ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng

Tiết 62 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
I/ Mục tiêu : Giúp học sinh
Về kiến thức : Hiểu các công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số và hai
đường thẳng vuông góc với trục hoành.
Về kỹ năng : Ghi nhớ vận dụng được các công thức trong bài vào việc giải các bài toán cụ thể.
Về tư duy: + Biết vận dụng các phương pháp tính tích phân để tính diện tích.
+ Biết nhiều cách giải về bài toán diện tích.
Về thái độ : Cẩn thận chính xác trong mọi hoạt động.
II/ Chuẩn bị của giáo viên và học sinh :
Giáo viên : Giáo án, bảng phụ và các phương tiện dạy học khác.
Học sinh : Nắm kiến thức về các phương pháp tính tích phân. Đọc trước bài mới.
III/ Phương pháp: Gợi mở, vấn đáp thông qua các hoạt động để điều khiển tư duy của học sinh.
IV/ Tiến trình bài học :
1/ Ổn định lớp:
2/ Kiểm tra bài cũ :
Câu hỏi 1: Nêu lại cách tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường:
y = f(x) liên tục trên [a; b]; y = 0, x = a, x = b ( ý nghĩa hhọc của tích phân)
Câu hỏi 2: Cho hàm số y = f(x) = x
2
+ 2 có đồ thị (C).Tính dịên tích hình thang cong giới hạn
bởi (C), trục Ox và 2 đường thẳng x = -1; x = 2
Kquả: Thấy được
,0)(
>
xf
trên [-1 ; 2] Nên
......)2(
2
1
2
=+=

∫
−
dxxS
9
3/ Bài mới
Hoạt động 1 : Giới thiệu cộng thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
y = f(x) liên tục trên [a; b]; y= 0, x = a, x = b
Hoạt động của thầy và trò Nội dung bài dạy
Gv: Giới thiệu về hình phẳng và cách tính diện tích
hình phẳng.
Hs:Hiểu được việc tính diện tích hình phẳng thực
chất là quy về việc tính diện tích của hình thang
cong bằng cách chia hình phẳng thành một số hình
thang cong.
Gv: Nếu giả thiết ở trên ( ktra bài cũ) được thay
bằng f(x) chỉ liên tục trên [a ; b] thì việc tính S sẽ
thế nào ?
Hs: Phải được f(x) < 0 hoặc
0)(
≥
xf
trên [a ; b]
Nếu
];[,0)( baxxf
∈≥
thì

dxxfdxxfS
b
a

b
a
∫∫
==
)()(
(1)
Nếu
];[,0)( baxxf
∈≤
thì

dxxfdxxfS
b
a
b
a
∫∫
=−=
)()(
(2)
Gv: Từ (1) (2) ta kết luận được điều gì ?
Kết luận : Thấy được trong mọi trường hợp
1/ Hình phẳng giới hạn bởi các đường:
y = f(x) liên tục trên [a; b], y = 0, x = a, x = b
Có diện tích là:
dxxfS
b
a
∫
=

)(
Đồ thị
dxxfS
b
a
∫
=
)(
(3)
Hoạt động 2 : Các ví dụ áp dụng.
Hoạt động của thầy và trò Nội dung bài dạy
Gv: Cho hs cả lớp nghiên cứu đề bài:
Gọi 1 hs đứng tại chỗ nêu cách tính S.
Hs: Cả lớp làm theo chỉ dẫn của gviên

dxCosxS
∫
=
π
0
(4)
Gv: Tính (4) bằng cách nào ?
Hs: Bỏ dấu trị tuyệt đối trên
[ ]
π
;0
như sau:
Trên
0)(,
2

;0
≥






xf
π
và trên
0)(,;
2
≤






xf
π
π
Gv: Cho hs kiểm tra dưới dạng đồ thị.
Gv: Cho hs nghiên cứu. Gọi 1hs lên bảng trình bày
bài giải.
Hs: Cả lớp tự trình bày vào vở. Và 1hsinh lên bảng
trình bày (có đồ thị).
Gv: Sau khi hs trình xong, cho hs cả lớp nhận xét.
Hs: Cả lớp nhận xét theo chỉ dẫn của giáo viên

Gv: Chỉnh sửa hợp lý và hoàn thiện bài giải
Ví dụ 1: Tính S hình phẳng giới hạn bởi





==
==
π
xx
Ox
Cosxxfy
,0
)(
Lời giải:
Nhận xét: f(x) = Cosx liên tục trên
[ ]
π
;0
dxCosxS
∫
=
π
0
=
∫∫
−
π
π

π
2
2
0
CosxdxdxCosx
= ..
Ví dụ 2:
Tìm S hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 4 –
x
2
, đường thẳng x = 3, x = 0 và trục hoành.
Lời giải:
Nhận thấy:
]2;0[,0)(
∈≥
xxf
và
]3;2[,0)(
∈≤
xxf
...)4()4(
4
3
2
2
2
0
2
3
0

2
=−+−=
−=
∫∫
∫
dxxdxx
dxxS
Hoạt động 3: Giới thiệu công thức tính S hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = f(x), y = g(x) liên tục
trên [a ; b] và 2 đường thẳng x = a, x = b.
Hoạt động của thầy và trò Nội dung bài dạy
Gv: Cho hs nhận xét phần (1) (2) ?
Hs: Thấy được trục Ox của phần (1) được thay
bởi hàm số : y = g(x).
Gv: Cho hs ghi nhận kiến thức.
Hs: Cả lớp ghi nhận kiến thức.
Gv: Hướng dẫn cách tính (5)
Hs: Tiếp thu và ghi nhớ vận dụng
2/ Hình phẳng giới hạn bởi các đường :
y = f(x), y = g(x), liên tục trên [a ; b] và hai
đường thẳng x = a, x = b . Có diện tích là:
dxxgxfS
b
a
∫
−=
)()(
(5)
Để tính (5) ta thực hiện các bước sau:
Giải pt: f(x) = g(x)
Tìm ra nghiệm chẳng hạn:

].;[, ba
∈
βα
dxxgxfdxxgxfdxxgxfS
b
a
∫∫∫
−+−+−=
β
β
α
α
)()()()()()(
∫∫∫
−+−+−=
b
a
dxxgxfdxxgxfdxxgxf
β
β
α
α
))()(())()(())()((
(f(x) – g(x) không đổi dấu trên
]);[],;[],;[ ba
ββαα
.
Hoạt động 4: Ví dụ áp dụng
Hoạt động của thầy và trò Nội dung bài dạy
Gv: + Từ công thức (3), (5) cho hs thấy được

xem
Ox là g(x).
+ Gọi hs đứng tại chỗ trình bày các bước tính S
áp dụng công thức (5).
Hs: Tiếp thu kiến thức và thực hành theo chỉ dẫn
của gv. 1hs trả lời các câu hỏi của gv
Ví dụ 1: Tính S hình phẳng giới hạn bởi các đường:
y = x – 1; trục Ox, trục Oy, đthẳng x = 3.
Lời giải:
Giải pt: x
2
– 1 = 0
]3;0[1;1
∈−==⇔
xx
....
111
3
1
2
1
0
2
3
0
2
=
−+−=−=
∫∫∫
dxxdxxdxxS

4. Củng cố -dặn dò: + Cho hsinh cả lớp tham khảo ví dụ1 trang 163 ở sgk
+ Muốn áp dụng công thức (3) thì hình phẳng cần tính S phải đầy đủ các yếu tố :
y = f(x), f(x) liên tục trên [a ; b] ; y = 0 ; hai đthẳng x = a và x = b.
+ Biết dựa vào đồ thị để tính S.
Bài tập về nhà: + Bài 26, 27a , Bài 27, 28 sgk – 167.
+ Bài 1: Tính S hình phẳng giới hạn bởi:



==
=
exy
xy
,0
ln
+ Bài 2: Tính S hình phẳng giới hạn bởi:



==
=
8,1
3
xy
yx
5/ Rút kinh nghiệm: