de hsg toan 8

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8
(Thời gian 90’)
Bài 1: (2,5đ)
a/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x
5
– 5x
3
+ 4x
b/ Cho a + b = 1. Tính giá trị của biểu thức: A = a
2
(2a - 3) + b
2
(-3 + 2b)
Bài 2: (2,5đ)
a/ Cho a;b;c
≠
0, a + b + c =1 và
cba
111
++
= 0
Chứng minh rằng: a
2
+ b
2
+ c
2
= 1
b/ Giải phương trình:

4

1994
15
1993
16
1992
17
1991
18
−=
+
+
+
+
+
+
+ xxxx
Bài 3: (2đ) Cho biểu thức: M =
)1)(1()1)(()1)((
2222
yx
yx
xyx
y
yyx
x
−+
−
++
−
−+

a/ Tìm điều kiện xác định của biểu thức M.
b/ Rút gọn biểu thức M.
c/ Tìm các cặp số nguyên (x;y) để biểu thức M có giá trị bằng 3.
Bài 4: (3đ) Cho hình thang ABCD (AB//CD) và O là giao điểm của hai đường chéo AC,
BD. Chứng minh rằng:
a/ Diện tích tam giác AOD bằng diện tích tam giác BOC.
b/ Tích của diện tích tam giác AOB và diện tích tam giác COD bằng bình phương diện
tích tam giác BOC.
Hết
ĐÁP ÁN:
Bài 1: (2,5đ)
a/ (1,5đ) x
5
– 5x
3
+ 4x = x(x
4
-5x
2
+ 4) (0,25)
= x[x
2
( x
2
-1)-4(x
2
-1)] (0,5)
= x( x
2
-1)(x

2
-4) (0,25)
= (x-2)(x-1)x(x+1)(x+2) (0,5)
b/ (1đ) A = a
2
(2a - 3) + b
2
(-3 + 2b)
= 2(a
3
+b
3
)-3(a
2
+b
2
) (0,25)
= 2(a+b)(a
2
–ab + b
2
) -3(a
2
+b
2
) (0,25)
= 2(a
2
–ab + b
2

) -3(a
2
+b
2
) (vì a+b=1) (0,25)
= -2ab-a
2
-b
2
= -(a+b)
2
= -1 (0,25)
Bài 2: (2,5đ)
a/ (1đ) (a + b + c)
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
+

2ab + 2ac + 2bc = 1 (0,25)

cba
111
++
= 0
abc

bcacab ++
⇒
= 0 (0,25)

⇒
ab + ac + bc = 0 (0,25)

⇒
2ab + 2ac + 2bc = 0

⇒
a
2
+ b
2
+ c
2
= 1 (0,25)
b/(1,5đ)
4
1994
15
1993
16
1992
17
1991
18
−=
+

+
+
+
+
+
+ xxxx

0
1994
2009
1993
2009
1992
2009
1991
2009
=
+
+
+
+
+
+
+
⇔
xxxx
(0,5)
1
ĐỀ 1

⇔
(x+2009)
0)
1994
1
1993
1
1992
1
1991
1
( =+++
(0,25)

⇔
(x+2009) = 0 (vì
)0
1994
1
1993
1
1992
1
1991
1
≠+++
(0,5)

⇔
x =-2009 (0,25)

Bài 3: (2đ)
a/ (0,5đ) x
≠
-1, y
≠
1, x
≠
y (Thiếu, sai 1ĐK trừ 0,25đ)
b/ (1đ) M =
)1)(1()1)(()1)((
2222
yx
yx
xyx
y
yyx
x
−+
−
++
−
−+
=
)1)(1)((
)()1()1(
2222
xyyx
yxyxyyxx
+−+
+−−−+

(0,25)
=
[
]
)1)(1)((
)1()1()1)(1(
22
xyyx
xyyxyx
+−+
−++−+
(0,25)
=
)1)(1)((
))()(1)(1(
xyyx
xyyxyxyx
+−+
+−+−+
(0,25)
= x – y + xy (0,25)
c/ (0,5đ) M = 3
⇔
x – y + xy = 3

⇔
(x –1) (y+1) = 2 (0,25)





=
=
⇔



=+
=−
⇒
1
2
21
11
y
x
y
x
(loại)
Hoặc



−=
=
⇔



−=+

−=−
3
0
21
11
y
x
y
x
(thỏa mãn)
Vậy (x;y) = (0;-3) (0,25)
Bài 4: (3đ)
Hình vẽ phục vụ câu a (0,5), ( Hình vẽ chưa phục vụ chứng minh (0,25))
a/ (1,25đ) Vẽ AH
⊥
DC, BK
⊥
DC (H,K
∈
DC)
)25,0(
)25,0(
)25,0)((
)25,0(.
2
1
)25,0(.
2
1
BOCAOD

DOCBOCDOCAOD
BDCADC
BDC
ADC
SS
SSSS
BKdoAHSS
DCBKS
DCAHS
=⇒
+=+⇒
==⇒
=
=

b/ (1,25đ) Vẽ DM
⊥
AC (M
∈
AC), BN
⊥
AC (N
∈
AC)
Ta có:
AOB
BOC
1
BN.AO
S

AO
2
1
S OC
BN.OC
2
= =
(0,25)

AOD
DOC
1
DN.AO
S
AO
2
1
S OC
DN.OC
2
= =
(0,25)
COD
AOD
BOC
AOB
S
S
S
S

=⇒
(0,25)
BOCAODCODAOB
SSSS =⇒
(0,25)
)()(
2
BOCAODBOCCODAOB
SdoSSSS ==⇒
(0,25)
2