Dạng lượng giác và ứng dụng

KIỂM TRA BÀI CŨ :
1. Cho số phức z = a + bi. Số phức liên hợp
của z ?
2. Công thức tính môđun của số phức
z = a + bi ?
3. Tìm số phức z, biết :
và phần ảo của z bằng hai lần phần thực
của nó.

z = 2 5
HS2
KIỂM TRA BÀI CŨ :
4. Định nghĩa acgumen của số phức ?
5. Phát biểu dạng đại số và lượng giác của
số phức z ?
HS1
6.Số phức có dạng
lượng giác là?
(cos sin )z i
ϕ ϕ
= − +
7.Số phức có dạng
lượng giác là?
( cos sin )z i
ϕ ϕ
= − +
8.Số phức có dạng
lượng giác là?
(cos sin )z i
ϕ ϕ
= −

( )
[ ]
1 cos( ) sinz i
ϕ π ϕ π
= + + +
( )
[ ]
1 cos( ) sinz i
π ϕ π ϕ
= − + −
( )
[ ]
1 cos( ) sinz i
ϕ ϕ
= − + −
BÀI 3- TIẾT 79-80
Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác :
2
( )
( )
cos sin ,
' ' cos ' sin '
z r i
z r i
ϕ ϕ
ϕ ϕ
= +
= +
Định lí:
Nếu

thì:
[ ]
[ ]
' ' cos( ') sin( ') ,
cos( ') sin( ')
' '
zz rr i
z r
i
z r
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
= + + +
= − + −
Ví dụ 1: Viết các số phức
sau dưới dạng lượng giác
( )
( )
1
1 ; 3 ; ;
3
1
1 3 ;
1
i
i i
i
i i
i

+
+ +
+
+ +
+
Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác :
2
Ví dụ 1: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác
( )
( )
1 1
1 ; 3 ; ; 1 3 ;
1
3
i
i i i i
i
i
+
+ + + +
+
+
Giải: Ta có:
( )
( )
1 2 cos sin
4 4
3 2 cos sin
6 6
ªn:

1+i 2 2
cos sin cos sin
2 4 6 4 6 2 12 12
3
5
1 3 2 2 os sin 2 2 os isin
4 6 4 6 12 12
1 1
co
1
2
i i
i i
n
i i
i
i i c i c
i
π π
π π
π π π π π π
π π π π π π
 
+ = +
 ÷
 
 
+ = +
 ÷
 

 
     
= − + − = +
 ÷  ÷  ÷
 ÷
+
     
 
5
 
     
+ + = + + + = +
 ÷  ÷  ÷
 ÷
     
 
=
+
s sin
4 4
i
π π
 
   
− + −
 ÷  ÷
 ÷
   
 
Thùc hiÖn phÐp nh©n, chia d íi d¹ng ®¹i

sè råi suy ra
12
sin;
12
cos
12
5
sin;
12
5
cos
ππ
ππ
Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác :
2
Ví dụ 1: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác
( )
( )
1+i 2
cos sin
2 4 6 4 6
3
2
cos sin
2 12 12
1 3 2 2 os sin
4 6 4 6
5
2 2 os isin
12 12

1 1
cos sin
1 4 4
2
i
i
i
i i c i
c
i
i
π π π π
π π
π π π π
π π
π π
 
   
= − + −
 ÷  ÷
 ÷
+
   
 
 
= +
 ÷
 
 
   

+ + = + + +
 ÷  ÷
 ÷
   
 
5
 
= +
 ÷
 
 
   
= − + −
 ÷  ÷
 ÷
+
   
 
( )
( )
( ) ( ) ( )
1 1
1 3 3 1
4
3
1 3 3 1 3 1
i
i
i
i i i

+
 
= + + −
 
+
+ + = − + +
( ) ( )
2 1 3 2 3 1
cos ; sin
12 4 12 4
5 3 1 5 3 1
cos ; sin
12 12
2 2 2 2
π π
π π
+ −
= =
− +
= =
Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác :
2
( )
( )
cos sin ,
' ' cos ' sin '
z r i
z r i
ϕ ϕ
ϕ ϕ

= +
= +
Định lí:
Nếu

thì:
[ ]
[ ]
' ' cos( ') sin( ') ,
cos( ') sin( ')
' '
zz rr i
z r
i
z r
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
= + + +
= − + −
NhËn xÐt
NÕu z=z’ th×
z
2
=r
2
[cos2ϕ+isin2ϕ]
C«ng thøc Moa-vr¬ (Moivre)vµ øng dông:
3
a) C«ng thøc Moa-vr¬:
( )

[ ]
( )
( )
ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ
nini
ninrir
n
n
n
sincossincos
sincossincos
+=+
+=+
VÝ dô 1 :
( )
15
1 i+
a) ViÕt d¹ng ®¹i sè cña sè phøc ®ã?
b) ViÕt d¹ng khai triÓn nhÞ thøc Niut¬n cña sè phøc
c) TÝnh
Cho sè phøc:
0 2 4 14
15 15 15 15
C C C C− + − −
C«ng thøc Moa-vr¬ (Moivre)vµ øng dông:
3
a) C«ng thøc Moa-vr¬:
( )
[ ]

( )
( )
ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ
nini
ninrir
n
n
n
sincossincos
sincossincos
+=+
+=+
VÝ dô 1 :
( )
( )
15
15
15
7 7
15 15
1 2 cos sin 2 cos sin
4 4 4 4
2 2
2 2 2 (1 )
2 2
i i i
i i
π π π π
 

   
+ = + = +
 ÷  ÷
 
   
 
 
= − = −
 ÷
 
b) ViÕt d¹ng khai triÓn nhÞ thøc Niut¬n cña sè phøc
0 2 4 14 7
15 15 15 15
2C C C C− + − − =
a) ViÕt d¹ng ®¹i sè cña sè phøc
( )
( ) ( )
5
0 1 2 2 3 3 4 4 5 5
5 5 5 5 5 5
0 2 4 1 3 5
5 5 5 5 5 5
1 i C C i C i C i C i C i
C C C i C C C
+ = + + + + +
= − + + − +
C«ng thøc Moa-vr¬ (Moivre)vµ øng dông:
3
b) øng dông vµo l îng gi¸c
vÝ dô 2 : XÐt khai triÓn

( ) ( ) ( ) ( )
( )
3 2 3
3 2
3 2 2 3
cos sin cos 3cos sin 3cos . sin sin
cos 3cos sin 3cos sin sin
i i i i
i
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
+ = + + +
= − + −
( )
3
cos sin 3cos sin3i i
ϕ ϕ ϕ ϕ
+ = +
3 2 3
2 3 3
cos3 cos 3cos sin 4cos 3cos
sin3 3cos sin sin 3sin 4sin
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
= − = −
= − = −
Hoµn toµn t ¬ng tù cã thÓ biÓu diÔn cosnϕ vµ sinnϕ theo c¸c lòy thõa cña
cosϕ vµ sin ϕ
Công thức Moa-vrơ (Moivre)và ứng dụng:
3

c) Căn bậc hai của số phức d ới dạng l ợng giác
Cho số phức z:
( )
cos sin , 0z r i r

= + >
z có hai căn bậc hai là
1
2
cos sin
2 2
cos sin cos sin
2 2 2 2
cos sin
2 2
z r i
z r i r i
r i





= +
ữ


= + =
ữ ữ

= + + +
ữ ữ
ữ


C«ng thøc Moa-vr¬ (Moivre)vµ øng dông:
3
Bµi tËp: ViÕt d¹ng l îng gi¸c cña c¸c sè phøc sau:
1 2
3
5
1 tan ; tan
5 8
1 cos sin ;
z i z i
z i
π π
ϕ ϕ
= − = +
= − −
Tính : P= (3 + 4i) + (1 – 2i)(5 + 2i)
a) 6 + 8i
b) 6 – 8i
c) 12 -4i
d) Kết quả khác
Số nào trong các số sau là số thực:
a)
b)

c)
d)
(2+ i 5) + (2 - i 5 )
( 3+ 2i) - ( 3 - 2i )
(1 + i 3)
2
(2 - i 2)
2
Số nào trong các số sau là số
thuần ảo :
a)
b)
c)
d)

(2 + 2i)
2
( 2 + 3i) + ( 2 - 3i)
( 2 + 3i)( 2 - 3i)
(2 + 3i)
2
Tính Z=[(4 +5i) – (4 +3i)]
5
có
kết quả là :
a) –
2
5
i
b) 2

5

i
c)
– 2
5
d) 2
5
 Nắm vững d¹ng l îng gi¸c cña sè phøc vµ các
phép toán nhân, chia số phức d¹ng l îng gi¸c.
 Tính toán thành thạo biÓu diÔn số phức d í
i d¹ng ®¹i sè vµ l îng gi¸c ®Ó lµm c¸c bµi to¸n øng
dông
 Làm các bài tập SGK trang 206; 207