phuong trinh mat phang-dung sketpatch

Bµi 2
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
TRƯỜNG THPT HIỆP HOÀ SỐ 3
TỔ TOÁN - TIN

«n tËp kiÕn thøc cò
1.BiÓu thøc to¹ ®é cña tÝch v« h íng cña hai vect¬
( )
1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3
; ; , ( ; ; ) a.a a a a b b b b b a b a b a b= = ⇒ = + +
r r r r
. 0a b a b⊥ ⇔ =
r r r r
2. Để chứng minh đường thẳng d vuông góc với mp (P) ta
chứng minh d vuông góc với 2 đường thẳng cắt nhau nằm
trong (P).
3. ĐÞnh thøc cÊp 2
1 2
1 2 2 1
1 2

Ta co

a a
D a b a b
b b
= = −

Bµi 2
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

Tiết 29

Một số hình ảnh thực tế

1. Vect phỏp tuyn ca mt phng
1. Vect phỏp tuyn ca mt phng
()
n
r
Vectơ
0n
r r
đ ợc gọi là vectơ
pháp tuyến của mặt phẳng () nếu giá
của
n
r
vuông góc với mặt phẳng ()

(α)
n
r
Nếu
Chú ý :
cũng là vectơ pháp tuyến của (α)
kn
r
n
r
là vectơ pháp tuyến của (α) thì

0k ≠

a) Bài tốn:
α
α
α
= =
r r
1 2 3 1 2 3
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( ) và hai vectơ không cùng phương
( ; ; ); ( ; ; ), có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng ( ).
Chứng minh rằng mp( ), nhận vecctơ

a a a a b b b b
= − − −
r
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
n ( ; ; ) làm vectơ pháp tuyến.a b a b a b a b a b a b

α
a
r
b
r
n
r
= − + − + −
− + − + − =
=
r ur

r ur
1 2 3 3 2 2 3 1 1 3 3 1 2 2 1
1 2 3 1 3 2 2 3 1 2 1 3 3 1 2 3 2 1
: . ( ) ( ) ( )
= 0
.
:
, 0
Tacó a n a a b a b a a b a b a a b a b
a a b a a b a a b a a b a a b a a b
Tư
Giải
ơng tự b n
α
α
= =
= − − −
r r
r
1 2 3 1 2 3
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
Trong Oxyz cho : ( ; ; ); ( ; ; ),
có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng ( ).
.c
Chứng minh rằng mp( ), nhận vecctơ
n ( ; ; ) làm VTPT
a a a a b b b b
a b a b a b a b a b a b

 

= ∧
 
 
=
•
=
 
1 2 3 1 2 3
Cho véctơ a =(a ; a ; a ); b =(b ; b ; b ). Tích có hướng của hai vectơ avà b
kí hiệu là n a b hoặc n = a, b được xác đònh bởi biểu thức sau:
a a a
n a, b ;
b b
2 3 3
2 3
ur ur r r
ur r r ur r uur
ur r r
( )
 
= − − −
 ÷
 ÷
 
a
a a
; a b a b ;a b a b ;a b a b
b b b b
1
1 2

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
3 1 1 2
b) Định nghĩa:
( )
α
•Vectơ n là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
ur

Trong khơng gian Oxyz, cho ba điểm A(2; -1; 3), B(4; 0; 1),
C(-10; 5; 3). Hãy tìm tọa độ của một vtpt của mp(ABC)
( )
( )

= −


= −


Giải
AB ; ; ,
Ta có:
:
AC ; ;
2 1 2
12 6 0
uuur
uuur
 
− −

 
⇒ = =
 ÷
 
− −
 


n AB ,AC

;

;
1 2 2 2 2 1
6 0 0 12 12 6
ur uuur uuur
( )
=Vậy vectơ pháp tuyến của mp(ABC) là n ; ;1 2 2
ur
α
A
C
B

II- PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QT CỦA MẶT PHẲNG
α
α
=
0
Bài toán1:

Trong không gian Oxyz cho mp ( ) đi qua điểm M ( x ; y ; z )
và nhận vectơ n ( A; B ;C ) làm vtpt. Chứng minh rằng
điều kiện cần và đủ để điểm M(x; y; z) thuộc mp ( ) là :
A(x -
0 0 0
ur
+ − + − =
0
x ) B( y y ) C ( z z )
0 0
0

α
M
0
M
n
r
:Giaûi
0 0 0 0
= − − −
uuuuuur
( ; ; )Ta coù M M x x y y z z
0 0 0
0
α α
∈ ⇔ ⊂ ⇔ ⊥ ⇔ =
ur uuuuuur ur uuuuuur
( ) ( ) .M M M n M M n M M
0 0 0

0⇔ − + − + − =( ) ( ) ( )A x x B y y c z z

2
≠
=
r
2 2 2
Trong không gian Oxyz, chứng minh rằng tập hợp các điểm
M(x; y; z) thỏa mãn phương trình Ax + By + Cz + D = 0 ( với A +B +C 0)
là một mặt phẳng nhận vectơ
:
n ( ; ; ) làm A
Bài toán
B C vectơ pháp tuyến.
Giải
0 0 0 0 0 0 0
Lấiểm M (x ;y ;z )saochoAx +By +Cz +D=0
α
r
0
Gọi( )là mp đi qua điểm M và nhận n=(A;B;C) làmVTPT.
0 0 0
0
α
∈ ⇔ − + − + − =
:
( ) ( ) ( ) ( )
Tacó
M A x x B y y C z z
0 0 0

0 0 0
0
0
⇔ + + − + + =
⇔ + + + = = − + +
( )
, ( )
Ax By Cz Ax By Cz
Ax By Cz D với D Ax By Cz
Từ đó, ta có định nghĩa sau

1- Định nghĩa
Phương trình có dạng Ax + By + Cz + D = 0, trong đó A, B, C
khơng đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng qt
của mặt phẳng.
Nhận xét
α
≠
r
r r
0 0 0 0
n = (A; B;
a)Nếu mặt phẳng ( ) có PTTQ là Ax + By +Cz + D = 0
thì nó có một VTPT là
b) PT mặt phẳng đi qua điểm M (x ; y ; z ) nhận vectơ n = (A; B

; C) 0 làm
C)
VTP
− + − + − =y y

0 0 0
T
có pt là A(x x ) B( ) C(z : z ) 0 .

2
Hãy tìm một VTPT của mp (α): 4x – 2y – 6z + 7 = 0 ?
Ví dụ : Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(-1; 2; -3) và nhân vectơ
(1 ; 2 ; 2)n = −
r
làm vectơ pháp tuyến
(2; 1; 3)n = − −
r
2 2 9 0x y z+ − − =

Cỏc trng hp riờng

Cho maởt phaỳng ( ) coự PTTQ laứ Ax + By +Cz + D = 0


(
α
) ñi qua goác toïa ñoä
Ax + By + Cz = 0
x
α
O
y
z
D = 0
a. Trường hợp

(
α
) song song hoaëc chöùa truïc Oy
(
α
) song song hoaëc chöùa truïc Oz
(
α
) song song hoaëc chöùa truïc Ox
Ax + By + D = 0
Ax + Cz + D = 0
By + Cz + D = 0
z
y
O
k
x
α
α
x
J
O
y
z
z
y
O
i
α

x
C = 0
B = 0
A = 0
E
b. Nếu 1 trong 3 hệ số A, B, C bằng 0

A
≠
0
(
α
) song song hoaëc truøng vôùi mp (Oyz)
B
≠
0
(
α
) song song hoaëc truøng vôùi mp (Oxz)
C
≠
0
(
α
) song song hoaëc truøng vôùi mp (Oxy)
α
-
D
A
x

O
y
z
Ax + D = 0
By + D = 0
z
y
O
x
α
-
D
B
-
D
C
α
x
O
y
z
Cz + D = 0
B = C = 0
A = C = 0
A = B = 0

c. Nếu 2 trong 3 hệ số A, B, C bằng 0

Dạng ph ơng trỡnh
Vị trí của mặt so với các yếu tố cúa hệ toạ

độ
Ax + By + Cz = 0
i qua gốc toạ độ O
Ax + By + D = 0
Song song với trục Oz hoặc chứa trục Oz
Ax + Cz + D = 0
Song song với trục Oy hoặc chứa trục Oy
By + Cz + D = 0
Song song với trục Ox hoặc chứa trục Ox
Ax + D = 0
Song song với mp Oyz hoặc trùng với mp
Oyz
By + D = 0
Song song với mp Oxz hoặc trùng với mp
Oxz
Cz + D = 0
Song song với mp Oxyhoặc trùng với mp
Oxy

C
B
A
(
α
) cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz
lần lượt tại các điểm A(a; 0; 0),
B( 0; b; 0), C( 0; 0; c). Ta gọi pt
của (
α
) là pt theo đoạn chắn.

z
yO
x
c
b
a
α
+ + =
x y z
a b c
( ): 1
d)Nếu cả bốn hệ số A, B, C, D đều khác 0, ta có
Minh hoa

Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz, cho ba điểm M(2; 0; 0), N(0; 3; 0), P(0; 0; 4).
Hãy viết phương trình mp (MNP) ?
+ + = ⇔ + + − =
y z
x y z
Theo pt của mặt phẳng theo đoạn chắn ta có pt của mp (MNP) là:
x
1 6 4 3 12 0
2 3 4
Giải

Củng cố
Các kiến thức trọng tâm:
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng, cách xác định vectơ pháp tuyến
của mặt phẳng
- Tích có hướng của hai vectơ

- Phương trình tổng quat của mặt phẳng
- Các trường hợp riêng của phương trình mặt phẳng, hình vẽ

Ví dụ:
Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (MNP) biết M(1;1;1),
N(4;3;2), P(5;2;1)

Bài tập về nhà
- Làm các bài tập 1, 2, 3, 4 SGK trang 80
- Ôn tập lại kiến thức đã học và đọc phần III