Bộ công thức giải nhanh môn Lý luyện thi đại học cho chương trình thi đổi mới năm học 20142015

HỆ THỐNG LT – CT VẬT LÍ ÔN THI ĐẠI HỌC Thầy Khánh Uschool
Để theo dõi bài giảng trực tuyến và chữa ñáp án chi tiết bài tập các bạn truy cập www.uschool.vn
(ĐT: 09166.01248 - Facebook:Nguyễn Hồng Khánh)

1








1. KHÁI NIỆM DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
Dao ñộng là chuyển ñộng có giới hạn trong không gian lặp ñi lặp lại quanh một vị trí cân bằng.
Dao ñộng tuần hoàn là dao ñộng có trạng thái lặp lại như cũ sau khoảng thời gian bằng nhau.
Dao ñộng ñiều hòa là dao ñộng trong ñó li ñộ của vật là một hàm cosin( hay sin) của thời gian.
2. PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA.
Là nghiệm của phương trình vi phân:
2
'' . 0
x x
ω
+ =

Có dạng như sau:
cos( )( )
x A t cm
ω ϕ
= +

Trong ñó:

x
: Li ñộ
(
)
cm
, li ñộ là ñộ dời của vật so với vị trí cân bằng

A
: Biên ñộ
(
)
cm
( li ñộ cực ñại)

ω
: vận tốc góc( rad/s)

t
ω ϕ
+
: Pha dao ñộng ( rad/s )

ϕ
: Pha ban ñầu ( rad).

;
A
ω

là những hằng số dương;
ϕ
phụ thuộc vào cách chọn gốc thời gian, gốc tọa ñộ.
3. PHƯƠNG TRÌNH GIA TỐC, VẬN TỐC.
a. Phuơng trình vận tốc
(
)
/
v cm s


' .sin( )( / )
v x A t cm s
ω ω ϕ
= = − +
=
os( )( / )
2
A c t cm s
π
ω ω ϕ
+ +


ax
min
.
.
m
v A

v A
ω
ω
=


= −

(
ax
m
v
khi vật qua VTCB theo chiều dương;
min
v
khi vật qua VTCB theo chiều âm
Nhận xét: Trong dao ñộng ñiều hoà vận tốc sớm pha hơn li ñộ góc
2
π
.
b. Phuơng trình gia tốc a
2
( / )
m s


2 2 2
' . os( )( / ) .
a v A c t cm s x
ω ω ϕ ω

= = − + = −

=
2
os( )( / )
A c t cm s
ω ω ϕ π
+ +


2
ax
2
min
.
.
m
a A
a A
ω
ω

=


= −


( Gia tốc cực ñại tại biên âm, cưc tiểu tại biên dương)
Nhận xét: Trong dao ñộng ñiều hoà gia tốc sớm pha hơn vận tốc góc

π
2
và nguợc pha với li ñộ
4. CHU KỲ, TẦN SỐ.
A. Chu kỳ:
2
( )
t
T s
N
π
ω
= =
Trong
ñó: t là thời gian(s); N là số dao ñộng
“ Chu kỳ là thời gian ñể vật thực hiện ñược một dao ñộng hoặc thời gian ngắn nhất ñể trạng thái dao ñộng lặp lại như cũ.”
B. Tần số:
( )
2
N
f Hz
t
ω
π
= =

“T
ần số là số dao ñộng vật thực hiện ñược trong một giây( số chu kỳ vật thực hiện trong một giây).”

5. CÔNG THỨC ĐỘC LẬP THỜI GIAN:

+
2
2
cos( ) os ( ) (1)
x
x A t c t
A
ω ϕ ω ϕ
 
= + ⇒ + =
 
 

CHƯƠNG I: DAO ĐỘNG CƠ
******
BÀI 1: ĐẠI CƯƠNG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
www.TaiLieuLuyenThi.com
HỆ THỐNG LT – CT VẬT LÍ ÔN THI ĐẠI HỌC Thầy Khánh Uschool
Để theo dõi bài giảng trực tuyến và chữa ñáp án chi tiết bài tập các bạn truy cập www.uschool.vn
(ĐT: 09166.01248 - Facebook:Nguyễn Hồng Khánh)

2

+
2
2
. sin( ) sin ( ) (2)
v
v A t t
A

ω ω ϕ ω ϕ
ω
 
= − + ⇒ + =
 
 

+
2
2 2
2
. cos( ) os ( ) (3)
a
a A t c t
A
ω ω ϕ ω ϕ
ω
 
= − + ⇒ + =
 
 


Ta lại có:
2 2
os ( ) sin ( ) 1
c t t
ω ϕ ω ϕ
+ + + =

Lấy (1) +(2) ta có:
2
2 2
2
2 2
2
2
ax
( )
1
.
1( )
m
v
A x I
x v
A A
x v
II
A v
ω
ω

= +


   
+ = ⇒

   

 
   
 

+ =
 
 

 
 


Lấy (2) + (3) ta có:
2 2
2
4 2
2 2
2 2
2
ax ax
( )
1
. .
1( )
m m
a v
A III
v a
A A
v a

IV
v a
ω ω
ω ω

= +


   
+ = ⇒

   
   
   

+ =
   

   


6. TỔNG KẾT
a. Mô hình dao ñộng


A

CB
1
A

+





V < 0
x > 0

V > 0

(+)
A - A
a < 0
a > 0
V T


CB

Xét x
Xét V
Xét a
x < 0

V

max

a = 0

V

min


Nhận xét:
+ Một chu kỳ dao ñộng vật ñi ñược quãng ñuờng là
4
S A
=

+ Chiều dài quĩ ñạo chuyển ñộng của vật là
2
L A
=

+ Vận tốc ñổi chiều tại vị trí biên, ñạt cực ñại tại CB theo chiều dương, cực tiểu tại CB theo chiều âm
+ Gia tốc ñổi và luôn hướng về vị trí cân bằng. Gia tốc cực ñại tại vị trí biên âm, cực tiểu tại vị trí biên dương,
www.TaiLieuLuyenThi.com
HỆ THỐNG LT – CT VẬT LÍ ÔN THI ĐẠI HỌC Thầy Khánh Uschool
Để theo dõi bài giảng trực tuyến và chữa ñáp án chi tiết bài tập các bạn truy cập www.uschool.vn
(ĐT: 09166.01248 - Facebook:Nguyễn Hồng Khánh)

3




I. BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG
Bước 1: Phương trình dao ñộng có dạng

cos( )( )
x A t cm
ω ϕ
= +

Bước 2: Giải
; ;
A
ω ϕ

+ Tìm A:

2 2 2 2
2
ax ax ax
2 2 4 2
ax
4 2
m m m
m
S L v a v v a v
A x
a
ω ω ω ω ω
= = = = = = + = +

Trong ñó:
+ L là chiều dài quỹ ñạo của dao ñộng
+ S là quãng ñường vật ñi ñược trong một chu kỳ
+ Tìm

ω
:
2
ax ax ax
2 2
ax
2
2
m m m
m
a v a
v
f
T A A v A x
π
ω π
= = = = = =
−

+ Tìm
ϕ
:Vòng luợng giác (VLG)

- A A
v < 0
v > 0



ϕ = 0

- A
A

VTB( +) ⇒
⇒⇒
⇒ ϕ
ϕϕ
ϕ = 0 rad


A/2( -)
- A
A
ϕ = π/3


A/2 ( -) ⇒
⇒⇒
⇒ ϕ
ϕϕ
ϕ = π
ππ
π/3 rad

- A
A A/2 (+)
ϕ = - π/3

A/2 ( +) ⇒
⇒⇒

⇒ ϕ
ϕϕ
ϕ = - π
ππ
π/3 rad

- A
A
- A/2 (+)
ϕ = - 2π/3

- A/2 (+) ⇒
⇒⇒
⇒ ϕ
ϕϕ
ϕ = - 2π
ππ
π/3 rad


- A
A
A 3 /2 (+)

ϕ
= -
π
/6

A. 3 /2 ( +) ⇒

⇒⇒
⇒ ϕ
ϕϕ
ϕ = -
π
ππ
π
6
rad
Buớc 3: Thay kết quả vào phuơng trình.
II. ĐỒ THỊ DAO ĐỘNG

x
t

A

-A

Đồ thị của li ñộ theo thời gian
ñồ thị x - t
Đồ thị của vận tốc theo thời gian
ñồ thị v - t
v

t

Aω
ωω
ω

-Aω
ωω
ω

Đồ thị của gia tốc thời gian
ñồ thị a - t
a
x
A
-A

A .
ω
ωω
ω
2



- A .
ω
ωω
ω
2



x
v

A. ω
- A.
ω

A - A

v
a
A. ω
2


- A. ω
2



- A. ω
- A.
ω


Đồ thị của gia tốc theo li ñộ
ñồ thị a -x
Đồ thị của vận tốc theo li ñộ
ñồ thị x -v
Đồ thị của gia tốc theo vận tốc
ñồ thị v -a
t

ω
ωω
ω
2

A

ω
ωω
ω
2

A

a

BÀI 2: BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
www.TaiLieuLuyenThi.com
HỆ THỐNG LT – CT VẬT LÍ ÔN THI ĐẠI HỌC Thầy Khánh Uschool
Để theo dõi bài giảng trực tuyến và chữa ñáp án chi tiết bài tập các bạn truy cập www.uschool.vn
(ĐT: 09166.01248 - Facebook:Nguyễn Hồng Khánh)

4





1. MỐI LIỆN HỆ GIỮA CHUYỂN ĐỘNG TRÒN ĐỀU VÀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA.

(
)
0
t s
=
x

A

A
ϕ

Tại
(
)
0
t s
=
ta có:
os . os
x
c x Ac
A
ϕ ϕ
=
⇒
=

(
)
0
t s
=
x
A

ω

.
t
ω

(
)
t s

ϕ


Tại
(
)
t s
ta có:
( )
os

x
c t
A
ω ϕ
+ =

(
)
cosx A t
ω ϕ
⇒ = +

Kết luận: Ta có thể coi hình chiếu của một vật chuyển ñộng tròn ñều lên trục cos là một dao ñộng ñiều hòa.

2. ỨNG DỤNG 1: BÀI TOÁN TÌM THỜI GIAN NHỎ NHẤT VẬT ĐI TỪ M ĐẾN N

Bước 1: Xác ñịnh góc
ϕ
∆

Bước 2:
. .
2 2 . 360
o
o
T T
t
f
ϕ ϕ ϕ ϕ
ω π π

∆ ∆ ∆ ∆
∆ = = = =

Trong ñó:
-
ω
: Là tần số góc
-
T
: Chu kỳ
-
f
: Là tần số dao ñộng
-
ϕ
: là góc tính theo rad;
o
ϕ
là góc tính theo ñộ


(
)
1
t s

M

A

ω

.
t
ϕ ω
∆ = ∆
(
)
2
t s

N





ỨNG DỤNG 2: BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH QUÃNG ĐƯỜNG.
Loại 1: Bài toán xác ñịnh quãng ñường vật ñi ñược trong khoảng thời gian
t T
∆ <
kể từ ban ñầu.
BÀI 3: ỨNG DỤNG VÒNG LƯỢNG GIÁC
TRONG GIẢI TOÁN DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA – Phần 1
BÀI 4: ỨNG DỤNG VÒNG LƯỢNG GIÁC
TRONG GIẢI TOÁN DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA – Phần 2
www.TaiLieuLuyenThi.com
HỆ THỐNG LT – CT VẬT LÍ ÔN THI ĐẠI HỌC Thầy Khánh Uschool
Để theo dõi bài giảng trực tuyến và chữa ñáp án chi tiết bài tập các bạn truy cập www.uschool.vn
(ĐT: 09166.01248 - Facebook:Nguyễn Hồng Khánh)

5

Bước 1: Tính
; .
t
ϕ ϕ ω
∆ ∆ = ∆

Bước 2: Xoay thêm góc
ϕ
∆
kể từ vị trí
(
)
0
t s
=

Bước 3: Tính quãng ñường bằng cách lấy hình chiếu trên trục cos.

(
)
1
t s
M
A
ω

.

t
ϕ ω
∆ = ∆

(
)
2
t s

N



Loại 2: Bài toán xác ñịnh quãng ñường vật ñi ñược trong khoảng thời gian từ
1
t
ñến
2
t
.
Bước 1: Tìm
(
)
2 1
;
t t t t
∆ ∆ = −
;
2
T

π
ω
=

Bước 2:
3 2 1 3
. .
t
t nT t t t n T t
T
∆
⇒
∆ = +
⇒
= + +

Bước 3: Tìm quãng ñường.
3
.4
S n A S
= +

Bước 4: Tìm
3
S
;
3
S
là quãng ñường ứng với thời gian
3

t
kể từ
1
t

Bước 5: thay
3
S
vào S ñể tìm ra ñược quãng ñường.


A
B
n.T
⇒
⇒⇒
⇒
S

1
= n.4.A
t

3

S

3

Loại 3: Bài toán quãng ñường cực ñại - cực tiểu:
ax min
m
S S
−
.
Dạng 1: Bài toán xác ñịnh
ax min
m
S S
−
vật ñi ñược trong khoảng thời gian
2
T
t t
 
∆ ∆ <
 
 


A - A
S

max




A. Tìm S

max
:
ax
2.Asin
2
m
S
ϕ
=
với
(
)
.
t
ϕ ω
= ∆



A - A
S

min




B. Tìm Smin
min

2 . os
2
S A A c
ϕ
 
= −
 
 
Với
(
)
.
t
ϕ ω
= ∆


Dạng 2: Tìm
ax min
m
S S
−
vật ñi ñược trong khoảng thời gian
t
∆
với
2
T
T t
 

> ∆ >
 
 

www.TaiLieuLuyenThi.com
HỆ THỐNG LT – CT VẬT LÍ ÔN THI ĐẠI HỌC Thầy Khánh Uschool
Để theo dõi bài giảng trực tuyến và chữa ñáp án chi tiết bài tập các bạn truy cập www.uschool.vn
(ĐT: 09166.01248 - Facebook:Nguyễn Hồng Khánh)

6



A - A

S

max



A. Tìm
ax
m
S

ax
2
2 cos
2

m
S A A
π ϕ
− ∆
 
= +
 
 
Với
(
)
.
t
ϕ ω
∆ = ∆



A - A
S

min



B. Tìm
min
S

min

2
4 2.Asin
2
S A
π ϕ
− ∆
= −
Với
(
)
.
t
ϕ ω
∆ = ∆

BẢNG TÍNH NHANH CÁC GIÁ TRỊ CỰC ĐẠI - CỰC TIỂU CỦA QUÃNG ĐƯỜNG

t
∆

6
T

4
T

3
T

2

T

2
3
T

3
4
T

5
6
T

T

ax
m
S

A

2
A

3
A

2
A

2
A A
+

2 2
A A+

2 3
A A
+

4
A

min
S

2 3
A A
−

2 2
A A−

A

2
A

4 3
A A
−

4 2
A A−

3
A

4
A


Dạng 3: Tìm
ax min
m
S S
−
vật ñi ñược trong khoảng thời gian
t
∆
với
(
)
t T
∆ >

+)
ax

m
S
:
*
.
t nT t
∆ = +
( )
*
ax
ax
.4
m
m t
S n A S⇒ = +

+)
*
min
; .
S t nT t
∆ = +
( )
*
min
min
.4
t
S n A S
⇒

= +






ỨNG DỤNG 3: BÀI TOÁN TÍNH TỐC ĐỘ TRUNG BÌNH - VẬN TỐC TRUNG BÌNH
DẠNG 1: TỐC ĐỘ TRUNG BÌNH.
A. Tổng quát.

S
v
t
=
∆
Trong ñó: S là quãng ñường ñi ñược,
t
∆
là khoảng thời gian ñể ñi quãng ñường S
B. Bài toán tính tốc ñộ trung bình cực ñại của vật trong khoảng thời gian
t
∆
.

ax
ax
m
m
S

v
t
=
∆

C. Bài toán tính tốc ñộ trung bình nhỏ nhất vật trong khoảng thời gian
t
∆
.

min
min
S
v
t
=
∆


DẠNG 2: BÀI TOÁN TÍNH VẬN TỐC TRUNG BÌNH.

tb
x
v
t
∆
=
∆
Trong ñó:
x

∆
là ñộ biến thiên ñộ dời của vật:
2 1
x x x
∆ = −


t
∆
là ñộ biến thiên thời gian:
2 1
t t t
∆ = −

ỨNG DỤNG 4: BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH THỜI ĐIỂM VẬT QUA VỊ TRÍ M CHO TRƯỚC.
BÀI 5: ỨNG DỤNG VÒNG LƯỢNG GIÁC
TRONG GIẢI TOÁN DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA – Phần 3
www.TaiLieuLuyenThi.com
HỆ THỐNG LT – CT VẬT LÍ ÔN THI ĐẠI HỌC Thầy Khánh Uschool
Để theo dõi bài giảng trực tuyến và chữa ñáp án chi tiết bài tập các bạn truy cập www.uschool.vn
(ĐT: 09166.01248 - Facebook:Nguyễn Hồng Khánh)

7

Ví dụ: Một vật dao ñộng ñiều hòa với phương trình
( )
4cos 6
3
x t cm
π

π
 
= +
 
 
.
A. Xác ñịnh thời ñiểm vật qua vị trí
(
)
2
x cm
=
theo chiều dương lần thứ 2 kể từ thời ñiểm ban ñầu.

Hướng dẫn:

- Vật qua vị trí
(
)
2( )
x cm
= +


6 .2
3 3
t k
π π
π π
+ = − +

2
6 .2
3
t k
π
π π
⇒
= − +

1
0
9 3
k
t
= − + ≥
vậy
(
)
1;2;3
k =
( vì
0( )
t s
≥
)

-
4
4 2 (+)

ϕ
= -
π
/3

-Vật ñi qua lần thứ 2, ứng với
2
k
=


( )
1 2 5
9 3 9
t s
⇒
= − + =

B. Thời ñiểm vật qua vị trí
(
)
2 3
x cm
= theo chi
ều âm lần 3 kể từ
(
)
2
t s

=
H
ướng dẫn:
- Vật qua vị trí
(
)
2 3
x cm
=
theo chiều âm:

6 .2
3 6
t k
π π
π π
⇒
+ = +
6 .2
6
t k
π
π π
⇒
= − +

1
36 3
k
t

⇒
= − +
Vì
(
)
2
t s
≥


1
2
36 3
k
t
⇒
= − + ≥
vậy
(
)
7;8;9
k =


- 4
4
2 3

ϕ
=

π
/6

- Vật ñi qua lần thứ 3, ứng với
9
k
=
( )
1 9
2,79
36 3
t s
⇒ = − + =

ỨNG DỤNG 5: BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH SỐ LẦN VẬT QUA VỊ TRÍ
M
X
CHO TRƯỚC TRONG KHOẢNG
THỜI GIAN “t”
Ví dụ: Một vật dao ñộng ñiều hòa với phương trình
( )
6cos 4
3
x t cm
π
π
 
= +
 
 

. Trong một giây ñầu tiên vật qua vị trí
cân bằng bao nhiêu lần:
Hướng dẫn:
Cách 1: Đếm trên ñường tròn lượng giác
Mỗi dao ñộng vật qua vị trí cân bằng 2 lần ( 1 lần theo chiều âm - 1 lần
theo chiều dương)
1 s ñầu tiên vật thực hiện ñược số dao ñộng là:
( )
2
2
f Hz
ω
π
= =

⇒ Số lần vật qua vị trí cân bằng trong s ñầu tiên là:
2.
n f
=
=4.
Vật qua vị trí cân bằng 4 lần.


- A
A
t = 0

Cách 2: Gi
ải lượng giác
Vật qua vị trí cân bằng

www.TaiLieuLuyenThi.com
HỆ THỐNG LT – CT VẬT LÍ ÔN THI ĐẠI HỌC Thầy Khánh Uschool
Để theo dõi bài giảng trực tuyến và chữa ñáp án chi tiết bài tập các bạn truy cập www.uschool.vn
(ĐT: 09166.01248 - Facebook:Nguyễn Hồng Khánh)

8


4 .
3 2
t k
π π
π π
⇒ + = +

4 .
6
t k
π
π π
⇒ = +

⇒
1
24 4
k
t
= +

Trong một giây ñầu tiên

(
)
(
)
0 1
t s
≤ ≤


1
0 1
24 4
k
t
≤ = + ≤
0,167 3,83
k
⇒
− ≤ ≤
(
)
0;1;2;3
k⇒ =
Vậy vật qua vị trí cân bằng 4 lần.



1. CẤU TẠO

A

CB
A
−
K

m
+


+ Gồm một lò xo có ñộ cứng K
+Vật nặng khối lượng
2. THÍ NGHIỆM CON LẮC LÒ XO TRÊN MẶT PHẲNG NGANG.
- Thí nghiệm ñược thực hiện trong ñiều kiện chuẩn, không ma sát với môi trường.
- Kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng một khoảng A và thả không vận tốc ñầu, ta có:
Phương trình dao ñộng có dạng như sau:
cos( )( )
x A t cm
ω ϕ
= +

Trong ñó:

x
: Li ñộ, li ñộ là khoảng cách từ vật ñến vị trí cân bằng

A
: Biên ñộ ( li ñộ cực ñại)

ω

: vận tốc góc( rad/s)

t
ω ϕ
+
: Pha dao ñộng ( rad/s )

ϕ
: Pha ban ñầu ( rad).

;
A
ω
là những hằng số dương;
ϕ
phụ thuộc vào cách chọn gốc thời gian, gốc tọa ñộ.

3. CHU KỲ - TẦN SỐ
A. Tần số góc -
(
)
/
rad s
ω


( )
/
ω
=

K
rad s
m
Trong ñó: K là ñộ cứng của lò xo
(
)
/
N m
; m là khối lượng của vật
(
)
kg

B. Chu kỳ -
(
)
T s
: Là thời gian ñể con lắc thực hiện một dao ñộng

( )
2
2
π
π
ω
= = =
m t
T s
K N

C. Tần số -
(
)
f Hz
: Là số dao ñộng con lắc thực hiện ñược trong 1s
⇒
⇒⇒
⇒
( )
1
2 2
ω
π π
= = =
K N
f Hz
m t


4. LÒ XO TREO THẲNG ĐỨNG.
BÀI 6: CON LẮC LÒ XO
www.TaiLieuLuyenThi.com
HỆ THỐNG LT – CT VẬT LÍ ÔN THI ĐẠI HỌC Thầy Khánh Uschool
Để theo dõi bài giảng trực tuyến và chữa ñáp án chi tiết bài tập các bạn truy cập www.uschool.vn
(ĐT: 09166.01248 - Facebook:Nguyễn Hồng Khánh)

9


C B

0
ℓ

∆
ℓ


A
−

A

P


D H
F


Tại vị trí cân bằng:
dh
P F
=

2
.
mg K
K g
m

K g
m
ω
ω
⇒ = ∆
⇒ = =
∆
⇒ = =
∆
ℓ
ℓ
ℓ

⇒
( )
2 2
m t
T s
K g N
π π
∆
= = =
ℓ


⇒
( )
1 1
2 2
K g N

f Hz
m t
π π
= = =
∆
ℓ

5. BÀI TOÁN GHÉP VẬT
Bài 1: Lò xo K gắn vật nặng có khối lượng là
1
m
thì dao ñộng với chu kỳ
1
T
. Còn khi gắn vật khối lượng
2
m
thì dao
ñộng với chu kỳ
2
T
.
a. Xác ñịnh chu kỳ dao ñộng của vật khi gắn vật có khối lượng
1 2
m m m
= +

b. Xác ñịnh chu kỳ dao ñộng của vật khi gắn vật có khối lượng
1 2

n
m m m m
= + + +

c. Xác ñịnh chu kỳ dao ñộng của vật khi gắn vật có khối lượng
1 2
. .
m a m b m
= +

Hướng dẫn:
Ta có:
1 2
1 2
2 ; 2
m m
T T
K K
π π
= =

a. Khi
1 2
m m m
= +
1 2
2
m m
T
K

π
+
⇒ =

(
)
1 2
2 2 2 2 2 2
1 2
1 2
4 4 4
π π π
+
⇒ = = + = +
m m
m m
T T T
K K K

⇒
2 2
1 2
T T T
= +

b. Khi
1 2

n
m m m m

= + + +
1 2

2
n
m m m
T
K
π
+ + +
⇒
=

(
)
1 2
2 2 2 2 2 2 2 2
1 2
1 2

4 4 4 4
π π π π
+ + +
⇒ = = + + + = + + +
n
n
n
m m m
m
m m

T T T T
K K K K

⇒
2 2 2
1 2

n
T T T T
= + + +

c.Khi
1 2
. .
m a m b m
= +
1 2
2
am bm
T
K
π
+
⇒ =

(
)
1 2
2 2 2 2 2 2
1 2

1 2

. .
4 4 4 . .
π π π
+ + +
⇒ = = + = +
n
m m m
a m b m
T a T bT
K K K

⇒
2 2
1 2
. .
T aT bT
= +

Bài 2: Lò xo K gắn vật nặng có khối lượng là
1
m
thì dao ñộng với tần số
1
f
. Còn khi gắn vật khối lượng
2
m
thì dao ñộng

với tần số
2
f
.
a. Xác ñịnh tần số dao ñộng của vật khi gắn vật có khối lượng
1 2
m m m
= +

b. Xác ñịnh tần số dao ñộng của vật khi gắn vật có khối lượng
1 2

n
m m m m
= + + +

c. Xác ñịnh tần số dao ñộng của vật khi gắn vật có khối lượng
1 2
. .
m a m b m
= +

H
ướng dẫn:
www.TaiLieuLuyenThi.com
HỆ THỐNG LT – CT VẬT LÍ ÔN THI ĐẠI HỌC Thầy Khánh Uschool
Để theo dõi bài giảng trực tuyến và chữa ñáp án chi tiết bài tập các bạn truy cập www.uschool.vn
(ĐT: 09166.01248 - Facebook:Nguyễn Hồng Khánh)

10

Ta có:
1 2
1 2
1 1
. ; .
2 2
K K
f f
m m
π π
= =

a. Khi
1 2
m m m
= +

2 2
2
2 2 2 2
1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
1 1 1 1 1
. 2. 4 . 4
2
π π π
π
   
 

+
⇒ = ⇒ = ⇒ = + = + = +
   
 
+
 
   
m m m mK
f T T
m m f K f K K f f

⇒
1 2
2 2
1 2
.f f
f
f f
=
+

b.Khi
1 2

n
m m m m
= + + +

2
2 2 2

1 2
1 2
1 2

1 1 1
. 2. 4 . 4 4
2
π π π π
π
 
+ + +
⇒ = ⇒ = ⇒ = + + +
 
+ + +
 
n n
n
m m m m
m mK
f
m m m f K f K K K

⇒
2
2 2
2
2 2 2
1 2
1 2
1 1 1 1

 
   
 
= + + + = + + +
 
   
 
 
   
 
n
n
T T T
f f f f

d. Khi
1 2
. .
m a m b m
= +

2
2 2
1 2 1 2
1 2
. .
1 1 1
. 2. 4 . 4
2 . .

π π π
π
 
+
⇒ = ⇒ = ⇒ = +
 
+
 
am bm a m b m
K
f
a m b m f K f K K

⇒
2 2
2
2 2
1 2
1 2
1
. .
   
 
= + = +
   
 
 
   
a b
a T bT

f f f




1. CẮT LÒ XO
+ Cho lò xo ban ñầu có ñộ cứng
o
K
và ñộ dài
o
ℓ
, cắt lò xo làm n ñoạn.
Ta có công thức tổng quát sau:
1 1 2 2
. . . . .
o o n n
K K K K E S
= = = = =
ℓ ℓ ℓ ℓ


+ Trường hợp cắt làm hai ñoạn:
1 1 2 2
. . .
o o
K K K= =
ℓ ℓ ℓ

1 2

2 1
K
K
⇒ =
ℓ
ℓ

Nhận xét: Lò xo có ñộ dài tăng bao nhiêu lần thì ñộ cứng giảm ñi bấy
nhiêu lần và ngược lại.

l

o
, K

o

l

1
, K

1

L

2
, K

2

L

3
, K

3



2. GHÉP LÒ XO
a. Trường hợp ghép nối tiếp:



K

1

K

2

m




K

1

K

2





BÀI 7: CẮT - GHÉP LÒ XO
www.TaiLieuLuyenThi.com
HỆ THỐNG LT – CT VẬT LÍ ÔN THI ĐẠI HỌC Thầy Khánh Uschool
Để theo dõi bài giảng trực tuyến và chữa ñáp án chi tiết bài tập các bạn truy cập www.uschool.vn
(ĐT: 09166.01248 - Facebook:Nguyễn Hồng Khánh)

11
Công thức xác ñịnh ñộ cứng có bộ lò xo
1 2
1 1 1 1

n
K K K K
= + + +

Nếu có 2 lò xo ghép nối tiếp:
1 2
1 1 1
K K K
= +

1 2
1 2
.
K K
K
K K
⇒ =
+


Công thức xác ñịnh chu kỳ:
(
)
T s


( )
( )
1 2
1 2
2 2
.
b
m K K
m
T s
K K K
π π
+

= =

Công thức xác ñịnh tần số:
(
)
f Hz

( )
( )
1 2
1 2
1 1 .
2 2
b
K K K
f Hz
m m K K
π π
= =
+


b. Trường hợp ghép song song


K

1

K

2



K

1

K

2





K

1

K

2

Công thức xác ñịnh ñộ cứng của bộ lò xo:
1 2

b n
K K K K
= + + +

Nếu có 2 lò xo ghép song song:
1 2
b
K K K
= +


Công thức xác ñịnh chu kỳ:
( )
1 2
2 2
b
m m
T s
K K K
π π
= =
+

Công thức xác ñịnh tần số:
( )
1 2
1 1

2 2
K K K
f Hz
m m
π π
+
= =



Bài toán 1: Một vật khối lượng m, nếu ñược gắn vào lò xo 1 có ñộ cứng
1
K
thì chu kỳ dao ñộng là
1
T
. Nếu ñược
gắn lò xo 2 có ñộ cứng là
2
K
thì chu kỳ dao ñộng là
2
T
.
a. Nếu 2 lò xo mắc nối nối tiếp, chu kỳ dao ñộng của bộ lò xo T là bao nhiêu?
b. Nếu 2 lò xo mắc song song, chu kỳ dao ñộng của bộ lò xo T là bao nhiêu?
Hướng dẫn:
Ta có:
1 2
1 2

2 ; 2
m m
T T
K K
π π
= =

a. Khi hai lò xo mắc nối tiếp

( ) ( )
1 2 2 2 1 2 2 2 2 2
1 2
1 2 1 2 2 1
2 4 4 . 4
. .
m K K m K K
m m
T T T T
K K K K K K
π π π π
+ +
=
⇒
= = + = +
⇒
2 2 2
1 2
T T T
= +

b. Khi hai lò xo mắc song song

( )
( )
( )
1 2
1 2
1 2
1 1 1
2
2
2
K K
m
T
K K T m
m
K K
π
π
π
+
= ⇒ = =
+
+

2 2
2 2
1 2
2 2

1 2
1 1 1 1 1 1
. .
4 4
K K
T m m T T T
π π
   
   
⇒ = + ⇒ = + ⇒
   
   
   
   
1 2
2 2
1 2
.T T
T
T T
=
+

Bài toán 2: M
ột vật khối lượng m, nếu ñược gắn vào lò xo 1 có ñộ cứng
1
K
thì t
ần số dao ñộng là
1

f
. N
ếu ñược gắn
lò xo 2 có ñộ cứng là
2
K
thì t
ần số dao ñộng là
2
f
.
www.TaiLieuLuyenThi.com
HỆ THỐNG LT – CT VẬT LÍ ÔN THI ĐẠI HỌC Thầy Khánh Uschool
Để theo dõi bài giảng trực tuyến và chữa ñáp án chi tiết bài tập các bạn truy cập www.uschool.vn
(ĐT: 09166.01248 - Facebook:Nguyễn Hồng Khánh)

12
c. Nếu 2 lò xo mắc nối nối tiếp, tần số dao ñộng của bộ lò xo
f
là bao nhiêu?
d. Nếu 2 lò xo mắc song song, tần số dao ñộng của bộ lò xo
f
là bao nhiêu?
Hướng dẫn:
Ta có:
1 2
1 2
1 1
;
2 2

K K
f f
m m
π π
= =

c. Khi hai lò xo m
ắc nối tiếp

( )
1 2
1 2
1 .
2
K K
f
m K K
π
=
+

( ) ( )
2
1 2 1 2
2 2 2 2 2
1 2
1 2 1 2 2 1
1 1
2 4 4 . 4
. .

m K K m K K
m m
T T
f K K f K K K K
π π π π
+ +
 
⇒ = ⇒ = = + = +
 
 

2 2
2
1 2
1 1 1
f f f
   
 
⇒ = +
   
 
 
   
⇒
1 2
2 2
1 2
.f f
f
f f

=
+

d. Khi hai lò xo mắc song song

( )
1 2
1
2
K K
f
m
π
+
=
( )
2
1 2
2 2
1 1
. .
4 4
K K
f
m m
π π
⇒ = +
⇒
2 2 2
1 2

f f f
= +





1.CON L
ẮC LÒ XO TREO THẲNG ĐỨNG


+

A

A
−
CB
0
ℓ
Trường hợp 1
A
< ∆
ℓ

∆
ℓ

Trường hợp 2
A
≥ ∆
ℓ

CB
0
ℓ
∆
ℓ


A
−

A


A. Chiều dài lò xo:
+ Gọi
0
ℓ
là chiều dài tự nhiên của lò xo
+
ℓ
là chiều dài khi con lắc ở vị trí cân bằng:
0
+
=

△
ℓ ℓ ℓ


+
X
ℓ
là chiều dài của lò xo tại vị trí có li ñộ
x
:
0x
x
= + ∆ +
ℓ ℓ ℓ

BÀI 8: CHIỀU DÀI LÒ XO - LỰC ĐÀN HỒI -PHỤC HỒI
www.TaiLieuLuyenThi.com
HỆ THỐNG LT – CT VẬT LÍ ÔN THI ĐẠI HỌC Thầy Khánh Uschool
Để theo dõi bài giảng trực tuyến và chữa ñáp án chi tiết bài tập các bạn truy cập www.uschool.vn
(ĐT: 09166.01248 - Facebook:Nguyễn Hồng Khánh)

13
+ A là biên ñộ của con lắc khi dao ñộng.
max
min
o
o
A
A
= + ∆ +


⇒

= + ∆ −

ℓ ℓ ℓ
ℓ ℓ ℓ


B.Lực ñàn hồi:
(
)
(
)
.
dh
F K x N
= − ∆

Chiều dương hướng xuống:
x x
∆ = ∆ +
ℓ
; Chiều dương hướng lên:
x x
∆ = −∆ +
ℓ
;
Giả sử gốc tọa ñộ tại vị trí cân bằng; chiều dương hướng xuống.
Về ñộ lớn của lực ñàn hồi:

(
)
(
)
(
)
dh
F K x K x N
= − ∆ = ∆ +
ℓ

(
)
(
)
maxdh
F K A N
= ∆ +
ℓ


(
)
(
)
( )
min
0
( )
dh

N Khi A
F
K A Khi A

∆ ≤

=

∆ − ∆ >


ℓ
ℓ ℓ

Về chiều của lực ñàn hồi:
Lực ñàn hồi có phương dọc theo trục lò xo và chiều luôn hướng về vị trí lò xo không biến dạng
0
ℓ
, khi lò xo dãn lực ñàn
hồi là lực kéo, còn khi lò xo nén lực ñàn hồi là lực ñẩy.
C.Lực phục hồi ( Lực kéo về - Tổng hợp lực- Lực gây ra dao ñộng – Lực tác dụng lên vật)
(
)
2
. . . .
ph
F m a m x K x N
ω
= = − = −

Về ñộ lớn lực phục hồi:
(
)
2
. . . .
ph
F m a m x K x N
ω
= = − = −

Về chiều lực phục hồi: Lực phục hồi cùng chiều với gia tốc,tức là luôn hướng về vị trí cân bằng( Vì vậy ta thấy vật có
xu hướng bị kéo về vị trí cân bằng)

Nhận xét: Trường hợp lò xo treo thẳng ñứng lực ñàn hồi và lực phục hồi khác nhau.

*** Đặc biệt khi
A
> ∆
ℓ
ta có:
+
(
)
(
)
é
n n
F K x N
= − ∆ℓ
Trong ñó:

x
> ∆
ℓ


⇒

(
)
(
)
én axn m
F K A N
= − ∆
ℓ

Bài toán: Tìm thời gian lò xo bị nén, giãn trong một chu kỳ.

+ Gọi
én
n
ϕ
là góc nén trong một chu kỳ.
+
én
2
n
ϕ α
=
Trong ñó:

osc
A
α α
∆
= ⇒
ℓ


+
én
én
n
n
t
ϕ
ω
=


+
ãn én
ã én
2
d n
d n n
t T t
ϕ π ϕ
ω ω
−
= = = −

A

∆
ℓ

N
ϕ

D
ϕ



+Gọi H là tỉ số thời gian lò xo nén, dãn trong một chu kỳ:
én én
ãn ãn
n n
d d
t
H
t
ϕ
ϕ
= =

Từ tỉ số H ta có thể thể suy luận một số trường hợp sau:

www.TaiLieuLuyenThi.com

HỆ THỐNG LT – CT VẬT LÍ ÔN THI ĐẠI HỌC Thầy Khánh Uschool
Để theo dõi bài giảng trực tuyến và chữa ñáp án chi tiết bài tập các bạn truy cập www.uschool.vn
(ĐT: 09166.01248 - Facebook:Nguyễn Hồng Khánh)

14
Nếu
én
én
ãn
2
1 1
3
os 2
4
2 2 3 2
3
n
n
d
H c A
A
π
ϕ
ϕ π
α α
π
ϕ

=


∆

= ⇒ ⇒ = = ⇒ = = ⇒ = ∆


=


ℓ
ℓ

Nếu
én
én
ãn
1 1
2
os . 2
3
3 2 4
2
2
n
n
d
H c A
A
π
ϕ
ϕ π

α α
π
ϕ

=

∆

= ⇒ ⇒ = = ⇒ = = ⇒ = ∆


=


ℓ
ℓ

2. XÉT CON LẮC LÒ XO NẰM NGANG.

A. Về chiều dài

A
CB

A
−
K

m

+


+Vì
0
∆ =
ℓ

0
ax 0
min
m
o
A
A
=


= +


= −

ℓ ℓ
ℓ ℓ
ℓ ℓ

A. Lực ñàn hồi – lực phục hồi:
Ta có:
ph dh
F F P N
= + +
   
, vì
P N
= −
 
( Mặt phẳng ngang - bỏ qua ma sát)
dh ph
F F
⇒
=
 

Lò xo trên m
ặt phẳng nằm ngang (không ma sát) lực ñàn hồi là lực phục hồi:
(
)
.
dh ph
F F ma k x N
= = = −

Về ñộ lớn:
(
)
.

dh ph
F F ma k x N
= = = −

⇒
(
)
( )
max
min
.
0
dh
dh
F K A N
F N

=


=



V
ề chiều: Lò xo nằm ngang, lực ñàn hồi và lực phục hồi luôn hướng về vị trí lò xo không biến dạng.

Năng lượng con lắc lò xo:
W W W
d t
= +

Trong ñó:
W: là cơ năng của con lắc lò xo
(
)
J

W
d
: Động năng của con lắc ( J )
( )
2
1
W .
2
d
m v J
=

W
t
: Thế năng của con lắc ( J )
( )
2
1
W .

2
t
K x J
=

Trong ñó: m là khối lượng
(
)
kg
;
v
là vận tốc
(
)
/
m s

K
là ñộ cứng lò xo
(
)
/
N m
;
x
là li ñộ
(
)
m

A
CB

A
−
K

m

+



Mô hình CLLX
+)
( )
( )
( )( )
2
2 2 2 2
1 1 1
W . Asin . . sin
2 2 2
d
m v m t m A t J

ω ω ϕ ω ω ϕ
= = − + = +

( )
2 2 2
ax
1 1
W . . .
2 2
dm o
m A mV J
ω
⇒
= =

BÀI 9: NĂNG LƯỢNG CON LẮC LÒ XO
www.TaiLieuLuyenThi.com
HỆ THỐNG LT – CT VẬT LÍ ÔN THI ĐẠI HỌC Thầy Khánh Uschool
Để theo dõi bài giảng trực tuyến và chữa ñáp án chi tiết bài tập các bạn truy cập www.uschool.vn
(ĐT: 09166.01248 - Facebook:Nguyễn Hồng Khánh)

15
+)
( )
( )
( )( )
2
2 2 2
1 1 1
W . . cos os

2 2 2
t
K x K A t KA c t J
ω ϕ ω ϕ
= = + = +

2
max
1
W .
2
t
K A
⇒
=

⇒

W W W
d t
= +
=
( )( )
2 2 2
1
. . sin
2
m A t J
ω ω ϕ
+

+
( )( )
2 2
1
os
2
KA c t J
ω ϕ
+

( )
2 2 2
ax
1 1
W . . .
2 2
d m o
m A mV J
ω
= = =
=
2
max
1
W .
2
t
K A
=

⇒ Cơ năng luôn bảo toàn.

*** Tổng kết:
W W W
d t
= +
=
2
1
.
2
m v
+
2
1
.
2
K x


2 2 2
ax
1 1
=W . . .
2 2
d m o
m A mV
ω
= =

2
max
1
=W .
2
t
K A
=




W


W
0
=
1
/
2

KA
2

W
0
/
2

t(s)

0

W
ñ

W
t


Đồ thị năng lượng của CLLX
Ta lại có:
+)
( )( )
2 2
1
W os
2
t
KA c t J
ω ϕ
= +
=
(
)
( )( )
2 2 2
1 os 2 2

1 1 1
. . . os 2 2
2 2 4 4
c t
K A K A K A c t J
ω ϕ
ω ϕ
 
+ +
= + +
 
 

( )( )
W W
W os 2 2
2 2
t
c t J
ω ϕ
= + +

( )( )
(
)
( )( )
2 2 2 2 2
2 2 2 2
1 os 2 2
1 1

+)W . . sin . .
2 2 2
1 1
. . . . os 2 2
4 4
d
c t
m A t J m A
m A m A c t J
ω ϕ
ω ω ϕ ω
ω ω ω ϕ
 
− +
= + =
 
 
= − +

( )( )
W W
W os 2 2
2 2
d
c t J
ω ϕ π
= + + +

+) Động năng và thế năng biến thiên tuần hoàn cùng biên ñộ là
W

2
 
 
 
; cùng t
ần số góc
(
)
2
d t
ω ω ω
= =
, nhưng ngược
pha dao ñộng với nhau.
+) Đặt
d
T
là chu kỳ của ñộng năng;
t
T
là chu kỳ của thế năng:
( )
2
d t
T
T T s
= =


+) Đặt

d
f
là tần số của ñộng năng;
t
f
là tần số của thế năng:
2 ( )
d t
f f f Hz
= =


+) Thời gian liên tiếp ñể ñộng năng và thế năng bằng nhau:
4
T
t
=

Một số chú ý trong giải nhanh bài toán năng lượng:
+) Vị trí có
W .W
1
d t
A
n x
n
=
⇒
= ±
+

+) Vị trí có
2
ax
2
.
W .W 1
.
m
d t
a A A
n n
a x x
ω
ω
=
⇒
= = = +

www.TaiLieuLuyenThi.com