BT (đầy đủ) về hàm số liên tục

HÀM SỐ LIÊN TỤC
HÀM SỐ LIÊN TỤC
A.XÉT LIÊN TỤC TẠI 1 ĐIỂM (DẠNG 1)
Bài 1: Xét tính liên tục của hàm số sau đây tại điểm
0
x
đã chỉ ra:
1)
neáu
neáu
2
0
9 10
1
, 1
1
5 6 1
x x
x
y x
x
x x
ì
ï
+ -
ï
¹
ï
ï
= =
í

-
ï
ï
+ =
ï
ï
î
2)
neáu
neáu
2
0
3 4 1
2
, 2
4
3 12 2
x
x
y x
x
x x
ì
ï
- +
ï
ï
¹
ï
= =

í
-
ï
ï
- =
ï
ï
î
3)
neáu
neáu
0
2
1 1
, 1
1
1
3 2
x
y x
x
x
x x
ì
ï
- =
ï
ï
ï
= =

í
-
ï
¹
ï
ï
- +
ï
î
4)
8 neáu
neáu
3
0
2
, 2
8
2
2
x
y x
x
x
x
ì
ï
=
ï
ï
ï

= =
í
-
ï
¹
ï
ï
-
ï
î
5)
neáu
11
neáu
3
3
2
0
6
2
2
, 2
2
x x
x
x x
y x
x
ì
ï

- -
ï
¹
ï
ï
ï
- -
= =
í
ï
ï
=
ï
ï
ï
î
6)
neáu
neáu
0
1 2 3
2
, 2
2
1 2
x
x
y x
x
x

ì
ï
- -
ï
ï
¹
ï
= =
í
-
ï
ï
=
ï
ï
î
7)
neáu
neáu
2
2
0
2
( 1)
1
, 1
1
2 1 1
x
x

y x
x
x x
ì
ï
-
ï
¹
ï
ï
= =
í
-
ï
ï
- =
ï
ï
î
8)
neáu
neáu
3
2
0
1 cos
0
sin
, 0
1

0
6
x
x
x
y x
x
ì
ï
-
ï
ï
¹
ï
ï
= =
í
ï
ï
=
ï
ï
ï
î
9)
neáu
neáu
2
0
1 cos

0
sin
, 0
1
0
4
x
x
x
y x
x
ì
ï
-
ï
ï
¹
ï
ï
= =
í
ï
ï
=
ï
ï
ï
î
10)
neáu

neáu
2
0
1
sin 0
, 0
0 0
x x
y x
x
x
ì
ï
ï
¹
ï
ï
= =
í
ï
ï
=
ï
ï
î
11)
neáu
neáu
0
sin

1
, 1
1
1
x
x
y x
x
x
p
p
ì
ï
ï
¹
ï
ï
= =
í
-
ï
ï
- =
ï
ï
î
12)
neáu
neáu
2

2
0
3 2 4 2
1
3 2
, 1
1
1
2
x x x
x
x x
y x
x
ì
ï
- - - -
ï
ï
¹
ï
ï
- +
= =
í
ï
ï
ï
=
ï

ï
î
13)
neáu
neáu
2
0
1 1
1
, 1
1
x
x
y x
x
a x
ì
ï
- -
ï
ï
¹
ï
= =
í
ï
ï
=
ï
ï

î
14)
neáu
neáu ;
0 neáu ;
2
0
1
2 1 1
0, 1
1 0 0
1 1
x
x x
x x
y x x
x x
ì
ï
+ -
ï
ï
¹ ¹
ï
ï
-
ï
í
= - = =
ï

ï
ï
ï
= =
ï
ï
î
15)
neáu
neáu
3
0
1
1
1
, 1
sin
1
x
x
x
y x
x
x
x
p
ì
ï
-
ï

ï
¹
ï
ï
-
= =
í
ï
ï
ï
=
ï
ï
î
16)
neáu
neáu
0
2 1
1
, 1
2 5
2 1
x
x
y x
x
x
ì
ï

+ -
ï
ï
-¹
ï
= = -
í
- +
ï
ï
= -
ï
ï
î
17)
neáu
neáu
3
0
1 1
0
, 0
1
0
6
x x
x
x
y x
x

ì
ï
+ - +
ï
ï
¹
ï
ï
= =
í
ï
ï
=
ï
ï
ï
î
18)
neáu
3 neáu
0
5
5
, 5
2 1 3
12 5
x
x
y x
x

x x
ì
ï
-
ï
¹
ï
ï
= =
í
- -
ï
ï
- =
ï
ï
î
Bài 2: Tìm tham số để mỗi hàm số sau đây liên tục tại điểm
0
x
đã chỉ ra:
1)
neáu
neáu
2
0
2
1
, 1
1

1
x x
x
y x
x
m x
ì
ï
+ -
ï
¹
ï
ï
= =
í
-
ï
ï
=
ï
ï
î
2)
neáu
neáu
0
2 2
0
, 0
1 0

x
x
y x
x
m x
ì
ï
+ -
ï
ï
¹
ï
= =
í
ï
ï
+ =
ï
ï
î
Dương Phước Sang
HÀM SỐ LIÊN TỤC
3)
neáu
neáu
2
0
7 10
2
, 2

2
4 2
x x
x
y x
x
m x
ì
ï
- +
ï
¹
ï
ï
= =
í
-
ï
ï
- =
ï
ï
î
4)
neáu
neáu
3
2
0
2 3

1
, 1
1
1
x x
x
y x
x
a x
ì
ï
+ -
ï
¹
ï
ï
= =
í
-
ï
ï
=
ï
ï
î
5)
neáu
neáu
0
2

2 2
2
, 2
7 3
3 2
x
x
y x
x
x mx x
ì
ï
+ -
ï
ï
¹
ï
= =
í
+ -
ï
ï
- =
ï
ï
î
B.XÉT LIÊN TỤC TẠI 1 ĐIỂM (DẠNG 2)
Bài 3: Xét tính liên tục của hàm số sau đây tại điểm
0
x

đã chỉ ra:
1)
neáu
neáu
2
0
3 4 1
, 1
2 3 1
x x x
y x
x x
ì
ï
- + <
ï
ï
= =
í
ï
- ³
ï
ï
î
2)
neáu
neáu
2
0
4

2
, 2
2
1 2 2
x
x
y x
x
x x
ì
ï
-
ï
<
ï
ï
= =
í
-
ï
ï
- ³
ï
ï
î
3)
neáu
neáu
2
2

0
3 2
1
1
, 1
1
2
x x
x
x
y x
x
x
ì
ï
- +
ï
³
ï
ï
ï
-
= =
í
ï
ï
- <
ï
ï
ï

î
4)
neáu
neáu
0
3
3
0
2
, 0
1 1
0
1 1
x x
y x
x
x
x
ì
ï
ï
+ £
ï
ï
ï
= =
í
+ -
ï
ï

³
ï
ï
+ -
ï
î
5)
neáu
neáu
0
1 cos 6
0
sin 2
, 0
0
1
x
x
x x
y x
x a
x
x
ì
ï
-
ï
ï
<
ï

ï
= =
í
ï
+
ï
³
ï
ï
+
ï
î
6)
neáu
neáu
0
sin
,
cos 1
2
x
x
x
y x
x
x
p
p
p
p

ì
ï
ï
< -
ï
ï
ï
+
= = -
í
ï
ï
+ -³
ï
ï
ï
î
7)
neáu
neáu
0
2
1 2 1
0
, 0
sin 2
4 1 0
x
x
y x

x
x x x
ì
ï
- +
ï
ï
<
ï
= =
í
ï
ï
- + ³
ï
ï
î
8)
neáu
neáu
2 2
1 cos2
sin [ ; ]\ {0}
sin
2 0
x
x x
y
x
x

p p
ì
ï
-
ï
ï
+ -Î
ï
=
í
ï
ï
=
ï
ï
î
9)
neáu
neáu
neáu
3
0
4
1
1
2 1
2 1, 1
1
1
1

x
x
x
y x x
x
x
x
ì
ï
-
ï
ï
<
ï
ï
- +
ï
ï
í
= = =
ï
ï
ï
-
ï
ï
>
ï
ï
-

î
10)
neáu
neáu
0
1 1
1 1
, 1
1
1 1
x
y x
x x
x
ì
ï
ï
+ -¹
ï
ï
= = -
í
+
ï
ï
= -
ï
ï
î
11)

neáu
neáu
0
1 0
, 0
2 0
x
x
y x
x
x
ì
ï
ï
+ ¹
ï
ï
= =
í
ï
ï
=
ï
ï
î
Bài 4: Tìm tham số để mỗi hàm số sau đây liên tục tại điểm
0
x
đã chỉ ra:
1)

neáu
neáu
2
0
3 2 1 1
, 1
2 1
x x x
y x
x a x
ì
ï
+ - <
ï
ï
= =
í
ï
+ ³
ï
ï
î
2)
neáu
neáu
0
1 cos 4
0
.sin 2
, 0

0
1
x
x
x x
y x
x a
x
x
ì
ï
-
ï
ï
<
ï
ï
= =
í
ï
+
ï
³
ï
ï
+
ï
î
3)
neáu

neáu
0
1 1
0
, 0
4
0
2
x x
x
x
y x
x
a x
x
ì
ï
- - +
ï
ï
<
ï
ï
= =
í
ï
-
ï
+ ³
ï

ï
+
ï
î
4)
neáu
neáu
2
2
0
3 2
2
, 2
2
1 2
x x
x
y x
x x
mx m x
ì
ï
- +
ï
<
ï
ï
= =
í
-

ï
ï
+ + ³
ï
ï
î
Dương Phước Sang
HM S LIấN TC
C.XẫT LIấN TC TRấN 1 KHONG, ON
Bi 5: Xột tớnh liờn tc ca hm s sau õy trờn tp xỏc nh ca nú
1)
neỏu
neỏu
2
2 10
2
2 4
4 17 2
x x
x
y
x
x x
ỡ
ù
- + +
ù
< -
ù
ù

=
ớ
+
ù
ù
+ -
ù
ù
ợ
2)
neỏu
neỏu
2
7 6
1
1
2 1 1
x x
x
y
x
a x
ỡ
ù
+ +
ù
-ạ
ù
ù
=

ớ
+
ù
ù
- = -
ù
ù
ợ
3)
neỏu
neỏu
4
8
2
2
1 2
x x
x
y
x
ax x
ỡ
ù
-
ù
<
ù
ù
=
ớ

-
ù
ù
+
ù
ù
ợ
4)
neỏu
8 neỏu
2
16
4
4
4
x
x
y
x
x
ỡ
ù
-
ù
ạ
ù
ù
=
ớ
-

ù
ù
=
ù
ù
ợ
5)
neỏu
neỏu
2
3 7 2
1 2
x x x
y
x x
ỡ
ù
- - < -
ù
ù
=
ớ
ù
- -
ù
ù
ợ
6)
neỏu
neỏu

2
0
4 2
, 2
2 1 2
x x
y x
x x
ỡ
ù
+ <
ù
ù
= =
ớ
ù
+
ù
ù
ợ

7)
neỏu
neỏu
sin
3
1 2 cos 3
3
x
x

y
x
a x
p
p
p
ỡ
ổ ử
ù
ữ
ù
ỗ
ữ
-
ù ỗ
ữ
ỗ
ù
ố ứ
ù
ạ
ù
=
ớ
-
ù
ù
ù
ù
=

ù
ù
ợ
8)
neỏu
neỏu
neỏu
2
2
3 10
2
4
3 4 5
2 3
2 5
2
x x
x
x
y x x
x
x
x
ỡ
ù
+ -
ù
<
ù
ù

-
ù
ù
ù
= - >
ớ
ù
ù
+
ù
ù
Ê Ê
ù
ù
+
ù
ợ
9)
neỏu
neỏu
0
1 1
0
, 0
4
0
2
x x
x
x

y x
x
a x
x
ỡ
ù
- - +
ù
ù
<
ù
ù
= =
ớ
ù
-
ù
+
ù
ù
+
ù
ợ
10)
neỏu
neỏu
0
1 cos 4
0
sin 2

, 0
0
1
x
x
x x
y x
x a
x
x
ỡ
ù
-
ù
ù
<
ù
ù
= =
ớ
ù
+
ù

ù
ù
+
ù
ợ
11)

neỏu
neỏu
2
sin
0
0
ax
x
y
x
ax b x
ỡ
ù
ù
>
ù
ù
=
ớ
ù
ù
+ Ê
ù
ù
ợ
12)
neỏu
neỏu
3
3 2 2

2
2
4 2
x
x
y
x
ax x
ỡ
ù
+ -
ù
ù
>
ù
=
ớ
-
ù
ù
+ Ê
ù
ù
ợ
Bi 6: Tỡm tham s hm s sau õy liờn tc trờn
Ă
1)
neỏu
neỏu
neỏu

3
2
8
2
2 2
20 8 2
5 52 2
x
x
x
y x x
m m x
ỡ
ù
-
ù
>
ù
ù
ù
+ -
ù
ớ
= + <
ù
ù
ù
ù
- + =
ù

ù
ợ
2)
neỏu
neỏu
3
3 2 2
2
2
1
2
4
x
x
x
y
ax x
ỡ
ù
+ -
ù
ù
>
ù
ù
-
=
ớ
ù
ù

+ Ê
ù
ù
ù
ợ
3)
neỏu
neỏu
3
8
2
2
3 2
x
x
y
x
a x
ỡ
ù
-
ù
ạ
ù
ù
=
ớ
-
ù
ù

- =
ù
ù
ợ
4)
neỏu
neỏu
neỏu
2
1
1 3
4 3
x x
y ax b x
x x
ỡ
ù
<
ù
ù
ù
= + ÊÊ
ớ
ù
ù
- >
ù
ù
ợ
5)

neỏu
neỏu
neỏu
2 sin
2
sin
2 2
cos
2
x x
y a x b x
x x
p
p p
p
ỡ
ù
ù
- < -
ù
ù
ù
ù
ù
ù
= + - ÊÊ
ớ
ù
ù
ù

ù
ù
>
ù
ù
ù
ợ
6)
neỏu
neỏu
2
sin 0
cos 5 0
x x
y
x
a x x
ỡ
ù
ù
>
ù
ù
=
ớ
ù
ù
- Ê
ù
ù

ợ
E.XẫT TNH LIấN TC BNG TP XC NH
Bi 7: Xột xem mi hm s sau õy cú liờn tc trờn ton trc s hay khụng. Nu chỳng khụng liờn tc trờn
ton trc s hóy ch ra cỏc im x m ti ú hm s giỏn on
1)
3 2
( ) 2 3 1f x x x x= - + +
2)
2
2 1
( )
3 2
x
f x
x x
+
=
- +
3)
2
3
5 6
( )
2
x x
f x
x x
- +
=
-

4)
4 3 2
2 1
( )
3 2
x
f x
x x x
+
=
- +
Dng Phc Sang
HÀM SỐ LIÊN TỤC
5)
3
tan
( )
x
f x
x x
=
+
6)
5 2
4 3 2
2 8 11
( )
4 8 8 4
x x
f x

x x x x
- +
=
+ + + +
7)
3 2
2 sin cos 1
( )
4 cos 2
x x
f x
x
+ +
=
-
8)
tan cot 1
( )
sin sin 2 sin 3
x x
f x
x x x
+ -
=
+ +
9)
2 sin
( )
sin 3 cos
x

f x
x x
=
-
10)
4 2
4 sin 2cos
( )
5 4
x x
f x
x x
-
=
- +
11)
neáu
neáu
3
1
1
1
( )
1
1
3
x
x
x
f x

x
ì
ï
-
ï
ï
¹
ï
ï
-
=
í
ï
ï
=
ï
ï
ï
î
12)
neáu
neáu
1
cos 0
( )
0 0
x x
f x
x
x

ì
ï
ï
¹
ï
ï
=
í
ï
ï
=
ï
ï
î
13)
neáu
neáu
2
2
1 1
0
( )
3 3cos2 0
x x
x
f x
x
x x x
ì
ï

+ + -
ï
ï
¹
ï
=
í
ï
ï
+ - =
ï
ï
î
F.CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM
Bài 8: Chứng minh phương trình có nghiệm (trên khoảng đã chỉ ra)
1)
4
3 0x x- - =
có ít nhất 1 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (1;2).
2)
4 3 2
3 2 1 0x x x- + - =
có ít nhất 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng
( 1;1)-
3)
5
3 1 0x x- - =
có ít nhất 2 nghiệm phân biệt thuộc đoạn
[ 1;2]-
4)

4 2
4 2 3 0x x x+ - - =
có ít nhất 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng
( 1;1)-
5)
3
2 6 1 0x x- + =
có đúng 3 nghiệm phân biệt thuộc đoạn
[ 2;2]-
.
6)
3 2
3 3 0x x- + =
có đúng 3 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (–1;3)
7)
3
2 6 1 0x x- + =
có đúng 3 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (–2;2)
8)
3 2
3 3 0x x+ - =
có đúng 3 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (– 3;1)
9)
3 2
3 1 0x x- + =
có đúng 3 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (–1;3)
10)
3
2 6 1 3x x+ - =
có ít nhất 3 nghiệm phân biệt thuộc khoảng

( 7;9)-
11)
2
cos sin 1 0x x x x+ + =
có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng
(0; )
p
Bài 9: Chứng minh phương trình có nghiệm (chưa chỉ rõ khoảng chứa nghiệm)
1)
5 3
5 4 1 0x x x- + - =
có đúng 5 nghiệm phân biệt. HD:
( ) ( )
3 1
2 2
( 5), , (0), , (1), (4)f f f f f f- -
2)
3 2
4 2 0x x+ - =
có ít nhất 2 nghiệm.
3)
5 3
10 100 0x x- + =
có ít nhất 1 nghiệm âm.
4)
3
3 1 0x x- + =
có 3 nghiệm phân biệt.
5)
3 2

6 9 1 0x x x+ + + =
có 3 nghiệm phân biệt
6)
3
2 6 1 3 0x x+ - - =
có 3 nghiệm phân biệt.
Bài 10: Chứng minh rằng các phương trình sau đây có nghiệm
1)
3
2 7 0x x- - =
2)
5 3
1 0x x+ - =
3)
3 2
3 3 3 2 0x x x+ + + =
4)
3 2
6 9 10 0x x x- + - =
5)
cos 1 0x x- + =
6)
7 5
3 2 0x x+ - =
Bài 11: Chứng minh rằng phương trình
5
2 0x x- - =
có nghiệm
3
0

( 2;2)x Î
Bài 12: Chứng minh rằng phương trình
3 2
2 3 1 0x x- - =
có nghiệm
3
0
( 4;2)x Î
Bài 13: Chứng minh rằng phương trình
3
1 0x x+ - =
có nghiệm
1
0
2
(0; )x Î
Bài 14: Chứng minh rằng phương trình
4
3 0x x- - =
có nghiệm
7
0
( 12;2)x Î
Bài 15: Chứng minh rằng với mọi giá trị của m các phương trình sau đây luôn có nghiệm
Dương Phước Sang
HÀM SỐ LIÊN TỤC
1)
2
( 1) ( 2) 2 3 0m x x x- + + + =
2)

4 2
2 2 0x mx mx+ - - =
3)
3
( 1) ( 2) 2 3 0m x x x- - + - =
4)
3
( 1) ( 2) 2 3 0m x x x- + + + =
5)
2 4
( 1) 2 2 0m m x x+ + + - =
6)
3 2
1 0x mx+ - =
7)
3
( 1) 1x mx m- + = +
8)
3 2
3 4( 2) 1 0x mx m x m- + - + - =
9)
4 2
2 0mx x x m+ - - =
(2 nghiệm trái dấu) 10)
5 2
( 1) 8 0x m x x+ - - =
(ít nhất 3 nghiệm)
11)
2 cos cos2 1 0x m x+ - =
12)

2 sin sin 2 1 0x m x+ + =
13)
1 1
cos sin
m
x x
- =
14)
2
sin cos 1 0x x x x+ + =
15)
cos .cos2 0x m x+ =
16)
sin 2 2(sin cos ) 0m x x x+ - =
Bài 16: Cho 3 số a,b,c khác nhau .Chứng minh rằng phương trình sau đây có 2 nghiệm phân biệt
( )( ) ( )( ) ( )( ) 0x a x b x b x c x c x a- - + - - + - - =
Bài 17:Chứng minh rằng phương trình
( )( ) ( )( ) ( )( ) 0ab x a x b bc x b x c ca x c x a- - + - - + - - =
luôn có
nghiệm với mọi a,b,c HD:
( ). ( ). ( ) 0 ( ) 0f a f b f c f a£ Þ $ £
và
(0) 0f ³
Bài 18: CMR, phương trình
( )( ) ( )( ) ( )( ) 0a x b x c b x c x a c x a x b- - + - - + - - =
có 2 nghiệm phân biệt
Bài 19: Cho bốn số
, , ,a b c d
sao cho
a b c d< < <

. Chứng minh rằng với mọi m, phương trình sau đây luôn có
nghiệm:
( )( ) ( )( ) 0x a x c m x b x d- - + - - =
Bài 20:Cho phương trình
sin 3 cos2 cos sin 0a x b x c x x+ + + =
. Tính
( ) ( )
3
2 2
(0) ( )f f f f
p p
p
+ + +
. Từ đó
chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm.
Bài 21:Cho phương trình
cos sin 2 cos 3 0a x b x c x x+ + - =
. Tính
( ) ( )
3
2 2
(0) ( )f f f f
p p
p
+ + +
. Từ đó chứng
minh rằng phương trình luôn có nghiệm.
Bài 22: Chứng minh rằng phương trình
2
0ax bx c+ + =

luôn có nghiệm trong các trường hợp:
a)
5 4 6 0a b c+ + =
có nghiệm thuộc nửa khoảng [0;2) HD:
5
4
(0). ( )f f
b)
2 6 21 0a b c+ + =
có nghiệm thuộc
1
3
[0; ]
HD:
1
3
(0). ( )f f
c)
3 4 6 0a b c+ + =
có nghiệm thuộc
[0;1)
HD:
3
4
(0). ( )f f
d)
0 ( 0)
2 1
a b c
m

m m m
+ + = >
+ +
có nghiệm thuộc khoảng (0;1) HD:
( )
1
2
(0).
m
m
f f
+
+
e)
2
0
0
m n p
a b c
m n p
n mp
ì
ï
> > >
ï
ï
ï
ï
ï
+ + =

í
ï
ï
ï
ï
>
ï
ï
î
có nghiệm thuộc khoảng (0;1) HD:
(0). ( )
n
m
f f
Bài 23: Cho 3 số a,b,c thoả mãn
5 4 6 0a b c+ + =
và
2
( )f x ax bx c= + +
. Tính
1
2
(0) 4. ( ) (2)f f f+ +
, từ đó
chứng minh rằng phương trình
( ) 0f x =
có nghiệm.
Bài 24: Cho
2
( )f x ax bx c= + +

thoả mãn
2 3 6 0a b c+ + =
a) Chứng minh rằng
1
2
(0), (1), ( )f f f
không thể cùng dấu.
b) Chứng minh rằng phương trình
2
0ax bx c+ + =
có nghiệm trong khoảng (0;1)
Bài 25: Cho a,b,c thoả
0
7 6 5
a b c
+ + =
. Chứng minh rằng phương trình
cos2 2 cos 2 0a x b x c a+ + + =
có
nghiệm
2
( 2 ; 2 )x k k
p
p p
+Î
Bài 26: Cho hàm số
( )y f x=
liên tục trên đoạn
[ ; ]a b
thoả mãn

( ) [ ; ], [ ; ]f x a b x a b"Î Î
. Chứng minh rằng
phương trình
( )f x x=
có nghiệm trên đoạn
[ ; ]a b
Dương Phước Sang
HÀM SỐ LIÊN TỤC
Bài 27: Cho hàm số
( )y f x=
liên tục trên đoạn
[ ; ]a b
và
,
a b
là hai số dương bất kỳ. Chứng minh rằng phương
trình
( ) ( )
( )
f a f b
f x
a b
a b
+
=
+
có nghiệm trên đoạn
[ ; ]a b
Bài 28: Cho phương trình
sinx a x b= +

với
0 1; 0a b< < >
. Chứng minh rằng phương trình đã cho có ít
nhất một nghiệm dương không vượt quá
a b+
Bài 29: Cho a,b,c là những số dương. Chứng minh rằng phương trình
1 1 1
0
x x a x b
+ + =
- -
có 2 nghiệm
1 2
,x x
thoả mãn
1 2
2 2
,
3 3 3
a a b b
x x
a
< < - < < -
HD:
1 2
(0; ), ( ;0)x a x b-Î Î
Bài 30: Cho phương trình
3
3 1 0x x- + =
. Chứng minh rằng phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt thuộc

khoảng
( 2;2)-
, từ đó giải phương trình
3
3 1 0x x- + =
HD: đặt
2 sinx t=
Bài 31: Cho phương trình:
3 2
8 4 4 1 0x x x- - + =
. Chứng minh rằng phương trình có 3 nghiệm phân biệt
trong khoảng
( 1;1)-
, từ đó giải phương trình này. HD: đặt
cosx t=
Bài 32: Cho phương trình:
3
2
3 1 0x mx- + =
a) Giải phương trình khi
2
3
m =
b) Chứng minh rằng với mọi m > 1, phương trình đã cho luôn có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 33: Cho phương trình
3
2
2 2 0x mx- + =
. Chứng minh rằng với mọi m > 2, phương trình đã cho có 4
nghiệm phân biệt.

Bài 34: Cho phương trình
3
2
( 1) 2 0x mx m x- + + - =
a) Giải phương trình với m = 1.
b) Chứng minh rằng với mọi m phương trình đã cho luôn có ít nhất hai nghiệm phân biệt.
Bài 35: Cho phương trình
12 4
1 4 1
n
x x x+ = -
. Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho phương trình đã cho
có nghiệm
HD giải
Điều kiện
1 0
n
x - ³
.
Nếu n lẻ thì
1x ³
, còn n chẵn thì phương trình nếu có nghiệm sẽ có 2 nghiệm đối nhau do đó phải có
nghiệm
1x ³
. Vậy, không mất tính tổng quát ta xét
1x ³
.
Áp dụng BĐT CauChy
12 4 8 4 4 4 4 2 2 4 4 4
1 ( 1)( 1) ( 1) ( 1) 1 2 .2 1 4 1x x x x x x x x x x x x

é ù
+ = + - + = + - + - = -³
ë û
Do đó, nếu n < 5 chắc chắn phương trình vô nghiệm.
Ta chứng minh phương trình có nghiệm với n = 5 trên khoảng
6
5
(1; )
Dương Phước Sang