Đề học sinh giỏi toán 12-số 12

1. Dựng về phía bên trong hình vuông ABCD các tam giác đều ABK, BCL, CDM, DAN.
Hãy chỉ ra rằng các trung điểm của KL, LM, MN, NK và các trung điểm của AK, BK, BL,
CL, CM, DM, DM, AN tạo thành đa giác đều có 12 cạnh.





2. Trong mộ
t dãy hữu h
ạn các số th
ực, tổ
ng của bấ
t kì 7 số hạ
ng liên tiếp là âm, và t
ổng của
b
ấ
t kì 11 s
ố
h
ạ
ng liên ti
ế
p là d
ươ
ng. Xác

đị
nh s
ố
l
ớ
n nh
ấ
t trong các s
ố
h
ạ
ng c
ủ
a dãy.





3. Cho s
ố
nguyên n > 2. Gi
ả
s
ử
V
n
là t
ậ
p các s

ố
nguyên d
ạ
ng 1 + kn, trong
đ
ó k là m
ộ
t s
ố

nguyên d
ươ
ng. S
ố
m thu
ộ
c V
n

đượ
c g
ọ
i là không phân tích
đượ
c n
ế
u nó không th
ể
bi
ể

u di
ễ
n
đướ
i d
ạ
ng tích c
ủ
a hai s
ố
thu
ộ
c V
n
. Chứng minh rằng: có một số thuộc V
n
mà có thể biểu
diễn đưới dạng tích của các số không phân tích được thuộc V
n
bằng nhi
ều hơn m
ột cách.





4. Cho f(x) = 1 - a cos x - b sin x - A cos 2x - B sin 2x, trong đó a, b, A, B là các hằng số
thực. Giả sử rằng: f(x) ≥ 0 với mọi số thực x.

Chứng minh rằng: a
2
+ b
2
2 và A
2
+ B
2
1.





5. Cho a, b là các số nguyên dương. Khi (a
2
+ b
2
) chia cho (a + b) được thương số là q và số
d
ư là r.

Tìm tấ
t cả các c
ặp số
a và b thoả
mãn: q
2
+ r = 1997.

6. Cho hàm f : Z
+
Z
+
, Z
+
- là tập các số nguyên dương.

Cho f(n + 1) > f(f(n)) vớ
i mọ
i n.

Chứ
ng minh rằ
ng: f(n) = n với m
ọi n.