BT (đầy đủ) về giới hạn của hàm số

GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM
A.TÍNH GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ BẰNG ĐỊNH NGHĨA
I. Định nghĩa (sgk ban cơ bản)
Cho khoảng K chứa
0
x
và hàm số
( )y f x=
xác định trên K hoặc K\{
0
x
}
Ta nói hàm số
( )y f x=
có giới hạn là L khi x dần tới
0
x
nếu
với mọi dãy số
( )
n
x
bất kỳ sao cho
0
\ { }
n
x K xÎ
và
0n
x x®

ta có
( )
n
f x L®
II. Ví dụ minh hoạ: tính
2
1
1
lim
1
x
x
x
®-
-
+
Hàm số
2
1
( )
1
x
f x
x
-
=
+
xác định trên
\ { 1}-¡
Với mọi dãy số

( )
n
x
bất kỳ sao cho
1
n
x ¹ -
và
1
n
x ® -
ta có
2
1
( ) 1 2
1
n
n n
n
x
f x x
x
-
= = - ® -
+
khi
n ® +¥
Vậy,
1
lim ( ) 2

x
f x
®-
= -
Bài 1: Dùng định nghĩa tính các giới hạn sau đây
1)
5
3
lim
3
x
x
x
®
+
-
2)
3
2
0
1
lim
1
x
x
x
®
+
+
3)

2
1
3 4
lim
1
x
x x
x
®-
- -
+
4)
2
1
lim
5
x
x
®
-
5)
0
2
lim .cos
x
x
x
®
æ ö
÷

ç
÷
ç
÷
ç
è ø
6)
2
1
2
lim
4
x
x
x
®
-
-
B.CHỨNG MINH HÀM SỐ KHÔNG TỒN TẠI GIỚI HẠN TẠI MỘT ĐIỂM CHO TRƯỚC
I. Phương pháp giải
Chỉ ra hai dãy
( )
n
x
và
( )
n
t
khác nhau cùng có giới hạn là
0

x
nhưng
lim ( ) lim ( )
n n
f x f t¹
II. Ví dụ minh hoạ: chứng minh rằng
0
1
limsin
x
x
®
không tồn tại
Hàm số
1
( ) sinf x
x
=
xác định trên
\ {0}¡
Xét hai dãy số có cùng giới hạn là 0 sau đây
khi
khi
1
0
2
1
0
2
2

n
n
x n
n
t n
n
p
p
p
= ® ® +¥
= ® ® +¥
+
Tuy nhiên,
khi
khi
( ) sin( 2 ) 0 0
( ) sin 2 1 1
2
n
n
f x n n
f t n n
p
p
p
= = ® ® +¥
æ ö
÷
ç
÷

= + = ® ® +¥
ç
÷
ç
è ø
Vậy,
0
1
limsin
x
x
®
không tồn tại.
Bài 2: Dùng định nghĩa chứng minh các giới hạn sau đây không tồn tại
Dương Phước Sang
GII HN CA HM S
1)
0
1
limcos
x
x
đ
2)
1
2
limsin
1
x
x

đ
-
3)
0
3
limcos
x
x
đ
C.BI TON TèM GII HN CA DY S
Bi 3: Thay
0
x
trc tip vo
( )f x
1)
3 2
0
lim( 5 10 )
x
x x x
đ
+ +
2)
2
3
lim(5 7 )
x
x x
đ

-
3)
2
1
5
lim
5
x
x
x
đ-
+
+
4)
2
2
1
2 3 1
lim
4 2
x
x x
x x
đ
+ +
- + +
5)
3 2
2
lim(2 2 4)

x
x x
đ-
- +
6)
3
2
lim
1
x
x
đ
+
7)
7
4
1
10 4
lim
2 4
x
x x
x
đ
+ -
-
8)
3 2
2
2 4 9 3

lim
3
x
x x x
x
đ
- + +
-
9)
lim(sin cos )
x
x x
pđ
-
10)
3 2
2
2
4 4 3
lim
3
x
x x x
x x
đ
- + -
-
11)
2
2

4
5 6
lim
8 15
x
x x
x x
đ
- +
- +
12)
3 2
4 2
1
2 4 8
lim
8 16
x
x x x
x x
đ
- - +
- +
13)
2 20
3
1
( 2)
lim
12 1

x
x x
x x
đ-
- -
- +
14)
4 3 2
2
lim( 5 8 6 )
x
x x x x
đ
- + -
15)
1
2 3
lim
1
x
x
x
đ
-
+
16)
2
3
1
3

lim
2
x
x
x
đ-
-
+
17)
5
3
4 3
lim
2 7
x
x
x
đ
ổ ử
-
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
+
ố ứ

18)
4
3
2
2
2 3 2
lim
2
x
x x
x x
đ-
+ +
- +
19)
2
3
3
lim
6
x
x
x x
đ
- -
20)
1
5 1
lim
2 7

x
x
x
đ
-
+
21)
2
3 2
2
5 3
lim
2 2 6
x
x x
x x x
đ-
+ +
+ + +

Bi 4: Phõn tớch tam thc bc hai thnh tớch ca hai nh thc bc nht
1)
2
3
2 15
lim
3
x
x x
x

đ
+ -
-
2)
2
2
2
3 10
lim
3 5 2
x
x x
x x
đ
+ -
- -
3)
2
1
2 3 1
lim
1
x
x x
x
đ-
+ +
+
4)
2

2
4
5 6
lim
12 20
x
x x
x x
đ-
- +
- +
5)
2
3
4 3
lim
3
x
x x
x
đ
- +
-
6)
2
3
3
lim
9
x

x
x
đ-
+
-
7)
2
2
2
6
lim
4
x
x x
x
đ
+ -
-
8)
2
2
4
16
lim
20
x
x
x x
đ
-

+ -
9)
2
1
4 5
lim
1
x
x x
x
đ
+ -
-
10)
2
2
1
4 5
lim
1
x
x x
x
đ
+ -
-
11)
2
2
2

( 1)( 2)( 1)
lim
4
x
x x x
x
đ
- - +
-
12)
2
2
3
5 6
lim
8 15
x
x x
x x
đ
- +
- +
13)
2
2
4
3 4
lim
4
x

x x
x x
đ-
+ -
+
14)
2
5
2 15
lim
5
x
x x
x
đ-
+ -
+
15)
2
2
2 3 1
lim
4 5
x
x x
x x
đƠ
+ +
- + +
Bi 5: Phõn tớch a thc bc cao thnh nhõn t (cú th dựng s Hoocner, HT

ỏng nh)
1)
3
1
1
lim
1
x
x
x
đ
-
-
2)
3 2
2
1
2 2
lim
1
x
x x x
x
đ
- - +
-
3)
4
2
16

lim
2
x
x
x
đ
-
-
4)
4
2
2
16
lim
6 8
x
x
x x
đ-
-
+ +
5)
3
2
2
8
lim
4
x
x

x
đ
-
-
6)
4
2
3
27
lim
2 3 9
x
x x
x x
đ
-
- -
7)
4
2
1
1
lim
2 3
x
x
x x
đ
-
+ -

8)
3 2
2
3
4 4 3
lim
3
x
x x x
x x
đ
- + -
-
9)
3
2
1
2
8 1
lim
6 5 1
x
x
x x
đ
-
- +
10)
2
9

3
lim
9
x
x
x x
đ
-
-
11)
1
1
lim
1
x
x
x
đ
-
-
12)
3 2
1
1
lim
1
x
x x x
x
đ

- + -
-
Dng Phc Sang
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
13)
3
3 2
1
3 2
lim
1
x
x x
x x x
®
- +
- - +
14)
0
(1 )(1 2 )(1 3 ) 1
lim
x
x x x
x
®
+ + + -
15)
2 20
3 10
2

( 2)
lim
( 12 16)
x
x x
x x
®
- -
- +
16)
3
1
1
lim
( 5) 6
x
x
x x
®
-
+ -
17)
3 2
3
2
3 9 2
lim
6
x
x x x

x x
®
+ - -
- -
18)
3 2
2
2
3 2
lim
6
x
x x x
x x
®-
+ +
- -
19)
3
1
1 3
lim
1
1
x
x
x
®
æ ö
÷

ç
÷
-
ç
÷
ç
÷
ç
-
è ø
-
20)
3
2
1 12
lim
2
8
x
x
x
®
æ ö
÷
ç
÷
-
ç
÷
ç

÷
ç
-
è ø
-
21)
4
1
4 1
lim
1
1
x
x
x
®
æ ö
÷
ç
÷
-
ç
÷
ç
÷
è ø
-
-
22)
3

4 2
1
3 2
lim
2 1
x
x x
x x
®
- +
- +
23)
3 2
2
2
4 4
lim
6
x
x x x
x x
®-
+ +
- -
24)
3 2
2
2
4 3 8 4
lim

3 10
x
x x x
x x
®
- - -
+ -
25)
4 3 2
4 3 2
1
2 5 3 1
lim
3 8 6 1
x
x x x x
x x x
®
- + + -
- + -
26)
3
4
1
3 2
lim
4 3
x
x x
x x

®
- +
- +
27)
3 2
4 2
2
2 4 8
lim
8 16
x
x x x
x x
®
- - +
- +
28)
3 2
3 2
2
3 4
lim
8 12
x
x x
x x x
®
- +
- - +
29)

3
5
1
2 1
lim
2 1
x
x x
x x
®-
- -
- -
30)
3 2
4 3 2
1
2
lim
2
x
x x
x x x x
®
+ -
- + + -
31)
3
2
3
3 3

lim
3
x
x
x
®-
+
-
32)
lim
n n
x a
x a
x a
®
-
-
33)
2
1
1
lim
( 1)
n
x
x nx n
x
®
- + -
-

34)
3 3
0
( )
lim
h
x h x
h
®
+ -
35)
1
1
lim
1
1
n
x
n
x
x
®
æ ö
÷
ç
÷
-
ç
÷
ç

÷
ç
-
è ø
-
36)
1
1
lim
1
m
n
x
x
x
®
-
-
37)
6
2
1
6 5
lim
( 1)
x
x x
x
®
- +

-
38)
Bài 6: Nhân lượng liên hợp - 1 lần (có một căn bậc hai)
1)
0
4
lim
9 3
x
x
x
®
+ -
2)
0
lim
1 1
x
x
x
®
+ -
3)
5
5
lim
5
x
x
x

®
-
-
4)
2
3 5 1
lim
2
x
x
x
®
- -
-
5)
2
0
1 1
lim
x
x x
x
®
+ + -
6)
1
2
1
lim
6 3 3

x
x
x x
®-
+
+ +
7)
2
5
4 3
lim
25
x
x
x
®
+ -
-
8)
3
1
3 2
lim
1
x
x x
x
®
- -
-

9)
2
0
1 2 (1 )
lim
x
x x x
x
®
- + - +
10)
3
3
lim
2 10 4
x
x
x
®
-
+ -
11)
6
2 2
lim
6
x
x
x
®

- -
-
12)
2
2
1
3 2 4 2
lim
3 2
x
x x x
x x
®
- - - -
- +
13)
4
7
9 2
lim
7
x
x
x
®
+ -
-
14)
2
1

2 3 1
lim
1
x
x x
x
®
- +
-
15)
2
8 3
lim
2 3
x
x
x x
®¥
+ -
+ -
16)
2
1
1
lim
2 3
x
x
x x
®

-
+ -
17)
2
1
5 2
lim
3 2
x
x
x x
®-
+ -
+ +
18)
2
4 1 1
lim
2
x
x x
x
®
+ - -
-
19)
2
1
5 2
lim

1
x
x x
x
®-
+ +
-
20)
2
2
0
2 1 2
lim
x
x x x
x
®
+ + - -
21)
0
1 2 1
lim
2
x
x
x
®
+ -
22)
2

0
1 1
lim
x
x
x
®
+ -
23)
2
2
5 3
lim .
2
x
x
x
®
+ -
-
24)
2
2
1
3 2 4 2
lim
3 2
x
x x x
x x

®
- - - -
- +
Bài 7: Nhân lượng liên hợp - 1 lần (có hai căn bậc hai)
Dương Phước Sang
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
1)
2
0
1 1
lim
x
x x x
x
®
+ - + +
2)
1
1
lim
2 1
x
x
x x
®
-
- -
3)
1
2

2 2
lim
3 5
x
x
x x
®-
+
+ - +
4)
1
2 2 3 1
lim
1
x
x x
x
®
+ - +
-
5)
0
1 1
lim
x
x x
x
®
+ - -
6)

0
5 5
lim
x
x x
x
®
+ - -
7)
1
2 1
lim
1
x
x x
x
®
- -
-
8)
2
2
1
3 2 4 2
lim
3 2
x
x x x
x x
®

- - - -
- +
9)
0
lim
x
a x a
x
®
+ -
10)
1
2 1
lim
1
x
x x
x
®
- -
-
11)
0
lim
x
a x a x
x
®
+ - -
, 0a >

12)
0
lim , 0
x
x a a
a
x
®
+ -
>
13)
0
9 16 7
lim
x
x x
x
®
+ + + -
14)
0
1 1 2 2
lim
x
x x
x
®
+ + + -
Bài 8: Nhân lượng liên hợp - 2 lần (có hai căn bậc hai)
1)

5
6 1
lim
3 4
x
x
x
®
- -
- -
2)
1
2 1
lim
5 2
x
x
x
®-
+ -
+ -
3)
2
0
2
1 1
lim
16 4
x
x

x
®
+ -
+ -
4)
2
2
lim
4 1 3
x
x x
x
®
- +
+ -
5)
1
2 7 3
lim
2 3
x
x
x
®
+ -
- +
6)
1
2 7 4
lim

1
x
x x
x
®
+ + -
-
7)
4
3 5
lim
1 5
x
x
x
®
- +
- -
8)
2
0
2
4 2
lim
9 3
x
x
x
®
- -

- -
9)
9
7 2 5
lim
3
x
x
x
®
+ -
-
10)
0
1 1
lim
3 2 9
x
x
x
®
+ -
- +
11)
2 2
lim
1 3
x
x x
x x

®¥
+ -
- - -
12)
1
4 5 8
lim
3 2
x
x x
x
®
+ - +
+ -
Bài 9: Nhân lượng liên hợp (có căn bậc ba)
1)
3
0
1 4 1
lim
x
x
x
®
+ -
2)
3
2
4 2
lim

2
x
x
x
®
-
-
3)
3
0
1 1
lim
3
x
x
x
®
- +
4)
3
0
lim
1 1
x
x
x
®
+ -
5)
3

1
1
lim
1
x
x
x
®
-
-
6)
3
1
1
lim
1
x
x
x
®
-
-
7)
3
1
1
lim
1
x
x

x
®-
+
+
8)
3
64
8
lim
4
x
x
x
®
-
-
9)
3
4
1
1
lim
1
x
x
x
®
-
-
10)

3
1
2
1
lim
3 2
x
x
x
®-
+
+ -
11)
3
2
4 2
lim
2
x
x
x
®
-
-
12)
3
0
1 1
lim
3

x
x
x
®
- -
13)
3
8
2 4
lim
2
x
x
x
®
-
-
14)
3
2
1
3 5 2
lim
5 4
x
x
x x
®
+ -
- +

15)
3
3
0
1 1
lim
x
x x
x
®
+ - -
16)
3
3
0
1 1
lim
2 1 1
x
x x
x x
®
- + +
+ - +
17)
3
3
1
1
lim

2 1
x
x
x
®
-
- +
18)
3 3
1
2
lim
1
x
x x
x
®
- -
-
Bài 10: Nhân lượng liên hợp (tổng hợp cả căn bậc hai và căn bậc ba)
1)
3
0
2 1 8
lim
x
x x
x
®
- - -

2)
3
2
2
1
3 2 4 2
lim
3 2
x
x x x
x x
®
- - - -
- +
3)
3
3 2
2
1
5 7
lim
1
x
x x
x
®
- - +
-
4)
3

2
2
1
3 2 4 2
lim
3 2
x
x x x
x x
®
- - - -
- +
5)
2
3
1
7 5
lim
1
x
x x
x
®
+ - -
-
6)
3
0
3 4 8 5
lim

x
x x
x
®
+ - +
7)
3
0
1 2 1 7
lim
x
x x
x
®
+ - +
8)
3
0
1 1
lim
x
x x
x
®
+ - +
9)
3
0
2 1 1 3
lim

x
x x
x
®
+ - +
Dương Phước Sang
GII HN CA HM S
10)
3
2
2
3 7
lim
3 2
x
x x
x x
đƠ
+ - +
- +
11)
2
3
7 5
lim
1
x
x x
x
đƠ

+ - -
-
12)
3
2
11 8 43
lim
2 3 2
x
x x
x x
đƠ
+ - +
+ -
13)
3
0
2 1 8
lim
x
x x
x
đ
+ - -
14)
3
3 2
2
1
5 7

lim
1
x
x x
x
đ
- - +
-
15)
3
2
1
2 1
lim
1
x
x x
x
đ
- +
-
16)
3
3
1
7 3 4
lim
1
x
x x

x
đ
+ + + -
-
17)
3
0
1 1
lim
x
x x
x
đ
+ + -
Bi 11: Gii hn vụ cc
1)
2
2
3
lim
(2 )
x
x
x
đ
+
-
2)
2
1

2 2 3
lim
2 3
( 1)
x
x
x
x
đ
ộ ự
+
ờ ỳ
ì
ờ ỳ
-
-
ở ỷ
3)
2
2
7 4
lim
4
( 2)
x
x
x
x
đ
+

ì
-
-
4)
2
0
1 1
lim
x
x
x
đ
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
-
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ố ứ
5)
2
0
1 1
lim
x
x
x

đ
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
+
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ố ứ
Bi 12: Bin i lng giỏc
1)
0
1 sin2 cos2
lim
1 sin2 cos2
x
x x
x x
đ
- -
+ -
2)
0
1 1 sin3
lim
1 cos
x
x

x
đ
- +
-
3)
0
2
lim cot
sin2
x
x
x
đ
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
-
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
4)
4
sin
4
lim
1 2sin
x
x

x
p
p
đ
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
-
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
-
5)
0
sin7 sin5
lim
sin
x
x x
x
đ
-
6)
2
6
2sin 1

lim
4cos 3
x
x
x
p
đ
-
-
7)
2
1
lim
cos tan
x
x x
p
đ
-
8)
2
4
2sin 1
lim
2cos 1
x
x
x
p
đ

-
-
9)
( )
6
6
sin
lim
1 2sin
x
x
x
p
p
đ
-
-
10)
4
lim tan2 .tan
4
x
x x
p
p
đ
ộ ự
ổ ử
ữ
ỗ

ờ ỳ
ữ
-
ỗ
ữ
ờ ỳ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
ờ ỳ
ở ỷ
11)
4
2 2cos
lim
sin
4
x
x
x
p
p
đ
-
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
-

ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
12)
0
sin5 sin3
lim
sin
x
x x
x
đ
-
13)
2
2
0
1 sin cos
lim
sin
x
x x
x
đ
+ -
14)
0

1 cos
lim
tan
x
x
x
đ
-
15)
3
3cos sin
lim
2sin 3
x
x x
x
p
đ-
+
+
16
4
cos2
lim
sin
4
x
x
x
p

p
đ
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
-
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
17)
0
1 cos2
lim
sin3 .sin
x
x
x x
đ
-
18)
2
2
2sin 3sin 1
lim
1 cos 1
x
x x
x

p
đ
- +
+ -
Bi 13: Dựng gii hn c bit
0 0
sin tan
lim 1 lim 1 ;
x x
x x
x x
đ đ
= =
1)
0
sin3
lim
x
x
x
đ
2)
0
sin2
lim
3
x
x
x
đ

3)
0
sin2 tan3
lim
x
x x
x
đ
+
4)
0
sin5
lim
x
x
x
đ
5)
0
tan2
lim
3
x
x
x
đ
6)
3
0
sin5 .sin3 .sin

lim
45
x
x x x
x
đ
7)
0
sin
lim
tan2
x
x
x
đ
8)
2
0
1 cos
lim
sin
x
x
x x
đ
-
9)
( )
2
2

cos cos2
lim
sin
x
x
x
p
đƠ
10)
2
0
cos4 cos3 .cos5
lim
x
x x x
x
đ
-
11)
3
0
tan sin
lim
x
x x
x
đ
-
12)
3 2

1
2
lim
sin( 1)
x
x x
x
đ
+ -
-
Dng Phc Sang
GII HN CA HM S
13)
1
3 2
lim
tan( 1)
x
x x
x
đ
+ -
-
14)
3
0
1 tan 1 sin
lim
x
x x

x
đ
+ - +
15)
0
1 cos
lim
1 cos
x
x
x
đ
-
-
16)
2
0
cos cos
lim
x
ax bx
x
đ
-
17)
0
sin tan
lim
( )
x

ax bx
a bx
đ
-
+
18)
2
0
1 cos2 tan
lim
.sin
x
x x
x x
đ
- +
19)
2
0
1 cos2 .cos
lim
x
x x
x
đ
-
20)
2
0
1 cos3 .cos5 .cos7

lim
sin 7
x
x x x
x
đ
-
21)
2
0
cos .sin tan
lim
.sin
x
x x x
x x
đ
-
22)
0
1 1 1
lim
sin tan
x
x x x
đ
ổ ử
ữ
ỗ
ữ

ì -
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
23)
0
sin2
lim
1 1
x
x
x
đ
+ -
24)
2
2cos
lim
2
x
x
x
p
p
đ-
+
25)
4 4
0

2
cos sin 1
lim
1 1
x
x x
x
đ
- -
+ -
26)
2
2
0
1 cos
lim
x
x x
x
đ
+ -
27)
0
sin
lim
sin
x
x x
x x
đ

+
-
28)
sin sin
lim
x a
x a
x a
đ
-
-
29)
cos cos
lim
x b
x b
x b
đ
-
-
30)
0
1 2 1
lim
sin2
x
x
x
đ
- +

31)
3
0
1 cos
lim
sin
x
x
x x
đ
-
32)
2 2
2 2
sin sin
lim
x a
x a
x a
đ
-
-
33)
0
sin5
lim
tan7
x
x
x

đ
34)
1
lim (1 )tan
2
x
x
x
p
đ
ộ ự
ờ ỳ
-
ờ ỳ
ở ỷ
35)
3
2
8
lim
tan( 2)
x
x
x
đ-
+
+
36)
1
cos

2
lim
1
x
x
x
p
đ
-
37)
0
sin( ) sin( )
lim
tan( ) tan( )
x
a x a x
a x a x
đ
+ - -
+ - -
38)
0
cos( ) cos( )
lim
x
a x a x
x
đ
+ - -
39)

2
0
1 cos5 .cos7
lim
sin 11
x
x x
x
đ
-
40)
6
1 2sin
lim
6
x
x
x
p
p
đ
-
-
41)
2
1 cos
lim
( )
x
x

x
p
p
đ
+
-
42)
0
2
sin sin2
lim
1 2sin
2
x
x x
x
x
đ
-
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
-
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ

43)
4
sin cos
lim
4
x
x x
x
p
p
đ-
+
+
44)
2
0
cos3 cos5 .cos7
lim
x
x x x
x
đ
-
45)
0
tan sin
lim
.tan .sin
x
x x

x x x
đ
-
46)
2
0
1 cos 2
lim
.sin
x
x
x x
đ
-
47)
2
1
sin( 1)
lim
4 3
x
x
x x
đ
-
- +
48)
0
1 cos5
lim

1 cos3
x
x
x
đ
-
-
49)
6
3sin cos
lim
sin6
x
x x
x
p
đ
-
50)
2
0
1 cos . cos2
lim
x
x x
x
đ
-
51)
2

0
1 sin cos2
lim
tan
x
x x
x
đ
+ -
52)
3
2 2
0
3 1 2 1
lim
1 cos
x
x x
x
đ
- + +
-
53)
2
2
4
lim
cos
4
x

x
xp
đ
-
54)
1
lim(1 )tan
2
x
x
x
p
đ
-
55)
3
0
tan sin
lim
x
x x
x
đ
-
56)
3
sin3
lim
1 2cos
x

x
x
p
đ
-
57)
0
sin(sin )
lim
x
x
x
đ
58)
( )
2
0
1 cos
lim
1 1
x
x
x
đ
-
- -
59)
2
0
1 cos

lim
sin
x
x
x x
đ
-
60)
3
2
0
2 1 1
lim
sin
x
x x
x
đ
+ - +
61)
cos
cos
2
lim
sin(tan )
x
x
x
p
đƠ

ổ ử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
Bi 14: Tng hp gii hn cú PP gii hay
1)
2 2
lim
x a
x a x a
x a
đ
- + -
-
2)
3
1
3 2
lim
1
x
x x
x
đ
- -
-

3)
2 3
1
lim
3 3
x
x
x x x
đƠ
-
+ + -
Dng Phc Sang
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
4)
3
2
1
1
lim
1
x
x x x
x
®-
+ + +
+
5)
3
2
8

7 10
lim
8
x
x x x
x
®
+ - -
-
6)
2
3
2
1
2 1 3 1
lim
2 1
x
x x x
x x x
®
- + - +
- + - +
7)
3
2
3 58
lim
2
x

x x
x
®
- +
-
8)
3
2
0
1 2 1 3
lim
x
x x
x
®
+ - +
9)
3
2
2
1
2 1
lim
4 3
x
x x x
x x
®
- + - +
- +

10)
3
0
1 4 . 1 1
lim
x
x x
x
®
+ + -
11)
2 3
1
2 4
1 1 1
lim
1 1 1
x
x x x
x x x
®
- + + - +
- + + - +
12)
0
1 2 1 sin
lim
2 3 4
x
x x

x x
®
- + +
- + +
13)
2 3
1
3 3
lim
1
x
x x x
x
®
+ + -
-
14)
3
0
1 2 . 1 3 1
lim
x
x x
x
®
+ + -
15)
3
0
2 1 8

lim
x
x x
x
®
+ - -
16)
2
0
1 cos2 .cos
lim
x
x x
x
®
-
17)
3 4
0
1 1
3 4
lim
1 1
2
x
x x
x
®
+ - +
- -

18)
0
lim
1 1
x
x x
x
+
®
-
+ -
19)
1
lim
1
x
x x
x
®
-
-
20)
3
1
2
3 2
lim
2 5 2
x
x x

x x
®
- +
- + -
21)
3
0
8 2
lim
x
x
x
®
+ -
22)
3
0
4 8
lim
x
x x
x
®
+ - +
23)
3
0
4 8 4
lim
x

x x
x
®
+ + -
24)
2
1
5 3 4
lim
1
x
x x x
x
®-
+ - - -
+
25)
2
2
0
1 1 2
lim
x
x x
x x
®
+ + + -
-
GIỚI HẠN MỘT BÊN
C.BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

Bài 15: Thay
0
x
trực tiếp vào
( )f x
1)
3
1
lim
2
x
x
x
-
®
+
-
2)
1
2 3
lim
5
x
x
x
-
®
-
-
3)

2
1 cos
lim
sin
x
x
x
p
+
æ ö
÷
ç
÷
®
ç
÷
÷
ç
è ø
+
Bài 16: Giới hạn hữu hạn một bên của hàm số
1)
3
( 1)
1
lim
1
x
x
x

-
® -
+
+
2)
2
2
( 2)
2 5 2
lim
4
x
x x
x
+
® -
+ +
-
3)
2
2
( 3)
5 6
lim
3 8 3
x
x x
x x
-
® -

+ +
+ -
4)
1
3 3 1
lim
1
x
x x
x
+
®
+ - +
-
5)
3
2 2 1
lim
3
x
x x
x
-
®
- - +
-
6)
2
2
3

7 12
lim
9
x
x x
x
-
®
- +
-
7)
2
2
lim
2
x
x
x
-
®
-
-
8)
2
1
1
lim
1
x
x

x
-
®
-
-
9)
2
2
1
3 2
lim
1
x
x x
x
-
®
- +
-
10)
2
2
( 2)
3 2 16
lim
6
x
x x
x x
-

® -
- -
+ -
11)
2
2
2 2
lim
6
x
x x
x x
-
®
-
+ -
12)
0
2
lim
x
x x
x x
+
®
+
-
13)
0
2 3

lim
3 2
x
x x
x x
+
®
-
-
14)
0
lim
x
x x
x x
+
®
+
-
15)
2
2
0
lim
3 3 2
x
x x x
x x x
+
®

-
+
16)
2
1
1 1
lim
1
x
x x
x
+
®
- + -
-
17)
2
1
3 1
lim
2 1 1
x
x
x x
-
®
-
- + -
18)
2 3

1
1 1
lim
x
x x
x x
-
®
- + -
-
Dương Phước Sang
GII HN CA HM S
19)
1 cos
lim
sin
x
x
x
p
+
đ
+
20)
0
1 cos
lim
cos
x
x

x x x
+
đ
-
-
21)
2
1 cos2
lim
2
x
x
x
p
p
+
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
đ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố ứ
+
-
22)
2 3

0
1 1
lim
x
x x
x x
-
đ
- + -
-
23)
2 3
0
2
lim
4
x
x
x x
-
đ
+
24)
3
2
( 1)
3
lim ( 1)
1
x

x
x
x
+
đ -
+
-
25)
0
1 1
lim
x
x x
x
+
đ
+ + -
Bi 17: Gii hn vụ hn mt bờn ca hm s
1)
3
2 1
lim
3
x
x
x
-
đ
+
-

2)
( 2)
3 2
lim
2
x
x
x
+
đ -
+
+
3)
4
2
( 3)
3
lim
4 3
x
x
x x
-
đ -
+
+ +
4)
1
3 5
lim

1
x
x
x
-
đ
+
-
5)
5
3
lim
5
x
x
x
+
đ
+
-
6)
2
2
( 3)
2 5 3
lim
( 3)
x
x x
x

+
đ -
+ -
+
7)
2
3 2
1
2 3 1
lim
1
x
x x
x x x
-
đ
- +
- - +
8)
2
2
1
5 4
lim
2 1
x
x x
x x
-
đ

- +
- +
9)
2
2
1 1
lim
2
4
x
x
x
-
đ
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
-
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ố ứ
-
-
10)
3
2
2

8
lim
2
x
x
x x
+
đ
-
-
11)
1 cos
lim
sin
x
x
x
p
+
đ
-
12)
2
2
0
lim
x
x x x
x
+

đ
+ -
13)
1
1 1
lim
1
x
x x
x
+
đ
- + -
-
14)
2
2
3
4
lim
6
x
x
x x
-
đ
-
- -
15)
2 3

0
1 1
lim
x
x x
x x
-
đ
- - +
-
16)
1
1 1
lim
( 1)
x
x x
x x
-
đ
- + -
-
17)
0
1 1
lim
( 1)
x
x x
x x

+
đ
- + -
-
18)
2
2
3
9
lim
5 6
x
x
x x
+
đ
-
- +
19)
2
2 2
1
1 3 2
lim
1 3 4
x
x x
x x x
-
đ

- +
- + +
Bi 18: Xột s tn ti ca gii hn
0
lim ( )
x x
f x
đ
vi mi hm s
( )y f x=
v
0
x
c ch
ra
1)
, neỏu
, neỏu
2
3 1 1
( )
1 1
x x
f x
x x
ỡ
ù
- Ê
ù
ù

=
ớ
ù
+ >
ù
ù
ợ
,
0
1x =
2)
, neỏu
, neỏu
2
3 2 1 0
( )
sin
0
x x x
f x
x
x
x
ỡ
ù
+ +
ù
ù
ù
=

ớ
ù
<
ù
ù
ù
ợ
,
0
0x =
3)
, neỏu
, neỏu
neỏu
2
2
0 0
( ) 0 1
2 1, 1
x
f x x x
x x x
ỡ
ù
<
ù
ù
ù
ù
= Ê <

ớ
ù
ù
ù
- - +
ù
ù
ợ
,
0
0x =
v
0
1x =
4)
, neỏu
, neỏu
, neỏu
2
2 3
1
5
( ) 6 5 1 3
3 3
x
x
f x x x
x x
ỡ
ù

+
ù
Ê
ù
ù
ù
ù
ù
= - < <
ớ
ù
ù
-
ù
ù
ù
ù
ù
ợ
,
0
1x =
v
0
3x =
Dng Phc Sang
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
5)
neáu
neáu

3
0
2
2
, 2
( ) , 2
6 2
2 4, 2
x
x
f x x
x
x x x
ì
ï
+
ï
> -
ï
ï
= = -
í
- +
ï
ï
- + £ -
ï
ï
î
6)

neáu
, neáu
2
0
3
2 3, 2
( ) , 2
4 29 2
x x x
f x x
x x
ì
ï
- + £
ï
ï
= =
í
ï
- >
ï
ï
î
Bài 19: Tìm m để mỗi hàm số sau đây đều có giới hạn tại
0
2x =
.
1)
, neáu
neáu

2
2
( )
3 , 2
mx x
f x
x
ì
ï
£
ï
ï
=
í
ï
>
ï
ï
î
2)
, neáu
, neáu
2
5 6 2
( )
4 2
x x x
f x
mx x
ì

ï
- + >
ï
ï
=
í
ï
+ £
ï
ï
î
3)
4 , neáu
, neáu
2
5 2
( )
7 4 2
x x x
f x
x m x
ì
ï
- >
ï
ï
=
í
ï
+ + £

ï
ï
î
Bài 20: Cho hàm số
, neáu
3 , neáu
, neáu
3
2
1
1
1
( ) sin 1 2
4
2
1
x
x
x
f x x x x
x m
x
x
p
ì
ï
-
ï
ï
<

ï
ï
-
ï
ï
= + £ £
í
ï
ï
ï
-
ï
>
ï
ï
-
ï
î
.
1) Chứng minh rằng hàm số có giới hạn khi
1x ®
. Tính giới hạn đó.
2) Xét sự tồn tại của
2
lim ( )
x
f x
®
theo tham số m.
Bài 21: Cho hàm số

, neáu
, neáu
, neáu
2
1
1
1
( ) 2 1 3
81
3
3
x
x
x
f x x m x
x
x
x
ì
ï
ï
-
ï
<
ï
ï
-
ï
ï
= + + £ £

í
ï
ï
ï
-
ï
>
ï
ï
ï
-
î
.
Tuỳ theo giá trị của tham số m, hãy xét sự tồn tại của giới hạn: a)
1
lim ( )
x
f x
®
b)
3
lim ( )
x
f x
®
GIỚI HẠN Ở VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ
A.CHỨNG MINH HÀM SỐ KHÔNG TỒN TẠI GIỚI HẠN TẠI VÔ CỰC
I. Phương pháp giải
Chỉ ra hai dãy
( )

n
x
và
( )
n
t
khác nhau cùng có giới hạn là
+¥
hoặc
- ¥
nhưng
lim ( ) lim ( )
n n
f x f t¹
II. Ví dụ minh hoạ: chứng minh rằng
lim sin
x
x
® +¥
không tồn tại
Hàm số
( ) sinf x x=
xác định trên
¡
Xét hai dãy số có cùng giới hạn là
+¥
sau đây
khi
khi
2

2
2
n
n
x n n
t n n
p
p
p
= ® +¥ ® +¥
= + ® +¥ ® +¥
Tuy nhiên,
Dương Phước Sang
GII HN CA HM S
khi
khi
( ) sin( 2 ) 0 0
( ) sin 2 1 1
2
n
n
f x n n
f t n n
p
p
p
= = đ đ +Ơ
ổ ử
ữ
ỗ

ữ
= + = đ đ +Ơ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
Vy,
lim sin
x
x
đ+Ơ
khụng tn ti.
Bi 22: Dựng nh ngha chng minh cỏc gii hn sau õy khụng tn ti
1)
lim cos
x
x
đ+Ơ
2)
lim sin2
x
x
đ- Ơ
3)
lim cos( 1)
x
x
đ+Ơ
-
B.CC BI TON TNH GII HN CA HM S Vễ CC

Bi 23: Tớnh cỏc gii hn sau õy
1)
3
2 3
3 1
lim
2 6 6
x
x x
x x
đ+Ơ
+ +
- -
2)
20 30
50
(2 3) (3 2)
lim
(2 1)
x
x x
x
đ- Ơ
- +
+
3)
2
2
3 1
lim

x
x x
x x
đ+Ơ
+ -
+
4)
2 2
4
( 1) (7 2)
lim
(2 1)
x
x x
x
đ- Ơ
- +
+
5)
2
3
(3 1)(5 3)
lim
(2 1)( 1)
x
x x
x x
đ- Ơ
+ +
- +

6)
x
3 4
4 2
2 1
lim
5 2
x
x x
x
đ+Ơ
- +
+ -
7)
2
2
4 5
lim
1
x
x x
x
đ+Ơ
+ -
-
8)
5 3
5 4
6 7 4
lim

8 5 1
x
x x x
x x
đ+Ơ
- + -
- -
9)
2 3
2 3
(2 3) (4 7)
lim
(3 1)(10 9)
x
x x
x x
đ- Ơ
- +
+ +
10)
2 1
lim
2 1
x
x
x
đ+Ơ
-
+
11)

1
lim 1 cos
x
x
đ+Ơ
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
+
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
12)
3
2
3 2
lim
5 4
x
x x
x x
đ- Ơ
- +
- +
13)
2 3
6
( 1)( 2)

lim
x
x x x
x
đ- Ơ
+ +
14)
3
3
2 10
lim
3 3
x
x x
x x
đ+Ơ
- +
+ -
15)
4 3
4
2 7 15
lim
5 1
x
x x
x
đ- Ơ
+ -
+

16)
4 2
3
3 5 7
lim
15
x
x x
x x
đ+Ơ
+ +
-
17)
4 3
6
3
lim
2 7
x
x x
x
đ- Ơ
- +
-
18)
2 3
3 2
( 1) (2 1)
lim
(2 1)( 2)

x
x x
x x
đ- Ơ
+ +
+ -
19)
5 2 7
2 3 14
(2 3) ( 2)
lim
( 1) (4 5)
x
x x
x x
đ- Ơ
+ -
+ +
20)
5 3
3
2 3
2 1
lim
(2 1)( )
x
x x
x x x
đ+Ơ
+ -

- +
21)
3
2
5
lim
1
x
x
x
đ- Ơ
-
+
22)
3
2 2
(2 1)(3 1)
lim
(2 1)(4 )
x
x x
x x
đ+Ơ
+ -
+ -
Bi 24: Tớnh cỏc gii hn sau õy
1)
3
lim ( 3 )
x

x x
đ+Ơ
-
2)
4 2
lim ( 2 3)
x
x x
đ- Ơ
- -
3)
1
lim 2 1
1
x
x
x
đ- Ơ
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
- -
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố ứ
+
4)

7 5
lim (4 3 3 )
x
x x x
đ+Ơ
- -
5)
5 2
lim (3 1)
x
x x x
đ- Ơ
- + -
6)
3 2
lim ( 3 1)
x
x x
đ+Ơ
- + -
7)
3 2
lim (3 8 7)
x
x x
đ- Ơ
- +
8)
4 2
lim (2 5 3)

x
x x
đ+Ơ
- +
9)
2
lim (12 1)
x
x
đ+Ơ
-
10)
4
lim 2 3 12
x
x x
đ- Ơ
- +
11)
3
3
lim 4 3
x
x x
đ+Ơ
- -
12)
3
lim 1
x

x x
đ+Ơ
- +
13)
2
lim ( 1 )
x
x x
đ+Ơ
+ +
14)
2
lim ( 4 4 2)
x
x x x
đ- Ơ
+ - +
15)
2
lim ( 1 )
x
x x x
đ+Ơ
+ + +
16)
2
lim ( 4 )
x
x x x
đ- Ơ

- -
17)
2
lim ( 1 )
x
x x
đ+Ơ
+ +
18)
2
lim ( 2 1 )
x
x x
đ- Ơ
+ +
Bi 25: Tớnh cỏc gii hn sau õy
1)
2
4 1
lim
3 1
x
x
x
đ- Ơ
+
-
2)
4
2

3 2 5
lim
2 4 5
x
x x x x
x x
đ+Ơ
- + -
+ -
3)
1 2
lim
3
x
x x
x
đ+Ơ
+ -
+
4)
2
2
3 1
lim
1
x
x x
x x
đ+Ơ
- -

-
5)
2 1
lim
1
x
x x
x
đ- Ơ
+ -
-
6)
2
lim
x
x
x x
đ- Ơ
+
Dng Phc Sang
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
7)
5 1
lim
1
x
x x
x
®- ¥
+ -

-
8)
2
2
lim
3 1
x
x x x
x x
®+¥
+ +
- +
9)
2
2 7 1
lim
3 7
x
x x
x
®- ¥
- +
-
10)
3
4 2
lim ( 1)
2 1
x
x

x
x x
®+¥
+
+ +
11)
2
5
lim
2 3
x
x x
x
®+¥
- +
-
12)
6
3
2
lim
3 5
x
x
x
®- ¥
+
-
13)
2

5
lim
2
x
x x
x x
®+¥
-
- +
14)
3
1
lim ( 2)
x
x
x
x x
®+¥
-
+
+
15)
2
2 3
lim
5
x
x
x x
®- ¥

+
+ +
16)
2
2
lim
2 3
x
x x x
x
®- ¥
+ +
+
17)
4
lim
1 2
x
x x
x
®- ¥
-
-
18)
2
4 3 2
lim
5 2
x
x x x

x
®- ¥
+ - +
-
19)
2
2
lim
1
x
x x
x
®+¥
+ -
-
Bài 26: Tính các giới hạn sau đây
1)
lim
x
x x x
®+¥
æ ö
÷
ç
+ -
÷
ç
÷
ç
è ø

2)
2 2
lim ( 1 2)
x
x x x
®+¥
+ - -
3)
2
lim ( 1 )
x
x x
®+¥
- -
4)
2 2
lim ( 4 1 9 )
x
x x x x
®+¥
- + - -
5)
2
lim ( 1 )
x
x x x
®- ¥
+ + +
6)
2

lim ( 1 1)
x
x x
®- ¥
+ + -
7)
2
lim ( 4 2 )
x
x x x
®+¥
- -
8)
2
lim ( 3 3 )
x
x x x
®- ¥
- + +
9)
2
lim ( 3 )
x
x x
®+¥
+ -
10)
2 2
lim ( 4)
x

x x x
®- ¥
+ - +
11)
2
lim ( 4 )
x
x x x
®+¥
- -
12)
2
lim ( 1 )
x
x x
®- ¥
+ +
13)
2
lim ( 2)
x
x x x
®+¥
+ - +
14)
2
lim ( 2)
x
x x x
®+¥

+ - +
15)
1
lim
.( 1 1)
x
x x x
®+¥
+ - -
16)
2
lim ( 5 )
x
x x x
®+¥
+ -
17)
2 2
lim ( 2 2 )
x
x x x x x
®+¥
+ - + +
18)
lim ( 2 2 1 )
x
x x x
®+¥
+ - - +
19)

lim .( 3 1)
x
x x x
®+¥
+ - -
20)
lim 2.( 3 1)
x
x x x
®+¥
- + - -
21)
2 2
lim .( 4 3)
x
x x x
®+¥
+ - -
22)
lim ( 2 5 2 7)
x
x x
®+¥
+ - -
23)
3
3 2
lim( 6 )
x
x x x

®¥
+ -
24)
3 3
3 2 3 2
lim( 1 1)
x
x x x x
®¥
+ + - - +
25)
( )
2 2
lim 2 2
x
x x x x x
®+¥
+ - + +
Bài 27: Tính các giới hạn sau đây (nguyên lý kẹp)
1)
sin
lim
sin
x
x x
x x
®+¥
-
+
Chú ý: Bài tập phần này có thể lấy ở phần giới hạn của dãy số.

Dương Phước Sang