng, hình nào
cần tìm công thức tính tọa độ trọng tâm thành phần).
Giải tóm tắt:
a. Tấm bìa mỏng hình chữ nhật …
+ Nhận thấy miếng bìa còn lại là sự
ghép của một hình chữ nhật kích thước
a.1,5a và một hình vuông cạnh a/2 với
trọng tâm tương ứng lần lượt là G
1
và
G
2

+ Trục tọa độ Ox như hình vẽ. Tọa độ trọng tâm của miếng bìa còn lại
2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
2 2
1 2 1 2
(0,5 ) ( ) (0,5 )
5
0,16
1,5 (0,5 ) 14
G
a a a
m x m x S x S x
x a a
m m S S a a
+
+ +

= = = = ≈
+ + +
11
b. Đĩa tròn đồng chất bán kính R bị khoét…
+ Nhận thấy miếng bìa tròn ban đầu là sự
ghép bởi miếng bìa còn lại và miếng bìa
tròn bán kính r với trọng tâm ứng lần lượt
là G
1
và G
2

+ Trục tọa độ Ox như hình vẽ. Tọa độ
trọng tâm của miếng bìa tròn bán kính R
2 2 2
2
1 1 2 2 1 1 2 2 1
1
2 2 2
1 2 1 2
( ). . .
0
G
m x m x S x S x R r x r a r a
x x
m m S S R R r
π π
π
+ + − +
= = = = ⇒ = −

+ + −
( Do khối lượng phân bố đều trên diện tích nên
i i
m S:
)
c. Khối đồng chất một bán cầu và một khối trụ ghép với nhau …
+ Nhận thấy để hệ đứng ổn định thì trọng tâm của các khối
đó phải có vị trí thấp hơn vị trí tâm O của khối cầu.
+ Trục đối xứng là trục OM
≡
Ox.
Tọa độ trọng tâm của hệ thống
Với
3
1 1
2 3
;
3 8
V R x R
π
= = −
;
2
2 1
1
;
2
V R h x h
π
= =

và
i i
m V:
Thay số
2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
1 2 1 2
3( 2 )
4(2 3 )
G
m x m x V x V x R h
x
m m V V R h
+ + − −
= = =
+ + +
Bài 2: Xác định mô men quán tính
Ví dụ 1: Chứng minh các công thức sau
12
O
O
x
G
1
x
a. Định lí Steiner
2
G
I I md
∆

= +
b. Công thức tính mô men quán tính của thanh dài đồng chất tiết diện đều với trục quay
qua trọng tâm
2
1
12
G
I ml=
với m là khối lượng của vật, l là chiều dài của thanh.
c. Công thức tính mô men quán tính của vành tròn với trục quay qua trọng tâm
2
G
I mR=
với m là khối lượng của vật, R là bán kính của vành.
d. Công thức tính mô men quán tính của đĩa tròn đồng chất tiết diện đều với trục quay
qua trọng tâm
2
1
2
G
I mR=
với m là khối lượng của vật, R là bán kính của đĩa.
e. Công thức tính mô men quán tính của khối cầu đồng chất với trục quay qua trọng tâm
2
2
5
G
I mR=
với m là khối lượng của vật, R là bán kính khối cầu.
Hướng dẫn: Với bài toán này, GV nên yêu cầu và hướng dẫn học sinh cách sử dụng

phép tính tổng và cách phân tích các vi phân để sử dụng định nghĩa tích phân trong tính
toán.
Giải tóm tắt:
a. Chứng minh định lí Steiner
+Từ định nghĩa mô men quán tính
đối với trục quay cho trước
2
'2
G k k
k k
I m r
I m r
∆

=


=


∑
∑
+ Từ hình vẽ
13
X
r
k
X
k
G

d
r
'
k
y
k
y
d
Δ
Z
ΔC
α
r
k
r
'
k

,2 2 2 2 2
2 cos 2
k k k k k
r r d r d r d dy
α
= + − = + −
+ Mặt khác do khối tâm G là gốc hệ tọa độ nên tọa độ khối tâm y
G
=0 nên
2 2
. . 0 ( )
k k G k k

m y m y I m r d
∆
= = ⇒ = + ⇒
∑ ∑
2
G
I I md
∆
= +
(đpcm)
b. Chứng minh công thức mô men quán tính của thanh
2
1
12
G
I ml=
+ Gọi d
x
là một nguyên tố thanh có khối
lượng
m
d dx
ρ
=
đặt cách trọng tâm G
của thanh một đoạn x thì mô men quán
tính của nguyên tố này đối với trục
vuông góc với thanh và đi qua G
là
2 2

dI x dm x dx
ρ
= =
+ Mô men quán tính của thanh
2 2
2 2 2
0 0
1 1
2 2 . .
12 12
l l
I dI x dx l l ml
ρ ρ
= = = =
∫ ∫
(đpcm) ( với
m l
ρ
=
)
c. Chứng minh công thức mô men quán tính của vành tròn
2
G
I mR=
+ Xét vành tròn đồng tính có bề dày không
đáng kể, tỉ trọng dài
2 .m R
ρ π ρ
⇒ =

+ Gọi dx là một nguyên tố vành có
khối lượng
dm dx
ρ
=
đặt cách trọng
tâm G của vành một đoạn R thì mô
men quán tính của nguyên tố này
14
O
x
x
G
đối với trục vuông góc với mặt
phẳng vành và đi qua trọng tâm G là
2 2
.dI r dm r dx
ρ
= =
+ Mô men quán tính
2 2
2 3 2
0 0
2
R R
I dI r dx R mR
π π
ρ πρ
= = = =
∫ ∫

(đpcm)
d. Chứng minh công thức mô men quán tính của đĩa tròn
2
1
2
G
I mR=
Xét đĩa tròn đồng tính có bề dày
không đáng kể, tỉ trọng mặt
2
.m R
ρ π ρ
⇒ =

+ Gọi dS là một nguyên tố đĩa
có khối lượng
. .dm dS r dr d
ρ ρ ϕ
= =

đặt cách trọng tâm G của đĩa một
đoạn r thì mô men quán tính của
nguyên tố này đối với trục vuông góc với mặt phẳng đĩa và đi qua trọng tâm G là
2 3
. . .dI r dm r dr d
ρ ϕ
= =
+ Mô men quán tính
2
3 4 2

0 0
1 1
. .
2 2
R
I r dr d R mR
π
ρ ϕ πρ
= = =
∫ ∫
(đpcm)
15
φ
d
φ
dr
ds
r
M
C
O
x
z
G
e. Chứng minh công thức mô men quán tính của khối cầu
2
2
5
G
I mR=

+ Xét khối cầu đồng tính, tỉ trọng (khối lượng riêng)
3
4
3
m R
ρ π ρ
⇒ =
+ Gọi dV là một nguyên tố thể tích có khối
lượng
2
sin . . .dm dV r dr d d
ρ θ θ ϕ
= =
(vì tọa độ
của vị trí đặt dV trong tọa độ cầu là
sin . os
.sin .sin
cos
x r c
y r
z r
θ ϕ
θ ϕ
θ
=


=



=

đặt cách trọng tâm G của khối cầu một
đoạn r thì mô men quán tính của nguyên tố
này đối với trục của khối cầu và đi qua
trọng tâm G là
2 4 3
( sin ) . sin . . .dI r dm r dr d d
θ ρ θ θ ϕ
= =
+ Mô men quán tính
2
2
4 3 3 2
0 0 0
4 2 2
sin . .
3 5 5
R
R
I d r dr d R mR
π π
ρ ϕ θ θ πρ
= = =
∫ ∫ ∫
(đpcm)
Ví dụ 2: Xác định mô men quán tính của các vật có hình dạng, trục quay tương ứng như
sau
a. Đĩa tròn đồng chất bán kính R bị khoét đi lỗ tròn bán kính r, tâm cách tâm đĩa lớn đoạn a
với trục quay vuông góc với đĩa và đi qua tâm đĩa lớn, khối lượng m.

b. Quả cầu rỗng, mỏng, đồng chất khối lượng m, bán kính R với trục qua tâm.
16
y
c. Hình trụ đặc đồng chất, khối lượng m, bán kính đáy R, chiều cao h với trục đi qua hai
tâm. Từ đó suy ra mô men quán tính của vật rắn hình trụ rỗng đồng chất, khối lượng m,
bán kính đáy R, chiều cao h với trục đi qua hai tâm.
Hướng dẫn: Với bài toán này giáo viên cần hướng dẫn cụ thể cách sử dụng linh hoạt
công thức tính, tính chất cộng mô men quán tính, định lí Steiner để xác định mô men
quán tính của các vật rắn không có hình dạng cơ bản nhưng được tạo ra từ các hình cơ
bản.
Giải tóm tắt:
a. Đĩa tròn đồng chất bán kính R bị
khoét đi lỗ tròn bán kính r…
+ Mô men quán tính của đĩa lớn
2 4
1 1
1 1
2 2
I m R R
ρπ
= =
+ Mô men quán tính của đĩa nhỏ
2 2 4 2 2
2 2 2
1 1
2 2
I m r m a r r a
ρπ ρπ
= + = +
+ Mô men quán tính của phần còn lại

4 4 2 2 4 4 2 2
1 2
1 1 1
( ) ( )
2 2 2
I I I R r r a R r r a
ρπ ρπ ρπ ρπ ρπ
= − = − − = − +
Do
2 2
( )m R r
ρπ
= −
nên
2 2
4 4 2 2 2 2
2 2
1 1
( ) ( )
2 2
mr a
I R r r a m R r
R r
ρπ ρπ
= − + = + +
−
b. Quả cầu rỗng, mỏng, đồng chất khối lượng m…
+ Từ công thức tính mô men quán tính của quả cầu đặc
17
G

G
x
2 5
1 1
2 2 4
5 5 3
I m R R
ρ π
= =
+ Mô men quán tính của quả cầu rỗng giới hạn bởi hai mặt cầu bán kính R và r
2 2 5 5
2 1 2
2 2 2 4
( )
5 5 5 3
I m R m r R r
ρ π
= − = −
+ Do
3 3
1 2
4
( )
3
m m m R r
ρ π
= − = −
+
5 5 2 2
2 2

2
3 3 2 2
2 ( ) 2
( )
5 ( ) 5
R r R r
I m m R r
R r R Rr r
−
⇒ = = + −
− + +
+ với quả cầu mỏng R= r thay vào trên được
2
2
2
3
I mR=
c. Hình trụ đặc đồng chất, khối lượng m….
+ Xét phần tử là một lớp hình trụ mỏng giới hạn
bởi hai đường tròn bán kính r và ( r + dr) có thể tích
2. . . .dV r dr h
π
=
Do khối lượng phân bố đều theo thể tích nên
dV có khối lượng là
3
.
m m
dm dV dV
V R h

π
= =
+ Mô men quán tính
2 3 2
3
0 0
1
. 2 . .
2
R R
m
I dm r hr dr m R
R h
π
π
= = =
∫ ∫
Tương tự như cách xét với hình cầu mỏng bán kính R ta có mô men quán tính của hình
trụ rỗng khối lượng m, bán kính đáy R, chiều cao h với trục đi qua hai tâm là
2
.I m R=
.
Bài 3: Ứng dụng và nâng cao
Ví dụ 1: Hai thanh cứng nhẹ khối lượng không
18
B
A
O
O
O

x
đáng kể, có cùng chiều dài l. Hai đầu thanh
được hàn chặt với nhau vào vòng xuyến O, hai
đầu còn lại gắn với hai quả cầu nhỏ có khối
lượng bằng nhau và bằng m.
Ban đầu giữ cho hệ ở tư thế như hình vẽ với
·
0
60AOB =
, sau đó thả cho hệ quay trong mặt
phẳng thẳng đứng giả thiết hệ có thể quay không ma sát quanh trục nằm ngang qua O,
vòng xuyến có khối lượng không đáng kể, bỏ qua sức cản không khí và ma sát.Tìm lực do
trục quay tác dụng lên hệ tại O ngay sau khi thả.
Hướng dẫn: Ở bài này,giáo viên cần nhấn mạnh lại định nghĩa khối tâm để học sinh vận
dụng tìm khối tâm của hệ vật.
Giải tóm tắt:
+ Gọi
F
là lực do trục quay tác dụng lên hệ tại O ngay sau khi thả.
Ngay sau khi thả, hệ quay quanh trục O nên khối tâm của hệ là trung điểm của AB mà
AOB
∆
đều nên OG=R=
2
3l
+ Phương trình cơ bản của chuyển động
quay:






=++
=++
)2(2
)1(
21
///
21
G
OFOPOP
amFPP
IMMM
γ
(Với I=2ml
2
)
+ Thay số và chiếu được: mgl + mg
2
l
=I
19
B
A
O
x
a
y
a
G

a
Y
F
X
F
1
P
G
y
x
R
a
G

8
33
2
3
2
2
3
2
g
a
l
a
ml
mgl
G
G

=⇔=⇔

Ox : F
x
=2ma
x
; Oy : F
y
+ 2mg=2ma
y
+ Mặt khác:
yxG
aaa +=
và
AOB∆
đều nên a
x
=
2
G
a
; a
y
=a
G
2
3

Từ đó suy ra:








−=
=
8
7
8
33
mg
F
mgF
y
x
( Dấu trừ cho biết thành phần F
y
có hướng lên trên)
+ Độ lớn của lực do trục tác dụng lên hệ hai thanh: F=
mgFF
yx
4
19
22
=+

Về hướng
F

hợp với phương ngang một góc
α
xác định bởi tg
α
=
x
y
F
F
=
33
7
Ví dụ 2: Một hình trụ đặc đồng chất
có khối lượng m, bán kính R,
momen quán tính đối với trục đi qua
tâm là I, lăn không trượt trên mặt
phẳng nghiêng góc
α
.Vận tốc ban
đầu bằng không.
a.Chứng tỏ khối tâm của hình trụ chuyển
20
α
động nhanh dần đều, tính gia tốc của nó.
b.Tính giới hạn của góc
α
để hình trụ có thể lăn không trượt. Biết hệ số ma sát giữa hình
trụ và mặt phẳng nghiêng là
µ
.

Giải tóm tắt:
a.+ Định lí động năng :
P
đođ
AWW =−

P
đ
AW =⇔

α
ω
sin.
22
22
mgs
Imv
=+⇔
+ Hình trụ lăn không trượt nên:
R
v
=
ω
⇒

s
mR
I
g
vmgs

R
I
m
v
.
1
sin
2sin.)(
2
2
2
2
2
+
=⇔=+
α
α
+ Mặt khác v
2
=2a.s nên a=
2
1
sin
mR
I
g
+
α

Chuyển động của G là nhanh dần đều với gia tốc cho bởi: a=

2
1
sin
mR
I
g
+
α
.
b.+ Phương trình chuyển động :






=++
=++
)2(
)1(
///
γ
IMMM
amFNP
GFGNGP
Gms
ms
Với N=mgcos
α
suy ra: F

ms
.R=I
R
a

⇒
F
ms
=
m
I
R
Ig
+
2
sin.
α
21
N
α
ms
F
P
G
+ Mặt khác F
ms

max.ms
F≤
=

αµµ
cos.mgN =

αµ
α
cos
sin.
2
m
m
I
R
I
≤
+
⇔

2
0
( )
tan 3 tan
mR I
I
µ
α µ α
+
⇒ ≤ = =
nếu
0
αα

≤
thì hình trụ lăn không trượt
nếu
0
αα
>
thì hình trụ sẽ trượt tịnh tiến trên mặt phẳng nghiêng
IV. KÊT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC
Thông qua tiến hành nghiên cứu trên các lớp 12 khối A trong hai năm liên tục với đề tài
:“ Phát triển tư duy qua bài toán tìm tọa độ trọng tâm và mô men quán tính của vật
rắn”. Tôi đã thu được một số kết quả đó là đa số các em đã hiểu được bản chất vấn đề và
vận dụng linh hoạt kiến thức của hai vấn đề này vào các đề thi tuyển sinh, học sinh giỏi
các cấp.
Để chứng minh tôi xin đưa ra minh chứng sau:
Kết quả khảo sát chất lượng vật lí 12 đầu năm của ba lớp khối A của trường T.H.P.T
Bỉm Sơn năm 2010 về phần vật rắn.
Lớp
Số
bài
kiểm
tra
Giỏi Khá
Trung
bình
Yếu Kém
SL % SL % SL % SL % SL %
12A
2
42 0 0 10 23,8 20 47,
7

8 19 4 9,5
12A
4
44 1 2,3 13 29,5 18 38, 10 22, 3 6,8
22
7 7
12A7 45 4 8,9 18 40 20 44,
4
3 6,7 0 0

Kết quả khảo sát chất lượng vật lí 12 đầu năm của ba lớp khối A của trường T.H.P.T Bỉm
Sơn năm 2011 về phần vật rắn.
Lớp
Số
bài
kiểm
tra
Giỏi Khá
Trung
bình
Yếu Kém
SL % SL % SL % SL % SL %
12A
4
40 4 10 12 30 19 47,
5
5 12,
5
0 0
12A

8
45 6 13,3 17 37,
8
16 35,
6
6 13,
3
0 0
12A
9
48 8 16,7 21 43,
8
17 35,
4
2 4,1 0 0
Đối chứng kết quả kiểm tra cùng kì của hai năm học liên tiếp với chất lượng các lớp gần
như tương đương nhưng thực hiện hai cách dạy khác nhau. Năm 2010 dạy theo cách thừa
nhận công thức SGK, năm 2011 dạy theo cách hiểu bản chất cách thành lập công thức
tính thấy kết quả có chiều hướng tốt thể hiện ở tỉ lệ học sinh đạt điểm khá, giỏi tăng
mạnh, tỉ lệ yếu kém giảm nhưng không đáng kể. Điều này khẳng định tính phù hợp của
23
sáng kiến kinh nghiệm này trong việc làm tài liệu tham khảo cho các Thầy Cô khi giảng
dạy và các em học sinh khá giỏi.
24
C. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT:
1. Kết luận:
Thông qua tìm hiểu và phân tích kết quả của việc ứng dụng sáng kiến kinh nghiệm “Phát
triển tư duy học sinh khá, giỏi qua bài toán tìm tọa độ trọng tâm và mô men quán
tính của vật rắn” trong một số năm, đặc biệt là trên phạm vi rộng ở hai năm học 2010-
2011 và 2011-2012 tôi tự nhận thấy.

- Đối với giáo viên, sáng kiến kinh nghiệm này là một tài liệu quan trọng trong công
tác giảng dạy đội tuyển học sinh giỏi các cấp phần vật rắn vì nó góp phần giải quyết triệt
để các câu hỏi chốt trong các đề thi phần vật rắn.
- Đối với học sinh khá, giỏi, sáng kiến kinh nghiệm giúp cho các em kỹ năng tư duy,
suy luận lôgíc để chủ động, tự tin vào bản thân trong việc giải quyết các bài tập hay và
các hiện tượng vật lý khác mà các em sẽ gặp trong cuộc sống.
Từ kết quả nghiên cứu, bản thân tôi cũng đã rút ra các bài học kinh nghiệm sau:
- Đối với giáo viên, nhất là khi được dạy ở các lớp học sinh có năng lực thì phải
không ngừng tìm tòi, sáng tạo để nâng cao trình độ chuyên môn và nghiệp vụ sư phạm
cho bản thân, phải chú ý việc phát triển tư duy cho học sinh thông qua các bài giảng lí
thuyết, thông qua giải các bài tập từ đơn giản đến phức tạp. Từ đó tập cho các em cách
phân tích, tổng hợp, xử lí thông tin để hiểu sâu hơn, ham mê hơn môn học và ứng dụng
môn học vào cuộc sống. Tất nhiên cũng cần lựa chọn đối tượng để áp dụng sao cho hợp
lí, tránh ôm đồm.
- Đối với học sinh nếu muốn trở thành một học sinh giỏi thật sự thì ngoài khả năng của
bản thân cần phải rất chú ý ngay cả các bài giảng tưởng như đơn giản của Thầy cô. Bởi
25