DS9-T53 : Công thức nghiệm của PT bậc hai

KIỂM TRA BÀI CŨ:
1. Giải phương trình sau bằng cách biến đổi phương trình thành phương
trình có vế trái là một bình phương, còn vế phải là một hằng số.
Hãy điền số thích hợp vào chỗ ( ) để được lời giải phương trình theo
cách giải nói trên

1
−
⇔ x
2
+
x

7
=
⇔ x
2
+ x.

3
1
−
3
7
=
3x
2
+ 7x = ⇔
3x

2
+ 7x + 1 = 0
2
6
7






⇔ x
2
+ 2.x.

6
7
3
1
−
+ =
+
⇔
2
6
7







+
x
=
⇔
6
7
+
x
= ±
⇔
[
2
x
=
1
x
=

2. a, Phát biểu định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn ?
b, Trong các phương trình sau, phương trình nào là
phương trình bậc hai một ẩn ? Chỉ rõ hệ số a, b, c của mỗi
phương trình ấy
A. 5x2 - 9x + 2 = 0 B. 2x3 + 4x + 1 = 0

C. 3x2 + 5x = 0 D. 15x2 - 39 = 0
a = 15, b = 0 , c= - 39a = 3, b= 5, c= 0
* Đối với phương trình dạng câu C, câu D ở trên
( có b = 0 hoặc c = 0) ta giải như thế nào?

a = 5, b= - 9, c= 2
KIỂM TRA BÀI CŨ:

KIỂM TRA BÀI CŨ:
1. Giải phương trình sau (Bằng cách biến đổi phương trình thành phương
trình có vế trái là một bình phương, còn vế phải là một hằng số )
Hãy điền số thích hợp vào chỗ ( ) để được lời giải phương trình theo
cách giải nói trên

1
−
⇔ x
2
+
x

7
=
⇔ x
2
+ x.

3
1
−
3
7
=
3x
2

+ 7x = ⇔
3x
2
+ 7x + 1 = 0
2
6
7






⇔ x
2
+ 2.x.

6
7
3
1
−
+ =
+
⇔
2
6
7







+
x
=
⇔
6
7
+
x
= ±
⇔
[
2
x
=
1
x
=

TIẾT 53: CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
2
7 1 49 37
6 3 36 36
x
 
+ = − + =
 ÷

 
3
1
−
⇔ x
2
+
x
3
7
=
⇔ x
2
+ 2.x.

3
1
−
3.2
7
=
2
6
7







2
6
7






⇔ x
2
+ 2.x.
6
7
3
1
−
+
=
+
3x
2
+ 7x = - 1⇔
3x
2
+ 7x+1=0
⇔
1. Công thức nghiệm:
ax
2

+ bx + c = 0 (a ≠ 0) (1)
⇔ ax
2
+ bx = - c
⇔ x
2
+
a
c
x
a
b
−=
⇔
a
c
a
b
xx
−=+
.2
2
2
a
c
a
b
a
b
x

−=






+
2
2
2
42
⇔
2
2
2
4
4
2 a
acb
a
b
x
−
=







+
⇔
(2)
⇔
2
2






+
a
b
a
b
xx
2
.2
2
+
a
c
−=
2
2







+
a
b
3
1
−
⇔ x
2
+
x
3
7
=
⇔ x
2
+ 2.x.

3
1
−
3.2
7
=
3x
2
+ 7x = - 1⇔

2
7 1 49 37
6 3 36 36
x
 
+ = − + =
 ÷
 
⇔
Em hãy biến đổi phương trình
tổng quát về dạng có vế trái là bình
phương của một biểu thức, vế phải
là hằng số ?
2
6
7






2
6
7







⇔ x
2
+ 2.x.
6
7
3
1
−
+
=
+
Dựa vào các bước biến đổi đã có
của phương trình

1. Công thức nghiệm:
ax
2
+bx +c = 0 (a ≠0) (1)
⇔ ax
2
+bx = - c
⇔ x
2
+
a
c
x
a
b

−=
⇔
a
c
a
b
xx
−=+
.2
2
2
a
c
a
b
a
b
x
−=






+
2
2
2
42

⇔
2
2
2
4
4
2 a
acb
a
b
x
−
=






+
⇔
(2)
Người ta kí hiệu
∆=b
2
-4ac
⇔
2
2







+
a
b
a
b
xx
2
.2
2
+
a
c
−=
2
2






+
a
b
Như vậy, chúng ta đã biến đổi

phương trình (1) thành phương trình
(2) có vế trái là một bình phương
của một biểu thức, còn vế phải là
một hằng số.
Ta có thể khai phương hai vế để
tìm được x chưa ?
TIẾT 53: CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Ta có:
2
2
42 aa
b
x
∆
=






+
(2)
?1
?1
Hãy điền những biểu thức thích hợp vào các chỗ trống ( ) dưới đây:
a) Nếu ∆ >0 thì từ phương trình (2) suy ra

2

±=+
a
b
x
Do đó, phương trình (1) có hai nghiệm: x1 = , x2 =
b) Nếu ∆ = 0 thì từ phương trình (2) suy ra

2
=+
a
b
x
Do đó, phương trình (1) có nghiệm kép x =
?2
?2
Hãy giải thích vì sao khi ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

Do đó, phương trình (1) có hai nghiệm:
±=+
a
b
x
2
a) Nếu ∆ > 0 thì từ phương trình (2) suy ra
?1
?1
?2
?2
Nếu ∆ < 0 thì phương trình (1) vô nghiệm
(vì phương trình (2) vô nghiệm do vế phải là một số âm còn vế trái là một

số không âm )
a2
∆
b) Nếu ∆ = 0 thì từ phương trình (2) suy ra
0
2
=+
a
b
x
Giải:
2
2
42 aa
b
x
∆
=






+
(2)
,
a
b
2

∆+−
x
1
=
a
b
2
∆−−
x
2
=
Do đó, phương trình (1) có nghiệm kép
a
b
2
−
x =

Từ kết quả và ,với phương trình bậc hai
ax2 +bx +c = 0 (a ≠0) và biệt thức ∆ = b2 - 4ac
Với điều kiện nào của ∆ thì:
+ Phương trình có hai nghiệm phân biệt?
+ Phương trình có nghiệm kép?
+ Phương trình vô nghiệm ?
?2
?2
?1
?1
∆ > 0
∆ = 0

∆ < 0

KẾT LUẬN CHUNG:
•
Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
a
b
x
2
2
∆−−
=
a
b
x
2
1
∆+−
=
,
Đối với phương trình ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0)
và biệt thức ∆ = b2 - 4ac :
•
Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép
a
b
xx
2
21
−==

•
Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm.
Từ kết luận trên, theo các em để giải một phương trình bậc
hai, ta có thể thực hiện qua những bước nào?
Các bước giải một phương trình bậc hai:
Bước 1: Xác định các hệ số a, b, c.
Bước 2: Tính ∆.
Bước 3: Kết luận số nghiệm của phương trình.
Bước 4: Tính nghiệm theo công thức nếu phương trình có nghiệm.

Giải:
∆ = b
2
- 4ac
=5
2
- 4.3.(-1)
=25 + 12 = 37 > 0
⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
a
b
x
2
1
∆+−
=
6
375
3.2
375 +−

=
+−
=
2.Áp dụng:
Ví dụ: Giải phương trình 3x2 + 5x - 1 = 0
6
375
3.2
375 −−
=
−−
=
Bước 2: Tính ∆ ?
Bước 4: Tính nghiệm
theo công thức?
Bước 1: Xác định các
hệ số a, b, c ?
a
b
x
2
2
∆−−
=
a= 3, b= 5,
c= - 1
Bước 3: Kết luận số
nghiệm của phương
trình ?

Bài tập 1:
Áp dụng công thức nghiệm để giải các phương trình:
a) 5x
2
- x + 3 = 0 b) - 4x
2
+ 4x - 1 = 0
c) x
2
- 7x - 2 = 0
b) - 4x
2
+ 4x - 1 = 0
a= - 4, b = 4, c = - 1
∆ = b
2
- 4ac =16
2
- 4.(-4).(- 1)
= 16 - 16 = 0
⇒Phương trình có nghiệm kép
2
1
)4.(2
4
=
−
−=
Giải:
a) 5x

2
- x + 3 = 0
a= 5 , b = -1 , c = 3
∆ = b
2
- 4ac=(-1)
2
- 4.5.3
= 1 - 60 = -59 < 0
⇒ Phương trình vô nghiệm.
a
b
2
−
x
1
= x
2
=

c) x
2
- 7x - 2 = 0
a=1, b = -7, c =- 2
∆= b
2
- 4ac
= (-7)
2
- 4.1.(- 2)

=49 +8 =57 >0
⇒ Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
a
b
x
2
1
∆+−
=
a
b
x
2
2
∆−−
=
2
577
1.2
57)7(
−
=
−−−
=
2
577
1.2
57)7( +
=
+−−

=

Cả hai cách giải trên đều đúng. Em nên chọn cách giải
nào ? Vì sao?
Bài tập 2: Khi giải phương trình 15x2 - 39 = 0.
Bạn Mai và Lan đã giải theo hai cách như sau:
Bạn Lan giải:
15x
2
- 39 = 0
a=15, b = 0, c = -39
∆=b
2
- 4ac = 0
2
- 4.15.(-39)
= 0 + 2340 = 2340 >0
⇒ Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
a
b
x
2
1
∆+−
=
5
65
30
65.36
15.2

23400
==
+
=
a
b
x
2
2
∆−−
=
5
65
30
65.36
15.2
23400 −
=
−
=
−
=
Bạn Mai giải:
15x2 - 39 = 0
5
13
15
39
2
==x

⇔
⇔
5
13
±=
x
⇔ 15x
2
= 39
⇔
5
65
1
=x
5
65
2
−
=x

Chú ý:
1. Giải phương trình bậc hai dạng đặc biệt (b = 0 hoặc c = 0) bằng công thức
nghiệm có thể phức tạp nên ta thường giải bằng phương pháp riêng đã biết.
2. NÕu ph!¬ng tr×nh ax
2
+ bx + c = 0 (a 0 ) ≠ cã a vµ c tr¸i dÊu
⇒ ∆= b
2
- 4ac > 0
⇒ Ph#¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt

⇒ ac < 0
Nếu a và c trái dấu thì biệt thức ∆ = b2 - 4ac có dấu như thế nào?
Hãy xác định số nghiệm của phương trình?

Bài tập 3: Điền dấu X vào ô vô nghiệm, có nghiệm kép, có
hai nghiệm phân biệt tương ứng với mỗi phương trình
sau:
Phương trình
Vô
nghiệm
Có
nghiệm
kép
Có 2
nghiệm
phân
biệt
2x
2
+ 6x + 1 = 0
3x
2
- 2x + 5 = 0
x
2
+ 4x + 4= 0
2007x
2
- 17x - 2008 = 0
X

X
X
X
Giải thích
∆ = 6
2
- 4.2.1
= 28 > 0
∆= 4
2
- 4.1.4
= 0
∆=(-2)
2
- 4.3.5
= -54 < 0
a và c
trái dấu

HƯỚNG DẪN HỌC BÀI:
Học lý thuyết: Kết luận chung: SGK
Xem lại cách giải các phương trình đã chữa
Làm bài tập15,16 /SGK tr45





Tìm chỗ sai trong bài tập 1(c):
Bài giải 1:

x
2
- 7x - 2 = 0
a=1, b = - 7, c= - 2
∆=b
2
- 4ac = - 7
2
- 4.1.(-2)
=- 49 +8 =- 41 < 0
⇒Phương trình vô nghiệm
a
b
x
2
1
∆+−
=
a
b
x
2
2
∆−−
=
Bài giải 2:
x
2
- 7x - 2 = 0
a=1, b = - 7, c=- 2

∆=b
2
- 4ac = (- 7)
2
- 4.1( 2)
= 49 + 8 = 57 > 0
57
=∆
2
577
1.2
577
+−
=
+−
=
2
577
1.2
577
−−
=
−−
=
⇒ Phương trình có 2 nghiệm

Giải:
3x
2
+ 7x + 1 = 0

3
1
−
⇔ x
2
+
x
3
7
=
⇔ x
2
+ 2.x.

3
1
−
3.2
7
=
2
6
7






2

6
7






⇔ x
2
+ 2.x.

6
7
3
1
−
+
=
+
36
37
36
4912
=
+−
⇔
2
6
7







+
x
=
3x
2
+ 7x = - 1⇔
⇔
6
7
+
x
=
6
37
36
37
±=±
⇔
[
6
377
6
37
6

7
2
−−
=−−=
x
6
377
6
37
6
7
1
+−
=+−=
x
( chuyển 1 sang vế phải)
( chia hai vế cho 3)
( tách và thêm vào hai vế với
cùng một số

để vế trái thành một bình
phương)
2
6
7







( Khai phương hai vế
để tìm x)

b
2
- 4ac
vô nghiệm
=
a
b
2
−
•
Nếu ∆ 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
,
Đối với phương trình ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0)
và biệt thức ∆ =
•
Nếu ∆ 0 thì phương trình có nghiệm kép
•
Nếu ∆ < 0 thì phương trình
Bài tập 4: Điền vào chỗ trống:
x
1
= x
2
=
x
1

= x
2
=
>
a
b
2
∆+−
a
b
2
∆−−

∆ = b
2
- 4ac
= 5
2
- 4.3.(-1) = 25 + 12 = 37 > 0
⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
a
b
x
2
1
∆+−
=
6
375
3.2

375 +−
=
+−
=
6
375
3.2
375 −−
=
−−
=
a
b
x
2
2
∆−−
=
a= 3, b= 5,
c= - 1
2.Áp dụng:
Ví dụ: Giải phương trình 3x2 + 5x - 1 = 0