Khóa luận tốt nghiệp Toán học Rèn luyện một số thao tác về tỉ số

Đề tài nghiên cứu khoa học GVHD : T.S Trần Ngọc Lan
Lời cảm ơn !
Môn toán ở tiểu học là môn tập trung nhiều kiến thức, đòi hỏi học sinh
phải tham gia học tập một cách tích cực, linh hoạt. Nhiều nhà nghiên cứu và
giáo viên tâm huyết đã bỏ ra nhiều công sức đi sâu nghiên cứu tổng kết những
kinh nghiệm để giải quyết những vấn đề hay - khó - mới về đổi mới phơng
pháp rèn luyện t duy cho học sinh tiểu học đang đợc quan tâm hiện nay.
Là giáo viên đứng trên bục giảng, tôi rất mong muốn làm sao để giáo
viên say sa với nghề nghiệp, học sinh yêu thích và có sự hứng thú trong học
toán. Nên tôi đã chọn nghiên cứu đề tài này nhằm nâng cao chất lợng dạy và
học.
Để hoàn thành tốt đề tài này, tôi đã đợc sự hớng dẫn và giúp đỡ tận tình
của cô giáo Trần Ngọc Lan cán bộ khoa GDTH - Trờng ĐHSP Hà Nội cùng
với sự giúp đỡ nhiệt tình của bạn bè và đồng nghiệp.
Xong với năng lực còn hạn chế, thời gian ngắn nên không tránh khỏi
những sai sót trong khi viết đề tài.
Em xin bày tỏ long biết ơn cô giáo Trần Ngọc Lan, cảm ơn các bạn
động nghiệp đã giúp đỡ em hoàn thành đề tài này.
Rất mong đợc sự góp ý trân thành của cô, để đề tài này đợc hoàn thiện
hơn.
Em xin trân thành cảm ơn!
Phú Thọ, tháng 8 năm 2007
ngời thực hiện
Đinh Thanh Hà
mục lục
Nội dung Trang
Phần I: Phần mở đầu
I. Lý do chọn đề tài
II. Mục đích nghiên cứu
III. Nhiệm vụ nghiên cứu
IV. Phạm vi và đối tợng nghiên cứu

V. Phơng pháp nghiên cứu
Phần II: Nội dung
1
Đề tài nghiên cứu khoa học GVHD : T.S Trần Ngọc Lan
Chơng I: Cơ sở lý luận và thực tiễn có liên quan đến đề tài
I. Đặc điểm t duy của học sinh
II. Nội dung chơng trình Toán 4
III. Những yêu cầu cần đạt khi dạy các bài về tỷ số
IV. Điều tra thực trạng việc giảng dạy các bài toán về tìm hai số khi
biết tổng (hiệu) và tỷ số của hai số
Chơng II: Rèn luyện một số thao tác t duy cho học sinh 4 qua
việc dạy học một số bài toán về tỷ số.
I. Rèn luyện t duy cho học sinh trong quá trình dạy học Toán.
II. Rèn luyện t duy cho học sinh qua việc tìm lời giải và giải bài
toán
III. Rèn luyện t duy cho học sinh qua việc cho các em tiếp xúc với
bài toán có lời giải sai
Chơng III: Thực nghiệm s phạm
I. Mục đích và thực nghiệm
II. Phơng pháp thực nghiệm
III. Nội dung thực nghiệm
Phần III: Kết luận
Tài liệu tham khảo
Phần I : Mở đầu
I. Lý do chọn đề tài:
1. Xuất phát từ vai trò môn Toán ở tiểu học:
Tiểu học là bậc học nền tảng đặt nền móng vững chắc cho ngành Giáo
dục. Mỗi môn học ở tiểu học đều góp phần vào việc hình thành và phát triển
những cơ sở ban đầu rất quan trọng của nhân cách con ngời Việt Nam. Trong
các môn học ở Toán tiểu học, môn Toán có vai trò vô cùng quan trọng vì:

- Toán học là môn học cung cấp các kiến thức cơ bản hệ thống tri thức,
kỹ năng, kỹ xảo Toán học, qua đó phát triển t duy lô gíc, bồi dỡng và phát
triển những thao tác trí tuệ cần thiết để nhận thức thế giới khách quan về mặt
số lợng và hình dạng nh trừu tợng hoá, khái quát hoá, phân tích tổng hợp
nhờ đó biết cách hoạt động có hiệu quả trong cuộc sống.
- Môn Toán ở tiểu học có vai trò lớn trong việc rèn luyện phơng pháp
suy nghĩ, phơng pháp suy luận, phơng pháp giải quyết có vấn đề, có căn cứ
khoa học linh hoạt sáng tạo. Môn Toán còn hình thành và phát triển phẩm chất
của ngời học sinh nh kiên trì, nhẫn nại, cẩn thận, ý thức vợt khó khăn, làm
việc một cách có khoa học, có hệ thống. Đồng thời nó cũng là công cụ để giúp
học sinh học tập, các bộ khác và cần thiết cho mọi hoạt động trong cuộc sống,
trong thực tiễn.
2. Xuất phát từ yêu cầu đổi mới phơng pháp giải Toán về tỷ số ở lớp
4:
2
Đề tài nghiên cứu khoa học GVHD : T.S Trần Ngọc Lan
Cùng với các môn học khác, mục tiêu dạy học môn Toán ở trờng tiểu
học cung cấp cho học sinh những tri thức ban đầu cơ bản và sơ giản về số học
(STN, STP, PS) các đại lợng thông dụng, một số yếu tố và thống kê đơn giản
hình thành các kỹ năng toán học. Bớc đầu hình thành phơng pháp làm việc và
học tập: Có kế hoạch, chủ động sáng tạo chuẩn bị cho các bậc học tiếp theo.
Đặc biệt là trong dạy toán ở tiểu học thì giải toán chiếm một vị trí quan trọng,
có thể xem việc giải toán là việc hình thành chủ yếu của hoạt động toán học.
Giải toán có lời văn là một trong năm mạch kiến thức chính xoay quanh
hạt nhân số học. Các bài toàn đợc để gợi động cơ tìm kiến thức mới, củng
cố kiến thức cũ và vận dụng tri thức vào thực tiễn. Nhờ việc dạy học giải toán
mà học sinh có điều kiện rèn luyện năng lực phát triển t duy rèn luyện phơng
pháp suy luận và những phẩm chất cần thiết của ngời lao động mới. Trong đó
các bài toán về tỷ số chiếm một số lợng khá lớn trong chơng trình toán học ở
tiểu học.

Chính vì vậy mà cần đổi mới về phơng pháp giải toán có lời văn để giúp
học sinh kiểm tra đợc vùng kiến thức sâu, kiểm soát đợc những kỹ năng trình
bày diễn đạt qúa trình suy nghĩ, suy luận, phơng pháp giải quyết vấn đề cá tính
của ngời học mà có hớng rèn luyện cho các em các thao tác t duy về giải toán
và có lời văn đặc biệt là giải toán về tỷ số ở lớp 4.
3. Xuất phát từ tính tất yếu phải đổi mới phơng pháp dạy học Toán:
Đổi mới phơng pháp dạy học Toán ở tiểu học theo hớng quán triệt mục
tiêu Giáo dục ở tiểu học góp phần tạo lực lợng cho sự nghiệp công nghiệp hoá,
hiện đại hoá đất nớc, phát triển con ngời toàn diện nên phải đồng bộ, toàn diện
từ chơng trình, sách giáo khoa, sách giáo viên, phơng tiện dạy học, kiểm tra
đánh giá, bồi dỡng giáo viên.
4. Xuất phát từ thực tế địa phơng:
Đây là năm thứ hai triển khai chơng trình và SGK Toán 4 nên việc đầu t
về chuyên môn và kinh phí cho tập huấn, cho triển khai kiểm tra ở diện rộng
những vẫn còn nhiều hạn chế.
Giáo viên giảng dạy đã có chú ý đến các dạng toán ở lớp 4 mới và các
đề kiểm tra của cuối học kỳ và cuối năm song vẫn còn mang tính chất ngẫu
hứng và bột phát.
5. Xuất phát từ nhu cầu bản thân:
Thực tế dạy học chúng tôi nhận thấy trong chơng trình môn Toán 4 có
đủ các mạch kiến thức và mạch kiến thức về giải Toán có lời văn và đặc biệt là
các bài về tỷ số chiếm một số lợng khá lớn trong chơng trình Toán ở tiểu học.
3
Đề tài nghiên cứu khoa học GVHD : T.S Trần Ngọc Lan
Bao thời gian dạy trên lớp tôi thấy phần mạch kiến thức này đối học
sinh còn rất lúng túng và va vấp trong khi giải toán các bài về tỷ số. Do đó
đem lại kết quả cha cao.
Nh vậy xuất phát từ yêu cầu đổi mới, nhng cơ sở lý luận trên. Qua tìm
hiểu sách giáo khoa và nghiên cứu thực tế giảng dạy. Tôi thấy các dạng bài
toán về tỷ số không những góp phần quan trọng trong việc củng cố các kỹ

năng toán học cho học sinh mà còn nhiều ứng dụng trong đời sống. Chính vì
vậy tôi đã chọn "Rèn luyện một số thao tác về tỷ số" làm đề tài này cho khoá
luận của mình với mong muốn tìm hiểu sâu về đề tài để góp phần nâng cao
chất lợng dạy học Toán ở tiểu học.
II. Mục đích yêu cầu:
Với mục đích yêu cầu: Rèn luyện một số thao tác t duy cơ bản cho học
sinh lớp 4 qua một số bài về tỷ số , đề tài đặt ra và trả lời câu hỏi.
Cần có biện pháp dạy học nh thế nào cho thích hợp để rèn luyện các
thao tác t duy cho học sinh nhằm nâng cao chất dạy và học, nâng cao chất l-
ợng giải toán có lời văn nhất là các bài về tỷ số.
III. Nhiệm vụ nghiên cứu:
Đề tài yêu cầu có một số dạng bài toán về tỷ số trong chơng trình sách
giáo khoa tiểu học lớp 4.
- Tìm hai số khi biết tổng và tỷ của hai số đó
- Tìm hai số khi biết hiệu và tỷ của hai số đó.
IV. Phạm vi và đối tợng nghiên cứu:
* Nghiên cứu nội dung chơng trình về :
- Các biện pháp dạy học nhằm rèn luyện t duy cho học sinh qua một số
bài toán về tỷ số.
- Giai đoạn 2 : Lớp 4.
* Đối với yêu cầu:
Giáo viên và học sinh lớp 4 trờng tiểu học Yên Sơn 1.
Phần II: Nội dung
Chơng I: Cơ sở lý luận và thực tiễn có liên quan đến đề tài
I. Đặc điểm t duy của học sinh tiểu học:
Để rèn luyện và phát triển t duy cho học sinh trong dạy học môn Toán ở
tiểu học cần có hiểu biết đại cơng về t duy, t duy Toán học. Đây là một trong
4
Đề tài nghiên cứu khoa học GVHD : T.S Trần Ngọc Lan
những vấn đề cơ sở cho việc lựa chọn nội dung và tổ chức các hoạt động học

tập cho môn Toán nói riêng và hoạt động nhận thức các quan hệ Toán học nói
chung.
1. Khái niệm về t duy:
Chúng ta thờng nói tới "T duy" trong nhiều tình huống khác nhau nh:
- Khi nhận xét về học sinh ta nói: "Học sinh này có t duy tốt, học sinh
kia có t duy cha tốt "
- Khi bàn về một vấn đề trong xã hội ta nói : "Cần phải đổi mới t duy".
- Khi định hớng nghiên cứu ta nói : "Phát triển t duy cho học sinh trong
quá trình dạy học"
Vậy chúng ta hiểu t duy là gì? T duy có những đặc điểm cơ bản nào?
Tại sao nói t duy là một quá trình có thể mô phỏng, mô tả quá trình t duy?
Trong quá trình t duy có những thao tác cơ bản nào? Biểu hiện cụ thể ra sao ?
Có mấy loại hình t duy?
Nh vậy có thể biểu hiện t duy là một quá trình nhận thức bậc cao có ở
con ngời phản ánh hiện thực khách quan bộ não dới dạng khái niệm, phán
đoán, suy lý
T duy nảy sinh trong hoạt động xã hội. là sản phẩm hoạt động xã hội,
bao hàm quá trình nhận thức gián tiếp tiêu biểu: phân tích tổng hợp trừu tợng
hoá, khái quát hoá kết quả của quá trình t duy là sự nhận thức về một đối t-
ợng nào đó ở mức độ cao hơn, sâu sắc hơn.
Đ/N: T duy là quá trình nhận thức phản ánh những thuộc tính bản chất,
những mối quan hệ có tính quy luật của sự vật, hiện tợng.
2. Quá trình t duy:
Quá trình t duy là hoạt động trí tuệ gồm 4 bớc:
2.1. Xác định đợc vấn đề biểu đạt nó thành nhiệm vụ t duy, tức là tìm đ-
ợc câu hỏi cần giải đáp.
2.2. Huy động tri thức, vốn kinh nghiệm, liên tởng hình thành giả thuyết
về cách giải quyết vấn đề, cách trả lời câu hỏi.
2.3. Xác minh giả thuyết trong thực tiễn. Nếu giả thuyết đúng thì qua b-
ớc sau, nếu sai thì phủ địng và hình thành giả thuyết mới.

2.4. Quyết định đánh giá kết quả đa ra sử dụng.
Đây là 4 bớc cần thực hiện trong bất kỳ một hoạt động yêu cầu khoa
học nào.
3. Các thao tác t duy:
Quá trình t duy diễn ra bằng cách chủ thể tiến hành các thao tác trí tuệ
nhằm giải quyết vấn đề (tiếp thu, lĩnh hội tri thức) có nhiều thao tác t duy cụ
5
Đề tài nghiên cứu khoa học GVHD : T.S Trần Ngọc Lan
thể tham gia vào một quá trình t duy với t cách là một hành động trí tuệ. Các
thao tác t duy cơ bản gồm:
3.1. Phân tích tổng hợp.
3.2. So sánh, tơng tự.
3.3. Trừu tợng hoá.
3.4. Khái quát, đặc biệt hoá
4. Các loại hình t duy:
T duy của học sinh là quá trình các em phản ánh bản chất của đối tợng
vào não trong quá trình học tập.
ở tiểu học có các loại hình t duy sau:
4.1. T duy trực quan là loại hình t duy liên hệ mật thiết với hình mẫu cụ
thể của đối tợng, gồm:
T duy trực quan hành động: Là loại t duy hớng vào giải quyết nhiệm vụ
cụ thể trực quan dựa vào các thao tác bằng tay (loại t duy này chiếm u thế ở
học sinh lớp 1-2-3).
T duy trực quan hình ảnh: là loại t duy hớng vào giải quyết nhiệm vụ cụ
thể dựa vào các hình thức trực quan (loại t duy này cũng chiếm u thế ở học
sinh 1-2-3).
4.2. T duy trừu tợng:
Là loại t duy hớng vào giải quyết các nhiệm vụ lý luận dựa vào các khái
niệm kết cấu lô gíc (loại t duy này bắt đầu đợc hình thành ở học sinh lớp 4-5).
Các nhà tâm lý học s phạm cho rằng khi phân loại và khái quát đối tợng

hầu hết học sinh đầu bậc tiểu học đều dựa vào các dấu hiệu tác động mạnh
đến các giác quan. Điều này gây khó khăn cho học sinh khi phân loại các
dạng bài toán và tìm ra phơng pháp giải chúng nói chung. Với sự phát triển t
duy của học sinh cuối bậc tiểu học có thể giúp các em nắm đợc mối quan hệ
bản chất giữa các đối tợng. Trên cơ sở đó giúp các em phân loại đợc các dạng
bài toán về tỷ số nói riêng, chính vì vậy các em giải đợc các bài toán đó.
Tuy nhiên để học sinh phân loại và tìm đợc phơng pháp giải cụ thể cho
từng dạng toán về tỷ số thì cần phải thông qua các hoạt động thực hành, các
hoạt động trừu tợng hoá và khái quát hoá đối tợng.
II. Nội dung - chơng trình Toán 4:
Nội dung Toán 4 đợc chỉnh lý theo tinh thần đổi mới giáo dục tiểu học.
Môn Toán lớp 4 đặc biệt quan trọng, nó góp phần vào việc:
1. Hệ thống hoá và khái quát hoá ở mức độ hoàn chỉnh lớp 3 về số tự
nhiên. Nó mở rộng khái niệm số tự nhiên sang phân số, cách đọc, cách viết, và
thực hiện 4 phép tính trên phân số.
6
Đề tài nghiên cứu khoa học GVHD : T.S Trần Ngọc Lan
2. Bổ sung và hệ thống hoá bảng đơn vị đo đại lợng, thông thờng các
đơn vị đo đại lợng đợc viết dới dạng số tự nhiên, phân số.
3. Tiếp tục sử dụng các biểu thức chứa chữ để khái quán hoá công thức
chữ tất cả các tính chất phép tính (trên STN, PS) các quy tắc tính chu vi, diện
tích các hình đã học, các phơng trình đơn giản trên phân số.
4. Tiếp tục củng cố kỹ năng giải toán và trình bày lời giải các bài toán
đơn, toán hợp về số tự nhiên, phân số, số đo đại lợng. Bổ sung các bài toán về
tìm số trung bình cộng: Tìm hai số khi biết tổng (hiệu) và tỷ số của chúng;
giới thiệu quy tắc tính diện, hình bình hành, hình thoi.
Mặt khác cho thấy, căn cứ vào đặc điểm tâm sinh lý của trẻ: hoạt động
nhận thức của trẻ bộc lộ ra rất hồn nhiên chân thực; t duy không bền vững, trẻ
chóng nhớ, mau quên những gì đợc hình thành và định hình ở trẻ rất khó thay
đổi, khó cải tạo. Đặc điểm này đòi hỏi việc cung cấp tri thức cho học sinh phải

chuẩn xác, ngắn gọn dễ hiểuvới tính khoa học, tính nhân văn ở một nền giáo
dục ở nhà trờng và ở mỗi giáo viên.
Trong chơng trình môn Toán ở tiểu học bài toán về tỷ số có nhiều dạng
thuộc dạng toán điển hình trong hệ thống các bài toán có lời văn, việc dạy học
các bài toán đó có một vai trò hết sức quan trọng. Cụ thể nó mang những chức
năng cơ bản sau:
- Củng cố khái niệm về phân số, tỷ số, tỷ lệ xích, các đại lợng có mối t-
ơng quan tỷ lệ.
- Hình thành thế giới quan duy nhất biện chứng; giúp trẻ phát triển khả
năng vận dụng những kiến thức liên quan đến tỷ số vào cuộc sống, say mê tìm
tòi, khám phá, phát hiện và thiết lập mối quan hệ tơng quan giữa các hiện tợng
trong cuộc sống.
Việc giải các bài toán về tỷ số còn giúp trẻ hình thành những phẩm chất
của ngời lao động mới. Có kế hoạch giải quyết những vấn đề có lựa chọn.
Thông qua những hoạt động học tập toán để phát triển đúng mức một số
khả năng trí tuệ và thao tác t duy quan trọng nh: So sánh, phân tích, tổng hợp,
trừu tợng hóa, khái quát hoá, cụ thể hoá.
Trong chơng trình Toán 4 có bài toán về tìm hai số khi biết tổng hiệu và
tỷ số của chúng đợc dạy ở học kỳ II gồm 9 tiết.
III. Những yêu cầu cần đạt đợc khi dạy các bài toán về tỷ số:
1. Hình thành biểu tợng về tỷ số và một số dạng toán liên quan đến tỷ
số:
Tỷ số là khái niệm diễn đạt quan hệ so sánh giữa hai đại lợng cùng loại
khi chúng đợc đo bằng cùng một đơn vị. Các đại lợng cơ bản thờng gặp trong
7
Đề tài nghiên cứu khoa học GVHD : T.S Trần Ngọc Lan
thực tiễn là đại lợng đo đợc, các tập hợp số dùng trong việc đo đại lợng phải có
cùng cấu trúc với các đại lợng đo đợc.
Ta biết tập hợp các số tự nhiên, phân số đều có cấu trúc cộng (một số có
thể phân tích thành tổng của nhiều số hạng) hay cấu trúc nhân (một số có thể

phân tích thành nhiều thừa số). Do đó có thể so sánh hai số về mặt cấu trúc
cộng (hơn kém bao nhiêu đơn vị) hay cấu trúc nhân (hơn kém nhau bao nhiêu
lần). Trong bài toán đầu, giá trị của từng số (theo đơn vị) không giữ vai trò
quan trọng mà quan hệ diễn đạt bằng so sánh, hơn kém nhau bao nhiêu lần,
tức là bằng thơng của phép chia hai số giữ vai trò chủ yếu, việc so sánh hai đại
lợng cùng loại đợc đặt ra tơng tự, khi đó thơng của giá trị hai đại lợng (cùng
đơn vị) gọi là tỷ số của hai đại lợng đó.
Giả sử hai đại lợng cần so sánh đợc ký hiệu là a và b. Tỷ số của a và b
đợc ký hiệu là a: b và đợc diễn đạt bằng lời là "bao nhiêu lần".
Khi so sánh hai đại lợng a và b có thể sảy ra trờng hợp a chứa đúng k
lần b. Vì phép so sánh này không phụ thuộc vào đơn vị nên ta chọn b là đơn vị
đo của nó và nói: "a gấp k lần b". Nếu a không phải là bội của b thì ta sẽ chọn
một đơn vị đo chung là đại lơng p sao cho : a = p x m và
b = p x n
Chẳng hạn khi đó : a : b =
pxn
pxm
=
n
m
(m,n Ê N*)
n
m
chính là một phân số, phân số này có giá trị của tỷ số a : b theo tính chất cơ
bản của phân số ta có thể nói tỷ số của a : b bằng phân số
b
a
và viết a : b =
b
a

Ta
phải chú ý rằng tỷ số là quan hệ giữa hai đại lợng nên khi nói về quan hệ "Lớn
hơn - bé hơn" thứ tự các đại lợng là rất quan trọng. Điều này thể hiện trên ký
hiệu và trong diễn đạt. VD : Tỷ số a : b khác b : a. Tỷ số a : b đọc là tỷ số của
a và b, còn tỷ số a : b đọc là tỷ số của b và a. Nên ở tiểu học khi nói về tỷ số ta
nói cụ thể hơn và nêu rõ : tỷ số của a so với b hay tỷ số của b so với a.
Ví dụ 1 : Một vờn cây ăn quả có 12 cây Táo và 36 cây Hồng
Tính : - Tỷ số của cây Hồng so với cây Táo
- Tỷ số của cây Hồng so với số cây cả vờn
Tóm tắt : Số cây Táo : 12 cây
Số cây Hồng : 36 cây.
Tỷ số giữa : Số cây Hồng so với cây Táo?
Số cây Hồng so với cả vờn?
8
Đề tài nghiên cứu khoa học GVHD : T.S Trần Ngọc Lan
Bài giải
Tỷ số cây Hồng so với cây Táo là:
36 : 12 = 3
Tổng số cây cả vờn là :
12 + 36 = 48 (cây)
Tỷ số cây Hồng so với số cây cả vờn là :
36 : 48 =
4
3
Đáp số : 3;
4
3
Ví dụ 2:
Tỷ số của bạn trai so với bạn gái tham gia thi kể chuyện là
3

2
. Biết số
bạn gái là 24 bạn. Tính số bạn trai.
Hớng dẫn phân tích:
Số thứ nhất là số bạn trai, số thứ hai là số bạn gái. Nếu ta coi số bạn trai
là hai phần thì số bạn gái là 3 phần. Từ đó ta dễ dang giải đợc bài toán.
Bài giải :
Theo bài ra ta có sơ đồ:
?bạn
Bạn trai :
Bạn gái :
24 bạn
Giá trị một phần là :
24 : 3 = 8 (bạn)
Số bạn trai là :
8 x 2 = 16 (bạn)
Đáp số : 16 bạn
Ví dụ 3 : Tỷ số của em so với tuổi của anh là
5
2
. Biết tuổi của anh là 25
tuổi. Tính tuổi của em.
Hớng dẫn phân tích:
Số thứ nhất là tuổi em, số thứ hai là tuổi anh. Nếu ta coi số tuổi
của em là 2 phần thì tuổi của anh là 5 phần. Từ đó ta giải đợc bài toán một
cách dễ dàng hơn.
Bài giải :
Theo bài cho ta có sơ đồ:
9
Đề tài nghiên cứu khoa học GVHD : T.S Trần Ngọc Lan

?tuổi
Em :
Anh :
25 tuổi
Giá trị một phần là :
25 : 5 = 5 (tuổi)
Tuổi của em là :
5 x 2 = 10 (tuổi)
Đáp số : 10 tuổi.
2. Bài toán về tìm hai số khi biết tổng (hiệu) và tỷ số của chúng:
2.1. Bài toán về tìm hai số khi biết tổng và tỷ số của hai số đó.
Dạng tổng quát của bài toán trên nh sau:
Tìm x , y biết : x + y = c
y
x
=
b
a
Phơng pháp thông thờng sử dụng để giải bài toán này là phơng pháp sơ
đồ đoạn thẳng, vì dùng sơ đồ đoạn thẳng ta sẽ dễ dàng biểu thị đợc tỷ số của
hai số x, y dới dạng phân số bằng nhau và tổng của chúng là tổng giá trị của
các phần. Từ đó ta tìm đợc cách giải.
Bớc 1: Biểu diễn bằng sơ đồ đoạn thẳng .
Nếu ta biểu diễn x bằng 1 đoạn thẳng gồm a phần bằng nhau thì y sẽ
biểu diễn dới dạng đoạn thẳng gồm b phần bằng nhau nh thế.
a phần
x
y
b phần
Bớc 2 : Giá trị của mỗi phần là :

c : (a + b)
Bớc 3 : Số thứ nhất là :
x =
ba
c
+
x a
Bớc 4 : Số thứ hai là :
y =
ba
c
+
x b
Ngoài phơng pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng ta có thể sử dụng các phơng
pháp sau để giải các bài toán thuộc dạng toán trên; Phơng pháp đơn giản quy -
ớc, phơng pháp giả thuyết tạm, phơng pháp chia tỷ lệ, phơng pháp lựa chọn.
10
c
Đề tài nghiên cứu khoa học GVHD : T.S Trần Ngọc Lan
Ví dụ 1 : Quyển chuyện có 80 trang, số trang bạn Nam đọc bằng
3
1
số
trang cha đọc. Tính số trang bạn Nam đã đọc và cha đọc.
Bài giải :
Theo bài ta có sơ đồ:
Số trang đã đọc 80 trang
Số trang cha đọc
Giá trị một phần là :
80 : (3+1) = 20 (trang)

Số trang đã đọc là :
20 x 1 = 20 (trang)
Số trang cha đọc là :
20 x 3 = 60 (trang)
Đáp số : 20 trang
60 trang
Ví dụ 2 : Cho phân số
8
7
. Hãy tìm số nào đó sao cho khi tử số trừ đi số
đó và mẫu số cộng với số đó thì đợc phân số mới có giá trị bằng
4
1
.
Bài giải :
Cách 1 : Giải bằng sơ đồ đoạn thẳng:
Phân tích : Khi tử số trừ đi một số mà mẫu số cộng với số đó thì tổng
của tử số và mẫu số của phân số
8
7
là không đổi và bằng 7 + 8 = 15. Vì vậy bài
toán này chính là bài toán tìm 2 số khi biết tổng của chúng là 15 và tỷ số của 2
số đó là
4
1
Tổng của tử số và mẫu số của phân số là
8
7
là :
7 + 8 = 15 (phần)

Khi trừ tử số của phân số
8
7
đi bao nhiêu đơn vị và cộng mẫu số của
phân số
8
7
với bấy nhiêu đơn vị thì tổng của mẫu số và tử số của phân số mới
là 15.
Do đó ta có sơ đồ:
Tử số :
11
15
Đề tài nghiên cứu khoa học GVHD : T.S Trần Ngọc Lan
Mẫu số :
Tử số của phân số mới là :
15 : (1+4) = 3
Số phải tìm là :
7 - 3 = 4
Đáp số : 4
Cách 2 : Phân tích: khi một phân số có tử số trừ đi một số và mẫu số
cộng với số đó thì tổng của tử số và mẫu số của phân số không đổi. Mà phân
số mới có giá trị là
4
1
do đó ta có thể tìm xem tử số và mẫu số của phân số mới
cùng chia cho số nào, sau đó tìm phân số mới và cuối cùng là tìm số cần tìm.
Tổng của tử số và mẫu số của phân số đó đã cho là:
7 + 8 = 15
Tổng tử số và mẫu số của phân số mới đã rút gọn là :

1 + 4 = 5
Tử số và mẫu số của phân số mới cùng chia cho một số là :
15 : 5 = 3
Phân số mới là :
34
31
x
x
=
12
3
Số phải tìm là :
7 - 3 = 4
Đáp số : 4
2.2. Bài toán về tìm hai số khi biết hiệu và tỷ số của 2 số đó:
Dạng tổng quát
y
x
=
b
a
y - x = c
Phơng pháp thông dụng để giải bài toán này là dùng phơng pháp sơ đồ
đoạn thẳng. Dùng sơ đồ đoạn thẳng để biểu thị tỷ số của chúng bằng những
phần bằng nhau và hiệu số của chúng bằng hiệu giá trị của số phần bằng nhau
ấy. Dựa vào sơ đồ đoạn thẳng ta tìm đợc cách giải bài toán nh sau:
Bớc 1 : Vẽ sơ đồ đoạn thẳng:
Nếu ta biểu diễn x bằng một đoạn thẳng gồm a phần bằng nhau thì y đ-
ợc biểu diễn đoạn thẳng gồm b phần bằng nhau nh vậy:
x

y
Bớc 2: Giá trị mỗi phần là :
12
Đề tài nghiên cứu khoa học GVHD : T.S Trần Ngọc Lan
c : (b - a)
Bớc 3 : Số thứ nhất là :
x =
ab
c

x a
Bớc 4 : Số thứ hai là :
y =
ab
c

x b
Ngoài ra ta có thể sử dụng nhiều phơng pháp khác nhau để giải toán này
(nh đã nêu ở phần 2.1)
Ví dụ 3: Tuổi Ngựa bằng
4
1
tuổi voi. Hỏi mỗi con sống bao nhiêu tuổi.
Biết Voi sống lâu hơn Ngựa là 75 tuổi.
Bài giải
Ta có sơ đồ :
Tuổi Ngựa
Tuổi Voi
Bớc 2:
Giá trị một phần là :

75 : (4- 1) = 25 (tuổi)
Tuổi ngựa là :
25 x 1 = 25 (tuổi)
Tuổi voi là :
25 x 4 = 100 (tuổi)
Đáp số : Ngựa : 25 tuổi
Voi : 100 tuổi
Ví dụ 4 : Sau 7 năm nữa thì tuổi của Hùng sẽ gấp 3 lần của trớc đây 5
năm. Tính tuổi Hùng hiện nay.
Bài giải:
Cách 1 : Giải bằng phơng pháp sơ đồ đoạn thẳng
Phân tích : Bài toán đề cập đến tuổi của Hùng ở 3 thời điểm: Hiện nay,
sau 7 năm, cách đây 5 năm. Mà tuổi của Hùng 7 năm nữa nhiều hơn tuổi của
Hùng trớc đây 5 năm trớc là :
5 + 7 = 12
Ngoài ra đề bài còn cho tỉ số tuổi của Hùng ở hai thời điểm 7 năm nữa
và 5 năm trớc là 3. Vậy bài toán đợc đa về dạng tìm hai số khi biết hiệu và tỉ
số của hai số đó.
Ta có sơ đồ :
13
Đề tài nghiên cứu khoa học GVHD : T.S Trần Ngọc Lan
?
Trớc đây
12 tuổi
Sau này
Trớc đây 5 năm tuổi củ Hùng là:
12 : (3 - 1 ) = 6 (tuổi)
Tuổi Hùng hiện nay là :
5 + 6 = 11 (tuổi)
Đáp số : 11 tuổi

Cách 2 : Giải bằng phơng pháp lựac chọn.
Phân tích : Đối với các bài toán này ta có thể sử dụng phơng pháp
thử chọn : Tuổi Hùng 5 năm trớc là số phải lớn hơn hoặc bằng 1 và lần lợt thử
từng trờng hợp ta sẽ có đợc kết quả thoả mãn điều kiện tuổi của Hùng 7 năm
sau gấp 3 lần tuổi của Hùng 5 năm trớc.
Lập bảng :
5 năm trớc 7 năm sau Kết luận
1 13 Loại
2 14 Loại
3 15 Loại
4 16 Loại
5 17 Loại
6 18 Loại
Tuổi Hùng hiện nay là :
18 - 7 = 11 (tuổi)
Đáp số : 11 tuổi
IV. Điều tra thực trạng việc giảng dạy các bài toán về tìm hai số khi
biết tổng (hiệu) và tỷ số của hai số:
1. Phơng pháp giảng dạy của giáo viên:
Qua việc trao đổi với một số đồng nghiệp ở trờng tiểu học Yên Sơn 1 -
Thanh Sơn - Phú Thọ. Cùng với sự hiểu biết của bản thân, tôi nhận thấy khi
nhận dạy nội dung này giáo viên đã đạt đợc những u điểm sau:
- Về mặt kiến thức : Giáo viên đã truyền thụ một cách chính xác, đầy đủ
các nội dung bài học cho học sinh.
- Về mặt phơng pháp : Giáo viên đã có sự kết hợp hài hoà hợp lý các ph-
ơng pháp giảng dạy để làm nổi bật trọng tâm của bài.
- Để giúp học sinh nắm vững kiến thức giáo viên a ra các ví dụ khác để
minh hoạ gần gũi các em và yêu cầu học sinh đa rác ví dụ khác để minh hoạ
thêm cho bài học.
14

Đề tài nghiên cứu khoa học GVHD : T.S Trần Ngọc Lan
Giáo viên bám sát sách giáo khoa kết hợp kinh nghiệm vốn có của bản
thân theo tinh thần đổi mới của phơng pháp dạy học, giáo viên đã thiết kế sử
dụng phiếu học tập.
Song bên cạnh đó những u điểm đã đạt đợc vẫn còn một số hạn chế mà
giáo viên còn vớng mắc.
- Trong dạy bài mới giáo viên cha thực sự quan tâm đến ba đối tợng
học sinh mà chỉ chú ý đến tới trình độ chung của học sinh
- Giáo viên cha đa ra các phơng pháp và hình thức tổ chức dạy học phù
hợp để giúp các em tiếp thu tốt hơn, có hứng thú khi học bài.
- Có một số giáo viên chủ quan dạy qua loa nên gặp những bài toán có
tổng ( hiệu) hoặc tỷ số ẩn, học sinh không xác định đợc dạng toán, không giải
đợc bài.
Ví dụ 1:
Một hình chữ nhật có chu vi 350 m, chiều rộng bằng 3/4 chiều dài. Tính
diện tích hình chữ nhật đó.
2. Việc học của học sinh:
Đối với học sinh đa số các em biết giải bài toán về tìm hai số khi biết
tổng (hiệu) và tỷ số của chúng các em có hiểu bài có hứng thú học tập vì kiến
thức phù hợp với nhận thức và trình độ chung của học sinh. Tuy vậy vẫn còn
một số em cha xác định đợc tổng hiệu và cha tóm tắt đợc bài toán bằng sơ đồ
đoạn thẳng do đó dẫn đến không giải đợc bài toán hoặc giải đợc nhng sai
không đúng yêu cầu bài toán.
Chơng II: Rèn luyện một số thao tác t duy cho học sinh
lớp 4 qua việc dạy học giải một số bài Toán về tỷ số.
Các bài toán về tỷ số là một trong những nội dung của dạy học giải toán
nên việc dạy và học chúng cũng nhằm mục tiêu đào tạo con ngời phát triển
toàn diện. Tuy nhiên để đạt đợc các mục tiêu đó (trớc hết là việc rèn luyện các
thao tác t duy cho học sinh qua việc giải các bài toán về tỷ số) thì ngoài việc
trang bị cho học sinh các kiến thức nh khái niệm về tỷ số, tỷ lệ xích hệ

thống hoá các dạng bài toán về tìm hai số khi biết tổng ( hiệu) và tỷ số của
chúng thì ngời giáo viên cần phải có những phơng pháp dạy học để giúp học
sinh có khả năng giải toán nhanh gọn và chính xác.
Để làm đợc điều đó cần phải rèn luyện một số thao tác t duy cho học
sinh.
I. Rèn luyện t suy cho học sinh trong quá trình dạy học toán:
1. Rèn luyện t duy là gì?
15
Đề tài nghiên cứu khoa học GVHD : T.S Trần Ngọc Lan
Theo R.S. NicKerSon : Dạy học sinh t duy là làm cho họ có kỹ năng t
suy hiệu quả hơn, có ý thức phê phán, lô gíc sáng tạo và sâu sắc hơn. Nói cách
khác, dạy cho ngời học có kiến thức để t duy tốt.
Rèn luyện t duy cho học sinh trong dạy học toán ở bậc tiểu học : Trong
các môn học ở nhà trờng tiểu học thì môn học toán là một trong các môn học
có nhiều giờ và do tính chất đặc thù của môn học, nó có rất nhiều lợi thế trong
việc rèn luyện và phát triển t duy cho học sinh. Vì vậy yêu cầu đặt ra đối với
mỗi giáo viên là biết lựa chọn nội dung thích hợp và tổ chức các hoạt động vừa
sức để từng bớc rèn luyện t duy cho học sinh một cách đúng mức.
2. Phơng pháp rèn luyện t duy cho học sinh trong dạy toán bậc tiểu
học:
Kết quả nghiên cứu của tâm lý học, giáo dục học và lý luận dạy học
hiện đại cho phép rút ra các con đờng rèn luyện năng lực t duy cho học sinh
qua môn Toán nh sau:
2.1. Con đờng thứ nhất : Rèn luyện các thao tác t duy cơ bản, bớc đầu
của t duy cho học sinh là dạy các thao tác t duy cơ bản. Nếu trong dạy học
không xác định đợc điều đó thì không thể nói đến dạy học phát triển. Có nhiều
thao tác t duy nhng khi dạy học các nội dung toán học ở tiểu học cần chú
trọng đến các thao tác t duy sau:
- Phân tích và tổng hợp.
- So sánh.

2.2. Con đờng thứ hai : Rèn kỹ năng suy luận và t duy hình thức qua
cách sử dụng ngôn ngữ, ký hiệu toán học.
Để rèn luyện cho học sinh kỹ năng suy luận, trớc hết cần rèn luyện cách
sử dụng ngôn ngữ, ký hiệu toán học chính xác thông qua các tình huống toán
học với các nhiệm vụ cụ thể, các cách thờng làm là tạo ra nhiệm vụ buộc cho
học sinh phải thể hiện cách lập luận nh : Phải trình bày bài giải của các bài
toán có lời văn, phải lập luận để bảo vệ ý kiến hoặc phải kiểm tra các lập luận
để phát hiện sai sót trong diễn đạt và đa ra cách sửa chữa hoàn thiện.
2.3. Con đờng thứ 3 : Rèn luyện các loại hình t duy để hình thành phẩm
chất trí tuệ:
2.3.1. Rèn luyện t duy phê phán
2.3.2. Rèn luyện t duy giải toán
2.3.3. Rèn luyện t duy sáng tạo.
II. Rèn luyện t duy cho học sinh qua việc tìm lời giải và giải bài
toán:
16
Đề tài nghiên cứu khoa học GVHD : T.S Trần Ngọc Lan
Giải các bài toán về dạng tỉ số cũng nh giải bất kỳ một bài toán nào
trong chơng trình phổ thông hay tiểu học đều phải tuân theo quy trình 4 bớc:
Bớc 1 : Tìm hiểu nội dung bài toán
Bớc 2 : Tìm và xây dựng kế hoạch bài giải.
Bớc 3 : Thực hiện kế hoạch.
Bớc 4 : Nghiên cứu sâu lới giải bài toán.
Qua việc tiến hành giải bài toán theo quy trình 4 bớc sẽ dần dần hình
thành ở học sinh các thao tác t duy (so sánh, phân tích, tổng hợp, khái quát
hoá, trừu tợng hoá)
1. Tìm hiểu nội dung bài toán:
Tìm hiểu nội dung bài toán chính là việc xem xét, nghiên cứu bài toán
đã cho.
Mỗi bài toán đều có 3 yếu tố cơ bản : Dữ kiện là cái đã cho đã biết

trong đề bài, ẩn số là cái cha biết, cái cần tìm và những điều kiện là quan hệ
giữa các dữ kiện và ẩn số. Hiểu rõ đề bài là chia ra và phân biệt rành mạch 3
yếu tố đó. ở bớc này giáo viên cần cho học sinh đọc kỹ để tìm hiểu nội dung
bài toán, để kiểm tra việc học sinh đọc và hiểu đề toán. Giáo viên cho học sinh
nhắc lại nội dung đề bài bằng cách diễn đạt của mình. Trừ những bài toán quá
phức tạp, thì nói chung chúng ta phải nhập cho học sinh thói quen tự tìm hiểu
đề toán. Để tìm hiểu và hớng dẫn học sinh thì chúng ta thờng hỏi hai câu hỏi:
- Bài toán cho biết gì?
- Bài toán hỏi gì?
Trong quá trình giải các bài toán về tỷ số cần đặc biệt hớng sự chú ý của
học sinh đến việc xác định chính xác tỉ số đã cho là so sánh giữa đại lợng nào
với đại lợng nào? Đâu là các đại lợng tỉ lệ với nhau? Đâu là cái đã thuộc đại l-
ợng thứ nhất? Đâu là cái đã cho, cần tìm thuộc đại lợng thứ hai?
Trên cơ sở phân biệt rõ cái đã cho (dữ kiện). Cái gì là điều kiện, cái cần
tìm (ẩn số), cần làm cho học sinh biết tóm tắt bài toán dới dạng ngắn gọn, cô
đọng nhất nghĩa là khi tóm tắt đề toán cần gạt bỏ những cái không bản chất,
thứ yếu để hớng sự chú ý suy nghĩ của học sinh vào những điểm chính của đề
toán.
Ví dụ 1: Trong vờn cây ăn quả có 105 cây Na và cây Hồng, số cây
Hồng nhiều gấp đôi số cây Na. Tính số cây mỗi loại.
Hớng dẫn học sinh tìm hiểu nội dung bài toán theo các bớc:
Bớc 1 : Yêu cầu học sinh đọc kỹ đề bài
Bớc 2 : Yêu cầu học sinh trả lời câu hỏi
17
Đề tài nghiên cứu khoa học GVHD : T.S Trần Ngọc Lan
1/ Bài toán cho biết gì? (tổng số cây Hồng và cây Na là 105 cây, tỉ số
cây Hồng và cây Na là 2)
2/ Bài toán yêu cầu tìm gì? (tìm số cây Na và cây Hồng)
Bớc 3 : Yêu cầu học sinh tóm tắt bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng:
?cây

Số cây Na :
Số cây Hồng :
?cây
Ví dụ 2 : Lớp 5 A số học sinh nam bằng
3
1
số học sinh nữ, biết số học
sinh nữ nhiều hơn số học sinh nam là 12 bạn. Tính số học sinh nam và học
sinh nữ.
Hớng dẫn học sinh tìm hiểu nội dung bài toán
Bớc 1 : Yêu cầu học sinh đọc kỹ đề bài
Bớc 2 : Yêu cầu học sinh trả lời câu hỏi
1/ Bài toán cho biết gì? (Hiệu số bạn nữ và bạn nam là 12)
Tỉ số của bạn nam và bạn nữ là
3
1
)
2/ Bài toán yêu cầu gì? (Tìm số bạn nam, tìm số bạn nữ)
Bớc 3 : Yêu cầu học sinh tóm tắt đề toán bằng sơ đồ đoạn thẳng.
?bạn
Số bạn nam 12 bạn
Số bạn nữ
? bạn
Việc hớng dẫn học sinh tìm hiểu nội dung bài toán theo một trình tự
nhất định sẽ rèn luyện cho các em kỹ năng tự tìm hiểu các vấn đề trong học
tập và trong cuộc sống để từ đó tìm ra cách giải quyết chúng một cách nhanh
chóng, chính xác.
2. Tìm và xây dựng kế hoạch giải bài toán :
Việc nắm vững nội dung nhất là 3 yếu tố cơ bản của bài toán yêu cầu
đầu tiên nhng cha đủ, nếu học sinh cha có hứng thú, có quyết tâm giải nó đó là

do học sinh cảm thấy tự tin, thấy mình ít nhiều có khả năng giải nó. Vì vậy đa
ra cho học sinh những bài toán vừa sức rất là quan trọng. Còn việc tìm ra ph-
ơng pháp giải là một động t duy phức tạp vừa đòi hỏi kinh nghiệm thực hành
vừa đòi hỏi sự linh hoạt, sáng tạo nên trớc hết cần giúp các em nắm đợc một
số phơng pháp phổ biến và các thủ thuật giải toán thờng gặp.
Các dạng bài toán về tỷ số phần lớn là các bài toán hợp. Một số dạng
toán có phơng pháp giải đặc thù và hậu hết mỗi bài toán đều đợc giải bằng
18
105 cây
Đề tài nghiên cứu khoa học GVHD : T.S Trần Ngọc Lan
nhiều phơng pháp với nhiều cách giải khác nhau. Để học sinh giải đợc các bài
toán hợp về tỉ số thì cần hớng dẫn các em nắm chắc phơng pháp giải các bài
toán đơn qua việc giải các bài toán cụ thể.
trong bớc tìm và xây dựng kế hoạch giải toán học sinh cần phân tích,
tổng hợp, so sánh, khái quát để tìm đợc cách giải quyết vấn đề nhanh chóng và
mất ít thời gian nhất. Vì thế ngời giải toán cần nắm vững các đờng lối giải
chung, đồng thời phải phát hiện đúng cái riêng để chọn một đờng lối thích hợp
nhất. Các phơng pháp chung thờng đợc sử dụng để tìm và lập kế hoạch gải
toán là các phơng pháp sau:
- Phơng pháp phân tích và tổng hợp
- Dẫn về một bài toán đã biết cách giải.
Để vận dụng phơng pháp (thủ thuật) trên học sinh cần phải linh động
sáng tạo, tích cực t duy.
* Phân tích tổng hợp:
Phơng pháp phân tích là phơng pháp suy luận đi ngợc từ điều cần tìm
đến điều đã biết, hay nói cách khác phân tích là tập trung suy nghĩ vào câu hỏi
của bài toán, nghĩ xem muốn trả lời đợc câu hỏi đó thì cần phải biết những gì?
làm phép tính gì? trong điều kiện cần biết đó, cái nào đã cho sẵn trong bài
toán, cái nào phải tìm? Muốn tìm đợc cái này phải biết những gì? Cứ nh thế
ta suy nghĩ ngợc lên, từ câu hỏi của bài toán trở về các điều kiện đã cho trong

bài toán.
Còn tổng hợp là phơng pháp suy luận từ điều đã biết đến điều cần tìm.
Khi phân tích một đề toán cũng có thể suy nghĩ xem từ các điều đã cho trong
bài toán ta có thể suy ra điều gì? Tính ngay đợc cái gì? Từ những cái đó có suy
ra hoặc tính đợc điều gì giúp ích cho việc giải toán hay không. Cứ nh thế ta
suy dần dần từ cái đã cho đến câu hỏi bài toán.
Phân tích tổng hợp là 2 cách giải suy luận khác nhau để phân tích một
bài toán hợp thành các bài toán đơn (biến đổi bài toán) nhằm thiết lập trình tự
giải. Trong thực tế nhiều khi ta phải phối kết hợp hai cách này với nhau để tìm
đợc cách giải dễ dàng hơn.
* Đa về một bài toán đã biết cách giải:
Để định hớng cho học sinh và để học sinh tự định hớng suy nghĩ tìm ra
lời giải thì giáo viên cũng cần hớng học sinh biết dẫn bài toán cần giải về một
bài toán mà các em đã biết cách giải hoặc có thể liên tởng đến hành động thực
tiễn nào đó mà các em đã thực hiện để giải quyết một nhiệm vụ nào đó. Thủ
thuật Dẫn một bài toán đã biết cách giải đợc thực hiện bằng một hệ thống
các câu hỏi - đáp thích hợp:
- Em đã gặp bài toán này lần nào cha?
19
Đề tài nghiên cứu khoa học GVHD : T.S Trần Ngọc Lan
- Hãy xem kỹ cái cha biết và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có
cùng cái cha biết tơng tự.
- Hãy giữ lại một phần điều kiện bỏ qua một phần kia, khi đó cái cần
tìm đợc xác định đến một chừng mực nào đó, nó biến đổi nh thế nào ? có thể
thay đổi cái cần tìm hay cái đã cho
Ngoài ra trong quá trình hớng dẫn học sinh tìm hiểu nội dung bài toán
ta có thể hớng dẫn các em tới việc thay đổi cách phát triển bài toán để tìm lời
giải. Nghĩa là thay thế bài toán đã cho bằng một bài toán khác tơng tự với nó
nhng quen thuộc hơn, dễ hiểu hơn. Việc thay đổi hợp lý nhằm đơn giản rõ
ràng các qua hệ bài toán và dần tiến tới cách giải, điều đó đợc minh hoạ bằng

ví dụ dới đây:
Ví dụ 3:
Một mảnh đất hình chữ nhật có tổng 2 cạnh liên tiếp bằng nhau 420 m,
chiều rộng bằng
3
2
chiều dài. Tính chiều rộng, chiều dài của mảnh đất hình
chữ nhật đó.
Rất nhiều học sinh lúng túng trớc dữ kiện tổng 2 cạnh liên tiếp của
mảnh đất hình chữ nhật liên tiếp bằng 420 m. Ngời giáo viên cần giúp học
sinh hiểu 2 cạnh liên tiếp của hình chữ nhật chính là chiều dài và chiều rộng.
Vậy bài toán có thể viết nh sau:
Một mảnh đất hình chữ nhật có tổng của chiều dài và chiều rộng là
420 m, chiều rộng bằng
3
2
chiều dài. Tính chiều rộng, chiều dài của mảnh đất
hình chữ nhật đó
Ví dụ 4:
Năm nay tổng số tuổi của mẹ và Nam là 48 tuổi. Tính tuổi của
mỗi ngời, biết rằng tuổi của Nam bao nhiêu ngày thì tuổi của mẹ là bấy nhiêu
tuần.
Với bài toán này thì cũng không ít học sinh lũng túng trớc dữ kiện
Tuổi của Nam bao nhiêu ngày thì tuổi của mẹ bấy nhiêu tuần. Trên thực tế 1
tuần có 7 ngày nên bài toán có thể phát biểu nh sau:
Năm nay tổng số tuổi của Nam và Mẹ là 48 tuổi. Tính tuổi của mỗi ng-
ời, biết rằng tuổi của Nam bằng
7
1
tuổi của mẹ.

Theo cách phát biểu nh trên thì học sinh nhận ra ngay đây là dạng bài
toán tìm hai số khi tổng và tỉ số của chúng.
20
Đề tài nghiên cứu khoa học GVHD : T.S Trần Ngọc Lan
Nh vậy khi gặp một bài toán chúng ta cần phân tích để đa bài toán về
dạng đơn giản nhng vẫn không làm thay đổi bản chất của bài toán. Từ đó dễ
dàng tìm đợc cách giải bài toán. Có những bài đọc khi đọc ta tởng chừng là rất
mới, rất khó nhng ta thay đổi cách phát biểu phân tích bài toán thật kỹ thì sẽ
tìm ngay đợc cách giải phù hợp hoặc đa về dạng bài toán quen thuộc. Vì vậy
việc giải chúng sẽ trở nên đơn giản hơn.
Ví dụ 1 : Ta hớng dẫn học sinh phân tích nh sau:
- Bài toán trên thuộc dạng bài toán gì? (bài toán về tìm hai số khi biết
tổng và tỉ số của hai số đó)
- Loại toán này các em đã làm cha? (rồi)
- Muốn giải bài toán về tìm hai số khi biết tổng và tỉ của chúng phải làm
qua mấy bớc ? (4 bớc)
+ Bớc 1: Vẽ sơ đồ đoạn thẳng
+ Bớc 2 : Tìm giá trị một phần
+ Bớc 3: Tìm số thứ nhất
+ Bớc 4 : Tìm số thứ hai
Tìm và xây dựng kế hoạch giải toán là bớc yêu cầu học sinh tích cự t
duy, thiết lập mối quan hệ giữa dữ kiện và ẩn số và điều kiện của bài toán,
đồng thời nó cũng yêu cầu các em phải phân tích, tổng hợp, so sánh và khái
quát để tìm đợc các bài toán liên quan đến bài toán cần giải để từ đó tìm đợc
cách giải bài toán nhanh gọn nhất. Đây là khâu quyết định tính đúng sai lệch
của lời giải bài toán.
3. Thực hiện chơng trình giải toán:
Sau khi đã xây dựng đợc kế hoạch giải toán công việc tiếp theo là thực
hiện kế hoạch đó. Học sinh thực hiện các phép tính mà bớc 2 đã tìm ra và trình
bày lời giải, mỗi bài giải của bất kỳ bài toán lời văn nào cũng gồm:

1. Câu trả lời
2. Phép tính số học
3. Đáp số.
Giải ví dụ 1 : Bài giải
Giá trị của mỗi phần là :
105 : (2+1) = 35 (cây)
Số cây Hồng là :
35 x 2 = 70 (cây)
Số cây Na là :
35 x 1 = 35 (cây)
Đáp số : 70 cây Hồng
21
Đề tài nghiên cứu khoa học GVHD : T.S Trần Ngọc Lan
35 cây Na
* Giải ví dụ 2 : Bài giải
Giá trị của mỗi phần bằng nhau là :
12 : (3 -1 ) = 6 (bạn)
Học sinh nam là :
6 x 1 = 6 (bạn)
Học sinh nữ là :
6 x 3 = 18 (bạn)
Đáp số: Học sinh nam : 6 bạn
Học sinh nữ : 18 bạn
Bớc đầu thực hiện kế hoạch giải chính là bớc tổng hợp, khái quát lại
những điều đã phân tích lại ở bớc 2. Bớc này do học sinh thực hiện, giáo viên
chỉ hớng dẫn học khi thấy học sinh còn sai sót trong trình bày lời giải.
4. Kiểm tra và nghiên cứu sâu lời giải:
Sau khi làm song bài toán, cần tạo cho học sinh thói quen kiểm tra lại
những điều đã thực hiện, việc kiểm tra lời giải nên tiến hành hai bớc định tính
và định lợng.

Kiểm tra về việc định tính là việc xác định lại tính đúng đắn của việc
lựa chọn phơng pháp giải: Nếu phát hiện đợc các sai sót nào về mặt định tính
thì phần định lợng không cần kiểm tra nữa (vì khi đó lời giải chắc chắn sai)
Kiểm tra kết quả định lợng là việc rà soát lại quá trình thao tác đã dùng
khi giải toán (phần lời giải, phần thực hiện phép tính, tính toán, đơn vị ) đã
đúng cha. Công việc này phải làm sau khi đã kiểm tra định tính. Công việc
này tiến hành thờng xuyên và có chất lợng sẽ giúp ích nhiều cho ngời giải
toán.
Ngoài việc kiểm tra bài toán giải còn giúp học sinh nghiên cứu kỹ hơn
về lời giải bài toán, tìm ra các cách khác nhau để giải bài toán đã cho hoặc có
thể đặt ra các bài toán khác trừ bài toán đã cho (bớc này dành cho học sinh
khá và giỏi). Để thực hiện đợc bớc này cũng dẫn dắt bằng 1 hệ thống câu hỏi:
- Có thể tìm đợc kết qủa bằng cách khác không, nếu tim đợc nhiều cách
giải thì hãy so sánh các cách giải đó, với cách giải đó đã đợc trình bày để tìm
ra lời giải ngắn gọn, hợp lý nhất.
- Có thể sử dụng hay phơng pháp đó vào một bài tơng tự, một bài toán
tổng quát hơn hay một bài toán nào khác không.
Các dạng bài toán về tỷ số thiết lập mối quan hệ giữa nhiều đại lợng,
nhiều yếu tố nên trong quá trình giải ta có thể tìm đợc nhiều phơng pháp giải
với nhiều cách khác nhau. Mỗi bài toán khi phân tích theo các định hớng khác
nhau sẽ cho ta một định hớng, một phơng pháp, một cách giải khác nhau.
22
Đề tài nghiên cứu khoa học GVHD : T.S Trần Ngọc Lan
Chính vì vậy trong quá trình học giải toán nói chung và dạy học giải toán về tỷ
số nói riêng, chúng ta không ngừng khuyến khích học sinh sáng tạo đa ra
nhiều cách giải. Đối với định hớng đúng cần cho học sinh thực hiện chơng
trình giải của mình để cho cả lớp theo dõi, nhận xét.
Còn đối với những định hớng sai, giáo viên cần phân tích cái sai, uốn
nắn sửa sai cho học sinh. Sau khi học sinh đã nêu đợc tất cả các cách giải khác
nhau, giáo viên cần yêu cầu học sinh nhận xét xem cách giải nào đúng nhất,

hay nhất, phù hợp nhất để có thể vận dụng cho những bài tơng tự.
Việc phân tích để giải những bài toán bằng các cách khác nhau đối với
học sinh là 1 yêu cầu cao. Tuy nhiên nếu ngời giáo viên hớng dẫn học sinh
làm tốt đợc bớc này một cách thờng xuyên và có chất lợng, thì sẽ mang lại
hiệu quả cao trong việc rèn luyện và phát triển t duy cho học sinh.
Thực hiện giải toán tuần tự theo các bớc: tìm hiểu nội dung bài toán, tìm
và lập kế hoạch giải bài toán, thực hiện kế hoạch giải bài toán và kiểm tra lời
giải không những rèn luyện và phát triển các thao tác t duy cho học sinh mà
còn hình thành đợc ở các em thói quen giải quyết các vấn đề có kế hoạch.
Nói tóm lại: Để rèn luyện đợc t duy cho học sinh lớp 4 qua việc giải các
dạng toán về tỷ số, bên cạnh việc hệ thống hoá các kiến thức về tỷ số, phân
loại các dạng bài toán thì phơng pháp dạy học của giáo viên phaaair luôn tích
cực hoá hoạt động của học sinh nhng cũng không làm mất vai trò tổ chức điều
khiển hoạt động của mình, có rất nhiều cách để kích thích hứng thú học tập,
rèn luyện các thao tác t duy cho học sinh. Một trong những phơng tiện để đạt
đợc mục đích trên là hệ thống những câu hỏi của giáo viên. Cần đặt cho học
sinh những câu hỏi gợi ý đúng tình huống để học sinh dần dần biết sử dụng.
Câu hỏi này nh những phơng tiện kích thích suy nghĩ, tìm tòi, dự đoán, phát
hiện để thực hiện từng bớc quy trình giải toán. Mục đích để giải đợc bài toán
mà mục đích cao hơn cả là rèn luyện phát triển t duy cho các em, rèn luyện
phơng pháp học. Bồi dỡng và phát triển năng lực cá nhân, đào tạo ra những
con ngời đáp ứng đợc yêu cầu xã hội. Những câu hỏi trên lúc đầu là do giáo
viên đa ra để hỗ trợ cho học sinh nhng dần dần biến thành vũ khí của học
sinh, đợc học sinh tự nêu ra đúng lúc, đúng chỗ để gợi ý cho từng bớc đi của
mình. Trong quá trình giải toán quan trọng hơn cả là các câu hỏi đa ra phải
khơi dậy đợc sự sáng tạo, hứng thú tìm hiểu về vấn đề sâu hơn nữa ở học sinh.
III. Rèn luyện t duy cho học sinh qua việc cho các em tiếp xúc với bài
toán có lời giải sai:
Nhận thức của học sinh tiểu học thờng nhận thức cảm tính t duy của các
em dự vào trực quan, khả năng tởng tợng của các em còn hạn chế, suy luận

23
Đề tài nghiên cứu khoa học GVHD : T.S Trần Ngọc Lan
của các em không phải là suy luận lô gíc là mộ dãy các phán đoán gián đoạn,
mò mẫm, cha phải là phán đoán có ý nghĩa.
Về khái niệm tỉ số, tỉ lệ xích không phải là những khái niệm cụ thể mà
là những khái niệm trừu tợng nên việc tiếp thu và vận chúng phần nào gây khó
khăn cho học sinh. Do vậy khi giải các dạng toán về tỉ số, học sinh thờng mắc
một số sai lầm. Chỉ ra đợc sai lầm trong lời giải của học sinh là cần thiết song
quan trọng hơn là giáo viên cần phân tích, tìm nguyên nhân và biện pháp khắc
phục những sai lầm đó cho học sinh để việc dạy học đạt kết quả cao.
Những sai lầm rất phong phú, đa dạng, trong đó có cả sai lầm bản chất
và sai lầm không bản chất. Qua việc nghiên cứu những bài tập học sinh đã làm
và qua trao đổi với giáo viên lớp 4A, 4B, 4C và tổ chuyên của ttrờng tiểu học
Văn Miếu 2, tôi thấy học sinh thờng mắc các lỗi sau:
- Sai lầm do không hiểu cách thực hiện phép tính
- Sai lầm do tính toán và chuyển đổi đơn vị đo
- Sai lầm trong câu trả lời và việc trình bày lời giải
- Sai lầm trong xác định dạng toán
Ví dụ:
Một hình chữ nhật có chiều rộng bằng
3
2
chiều dài
Biết chiều dài hơn chiều rộng 2000 cm
Tính chiều dài, chiều rộng dới đơn vị đo là m.
* Phân tích:
Nếu học sinh không đọc kỹ đề bài và không nắm chắc cách
chuyển đổi đơn vị đo thì dẫn đến giải sai bài toán, nh đổi 2000 cm = 200m
(sai) hay tỉ số
5

3
giữa chiều rộng và chiều dài sẽ cho là chiều rộng 5 phần,
chiều dài 3 phần nhng thực tế của bài toán là chiều rộng 3 phần, chiều dài 5
phần và hiệu của chiều dài với chiều rộng là 2000mcm hay 20m.
Nh vậy học sinh không hiểu nội dung bài toán dẫn đến giải sai (nh các
lỗi đã nêu ở trên)
Những sai lầm trên là nguyên nhân và có thể khắc phục đợc. Trong qua
trình dạy học giải toán, khi đã nắm vững đợc các sai lầm mà học sinh thờng
mắc phải, ta có thể cho học sinh tiếp xúc với các bài giải sai của một bài toán
để các em phát hiện ra chỗ sai, sau đó tìm ra nguyên nhân sai và sửa lại cho
đúng. Làm nh vậy sẽ giúp các em hiểu bài sâu hơn nắm chắc đợc các dạng
toán đặc biệt là không mắc phải sai lầm tơng tự nên nó còn có thể phát triển ở
các em khả năng phân tích, phát hiện và giải quyết vấn đề do đó phát triển đợc
t duy cho các em.
24
Đề tài nghiên cứu khoa học GVHD : T.S Trần Ngọc Lan
Bên cạnh đó việc đa ra các bài toán với lời giải sai còn tạo ra một hiệu
ứng rất quan trọng đó là tạo hứng thú học tập cho học sinh. Đa ra lời giải sai
cho một bài toán yêu cầu tìm ra sai lầm, chỉ ra nguyên nhân và sửa lại cho
đúng là ta đã thay đổi cách thức đa ra nhiệm vụ học tập. Sự thay đổi này sẽ tạo
hứng thú, tạo sự tò mò, kích thích sự tìm tòi khám phá của học sinh. Do đó các
em sẽ nỗ lực hơn trong việc giải quyết nhiệm vụ học tập.
Để làm điều này, chúng ta cần thực hiện theo hai bớc sau:
Bớc 1 : Phân tích những sai lầm học sinh thờng mắc phải để soạn ra các
bài toán với lời giải sai cho học sinh sửa lại.
Bớc 2 : Cho học sinh làm các ví dụ tơng tự để củng cố lại kiến thức cho
các em.
Rèn luyện và phát triển t duy cho học sinh là một việc làm đòi hỏi nhiều
thời gian và công sức. Trên đây chỉ là đề xuất nhỏ nhằm rèn luyện t duy cho
học sinh

Chơng III: Thực nghiệm s phạm
Để rèn luyện các thao tác t duy cho học sinh lớp 4 qua một số bài toán
về tỉ số, tôi đã tiến hành 2 tiết dạy thực nghiệm.
I. Mục đích thực nghiệm:
Thực nghiệm phơng pháp dạy học mới bằng cách xây dựng phiếu học
tập, phiếu khảo sát chất lợng học sinh sau tiết dạy: Từ đó rút ra những điều cần
thiết khi dạy học sinh giải bài toán về tìm hai số khi biết tổng (hiệu) và tỷ số
của chúng.
II. Phơng pháp thực nghiệm.
1. Dùng phiếu học tập, phiếu kiểm tra khảo sát chất lợng học sinh (trò
chơi trắc nghiệm).
2. Phơng pháp thống kê sử lý số liệu để đánh giá hai tiết dạy thực
nghiệm.
III. Nội dung thực nghiệm :
Tôi đã chọn lớp 4 A là lớp dạy thực nghiệm và lớp 4B là lớp đối chứng.
Tiết 1 : Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó.
Tiết 2 : Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó.
1. Giáo án của hai tiết dạy thực nghiệm.
25