Ứng Dụng Tích Phân Trong Hình Học

TRƯỜNG THPT V NH H NGĨ Ư
TẬP THỂ LỚP 12 A5
CHÀO MỪNG QUÝ THẦY CÔ
N DỰ GI TH M L PĐẾ Ờ Ă Ớ

Nhắc lại công thức tính diện tích diện
tích hình thang cong ?
§Þnh lÝ: Cho hµm sè y = f(x) liªn tôc, kh«ng ©m trªn
®o¹n [a; b]. DiÖn tÝch h×nh thang cong giíi h¹n bëi ®å
thÞ hµm sè y = f(x), trôc Ox, ® êng th¼ng x =a, x= b lµ:
∫
=
b
a
dxxfS )(
?1

TÝnh diÖn tÝch h×nh thang cong giíi h¹n
bëi ®å thÞ hµm sè y = x
2
, trôc hoµnh vµ
hai ® êng th¼ng x = 1, x = 2.
Hoạt Động 2

2
y x=
Diện tích hình thang
cong giới hạn bởi đồ
thị hàm số y = x
2

, trục
Ox và hai đường
thẳng x = 1, x = 2 là:
2
3
2
1
1
2
x
S x dx
1
3
7
3
= =
=
∫

Vẽ đồ thị hàm số y = - x
2
từ đó so sánh
diện tích hình thang cong giới hạn bởi
đồ thị hàm số y = - x
2
trục hoành và hai
đ ờng thẳng x = 1, x = 2 vi kt qu
trờn.
Hot ng 3

x
y
Căn cứ vào hình vẽ ta thấy :
Diện tích hình thang cong
giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = - x
2
, trục Ox và hai đường
thẳng x = 1, x = 2 là:
Diện tích hình thang cong giới hạn bởi
đồ thị hàm số y = f(x) liên tục, âm trên
đoạn [a;b], trục Ox và hai đường thẳng
x = a, x = b là:
Vậy diện tích hình thang cong giới
hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên
tục, âm trên đoạn [a;b], trục Ox và
hai đường thẳng x = a, x = b là gì?
2 1
7
S S
3
= =
y = x
2
y = - x
2
∫
−=
b
a

dx)x(fS

Diện tích hình phẳng giới hạn
bởi đồ thò hàm số y=f(x) liên
tục,trục hoành và hai đường
thẳng x = a, x = b là:
I) Tính diện tích của hình phẳng:
I) Tính diện tích của hình phẳng:
S =
∫
b
a
|f(x)|.dx
1.Hình phẳng giới hạn bởi một
1.Hình phẳng giới hạn bởi một
đường cong và trục hồnh
đường cong và trục hồnh

Diện tích hình thang cong giới hạn
bởi đồ thị hàm số y = x
2
– 2x + 1 ,
trục Ox và hai đường thẳng x = 1,
x = 3 là:
TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®å
thÞ hµm sè y = x
2
– 2x + 1, trôc hoµnh vµ hai
® êng th¼ng x = 1, x = 3.
Ví dụ 1:

Ví dụ 1:
Giải
Giải
3
2
1
2 1= − +
∫
S x x dx
3
2
1
( 2 1)= − +
∫
x x dx
3
2
3
8
1
3 3
 
= − + =
 ÷
 
x
x x

y
x

y = x
3
- 1
Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn
bởi đồ thị hàm số y = x
3
– 1, trục tung, trục
hoành và đường thẳng x = 2.
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
2
3
0
1S x dx= −
∫
( ) ( )
dx1xdxx1
2
1
3
1
0
3
∫∫
−+−=
4 4
1 2
x x 7
x x
0 1
4 4 2

   
= − + − =
 ÷  ÷
   
Giải
Giải

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò của hai hàm
số y = f
1
(x), y = f
2
(x) liên tục trên [a;b] và hai đường
thẳng x = a; x = b được tính theo công thức:
S =
∫
b
a
|f
1
(x)- f
2
(x)|.dx
O
a
b
y

=

f
1
(
x
)
y

=

f
2
(
x
)
x
y
I) Tính diện tích của hình phẳng:
I) Tính diện tích của hình phẳng:
2.Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
2.Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

x
y
f
1
(x) =x
3
– 3x
f
2

(x) =x
Ví dụ 3:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ
thị các hàm số: f
1
(x) = x
3
– 3x và f
2
(x) = x

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị
hai hàm số f
1
(x) = x
3
– 3x và f
2
(x) = x là:
dxx4xS
2
2
3
∫
−
−=
3 3
2
3 4 0 0
2

x
x x x x x x
x
= −


− = ⇔ − = ⇔ =


=

∫∫
−+−=
−
2
0
3
0
2
3
dx)xx4(dx)x4x(
4 4
2 2
0 2
2 2 8
2 0
4 4
x x
x x
   

= − + − =
 ÷  ÷
−
   
Diện tích hình phẳng
cần tìm là:
Giải
Giải

Củng cố:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục
trên đoạn [a;b], trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b là:
∫
=
b
a
dx)x(fS
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x),
y = g(x) liên tục trên đoạn [a;b] và hai đường thẳng x = a, x = b
∫
−=
b
a
dx)x(g)x(fS

Bài tập :
B1: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số:
y = 4 – x
2
, đường thẳng x = 3, trục tung và trục hoành.

B2 :Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng
y = x + 2 và Parabol y = x
2
+ x - 2
B2: PT hoành độ giao điểm: x
2
+ x - 2 =

x + 2
<=> x = -2; x = 2. Vậy:
3
32
dxx4S
2
2
2
=−=
∫
−
Giải
Giải
3
23
)4()4(4
3
2
2
2
0
2

3
0
2
=−+−=−=
∫∫∫
dxxdxxdxxS
B1