Bài tập đạo hàm vi phân

BÀI TẬP ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Ví dụ 1:
Cho hàm số
3
sin
0
( )
0
x
x
f x
x
a x
ì
ï
ï
¹
ï
ï
=
í
ï
ï
=
ï
ï
î
1) Tìm a để hàm số liên tục tại x = 0.
2) Với a tìm được, hãy xét sự khả vi của hàm số tại x = 0
Giải:
1) … ……… để hàm liên tục tại x = 0 thì phải có a = 0.

2) Với a=0 ta có
3
sin
0
( )
0 0
x
x
f x
x
x
ì
ï
ï
¹
ï
ï
=
í
ï
ï
=
ï
ï
î
Ta thấy giới hạn tồn tại hữu hạn:
3
0 0
( ) (0) sin
lim lim 0

0
x x
f x f x
x x
® ®
-
= =
-
Vậy f ′(0) = 0 và hàm khả vi tại x=0.
Ví dụ 2:
Chú ý: để hàm số khả vi (có đạo hàm)

liên tục + đạo hàm (kiểm tra 2 điều kiện)
Cho
2
0
( )
1 0
x
e x
f x
x ax x
ì
³
ï
ï
ï
=
í
ï

+ + <
ï
ï
î
. Tìm a để f(x) có đạo hàm tại x=0
- kiểm tra liên tục:
0
0 0
2
0 0
(0) 1
lim ( ) lim 1
lim ( ) lim( 1) 1
x
x x
x x
f e
f x e
f x x ax
+ +
− −
→ →
→ →
= =
= =
= + + =
Do
đó
0 0
lim ( ) lim ( ) (0)

x x
f x f x f
+ −
→ →
= =
. Vậy hàm số liên tục tại
0x
=
( bước này có thể bỏ qua với bài này, nhưng cần thiết cho bài 7)
- kiểm tra đạo hàm
0 0
2 2
0 0 0 0
( ) (0) 1
'(0 ) lim lim 1
0
( ) (0) ( 1) 1
'(0 ) lim lim lim lim ( )
0
x
x x
x x x x
f x f e
f
x x
f x f x ax x ax
f x a a
x x x
+ +
− − − −

+
→ →
−
→ → → →
− −
= = =
−
− + + − +
= = = = + =
−
Để hàm số số đạo hàm tại 0 thì
'(0 ) '(0 ) 1f f a
+ −
= ⇔ =
Vậy
1a =
.
Bài tập:
1/ Tính đạo hàm các hàm số sau:
a.
siny x=
b.
ln
2
x
x
y =
c.
2
x x

y x x= +
2/ Cho
1
0
( )
1
0 0
x
x
x
f x
e
x
ì
ï
¹
ï
ï
ï
=
í +
ï
ï
=
ï
ï
î
. Tính f’(0)
3/ Cho
1

. 0
( ) ,
0 0
nx
xe x
f x n
x
-
ì
ï
ï
>
ï
= " Î
í
ï
£
ï
ï
î
¥
. Tính f’(0)
4/ Cho
2
, 0
( )
1
2 0
x
x

f x
x
x x
ì
ï
ï
ï
>
ï
=
í
+
ï
ï
=
ï
ï
î
. Tính f’(0)
5/ Cho
2
1
sin 0
( )
0 0
x x
x
f x
x
ì

ï
ï
¹
ï
=
í
ï
ï
=
ï
î
a) Tính f’(x) khi x≠0
b) f'(x) có liên tục tại 0 không?
6/. Cho
2
0
( )
1 0
x
e x
f x
x ax x
ì
³
ï
ï
ï
=
í
ï

+ + <
ï
ï
î
. Tìm a để f(x) có đạo hàm tại x=0
7/ Cho
2
2 0
( )
0
x x x
f x
ax b x
ì
+ £
ï
ï
ï
=
í
ï
+ >
ï
ï
î
. Tìm a, b sao cho f(x) liên tục và khả vi với mọi x ∈ R
8/ Xét tính khả vi của
( )
f x
tại

0x
=

( )
( )
2 2
2
ln 1 3 sin
, 0,
0, 0.
x x
x
f x
x
x

+ −

≠
=


=

9/ Xét tính khả vi của
( )
f x
tại
0x
=

( )
2
2
, 1
1
, 1
x
x e x
f x
x
e
−

≤

=

>


10/ Tìm a để f(x) khả vi
∀ ∈
x R
của
+ ≥

=

+ <


2
ln(1 ) , 0
( )
, 0
x x
f x
x ax x
11/ Tìm a để f(x) khả vi
∀ ∈
x R
của
≥

=

+ <

2
tan , 0
( )
, 0
x x
f x
x ax x
12/ Cho
1
sin 0
( )
0 0

n
x x
x
f x
x
ì
ï
ï
¹
ï
=
í
ï
ï
=
ï
î
. Tìm n để :
a) f(x) liên tục tại x=0
b) f(x) có đạo hàm tại x=0
c) f(x) có đạo hàm liên tục tại x=0