Phương trình đường thẳng trong kg (t1)

KIỂM TRA BÀI CŨ
Câu hỏi: 1/Viết phương trình tham số của đường thẳng
trong mặt phẳng Oxy ?
1
2 3
x t
y t
= −


= − +

3/ Tìm một vec tơ chỉ phương và một
điểm M thuộc đường thẳng có phương trình
tham số:
u
r
∆
2/Muốn viết phương tình tham số của một
đường thẳng trong mpOxy ta phải biết những yếu tố
nào?
Tiết 35: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
TRONG KHÔNG GIAN
Định nghĩa:Vectơ khác được gọi là vectơ chỉ
phương của một đường thẳng nếu nó có giá song song
hoặc nằm trên đường thẳng ấy.
u
r
0

r
'u
ur
O
x
y
∆
u
r
z
Câu hỏi: Hãy nhắc lại định nghĩa vectơ chỉ
phương của đường thẳng ?
y
x
o
u
r
'u
r
∆
Trong không gian
cho vectơ
Hỏi có bao nhiêu
đường thẳng đi
qua M và nhận
vectơ làm
vectơ chỉ phương?
0u ≠
r
r

u
r
O
x
y
∆
u
r
z
M
Tiết 35: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
TRONG KHÔNG GIAN
Để xác định được
một ñường thẳng
trong không gian ta
cần những yếu tố
nào ?
Ta chỉ cần biết
một vec tơ chỉ
phương và một
điểm của đường
thẳng đó.
O
x
y
∆
u
r
z
M

Tiết 35: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
TRONG KHÔNG GIAN
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng đi qua


và nhận làm vectơ chỉ phương. Điều kiện cần
và đủ để điểm M(x; y; z) nằm trên là có một số thực t
sao cho
∆
0 1
0 2
0 3
(I)
x x a t
y y a t
z z a t
= +


= +


= +

0 0 0
( ; ; )M x y z
1 2 3
( ; ; )a a a a=
r
I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG

1. Định lý
∆
Chứng minh:
( )
0 0 0 0
, ,M M x x y y z z= − − −
uuuuuur
Điểm cùng phương với
a
r
0
M M ta⇔ =
uuuuuur r
Hệ (I) là phương trình tham của Δ
0
M M M∈ ∆ ⇔
uuuuuur
0 1
0 2
0 3
x x ta
y y ta
z z ta
− =


⇔ − =


− =


hay
0 1
0 2
0 3
(I)
x x ta
y y ta
z z ta
= +


= +


= +

x
y
z
0
M
0
M
a
r
d
Ta có:
Tiết 35: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
TRONG KHÔNG GIAN

Tiết 35: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
TRONG KHÔNG GIAN
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương có dạng:
0 0 0
( ; ; )M x y z
1 2 3
( ; ; )a a a a=
r
0 1
0 2
0 3
x x a t
y y a t
z z a t
= +


= +


= +

∆
2. Định nghĩa

Tiết 35: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
TRONG KHÔNG GIAN
I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG
Giải

Phương trình tham số của đường thẳng là:
1 2
2 3
3 4
x t
y t
z t
= +


= − +


= −

∆
Ví dụ 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua
điểm M(1,-2,3) và có vec tơ chỉ phương
( )
2,3, 4a −
r
Tiết 35: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
TRONG KHÔNG GIAN
Tìm tọa độ một vectơ chỉ phương của đường thẳng (d)
1
2
3
x t
y t
z t

= +


=


= −

Giải: Trả lời
Ví dụ 2: Cho đường thẳng (d) có phương trình
(1;2; 1)a = −
r
Tiết 35: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
TRONG KHÔNG GIAN
a. (3; -3; 4)
b. (2; 4; 1) c. (5; 1; 5) d. (1; 2; 1)
3 2
3 4
4
x t
y t
z t
= +


= − +


= +


Ví dụ 3: Trong các điểm sau đây điểm nào nằm trên đường thẳng d
Ví dụ 4:
Viết phương trình tham số của đường thẳng qua
M( -1,3,2) và song song với đường thẳng d có phương
trình:
1 2
1 3
2
x t
y t
z t
= − +


= − +


= −

Giải
d
∆
u
r
M
∆
Ta có
Đường thẳng d có vtcp
( )
2,3 1

d
u = −
uur
( )
2,3, 1
d
u u u
∆ ∆
= ⇒ = −
uur uur uur
Phương trình tham số của đường thẳng là
∆
1 2
3 3
2
x t
y t
z t
= − +


= +


= −

Tiết 35: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
TRONG KHÔNG GIAN
Tiết 35: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
TRONG KHÔNG GIAN

I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG
Ví dụ 5: Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua
A(1; -2; 3) và vuông góc với mặt phẳng (P): 2x + 4y + 6z + 9 = 0
d
P)
P
n
uur
Giải
Ta có:
d P
u n=
uur uur
( 2 ; 4 ; 6)
d
u⇒ =
uur
Phương trình tham số của đường thẳng (d) là:
1 2
2 4
3 6
x t
y t
z t
= +


= − +



= +

Tiết 35: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
TRONG KHÔNG GIAN

Từ phương trình tham số khử t , ta được
0 1
0 2
0 3
x x ta
y y ta
z z ta
= +


= +


= +

0
1
x x
t
a
−
=
;
0
2

y y
t
a
−
=
0
3
z z
t
a
−
=
Đây chính là phương trình chính tắc của đường thẳng
Đây chính là phương trình chính tắc của đường thẳng
;
( )
1 2 3
, , 0a a a ≠
0 0 0
1 2 3
x x y y z z
a a a
− − −
⇒ = =
∆
I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG
Tiết 35: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
TRONG KHÔNG GIAN
Chú ý:
Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ

phương (với đều khác 0) có phương trình
chính tắc dạng:
∆
0 0 0
( ; ; )M x y z
1 2 3
( ; ; )a a a a=
r
1 2 3
; ;a a a
0 0
2 3
0
1
x - x y y z z
a a a
− −
= =

Tiết 35: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
TRONG KHÔNG GIAN
a)Hãy tìm một vec tơ chỉ phương và một điểm thuộc đường thẳng trên
Cho đường thẳng d có phương trình tham số
5
3 2
1 3
x t
y t
z t
= − +



= −


= +

b) Hãy viết phương trình chính tắc của đường thẳng d
Ví dụ 5:
Giải:
a)Đường thẳng d đi qua điểm M(-5,3,1) và có vtcp
( )
1, 2,3u −
r
b) Đường thẳng d có phương trình chính tắc là:
5 3 1
1 2 3
x y z+ − −
= =
−
Tiết 35: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
TRONG KHÔNG GIAN
Bài tập củng cố
Viết phương trình tham số của đường thẳng có phương trình chính tắc là:
1 2 3
2 4 5
x y z− − −
= =
−
Đáp số:

Đường thẳng trên có phương trình tham số là:
1 2
2 4
3 5
x t
y t
z t
= +


= −


= +

Bài tập về nhà: 1,2 SGK