mot so bai toan lien quan den kshs

CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
DẠNG 1. BIỆN LUẬN SỐ GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ:
y = f(x) và y = g(x)
PHƯƠNG PHÁP:
Xét phương trình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x) (*)
Số giao điểm của 2 đồ thị chính bằng số nghiệm của phương trình (*)
BÀI 1. Tìm tọa độ giao điểm (nếu có) của hai đồ thị hàm số sau.
1.
2
2
2
−
−+−
=
x
xx
y
và
12
2
+−= xxy
ĐS: A(0; 1) và B(1; 2)
2.
222
23
++−= xxxy
và
xy −= 1
BÀI 2. Tìm m để đồ thị hàm số
13
23

+++= mxxxy
cắt đường thẳng y = 1 – 2x
tại ba điểm phân biệt.
ĐS:
}0{\
2
3
;
2
3






−∈m
BÀI 3*. Cho hàm số
323
43 aaxxy +−=
(C
a
) với a là tham số
1. Tìm a để các điểm CĐ, CT của đồ thị (C
a
) đối xứng
nhau qua đường thẳng y = x
ĐS: a =
2
2

±
2. Tìm a để đường thẳng y = x cắt đồ thị (C
a
) tại ba
điểm phân biệt A, B, C sao cho AB = BC
ĐS: a= 0; a =
2
2
±
BÀI 4. Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị hàm số
2
36
2
+
+−
=
x
mxx
y
và
đường thẳng y
=mx
KL: nếu m = 1 hoặc m = -16/3 thì có 1 giao điểm
Nếu m
≠
1 và m
≠
-16/3 thì có 2 giao điểm pb
BÀI 5. Cho hàm số
1

1
2
−
+−
=
x
xx
y
có đồ thị là (C).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2. Xác định m để đồ thị (C) cắt đường thẳng y = m tại hai điểm phân
biệt A, B sao cho AB =
12
ĐS: m = -3
hoặc m = 5
BÀI 6. Cho hàm số
2
92
2
−
+−
=
x
xx
y
có đồ thị là (C).
1. Xác định k để đồ thị (C) cắt đường thẳng y = k tại hai điểm phân
biệt với hoành độ dương. ĐS: k > 8
2. Xác định k để đồ thị (C) cắt đường thẳng y = kx + 10 – 5k tại
hai điểm phân biệt nhận I(5; 10) làm trung điểm.

ĐS:
3
2
−=k
BÀI 7. Cho hàm số
2
12
+
+
=
x
x
y
có đồ thị là (C).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
2. Xác định m để đường thẳng y = -x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
AB ngắn nhất
ĐS: m = 0
VM-TD-BN/T10-2008
1
DẠNG 2. BIỆN LUẬN THEO m SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH:
f(x) = m (*)
PHƯƠNG PHÁP:
Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và
đường thẳng y = m.
Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) và biện luận số giao điểm với đường thẳng y = m
BÀI 1. Cho hàm số
23
23
−+= xxy

có đồ thị là (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
mxx =−+ 23
23
ĐS: m>2 hoặc m<-2: pt có 1
n
0
m=2 hoặc m=-2: pt có 2 n
0
.
-2<m<2: pt có 3 n
0
phân biệt
3. Biện luận theo a số nghiệm của phương trình
03
23
=−− xxa
ĐS: a>4 hoặc a<-4: pt có 1 n
0
a=4 hoặc a=-4: pt có 2 n
0
.
-4<a<4: pt có 3 n
0
phân biệt
4. Biện luận theo k số nghiệm của phương trình
2323
33 kkxx +=+
DẠNG 3. VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

PHƯƠNG PHÁP:
Giả sử cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C).
1. Từ đồ thị (C) suy ra đồ thị hàm số
)(xfy =
như sau:
+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm trên trục Ox
+ Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm dưới trục Ox, qua trục Ox
+ Bỏ phần đồ thị (C) nằm dưới trục Ox
(Đồ thị hàm số
)(xfy =
luôn nằm trên trục hoành )
2. Từ đồ thị (C) suy ra đồ thị hàm số
( )
xfy =
như sau:
+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy (bỏ phần đ/t nằm bên trái Oy)
+ Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy, qua trục Oy
(Đồ thị hàm số chẵn
( )
xfy =
luôn nhận trục Oy làm trục đối xứng )
3. Từ đồ thị (C) suy ra đồ thị hàm số
)(xfy =
như sau:
+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox (bỏ phần nằm dưới trục Ox)
+ Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox, qua trục Ox
(Đồ thị hàm số
)(xfy =
luôn nhận trục Ox làm trục đối xứng
vì M(x

0
; y
0
) và M’(x
0
; y
0
) cùng thuộc đồ thị h/s )
4. Từ đồ thị hàm số y = f(x) = u(x).v(x) suy ra đồ thị hàm số y =
)()( xvxu
như sau:
Ta viết:



<−
≥
==
0u(x) khi )().(
0u(x) khi )().(
)()(
xvxu
xvxu
xvxuy
+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) (ứng với x thỏa mãn u(x)
≥
0)
+ Lấy đối xứng qua trục Ox, phần đồ thị (C) (ứng với x thỏa mãn u(x) <0)
BÀI 1. Cho hàm số
23

3xxy −=
có đồ thị là (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
2.
Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
mxx =+−
23
3
VM-TD-BN/T10-2008
2
ĐS: m<0: vô n
0
; m=0: có 3 n
0
; 0<m<2: có 6 n
0
; m=2:có 4 n
0
; m>2: có 2 n
0
3. Biện luận theo a số nghiệm của phương trình:
2
3
33 xxa −=
BÀI 2. Cho hàm số
3
2
2
−
−−

=
x
xx
y
có đồ thị là (C).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
m
x
xx
=
−
−−
3
2
2
3. Biện luận theo a số nghiệm của phương trình:
a
x
xx
3
3
2
2
=
−
−−
4. Biện luận theo k số nghiệm của phương trình:
23
2

2
k
x
xx
=
−
−−
5. Biện luận theo t số nghiệm của phương trình:
t
x
xx
=
−
−−
3
2
2
BÀI 3. Cho hàm số
2
)2)(1(
−
+−
=
x
xx
y
có đồ thị là (C).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2. Tìm k để đường thẳng y = kx – 1 cắt (C) tại hai điểm phân biệt với hoành độ dương
3. Tìm m để phương trình:

m
x
xx
=
−
+−
2
)2(1
có đúng 3 nghiệm phân biệt
BÀI 4. Cho hàm số
1
32
2
−
+−
=
x
xx
y
có đồ thị là (C).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2. Biện luận theo k số nghiệm của phương trình:
)1(
2
1
32
2
−
+
=+− x

k
xx
3. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
3142
2
=−++− xmxx
BÀI 5. [ĐH.2006.A] Cho hàm số
41292
23
−+−= xxxy
có đồ thị là (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
2.
Tìm m để phương trình:
mxxx =+− 1292
2
3
có 6 nghiệm phân biệt.
ĐS:4<m<5
BÀI 6. Cho hàm số
23
23
+−= xxy
có đồ thị là (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
1
22
2
−

=−−
x
m
xx
BÀI 7. Cho hàm số
45
24
+−= xxy
có đồ thị là (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
2. Biện luận theo a số nghiệm của phương trình:
2)1(4
22
−=−− axx
BÀI 8. Cho hàm số
1
1
2
−
−+
=
x
xx
y
có đồ thị là (C).
VM-TD-BN/T10-2008
3
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2. Biện luận theo k số nghiệm của phương trình:
k

x
xx
=
−
−+
1
1
2
3. Tìm tất cả các giá trị của m để trên đồ thị (C) có hai điểm A(x
A
; y
A
) , B(x
B
; y
B
) khác
nhau thỏa mãn điều kiện:



=+
=+
myx
myx
BB
AA
BÀI 9. Cho hàm số
2
54

2
−
+−
=
x
xx
y
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
2. Biện luận theo m số nghiệm của phương
trình:
025)4(
2
=+++− mxmx
ĐS: m<-5/2 hay m=
±
2: có 2 n
0
.
-5/2<m<-2hay m>2: có 4 n
0
.
m=-5/2: có 3 n
0
. -2<m<2: vô n
0
.
DẠNG 4. LẬP PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ: y = f(x)
PHƯƠNG PHÁP:
Áp dụng công thức phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm
M(x

0
; y
0
) ta có:
))(('
000
xxxfyy −=−
hay
))(('
000
xxxyyy −=−

Trong đó: M(x
0
; y
0
) là tiếp điểm; y
0
= f(x
0
) ; k = f’(x
0
) là hệ số góc của tiếp tuyến
1. Nếu cho hoành độ x
0
thì tính y
0
= f(x
0
) và hệ số góc k = f’(x

0
)
2. Nếu cho tung độ y
0
thì giải pt: f(x) = y
0
suy ra hoành độ x = x
0
từ đó tính k = f’(x
0
)
3. Nếu cho hệ số góc k = k
0
thì có 2 cách:
Cách 1. Giải pt: f’(x) = k
0

⇒
x = x
0

⇒
y
0
= f(x
0
)
Cách 2. Pt tiếp tuyến có dạng: y = k
0
x + m (

∆
) (cần tìm m)
(
∆
) tiếp xúc với (C)
⇔
hệ pt sau có nghiệm:



=
+=
0
0
)('
)(
kxf
mxkxf
⇒
x ?
⇒
m ?
4. Nếu cho một điểm N(a; b) thuộc tiếp tuyến thì
Cách 1. Gọi tiếp điểm
);(
00
yxM
. Ta có
)(
00

xfy =
và
))(('
000
xxxfyy −=−
⇒
))((')(
000
xaxfxfb −=−
⇒
0
x
⇒
PT tiếp tuyến
Cách 2. Đường thẳng đi qua N(a; b) với hệ số góc k có phương tình dạng:
)( axkby −=−
⇔
bkakxy +−=

)(
∆
)(
∆
tiếp xúc với (C)
⇔
hệ pt sau có nghiệm:



=

+−=
kxf
bkakxxf
)('
)(
⇒
x?
⇒
k?
BÀI 1. Cho hàm số
34
24
+−= xxy
có đồ thị là (C)
1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng -1.
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với trục hoành
3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng - 8
BÀI 2. Cho hàm số
243
23
+−+−= xxxy
có đồ thị là (C)
1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết hệ số góc bằng -1
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết nó vuông góc với đường thẳng y=
3
4
1
+
x
VM-TD-BN/T10-2008

4
BÀI 3. Cho hàm số
xxy 2
2
−=
có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C)
biết nó đi qua điểm N(1; -2)? ĐS: y = 2x; y = 2x -4
BÀI 4. Cho hàm số
23
23
+−= xxy
có đồ thị là (C)
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ điểm A(
2;
9
23
−
)
ĐS: y = -2; y= 9x-25
y=
27
61
3
5
+
−
x
BÀI 5. Cho hàm số
2
1

2
+
−+
=
x
xx
y
có đồ thị là (C).
1. Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) vuông
góc với tiệm cận xiên
ĐS:
522 −+−= xy

và
522 −−−= xy
2. Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của (C) đều không đi qua điểm I(-2; -3)
BÀI 6. Cho hàm số
2
45
2
−
+−
=
x
xx
y
có đồ thị là (C).
1. Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) song
song với đường thẳng y = 3x + 2008.
ĐS:

33 −= xy

và
113 −= xy
2. Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với tiệm cận xiên.
BÀI 7. [HVBCVT. 2000] Cho hàm số
23
23
−+−= xxy
(*)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm sô (*)
2. Tìm các điểm thuộc đồ thị (C) mà qua đó kẻ
được một tiếp tuyến với đồ thị hàm số (*) ĐS: A(1; 0)
BÀI 8. [ĐHGTVT.00] Cho hàm số
ax
xax
y
+
−++
=
3)1(2
2
có đồ thị là (C
a
).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm sô khi a = 2
2. Xác định a để đường tiệm cận xiên của đồ thị (C
a
) tiếp xúc với
parabol y = x

2
+ 5. ĐS: a = -3
BÀI 9. [ĐHKT.00] Cho hàm số
kxkkxy 21)1(
24
−+−+=
với k là tham số
1.
Xác định k để đồ thị của hàm số chỉ có một điểm cực trị ĐS:
);1[]0;( +∞∪−∞∈k
2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm sô khi k =
2
1
. Gọi đồ thị khi đó là (C)
3. Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) kẻ từ điểm O.
ĐS: y=0;
xy
33
1
±=
BÀI 10. Cho hàm số
2
2
2
−
−+
=
x
xx
y

có đồ thị là (C).
1. Tìm phương trình đường cong đối xứng với đường cong
(C) qua đường thẳng y = 2.
ĐS:
2
63
2
−
−+−
=
x
xx
y
2. Tìm phương trình đường cong đối xứng với đường cong (C) qua điểm I(1; -2)
BÀI 11. Cho hàm số
xxy 3
3
−=
có đồ thị là (C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2. Tìm trên đường thẳng y = 2 những điểm mà từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến
VM-TD-BN/T10-2008
5
đồ thị (C).
BÀI 12. [ĐHVinh.00] Cho hàm số
1)12()1(
3
+−+−+= mxmxmy
có đồ thị (C
m

).
1. CMR: với mọi m đồ thị (C
m
) luôn có 3 điểm
cố định thẳng hàng
ĐS: A
0
(-1;1), A
1,2
(
2
55
,
2
51 ±±
)
2. Với giá trị nào của m thì trên (C
m
) có tiếp tuyến
vuông góc với đường thẳng đi qua 3 điểm cố
định ĐS: m < -1 hoặc m > 0
BÀI 13. Cho hàm số
)1(
24
+−+= mmxxy
có đồ thị (C
m
).
1. Tìm điểm cố định của họ đồ thị (C
m

) ĐS: A
1,2
(
±
1;0)
2. Gọi A là điểm cố định với hoành độ dương của (C
m
).
Hãy tìm các giá trị của m để tiếp tuyến với đồ thị tại A
song song với đường thẳng y = 2x. ĐS: m =1
BÀI 14. Cho hàm số
mxmmxxy +−+−= )1(33
223
có đồ thị (C
m
).
1. Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực tiểu tại x=2 ĐS: m=1
2. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1
3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến
đi qua A(0; 6)
ĐS: y = 9x + 6
BÀI 15. Cho hàm số
13
23
+++= mxxxy
có đồ thị (C
m
).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3
2. Chứng minh với mọi m đồ thị (C

m
) luôn cắt đồ thị hàm
số y = x
3
+2x
2
+7 tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm quỹ
tích trung điểm I của đoạn AB.
Quỹ tích:
191844
23
+++= xxxy
3. Xác định m để (C
m
) cắt đường thẳng y = 1 tại ba
điểm phân biệt C(0; 1) D và E sao cho các tiếp tuyến
tại D và E vuông góc với nhau.
ĐS:
8
659 ±
=m
BÀI 16. Cho hàm số
1
2
−
+−
=
x
mxx
y

có đồ thị là (C
m
) (m là tham số khác 0)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1
2. Tìm m để (C
m
) cắt Ox tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại
A, B vuông góc với nhau
3. Tìm m để tam giác tạo bởi một tiếp tuyến bất kỳ của (C
m
) và hai đường tiệm cận
có diện tích nhỏ hơn 2 (đvdt)
BÀI 17. Cho hàm số
2
2
2
+
++
=
x
xx
y
có đồ thị là (C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng d:5x - 9y –4 = 0
3. Tìm những điểm M trên Oy để từ đó vẽ được 2 tiếp tuyến đến hai nhánh của (C)
BÀI 18. Cho hàm số
13
23
++= xxy

có đồ thị là (C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
2. Biện luận theo a số nghiệm của phương trình:
( )
axx =+−+− 1131
2
3
o0o
VM-TD-BN/T10-2008
6