Chuyen de ve phuong trinh bac hai

CHUYÊNĐỀVỀ PHƯƠNGTRÌNHBẬCHAI
******************************
1
Ứngdụng1
Ứngdụng2
Ứngdụng3
Ứngdụng4
Ứngdụng5
Ứngdụng6
Ứngdụng7
Ứngdụng8
Nhẩmnghiệmcủap hươngtrìnhbậchaimộtẩn
Lậpphươngtrìnhbậchai
Tìmhaisốbiếttổngvàtíchcủachúng
Tínhgiátrịcủabiểuthứcnghiệmcủaphươngtrình
Tìmhệthứcliênhệgiữahainghiệmcủaphươngtrìnhsaochohai
nghiệmnàykhôngphụthuộcvàothamsố
Tìmgiátrịthamsốcủaphươngtrình thỏamãnbiểuthứcchứa
nghiệm 
Xácđị nhdấucácnghiệmcủaphươngtrìnhbậchai
Tìmgiátrịlớnnhất,giátrịnhỏnhấtcủabiểuthứcnghiệm

B.NỘIDUNGCHUYÊNĐỀ:
ỨNGDỤNGCỦAHỆTHỨCVIÉTTRONGGIẢITOÁN

Chophươngtrìnhbậchai: ax
2
+bx+c=0 (a¹0) (*)
Cóhainghiệm
1
2

b
x
a
- - D
= ;
2
2
b
x
a
- + D
=
Suyra:
1 2
2
2 2
b b b b
x x
a a a
- - D - + D - -
+ = = =
2
1 2
2 2 2
( )( ) 4
4 4 4
b b b ac c
x x
a a a a
- - D - + D - D

= = = =
Vậy đặt: TổngnghiệmlàS: S=
1 2
b
x x
a
-
+ =
Tích nghiệmlàP: P=
1 2
c
x x
a
=
Nhưvậy tathấy giữahainghiệm củaphươngtrình(*)cóliênquanchặtchẽvới cáchệsốa,b,c.
Đâychínhlànội dungcủaĐịnhlí VIÉT,sauđâytatìm hiểumộtsốứngdụngcủađịnhlí này tronggiải
toán.

I.NHẨMNGHIỆMCỦAPHƯƠNGTRÌNH:
1.Dạng đặcbiệt:

Xétphươngtrình (*)tathấy :
a)Nếuchox =1thì tacó(*)ó a.1
2
+b.1+c=0 ó a+b+c=0
Nhưvâyphươngtrìnhcómộtnghiệm
1
1x = vànghiệm cònlại là
2
c

x
a
=
b)Nếuchox = -1thì tacó(*)ó a.( -1)
2
+b( -1)+c=0 óa - b+c=0
Nhưvậy phươngtrìnhcómộtnghiệmlà
1
1x = - vànghiệm cònlạilà
2
c
x
a
-
=
Vídụ:DùnghệthứcVIÉTđểnhẩm nghiệm củacácphươngtrìnhsau:
1)
2
2 5 3 0x x + + = (1) 2)
2
3 8 11 0x x + - = (2)
CHUYÊNĐỀVỀ PHƯƠNGTRÌNHBẬCHAI
******************************
2
Tathấy :
Phươngtrình(1)códạnga - b+c=0nêncónghiệm
1
1x = - và
2
3

2
x
-
=
Phươngtrình(2)códạnga+b+c=0nêncónghiệm
1
1x = và
2
11
3
x
-
=

Bàitậpápdụng:
Hãy tìm nhanhnghiệm củacácphươngtrìnhsau:
1.
2
35 37 2 0x x - + = 2.
2
7 500 507 0x x + - =
3.
2
49 50 0x x - - = 4.
2
4321 21 4300 0x x + - =

2.Chophươngtrình ,cómộthệsốchưabiết,chotrướcmộtnghiệmtìmnghiệmcònlạivàchỉrahệsố
củaphươngtrình:


Vídụ:a)Phươngtrình
2
2 5 0x px - + = .Cómộtnghiệmbằng2,tìm p vànghiệmthứ hai.
b)Phươngtrình
2
5 0x x q + + = cómộtnghiệmbằng5,tìm q vànghiệmthứhai.
c) Cho phương trình:
2
7 0x x q - + = , biết hiệu2 nghiệm bằng 11. Tìmq và hai nghiệm của
phươngtrình.
d)Tìmqvàhainghiệmcủaphươngtrình:
2
50 0x qx - + = ,biếtphươngtrìnhcó2nghiệmvàcó
mộtnghiệmbằng2lầnnghiệmkia.

Bàigiải:

a)Thay
1
2x = vàophươngtrìnhban đầutađược:
1
4 4 5 0
4
p p - + = Þ =
Từ
1 2
5x x = suyra
2
1
5 5

2
x
x
= =
b)Thay
1
5x = v àphươngtrìnhban đầutađược
25 25 0 50q q + + = Þ = -
Từ
1 2
50x x = - suyra
2
1
50 50
10
5
x
x
- -
= = = -
c)Vì vaitròcủax
1
vàx
2
bình đẳngnên theođềbài giảsử
1 2
11x x - = vàtheoVIÉT tacó
1 2
7x x + = ,ta
giảihệsau:

1 2 1
1 2 2
11 9
7 2
x x x
x x x
- = =
ì ì
Û
í í
+ = = -
î î
Suyra
1 2
18q x x = = -
d)Vì vaitròcủax
1
vàx
2
bìnhđẳngnêntheođề bàigiảsử
1 2
2x x = vàtheoVIÉT tacó
1 2
50x x = .Suyra
2
2 2 2
2 2
2
5
2 50 5

5
x
x x
x
= -
é
= Û = Û
ê
=
ë
Với
2
5x = - thì
1
10x = -
Với
2
5x = thì
1
10x =

II.LẬPPHƯƠNGTRÌNHBẬCHAI
1.Lậpphươngtrìnhbậchaikhibiếthainghiệm

1 2
;x x
Vídụ:Cho
1
3x =
 ;


2
2x = lậpmộtphươngtrìnhbậchaichứahainghiệm trên
TheohệthứcVIÉT tacó
1 2
1 2
5
6
S x x
P x x
= + =
ì
í
= =
î
vậy
1 2
;x x lànghiệm củaphươngtrìnhcódạng:
2 2
0 5 6 0x Sx P x x - + = Û - + =
CHUYÊNĐỀVỀ PHƯƠNGTRÌNHBẬCHAI
******************************
3

Bàitậpápdụng:

1. x
1
=8 vµ x
2

=3
2. x
1
=3a vµ x
2
=a
3. x
1
=36 vµ x
2
=104
4. x
1
=
1 2 +
vµ x
2
=
1 2 -

2.Lậpphươngtrìnhbậchaicóhainghiệmthoảmãnbiểuthứcchứahainghiệmcủamộtphương
trìnhchotrước:

V ídụ:Chophươngtrình:
2
3 2 0x x - + = có2nghiệmphânbiệt
1 2
;x x .Khônggiảiphươngtrìnhtrên,
hãylậpphươngtrìnhbậc2cóẩnlày thoảmãn:
1 2

1
1
y x
x
= + và
2 1
2
1
y x
x
= +
Theohệth ứcVI ÉT tac ó:
1 2
1 2 2 1 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 3 9
( ) ( ) 3
2 2
x x
S y y x x x x x x
x x x x x x
æ ö
+
= + = + + + = + + + = + + = + =
ç ÷
è ø
1 2 2 1 1 2
1 2 1 2
1 1 1 1 9
( )( ) 1 1 2 1 1

2 2
P y y x x x x
x x x x
= = + + = + + + = + + + =
Vậy phươngtrìnhcầnlậpcódạng:
2
0y Sy P - + =
hay
2 2
9 9
0 2 9 9 0
2 2
y y y y - + = Û - + =

Bàitậpápdụng:

1/Chophươngtrình
2
3 5 6 0x x + - = có2 nghiệmphânbiệt
1 2
;x x .Khônggiảiphươngtrình,Hãylập
phươngtrìnhbậchaicócácnghiệm
1 1
2
1
y x
x
= + và
2 2
1

1
y x
x
= +
(Đápsố:
2
5 1
0
6 2
y y + - = hay
2
6 5 3 0y y + - = )
2/Chophươngtrình:
2
5 1 0x x - - = có2nghiệm
1 2
;x x .Hãylậpphươngtrìnhbậc2cóẩnythoảmãn
4
1 1
y x = và
4
2 2
y x = (cónghiệmlàluỹthừabậc4củacácnghiệmcủaphươngtrình đãcho).
(Đápsố:
2
727 1 0y y - + = )
3/Chophươngtrìnhbậchai:
2 2
2 0x x m - - = cócácnghiệm
1 2

;x x .Hãylậpphươngtrìnhbậchaicócác
nghiệm
1 2
;y y saocho:
a)
1 1
3y x = -
và
2 2
3y x = - b)
1 1
2 1y x = -
và
2 2
2 1y x = -
(Đápsố a)
2 2
4 3 0y y m - + - = b)
2 2
2 (4 3) 0y y m - - - = )

III.TÌMHAISỐBIẾTTỔNGVÀTÍCHCỦACHÚNG

NếuhaisốcóTổngbằngSvàTíchbằngPthì haisốđólàhainghiệm củaphươngtrình:
2
0x Sx P - + = (điềukiện đểcóhaisốđólàS
2
- 4P ³ 0)
Vídụ: Tìm haisốa,bbiếttổngS=a+b= -3vàtích P=ab= -4
Vì a+b= -3và ab= -4n êna,blànghiệm củaphươngtrình:

2
3 4 0x x + - =
giải phươngtrìnhtrênta được
1
1x = và
2
4x = -
Vậy nếua=1thì b= -4
nếua= -4thì b=1

Bàitậpápdụng:
Tìm 2sốavàbbiếtTổngSvàTích P
1.S=3 và P=2
CHUYÊNĐỀVỀ PHƯƠNGTRÌNHBẬCHAI
******************************
4
2.S= -3 và P=6
3.S=9 và P=20
4.S=2x và P=x
2
- y
2

Bàitậpnângcao
:Tìm 2sốavàbbiết
1.a+b=9 và a
2
+b
2
=41

2.a -b=5và ab=36
3.a
2
+b
2
=61v à ab=30
Hướngdẫn:1)Theođềbài đãbiếttổngcủahaisốavàb,vậy để ápdụnghệthứcVIÉT thì cần tìm tích
củaav àb.
Từ
( )
( )
2 2
2
2 2
81
9 81 2 81 20
2
a b
a b a b a ab b ab
- +
+ = Þ + = Û + + = Û = =
Suyra:a,blànghiệm củaphươngtrìnhcódạng:
1
2
2
4
9 20 0
5
x
x x

x
=
é
- + = Û
ê
=
ë
Vậy: Nếua=4thì b=5
nếua=5thì b=4
2)Đãbiếttích:ab=36dođócần tìm tổng:a+b
Cách1:Đặtc= -btacó:a+c=5vàa.c= -36
Suyraa,clànghiệm củaphươngtrình :
1
2
2
4
5 36 0
9
x
x x
x
= -
é
- - = Û
ê
=
ë
Dođónếua= -4thì c=9nênb= -9
nếua=9thì c=
-

4nênb=4
Cách2:Từ
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
4 4 169a b a b ab a b a b ab - = + - Þ + = - + =
( )
2
2
13
13
13
a b
a b
a b
+ = -
é
Þ + = Þ
ê
+ =
ë
*)Với
13a b + = -
vàab =36,nêna,blànghiệm củaphươngtrình:
1
2
2
4
13 36 0
9
x

x x
x
= -
é
+ + = Û
ê
= -
ë
Vậy a= 4 - thì b=
9 -
*)Với
13a b + =
vàab =36,nêna,blànghiệm củaphươngtrình:
1
2
2
4
13 36 0
9
x
x x
x
=
é
- + = Û
ê
=
ë
Vậy a=9thì b=4
3)Đãbiết ab=30,dođócần tìm a+b:

Từ:a
2
+b
2
=61
( )
2
2 2 2
2 61 2.30 121 11a b a b ab Þ + = + + = + = =
11
11
a b
a b
+ = -
é
Þ
ê
+ =
ë
*)Nếu
11a b + = -
vàab=30thì a,blàhainghiệm củaphươngtrình:
1
2
2
5
11 30 0
6
x
x x

x
= -
é
+ + = Û
ê
= -
ë
Vậy nếua=
5 -
thì b=
6 -
;nếua=
6 -
thì b=
5 -
*)Nếu
11a b + =
vàab=30thì a,blàhainghiệm củaphươngtrình:
1
2
2
5
11 30 0
6
x
x x
x
=
é
- + = Û

ê
=
ë
Vậy nếua=5thì b=6;nếua=6thì b=5.

IV.TÍNHGIÁTRỊCỦACÁCBIỂUTHỨCNGHIỆM

Đối cácbài toán dạngnày điềuquantrọngnhấtlàphảibiếtbiến đổi biểuthứcnghiệm đãchovề
biểuthứccóchứatổngnghiệm Svàtích nghiệm PđểápdụnghệthứcVIÉT rổi tính giátrị củabiểuthức

1.Biếnđổibiểuthứcđểlàmxuấthiện:(

1 2
x x +
 )và

1 2
x x
CHUYấNV PHNGTRèNHBCHAI
******************************
5
Vớ d1 a)
2 2 2 2 2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
( 2 ) 2 ( ) 2x x x x x x x x x x x x + = + + - = + -
b)
( )
( )
( ) ( )
2

3 3 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
3x x x x x x x x x x x x x x
ộ ự
+ = + - + = + + -
ở ỷ
c)
( )
2
2
4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
( ) ( ) 2 ( ) 2 2x x x x x x x x x x x x x x
ộ ự
+ = + = + - = + - -
ở ỷ
d)
1 2
1 2 1 2
1 1 x x
x x x x
+
+ =
Vớ d2
1 2
?x x - =
Tabit
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

4 4x x x x x x x x x x x x - = + - ị - = + -
Tcỏcbiuthcóbin i trờnhóy bin i cỏcbiuthcsau:
1.
2 2
1 2
x x - (
( )( )
1 2 1 2
x x x x = - + =.)
2.
3 3
1 2
x x - (=
( )
( )
( ) ( )
2
2 2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
x x x x x x x x x x x x
ộ ự
- + + = - + -
ở ỷ
=.)
3.
4 4
1 2
x x - (=
( )( )
2 2 2 2

1 2 1 2
x x x x + - =)
4.
6 6
1 2
x x + (=
( )( )
2 3 2 3 2 2 4 2 2 4
1 2 1 2 1 1 2 2
( ) ( )x x x x x x x x + = + - + = )
Bi tpỏpdng
5.
6 6
1 2
x x - 6.
5 5
1 2
x x + 7.
7 7
1 2
x x + 8.
1 2
1 1
1 1x x
+
- -

2.Khụnggiiphngtrỡnh,tớnhgiỏtrcabiu thcnghim

a)Chophngtrỡnh:

2
8 15 0x x - + = Khụnggiiphngtrỡnh,hóytớnh
1.
2 2
1 2
x x + (34) 2.
1 2
1 1
x x
+
8
15
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
3.
1 2
2 1
x x
x x
+
34
15
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
4.
( )
2
1 2

x x + (46)
b)Chophngtrỡnh:
2
8 72 64 0x x - + = Khụnggiiphngtrỡnh,hóytớnh:
1.
1 2
1 1
x x
+
9
8
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
2.
2 2
1 2
x x + (65)
c)Chophngtrỡnh:
2
14 29 0x x - + = Khụnggiiphngtrỡnh,hóytớnh:
1.
1 2
1 1
x x
+
14
29
ổ ử
ỗ ữ

ố ứ
2.
2 2
1 2
x x + (138)
d)Chophngtrỡnh:
2
2 3 1 0x x - + = Khụnggiiphngtrỡnh,hóytớnh:
1.
1 2
1 1
x x
+ (3) 2.
1 2
1 2
1 1x x
x x
- -
+ (1)
3.
2 2
1 2
x x + (1) 4.
1 2
2 1
1 1
x x
x x
+
+ +

5
6
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
e)Chophngtrỡnh
2
4 3 8 0x x - + = cú2nghim x
1
x
2
,khụnggiiphngtrỡnh,tớnh
2 2
1 1 2 2
3 3
1 2 1 2
6 10 6
Q
5 5
x x x x
x x x x
+ +
=
+
HD:
( )
2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
3 3
2

2
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
6 10 6 6( ) 2 6.(4 3) 2.8 17
Q
5 5 80
5.8 (4 3) 2.8
5 2
x x x x x x x x
x x x x
x x x x x x
+ + + - -
= = = =
+ ộ ự ộ ự
-
+ -
ở ỷ
ở ỷ
CHUYÊNĐỀVỀ PHƯƠNGTRÌNHBẬCHAI
******************************
6

V. TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAO CHO HAI
NGHIỆMNÀYKHÔNGPHỤTHUỘC(HAYĐỘCLẬP)VỚITHAMSỐ

Đểlàm cácbài toán loại này,talàm lầnlượttheocácbướcsau:
Đặtđiềukiện chothamsốđểphươngtrình đãchocóhainghiệm x
1
vàx
2

(thườnglàa ¹0và D ³0)
ÁpdụnghệthứcVIÉTviếtS=x
1
+x
2
v àP=x
1
x
2
theothamsố
Dùngquytắccộnghoặcthếđểtính thamsốtheox
1
vàx
2
.Từđóđưarahệthứcliênhệgiữacácnghiệm
x
1
vàx
2
.
Ví dụ 1: Cho phương trình :
( )
2
1 2 4 0m x mx m - - + - = có 2 nghiệm
1 2
;x x . Lập hệ thức liên hệ
giữa
1 2
;x x saochochúngkhôngphụthuộcvàom.
Đểphươngtrìnhtrêncó2nghiệm x

1
vàx
2
th ì :
2
1
1
1 0 1
4
' 0 5 4 0
( 1)( 4) 0
5
m
m
m m
m
m
m m m
¹
ì
¹
- ¹ ¹
ì
ì ì
ï
Û Û Û
í í í í
³ - ³
³
- - - ³

î î
î
ï
î
V
Theohệth ứcVI ÉT tacó:
1 2 1 2
1 2 1 2
2 2
2 (1)
1 1
4 3
. . 1 (2)
1 1
m
x x x x
m m
m
x x x x
m m
ì ì
+ = + = +
ï ï
ï ï
- -
Û
í í
-
ï ï
= = -

ï ï
- -
î î
Rút m từ (1)tacó:
1 2
1 2
2 2
2 1
1 2
x x m
m x x
= + - Û - =
- + -
(3)
Rútm từ (2)tacó:
1 2
1 2
3 3
1 1
1 1
x x m
m x x
= - Û - =
- -
(4)
Đồngnhấtcácvếcủa(3)và(4)tacó:
( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
2 3

2 1 3 2 3 2 8 0
2 1
x x x x x x x x
x x x x
= Û - = + - Û + + - =
+ - -
Vídụ2:Gọi
1 2
;x x lànghiệmcủaphươngtrình:
( )
2
1 2 4 0m x mx m - - + - = .Chứngminhrằng biểuthức
( )
1 2 1 2
3 2 8A x x x x = + + - khôngphụthuộcgiátrịcủam.
Đểphươngtrìnhtrêncó2nghiệm x
1
vàx
2
th ì :
2
1
1
1 0 1
4
' 0 5 4 0
( 1)( 4) 0
5
m
m

m m
m
m
m m m
¹
ì
¹
- ¹ ¹
ì
ì ì
ï
Û Û Û
í í í í
³ - ³
³
- - - ³
î î
î
ï
î
V
TheohệthứcVI ÉT tac ó:
1 2
1 2
2
1
4
.
1
m

x x
m
m
x x
m
ì
+ =
ï
ï
-
í
-
ï
=
ï
-
î
thayv àoAtac ó:
CHUYÊNĐỀVỀ PHƯƠNGTRÌNHBẬCHAI
******************************
7
( )
1 2 1 2
2 4 6 2 8 8( 1) 0
3 2 8 3. 2. 8 0
1 1 1 1
m m m m m
A x x x x
m m m m
- + - - -

= + + - = + - = = =
- - - -
Vậy A=0với mọi
1m ¹
và
4
5
m ³ .DođóbiểuthứcAkhôngphụthuộcvàom

Nhậnxét:

Lưuý điềukiện chothamsốđểphươngtrình đãchocó2nghiệm
SauđódựavàohệthứcVIÉTrútthamsốtheotổngnghiệm,theotíchnghiệmsauđóđồngnhất
cácvếtasẽđượcmộtbiểuthứcchứanghiệm khôngphụthuộcvào thamsố.

Bàitậpápdụng:

1.Chophươngtrình:
( ) ( )
2
2 2 1 0x m x m - + + - = có2nghiệm
1 2
;x x .Hãylậphệthứcliênhệgiữa
1 2
;x x
saocho
1 2
;x x độclậpđốivới m.
Hướngdẫn:Dễ thấy
( ) ( ) ( )

2 2
2
2 4 2 1 4 8 2 4 0m m m m m D = + - - = - + = - + >
dođóphươngtrình đãcholuôncó2nghiệm phânbiệtx
1
vàx
2
TheohệthứcVI ÉT tacó
1 2
1 2
1 2
1 2
2(1)
2
1
. 2 1
(2)
2
m x x
x x m
x x
x x m
m
= + -
ì
+ = +
ì
ï
Û
í í +

= -
=
î
ï
î
Từ(1)và(2)tacó:
( )
1 2
1 2 1 2 1 2
1
2 2 5 0
2
x x
x x x x x x
+
+ - = Û + - - =
2.Chophươngtrình:
( ) ( )
2
4 1 2 4 0x m x m + + + - = .
Tìmhệthứcliênhệgiữa
1
x và
2
x saochochúngkhôngphụthuộcvàom.
Hướngdẫn:Dễ thấy
2 2
(4 1) 4.2( 4) 16 33 0m m m D = + - - = + > dođóphươngtrình đãcholuôncó2
nghiệm phânbiệtx
1

vàx
2
TheohệthứcVI ÉT tacó
1 2 1 2
1 2 1 2
(4 1) 4 ( ) 1(1)
. 2( 4) 4 2 16(2)
x x m m x x
x x m m x x
+ = - + = - + -
ì ì
Û
í í
= - = +
î î
Từ(1)và(2)tacó:
1 2 1 2 1 2 1 2
( ) 1 2 16 2 ( ) 17 0x x x x x x x x - + - = + Û + + + =

VI.TÌMGIÁTRỊTHAMSỐCỦAPHƯƠNGTRÌNHTHOẢMÃNBIỂUTHỨCCHỨA
NGHIỆMĐÃCHO

Đối với cácbài toán dạngnày,talàm nhưsau:
Đặtđiềukiện chothamsốđểphươngtrình đãchocóhainghiệm x
1
vàx
2
(thườnglàa ¹0và D ³0)
Từ biểuthứcnghiệm đãcho,ápdụnghệthứcVIÉTđể giải phươngtrình(cóẩnlàthamsố).
Đối chiếuvới điềukiện xácđịnh củathamsốđểxácđịnh giátrị cần tìm.

Vídụ1:Chophươngtrình:
( ) ( )
2
6 1 9 3 0mx m x m - - + - =
Tìmgiátrịcủathamsốm để2nghiệm
1
x và
2
x thoảmãnhệthức:
1 2 1 2
.x x x x + =
Bàigiải: Điềukiện đểphươngtrìnhcó2nghiệmx
1
vàx
2
l à:
CHUYÊNĐỀVỀ PHƯƠNGTRÌNHBẬCHAI
******************************
8
( )
( )
( )
2
2 2
0
0
0
0
' 9 2 1 9 27 0 ' 9 1 0
1

' 3 21 9( 3) 0
m
m
m
m
m m m m
m
m m m
¹
¹
ì
ì
¹
ì ¹
ì
ï ï ï
Û Û Û
í í í í
D = - + - + ³ D = - ³
³ -
D = - - - ³
é ù
ï
î
ï
î
ï
ë û
î
î

Theoh ệ th ứcVI ÉT tac ó:
1 2
1 2
6( 1)
9( 3)
m
x x
m
m
x x
m
-
ì
+ =
ï
ï
í
-
ï
=
ï
î
v àtừ gi ảthi ết:
1 2 1 2
x x x x + = .Suyra:
6( 1) 9( 3)
6( 1) 9( 3) 6 6 9 27 3 21 7
m m
m m m m m m
m m

- -
= Û - = - Û - = - Û = Û =
(thoả mãn điềukiệnxácđịnh )
Vậy vớim=7thì phươngtrình đãchocó2nghiệm
1
x và
2
x thoảmãnhệthức:
1 2 1 2
.x x x x + =
Vídụ2: Chophươngtrình:
( )
2 2
2 1 2 0x m x m - + + + = .
Tìm m để2nghiệm
1
x và
2
x thoảmãnhệthức:
( )
1 2 1 2
3 5 7 0x x x x - + + =
Bàigiải:Điềukiện đểphươngtrìnhcó2nghiệm
1 2
&x x là:
2 2
' (2 1) 4( 2) 0m m D = + - + ³
2 2
4 4 1 4 8 0m m m Û + + - - ³
7

4 7 0
4
m m Û - ³ Û ³
TheohệthứcVIÉTtacó:
1 2
2
1 2
2 1
2
x x m
x x m
+ = +
ì
í
= +
î
vàtừgiảthiết
( )
1 2 1 2
3 5 7 0x x x x - + + = .Suyra
2
2
2
3( 2) 5(2 1) 7 0
3 6 10 5 7 0
2( )
3 10 8 0
4
( )
3

m m
m m
m TM
m m
m KTM
+ - + + =
Û + - - + =
=
é
ê
Û - + = Û
ê
=
ë
Vậyvớim=2thìphươngtrìnhcó 2nghiệm
1
x và
2
x thoảmãnhệthức:
( )
1 2 1 2
3 5 7 0x x x x - + + =

Bàitậpápdụng

1.Chophươngtrình:
( )
2
2 4 7 0mx m x m + - + + =
Tìm m để2nghiệm

1
x và
2
x thoảmãnhệthức:
1 2
2 0x x - =
2. Chophươngtrình:
( )
2
1 5 6 0x m x m + - + - =
Tìm m để2nghiệm
1
x và
2
x thoảmãnhệthức:
1 2
4 3 1x x + =
3. Chophươngtrình:
( ) ( )
2
3 3 2 3 1 0x m x m - - - + = .
Tìm m để2nghiệm
1
x và
2
x thoảmãnhệthức:
1 2
3 5 6x x - =

Hướngdẫncáchgiải:


Đối với cácbài tậpdạngnày tathấy cómộtđiềukhácbiệtsovới bài tậpởVí dụ1vàví dụ2ở
chỗ
+Trongví dụthì biểuthứcnghiệm đãchứasẵn tổngnghiệm
1 2
x x + vàtíchnghiệm
1 2
x x nêntacóthểvận
dụngtrực tiếphệthứcVIÉTđể tìm thamsốm.
CHUYÊNĐỀVỀ PHƯƠNGTRÌNHBẬCHAI
******************************
9
+Còn trong3bài tập trênthì cácbiểuthứcnghiệmlại khôngchosẵn nhưvậy,dođóvấn đềđặtra ởđây
làlàm thếnàođể từ biểuthứcđãchobiến đổi vềbiểuthứccóchứatổngnghiệm
1 2
x x + vàtích nghiệm
1 2
x x rồi từđóvận dụngtươngtựcáchlàm đãtrìnhbày ởVí dụ1vàví dụ2.
BT1: ĐKXĐ:
16
0 &
15
m m ¹ £
TheoVIÉT:
1 2
1 2
( 4)
(1)
7
m

x x
m
m
x x
m
- -
ì
+ =
ï
ï
í
+
ï
=
ï
î
Từ
1 2
2 0x x - = Suyra:
1 2 2
2
1 2 1 2
1 2 1
3
2( ) 9
2( ) 3
x x x
x x x x
x x x
+ =

ì
Þ + =
í
+ =
î
(2)
Thế(1)vào(2)tađưađượcvềphươngtrìnhsau:
2
1 2
127 128 0 1; 128m m m m + - = Þ = = -
BT2: ĐKXĐ:
2
22 25 0 11 96 11 96m m m D = - + ³ Û - £ £ +
TheoVIÉT:
1 2
1 2
1
(1)
5 6
x x m
x x m
+ = -
ì
í
= -
î
Từ :
1 2
4 3 1x x + = .Suyra:
[ ] [ ]

1 1 2
1 2 1 2 1 2
2 1 2
2
1 2 1 2 1 2
x 1 3(x x )
x x 1 3(x x ) . 4(x x ) 1
x 4(x x ) 1
x x 7(x x ) 12(x x ) 1
= - +
ì
Þ = - + + -
í
= + -
î
Û = + - + -
(2)
Thế(1)vào(2)tacóphươngtrình:
0
12 ( 1) 0
1
m
m m
m
=
é
- = Û
ê
=
ë

(thoảmãn ĐKXĐ)
BT3: Vì
2 2 2
(3 2) 4.3(3 1) 9 24 16 (3 4) 0m m m m m D = - + + = + + = + ³ với mọi sốthựcm nênphương
trìnhluôncó2nghiệm phânbiệt.
TheoVIÉT:
1 2
1 2
3 2
3
(1)
(3 1)
3
m
x x
m
x x
-
ì
+ =
ï
ï
í
- +
ï
=
ï
î
Từ giảthiết:
1 2

3 5 6x x - = .Suyra:
[ ] [ ]
1 1 2
1 2 1 2 1 2
2 1 2
2
1 2 1 2 1 2
8 5( ) 6
64 5( ) 6 . 3( ) 6
8 3( ) 6
64 15( ) 12( ) 36
x x x
x x x x x x
x x x
x x x x x x
= + +
ì
Þ = + + + -
í
= + -
î
Û = + - + -
(2)
Thế(1)vào(2)tađượcphươngtrình:
0
(45 96) 0
32
15
m
m m

m
=
é
ê
+ = Û
ê
= -
ë
(thoảmãn )

VII.XÁCĐỊNHDẤUCÁCNGHIỆMCỦAPHƯƠNGTRÌNHBẬCHAI

Chophươngtrình:
2
0ax bx c + + = (a ¹0).Hãytìmđiềukiệnđểphươngtrìnhcó2
nghiệm:
 tráidấu,cùngdấu,cùngdương,cùngâm….

Talậpbảngxétdấusau:

Dấunghiệm

x
1
x
2
1 2
S x x = +
1 2
P x x =

D

Điềukiệnchung

tráidấu
±
m
P<0
D ³0 D ³0 ;P <0.
cùngdấu,
± ±
P>0
D ³0 D ³0;P>0
CHUYÊNĐỀVỀ PHƯƠNGTRÌNHBẬCHAI
******************************
10
cùngdương,
+ + S>0
P>0
D ³0 D ³0;P>0;S>0
cùngâm
- -
S<0
P>0
D ³0 D ³0 ;P>0;S<0.
Ví dụ:Xácđịnhthamsốmsaochophươngtrình:
( )
2 2
2 3 1 6 0x m x m m - + + - - = có2nghiệmtráidấu.
Đểphươngtrìnhcó2nghiệm trái dấuthì

2 2
2
2
(3 1) 4.2.( 6) 0
0
( 7) 0
2 3
6
0
( 3)( 2) 0
0
2
m m m
m m
m
m m
P
P m m
P
ì
D = + - - - ³
D ³
ì
D = - ³ "
ì
ï
Û Û Û - < <
í í í
- -
<

= - + <
= <
î
î
ï
î
Vậy với
2 3m - < <
thì phươngtrìnhcó2nghi ệm trái dấu.

Bàitậpthamkhảo:

1.
( ) ( )
2
2 2 3 2 0mx m x m - + + - = có2nghiệmcùngdấu.
2.
( )
2
3 2 2 1 0mx m x m + + + = có2nghiệmâm.
3.
( )
2
1 2 0m x x m - + + = cóítnhấtmộtnghiệmkhông âm.

VIII.TÌMGIÁTRỊLỚNNHẤTHOẶCGIÁTRỊNHỎNHẤTCỦABIỂUTHỨCNGHIỆM

Ápdụng tính chấtsauvềbấtđẳngthức:trongmọi trườnghợpnếutaluônphântích được:
A m
C

k B
+
é
=
ê
-
ë
(trongđóA,Blàcácbiểuthứckhôngâm;m,klàhằngsố) (*)
Thì tathấy :
C m ³
(vì
0A³
)
min 0C m A Þ = Û =
C k £
(vì
0B ³
)
max 0C k B Þ = Û =
Vídụ1:Chophươngtrình:
( )
2
2 1 0x m x m + - - =
Gọi
1
x và
2
x làcácnghiệmcủaphươngtrình.Tìm m để:
2 2
1 2 1 2

6A x x x x = + - cógiátrịnhỏnhất.
Bàigiải:TheoVIÉT:
1 2
1 2
(2 1)x x m
x x m
+ = - -
ì
í
= -
î
Theođềb ài :
( )
2
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
6 8A x x x x x x x x = + - = + -
( )
2
2
2
2 1 8
4 12 1
(2 3) 8 8
m m
m m
m
= - +
= - +
= - - ³ -

Suyra:
min 8 2 3 0A m = - Û - =
hay
3
2
m =
Vídụ2: Chophươngtrình:
2
1 0x mx m - + - =
CHUYÊNĐỀVỀ PHƯƠNGTRÌNHBẬCHAI
******************************
11
Gọi
1
x và
2
x làcácnghiệmcủaphươngtrình.Tìmgiátrịnhỏnhấtvàgiátrị lớn
nhấtcủabiểuthứcsau:
( )
1 2
2 2
1 2 1 2
2 3
2 1
x x
B
x x x x
+
=
+ + +

Tacó: TheohệthứcVIÉT thì :
1 2
1 2
1
x x m
x x m
+ =
ì
í
= -
î
( )
1 2 1 2
2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
2 3 2 3 2( 1) 3 2 1
2 1 ( ) 2 2 2
x x x x m m
B
x x x x x x m m
+ + - + +
Þ = = = =
+ + + + + + +

Cách1:
Thêmbớtđểđưavềdạngnhưphần (*)đãhướngdẫn
Tabiến đổi Bnhưsau:
( )
( )
2

2 2
2 2
2 2 1
1
1
2 2
m m m
m
B
m m
+ - - +
-
= = -
+ +
Vì
( )
( )
2
2
2
1
1 0 0 1
2
m
m B
m
-
- ³ Þ ³ Þ £
+
Vậy

max B=1 Û
m =1
Với cách thêmbớtkháctalại có:
( ) ( )
( )
( )
2 2 2 2
2
2 2
2
1 1 1 1
2 1 4 4 2
2
1
2 2 2 2
2 2 2
2 2
m m m m m m
m
B
m m
m
+ + - + + - +
+
= = = -
+ +
+
Vì
( )
( )

( )
2
2
2
2
1
2 0 0
2
2 2
m
m B
m
+
+ ³ Þ ³ Þ ³ -
+
Vậy
1
min 2
2
B m = - Û = -

Cách2:
Đưavềgiải phươngtrìnhbậc2với ẩnlàm vàB làthamsố,tasẽ tìm điềukiện chothamsốB để
phươngtrình đãcholuôncónghiệmvớimọi m.
2
2
2 1
2 2 1 0
2
m

B Bm m B
m
+
= Û - + - =
+
(Với m làẩn,B làthamsố) (**)
Tacó:
2
1 (2 1) 1 2B B B B D = - - = - +
Đểphươngtrình(**)luôncónghiệm vớimọi mthì D ³0
hay
( )( )
2 2
2 1 0 2 1 0 2 1 1 0B B B B B B - + + ³ Û - - £ Û + - £
1
2 1 0
2
1 0 1
1
1
2
2 1 0 1
2
1 0
1
B
B
B B
B
B

B
B
B
é
ì
£ -
ï
ê
é + £
ì
í
ê
í
ê
ï
- ³ ³
ê
î î
ê
Û Û Û - £ £
ê
ê
+ ³
ì ì
ê
³ -
ê
ï
í
ê

í - £
ê
î
ë
ê
ï
£
î
ë
Vậy:
max B=1 Û
m =1
1
min 2
2
B m = - Û = -

Bàitậpápdụng

1.Chophươngtrình:
( ) ( )
2
4 1 2 4 0x m x m + + + - = .Tìmm đểbiểuthức
( )
2
1 2
A x x = - có
giátrịnhỏnhất.
CHUYÊNĐỀVỀ PHƯƠNGTRÌNHBẬCHAI
******************************

12
2.Chophươngtrình
2
2( 1) 3 0x m x m - - - - = .Tìmmsaochonghiệm
1 2
;x x thỏamãn điều
kiện
2 2
1 2
10x x + ³ .
3.Chophươngtrình:
2 2
2( 4) 8 0x m x m - - + - = xácđịnhm đểphươngtrìnhcó2nghiệm
1 2
;x x thỏamãn
a)
1 2 1 2
3A x x x x = + - đạtgiátrịlớnnhất
b)
2 2
1 2 1 2
B x x x x = + - đạtgiátrịnhỏnhất
4.Chophươngtrình:
2 2
( 1) 2 0x m x m m - - - + - = .Vớigiátrịnàocủam,biểuthức
2 2
1 2
C x x = + dạtgiá
trịnhỏnhất.
5.Chophươngtrình

2
( 1) 0x m m + + + = .Xácđịnhm đểbiểuthức
2 2
1 2
E x x = + đạtgiátrịnhỏnhất.