NGYUEN HAM VA TICH PHAN

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TÂY NINH
TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG
GIẢI TÍCH 12
PHẦN 3:
Năm học: 2010 – 2011
Bảng nguyên hàm
Trang: 1
Nguyên hàm của những hàm số
sơ cấp thường gặp
Nguyên hàm của những hàm số
thường gặp
Cxdx +=
∫
adx ax C= +
∫
( )
1
1
1
≠+
+
=
+
∫
α
α
α
α
C
x
dxx

( )
0ln ≠+=
∫
xCx
x
dx
( )
3
2
0
3
xdx x C x= + ≥
∫
3 4
3
3
4
xdx x C= +
∫
1
2dx x C
x
= +
∫

( )
0x >
Cedxe
xx
+=

∫
( )
10
ln
≠<+=
∫
aC
a
a
dxa
x
x
Cxxdx +=
∫
sincos
Cxxdx +−=
∫
cossin
Cxdx
x
+=
∫
tan
cos
1
2
Cxdx
x
+−=
∫

cot
sin
1
2
( ) ( )
Cbax
a
baxd ++=+
∫
1
( )
( )
( )
1
1
1
1
≠+
+
+
=+
+
∫
α
α
α
α
C
bax
a

dxbax
( )
0ln
1
≠++=
+
∫
xCbax
abax
dx
( )
3
1 2
3
ax bdx ax b C
a
+ = + +
∫
( )
4
3
3
1 3
4
ax bdx ax b C
a
+ = + +
∫
1 1
2dx x C

a
ax b
= +
+
∫

( )
0x >
Ce
a
dxe
baxbax
+=
++
∫
1
( ) ( )
Cbax
a
dxbax ++=+
∫
sin
1
cos
( ) ( )
Cbax
a
dxbax ++−=+
∫
cos

1
sin
( )
( )
Cbax
a
dx
bax
++=
+
∫
tan
1
cos
1
2
( )
( )
Cbax
a
dx
bax
++−=
+
∫
cot
1
sin
1
2

Đặc biệt:

2 2
1
ln
2
dx x a
C
x a a x a
−
• = +
− +
∫

( ) ( )
1
ln
dx x a
C
x a x b a b x b
−
• = +
− − − −
∫

( )
a b>
Trang: 2
VẤN ĐỀ 1 TÍCH PHÂN CƠ BẢN
Bài 1: Tính tích phân các hàm số sau đây :

1) 3x
2
– 2x + 5 2)
3
1






−
x
x
3)
3
23
3523
x
xxx −+−

4)
32
916
4
−
−
x
x
5)

x
x
1
+
6)
3
2
x
xxx +

7)






+






−
2
2
2
11
x

x
x
x
8)
5 2
3
2 x
xx +
9)
1−
−
x
xx
10)
3
42
2
351
x
xxx +−+
11)
3
44
2
x
xx ++
−
12)
2
1







−
x
x
Bài 2: Tính tích phân các hàm số sau đây :
1)
6
)54( −x
2)
2
)34(
1
x−
3)
3
12 +x

4)
4
3
)23(
1
−x
5)
x56

1
−
6)
11
1
−++ xx

7)
)2)(3(
1
−+ xx
8)
23
173
2
+
−−
x
xx
9)
32
54
−
+
x
x
10)
54
1
2

−− xx
11)
22
1
ax −
12)
2
1
2
−+ xx
11)
72
1
2
−x
12)
65
1
2
−− xx
13)
169
1
2
+− xx
14)
34
1
2
−x

15)
6
1
2
−+ xx
16)
9124
1
2
+− xx
Bài 3: Tính tích phân các hàm số sau đây :
1)
CosxSinx
xCos
+
2
2) Sin3x.Cos3x 3)
144
1
24
+− xCosxCos
4) (3 – 2Cosx)
2
5) Sin
4
x 6) Cos
3
3x
7) Sin5x.Cos2x 8) (2tgx – 5)
2

9) (3 – Sin2x)(2 + 5Cos2x)
Trang: 3
10) Cos
4
x 11) (2Cos
2
3x – 1)Sin
2
3x
12) Cosx.Cos3x.Cos5x 13) Sin
3
x.Cos
3
x
14) (tg
2
x – 3)(2Cotg
2
+ 5) 15)
2
3
2






−
Sinx

Cosx

16) (3 – tgx)(5 + 4Cotgx) 17) Sin
2
x.Cos
4
x 18) Cos
6
x
Bài 4: Tính tích phân các hàm số sau đây :
1)
2
8
3
−
−
x
x
e
e
2)
( )
2
43
xx
+
3)
x
xx
m

ba +
4)
( )
2
23 xx
ba −
5)
xx
e 2.
2
6)
5
23
ln4ln xx −
7)
xx
x
2
43lnln2 −+

Bài 5 : Tính tích phân các hàm số sau đây :
1)
82
35
2
−−
+
xx
x
2)

252
73
2
+−
−
xx
x
3)
)1)(4(
1
2
2
+−
+
xx
x
4)
22
1
23
−−+ xxx
5)
xxx 34
1
23
+−
6)
3103
1
2

+−
−
xx
x
7)
)4)(9(
22
2
−− xx
x
8)
)12)(1(
15
3
++
+
xx
x
9)
)2)(1)(1(
1
3
−−+
++
xxx
xx
Bài 6: Tính tích phân các hàm số sau đây :
1)
96
17

2
+−
+
xx
x
2)
3
2
)2(
1
−
+
x
x
3)
22
4
)1()1( +− xx
x
4)
2
)3)(2( ++ xx
x
5)
4
)1(
1
−
+
x

x
6)
)3()1(
1
3
2
+−
+
xx
x
Bài 7: Tính tích phân các hàm số sau đây :
1)
103
25
2
+−
−
xx
x
2)
1
2
3
+
+
x
x
3)
1
1

3
−x
4)
2
753
2
23
+
+++
x
xxx
5)
)1)(1(
12
2
2
+−
−+
xx
xx

VẤN ĐỀ 2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Trang: 4
Bài 1: Tính tích phân các hàm số sau đây :
1)
∫
4
2
dxx.
2)

∫
1
0
2
dxx .
3)
∫
2
1
2
x
dx

4 )
( )
∫
+
3
1
4 dxx
5)
∫
+
2
1
2
2
2
2
dx

x
x
6)
∫
−
+
2
2
1 dxx .

7)
∫
−
−
3
3
2
1 dxx .
8)
∫
−
4
1
2 dxx .
9)
∫
−+
2
0
2

32 dxxx .

10)
( )
∫
−
−−+
5
3
22 dxxx .
11)
( )
∫
−
−−
1
1
2
12 dxxx .
12)
∫
π
0
4
dxxCos .
13)
∫
4
0
5

π
dxtgxxCos
14)
3
2 2
6
.
dx
Sin x Cos x
π
π
∫
15)
2
3
2
4
(3 2 )Cotg x dx
Cos x
π
π
−
∫
16)
3
3
2
6
(1 ).Sin x dx
Sin x

π
π
−
∫
17)
1
4
2
2
0
1
x
dx
x −
∫
18)
∫
−
+++
0
1
24 xx
dx

19)
1
0
3 1
dx
x x+ + +

∫
20)
1
2
0
3 2
dx
x x+ +
∫
21)
1
2
0
4 4
dx
x x− +
∫
22)
1
2
0
( 3)
x
e dx+
∫
23)
1
0
( 3.2 )
x x

e dx+
∫
24)
3
8
2 2
8
.
dx
Sin x Cos x
π
π
∫
25)
3
2
0
4
1
Sin x
dx
Cosx
π
+
∫
26)
4 2
3
2
1

2 6
4
x x
dx
x
− −
−
∫
VẤN ĐỀ 3 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Trang: 5
Baứi 1: Tớnh tớch phaõn caực haứm soỏ sau ủaõy :
1)
63
1
3
2
++
+
xx
x
2)
3
6
2
+x
x
3)
58
83
3

2
++
+
xx
x
4)
910
36
2
+ xx
x
5)
6
2
1 x
x

6)
23
5
)75(
6
x
x

7)
5
2
)1( x
x

8)
56
24
++ xx
x
9)
24
7
)1( x
x
+

10)
22
3
)1(
2
+

x
xx
11)
56
24
++ xx
x
Baứi 2: Tớnh tớch phaõn caực haứm soỏ sau ủaõy :
1)
( )

+
1
0
3
1x
dxx.
2)
( )

+
4
1
2
1xx
dx
3)

+
1
0
3
)1(
2
dx
x
x

4)
1
3

0
.
(3 1)
x dx
x +

5)

+
+
1
2
1
4
2
1
1
dx
x
x
6)

+
2
1
3
)1(xx
dx
7)

+
1
0
2
5
1
.
x
dxx
8)
2
2
1
(2 5)
6
x dx
x x
+



Baứi 3: Tớnh tớch phaõn caực haứm soỏ sau ủaõy :
1)


+
0
1
92
)1( dxxx

2)

=
5
4
20
)4( dxxxI

3)


1
0
19
.)1( dxxx
4)


1
0
635
.)1( dxxx
Baứi 4: Cho haứm soỏ :
2
4 2
( )
( 2)( 1)
x
f x
x x

=
+ +
1) Tỡm A vaứ B sao cho
2
( )
2 1
A Bx
f x
x x
= +
+ +
2) Tớnh
0
( ) ( )
t
F t f x dx=

vụựi t > 0
3) Tỡm
( )
t
Lim F t
+
Baứi 5: Tớnh tớch phaõn caực haứm soỏ sau ủaõy :
Trang: 6
1) Sin
5
x 2)
3

2
−xCos
Cosx
3) tgx
4)
xCosxtg
22
)3(
1
−
5)
CosxSinx 43
1
−
6)
3
2
.
1
CotgxxSin
7)
1
2
3
+xCos
xSin
8)
14
2
3

−xSin
xCos
9) Sin
7
x.Cos
2
x
10)
xCosSinxCosxxSin
22
54
1
+−
11)
Cosx+3
1

12)
xCos
xSin
6
2
13)
CosxxSin .
3
14)
xSinxCos
22
27
1

+
15) Cos
2
x.Sin
3
x 16)
xSin
4
1
17)
xCos
xCosSinx
2
3
1
.
+

18)
SinxxCos .
5
19)
CosxxSin .
1
2
20)
xCosxSin
22
.
1

21)
xCosxSin
CosxSinx
44
.
+
22)
xCos
Cosx
22 +
23)
xCos
Cosx
2
24)
3
CosxSinx
CosxSinx
−
+
25)
CosxbSinxa
1
+
26) Sin
4
x.Cos
5
x
27) Sin

2
x.Cos
4
x 28)
xCos
xSinSix
2
3
+
39)
xSin
xCos
4
2
30) Cotg
3
x 31) tg
4
x 32)
SinxxSin
xCos
+
2
3
33)
CosxSinxxSin
xCos
.4
2
2

+
34)
xCosxSin
CosxSinx
23
43
.
+
Baøi 6: Tính tích phaân caùc haøm soá sau ñaây :
1)
∫
3
0
2
π
tgxdxxSin .
2)
∫
+
2
0
31
π
dx
Cosx
Sinx
3)
∫
2
0

3
π
dxCosxxSin

4)
∫
2
0
π
dxCosxe
Sinx

5)
∫
+
6
0
41
π
dxCosxSinx
6)
∫
+
2
0
2
π
Sinx
dx

7)
∫
4
0
4
π
xCos
dx
8)
dxxCosxSin
32
0
2
∫
π
9)
( )
dxxSinxCos .
2
0
33
∫
+
π
Trang: 7
10)
∫
3
4
4

.
π
π
dxxtg
11)
∫
+
+
3
4
23
π
π
dx
xSin
SinxCosx
12)
∫
++
++
2
0
534
67
π
dx
CosxSinx
CosxSinx

13)

∫
2
0
3
.
π
dxxCos
14)
∫
+
2
0
27
π
dx
xCos
Cosx
15)
∫
−−
2
0
2
711
π
dx
xCosSinx
Cosx
16)
0

1 .Sinx dx
π
−
∫
17)
6
2
0
.
6 5
Cosx dx
Sinx Sin x
π
− +
∫
18)
∫
3
4
3
.
π
π
dxxtg

19)
∫
+
−
π

0
21
dx
xSin
SinxCosx
20)
∫
+
4
0
21
1
π
dx
xSin
21)
∫
+
2
0
32
)1(2
π
dxxSinxSin

22)
∫
+
2
0

3
)1(.
π
dxCosxCosxSinx
23)
∫
+
4
0
44
4
π
dx
xCosxSin
xSin
24)
∫
+
2
0
66
6
π
dx
xCosxSin
xSin
25)
∫
π
0

3
.5. dxxCosxCos
26)
∫
+
4
0
1
π
tgx
dx
27)
∫
+
+
4
0
3
)2(
π
CosxSinx
dxCosxSinx
28)
∫
4
0
2
3
π
dx

xCos
xSin
29)
∫
+
2
0
π
CosxSinx
dx

30)
∫
++
2
0
2
π
CosxSinx
dx
31)
∫
+
2
0
1
π
Cosx
Cosxdx
32)

∫
+
++
2
6
221
π
π
dx
CosxSinx
xCosxSin
33)
∫
+
4
0
2
21
π
dx
xCos
xSin
34)
∫
−
2
3
3
3
.

π
π
dxCotgx
xSin
SinxxSin
35)
∫
1
0
4
.CosxxSin
dx
36)
∫
2
0
2
.4.
π
dxxCosxCos
37)
∫
+
2
0
3
)(
.4
π
CosxSinx

dxSinx
38)
∫
+
4
0
2
1
.4
π
xCos
dxxSin
39)
∫
3
4
6
2
π
π
dx
xCos
xSin
40)
∫







+
3
6
6
.
π
π
π
xSinSinx
dx
41)
∫
π
0
.dxSinxCosx
42)
2
2 2 2 2
0
SinxCosxdx
a Cos x b Sin x
π
+
∫
43)
2
0
1 .Sinx dx
π

+
∫
44)
2
4
4
dx
Sin x
π
π
∫
Trang: 8
Bài 7: Tìm hai số A, B đề hàm số h(x) =
( )
2
2
2
Sinx
xSin
+
có thể biểu diễn
dưới dạng :h(x) =
( )
Sinx
CosxB
Sinx
CosxA
+
+
+

2
2
2

, từ đó tính J =
∫
−
2
2
)(
π
π
dxxh

Bài 8: Tính tích phân các hàm số sau đây :
1)
7
2
−
x
x
e
e
2)
xx
2
ln1.
1
−
3) Cos(2e

x
– 3) . e
x

4) x.tg(x
2
+ 1) 5)
x
xCotg
1
.
2
6)
1
1
+
−
x
x
e
e
7)
xx
xx
49
2.3
+
8)
xx
5

ln.
1
9)
4
2
+
x
x
e
e
10)
)ln1.(
ln
2
xx
x
−
11)
x
x
e
e
2
1
1
+
+
12)
xx
x

ln1.
ln
+
Bài 9: Tính tích phân các hàm số sau đây :
1)
dxxe
x
.
∫
−
1
0
2
2)
dx
x
e
x
.
∫
4
1
3)
dx
x
x
e
.
ln
∫

+
1
1

4)
(
)
dx
x
xxx
.
ln.
∫
+
++
1
0
2
2
1
1
5)
∫
+
−
2ln
0
1
1
dx

e
e
x
x
6)
ln2
2
2
0
3
3 2
x x
x x
e e
dx
e e
+
+ +
∫
7)
2
1
1 ln
e
x
dx
x
+
∫
8)

1
2
0
(1 )
x
x
e
dx
e
+
∫
9)
1
0
1
x
x
e
dx
e
−
−
+
∫
10)
∫
+
e
dx
xx

x
1
2
)ln1(
ln
11)
∫
⋅
+
e
dx
x
x
1
2
ln2
12)
∫
2
1
2
ln
dx
x
x
13)
∫
+
+
1

0
2
2
1
)1(
dx
e
e
x
x
14)
∫
+
2
1
2
)1ln(
dx
x
x
15)
∫
+
1
0
2
3
x
e
dx

16)
∫
+
3ln
0
1
x
e
dx
17)
∫
+
e
x
dxx
2
1
2
)1(
.ln
18)
∫
+
1
0
2
)1ln(. dxxx
19)
1

0
4
x
dx
e +
∫
20)
2
1
1
x
dx
e
−
−
∫
21)
2
0
5 4
x x
dx
e e
−
+ −
∫
Trang: 9
22)
2
2

0
1
x
x
e
dx
e+
∫
23)
2
2
1 1
ln ln
e
e
dx
x x
 
− ×
 ÷
 
∫
24)
1
1 ln
e
x
I dx
x
+

=
∫

Baøi 10: Tính tích phaân caùc haøm soá sau ñaây :
1)
1)1(
21
2
+−+
++
xx
x
2)
1
1
1
1
3
+
⋅
−
+
xx
x
3)
1.
1
+xx
4)
11

1
++ x
5)
xx 25. −
6)
3
31 x
x
−
Baøi 11: Tính tích phaân caùc haøm soá sau ñaây :
1)
)(
3
3
xxx
x
+
2)
3
)1(
1
xx+
3)
3
1
1
+xx

4)
4

1212
1
+−+ xx
6)
3
11
1
+++ xx
7)
x
xx
3
32 −

8)
xx
x
+
3
4
9)
3
3
2
x
x
−
+
Baøi 12: Tính tích phaân caùc haøm soá sau ñaây :
1)

1
3 2
0
. 1 .x x dx−
∫
2)
dxx .
∫
−
2
0
2
4
3)
2
2 3
0
(4 ) .x x dx+
∫
4)
dxxx
∫
−
1
0
3 23
1.
5)
dxxx
∫

−
1
0
1
6)
∫
−
1
0
3
1 dxxx
7)
dx
x
x
.
∫
+
1
0
3 3
2
1
8)
6
2
2 3
9
dx
x x −

∫
9)
2
4
4 3
3
4.x dx
x
−
∫

10)
∫
−
1
0
32
.)1( dxx
11)
∫
+
7
0
3
2
3
1
.
x
dxx

12)
∫
+
1
0
12x
xdx

13)
∫
+
+
2
0
3
.
23
1
dx
x
x
14)
∫
−
2
2
0
2
2
1

.
x
dxx
15)
∫
+
+
3
7
0
3
13
)1(
x
dxx
16)
∫
+
1
0
815
.31 dxxx
17)
∫
+
+
3
0
2
35

1
2
dx
x
xx
18)
∫
+
+
3
0
2
1
1
dx
x
x
Trang: 10
19)
∫
+
2
0
32
.1. dxxx
20)
∫
+
+
2

0
3
23
1
dx
x
x
21)
∫
+
+
1
0
2
2
1
)(
x
dxxx

22)
∫
++
1
0
1)1(
n
nn
xx
dx

(n = 1 , 2 …) 23)
∫
+
2
1
3
1 xx
dx

24)
∫
−
a
dxxax
0
222
.
(a > 0) 25)
∫
−
1
0
22
.1. dxxx

26)
∫
+
1
0

23
.1. dxxx
27)
∫
+
4
7
2
9. xx
dx
28)
∫
++
3
1
0
22
1)12( xx
dx

29)
∫
−
+++
1
1
2
11 xx
dx
30)

∫
+
3
2
2
1. xx
dx
31)
∫
++
1
0
2
3
1
.
xx
dxx

32)
∫
−
−
+
+
2
2
2
2
1

1
dx
xx
x
33)
∫
+
3
0
25
1. dxxx
34)
∫
−
1
0
.1. dxxx
n

35)
∫
+
+
1
0
2
1
1
dx
x

x
36)
1
6
3
0
1
x
dx
x+
∫
37)
1
2
0
(3 4)
2 6 1
x dx
x x
−
+ +
∫
38)
0
2
1
( 1) 2 3
dx
x x x
−

− − + +
∫
39)
1
2
0
(3 2)
( 1) 3 3
x dx
x x x
−
+ + +
∫
40)
2
2 2
0
(2 1) 4
dx
x x+ +
∫
41)
1
0
. .
2
x
x dx
x−
∫

42)
( )
2
2 2
1
1
dx
x x x+ +
∫
43)
1
2
0
(2 1)
4 2
x dx
x x x
+
− + +
∫

44)
( )
2
3
2
1
3
3

x x x dx
x x x
− +
+ +
∫
45)
1
2
2 2
1
2
dx
x x x x
−
−
− − + − − +
∫
46)
2
2 2
1
( 1)
2 2 3
x dx
x x x x
+
+ + + −
∫
46)
1

2
3 2 3 2
0
(6 4 )
2
x x dx
x x x x
−
− + − −
∫

BÀI TẬP CÓ
Trang: 11
HƯỚNG DẪN
1. I =
∫
−
1
0
23
1 dxxx
; Đs:
15
2

2. I =
∫
+
4
0

2
9 xdx.x
; Đs:
3
98
3. I =
∫
−
2
0
23
4 dx.xx
; Đs:
15
64
4. I =
∫
−
2
0
35
8 dx.xx
; Đs:
2
45
512
5. I =
∫
+
2

0
23
2 dx.xx
; Đs:
15
2816 +
6. I =
∫
−
1
0
47
1 dxxx
; Đs:
15
1
7. I =
∫
−
3
0
23
9 dxxx
; Đs:
5
162
8. I =
∫
−
3

0
23
16 dxxx
; Đs:
15
74132048 −

9. I =
∫
+
3
0
1x
xdx
; Đs:
3
8
10. I =
∫
+
1
0
3
2
1dxx.x
; Đs:
( )
122
8
3

3
−
I =
∫
+
2
1 3
2
2x
dxx
Đs:
)( 310
3
2
−
11. I =
∫
+
1
0 2
1 x
xdx
; Đs:
12 −
12. I =
∫
−
1
0
22

1 dxxx
; Đs :
16
π
13. I =
∫
π
2
0
xdxsin.e
xcos
; Đs: e-1
14.
∫
π
4
0
2
2xdxcose
xsin
; Đs:
2
1−e
15. I =
∫
π
0
xdxcos.e
xsin
; Đs: e

0
-1= 0
Trang: 12
I =
∫
π
4
0
2
2xdxsine
xcos
Đs:
)e( 1
2
1
−

16. I =
∫
π
+
0
xdxsin)xe(
xcos
; Đs: e-
e
1
+
π

I =
∫
π
0
xdxsine
xcos
+
∫
π
0
xdxsinx
= I
1
+I
2
I
1
=
∫
π
0
xdxsine
xcos
=
∫
π
−
0
)x(cosde
xcos

17. I =
∫
π
+
2
0
2
xdxcos)xe(
xsin
; Đs: e+
4
2
π
-3
18. I =
∫
e
dx
x
)xsin(ln
1
; Đs:1-cos1
19. I =
∫
+
3
1
1
e
xlnx

dx
; Đs: 2
20. I =
∫
+
2
0
2
4 x
dx
; HD: Đặt x = 2tgt (t
∈






ππ
−
22
;
) Đs:
8
π
21. I =
∫
+
a
xa

dx
0
22
; HD: Đặt x = 3tgt (t
∈






ππ
−
22
;
) Đs:
12
π
22. I =
∫
+
4
0
2
16 x
dx
; HD: Đặt x = 4tgt (t
∈







−
2
;
2
ππ
) Đs:
16
π
23. I =
∫
+
3
0
2
3 x
dx
; HD: Đặt x =
3
tgt (t
∈







ππ
−
22
;
) Đs:
12
3π
24. I =
∫
+
a
xa
dx
0
22
; HD: Đặt x = atgt (t
∈






ππ
−
22
;
,a>0) Đs:
a4
π

25. I =
∫
−
1
0
2
4 x
dx
; HD: Đặt x = 2sint (t
∈






ππ
−
22
;
) Đs:
2
π
26. I =
∫
−
2
3
0
2

9 x
dx
; HD: Đặt x = 3sint (t
∈






ππ
−
22
;
)
27. I =
∫
−
2
0 2
16 x
dx
; HD: Đặt x = 4sint (t
∈







ππ
−
22
;
)
28. I =
∫
−
2
2
0
2
2 x
dx
; HD:Đặt x =
2
sint;t
∈






−
2
;
2
ππ
29. I =

∫
−
2
0
22
a
xa
dx
; HD: Đặt x = asint (t
∈






ππ
−
22
;
)
Trang: 13
30. I =
∫
π
π
−
3
3
2

dx
xcos
xsinx
; HD: Đặt:
sin
2
cos
=



=


u x
xdx
dv
x

⇒
Đs:








++−π

2
3
2
33
31
4
9
3
2
ln)ln(
31. I =
2
1 sin2xdx
0
π
−
∫
; Đs: 2
2
-2
32. I =
2
1 sinxdx
0
π
+
∫
33. I =
4
ln(1 tgx)dx

0
π
+
∫
34. I =
6
cos x
2
dx
4
sin x
4
π
∫
π
35. I =
∫
−
+
1
1
22
1 )x(
dx
36. I =
∫
π
+
4
0

22
dx
xcosxsin
xcosxsin

37. I =
∫
π
π
3
6
22
2
dx
xsin.xcos
xcos
38. I =
∫
π
π
2
4
22
22
x
cos
x
sin
dx
; Đs:

)( 33
3
4
−
39. I =
∫
π
+
2
0
2
1
2
dx
xcos
xsin
; Đs: ln2
40. I =
∫
π
+
2
0
22
1
2
dx
)xcos(
xsin
; Đs:

2
1
HD: Đặt t = 1+cos
2
x
⇒
dt = -2cosxsinxdx= -sin2xđx
x 0
2
π
t 2 1
⇒
I =
∫
−
1
2
2
t
dt
=
∫
−
2
1
2
dtt
=
2
1

1
1−
−
t
= -
5
=
2
1

41. I =
∫
π
+
4
0
221
2
dx
xsin
xcos
; Đs :
3
4
1
ln
Trang: 14
42. I =
∫
π

+
4
0
2
21
dx
xcos
xsin
; Đs: 1+ln2
43. I =
∫
π
2
0
32
xdxcosxsin
; Đs:
15
2
44. I =
∫
π
3
0
2
tgxdx.xsin
HD: Biến đổi: I =
∫
π
−

3
0
2
1 tgxdx).xcos(
=
∫
π






−
3
0
dxxcosxsin
xcos
xsin
45. I =
∫
π
+
4
0
1
2
dx
xcosxsin
xcos

; Đs: ln
2
3
46. I =
cos2x
4
dx
0
2
cos x
π
∫
; Đs:
2
π
-1
I =
∫
π
−
4
0
2
2
12
dx
xcos
xcos
=
∫

−+
2
0
2
1 dx)xxln(
=
( )
4
0
2
π
− tgxx
=
2
π
-1
47. I =
∫
π
−
2
0
2
24
2
dx
xcos
xsin
48. I =
∫

π
+
2
0
2
2
1
dx
)xsin(
xcos.xsin
Đặt t = sinx
⇒
dt = cosxdx
x 0
2
π
t 0 1
I =
∫
+
1
0
2
2
1 t
dtt
=
∫
+
−+

1
0
2
2
1
11
dt
t
t
=
∫
1
0
dt
-
∫
+
1
0
2
1 t
dt
=
1
0
t
- J = 1 – J ( Với J =
∫
+
1

0
2
1 t
dt
)
Tính J: Đặt t = tgu ( u
∈
(-
2
π
;
2
π
))
⇒
dt =
ucos
du
2

2
1
1
t+
=
utg
2
1
1
+

= cos
2
u
 Đổi cận: t 0 1
u 0
4
π
 J =
∫
π
4
0
2
2
ucos
du
.ucos
=
∫
π
4
0
du
=
4
0
π
u
=
4

π
Trang: 15
 Vậy: I = 1-
4
π
49. I =
∫
π
2
0
3
2xdxsin.xcos
; Đs :
5
2
52/ I =
∫
π
2
0
5
2xdxsin.xcos
; Đs:
7
2
53/ I =
∫
π
+
4

0
3
21
2
dx
xcos
xsin
; Đs:
4
1
54/ I =
∫
π
π
2
6
3
dx
xsin
xcos
; Đs:
210
19
5
8
−
55/ I =
∫
π
+

2
0
2
2 )xcosx(sin
dx
56/ I =
∫
+
1
0
3
1 )x(
xdx
; Đs:
8
1
57/ I =
∫
+
+
1
0
2
2
1
1
dx
)x(
e)x(
x

58/ I =
∫
π
+
2
0
3
1
4
dx
xcos
xsin
; Đs: 2
59/ I =
∫
π
+
2
0
3
1
4
dx
xsin
xcos
; Đs : 4 60/ I =
∫
π
+
2

0
2
1
2
dx
xcos
xsin
; Đs: ln2
61/ I =
∫
+
2
1
2
1
dx
x
)xln(
; Đs:
4
3
2
−e
62/ I =
∫
+
3
1
1
dx

x
xln
; Đs:
( )
2
1
2
31
2
−
+ ln
63/ I =
∫
π
π
−
2
xdxcosxcos
2
53
; Đs: 0 64/ I =
dxxsinxsin
∫
π
π
−
2
2
72
; Đs:

45
4
65/ I =
∫
π
−
6
0
626 dx)xsin.x(sin
;Đs:
32
3233
π
−
66/ I =
∫
π
π
+
2
6
3434 dx)xsinxsinxcosx(cos
; Đs:
2
1
67/ I =
∫
π
−
3

0
5656 dx)xsinxcosxcosx(sin
; Đs:
2
1
68/ I=
∫
π
2
0
2
xdxcos
; Đs:
4
π
69/ I =
∫
π
2
0
2
xdxsin
; Đs:
4
π
70/ I =
∫
π
π
3

2
6
xdxcos
; Đs:
12
π
71/ I =
∫
π
0
2
3
dx
x
cos
; Đs:
)(
4
33
2
1
+π
72/ I =
∫
π
3
0
2
3
dx

x
sin
; Đs:








−π
2
33
4
1
73/ I =
∫
π
3
0
2
3xdxsin
; Đs:
6
π
74/ I =
∫
π
2

0
2
4xdxcos
; Đs:
4
π
75/ I =
xdxsin
∫
π
0
2
4
; Đs:
2
π
76/ Chứng minh rằng:
∫
π
2
0
2
xdxsin
=
∫
π
2
0
2
xdxcos

77/ I =
∫
π
2
0
3
xdxcos
; Đs:
3
2
Trang: 16
78/ I =
∫
π
2
0
3
xdxsin
; Đs:
3
2
79/ I =
∫
π
0
4
xdxcos
; Đs :
8
3π

80/ I =
∫
π
0
4
xdxsin
; Đs :
8
3π
81/ I =
∫
π
2
0
5
xdxcos
; Đs
15
8
82/ I =
∫
π
2
0
5
xdxsin
; Đs
15
8
83/ I =

∫
π
2
0
2
xdxcose
x
; Đs:
5
2−
π
e
84/ I =
∫
π
2
0
xdxsin.x
; Đs: 1 85/ I =
∫
1
0
dxe.x
x
; Đs: 1
86/ I =
∫
1
0
2

dxxe
x
; Đs:
)e( 1
4
1
2
+
87/ I =
∫
π
+−
2
0
2
32 xdxsin)xx(
; Đs:
π
-1
88/ I =
∫
+
1
0
3
1 dxe)x(
x
; Đs:
9
25

3
−e
89/ I =
∫
+
1
0
22
1 dxe)x(
x
; Đs:
)e( 1
4
3
2
−
90/ I =
∫
−
e
xdxln)x(
1
1
; Đs:
)e( 3
4
1
2
−
91/ I =

∫
−
2
1
12 xdxln)x(
; Đs:ln4-
2
1
92/ I =
∫
+
1
0
2
1 dx)xln(x
; Đs: ln2-
2
1
93/ I =
∫
−
5
2
12 dx)xln(x
; Đs: 24ln4-
2
27
94/ I =
∫
−

5
2
2
1 dx)xln(x
; Đs:
6
1
(248ln4-105)
95/ I =
∫
+
2
1
2
1 dx)xln(x
; Đs:
2
5
ln5- ln2 –
2
3
96/ I =
∫
π
2
0
2
3xdxcose
x
; Đs: -

13
5
π
e
97/ I =
∫
π
−
6
0
32 xdxsin)x(
; Đs:
9
5
98/ I =
∫
π
2
0
2
xdxsinx
; Đs;
π
2
-2
99/ I =
∫
π
0
2

xdxsinx
; Đs:
π
2
-4 100/ I =
∫
π
2
0
2
xdxcosx
;
4
2
π
-2
101/ I =
∫
+−
6
5
2
45xx
dx
; Đs:
5
8
3
1
ln

102/ I =
∫
−+
3
2
2
232 xx
dx
; Đs
3
4
5
1
ln
103/ I =
3
2
2
2x 1
dx
x 5x 4
+
− +
∫
104/ I =
( )
4
2
1
dx

x x 1+
∫
Đề ĐH 2004 Khối A
Tính tích phân I =
∫
−+
2
1
dx
1x1
x
HD:
Đặt t =
1x −
⇒
t
2
= x
−
1
⇔
x = t
2
+1
⇒
dx =2tdt
x =1
⇒
t = 0; x =2
⇒

t =1
Trang: 17
Ta có I =
∫
+
+
1
0
2
tdt2
t1
1t
=2
∫






+
−+−
1
0
2
dt
1t
2
2tt
=2

1
0
23
1tln2t2t
2
1
t
3
1






+−+−
=2






−+− 2ln22
2
1
3
1
=
3

11
−
4ln2
Đề ĐH 2003 Khối A
Tính tích phân I =
∫
+
32
5 2
4xx
dx
HD: Đặt t =
4x
2
+
⇒
dt =
4x
x
2
+
dx và x
2
= t
2

−
4
x =
5

⇒
t = 3; x =2
3
⇒
t = 4
I =
∫
+
32
5 22
4xx
xdx
=
∫
−
4
3
2
4t
dt
=
∫






+
−

−
4
3
dt
2t
1
2t
1
4
1
=
4
3
2t
2t
ln
4
1








+
−
=
3

5
ln
4
1
Đề ĐH 2004 Khối B
Tính tích phân: I =
∫
+
e
1
dx
x
xln.xln31
HD:Đặt t =
xln31+
⇒
t
2
=1+3lnx
⇒
2tdt =3
x
dx
x = 1
⇒
t = 1; x = e
⇒
t =2
I =
∫

−
2
1
2
2
dtt
3
1t
3
2
=
( )
∫
− dxtt
9
2
24
=
2
1
35
3
t
5
t
9
2









−
=
135
116
Đề ĐH 2004 Khối D
Tính tích phân: I =
( )
∫
−
3
2
2
dxxxln
HD: Đặt
( )



=
−=
dxdv
xxlnu
2
⇒






=
−
−
=
xv
dx
xx
1x2
du
2
Trang: 18
I =
( )
3
2
2
xxlnx −
−
∫
−
−
3
2
dx
1x
1x2

=3ln6
−
2ln2
−
∫






−
+
3
2
dx
1x
1
2
=3ln6
−
2ln2
−
( )
3
2
1xlnx2 −+
=3ln6
−
2ln2

−
2
−
ln2
= 3ln3
−
2
Đề ĐH 2003 Khối B
Tính tích phân: I =
∫
π
+
−
4
0
2
dx
x2sin1
xsin21
HD: I =
∫
π
+
4
0
dx
x2sin1
x2cos
Đặt t = 1+sin2x
⇒

dt = 2cos2xdx
⇒
cos2xdx=
2
1
dt
x = 0
⇒
t = 1; x =
4
π
⇒
t = 2
I =
∫
2
1
t
dt
2
1
=
2
1
tln
2
1
=
2
1

ln2
Bài: (ĐH quốc gia HN 1998
−
Khối A)
Câu VIa.
Tính tích phân: I =
∫
+
1
0
1
x
e
dx
HD: I =
∫
+
1
0
1)e(e
dxe
xx
x
=
∫
+
1
0
1)e(e
)e(d

xx
x
Đặt t = e
x
ta có:
I =
∫






+
−
e
dt
tt
1
1
11
=
e
t
t
ln
1
1+
=
1

2
+e
e
ln

VẤN ĐỀ 5
PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Bài 1: Tính tích phân các hàm số sau đây :
Trang: 19
1) x.e
x
2) x.Cosx 3) x
2
.Cosx
4) lnx 5) e
x
.Sinx 6) x
2
.e
x
7) (3x
– 5)Cos2x 8) (x
3
+ 1)lnx 9) Sin(lnx) 10) x.Cos
2
x
11)
xx ln
3
12)

(
)
1ln
2
++ xx
13) e
x
.Cosx
14) (x
2
+ 2x + 3)Cosx 15) e
2x
.Cosx 16) Cos(lnx)
17)
xSin
18)
x
e
19) x.tg
2
x
20) Cos
2
(lnx) 21)
xx ln.
22)
xCos
x
2
23)

xSin
x
2
24)
(
)
2
2
1
1ln.
x
xxx
+
++
25)
2
)1(
.
+x
ex
x
26) x
2
.Sin3x 27) x
2
.e
3x
.
Baøi 2: Tính tích phaân caùc haøm soá sau ñaây :
1)

( )
∫
+
π
0
12 Cosxdxx .
2)
∫
4
0
2
π
dxxCosx
3)
( )
∫
+
2
1
2
1 dxex
x
.
4)
∫
1
0
2
dxarctgxx
5)

∫
π
0
2
2 dxxSinx
6)
∫
4
0
2
π
xCos
dxx.

7)
∫
2
3
2
π
π
xSin
dxx.
8)
∫
π
0
2
dxxCosSinxx
9)

∫
π
0
34
dxxSinxCosx

10)
( )
∫
1
0
2
dxxSine
x
π
11)
∫
+
e
xdxx
1
ln).22(
12)
∫
π
0
3
.dxxCose
x

13)
∫
e
dxxx
0
2
.ln.
14)
∫
=
1
0
.dxeI
x
15)
3
0
. .x Sinx dx
π
∫

16)
∫
e
dxxx
1
2
.ln.
17)
∫

+
2
0
2
.)1(
π
dxSinxx
18)
∫
1
0
3
2
. dxex
x

19)
∫
2
0
.
π
dxxSin
20)
∫
−
+
1
1
2

) (
2
dxxeSinxe
xx
21)
∫
1
0
2
dxex
x
22)
∫
4
0
.2.5
π
dxxSine
x
23)
∫
4
0
2

π
dxxtgx
24)
∫
2

0
2
.3.
π
dxxSine
x

Trang: 20
25)
∫
+
2
0
)1ln(.
π
dxCosxCosx
26)
∫
+
3
0
2
π
dx
xCos
Sinxx
27)
∫
2
0

3

2
π
dxxCosSinxe
xSin
28)
2
2
0
. .
x
e Cosx dx
π
∫
29)
1
(ln )
e
Sin x dx
∫
30)
1
(ln )
e
Cos x dx
π
∫
31)
∫

⋅
+
+
2
0
.
1
1
π
dxe
Cosx
Sinx
x
32)
2
2
2
1
.
( 2)
x
x e
dx
x +
∫
33)
3
3
1
ln

e
x
dx
x
∫
34)
2 2
0
x
e Sin xdx
π
∫
Bài 3: Tính tích phân các hàm số sau đây :
1)
∫
+
π
0
2
1
dx
xCos
xSinx
2)
∫
−
+
π
π
dx

xSin
x
13
2
3)
∫
−
+
+
1
1
2
4
1
dx
x
Sinxx

4)
∫
−
++
2
2
2
).1ln(.
π
π
dxxxCosx
5)

∫
−
+
2
2
3 4
54
.
x
dxSinx
6)
∫
−
+
1
1
4
21
.
x
dxx
7)
∫
−
−
+
2
2
2
4

π
π
dx
xSin
Cosxx

VẤN ĐỀ 6 TÍCH PHÂN LIÊN KẾT
Bài 1: Tính tích phân các hàm số sau đây :
1)
∫
+= dxxbCosxSinaI ).(
22
αα
và
∫
+= dxxbSinxCosaJ ).(
22
αα
2)
∫
= xdxCosxCosI 2.
2
và
∫
= xdxCosxSinJ 2.
2
3)
∫
= dxxCosI )(ln
và

∫
= dxxSinJ )(ln
4)
∫
= xdxCoseI
x 22
.
và
∫
= xdxSineJ
x 22
.
5)
∫
+
= dx
CosxSinx
Sinx
I
và
∫
+
= dx
CosxSinx
Cosx
J
Trang: 21
Bài 2: Tính tích phân các hàm số sau đây :
1) Tính: I =
∫

−
2
0
.3.
π
dxxSine
x
và J =
∫
−
2
0
.3.
π
dxxCose
x

2) Tính:
∫
=
2
0
22
2
π
dxxCosxCosI
và
∫
=
2

0
22
2
π
dxxCosxSinJ
3) Tính
∫
+
=
2
0
3
π
dx
CosxSinx
xCos
I
và
∫
+
=
2
0
3
π
dx
CosxSinx
xSin
J
4) Tính : I =

4
2
4 4
0
cos

cos sin
x
dx
x x
π
+
∫
và I =
4
2
4 4
0
sin

cos sin
x
dx
x x
π
+
∫
5) Tính : I =
2
0

n
n n
Cos x
dx
Cos x Sin x
π
+
∫
(ĐHGTVT)
6) Tính I =
2
0
Sinx
dx
Sinx Cosx
π
+
∫
và J =
2
0
Cosx
dx
Sinx Cosx
π
+
∫
7) Tính :
1
1

x
x x
e
I dx
e e
−
−
−
=
+
∫
8) Tính :
2
2
0
.
x
I e Sin xdx
π
=
∫
9) Tính :
( )
2
3
0
4sin

x
I dx

Sinx Cosx
π
=
+
∫
10) Tính :
2
0
1 sin
ln
1
x
I dx
Cosx
π
+
=
+
∫

Bài 3: Tính tích phân các hàm số sau đây :
1) Cho hàm số g(x) = Sinx.Sin2x.Cos5x
a) Tìm họ nguyên hàm của hàm số g(x).
b) Tính : I =
∫
−
+
2
2
1

)(
π
π
dx
e
xg
x
2) Tìm họ nguyên hàm của hàm số:
1
( )
.
4
f x
Cosx Cos x
π
=
+
 
 ÷
 
3) Cho f(x) = 3x
3
– x
2
– 4x + 1 và g(x) = 2x
3
+ x
2
– 3x – 1 .
1) Giải bất phương trình :f(x) ≥ g(x) .

Trang: 22
2) Tính : I =
∫
−
−
2
1
dxxgxf )()(
(ĐHQG)
4) Tìm họ nguyên hàm của :
xSin
Sinx
xf
21+
=)(
(ĐHQGHN – 2000 – 2001)
5) Tìm họ nguyên hàm của hàm số :
Sinx
CosxSinxCosx
xf
+
+
=
2
.
)(
(ĐHNT)
6) Tìm họ nguyên hàm :
xx
x

xf
cossin
cos
)(
+
=
2
(ĐHNT – 99 – 2000)
7) a) Xác đònh A , B sao cho :
2 3 2
3 1
( 1) ( 1) ( 1)
x A B
x x x
+
= +
+ + +
b) Tìm họ nguyên hàm của hàm số :
3
3 1
( )
( 1)
x
f x
x
+
=
+

VẤN ĐỀ 7 DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
1) (C) : y = x
2
– 4x + 3 ; trục Ox ; hai đường thẳng x = 0 và x = 4.
2) (C) : y = x – x
2
và trục Ox.
3) (C) : y = – x
2
+ 4x – 3 và các tiếp tuyến với đường cong này tại các
điểm A(0,–3) và B(3,0).
4) (C) : y = Sinx ; trục Ox ; hai đường thẳng
2
π
=x
và
2
3
π
=x
5) (C) : y = 2x
2
– 4x – 6 ; x = –2 và x = 4.
6) (C) : y = lnx ; trục Ox ; và x = e.
7) (C) : y =
1
2
2
−
−

x
x )(
; trục Ox ; hai đường thẳng x = 2 ; x = 4.
8) (C) :
2
3
2
2
4
−−= x
x
y
; trục Ox.
9) (C) : x = 4 – y
2
; trục Oy ; hai đường thẳng y = –2 và y = 2.
10) (C) : x = y
2
+ 4y ; trục Oy.
Trang: 23
11) (C) :
xCosxSiny
32
.=
, y = 0 và x = 0 , x =
2
π

12)
0x y+ =

,
2
2 0x x y− + =
.
Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
1) (C) : y = x
2
+ 2x ; (D) : y = x + 2.
2) (C) : y =
1
44
2
−
−+−
x
xx
; tiệm cận xiên của (C) và hai đường
thẳng
x = 2; x = 4
3) (C) : y = x
2
– 2x và hai tiếp tuyến với (C) tại O(0,0) ; A(3,3).
4) y = Sin
3
x ; y = Cos
3
x ; x = 0 ; x =
2
π
5) (P) : y

2
= 2x và đường thẳng (D) : 2x – y – 2 = 0.
6) (C) : y
2
– 24x = 48 và y = 16 – 8x.
7) (P
1
) : x = –2y
2
và (P
2
) : x = 1 – 3y
2
.
8) y = e
x
, y = lnx , x = 0 , x = 1 , y = a < 0
9) (P):
54
2
+−= xxy
và 2tiếp tuyến của (P) tại A(1, 2) , B(4, 5)
10)
2
y x=
,
2
4y x=
,
4y =

Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
1) (C) : y = Sin
2
x + x (0 ≤ x ≤ π) và (D) : y = x.
2) (C
1
) : y
2
= 2x và (C
2
) : 27y
2
= 8(x – 1)
3
.
3) (C) : y
2
= 2x và đường tròn tâm O bán kính R .
4) (C
1
) : x
2
+ y
2
= 4 và (C
2
) : x
2
+ y
2

= 4x (phần chung).
5)
2
ax y=
,
2
ay x=
với
0a
>
cho trước
Bài 4: Cho
2
( ) :P y x=
. Hai điểm A, B di động trên (P) : AB = 2
1) Tìm tập hợp trung điểm I của AB.
2) Xác đònh A , B sao cho diện tích của phần mặt phẳng giới hạn bởi AB
và (P) đạt giá trò lớn nhất.
Bài 5: Xét hình có diện tích chắn bởi
2
( ) :P y x=
và đường thẳng có hệ số
góc k đi qua điểm
(1,4)A
. Xác đònh k để diện tích đó lớn nhất.
Bài 6: Xét hình có diện tích chắn bởi
2
( ) :P y x=
và đường thẳng có hệ số
góc k đi qua điểm trong

0 0
( , )A x y
của (P) (Tức là điểm A với tọa độ
Trang: 24
thỏa mãn điều kiện
2
0 0
y x>
). Xác đònh k để diện tích đó lớn nhất.
Bài 7: Cho
2
( ) :P y x=
và
2 2 2
( ) :( 2)C x y R− + =
1) Tìm R để (C) tiếp xúc với (P). Xác đònh tọa độ các tiếp điểm T và T’.
2) Viết phương trình tiếp tuyến chung của (P) và (C) tại T và T’.
3) Tính diện tích tam giác cong giới hạn bởi (P) và 2 tiếp tuyến nói trên.
Bài 8: Cho hàm số (C) :
2
3
( )
8 1
x
y f x
x
= =
+
với
[

)
0,D = +∞
1) Khảo sát biến thiên hàm số.
2) Tính diện tích tam giác cong chắn bởi trục hoành , đồ thò (C) và đường
thẳng x = 1
Bài 9: Parabol
2
( ) : 2P y x=
chia diện tích của hình tròn tâm O(0,0) bán kính
R =
2 2
theo tỉ số nào.
ỨNG DUNG TÍCH PHÂN
A//Diện tích hình phẳng
Cơng thức
Cơng thức : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường






==
=
=
bx;ax
)x(gy:)'C(
)x(fy:)C(
là S =
∫

−
b
a
dx.)x(g)x(f
1.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
a) (C): y = 3x
4
– 4x
2
+ 5 ; Ox ; x = 1; x = 2
b) (C): y = x
2
– x và (d): y = 4 – 4x ; Oy ; đường thẳng x = 3
c) y = sinx ; y = cosx ; x = 0; x = π
d) y = (2 + cosx)sinx ; y = 0 ; x = π/2 ; x = 3π/2
e)y = – x
2
; x + y + 2 = 0 f)x = y
5
; y = 0 ;x = 32
g) (C): y = x
2
+ x – 5 và (C’): y = – x
2
+ 3x + 7
h)(C): y = x
2
– 4x + 2 ; tiếp tuyến với (C) tại điểm M(3;– 1) và Oy
i)(C): y = x
3

+ 3x
2
– 6x + 2 và tiếp tuyến với (C) tại điểm có hồnh độ x
o
= 1
k)(C): y = – x
3
+ 2x + 2 và tiếp tuyến với (C) tại điểm có hồnh độ x
o
= 2
l)(C): y = x
3
– 3x và tiếp tuyến với (C) tại điểm có hồnh độ x
o
= – 1/2
m) y = , x = – 1 ,x = 1 và Ox
Trang: 25