Đề tài nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng Giúp học sinh lớp 8 phát hiện phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử nhằm nâng cao năng lực giải Toán

MC LC
1. Đt vn đ …………………………………………………………… Trang 3
2. Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm……………………………… Trang 4
2.1. Cơ s l lun ……………………………………………………… Trang 4
2.2. Thc trng của vấn đề……………………………………………… Trang 4
2.3. Các biện pháp tiến hành……………………… ………………… Trang 6
2.3.1. Giải pháp mới của SKKN………………………… Trang 6
2.3.2. Biện pháp tiến hành ………………………………… Trang 7
2.3.2.1. Củng cố kiến thức cơ bản qua các phương pháp cơ bản Trang 7
2.3.2.2. Vn dụng và phát triển kĩ năng qua phương pháp: Phối hợp
các phương pháp thông thường…………………………………………
Trang 17
2.3.2.3. Phát triển tư duy qua 2 phương pháp phân tch mới …… Trang 20
2.3.2.4. Các dng bài tp ứng dụng phân tch đa thức thành nhân tử … Trang 28
* Các bài tp liên quan …………………………………………………….Trang 28
* Các bài tp tương t…………………………………………………….Trang 31
2.4. Hiệu quả của SKKN …………………………………………… Trang 33
3. Kết lu$n …………………………………….…………………………Trang 34
*
Kết quả đt được…………………………………………………
Kết quả đt được………………………………………………… Trang 34
* Bài học kinh nghiệm……………………………………………… Trang 34
4. Kiến ngh&, đ xut……………………………… ………………… Trang 35
* Tài liệu tham khảo…………………………………………………… Trang 36
1
1. Đt vn đ
Toán học là môn học giữ vai trò quan trọng trong suốt bc học phổ thông.
Là một môn học khó, đòi hỏi mỗi học sinh phải có s nỗ lc lớn để chiếm lĩnh
tri thức cho mình. Chnh vì vy việc tìm hiểu cấu trúc của chương trình, nội
dung của sách giáo khoa, nắm vững phương pháp dy học, từ đó tìm ra những
phương pháp hay truyền đt cho học sinh là nhiệm vụ phải làm của mỗi giáo

viên.
Trong chương trình Đi số lớp 8, Phân tch đa thức thành nhân tử là một
phần quan trọng cả về mặt kiến thức lẫn kĩ năng thc hiện đối với học sinh. Nó
có thể được coi là nội dung nòng cốt của chương trình. Kĩ năng phân tch đa
thức thành nhân tử là một kĩ năng cơ bản quan trọng, nếu nắm vững và thành
tho kĩ năng này thì học sinh có khả năng giải quyết nhiều vấn đề toán học có
liên quan sau này.
Xuất phát từ thc tế giảng dy  Trường THCS Ba Cụm Bắc, qua việc
theo dõi kết quả bài thc hành, bài kiểm tra của học sinh lớp 8, tôi thấy để làm
đúng kết quả của bài toán phân tch đa thức thành nhân tử là vấn đề nan giải đối
với đa số học sinh. Tình trng chung là lúng túng, mơ hồ, không biết phương
pháp để giải quyết vấn đề đặt ra. Ngoài ra còn mắc những sai lầm khi phân tch,
đặc biệt là đối với học sinh trung bình, học sinh yếu; từ đó các em cũng gặp
không t khó khăn trong việc giải những bài toán ứng dụng có liên quan; dẫn đến
hiện tượng chán nản, ngi khó. Ngược li, đối với số t học sinh khá, giỏi thì giải
bài toán phân tch đa thức thành nhân tử làm cho các em hết sức thch thú và
không kém phần say mê.
Trước tình hình thc tế đó, tôi thấy việc cần thiết là phải định hướng
phương pháp giải cụ thể, rèn các kĩ năng biến đổi để bổ trợ cho việc vn dụng
kiến thức vào giải các dng bài tp liên quan. Ngoài ra, nhằm to nền tảng cho
học sinh có ý thức t học và tìm tòi sáng to trong quá trình học tp nên bản
thân tôi đã chọn SKKN: Giúp học sinh lớp 8 phát hiện phương pháp phân tích
đa thức thành nhân tử nhằm nâng cao năng lực giải toán.
SKKN của tôi được nghiên cứu trong phm vi học sinh lớp 8 của Trường
THCS Ba Cụm Bắc - Khánh Sơn - Khánh Hòa. Phương pháp mà tôi sử dụng để
nghiên cứu chủ yếu là phương pháp thc nghiệm sư phm. Hình thức kiểm
nghiệm là kết quả trước khi vn dụng và sau khi vn dụng của cùng đối tượng.
2
2. Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí lu$n

Qua các năm giảng dy bộ môn Toán, tôi nhn thấy đây là bộ môn khoa
học có tác dụng phát triển tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo, phát huy tnh tch
cc trong học tp của học sinh. Ngoài ra, việc học tốt môn Toán còn giúp cho
học sinh học tốt các môn học khác. Vì vy, dưới góc độ là một giáo viên dy
Toán tôi thấy việc hướng dẫn các em nắm vững phương pháp đối với từng dng
toán là rất cần thiết.
Từ kinh nghiệm giảng dy bộ môn toán 8, tôi xét thấy dng toán 
 có vị tr khá quan trọng trong chương trình Đi số 8.
Hiện ti với lượng thời gian phân phối chương trình là 7 tiết song nội dung này
là cơ s vn dụng cho các chương sau, các dng toán khác nhau, chẳng hn: giải
phương trình, rút rọn phân thức, tnh giá trị biểu thức, chứng minh, tìm x,… Có
thể nói bài toán phân tch đa thức thành nhân tử là bài toán “đầu tiên” của các
dng toán khác. Trên cơ s đó, để giúp học sinh lớp 8 phát hiện phương pháp
phân tch đa thức thành nhân tử nhằm nâng cao năng lc giải toán là vấn đề mà
bản thân tôi hết sức quan tâm.
Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh nắm được các phương pháp, có
kĩ năng nhn biết, phân tch để giải bài toán phân tch đa thức thành nhân tử một
cách chnh xác, nhanh chóng và đt hiệu quả cao. Để thc hiện tốt điều này, đòi
hỏi giáo viên cần xây dng cho học sinh những phương pháp phân tch cụ thể,
chi tiết, rèn các kĩ năng như quan sát, nhn xét, đánh giá bài toán và các quy tắc
biến đổi. Tuỳ theo từng đối tượng học sinh, mà giáo viên xây dng cách giải cho
phù hợp trên cơ s các phương pháp đã học và các cách giải khác, để giúp học
sinh học tp tốt bộ môn.
2.2. Thực trạng của vn đ
Các bài toán phân tch đa thức thành nhân tử có thể không mấy khó khăn
đối với những học sinh khá, giỏi nhưng li khá nan giải đối với những đối tượng
học sinh trung bình, yếu kém. Bi vì, để giải được các bài tp dng này không
chỉ yêu cầu học sinh nắm vững kiến thức mà nó còn đòi hỏi học sinh cần có một
kĩ năng giải bài tp nhất định.
Trên thc tế, với mức độ tiếp thu còn chm của các em thì trong chương

trình chỉ kịp hoàn thành phần bài tp cơ bản còn việc đi sâu vào nghiên cứu,
khai thác, tìm hiểu các cách giải bài toán phân tch đa thức thành nhân tử là rất
hn chế. Đa số các em mất kiến thức căn bản  các lớp dưới, li chưa chủ động
trong học tp, còn chay lười, chưa nổ lc t học, t rèn, một số em ý thức học
3
tp còn yếu kém. Hơn nữa, với đặc thù là vùng miền núi nên phụ huynh học sinh
chưa tht s quan tâm đúng mức đến việc học tp của con em mình, phần lớn
còn phó thác cho nhà trường dẫn đến kết quả học tp còn thấp.
Tuy vy, với s trang bị khá đầy đủ bộ sách giáo khoa, sách tham khảo
của Thư viện nhà trường kết hợp với s say mê, tìm tòi học hỏi của các em học
sinh và lòng nhiệt tình, tâm huyết với nghề là điều kiện thun lợi để giúp tôi
nghiên cứu và áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này.
Năm học 2013 - 2014 tôi được nhà trường phân công giảng dy toán lớp
8, sau khi học xong các bài phân tch đa thức thành nhân tử, tôi đã cho các em
làm bài kiểm tra viết, hình thức t lun trong thời gian 45 phút với mục tiêu:
Kiểm tra mức độ nắm kiến thức và kĩ năng vn dụng vào bài tp phân tch đa
thức thành nhân tử .
Kết quả là:
Tổng HS Kết quả điểm trước khi vn dụng sáng kiến
36 0 - < 3 đ 3 đ - < 5 đ 5 - < 8 đ 8 – 10 đ
SL % SL % SL % SL %
5 13,9 9 25 21 58,3 1 2,8
Từ bài kiểm tra tôi thấy khả năng vn dụng các phương pháp đã học vào
bài toán phân tch đa thức thành nhân tử  học sinh còn mơ hồ, đa số các em còn
lúng túng, chưa tìm được hướng giải thch hợp, không biết áp dụng phương pháp
nào trước, phương pháp nào sau, hướng giải nào là tốt nhất. Một số em hiểu
được phương pháp giải nhưng li nhầm lẫn trong biến đổi, tnh toán dẫn đến kết
quả sai, có trường hợp đi đúng phương pháp nhưng phân tch bài toán chưa triệt
để.
Qua đây tôi thấy việc làm cho học sinh nắm vững phương pháp để vn

dụng kiến thức đã học vào giải toán là công việc rất quan trọng và không thể
thiếu được của người dy toán. Vì thông qua đó có thể rèn được tư duy logic,
khả năng sáng to, khả năng vn dụng cho học sinh. Để làm được điều đó thì
theo tôi, nhà giáo phải cung cấp cho học sinh các phương pháp giải cụ thể, chi
tiết để học sinh hiểu được thc chất của vấn đề, phát hiện phương pháp phù hợp
với từng bài cụ thể  các dng khác nhau. Từ đó giúp học sinh có các kĩ năng
giải toán thành tho, thoát khỏi tâm l chán nản, hoang mang, dẫn đến sợ môn
toán.
4
2.3. Các biện pháp tiến hành
2.3.1. Giải pháp mới của SKKN

- Định hướng phương pháp cụ thể cách phân tch của 3 phương pháp: Đặt
nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm hng tử. Xây dng trình t chi tiết
các bước của mỗi phương pháp phân tch.
- Phát triển tư duy cho học sinh thông qua việc giới thiệu 2 phương pháp
phân tch mới: Phương pháp tách một hng tử thành nhiều hng tử khác và
Phương pháp thêm và bớt cùng một hng tử.
a) Củng cố kiến thức cơ bản cho học sinh
- Giáo viên nêu các phương pháp:
+ Phương pháp: Đặt nhân tử chung
+ Phương pháp: Dùng hằng đẳng thức
+ Phương pháp: Nhóm nhiều hng tử
- Giáo viên chỉ ra phương pháp chung cho mỗi dng, hướng dẫn chi tiết
theo các bước cho học sinh. Sau đó cho học sinh t trình bày các bài tp tương
t với mức độ nâng dần nhằm cho học sinh thấy được các sai lầm thường gặp,
đồng thời giáo viên chữa các sai sót cho học sinh trong quá trình giải.
- Khai thác bài toán  mức độ đơn giản.
b) Vn dụng và phát triển kỹ năng cho học sinh
- Giáo viên nêu phương pháp: Phối hợp nhiều phương pháp (Phối hợp các

phương pháp trên: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm hng tử)
- Trên cơ s là các phương pháp đã học, đối với dng phối hợp nhiều
phương pháp giáo viên chỉ hướng dẫn tổng quát, cho học sinh t thc hành là
chủ yếu. Từ đó chữa các sai lầm thường gặp cho học sinh.
- Củng cố các phép biến đổi cơ bản và hoàn thiện các kĩ năng thc hành.
(Đặc biệt là kĩ năng lấy dấu ngoặc, bỏ dấu ngoặc trong đa thức)
- Tìm tòi những cách giải hay, khai thác bài toán dành cho các học sinh
khá giỏi.
- Đối với phương pháp này, giáo viên sẽ phân loi bài tp theo mức độ
khác nhau của học sinh để học sinh thc hiện đt yêu cầu. (Phân nhóm học tp
phù hợp để hướng dẫn chi tiết cho đối tượng yếu kém; rèn kĩ năng thc hành
5
cho đối tượng trung bình; rèn tnh logic, phát huy tnh sáng to cho đối tượng
khá giỏi)
c) Phát triển tư duy cho học sinh
- Giới thiệu hai phương pháp:
+ Phương pháp tách một hng tử thành nhiều hng tử khác
+ Phương pháp thêm và bớt cùng một hng tử.
- Đây là 2 phương pháp tương đối khó nên giáo viên chỉ áp dụng cho đối
tượng học sinh khá, giỏi. Với đối tượng học sinh yếu kém hay trung bình, giáo
viên chỉ giới thiệu phương pháp chung, v dụ nêu ra được hướng dẫn chi tiết
hướng giải để học sinh rèn kĩ năng thc hiện các phương pháp cơ bản đã học.
2.3.2. Biện pháp tiến hành
Tất cả các phần trong SKKN tôi xin trình bày theo logic. Sau khi định
hướng phương pháp, các bước thc hiện cụ thể tôi nêu v dụ minh họa với gợi ý
bám sát phương pháp. Qua v dụ rèn kĩ năng biến đổi, sửa chữa sai lầm thường
gặp, và khai thác bài toán với mức độ tăng dần. Trên cơ s đó, ra các bài tp yêu
cầu học sinh vn dụng phương pháp và cuối cùng là hệ thống bài tp đề nghị.
2.3.2.1. Củng cố kiến thức cơ bản qua các phương pháp cơ bản
* Phương pháp đt nhân tử chung

a) Định hướng phương phápchung
- Bước 1: Tìm hệ số của nhân tử chung: ƯCLN của các hệ số nguyên
dương
- Bước 2: Tìm biến (nếu có) của nhân tử chung: Biến có mặt trong tất cả
các hng tử, với số mũ nhỏ nhất.
- Bước 3: Xác định nhân tử chung: Lp tch của hệ số và biến chung
- Bước 4: Xác định các hng tử trong ngoặc.
Nhằm đưa đa thức về dng: A.B + A.C + …+ A.E = A.(B + C +…+ E)
 Chú ýNhiều khi để làm xuất hiện nhân tử ta cần đổi dấu các hng tử.
b) Các ví dụ
 ! Phân tch đa thức 14x
2
y – 21xy
2
+ 28x
2
y
2
thành nhân tử. "#$%&'%
(%!')
(*+,-.
- Tìm nhân tử chung của các hệ số 14, 21, 28 trong các hng tử trên
6
"/01+2345"!617!178)90)
- Tìm nhân tử chung của các biến x
2
y, xy
2
, x
2

y
2
"/:;)
- Tìm nhân tử chung của các hng tử trong đa thức đã cho "/0:;)
- Tìm các hng tử trong ngoặc bằng kĩ năng nhân đơn thức với đơn thức.
(
14x
2
y – 21xy
2
+ 28x
2
y
2
= 7xy.2x – 7xy.3y + 7xy.4xy
= 7xy.(2x – 3y + 4xy)
 7 Phân tch đa thức 10x(x – y) – 8y(y – x) thành nhân tử. "#$%&'<%
(%!')
(*+,-.
- Tìm nhân tử chung của các hệ số 10 và 8 "/7)
- Tìm nhân tử chung của x(x – y) và y(y – x)
"/":=;)*>";=:))
- Hãy thc hiện đổi dấu tch 10x(x – y) hoặc tch – 8y(y – x) để có nhân
tử chung (y – x) hoặc (x – y)
4! Đổi dấu tch - 8y(y - x) = 8y(x – y)
47 Đổi dấu tch 10x(x - y) = -10x(y - x) "?@)
Giải:
10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) + 8y(x – y)
= 2(x – y).5x + 2(x – y).4y
= 2(x – y)(5x + 4y)

 & Phân tch đa thức 9x(x – y) – 10(y – x)
2
thành nhân tử
(Cho HS t giải)
 5A 9x(x – y) – 10(y – x)
2

= 9x(x – y) + 10(x – y)
2
"BC)
= (x – y)[9x + 10(x – y)] "D,)
= (x – y)(19x – 10y) "EFG)
HIJK
Thc hiện đổi dấu sai: 9x(x – y) – 10(y – x)
2
= 9x(x – y) + 10(x – y)
2

Sai lầm  trên là BCL: –10 và (y – x)
2
của tch –10(y – x)
2
7
(Vì –10(y – x)
2
= –10(y – x)(y – x).
5AM 9x(x – y) – 10(y – x)
2
= 9x(x – y) – 10(x – y)
2

= (x – y)[9x – 10(x – y)]
= (x – y)(10y – x)
c) Nhận xét
Qua v dụ trên, giáo viên củng cố cho học sinh:
- Cách tìm nhân tử chung của các hng tử (tìm nhân tử chung của các hệ
số và nhân tử chung của các biến, mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ nhất).
- Lưu ý quy tắc đổi dấu và cách đổi dấu của các nhân tử trong một tch.
 Chú ýTch không đổi khi ta đổi dấu hai nhân tử trong tch đó (một
cách tổng quát, tch không đổi khi ta đổi dấu một số chẵn nhân tử trong tch đó).
d) Vận dụng (mức độ tăng dần)
Bài 1: Phân tch đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung
a) 5x – 20y
b) 5x(x - 1) - 3x(x – 1)
c) x
2
(x + 1) – x (x + 1)
Giải:
a) 5x – 20y = 5x – 5.4y = 5(x - 4y)
b) 5x(x - 1) - 3x(x – 1) = (x - 1)(5x - 3x) = (x – 1).2x
c) x
2
(x + 1) – x (x + 1) = (x + 1)(x
2
– x) = (x + 1)x(x – 1)
Bài 2: Phân tch đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung
a) 6xy – 30y
b) 5x (x – 2y) + 2 (2y – x)
c) x(x + y) – (2x + 2y)
d) 7x(x – 2)

2
– (2 – x)
3
Giải:
a) 6xy – 30y = 6xy – 6y.5 = 6y(x - 5)
b) 5x (x – 2y) + 2 (2y – x) = 5x (x – 2y) - 2(x – 2y)
= (x – 2y)(5x - 2)
c) x(x+y) – (2x+2y) = x(x+y) – 2(x+y)
8
= (x+y)(x – 2)
d) 7x(x – 2)
2
– (2 – x)
3
= 7x(x– 2)
2
– (x – 2)
2
(2 - x)
= (x– 2)
2
[7x- (2 - x)]
= (x– 2)
2
(7x - 2 + x) = (x– 2)
2
(8x - 2)
e) Một số bài tập đề nghị
Phân tch các đa thức sau thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung
a) 2x + 6y

b) 5x
2
y + 20xy
2

c) x
2
y
3
–
1
2
x
4
y
8

d) a
2
b
4
+ a
3
b – abc
e) 5x (x – 11) – 10y(x – 11)
f) x (2x – 1) – xy(1 – 2x)
g) x
3
– 4x
2

+ x
f) x
2
y
2
z – 6x
3
y – 8x
4
z
2
– 9x
5
y
5
z
5

h) 7x(y – 4)
2
– (4 – y)
3
i) x
2
– x + 1 + 7x (x
2
– x + 1)
m) 5x
5
(y

3
+ 3y – 13) – 4y (y
3
+ 3y – 13) – 2x(y
3
+ 3y – 13).
* Phương pháp hằng đẳng thức
a) Định hướng phương pháp chung
* Yêu cầu: Học sinh phải nắm vững các hằng đẳng thức đáng nhớ
1. Bình phương của một tổng: (A + B)
2
= A
2
+ 2AB + B
2

2. Bình phương của một hiệu: (A – B)
2
= A
2
– 2AB + B
2

3. Hiệu hai bình phương: A
2
– B
2
= (A – B)(A + B)
4. Lp phương của một tổng: (A + B)
3

= A
3
+ 3A
2
B + 3AB
2
+ B
3
5. Lp phương của một hiệu: (A – B)
3
= A
3
– 3A
2
B + 3AB
2
– B
3
6. Tổng hai lp phương: A
3
+ B
3
= (A + B)(A
2
– AB + B
2
)
7. Hiệu hai lp phương: A
3
– B

3
= (A – B)(A
2
+ AB + B
2
)
* Phương pháp:
9
Bước 1: - Nhn dng hằng đẳng thức có thể phân tch qua số mũ các
hng tử trong đa thức
- Nhn dng hằng đẳng thức được áp dụng thông qua số hng tử, và
các hệ số của các hng tử đó.
Bước 2: Phân tch đa thức theo dng hằng đẳng thức đã chọn để xác
định nhân tử.
* Lưu ý: Có thể cần thay đổi vị tr của các hng tử để nhn dng hằng
đẳng thức dễ dàng hơn.
b) Ví dụ
 6 Phân tch đa thức x
2
– 6x + 9 thành nhân tử
(*+,-.
%Đa thức x
2
– 6x + 9 thuộc dng hằng đẳng thức nào?
"/"N=#)
7
9N
7
=7N#O#
7

))
- Biến đổi đa thức để xác định A, B
Ta thấy đa thức x
2
+ 6x + 9 có dng của hằng đẳng thức N
7
O7N#O#
7

nên ta phân tch : x
2
= (x)
2
→ A là x 9 = 3
2
→ B là 3 và 6x = 2 . x . 3
Hay x
2
+ 6x + 9 = (x)
2
+ 2 . x . 3 + (3)
2
= (x + 3)
2
A
2
+ 2 . A . B + B
2
= (A + B)
2

Giải:
x
2
+ 6x + 9 = (x)
2
+ 2 . x . 3 + (3)
2
= (x + 3)
2
 P Phân tch đa thức 8x
3
– y
3
thành nhân tử "4*?)
(*+,-.
%Đa thức trên có dng hằng đẳng thức nào? "/N
&
=#
&
)
5A 8x
3
– y
3
= (2x)
3
– y
3
= (2x – y)(2x

2
+ 2x . y + y
2
)
HIJKThc hiện thiếu dấu ngoặc
5AM 8x
3
– y
3
= (2x)
3
– y
3
= (2x – y)[ (2x)
2
+ 2x . y + y
2
]
 Q Phân tch đa thức (x + y)
2
– (x

– y)
2
thành nhân tử bằng phương
pháp dùng hằng đẳng thức. "#$%78%#$%$')"*?)
(*+,-.
%Đa thức trên có dng hằng đẳng thức nào? "/N
7
=#

7
)
10
5A (x + y)
2
– (x

– y)
2

= (x + y – x – y)(x + y + x – y) "FC*>)
= 0.(2x) = 0 "EFG)
HIJKThc hiện thiếu dấu ngoặc
5AM (x + y)
2
– (x

– y)
2
= [(x + y) – (x – y)].[(x + y) + (x – y)]
= (x + y – x + y)(x + y + x – y)
= 2y.2x = 4xy
* L* (Đối với học sinh khá giỏi)
- Với v dụ 6, nếu thay “bình phương” bi “lp phương” ta có bài toán:
Phân tch (x + y)
3
– (x – y)
3
thành nhân tử "#$%66L%(%7R)
- Với v dụ 6, nếu đặt x + y = a, x –y = b, thay mũ “3” bi mũ “6” ta có

bài toán: Phân tch a
6
– b
6
thành nhân tử "#$%7Q%#$%')
c) Nhận xét
(*+,*KC;-
- Các sai lầm dễ mắc phải:
O Quy tắc bỏ dấu ngoặc, lấy dấu ngoặc và quy tắc dấu
+ Cho học sinh thấy được s giống nhau và khác nhau của các dng như
hiệu hai bình phương và tổng hai bình phương, tổng hai lp phương và hiệu hai
lp phương để tránh nhầm lẫn.
- Rèn kĩ năng nhn dng hằng đẳng thức qua bài toán, da vào các hng
tử, số mũ của các hng tử mà sử dụng hằng đẳng thức cho thch hợp.
d) Vận dụng
Bài 1: Phân tch đa thức thành nhân tử bằng phương pháp hằng đẳng thức
a) x
2
– 9
b) 4x
2
– 25
c) x
4
– y
4
Giải:
a) x
2
– 9 = x

2
– 3
2
= (x + 3)(x – 3)
b) 4x
2
– 25 = (2x)
2
– 5
2
= (2x + 5)(2x - 5)
c) x
4
– y
4
=
( ) ( )
2 2
2 2
: ;−
= (x
2
– y
2
)(x
2
+ y
2
)
11

= (x + y)(x - y)(x
2
+ y
2
)
Bài 2: Phân tch đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng
thức
a) 9x
2
+ 6xy +y
2
b) x
2
+ 4y
2
+ 4xy
c) (3x + 1)
2
– (x+1)
2
Giải:
a) 9x
2
+ 6xy + y
2
= (3x)
2
+ 2.3x.y + y
2
= (3x + y)

2
b) x
2
+ 4y
2
+ 4xy = x
2
+ 2.x.2y +(2y)
2
= (x +2y)
2
c) (3x + 2)
2
– (x+1)
2
= (3x + 2+ x +1)[3x+ 2 - (x+1)]
= (4x+ 3)(3x+2 – x - 1) = (4x + 3)(2x + 1)
e) Một số bài tập đề nghị
Bài 1: Phân tch đa thức thành nhân tử
a) x
2
+ 10x + 25
b) x
2
+ 14x + 49
c) 16x
2
+ 24xy + 9y
2

d) (x
2
+ 2x)
2
+ 2(x
2
+ 2x) + 1
e) 6x - 9 – x
2
f) x
3
+ y
3
+ z
3
- 3xyz.
Bài 2: Hoàn thiện vào chỗ trống để có kết quả đúng
a) x
2
+ ……… + 81 = (……… + …………)
2

b) …………+ 8x + 16 = (…………. + ………….)
2

c) y
2
– 20y + ………… = (…………. – ………….)
2

d) z
4
+ ……………. + 64 = (…………. + ………….)
2

e) 25x
2
– ……… + ……… = (…………. + 7)
2

f) 36y
2
– 49z
2
=(…….)
2
– (…… )
2
= (… – … )(…… + …….)
g) m
3
– 125 = m
3
– …
3
= (…… – …….)(…… + ……… + …… )
h) 8x
3
+ 12x
2

+ 6x +1 = (….)
3
+ 3(….)
2
… + 3……. + ….
3
= (…. +….)
3
i) 1 +
1
64
x
3
= …
3
+ (… )
3
= (…. + ….)(… – … + …….)
12
* Phương pháp nhóm nhiu hạng tử
a) Định hướng phương pháp chung
Đặc điểm của phương pháp nhóm hng tử là đa thức phải có từ 4 hng tử
tr lên. Dùng các tnh chất : giao hoán, kết hợp của phép cộng các đa thức ta la
chọn các hng tử thch hợp để thành lp nhóm nhằm làm xuất hiện một trong hai
dng sau: *>H>1*>HSTU.
Thông thường ta da vào các mối quan hệ sau:
- Quan hệ giữa các hệ số, giữa các biến của các hng tử trong bài toán.
- Thành lp nhóm da theo mối quan hệ đó, phải thoả mãn:
OVWXY-Z
OE[WX2G2

F @\-]Z
* Phương pháp chung:
- Bước 1: Phát hiện nhân tử chung hoặc dng hằng đẳng thức trong đa
thức
- Bước 2: Nhóm các hng tử đã phát hiện li để áp dụng phương pháp
hằng đẳng thức và nhân tử chung cho từng nhóm.
- Bước 3: Đặt nhân tử chung cho toàn đa thức.
* Chú ý: Đôi khi ta phải khai triển (bỏ ngoặc) rồi chọn (sắp xếp) các hng
tử để nhóm hợp l.
b) Ví dụ
* Nhóm nhằm xut hiện phương pháp đt nhân tử chung:
 0 Phân tch đa thức x
2
– xy + x – y thành nhân tử. "#^60=(%77)
(*+,-.
4!: Nhóm (x
2
– xy) và (x – y)
47: Nhóm (x
2
+ x) và (– xy – y)
5A x
2
– xy + x – y
= (x
2
– xy) + (x – y)
= x(x – y) + (x – y)
= (x – y)(x + 0) "EFGC+2L_X`!)
* HIJKbỏ sót hng tử sau khi đặt nhân tử chung

13
(HS cho rằng  ngoặc thứ 2 khi đặt nhân tử chung (x – y) thì còn li là số 0)
5AM x
2
– xy + x – y = (x
2
– xy) + (x – y)
= x(x – y) + 1.(x – y)
= (x – y)(x + 1)
* Nhóm nhằm xut hiện phương pháp dùng hằng đẳng thức:
 8 Phân tch đa thức x
2
– 2x + 1 – 4y
2
thành nhân tử
(*+,-.Nhóm 3 hng tử đầu với nhau
5A x
2
– 2x + 1 – 4y
2
= (x
2
– 2x + 1) – 2y
2
"$FC*>)
= (x – 1)
2
- 2y
2
"abF)

HIJKThc hiện thiếu dấu ngoặc
5AM x
2
– 2x + 1 – 4y
2
= (x
2
– 2x + 1) – (2y)
2

= (x – 1)
2
– (2y)
2

= (x – 1 – 2y)(x – 1 + 2y)
* Nhóm nhằm sử dụng hai phương pháp: Đt nhân tử chung và dùng
hằng đẳng thức
 ' Phân tch đa thức x
2
– 2x – 4y
2
– 4y thành nhân tử.
(-.Xc!+c&1Xc7+c6
5A x
2
– 2x – 4y
2
– 4y
= (x

2
– 4y
2
) – (2x – 4y) ">C)
= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x – 2y) "D,)
= (x – 2y)(x + 2y – 2) "EFGC)
HIJK
Nhóm x
2
– 2x – 4y
2
– 4y = (x
2
– 4y
2
)-(2x – 4y)">C[*>7)
5AM x
2
– 2x – 4y
2
– 4y = (x
2
– 4y
2
) + (– 2x – 4y)
= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y)
= (x + 2y)(x – 2y – 2)
c) Nhận xét
d+ ,1*+,J`*K
- Cách nhóm các hng tử và đặt dấu trừ “–” hoặc dấu cộng “+”  trước

dấu ngoặc.
14
- Trong phương pháp nhóm thường dẫn đến s sai dấu, vì vy học sinh
cần chú ý cách nhóm và kiểm tra li kết quả sau khi nhóm.
Lưu ý:Sau khi phân tch đa thức thành nhân tử  mỗi nhóm thì quá trình
phân tch thành nhân tử không thc hiện được nữa, thì cách nhóm đó đã sai, phải
thc hiện li.
d) Vận dụng
Bài 1: Phân tch thành nhân tử
a) x
2
– x – y
2
– y
b) x
2
- 2xy + y
2
– z
2
c) 5x – 5y + ax – ay
d) 2x
2
+ 4x + xy +2y
Giải:
a) x
2
– x – y
2
– y = (x

2
– y
2
) –(x + y) = (x + y)(x - y) – (x+ y)
= (x + y)(x - y) – (x+ y) = (x + y)(x - y – 1)
b) x
2
- 2xy + y
2
– z
2
= (x
2
- 2xy + y
2
)

– z
2
= (x – y)
2
- z
2
= (x – y +z) (x –y –z)
c) 5x – 5y + ax – ay = (5x – 5y) + (ax – ay) = 5(x – y) +a (x – y)
= (x – y)(5 + a)
d) 2x
2
+ 4x + xy +2y = (2x
2

+ 4x) + (xy +2y)
= 2x (x+2) + y(x+2) = (x+2)(2x+y)
Bài 2: Phân tch thành nhân tử
a) x
6
– x
4
+ 2x
3
+ 2x
2
b) x
3
– x
2
– 5x + 125
c) a
3
– a
2
x - ay + xy
d) x
2
- 2xy - 4z
2
+ y
2
Giải:
a) x
6

– x
4
+ 2x
3
+ 2x
2
= (x
6
– x
4
) + (2x
3
+ 2x
2
)
= x
4
(x
2
– 1)+ 2x
2
(x+1) = x
4
(x– 1)(x+1) +2x
2
(x+1)
= (x+1) [x
4
(x– 1)+2x
2

] = (x+1) x
2
[x
2
(x-1) +2)]
= (x+1) x
2
(x
3
– x
2
+2)
15
b) x
3
– x
2
– 5x + 125 = (x
3
+125) – (x
2
+ 5x)
= (x + 5)(x
2

- 5x + 25) –x(x + 5)
= (x + 5)(x
2

- 5x + 25 – x) = (x + 5)(x

2

- 6x + 25)
c) a
3
– a
2
x - ay + xy = (a
3
– a
2
x) – (ay - xy)
= a
2
(a – x) - y (a – x) = (a – x) (a
2
– y)
d) x
2
- 2xy - 4z
2
+ y
2
= (x
2
- 2xy + y
2
) - 4z
2
= (x – y)

2
– (2z)
2
= (x –y – 2z)(x - y +2z)
e) Một số bài tập đề nghị
Phân tch các đa thức sau thành nhân tử
a) a(x – y) + bx – by
b) x
2
+ xy – 7x – 7y
c) ac + bc + a + b
d) x
2
+ 2xy + y
2
– 4
e) – 5ax – 7a + 7x
f) 1 – y
3
+ 6xy
2
– 12x
2
y + 8x
3

h) 7z
2
– 7yz – 4z + 4y
i) b

2
c + bc
2
+ ac
2
– a
2
c – ab (a + b)
k) x
3
+ 3x
2
+ 3x + 9
m) 2a
2
b + 4ab
2
– a
2
c – 2abc + ac
2
+ 2bc
2
– 4b
2
c – 2abc
n) ax – 34bx – 15a + 17b
p) x
3
– x

2
y

- x
2
z – xyz
q) x
3
+ 2x
2
– 6x – 27
g) 12x
3
+ 4x
2
– 27x – 9
2.3.2.2. V$n dụng và phát triển kĩ năng qua phương pháp: Phối hợp
các phương pháp thông thường
a) Định hướng phương pháp chung
Phối hợp nhiều phương pháp là s kết hợp nhuần nhuyễn giữa các phương
pháp: đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm nhiều hng tử. Vì vy
phương pháp này sẽ khó khăn đối với học sinh yếu kém, trung bình. Khi tiếp
xúc bài toán phân tch đa thức thành nhân tử mà đề bài chưa nêu phương pháp
cụ thể, thì tình trng chung là lúng túng, bế tắc trong khâu chọn phương pháp,
16
không biết sử dụng phương pháp nào trước, một số khác thì cũng phân tch được
nhưng chưa triệt để. Vì vy tôi cho học sinh nhn xét bài toán một cách cụ thể,
xem mối quan hệ của các hng tử để tìm hướng giải thch hợp.
* Phương pháp:
Giáo viên cho học sinh xét lần lượt từng phương pháp:

/>
eSTU
XYc
Cụ thể:
- Bước 1: Đầu tiên hãy xét xem các hng tử có xuất hiện nhân tử chung
hay không?
+ Nếu đa thức có nhân tử chung thì áp dụng phương pháp đặt nhân tử
chung. Sau đó xem đa thức trong ngoặc là bài toán mới và quay li bước 1, tiếp
tục thc hiện các phương pháp để phân tch ( nếu có thể) đến kết quả cuối cùng.
+ Nếu đa thức không có nhân tử chung thì chuyển sang bước 2.
- Bước 2: Xét xem đa thức đó có dng hằng đẳng thức nào không?
+ Nếu đa thức có dng hằng đẳng thức ta vn dụng phương pháp hằng
đẳng thức để phân tch.
+ Nếu đa thức không có dng hằng đẳng thức thì chuyển sang bước 3.
- Bước 3: Dùng phương pháp nhóm để đưa các hng tử vào từng nhóm
thỏa mãn điều kiện: mỗi nhóm có nhân tử chung, làm xuất hiện nhân tử chung
của các nhóm hoặc xuất hiện hằng đẳng thức để tìm nhân tử của bài toán.
b) Ví dụ
 !R Phân tch đa thức x
4
– 9x
3
+ x
2
– 9x thành nhân tử. "#$%f7%
(%77)
(-.Xét từng phương pháp:
Đặt nhân tử chung
Dùng hằng đẳng thức
Nhóm nhiều hng tử

* 5A*g
Lời giải 1: x
4
– 9x
3
+ x
2
– 9x = x(x
3
– 9x
2
+ x – 9) "\b)
Lời giải 2: x
4
– 9x
3
+ x
2
– 9x = (x
4
– 9x
3
) + (x
2
– 9x)
17
= x
3
(x – 9) + x(x – 9)
= (x – 9)(x

3
+ x) "\b)
5WJK \bZ
5AM x
4
– 9x
3
+ x
2
– 9x = x(x
3
– 9x
2
+ x – 9)
= x[(x
3
– 9x
2
) + (x – 9)]
= x[x
2
(x – 9) + 1.(x – 9)]
= x(x – 9)(x
2
+ 1)
c) Nhận xét
d + ,1*+,H.*K
Khi phân tch bài toán theo phương pháp đã chọn cần xem li đa thức đó
phân tch triệt để chưa. Nếu chưa triệt để thì tìm phương pháp để phân tch tiếp.
Trong một số bài có thể có nhiều cách giải, học sinh cần linh hot la chọn cách

giải ngắn gọn và phù hợp nhất và cuối cùng là phân tch triệt để bài toán.
d) Khai thác bài toán (Đối với học sinh khá giỏi)
#*
1) Cho a + b + c = 0. Chứng minh a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc "#^&8%#$%!R)
-?h
eS
&
OL
&
9"OL)
&
O&L"OL)+OLO9R
⇔
OL9%
2) Phân tch đa thức x
3
+ y
3
+ z
3
– 3xyz thành nhân tử "#^78%#$%')
-?h
eS:
&

O;
&
9":O;)
&
O&:;":O;)
e) Vận dụng
Phân tch đa thức thành nhân tử (Cho học sinh thc hiện theo nhóm thch
hợp)
a) x
4

+2x
3
+ x
2 
"X;FEi)
b) x
3
– x + 3x
2
y + 3xy
2
+ y
3
– y "XL2)
c) 5x
2

- 10xy + 5y
2

- 20z
2
"XE_)
Giải:
a) x
4

+ 2x
3
+ x
2
= x
2
(x
2
+2x+1) = x
2
(x+1)
2
b) x
3
– x + 3x
2
y + 3xy
2
+ y
3
- y = (x
3
+ 3x

2
y +3xy
2
+ y
3
) –(x + y)
= (x+y)
3
- (x+y) = (x+y) [(x+y)
2
– 1] = (x+y)(x+y+1)(x + y - 1)
18
c) 5x
2

- 10xy + 5y
2
– 20z
2
= 5(x
2

- 2xy + y
2
– 4z
2
) = 5[(x - y)
2
–(2z)
2

]
= 5(x - y – 2z)(x – y + 2z)
f) Một số bài tập đề nghị
Phân tch đa thức thành nhân tử
a) x
3
- 2x
2
+ x
b) 2x
2
+ 4x + 2 - 2y
2
c) 2xy – x
2
– y
2
+16
d) x
3
+ 2x
e) 2(x +1) – x
2
– x
f) 2x
3
- 12x
2
+ 18x
g) x

3
+ 5x
2
+ 4x +20
2.3.2.3. Phát triển tư duy qua 2 phương pháp phân tích mới
Trong chương trình sách giáo khoa Toán 8 hiện hành chỉ giới thiệu ba
phương pháp phân tch đa thức thành nhân tử đó là: Đặt nhân tử chung, dùng
hằng đẳng thức, nhóm nhiều hng tử. Tuy nhiên trong phần bài tp li có những
bài không thể áp dụng ngay ba phương pháp trên để giải, "4UcL
^P&1P0Ej76%7P). Sách giáo khoa có gợi ý cách “” một hng tử thành
hai hng tử khác hoặc “,+LSkc” thch hợp rồi áp dụng các
phương pháp trên để giải. Xin giới thiệu thêm về hai phương pháp: l
cYcEvà l,1LS
kc, để học sinh vn dụng rộng rãi trong thc hành giải toán. Tuy nhiên
mức độ của 2 phương pháp này tương đối khó nên tôi chỉ áp dụng nhiều cho đối
tượng khá, giỏi. Còn riêng đối tượng trung bình, yếu kém thì sẽ hướng dẫn
phương pháp, chi tiết trong các v dụ cụ thể với mức độ đơn giản.
* Phương pháp tách hạng tử thành nhiu hạng tử khác
a) Định hướng phương pháp
Việc tách hng tử thành nhiều hng tử khác là nhằm làm xuất hiện các
phương pháp đã học như: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm nhiều
hng tử, là việc làm hết sức cần thiết đối với học sinh trong giải toán. Đối với
phương pháp này, tôi gợiý học sinh giải theo 3 hướng giải thông dụng sau:
19
- Hướng giải 1: Tách hng tử bc nhất thành 2 hng tử rồi dùng phương
pháp nhóm các hng tử và đặt nhân tử chung. Hướng giải này được áp dụng khi
phân tch đa thức có dng ax
2
+ bx + cthành nhân tử. Phương pháp như sau:
+ Bước 1: Tìm tch a.c

+ Bước 2: Phân tch a.c thành tch của 2 thừa số nguyên bằng mọi cách
+ Bước 3: Chọn 2 thừa số b
1,
b
2
có tổng bằng b. Khi đó bx được tách thành
2 hng tử bc nhất b
1
x
,
b
2
x
- Hướng giải 2: Tách hng tử không đổi (t do) thành 2 hng tử rồi đưa đa
thức về dng hiệu hai bình phương hoặc làm xuất hiện hằng đẳng thức và có
nhân tử chung với hng tử còn li .
- Hướng giải 3: Tách hng tử bc hai thành 2 hng tử rồi đưa đa thức về
dng hằng đẳng thức (thông thường là hiệu hai bình phương).
b) Ví dụ
 !! Phân tch đa thức f(x) = 3x
2
– 8x + 4 thành nhân tử.
(-.%m &,
4!$c%8: : - 8x = - 6x - 2x
47$c669%!7O!Q
4&$c&:
7
 &:
7
= 6:

7
- :
7
Giải:
4!$c%8:
Ta có: a = 3 ; b = -8 ; c = 4
#! a.c = 12
#7 a.c9(–6).(–2) = (–4).(–3) =(–12).(–1) = 6.2 = 4.3 = 12.1
#& b 98 = (- 6) +(-2)
Như vy sẽ tách hng tử- 8x = - 6x - 2x
Giải:
3x
2
– 8x + 4 = 3x
2
– 6x – 2x + 4
= 3x(x – 2) – 2(x – 2)
= (x – 2)(3x – 2)
47$c669%!7O!Q
3x
2
– 8x + 4 = 3x
2
– 12 – 8x + 16
20
= 3(x
2
– 2
2
) – 8(x – 2)

= 3(x – 2)(x + 2) – 8(x – 2)
= (x – 2)(3x + 6 – 8)
= (x – 2)(3x – 2)
4&$c&:
7
 &:
7
= 6:
7
- :
7
3x
2
– 8x + 4 = 4x
2
– 8x + 4 – x
2

= (2x – 2)
2
– x
2

= (2x – 2 – x)(2x – 2 + x)
= (x – 2)(3x – 2)
c) Nhận xét:
Từ v dụ trên, ta thấy để tách hng tử thành nhiều hng tử để phân tch đa
thức thì học sinh phải nắm vững các phương hướng giải. Đối với hướng giải 2
và hướng giải 3 thì yêu cầu học sinh nhn dng được các hằng đẳng thức: Bình
phương 1 tổng, bình phương 1 hiệu, hiệu hai bình phương để bài toán được giải

quyết chnh xác. Có một số cách giải có thể sử dụng đồng thời các hướng giải
với nhau. Vì vy đối với phương pháp tách hng tử thì bài toán được giải quyết
theo nhiều cách khác nhau, yêu cầu đối tượng khá giỏi tìm tòi các cách giải đúng
có thể thc hiện.
Lưu ý:Đối với đa thức f(x) có bc từ ba tr lên, để phân tch đa thức ta
sử dụng phương pháp nhẩm nghiệm. Sử dụng Định l sau: Nếu f(x) có nghiệm x
= a thì f(a) = 0. Khi đó, f(x) có một nhân tử là x – a và f(x) có thể viết dưới
dng: f(x) = (x – a).q(x)
- Nếu tổng hệ số của các hng tử bằng 0 thì đa thức có nghiệm là 1
- Nếu tổng hệ số của các hng tử bc chẵn với hệ số đối của các hng tử
bc lẻ bằng 0 thì đa thức có nghiệm là -1.
d) Vận dụng
Bài 1: Phân tch đa thức sau thành nhân tử:
a) x
2
+ 5x – 6
b) x
2
+ 4x + 3
Giải:
a) x
2
+ 5x – 6
4! x
2
+ 5x – 6 = x
2
- x + 6x – 6 = (x
2
- x) + (6x – 6)

21
= x (x - 1) + 6(x - 1) = (x - 1)(x + 6)
47: x
2
+ 5x – 6 = x
2
+ 5x - 5 - 1 = (x
2
- 1) + (5x - 5)
= (x +1)(x - 1) + 5(x -1) = (x - 1)(x+1 +5)
= (x - 1)(x + 6)
4&: x
2
+ 5x – 6 = 6x
2
- 5x
2
+ 5x – 6 = (6x
2
- 6) - (5x
2
- 5x)
= 6(x
2
- 1) - 5x(x - 1) = 6(x+1)(x -1) - 5x (x - 1)
=

(x -1)[ 6(x+1) - 5x] = (x - 1)(x + 6)
b) x
2

+ 4x + 3
4!: x
2
+ 4x + 3 = x
2
+ x + 3x + 3 = (x
2
+ x) + (3x + 3)
= x(x + 1) + 3(x+1) = (x + 1)(x + 3)
47 x
2
+ 4x + 3 = x
2
+ 4x + 4 – 1 = (x
2
- 1) + (4x + 4)
= (x + 1)(x - 1) + 4(x +1) = (x + 1) (x – 1 + 4)
= (x+1)(x+3)
4&: x
2
+ 4x + 3 = 4x
2
- 3x
2
+ 4x + 3 = (4x
2
+ 4x) - (3x
2
- 3)
= 4x(x+1) - 3(x

2
- 1) = 4x(x + 1) - 3(x - 1)(x + 1)
= (x + 1)[4x - 3(x - 1)] = (x +1) (4x - 3x + 3)
= (x +1)(x+3)
Bài 2: Phân tch đa thức sau thành nhân tử
a) x
3
– 7x – 6
b) x
2
– 8x + 12
Giải:
a)x
3
– 7x – 6
4! x
3
– 7x – 6
= x
3
– x – 6x – 6 = (x
3
– x) – (6x + 6)
= x(x + 1)(x – 1) – 6(x + 1) = (x + 1)(x
2
– x – 6)
= (x + 1)(x
2
– x – 2 – 4) = (x + 1)[(x + 2)(x – 2) – (x + 2)]
= (x + 1)(x + 2)(x – 3)

47 : x
3
– 7x – 6
= x
3
– 4x – 3x – 6 = x(x + 2)(x – 2) – 3(x + 2)
= (x + 2)(x
2
– 2x – 3) = (x + 2)(x
2
– 1 – 2x – 2)
22
= (x + 2)[(x – 1)(x + 1) – 2(x + 1)]
= (x + 2)(x + 1)(x – 3)
4& x
3
– 7x – 6
= x
3
+ 8 – 7x – 14 = (x + 2)(x
2
– 2x + 4) – 7(x + 2)
= (x + 2)(x
2
– 2x – 3) = (x + 2)(x
2
– 2x + 1 – 4)
= (x + 2)[(x – 1)
2
– 2

2
] = (x + 2)(x + 1)(x – 3)
b) x
2
– 8x + 1
4! x
2
– 8x + 12
= x
2
– 2x – 6x + 12 = (x
2
– 2x) – (6x – 12)
= x(x – 2) – 6(x – 2) = (x – 2)(x – 6)
47 x
2
– 8x + 12
= (x
2
– 8x + 16) – 4 = (x – 4)
2
- 2
2

= (x – 4 + 2)(x – 4 – 2) = (x – 2)(x – 6)
4&: x
2
– 8x + 12
= x
2

– 36 – 8x + 48 = (x
2
– 36) – (8x – 48)
= (x + 6)(x – 6) – 8(x – 6)= (x – 6)(x + 6 – 8)
= (x – 6)(x – 2)
46 : x
2
– 8x +12
= x
2
– 4 – 8x + 16 = (x
2
– 4) – (8x – 16)
= (x + 2)(x – 2) – 8(x – 2)= (x – 2)(x + 2 – 8)
= (x – 2)(x – 6)
4P: x
2
– 8x +12
= x
2
– 4x + 4 – 4x + 8 = (x
2
– 4x + 4) – (4x – 8)
= (x – 2)
2
– 4(x – 2) = (x – 2)(x – 2 – 4)
= (x – 2)(x – 6)
4Q: x
2
– 8x +12

= x
2
– 12x + 36 + 4x – 24 = (x
2
– 12x + 36) + (4x – 24)
= (x – 6)
2
+ 4(x – 6) = (x – 6)(x – 6 + 4)
= (x – 6)(x – 2)
23
e) Một số bài tập đề nghị
Phân tch đa thức thành nhân tử
a) 2x
2
+ 3x – 5
b) 16x – 5x
2
- 3
c) 2x
2
- 2x – 3
d) x
3
– 7x + 6
e) x
4
– 30x
2
+ 31x – 30
f) x

5
+ x + 1
g) x
2
+ 4xy + 3y
2
* Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử
a) Định hướng phương pháp chung
Phương pháp thêm và bớt cùng một hng tử nhằm sử dụng l
Xđể xuất hiện dng >hoặccTUZ
* Phương pháp:
- Bước 1: Da vào hng tử của đa thức để nhn dng phương pháp: dng
đặt nhân tử chung hay dng hằng đẳng thức có thể xuất hiện.
- Bước 2: Nhóm các hng tử thuộc dng đã được xác định với nhau và
phân tch tiếp. Yêu cầu quá trình phân tch đó phải xuất hiện dng đặt nhân tử
chung.
- Bước 3: Đặt nhân tử chung cho toàn đa thức.
b) Ví dụ
 !7 Phân tch đa thức x
4
+ x
2
+ 1 thành nhân tử.
(-.
- Thêm x và bớt x: "H:C\TU+>)
(
x
4
+ x
2

+ 1 = x
4
– x + x
2
+ x + 1
= (x
4
– x) + (x
2
+ x + 1) = x(x – 1)(x
2
+ x + 1) + (x
2
+ x + 1)
= (x
2
+ x + 1)(x
2
– x + 1)
 !& Phân tch đa thức x
5
+ x
4
+ 1 thành nhân tử.
(-.
24
4!Thêm x
3
và bớt x
3

"H:C\TU+>
)
47 Thêm x
3
, x
2
, x và bớt x
3
, x
2
, x "H:C\>)
Giải:
4!: x
5
+ x
4
+ 1 = x
5
+ x
4
+ x
3
– x
3
+ 1
= (x
5
+ x
4
+ x

3
)+ (1 – x
3
)
= x
3
(x
2
+ x + 1)+ (1 – x)(x
2
+ x + 1)
= (x
2
+ x + 1)(x
3
– x + 1)
47: x
5
+ x
4
+ 1 = x
5
+ x
4
+ x
3
– x
3
+ x
2

– x
2
+ x – x + 1
= (x
5
+ x
4
+ x
3
) + (– x
3
– x
2
– x) + (x
2
+ x + 1)
= x
3
(x
2
+ x + 1) – x(x
2
+ x + 1) + (x
2
+ x + 1)
= (x
2
+ x + 1)(x
3
– x + 1)

 Chú ýXc
:
8
O:
6
O!2n:C\Xc:
7
O:

O!+K`
@,Z
:
&O!
O:
&O7
O!x
7
+ x
2
+ 1; x
7
+ x
5
+ 1; x
8
+ x
4
+ 1; x
5
+ x + 1; x

8
+ x
+ 1oZZZ2n:C\Xc:
7
O:O!+K`@,1Z
:
QO6
O:
QO7
O! x
4
+ x
2
+ 1; x
10
+ x
2
+ 1; x
10
+ x
8
+ 1; ZZZ2n:C
\Xc:
7
%:O!+K`@,1Z
c) Nhận xét
Từ v dụ trên, ta thấy việc thêm, bớt hng tử để xuất hiện dng nhân tử
chung hay hằng đẳng thức.Và bước phân tch cuối cùng phải xuất hiện dng
nhân tử chung. Vì vy trước khi thêm, bớt hng tử học sinh phải nhn dng được
phương pháp cần phân tch để tìm hng tử thêm, bớt cho thch hợp và triệt để bài

toán.
d) Vận dụng
Phân tch đa thức thành nhân tử
a) 4x
4
+ 81
b) x
8
+ 98x
4
+ 1
c) x
7
+ x
2
+ 1
d) x
7
+ x
5
+ 1
Giải :
25